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12.6: Superfícies Quádricas - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Identifique um cilindro como um tipo de superfície tridimensional.
  • Reconhecer as principais características dos elipsóides, parabolóides e hiperbolóides.
  • Use traços para desenhar as interseções de superfícies quádricas com os planos de coordenadas.

Temos explorado vetores e operações vetoriais no espaço tridimensional e desenvolvemos equações para descrever linhas, planos e esferas. Nesta seção, usamos nosso conhecimento de planos e esferas, que são exemplos de figuras tridimensionais chamadas superfícies, para explorar uma variedade de outras superfícies que podem ser representadas graficamente em um sistema de coordenadas tridimensional.

Identificação de cilindros

A primeira superfície que examinaremos é o cilindro. Embora a maioria das pessoas pense imediatamente em um tubo oco ou canudo de refrigerante ao ouvir a palavra cilindro, aqui usamos o amplo significado matemático do termo. Como vimos, as superfícies cilíndricas não precisam ser circulares. Um duto de aquecimento retangular é um cilindro, assim como um tapete de ioga enrolado, cuja seção transversal é em forma de espiral.

No plano de coordenadas bidimensional, a equação (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) descreve um círculo centrado na origem com raio (3 ). No espaço tridimensional, essa mesma equação representa uma superfície. Imagine cópias de um círculo empilhados uns sobre os outros centralizados no eixo (z ) (Figura ( PageIndex {1} )), formando um tubo oco. Podemos então construir um cilindro a partir do conjunto de linhas paralelas ao eixo (z ) passando pelo círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) no plano (xy ), como mostrado na figura. Desta forma, qualquer curva em um dos planos de coordenadas pode ser estendida para se tornar uma superfície.

Definição: cilindros e réguas

Um conjunto de linhas paralelas a uma determinada linha que passa por uma determinada curva é conhecido como uma superfície cilíndrica, ou cilindro. As linhas paralelas são chamadas de regras.

A partir dessa definição, podemos ver que ainda temos um cilindro no espaço tridimensional, mesmo que a curva não seja um círculo. Qualquer curva pode formar um cilindro, e as réguas que o compõem podem ser paralelas a qualquer linha dada (Figura ( PageIndex {2} )).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Representação gráfica de superfícies cilíndricas

Esboce os gráficos das seguintes superfícies cilíndricas.

  1. (x ^ 2 + z ^ 2 = 25 )
  2. (z = 2x ^ 2 − y )
  3. (y = sin x )

Solução

uma. A variável (y ) pode assumir qualquer valor sem limite. Portanto, as linhas que regem esta superfície são paralelas ao eixo (y ). A interseção desta superfície com o plano (xz ) - forma um círculo centrado na origem com o raio (5 ) (ver Figura ( PageIndex {3} )).

b. Nesse caso, a equação contém todas as três variáveis ​​- (x, y, ) e (z ) - portanto, nenhuma das variáveis ​​pode variar arbitrariamente. A maneira mais fácil de visualizar essa superfície é usar um utilitário de computação gráfica (Figura ( PageIndex {4} )).

c. Nesta equação, a variável (z ) pode assumir qualquer valor sem limite. Portanto, as linhas que compõem esta superfície são paralelas ao eixo (z ). A interseção desta superfície com o xy-plano delineia a curva (y = sin x ) (Figura ( PageIndex {5} )).

Exercício ( PageIndex {1} ):

Esboce ou use uma ferramenta gráfica para visualizar o gráfico da superfície cilíndrica definida pela equação (z = y ^ 2 ).

Dica

A variável (x ) pode assumir qualquer valor sem limite.

Responder

Ao esboçar superfícies, vimos que é útil esboçar a interseção da superfície com um plano paralelo a um dos planos de coordenadas. Essas curvas são chamadas de traços. Podemos vê-los no gráfico do cilindro na Figura ( PageIndex {6} ).

Definição: traços

O vestígios de uma superfície são as seções transversais criadas quando a superfície intercepta um plano paralelo a um dos planos de coordenadas.

