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5.10: Teorema de Stokes - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Explique o significado do teorema de Stokes.
  • Use o teorema de Stokes para avaliar uma integral de linha.
  • Use o teorema de Stokes para calcular uma integral de superfície.
  • Use o teorema de Stokes para calcular um curl.

Nesta seção, estudamos o teorema de Stokes, uma generalização dimensional do teorema de Green. Este teorema, como o Teorema Fundamental para Integrais de Linha e o teorema de Green, é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo para dimensões superiores. O teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície vetorial sobre a superfície (S ) no espaço a uma integral de linha em torno do limite de (S ). Portanto, assim como os teoremas anteriores, o teorema de Stokes pode ser usado para reduzir uma integral sobre um objeto geométrico (S ) a uma integral sobre o limite de (S ). Além de nos permitir traduzir entre integrais de linha e integrais de superfície, o teorema de Stokes conecta os conceitos de ondulação e circulação. Além disso, o teorema tem aplicações em mecânica dos fluidos e eletromagnetismo. Usamos o teorema de Stokes para derivar a lei de Faraday, um resultado importante envolvendo campos elétricos.

Teorema de Stokes

O teorema de Stokes diz que podemos calcular o fluxo de (curl , vecs {F} ) através da superfície (S ) conhecendo informações apenas sobre os valores de ( vecs {F} ) ao longo da fronteira de (S ). Por outro lado, podemos calcular a integral de linha do campo vetorial ( vecs {F} ) ao longo do limite da superfície (S ) traduzindo para uma integral dupla da curvatura de ( vecs {F} ) sobre (S ).

Seja (S ) uma superfície lisa orientada com vetor normal unitário ( vecs {N} ). Além disso, suponha que o limite de (S ) seja uma curva fechada simples (C ). A orientação de (S ) induz a orientação positiva de (C ) se, conforme você anda na direção positiva em torno de (C ) com sua cabeça apontando na direção de ( vecs {N} ) , a superfície está sempre à sua esquerda. Com esta definição em vigor, podemos afirmar Teorema de Stokes.

Teorema ( PageIndex {1} ): Teorema de Stokes

Seja (S ) uma superfície orientada lisa por partes com um limite que é uma curva fechada simples (C ) com orientação positiva (Figura ( PageIndex {1} )). Se ( vecs {F} ) é um campo vetorial com funções componentes que têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta contendo (S ), então

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs S. label {Stokes1} ]

Suponha que a superfície (S ) seja uma região plana no plano (xy ) com orientação para cima. Então, o vetor normal unitário é ( vecs {k} ) e integral de superfície

[ iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S} ]

é na verdade a integral dupla

[ iint_S curl , vecs {F} cdot vecs {k} , dA. ]

Neste caso especial, o teorema de Stokes fornece

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl , vecs {F} cdot vecs {k} , dA. ]

No entanto, esta é a forma de fluxo do teorema de Green, o que nos mostra que o teorema de Green é um caso especial do teorema de Stokes. O teorema de Green só pode lidar com superfícies em um plano, mas o teorema de Stokes pode lidar com superfícies em um plano ou no espaço.

A prova completa do teorema de Stokes está além do escopo deste texto. Vemos uma explicação intuitiva para a verdade do teorema e, em seguida, vemos a prova do teorema no caso especial de que a superfície (S ) é uma parte de um gráfico de uma função, e (S ), a fronteira de (S ), e ( vecs {F} ) são todos razoavelmente dóceis.

Prova

Primeiro, nós olhamos para uma prova informal do teorema. Esta prova não é rigorosa, mas tem como objetivo dar uma ideia geral de por que o teorema é verdadeiro. Seja (S ) uma superfície e seja (D ) um pequeno pedaço da superfície de forma que (D ) não compartilhe nenhum ponto com a fronteira de (S ). Escolhemos (D ) para ser pequeno o suficiente para que possa ser aproximado por um quadrado orientado (E ). Deixe (D ) herdar sua orientação de (S ) e dê a (E ) a mesma orientação. Este quadrado tem quatro lados; denote-os (E_l, , E_r, , E_u ) e (E_d ) para os lados esquerdo, direito, para cima e para baixo, respectivamente. No quadrado, podemos usar a forma de fluxo do teorema de Green:

[ int_ {E_l + E_d + E_r + E_u} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_E curl , vecs {F} cdot vecs {N} , d vecs { S} = iint_E curl , vecs {F} cdot d vecs {S}. ]

Para aproximar o fluxo em toda a superfície, adicionamos os valores do fluxo nos pequenos quadrados aproximando pequenos pedaços da superfície (Figura ( PageIndex {2} )).

Pelo teorema de Green, o fluxo em cada quadrado aproximado é uma linha integral sobre seu limite. Seja (F ) um quadrado aproximado com uma orientação herdada de (S ) e com um lado direito (E_l ) (então (F ) está à esquerda de (E )). Seja (F_r ) o lado direito de (F ); então, (E_l = - F_r ). Em outras palavras, o lado direito de (F ) é a mesma curva que o lado esquerdo de (E ), apenas orientado na direção oposta. Portanto,

[ int_ {E_l} vecs F cdot d vecs r = - int_ {F_r} vecs F cdot d vecs r. enhum número]

À medida que somamos todos os fluxos sobre todos os quadrados aproximando a superfície (S ), integrais de linha

[ int_ {E_l} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

e

[ int_ {F_r} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

cancelam-se mutuamente. O mesmo vale para as integrais de linha sobre os outros três lados de (E ). Essas três integrais de linha se cancelam com a integral de linha do lado inferior do quadrado acima de (E ), a integral de linha sobre o lado esquerdo do quadrado à direita de (E ) e a integral de linha sobre o lado superior do quadrado abaixo (E ) (Figura ( PageIndex {3} )). Depois que todo esse cancelamento ocorre em todos os quadrados de aproximação, as únicas integrais de linha que sobrevivem são as integrais de linha sobre os lados que se aproximam do limite de (S ). Portanto, a soma de todos os fluxos (que, pelo teorema de Green, é a soma de todas as integrais de linha em torno dos limites dos quadrados de aproximação) pode ser aproximada por uma integral de linha sobre o limite de (S ). No limite, à medida que as áreas dos quadrados aproximados vão para zero, essa aproximação fica arbitrariamente próxima do fluxo.

Vamos agora dar uma olhada em uma prova rigorosa do teorema no caso especial em que (S ) é o gráfico da função (z = f (x, y) ), onde (x ) e (y ) variam em uma região limitada, simplesmente conectada (D ) de área finita (Figura ( PageIndex {4} )). Além disso, suponha que (f ) tenha derivadas parciais contínuas de segunda ordem. Seja (C ) o limite de (S ) e seja (C ') o limite de (D ). Então, (D ) é a “sombra” de (S ) no plano e (C ') é a “sombra” de (C ). Suponha que (S ) esteja orientado para cima. A orientação anti-horária de (C ) é positiva, assim como a orientação anti-horária de (C '). Seja ( vecs F (x, y, z) = langle P, Q, R rangle ) um campo vetorial com funções componentes que têm derivadas parciais contínuas.

Tomamos a parametrização padrão de (S ,: , x = x, , y = y, , z = g (x, y) ). Os vetores tangentes são ( vecs t_x = langle 1,0, g_x rangle ) e ( vecs t_y = langle 0,1, g_y rangle ) e, portanto, ( vecs t_x times vecs t_y = langle -g_x, , -g_y, , 1 rangle ).

[ iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S} = iint_D [- (R_y - Q_z) z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] , dA, nenhum número]

onde as derivadas parciais são todas avaliadas em ((x, y, g (x, y)) ), fazendo com que o integrando dependa de (x ) e (y ) apenas. Suponha que ( langle x (t), , y (t) rangle, , a leq t leq b ) seja uma parametrização de (C '). Então, uma parametrização de (C ) é ( langle x (t), , y (t), , g (x (t), , y (t)) rangle, , a leq t leq b ). Armado com essas parametrizações, a regra da cadeia e o teorema de Green, e tendo em mente que (P ), (Q ) e (R ) são todas funções de (x ) e (y ) , podemos avaliar a integral da linha

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_a ^ b (Px '(t) + Qy' (t) + Rz '(t)) , dt [4pt] & = int_a ^ b left [Px '(t) + Qy' (t) + R left ( dfrac { partial z} { partial x} dfrac {dx} {dt } + dfrac { partial z} { partial y} dfrac {dy} {dt} right) right] dt [4pt] & = int_a ^ b left [ left (P + R dfrac { parcial z} { parcial x} direita) x '(t) + esquerda (Q + R dfrac { parcial z} { parcial y} direita) y' (t) direita] dt [4pt] & = int_ {C '} left (P + R dfrac { partial z} { partial x} right) , dx + left (Q + R dfrac { partial z } { parcial y} direita) , dy [4pt] & = iint_D esquerda [ dfrac { parcial} { parcial x} esquerda (Q + R dfrac { parcial z} { parcial y} direita) - dfrac { parcial} { parcial y} esquerda (P + R dfrac { parcial z} { parcial x} direita) direita] , dA [4pt] & = iint_D left ( dfrac { parcial Q} { parcial x} + dfrac { parcial Q} { parcial z} dfrac { parcial z} { parcial x} + dfrac { parcial R} { parcial x} dfrac { parcial z} { parcial y} + dfrac { parcial R} { parcial z} dfrac { parcial z} { parcial x} dfrac { parcial z} { parcial y} + R dfrac { parcial ^ 2 z} { parcial x parcial y} direita) - esquerda ( dfrac { parcial P} { parcial y} + dfrac { parcial P} { parcial z} dfrac { parcial z} { parcial y} + dfrac { parcial R} { parcial z} dfrac { parcial z} { parcial y} dfrac { parcial z} { parcial x} + R dfrac { parcial ^ 2 z} { parcial y parcial x} direita) end {alinhar *} ]

Pelo teorema de Clairaut,

[ dfrac { parcial ^ 2 z} { parcial x parcial y} = dfrac { parcial ^ 2 z} { parcial y parcial x} não número ]

Portanto, quatro dos termos desaparecem desta integral dupla, e ficamos com

[ iint_D [- (R_y - Q_z) Z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] , dA, não numérico ]

que é igual a

[ iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S}. enhum número]

(Caixa)

Mostramos que o teorema de Stokes é verdadeiro no caso de uma função com um domínio que é uma região simplesmente conectada de área finita. Podemos confirmar rapidamente este teorema para outro caso importante: quando o campo vetorial ( vecs {F} ) é um campo conservativo. Se ( vecs {F} ) é conservador, o curl de ( vecs {F} ) é zero, então

[ iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S} = 0. ]

Uma vez que o limite de (S ) é uma curva fechada, o integral

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

também é zero.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Verificando o Teorema de Stokes para um Caso Específico

Verifique se o teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial ( vecs {F} (x, y) = langle -z, x, 0 rangle ) e a superfície (S ), onde (S ) é o hemisfério, orientado para fora, com parametrização ( vecs r ( phi, theta) = langle sin phi , cos theta, , sin phi , sin theta, , cos phi rangle, , 0 leq theta leq pi, , 0 leq phi leq pi ) como mostrado na Figura ( PageIndex {5} ).

Solução

Seja (C ) o limite de (S ). Observe que (C ) é um círculo de raio 1, centralizado na origem, sentado no plano (y = 0 ). Este círculo possui parametrização ( langle cos t, , 0, , sin t rangle, , 0 leq t leq 2 pi ). a equação para integrais de superfície escalar

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ {2 pi} langle - sin t, , cos t, , 0 rangle cdot langle - sin t, , 0, , cos t rangle , dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} sin ^ 2 t , dt [ 4pt] & = pi. end {align *} ]

Pela equação para integrais vetoriais de linha,

[ begin {align *} iint_S , curl , vecs {F} cdot d vecs S & = iint_D curl , vecs {F} ( vecs r ( phi, theta)) cdot ( vecs t _ { phi} times vecs t _ { theta}) , dA [4pt] & = iint_D langle 0, -1, 1 rangle cdot langle cos theta , sin ^ 2 phi, , sin theta , sin ^ 2 phi, , sin phi , cos phi rangle , dA [4pt] & = int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi} ( sin phi , cos phi - sin theta , sin ^ 2 phi) , d phi d theta [4pt] & = dfrac { pi} {2} int_0 ^ { pi} sin theta , d theta [4pt] & = pi. end {alinhar *} ]

Portanto, verificamos o teorema de Stokes para este exemplo.

Exercício ( PageIndex {1} )

Verifique se o teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial ( vecs {F} (x, y, z) = langle y, x, -z rangle ) e superfície (S ), onde (S ) é a porção orientada para cima do gráfico de (f (x, y) = x ^ 2 y ) sobre um triângulo no plano (xy ) com vértices ((0,0), , ( 2,0) ) e ((0,2) ).

Dica

Calcule o integral duplo e o integral de linha separadamente.

Responder

Ambas as integrais fornecem (- dfrac {136} {45} ):

Interpretação de Curl

Além de traduzir entre integrais de linha e integrais de fluxo, o teorema de Stokes pode ser usado para justificar a interpretação física do curl que aprendemos. Aqui, investigamos a relação entre a ondulação e a circulação e usamos o teorema de Stokes para estabelecer a lei de Faraday - uma lei importante na eletricidade e no magnetismo que relaciona a ondulação de um campo elétrico à taxa de variação de um campo magnético.

Lembre-se de que se (C ) é uma curva fechada e ( vecs {F} ) é um campo vetorial definido em (C ), então a circulação de ( vecs {F} ) em torno de ( C ) é integral de linha

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

Se ( vecs {F} ) representa o campo de velocidade de um fluido no espaço, então a circulação mede a tendência do fluido de se mover na direção de (C ).