Os traços são úteis para esboçar superfícies cilíndricas. Para um cilindro em três dimensões, entretanto, apenas um conjunto de traços é útil. Observe, na Figura ( PageIndex {6} ), que o traço do gráfico de (z = sin x ) no xz-plane é útil na construção do gráfico. O traço no xy-plano, porém, é apenas uma série de linhas paralelas, e o traço no sim-plane é simplesmente uma linha.

As superfícies cilíndricas são formadas por um conjunto de linhas paralelas. No entanto, nem todas as superfícies em três dimensões são construídas de forma tão simples. Agora exploramos superfícies mais complexas e os traços são uma ferramenta importante nesta investigação.

Superfícies Quádricas

Aprendemos sobre superfícies em três dimensões descritas por equações de primeira ordem; estes são aviões. Alguns outros tipos comuns de superfícies podem ser descritos por equações de segunda ordem. Podemos ver essas superfícies como extensões tridimensionais das seções cônicas que discutimos anteriormente: a elipse, a parábola e a hipérbole. Chamamos esses gráficos de superfícies quádricas

Definição: Superfícies quádricas e seções cônicas

Superfícies quádricas são os gráficos de equações que podem ser expressos na forma

[Ax ^ 2 + Por ^ 2 + Cz ^ 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz + K = 0. ]

Quando uma superfície quádrica intercepta um plano de coordenadas, o traço é uma seção cônica.

Um elipsóide é uma superfície descrita por uma equação da forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1. ) Defina (x = 0 ) para ver o traço do elipsóide no sim-avião. Para ver os traços nos planos (xy ) - e (xz ) -, defina (z = 0 ) e (y = 0 ), respectivamente. Observe que, se (a = b ), o traço no plano (xy ) é um círculo. Da mesma forma, se (a = c ), o traço no plano (xz ) - é um círculo e, se (b = c ), então o traço no plano (yz ) - é um círculo. Uma esfera, então, é um elipsóide com (a = b = c. )

Exemplo ( PageIndex {2} ): Esboçando um elipsóide

Esboce o elipsóide

[ dfrac {x ^ 2} {2 ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {3 ^ 2} + dfrac {z ^ 2} {5 ^ 2} = 1. ]

Solução

Comece esboçando os traços. Para encontrar o traço no xy-plane, set (z = 0: dfrac {x ^ 2} {2 ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {3 ^ 2} = 1 ) (Figura ( PageIndex {7} ) ) Para encontrar os outros traços, primeiro defina (y = 0 ) e, em seguida, defina (x = 0. )

Agora que sabemos como são os traços deste sólido, podemos esboçar a superfície em três dimensões (Figura ( PageIndex {8} )).

O traço de um elipsóide é uma elipse em cada um dos planos de coordenadas. No entanto, isso não precisa ser o caso para todas as superfícies quádricas. Muitas superfícies quádricas têm traços que são diferentes tipos de seções cônicas, e isso geralmente é indicado pelo nome da superfície. Por exemplo, se uma superfície pode ser descrita por uma equação da forma

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = dfrac {z} {c} ]

então chamamos essa superfície de parabolóide elíptico. O traço no xy-plano é uma elipse, mas os traços no xz-avião e sim-plano são parábolas (Figura ( PageIndex {9} )). Outros parabolóides elípticos podem ter outras orientações simplesmente trocando as variáveis ​​para nos dar uma variável diferente no termo linear da equação ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = dfrac {y} {b} ) ou ( dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = dfrac {x} {a} ).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Identificando Traços de Superfícies Quádricas

Descreva os traços do parabolóide elíptico (x ^ 2 + dfrac {y ^ 2} {2 ^ 2} = dfrac {z} {5} ).

Solução

Para encontrar o traço no plano (xy ), defina (z = 0: x ^ 2 + dfrac {y ^ 2} {2 ^ 2} = 0. ) O traço no plano (z = 0 ) é simplesmente um ponto, a origem. Uma vez que um único ponto não nos diz qual é a forma, podemos mover o eixo (z ) para cima até um plano arbitrário para encontrar a forma de outros traços da figura.

O traço no plano (z = 5 ) é o gráfico da equação (x ^ 2 + dfrac {y ^ 2} {2 ^ 2} = 1 ), que é uma elipse. No plano (xz ) -, a equação se torna (z = 5x ^ 2 ). O traço é uma parábola neste plano e em qualquer plano com a equação (y = b ).