Seja ( vecs {F} ) um campo vetorial contínuo e seja (D _ { tau} ) um pequeno disco de raio (r ) com centro (P_0 ) (Figura ( PageIndex {7} )). Se (D _ { tau} ) for pequeno o suficiente, então ((curl , vecs {F}) (P) approx (curl , vecs F) (P_0) ) para todos os pontos ( P ) em (D _ { tau} ) porque a ondulação é contínua. Seja (C _ { tau} ) o círculo limite de (D _ { tau} ): Pelo teorema de Stokes,

[ int_ {C _ { tau}} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_ {D _ { tau}} curl , vecs {F} cdot vecs {N} , d vecs S approx iint_ {D _ { tau}} (curl , vecs {F}) (P_0) cdot vecs {N} (P_0) , d vecs S. ]

A quantidade ((curl , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) ) é constante e, portanto,

[ iint_ {D _ { tau}} (curl , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) , d vecs S = pi r ^ 2 [(curl , vecs F ) (P_0) cdot vecs N (P_0)]. enhum número]

Desse modo

[ int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r approx pi r ^ 2 [(curl , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0)], nenhum número]

e a aproximação fica arbitrariamente próxima à medida que o raio diminui para zero. Portanto, o teorema de Stokes implica que

[(curl , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) = lim_ {r rightarrow 0 ^ +} dfrac {1} { pi r ^ 2} int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r. enhum número]

Esta equação relaciona a ondulação de um campo vetorial à circulação. Uma vez que a área do disco é ( pi r ^ 2 ), esta equação diz que podemos ver o cacho (no limite) como a circulação por unidade de área. Lembre-se de que se ( vecs F ) é o campo de velocidade de um fluido, então circulação [ oint_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r = oint_ {C _ { tau}} vecs F cdot vecs T , ds ] é uma medida da tendência do fluido se mover (C _ { tau} ): A razão para isso é que ( vecs F cdot vecs T ) é um componente de ( vecs F ) na direção de ( vecs T ), e quanto mais próxima a direção de ( vecs F ) estiver de ( vecs T ), o maior o valor de ( vecs F cdot vecs T ) (lembre-se que se ( vecs a ) e ( vecs b ) são vetores e ( vecs b ) é fixo, então o produto escalar ( vecs a cdot vecs b ) é máximo quando ( vecs a ) aponta na mesma direção que ( vecs b )). Portanto, se ( vecs F ) é o campo de velocidade de um fluido, então (curl , vecs F cdot vecs N ) é uma medida de como o fluido gira em torno do eixo ( vecs N ) O efeito da curvatura é maior sobre o eixo que aponta na direção de ( vecs N ), porque neste caso (curl , vecs F cdot vecs N ) é o maior possível.

Para ver esse efeito de uma forma mais concreta, imagine colocar uma minúscula roda de pás no ponto (P_0 ) (Figura ( PageIndex {8} )). A roda de pás atinge sua velocidade máxima quando o eixo da roda aponta na direção da curvatura ( vecs F ). Isso justifica a interpretação do curl que aprendemos: o curl é uma medida da rotação no campo vetorial em torno do eixo que aponta na direção do vetor normal ( vecs N ), e o teorema de Stokes justifica essa interpretação.

Agora que aprendemos sobre o teorema de Stokes, podemos discutir as aplicações na área do eletromagnetismo. Em particular, examinamos como podemos usar o teorema de Stokes para traduzir entre duas formas equivalentes da lei de Faraday. Antes de declarar as duas formas da lei de Faraday, precisamos de alguma terminologia de base.

Seja (C ) uma curva fechada que modela um fio fino. No contexto de campos elétricos, o fio pode estar se movendo ao longo do tempo, então escrevemos (C (t) ) para representar o fio. Em um determinado momento (t ), a curva (C (t) ) pode ser diferente da curva original (C ) por causa do movimento do fio, mas assumimos que (C (t) ) é uma curva fechada para todos os tempos (t ). Seja (D (t) ) uma superfície com (C (t) ) como seu limite, e oriente (C (t) ) de forma que (D (t) ) tenha orientação positiva. Suponha que (C (t) ) esteja em um campo magnético ( vecs B (t) ) que também pode mudar com o tempo. Em outras palavras, ( vecs {B} ) tem a forma

[ vecs B (x, y, z) = langle P (x, y, z), , Q (x, y, z), , R (x, y, z) rangle, ]

onde (P ), (Q ) e (R ) podem variar continuamente ao longo do tempo. Podemos produzir corrente ao longo do fio mudando o campo ( vecs B (t) ) (isso é uma consequência da lei de Ampère). Fluxo ( displaystyle phi (t) = iint_ {D (t)} vecs B (t) cdot d vecs S ) cria um campo elétrico ( vecs E (t) ) que funciona. A forma integral da lei de Faraday afirma que

[Trabalho = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = - dfrac { parcial phi} { parcial t}. ]

Em outras palavras, o trabalho feito por ( vecs {E} ) é a integral de linha ao redor da fronteira, que também é igual à taxa de variação do fluxo em relação ao tempo. A forma diferencial da lei de Faraday afirma que

[curl , vecs {E} = - dfrac { partial vecs B} { partial t}. ]

Usando o teorema de Stokes, podemos mostrar que a forma diferencial da lei de Faraday é uma consequência da forma integral. Pelo teorema de Stokes, podemos converter a integral de linha na forma integral em integral de superfície

[- dfrac { partial phi} { partial t} = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = iint_ {D (t)} curl , vecs E (t) cdot d vecs S. ]

Uma vez que [ phi (t) = iint_ {D (t)} B (t) cdot d vecs S, ] então, desde que a integração da superfície não varie com o tempo, também temos

[- dfrac { partial phi} { partial t} = iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { partial vecs B} { partial t} cdot d vecs S. ]

Portanto,

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { partial vecs B} { partial t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl , vecs E cdot d vecs S. ]

Para derivar a forma diferencial da lei de Faraday, gostaríamos de concluir que (curl , vecs E = - dfrac { partial vecs B} { partial t} ): Em geral, a equação

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { partial vecs B} { partial t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl , vecs E cdot d vecs S ]

não é suficiente concluir que (curl , vecs E = - dfrac { partial vecs B} { partial t} ): Os símbolos integrais não simplesmente “cancelam”, deixando a igualdade dos integrandos. Para ver por que o símbolo integral não se cancela em geral, considere as duas integrais de variável única ( displaystyle int_0 ^ 1 x , dx ) e ( displaystyle int_0 ^ 1 f (x) , dx ), onde

[f (x) = begin {cases} 1, & text {if} 0 leq x leq 1/2 0, & text {if} 1/2 leq x leq 1. finalizar {casos} ]

Ambas as integrais são iguais a ( dfrac {1} {2} ), então ( displaystyle int_0 ^ 1 x , dx = int_0 ^ 1 f (x) , dx ).

No entanto, (x neq f (x) ). Analogamente, com nossa equação [ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { parcial vecs B} { parcial t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl , vecs E cdot d vecs S, ] não podemos simplesmente concluir que (curl , vecs E = - dfrac { partial vecs B} { partial t} ) apenas porque suas integrais são iguais. No entanto, em nosso contexto, a equação

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { partial vecs B} { partial t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl , vecs E cdot d vecs S ]

é verdade para algum região, embora pequena (isso está em contraste com as integrais de variável única que acabamos de discutir). Se ( vecs F ) e ( vecs G ) são campos vetoriais tridimensionais tais que

[ iint_S vecs F cdot d vecs S = iint_S vecs G cdot d vecs S ]

para qualquer superfície (S ), então é possível mostrar que ( vecs F = vecs G ) reduzindo a área de (S ) a zero tomando um limite (quanto menor a área de (S ), quanto mais próximo o valor de ( displaystyle iint_S vecs F cdot d vecs S ) do valor de ( vecs F ) em um ponto dentro de (S )). Portanto, podemos deixar a área (D (t) ) encolher a zero tomando um limite e obter a forma diferencial da lei de Faraday:

[curl , vecs E = - dfrac { partial vecs B} { partial t}. ]

No contexto de campos elétricos, a ondulação do campo elétrico pode ser interpretada como o negativo da taxa de variação do campo magnético correspondente em relação ao tempo.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Usando a Lei de Faraday

Calcule a curvatura do campo elétrico ( vecs {E} ) se o campo magnético correspondente for um campo constante ( vecs B (t) = langle 1, -4, 2 rangle ).

Solução

Como o campo magnético não muda com o tempo, (- dfrac { partial vecs B} { partial t} = vecs 0 ). Pela lei de Faraday, a ondulação do campo elétrico é, portanto, também zero.

Análise

Uma consequência da lei de Faraday é que a ondulação do campo elétrico correspondente a um campo magnético constante é sempre zero.

Exercício ( PageIndex {4} )

Calcule a curvatura do campo elétrico ( vecs {E} ) se o campo magnético correspondente for ( vecs B (t) = langle tx, , ty, , -2tz rangle, , 0 leq t < infty. )

Dica
  • Use a forma diferencial da lei de Faraday.
  • Observe que a curvatura do campo elétrico não muda com o tempo, embora o campo magnético mude com o tempo.
Responder

(curl , vecs {E} = langle x, , y, , -2z rangle )

Conceitos chave

  • O teorema de Stokes relaciona uma integral de fluxo sobre uma superfície a uma integral de linha em torno do limite da superfície. O teorema de Stokes é uma versão dimensional do teorema de Green e, portanto, é outra versão do Teorema Fundamental do Cálculo em dimensões superiores.
  • O teorema de Stokes pode ser usado para transformar uma integral de superfície difícil em uma integral de linha mais fácil, ou uma integral de linha difícil em uma integral de superfície mais fácil.
  • Através do teorema de Stokes, as integrais de linha podem ser avaliadas usando a superfície mais simples com limite (C ).
  • A lei de Faraday relaciona a ondulação de um campo elétrico à taxa de variação do campo magnético correspondente. O teorema de Stokes pode ser usado para derivar a lei de Faraday.

Equações Chave

  • Teorema de Stokes

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl , vecs {F} cdot d vecs {S} nonumber ]

Glossário

Teorema de Stokes
relaciona a integral de fluxo sobre uma superfície (S ) a uma integral de linha em torno do limite (C ) da superfície (S )
superfície independente
integrais de fluxo de campos vetoriais de onda são independentes da superfície se sua avaliação não depender da superfície, mas apenas do limite da superfície

Interpretação geométrica do Teorema de Stokes & # 39

Em primeiro lugar, alguém poderia explicar meu mal-entendido sobre o seguinte exemplo do Teorema de Stokes:

Exemplo (Lee, SM, p. 414): Seja $ M $ uma variedade suave e suponha que $ gamma: [a, b] to M $ é uma incorporação suave, de modo que $ S = gamma ([a, b]) $ é uma subvariedade 1 incorporada com limite em $ M $. Se dermos a $ S $ a orientação tal que $ gamma $ preserva a orientação, então para qualquer função suave $ f em C ^ infty (M) $, o teorema de Stokes diz que $ int_ gamma df = int _ <[a, b]> gamma ^ *= int_df = int _ < partial S> f = f ( gamma (b)) - f ( gamma (a)). $

Q1: Quais são as diferenças entre $ S $ e $ gamma $ em ação? $ Gamma $ não significa $ gamma ([a, b]) $ na primeira integral?

Q2: Qual é a interpretação geométrica do Teorema de Stokes?

Por segunda pergunta, não quero dizer a interpretação do tipo cálculo e física. Não quero dizer explicar pela cohomologia de De Rham (formas exatas e fechadas) também. Eu só quero saber como é possível que a integração ao longo de toda variedade possa ser calculada apenas integrando ao longo de seu limite.

Talvez a resposta de Q2 reside na seguinte questão:

Q3: O que $ int_ gamma df $ significa? É um tipo de medida do comprimento de $ gamma $? Em caso afirmativo, por que seu valor não depende de nenhuma curva com os mesmos pontos finais de $ gamma $?

Desculpe se minhas perguntas relacionadas à prova do teorema de alguma forma.


Programa provisório

5 Prova 1 na quinta feira, 22 de fevereiro durante horário normal de aula.

Capítulo IV.10 Problemas 1 (cada 2ª função), 4, 5, 7, 9b, 10, 14
Capítulo IV.12 Problemas 2, 5c, 7
vencimento em 26/02

Capítulo IV.12 Problemas 11

Capítulo V.3 Problemas 2, 3
Capítulo V.6 Problemas 1acegioq, 2, 4, 7ac
devido 3/5

Capítulo V.10 Problemas 2bdf, 3aceg, 5cgiq, 7bd
Capítulo V.13 Problemas 3, 10, 14
vencimento em 3/12

Capítulo VI.3 Problemas 1acef, 3,5acegik, 6acg, 9
vencimento em 19/3

Capítulo VI.7 Problemas 1ad, 2a, 6, 7ace, 8, 11, 13, 15, 17, 18, 22, 24
problemas extras,
vencimento em 2/2

10 Exame 2 na quinta feira, 5 de abril durante o horário normal de aula

Capítulo VII.4 Problemas 1, 3, 4
problemas extras,
devido 4/9

Capítulo IV.15 Problemas 12, 13

Capítulo VII.8 Problemas 2, 4
vencimento em 16/4

Capítulo VII.12 Problemas 1, 2, 3, 5acegil (faça o problema 5a com e sem o teorema de Green, faça todas as outras partes do problema 5 com o teorema de Green)

Final na quinta-feira, 5/10, 12h25 14h25 em Ag 125 (se você estiver na palestra das 11h) e Biochem 1125 (para a palestra 13h)


Conteúdo

  • 1 Funções de mais de uma variável
    • 1.1 Introdução
    • 1.2 Limites e continuidade
    • 1.3 Derivados Parciais
    • 1.4 Diferenciabilidade, Diferenciais e Aproximação Linear Local
    • 1.5 Regra da Cadeia
    • 1.6 Derivados e Gradientes Direcionais
    • 1.7 Extrema Relativo de Funções de Duas Variáveis
    • 1.8 Extrema absoluto de funções de mais de uma variável
    • 1.9 Superfícies Paramétricas
    • 2.1 Integrais duplos sobre regiões retangulares
    • 2.2 Integrais duplos nas regiões gerais
    • 2.3 Integrais Duplos em Coordenadas Polares
    • 2.4 Aplicações de Integrais Duplos
    • 2,5 Integrais Triplos
    • 2.6 Integrais triplos em coordenadas cilíndricas
    • 2.7 Integrais triplos em coordenadas esféricas
    • 2.8 Aplicações de Integrais Triplos
    • 3.1 Campos escalares e vetoriais
    • 3.2 Divergência e Curl
    • 3.3 Campos Vetoriais Conservadores
    • 3.4 Integrais de linha de campos escalares
    • 3.5 Integrais de linha de campos vetoriais
    • 3.6 Teorema Fundamental de Integrais de Linha
    • 3.7 Teorema de Green
    • 3.8 Integrais de superfície de campos escalares
    • 3.9 Integrais de superfície de campos vetoriais
    • 3.10 Teorema de Stokes e Teorema da Divergência de Gauss
    2 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL

    Uma restrição física a essas variáveis ​​é que elas devem ser positivas. Portanto, o domínio é <(l, w, h) ∈R 3: l & ampgt 0, w & ampgt 0, h & ampgt 0>.