Em planos paralelos ao plano (yz ) -, os traços também são parábolas, como podemos ver na Figura ( PageIndex {10} ).

Exercício ( PageIndex {2} ):

Um hiperbolóide de uma folha é qualquer superfície que pode ser descrita com uma equação da forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} - dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1 ). Descreva os traços do hiperbolóide de uma folha dada pela equação ( dfrac {x ^ 2} {3 ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {2 ^ 2} - dfrac {z ^ 2} {5 ^ 2} = 1. )

Dica

Para encontrar os traços nos planos de coordenadas, defina cada variável como zero individualmente.

Responder

Os traços paralelos ao plano (xy ) - são elipses e os traços paralelos aos planos (xz ) - e (yz ) - são hipérboles. Especificamente, o traço no plano (xy ) - é a elipse ( dfrac {x ^ 2} {3 ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {2 ^ 2} = 1, ) o traço em o plano (xz ) - é uma hipérbole ( dfrac {x ^ 2} {3 ^ 2} - dfrac {z ^ 2} {5 ^ 2} = 1, ) e o traço no (yz ) - o plano é uma hipérbole ( dfrac {y ^ 2} {2 ^ 2} - dfrac {z ^ 2} {5 ^ 2} = 1 ) (veja a figura a seguir).

Os hiperbolóides de uma folha têm algumas propriedades fascinantes. Por exemplo, eles podem ser construídos usando linhas retas, como na escultura na Figura ( PageIndex {1a} ). Na verdade, as torres de resfriamento para usinas nucleares costumam ser construídas na forma de um hiperbolóide. Os construtores são capazes de usar vigas de aço retas na construção, o que torna as torres muito fortes enquanto usam relativamente pouco material (Figura ( PageIndex {1b} )).

Exemplo ( PageIndex {4} ): Abridor de Capítulo: Encontrando o Foco de um Refletor Parabólico

A energia que atinge a superfície de um refletor parabólico é concentrada no ponto focal do refletor (Figura ( PageIndex {12} )). Se a superfície de um refletor parabólico é descrita pela equação ( dfrac {x ^ 2} {100} + dfrac {y ^ 2} {100} = dfrac {z} {4}, ) onde está o foco ponto do refletor?

Solução

Desde z é a variável de primeira potência, o eixo do refletor corresponde ao eixo (z ). Os coeficientes de (x ^ 2 ) e (y ^ 2 ) são iguais, então a seção transversal do parabolóide perpendicular ao eixo (z ) é um círculo. Podemos considerar um traço no xz-avião ou o sim-avião; O resultado é o mesmo. Definindo (y = 0 ), o traço é uma parábola se abrindo ao longo do eixo (z ), com a equação padrão (x ^ 2 = 4pz ), onde (p ) é a distância focal de a parábola. Nesse caso, essa equação se torna (x ^ 2 = 100⋅ dfrac {z} {4} = 4pz ) ou (25 = 4p ). Portanto, p é (6,25 ) m, o que nos diz que o foco do parabolóide é (6,25 ) m acima do eixo do vértice. Como o vértice desta superfície é a origem, o ponto focal é ((0,0,6.25). )

Dezessete superfícies quádricas padrão podem ser derivadas da equação geral

[Ax ^ 2 + Por ^ 2 + Cz ^ 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz + K = 0. ]

As figuras a seguir resumem as mais importantes.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Identificando Equações de Superfícies Quádricas

Identifique as superfícies representadas pelas equações fornecidas.