    Exemplo 1.1.3.Letf (x, y) = x 2 + √ 3 xy. Findf (2, −4), f (1,0), f (t, t 2) ef (2y 2, 4 y).

    Solução: por substituição, obtemos

    2(−4) = 4−2 = 2
    1(0) = 1

    Observe que o domínio off é o plano inteiro.

    Exemplo 1.1.4. Identifique e esboce o domínio de (x, y) = √ 1 x 2 −y

    Solução: Para que a expressão seja um número real, o radical no denominador deve ser positivo. Ou seja, x 2 & ampgt y. Portanto, o domínio é

    O parabolay = x 2 divide o plano em dois, todos os pontos sobre ou acima dele e todos os pontos abaixo dele. O ponto (0, −1), que é um ponto abaixo da parábola, satisfaz & amplt x 2. Portanto, o domínio inclui todos os pontos abaixo da parábola. A parábola sendo uma curva achatada indica que os pontos nela não fazem parte do domínio.

    Exemplo 1.1.5. Identifique e esboce o domínio de (x, y) = sin− 1 (x − 1).

    Solução: A função inversa do seno é definida apenas para valores no intervalo [- 1, 1]. Assim, - 16 x− 16 1, ou que 0 6 x 6 2. Portanto, o domínio é

    1.1. INTRODUÇÃO 3

    Graficamente, o domínio consiste em pontos entre as linhas x = 0 e x = 2, incluindo essas linhas.

    Figura 1.2: Domínio desligado (x, y) = sin− 1 (x − 1)

    Exemplo 1.1.6. Identifique o domínio de g (x, y, z) = ln (1 − x 2 −y 2 −z 2).

    Solução: O logaritmo natural é definido apenas para valores positivos. Assim, 1 − x 2 −y 2 −z 2 & ampgt0 ou thatx 2 + y 2 + z 2 & amplt1. Portanto, o domínio é

    Graficamente, o domínio é o conjunto de pontos dentro da esfera unitária centrada na origem, excluindo a própria esfera.

    Gráficos de funções de duas variáveis

    Suponha que seja uma função de duas variáveis ​​xandy. O gráfico é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) no espaço tridimensional tal que (x, y) ∈domfandz = f (x, y).

    Exemplo 1.1.7. Esboce o gráfico das seguintes funções.

    1. f (x, y) = 2− 2 x − y. Solução: O gráfico de fora é o gráfico da equaçãoz = 2− 2 x − y, que é um plano com vetor normal 〈2, 1, 1〉.

    Figura 1.3: Gráfico off (x, y) = 2− 2 x − y

    1.1. INTRODUÇÃO 5

    Exemplo 1.1.8. Esboce um mapa de contorno de (x, y) = y 2 −x 2 forz = −10, −5, 0, 5 e 10.

    Solução: As seções transversais da superfície com planesz = −10, −5, 0, 5 e 10 e um mapa de contorno são mostrados abaixo.

    k = 10: y 2 −x 2 = 10 k = 5: y 2 −x 2 = 5 k = 0: x 2 −y 2 = 0 k = −5: x 2 −y 2 = 5 k = −10: x 2 −y 2 = 10

    Figura 1.6: Curvas de nível off (x, y) = y 2 −x 2

    Exemplo 1.1.9. A superfícief (x, y) = sin 2 x + 14 y 2 tem o seguinte gráfico.

    Figura 1.7: Gráfico desligado (x, y) = sin 2 x + 14 y 2

    A seguir estão as seções transversais da superfície com vários planos horizontais.

    Figura 1.8: Seções transversais off (x, y) = sin 2 x + 14 y 2

    6 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL

    Um gráfico de contorno da superfície é então

    Figura 1.9: Gráfico de contorno desligado (x, y) = sin 2 x + 14 y 2

    Para funções de três variáveis, não é fácil visualizar seus gráficos, pois os gráficos ficarão em um espaço quadridimensional. Mas suas superfícies de nível são obtidas considerando vários valores para k∈Rsuch thatf (x, y, z) = k, e esses, esperançosamente, nos dão algumas dicas geométricas sobre a função.

    Exemplo 1.1.10.Letf (x, y, z) = x + y + z. As superfícies de nível são equações da forma

    que são planos com vetor normal 〈1, 1, 1〉. Abaixo estão ilustradas as superfícies niveladas (x, y, z).

    Figura 1.10: Superfícies de nível off (x, y, z) = x + y + z

    Observação. Um conjunto de curvas de nível nos dá uma ideia de quão rápido o valor da função muda.

    Exemplo 1.1.11. Um mapa de contorno para f (x, y) = 4x 2 + y 2 é mostrado abaixo, onde as curvas de nível f (x, y) = k são tomadas em incrementos iguais de k. Observe que a pergunta fica maior, o mesmo acontece com o traço elíptico e as curvas de nível ficam mais próximas. Sof (x, y) muda mais rapidamente nos pontos (x, y) no mapa de contorno onde as curvas de nível estão mais próximas.

    8 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL

    x 2 + y 2 −z 11. f (x, y, z) = xzcos− 1 (y 2 −1) 12. f (x, y, z) = cos− 1 (x − 1) sin− 1 ( y 2 -1)

    V. Esboce o gráfico das seguintes funções.

    VI. Esboce um mapa de contorno para as seguintes superfícies.

    1.2 Limites e continuidade

    Lembre-se de que conhecemos os limites e a continuidade das funções de uma única variável. Estendemos esses conceitos para funções de duas ou mais variáveis.

    Vamos investigar os valores de (x, y) = 3 x

    2 y x 2 + y 2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). A mesa abaixo

    mostra os valores off (x, y) correspondentes aos valores de x e y na primeira coluna e na primeira linha, respectivamente.

    Tabela 1.1: Valores off (x, y) = 3 x 2 yx 2 + y 2 conforme (x, y) se aproxima de (0,0) x y - 0,05 - 0,01 - 0,001 0 0,001 0. 01 0. 05 - 0. 050 - 0. 07500 - 0. 02885 - 0. 00300 0 0. 00300 0. 02885 0. 07500 - 0. 010 - 0. 00577 - 0. 01500 - 0. 00297 0 0 . 00297 0. 01500 0. 00577 - 0. 001 - 0. 00006 - 0. 00030 - 0. 00150 0 0. 00150 0. 00030 0. 00006 0. 000 0 0 0 indefinido 0 0 0 0. 001 - 0. 00006 - 0,00030 - 0. 00150 0 0. 00150 0.00030 0. 00006 0. 010 - 0. 00577 - 0. 01500 - 0. 00297 0 0. 00297 0. 01500 0. 00577 0. 050 - 0. 07500 - 0, 02885 - 0, 00300 0, 00300, 0, 02885, 0, 7500

    À medida que (x, y) se aproxima de (0,0), parece que f (x, y) se aproxima de 0. Como se verá mais tarde, essa observação está correta. Diremos que, como (x, y) → (0,0), o limite de (x, y) é 0. Escrevemos isso como

    1.2. LIMITES E CONTINUIDADE 9

    Definição.Deixe ser uma função de duas variáveis ​​cujo domínioD é um subconjunto aberto de R 2 que contém pontos arbitrariamente próximos de (a, b). Thelimit of f(x,y) as (x,y) approaches (a,b) isL, written as lim (x,y)→(a,b) f(x,y) =L,

    if for every small numberε &gt0, there is a corresponding small numberδ &gt0 such that

    Observação. In the definition, by “Dcontains points arbitrarily close to (a,b)”, we mean for any δ &gt0, there is at least one point (x,y)∈Dsuch that 0&lt

    Example 1.2.1.Prove that lim (x,y)→(1,−1) (3x+ 2y) = 1.