  1. (16x ^ 2 + 9y ^ 2 + 16z ^ 2 = 144 )
  2. (9x ^ 2−18x + 4y ^ 2 + 16y − 36z + 25 = 0 )

Solução

uma. Os termos (x, y, ) e (z ) são todos quadrados e são todos positivos, então este é provavelmente um elipsóide. No entanto, vamos colocar a equação na forma padrão de um elipsóide apenas para ter certeza. Nós temos

[16x ^ 2 + 9y ^ 2 + 16z ^ 2 = 144. enhum número]

Dividindo por 144 dá

[ dfrac {x ^ 2} {9} + dfrac {y ^ 2} {16} + dfrac {z ^ 2} {9} = 1. enhum número]

Então, este é, na verdade, um elipsóide, centrado na origem.

b. Notamos primeiro que o termo (z ) é elevado apenas à primeira potência, então este é um parabolóide elíptico ou um parabolóide hiperbólico. Também observamos que existem (x ) termos e (y ) termos que não são quadrados, portanto, essa superfície quádrica não está centralizada na origem. Precisamos completar o quadrado para colocar esta equação em uma das formas padrão. Nós temos

[ begin {align *} 9x ^ 2−18x + 4y ^ 2 + 16y − 36z + 25 = 0 [4pt] 9x ^ 2−18x + 4y ^ 2 + 16y + 25 = 36z [4pt] 9 (x ^ 2−2x) +4 (y ^ 2 + 4y) +25 = 36z [4pt] 9 (x ^ 2−2x + 1−1) +4 (y ^ 2 + 4y + 4−4 ) +25 = 36z [4pt] 9 (x − 1) ^ 2−9 + 4 (y + 2) ^ 2−16 + 25 = 36z [4pt] 9 (x − 1) ^ 2 + 4 (y + 2) ^ 2 = 36z [4pt] dfrac {(x − 1) ^ 2} {4} + dfrac {(y − 2) ^ 2} {9} = z. end {align *} ]

Este é um parabolóide elíptico centrado em ((1,2,0). )

Exercício ( PageIndex {3} )

Identifique a superfície representada pela equação (9x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 + 2z − 10 = 0. )

Dica

Observe os sinais e poderes dos termos (x, y ) e (z )

Responder

Hiperbolóide de uma folha, centrado em ((0,0,1) ).

Conceitos chave

  • Um conjunto de linhas paralelas a uma determinada linha que passa por uma determinada curva é chamado de cilindro, ou uma superfície cilíndrica. As linhas paralelas são chamadas decisões.
  • A interseção de uma superfície tridimensional e um plano é chamada de traço. Para encontrar o traço no (xy )-, (yz )-, ou (xz )-planos, defina (z = 0, x = 0, ) ou (y = 0, ) respectivamente.
  • As superfícies quádricas são superfícies tridimensionais com traços compostos por seções cônicas. Cada superfície quádrica pode ser expressa com uma equação da forma

[Ax ^ 2 + Por ^ 2 + Cz ^ 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz + K = 0. enhum número]

  • Para esboçar o gráfico de uma superfície quádrica, comece esboçando os traços para entender a estrutura da superfície.
  • Superfícies quádricas importantes são resumidas em Figuras ( PageIndex {13} ) e ( PageIndex {14} ).

Glossário

cilindro
um conjunto de linhas paralelas a uma determinada linha que passa por uma determinada curva
elipsóide
uma superfície tridimensional descrita por uma equação da forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1 ); todos os traços desta superfície são elipses
cone elíptico
uma superfície tridimensional descrita por uma equação da forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} - dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = 0 ); traços desta superfície incluem elipses e linhas que se cruzam
parabolóide elíptico
uma superfície tridimensional descrita por uma equação da forma (z = dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} ); vestígios desta superfície incluem elipses e parábolas
hiperbolóide de uma folha
uma superfície tridimensional descrita por uma equação da forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} - dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1; ) traços desta superfície incluem elipses e hipérboles
hiperbolóide de duas folhas
uma superfície tridimensional descrita por uma equação da forma ( dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ); vestígios desta superfície incluem elipses e hipérboles
superfícies quádricas
superfícies em três dimensões tendo a propriedade de que os traços da superfície são seções cônicas (elipses, hipérboles e parábolas)
decisões
linhas paralelas que constituem uma superfície cilíndrica
vestígio
a interseção de uma superfície tridimensional com um plano de coordenadas

Matemática UN1201: Cálculo III (Seções 006 e 007) Outono de 2020

Hora e local: Seção 006: terças e quintas-feiras, das 14h40 às 15h55, online. Seção 007: terças e quintas-feiras das 16h10 às 17h25 online.

Instrutor: Inbar Klang ([email protected]), pronomes: ela / ela / dela

Horário de atendimento: Terças e quintas-feiras das 17h40 às 19h10 online

Assistentes de ensino: TBA

Horário de atendimento do TA: Realizado na sala de ajuda virtual de matemática.

Livro didático: Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition, por James Stewart

Pré-requisito: O pré-requisito para este curso é Cálculo I ou equivalente. Para obter mais informações sobre cálculo na Columbia, leia sobre a sequência de cálculo.

Visão geral: Bem-vindo ao Calculus III! Abordaremos os seguintes tópicos:

  • Vetores e a geometria do espaço (Seção 10.5 e Capítulo 12)
  • Funções de vetor (Capítulo 13)
  • Funções de várias variáveis ​​e derivadas parciais (Capítulo 14)

Notas do curso: Aqui. Isso será atualizado conforme eu escrevo notas para mais seções do livro didático.

Trabalho de casa

Atribuição Data de vencimento
1 HW 1 15 de setembro às 23h
2 HW 2 22 de setembro às 23h
3 HW 3 29 de setembro às 23h
4 HW 4 13 de outubro às 23h
5 HW 5 20 de outubro às 23h
6 HW 6 27 de outubro às 23h
7 HW 7 4 de novembro às 23h
8 HW 8 17 de novembro às 23h
9 HW 9 24 de novembro às 23h
10 HW 10 1º de dezembro às 23h
11 HW 11 8 de dezembro às 23h
12 HW 12 15 de dezembro às 23h

Material para midterm 1

10,1 páginas 640-642, 10,3 páginas 658-661, 10,5, 12,1-12,6 (sem torque ou trabalho ou ângulos de direção / cossenos), 15,7 páginas 1040-1041, 15,8 páginas 1045-1046.

Material para midterm 2

Seções: 13,1 páginas 848-851, 13,2, 13,3 (sem círculo osculante), 13,4 páginas 870-875, 14,1, 14,2 (sem definição ou argumentos epsilon-delta), 14,3 páginas 911-920, 14,4.

Material para o exame final

Todo o material anterior, e: Seções 14.5, 14.6, 14.7 páginas 959-966, 14.8 e Apêndice H páginas A57-A62.


APEX Calculus

Até este ponto neste texto, consideramos a matemática em um mundo bidimensional. Traçamos gráficos no plano (x ) - (y ) usando coordenadas retangulares e polares e encontramos a área das regiões no plano. Nós consideramos propriedades de sólido objetos, como volume e área de superfície, mas apenas definindo primeiro uma curva no plano e, em seguida, girando-a para fora do plano.

Embora haja matemática maravilhosa para explorar em “2D”, vivemos em um mundo “3D” e, eventualmente, desejaremos aplicar a matemática que envolve esta terceira dimensão. Nesta seção, apresentamos as coordenadas cartesianas no espaço e exploramos as superfícies básicas. Isso estabelecerá uma base para muito do que faremos no restante do texto.

Cada ponto (P ) no espaço pode ser representado por um triplo ordenado, (P = (a, b, c) text <,> ) onde (a text <,> ) (b ) e (c ) representam a posição relativa de (P ) ao longo dos eixos (x ) -, (y ) - e (z ) -, respectivamente. Cada eixo é perpendicular aos outros dois.

Visualizar pontos no espaço no papel pode ser problemático, pois estamos tentando representar um conceito tridimensional em um meio bidimensional. Não podemos desenhar três linhas que representam os três eixos em que cada linha é perpendicular às outras duas. Apesar desse problema, existem convenções padrão para plotar formas no espaço que discutiremos e que são mais do que adequadas.

Uma convenção é que os eixos devem estar em conformidade com o regra da mão direita. Esta regra estabelece que quando o dedo indicador da mão direita é estendido na direção do eixo positivo (x ), e o dedo médio (dobrado "para dentro" de forma perpendicular à palma) aponta ao longo do eixo positivo (y ) - eixo, então o polegar estendido apontará na direção do eixo positivo (z ). (Pode levar algum tempo para verificar isso, mas este sistema é inerentemente diferente daquele criado usando a "regra da mão esquerda".)