    Solution: Letf(x,y) = 3x+ 2y, andL= 1. For any small numberε &gt0 we choose, we want to find a small numberδ &gt0, such that

    whenever the distance between (x,y) and (1,−1) is less thanδ. Note that| 3 x+ 2y− 1 |=|3(x−1) + 2(y+ 1)| 63 |x− 1 |+ 2|y+ 1|, and we want this to be less thanε. Also, notice that

    Thus, | 3 x+ 2y− 1 |≤ 3 |x− 1 |+ 2|y+ 1|&lt 3 δ+ 2δ= 5δ.

    Hence, by takingδ=ε 5 ,we have

    Therefore, lim (x,y)→(1,−1) (3x+ 2y) = 1.

    Remark.If the limit off(x,y) as (x,y) approaches (a,b) exists, then that limit is unique.

    Recall that on the real number line, one can approach a number from two directions, from the right and from the left. On thexy-plane, there are infinitely many ways one can approach a point (a,b). Hence, we extend the notion of one-sided limits for functions of one variable. Instead, we

    1.2. LIMITS AND CONTINUITY 11

    Example 1.2.3.Show that lim (x,y)→(0,0)

    x 2 −y 2 x 2 +y 2 does not exist.

    Solution: Let us consider the limit off(x,y) = x

    2 −y 2 x 2 +y 2 along thex-axis (y = 0), which passes

    through the origin. The limit is

    Also, let us consider the limit off(x,y) along they-axis (x= 0). The limit is

    Since the limits along different curves are not equal, then

    x 2 −y 2 x 2 +y 2 does not exist.

    Example 1.2.4.Show that lim (x,y)→(0,0)

    xy 2 x 2 +y 4 does not exist.

    Solution: LetC 1 be the liney=x. Então

    LetC 2 be the parabolax=y 2. Then

    Since the limits along different curves are distinct, lim (x,y)→(0,0)

    xy 2 x 2 +y 4 does not exist.

    Example 1.2.5.Determine lim (x,y)→(0,0)

    Solution: LetC 1 be a non-vertical line through the origin. That is,C 1 : y=mx, for somem∈R. Então

    3 x 2 (mx) x 2 +m 2 x 2 = limx→ 0

    Along the curvesC 2 :y=x 2 ,C 3 :x=y 2 ,C 4 :y=x 3 ,C 5 :x=y 3 , it can easily be verified that the limits of the function as (x,y)→(0,0) are also zero.

    The above computations seem to indicate that the limit is zero. However, this is not enough to say that the limit is zero. We need to prove that it is so by definition.


    5.10: Stokes' Theorem - Mathematics

    Instructor: Nikola Petrov, 802 PHSC, (405)325-4316, npetrov AT math.ou.edu

    Office Hours: Tue 3:00-4:00 p.m., Wed 2:00-3:00 p.m., or by appointment.

    Pré-requisito: MATH 2433 (Calculus and Analytic Geometry III).

    Course catalog description: Vector calculus functions of several variables partial derivatives gradients, extreme values and differentials of multivariate functions multiple integrals line and surface integrals (F, Sp, Su)

    Text: J. Stewart, Calculus, 6th edition, Brooks/Cole, 2007. The course will cover major parts of chapters 15-17.

    Check out the OU Math Blog! It is REALLY interesting!

    The OU Math Club will meet on Wednesday, September 16, in PHSC 1105, at 5 p.m. - yours truly will give a talk titled Physics and Math for lazy people: From the non-existence of Godzilla to the energy of a nuclear explosion there will be pizza, az always! -->

    1. Click on the following link: http://eval.ou.edu (or you can cut and paste this address into your web browser).
    2. Type your OUNet ID (4+4) and your password into the login form and click Log In. This is the same login information that you would use to check your OU email or log into Desire to Learn.
    3. After your login information has been authenticated, you will see a list of all your A&S courses for Spring 2008. Click the Available link next to each course to evaluate it.
    4. When you are finished evaluating the course, click Submit Evaluation at the bottom of the evaluation form to save it.
    5. You will then be returned to the course list page. From here you can evaluate another course or log out.
    • Homework 1 (problems given on Aug 25, 27, Sep 1, 3), due Sep 8 (Tue).
    • Homework 2 (problems given on Sep 8, 10, 15, 17), due Sep 22 (Tue).
    • Homework 3 (problems given on Sep 22, 24, 29, Oct 1), due Oct 8 (Thu).
    • Homework 4 (problems given on Oct 6, 8, 13), due Oct 15 (Thu).
    • Homework 5 (problems given on Oct 15, 20, 27, 29), due Nov 3 (Tue).
    • Homework 6 (problems given on Nov 3, 5, 10, 12), due Nov 17 (Tue).
    • Homework 7 (problems given on Nov 17, 19, 24), due in class on Dec 1 (Tue).

      Lecture 1 (Tue, Aug 25):Functions of several variables: functions of two variables, independent variables, dependent variable, domain, range, graph, level curves, examples functions of three or more variables (Sec. 15.1).
      Trabalho de casa: Exercícios 15.1/13 (hint), 16, 18, 27, 26, 42, 66.

    Attendance: You are required to attend class on those days when an examination is being given attendance during other class periods is also expected. You are fully responsible for the material covered in each class, whether or not you attend. Periodically I will collect it to be graded (these days will be announced in advance). Make-ups for missed exams will be given only if there is a compelling reason for the absence, which I know about beforehand and can document independently of your testimony (for example, via a note or a phone call from a doctor or a parent).

    Trabalho de casa: It is absolutely essential to solve a large number of problems on a regular basis!
    Homework will be assigned and due every class period. You should be prepared to present any of the homework problems due on a given day. Periodically I will collect it to be graded (these days will be announced in advance).
    You are allowed (and encouraged) to work in small groups. However, each of you will need to prepare individual solutions written in your own words - this is the only way to achieve real understanding! Please write the problems in the same order in which they are given in the assignment.
    All homework should be written on a 8.5"×11" paper with your name clearly written, and should be stapled. No late homework will be accepted!

    Exames: There will be three in-class midterms and a (comprehensive) final.
    Tentative dates for the midterms are September 24 (Thursday), October 27 (Tuesday), December 3 (Thursday).
    The final is scheduled for December 14 (Monday), 1:30-3:30 p.m.
    All tests must be taken at the scheduled times, except in extraordinary circumstances.
    Please do not arrange travel plans that prevent you from taking any of the exams at the scheduled time.

    Classificação: Your grade will be determined by your performance on the following coursework:

    Coursework Peso
    Trabalho de casa 10%
    Exam 1 20%
    Exam 2 20%
    Exam 3 20%
    Final Exam 30%

    Academic calendar for Fall 2009.

    Course schedule for Fall 2009.

    Policy on W/I Grades : Through October 2 (Friday), you can withdraw from the course with an automatic "W". In addition, from October 5 (Monday) to December 11 (Friday), you may withdraw and receive a "W" or "F" according to your standing in the class. Dropping after November 30 (Monday) requires a petition to the Dean. (Such petitions are not often granted. Furthermore, even if the petition is granted, I will give you a grade of "Withdrawn Failing" if you are indeed failing at the time of your petition.) Please check the dates!

    The grade of "I" (Incomplete) is não intended to serve as a benign substitute for the grade of "F". I only give the "I" grade if a student has completed the majority of the work in the course (for example everything except the final exam), the coursework cannot be completed because of compelling and verifiable problems beyond the student's control, and the student expresses a clear intention of making up the missed work as soon as possible.

    Academic Misconduct: All cases of suspected academic misconduct will be referred to the Dean of the College of Arts and Sciences for prosecution under the University's Academic Misconduct Code. The penalties can be quite severe. Don't do it!
    For details on the University's policies concerning academic integrity see the A Student's Guide to Academic Integrity. For information on your rights to appeal charges of academic misconduct consult the Rights and Responsibilities Under the Academic Misconduct Code. Students are also bound by the provisions of the OU Student Code.

    Students With Disabilities: The University of Oklahoma is committed to providing reasonable accommodation for all students with disabilities. Students with disabilities who require accommodations in this course are requested to speak with the instructor as early in the semester as possible. Students with disabilities must be registered with the Office of Disability Services prior to receiving accommodations in this course. The Office of Disability Services is located in Goddard Health Center, Suite 166: phone 405-325-3852 or TDD only 405-325-4173.


    5.10: Stokes' Theorem - Mathematics

    Syllabus [PDF updated 1/22/07 4:00 PM]
    Lectures: Tue/Thu 11:00 AM--12:15 PM, 301 Snow Hall
    Instructor: Jeremy Martin

    Office: 541 Snow Hall
    Office hours during finals week: Thursday 5/17, 1:00--4:30 PM, or by appointment
    KU course line number: 63722
    Textbook: Vector Calculus, 3rd edn., by Susan Jane Colley

    Announcements

    • Final grades have been posted on Enroll & Pay. (5/20/07) is now available. (5/14/07)
    • My office hours on Tuesday 5/8 and Thursday 5/10 will be from 2:30--3:30 PM, instead of the usual 1:30--2:30. (5/4/07)
    • I have scheduled two review sessions during final exam week see below for dates, times and details. (5/4/07)
    • The due date on HW #12 has been postponed from Tuesday 5/8 to Thursday 5/10. (5/1/07)
    • The due date on HW #11 has been postponed from Tuesday 5/1 to Thursday 5/3. (5/1/07) is now available. (4/5/07)
    • I will hold an office hour on Wednesday 2/28, 11 AM - noon. My regular office hour on Thursday 3/1 is cancelled. (2/26/07) is now available. (2/26/07)
    • I have posted some hints on HW #4. (2/19/07)
    • My office hours on Thursday 2/8 will be 2:30--3:30 PM (instead of the usual 1:30--2:30). (2/6/07)
    • My office hours during the week of 1/29 - 2/2 will be normal. (1/29/07)
    • My office hours on Tuesday 1/23 and Thursday 1/25 are cancelled. Instead, I will hold office hours from 10:00--11:00 AM on Wednesday 1/24 and Friday 1/26, and by appointment. (1/22/07)
    • The syllabus is now available. (1/18/07)
    • Both sections of Math 223 are full or almost full. If you want to take the course but you are unable to enroll, contact me immediately. (1/17/07)

    Schedule

    The following is an approximate schedule for the topics to be covered in each lecture. Future days are subject to change.

    Tarefas de casa

    Homework is due at 5:00 PM every Tuesday (except days after midterm tests), starting January 30. This makes a total of 12 homework assignments your two lowest scores (including assignments not turned in) will be dropped. Only turn in the required problems. Not every problem will necessarily be graded, but part of your homework score will be for doing all the assigned problems. The homework is worth 20% of your grade. You can turn in homework in class, leave it in my mailbox in the Math Department office, 405 Snow, or bring it to my office, 541 Snow (if I am not around, you can leave it in the wall box or slip it under my door). Your homework should be as neat and legible as if it were typed, and all sheets should be stapled together.

    Turn in only the problems marked "Required". The problems marked "Practice" are mostly drill-type problems and/or similar to one of the required problems, and are not to be turned in.

    Each week, I'll choose four or five problems from the "Required" list to be graded for correctness and clarity. About three-quarters of your homework grade will be based on those problems the remaining one-quarter will be based on completeness -- that is, making at least a reasonable attempt to solve each of the required problems.

    Homework turned in late will not be accepted.
    Additional problems may be added up to one week before the due date.

    Tests

    There will be a 30-minute quiz in class on Tuesday, February 6, worth 10% of your grade. The quiz will cover material from Chapter 1 of the textbook. This is intended partly as a diagnostic, to give you some idea of how you're doing before the first drop date.

    There will be two in-class tests em Thursday, March 1 e Thursday, April 12. Each test is worth 20% of your final grade. Some or all of the Tuesday before each test will be devoted to a review session.

    • Date/time: Thursday, March 1, in class
    • The mean score was 111/200 and the median was 112/200. Approximate letter grades are as follows:
      • A: 144--200
      • B: 112--143
      • C: 80--111
      • D: 60--79
      • F: <60
      • Date/time: Thursday, April 12, in class
      • The mean score was 147/200 and the median was 159/200. Approximate letter grades are as follows:
        • A: 180--200
        • B: 160--179
        • C: 140--159
        • D: 110--139
        • F: <110

        Final Exam

        The final exam is scheduled for Friday, May 18, 10:30 AM--1:00 PM, Snow 301. The exam will cover the entire semester's worth of material, with emphasis on the material not covered on the two midterm tests (starting approximately with Section 5.4). The exam is worth 30% of your final grade.

        Here is a review handout, including lists of practice problems.

        • Tuesday, May 15, 1:00--2:30 PM, Snow 306. ("If you were writing a Math 223 final exam, what would you put on it?")
        • Wednesday, May 16, 12:30--2:00 PM, Snow 306. (This will be a Q&A session: you bring the Q's, I'll supply the A's.)

        The average score on the final exam was 209/300 (70%) and the median was 213/300 (71%). Contact the instructor for more information.

        Links


        Last updated Sun 5/27/07 7:00 AM


        Analysis in Vector Spaces

        The first time I encountered analysis was in graduate school taking a course in real analysis. Such a course would teach students, as one friend put it, “how to write a proof.” That was quite true. From this book I found that what I was really taught might better be called scalar analysis because we worked only with scalar functions. It didn’t occur to me that the same analysis techniques of scalars would apply to vector functions. There is much more to analysis than scalars, as this book can attest.

        For those of us who seek to expand our experiences, and to learn analysis on vector spaces, this book is a good start. The format is “classic analysis textbook”: definitions lemmas and proofs and theorems (sometimes built from lemmas) and proofs. If that appeals to you, you won’t be disappointed.

        The authors begin with a review of sets, numbers, and functions. The discussion is basic but it familiarizes the reader to the authors’ notation and is well worth the time. We then explore real numbers, convergent sequences, and linear transformations. It is with linear transformations that we begin to get to vector spaces and functions in vector spaces. I won’t go through the many sections because MAA provides the table of contents, please see the link above.

        The book covers all its topics thoroughly and with examples that beautifully illustrate the ideas. For example, the authors define and explain rigid motion, trajectories, and the Frenet formulas (unit tangent vector, unit principal normal vector, and binormal vector) so that we can explore curvature and torsion. As with much of the book, the discussion is theoretical within the text, but the problems provide the reader with concrete insights. The problems take the material to a higher level.

        If you haven’t studied these topics in vector spaces before, this book will serve you well.

        David S. Mazel received his Ph. D. from Georgia Tech in electrical engineering and is a practicing engineer in Washington, DC. His research interests are in the dynamics of billiards, signal processing, and cellular automata.


        Exercises 6.5

        Ex 6.5.1 Let $ds f(x) = x^2$. Find a value $cin (-1,2)$ so that $f'(c)$ equals the slope between the endpoints of $f(x)$ on $[-1,2]$. (answer)

        Ex 6.5.2 Verify that $f(x) = x/(x+2)$ satisfies the hypotheses of the Mean Value Theorem on the interval $[1,4]$ and then find all of the values, $c$, that satisfy the conclusion of the theorem. (answer)

        Ex 6.5.3 Verify that $f(x) = 3x/(x+7)$ satisfies the hypotheses of the Mean Value Theorem on the interval $[-2 , 6]$ and then find all of the values, $c$, that satisfy the conclusion of the theorem.

        Ex 6.5.4 Let $f(x) = an x $. Show that $f(pi ) = f(2pi)=0$ but there is no number $cin (pi,2pi)$ such that $f'(c) =0$. Why does this not contradict Rolle's theorem?

        Ex 6.5.5 Let $ds f(x) = (x-3)^<-2>$. Show that there is no value $cin (1,4)$ such that $f'(c) = (f(4)-f(1))/(4-1)$. Why is this not a contradiction of the Mean Value Theorem?

        Ex 6.5.6 Describe all functions with derivative $ds x^2+47x-5$. (answer)

        Ex 6.5.7 Describe all functions with derivative $sin(2x)$. (answer)

        Ex 6.5.8 Show that the equation $ds 6x^4 -7x+1 =0$ does not have more than two distinct real roots.

        Ex 6.5.9 Let $f$ be differentiable on $R$. Suppose that $f'(x) eq 0$ for every $x$. Prove that $f$ has at most one real root.

        Ex 6.5.10 Prove that for all real $x$ and $y$ $|cos x -cos y | leq |x-y|$. State and prove an analogous result involving sine.


        Syllabus

        Multivariable calculus is a fundamental pillar for many other things:

        It extends single variable calculus to higher dimensions. You will see that the structures are much richer than in single variable and that the fundamental theorem of calculus generalizes to higher dimensions.
        It provides vocabulary for understanding fundamental processes and phenomena. Examples are planetary motion, economics, waves, heat, finance, epidemiology, quantum mechanics or optimization.
        It teaches important background needed in social sciences, life sciences and economics. But it is rigorous enough that it is also suited for students in core sciences like physics, mathematics or computer science.
        It builds tools for describing geometrical objects like curves, surfaces, solids and intuition which is needed in other fields like linear algebra or data analysis. Geometry is currently extremely hot: tomography methods in medicine, computer games, google earth, social network analysis all use geometry.
        It relates to culture and history. The quest for answering questions like "where do we come from", "what will future bring us", "how can we optimize quantities" all use calculus. They were the motor to develop it. Euler, the inventor graph theory for example knew geometry and calculus well. The history of calculus contains fascinating stories, starting from Archimedes, 2300 years ago up to the modern times, where new branches of multivariable calculus are developed to understand the structure of nature.
        It develops problem solving methods. Examples are optimization problems with and without constraints (which is the bread and butter for exconomics), geometric problems, computations with scalar and vector fields, area and volume computations.
        It makes you acquainted with a powerful computer algebra system which allows you to see the mathematics from a different perspective. Such systems are more and more needed for visualization, experimentation and to build laboratories for your own research. No programming experience is required however. We will provide templates and get you started with a workshop.
        It prepares you for further study in other fields. Not only in mathematics and its applications, but also in seemingly unrelated fields like game theory, probability theory, discrete mathematics, sociology, or number theory, where similar structures and problems appear, even in a discrete setting. Without geometric intuition and paradigms learned in calculus, it is rather hard to work in those fields.
        It improves thinking skills, problem solving skills, visualization skills as well as computing skills. You will see the power of logical thinking and deduction and why mathematics is timeless.


        CALCULUS AND OPTIMIZATION

        1. Generalities on functions in R^n, Tangential and Normal vectors
        2. Eigenvalues and Eigenvectors
        3. Derivatives and Directional Derivatives
        4. Differentiation and the Chain Rule
        5. The Taylor expansion
        6. Implicit Function Theorem
        7. Fubini’s Theorem
        8. Exact differentials, Multiple Integration and the role of the Jacobian
        9. Green’s Theorem and Line Integrals
        10. Stokes’ Theorem

        ● Local/Global Minima/Maxima
        ● Karush-Kuhn-Tucker conditions
        ● Convexity (necessary/sufficient conditions)
        ● Mean Value Theorems
        ● Optimization methods for unconstrained/constrained problems
        ○ Gradient methods and Projected Gradient method
        ○ Linesearch procedures
        ○ Conjugate Gradient methods and Quasi Newton methods
        ○ Active set methods
        ○ Penalty/Barrier methods
        ○ Lagrangian and Augmented Lagrangian methods
        ○ Quadratic Programming
        ○ Applications with Rayleigh quotient

        Afternotes by the teacher. In addition, for some subjects in the program the students can consider the following textbooks.

        M.S.BAZARAA, H.D.SHERALI, C.M.SHETTY (1993) "Nonlinear Programming - Theory and Algorithms (2nd edition", John Wiley & Sons.

        D.P.BERTSEKAS (1982) "Constrained Optimization and Lagrange Multiplier Methods", Academic Press.

        D.P.BERTSEKAS (1995) "Nonlinear Programming", Athena Scientific, Belmont, Massachusetts, USA.

        R.WALTER (1976) "Principles of Mathematical Analysis", McGraw-Hill.

        C.H.Edwards, “Advanced Calculus of Several Variables”, Dover Publications, 2003

        B.T.M. Apostol “Calculus: Multivariable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equations and Probability, vol. II, Second Edition”, John Wiley and Sons, Inc., 1973

        J.Nocedal, S.J.Wright, “Numerical Optimization, Second Edition”, Springer, 2006.

        S.Boyd, L.Vandenberghe “Convex Optimization”, Cambridge University Press, 2009.

        • Course with sustainable contents
        • University credits of sustainability: 3
        • Lecture notes, material for reference or for self-assessment available online or as e-book
        • E-learning, moodle platforms
        • Use of open-source software
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        Updating the Policy

        Ca' Foscari University of Venice shall keep this information constantly updated and shall ensure that the updated policy is published on the websites concerned.


        Assista o vídeo: Teorema de Stokes Tópico 15, parte 10 (Novembro 2021).