Desde que os eixos de coordenadas sejam posicionados de forma que sigam esta regra, não importa como os eixos são desenhados no papel. Existem dois métodos populares que discutiremos brevemente.

Na Figura 11.1.1 vemos o ponto (P = (2,1,3) ) plotado em um conjunto de eixos. A convenção básica aqui é que o plano (x ) - (y ) é desenhado em sua forma padrão, com o eixo (z ) - para baixo à esquerda. A perspectiva é que o papel representa o plano (x ) - (y ) e o eixo positivo (z ) está surgindo, fora da página. Este método é preferido por muitos engenheiros. Como pode ser difícil dizer onde um único ponto se encontra em relação a todos os eixos, linhas tracejadas foram adicionadas para permitir que se veja a que distância ao longo de cada eixo o ponto se encontra.

Também se pode considerar o plano (x ) - (y ) como sendo um plano horizontal em, digamos, uma sala, onde o eixo (z ) positivo está apontando para cima. Quando alguém dá um passo para trás e olha para esta sala, pode desenhar os eixos como mostrado na Figura 11.1.2. O mesmo ponto (P ) é desenhado, novamente com linhas tracejadas. Esse ponto de vista é preferido pela maioria dos matemáticos e é a convenção adotada por este texto.

Assim como os eixos (x ) - e (y ) - dividem o plano em quatro quadrantes, os planos de coordenadas (x ) -, (y ) - e (z ) - dividem o espaço em oito octantes. O octante em que (x text <,> ) (y text <,> ) e (z ) são positivos é chamado de primeiro octante. Não nomeamos os outros sete octantes neste texto.

Subseção 11.1.1 Medindo Distâncias

É de fundamental importância saber como medir distâncias entre pontos no espaço. A fórmula para fazer isso é baseada na medição da distância no plano e é conhecida (em ambos os contextos) como a medida euclidiana da distância.

Definição 11.1.3. Distância no espaço.

Sejam (P = (x_1, y_1, z_1) ) e (Q = (x_2, y_2, z_2) ) pontos no espaço. A distância (D ) entre (P ) e (Q ) é

Nos referimos ao segmento de linha que conecta os pontos (P ) e (Q ) no espaço como ( overline text <,> ) e referem-se ao comprimento deste segmento como ( norm < overline> text <.> ) A fórmula de distância acima nos permite calcular o comprimento deste segmento.

Exemplo 11.1.4. Comprimento de um segmento de linha.

Deixe (P = (1,4, -1) ) e deixe (Q = (2,1,1) text <.> ) Desenhe o segmento de linha ( overline) e encontre seu comprimento.

Os pontos (P ) e (Q ) são plotados na Figura 11.1.5 nenhuma consideração especial precisa ser feita para desenhar o segmento de linha conectando esses dois pontos simplesmente conecte-os com uma linha reta. Um não pode realmente medir esta linha na página e deduzir qualquer coisa significativa, seu verdadeiro comprimento deve ser medido analiticamente. Aplicando a Definição 11.1.3, temos

Subseção 11.1.2 Esferas

Assim como um círculo é o conjunto de todos os pontos no avião equidistante de um determinado ponto (seu centro), uma esfera é o conjunto de todos os pontos em espaço que são equidistantes de um determinado ponto. A definição 11.1.3 nos permite escrever uma equação da esfera.

Começamos com um ponto (C = (a, b, c) ) que deve ser o centro de uma esfera com raio (r text <.> ) Se um ponto (P = (x, y , z) ) encontra-se na esfera, então (P ) é (r ) unidades de (C text <> ) ou seja,

Quadrando ambos os lados, obtemos a equação padrão de uma esfera no espaço com centro em (C = (a, b, c) ) com raio (r text <,> ) como fornecido na seguinte ideia-chave.

Ideia-chave 11.1.6. Equação padrão de uma esfera no espaço.

A equação padrão da esfera com raio (r text <,> ) centrado em (C = (a, b, c) text <,> ) é

Exemplo 11.1.7. Equação de uma esfera.

Encontre o centro e o raio da esfera definida por (x ^ 2 + 2x + y ^ 2-4y + z ^ 2-6z = 2 text <.> )

Para determinar o centro e o raio, devemos colocar a equação na forma padrão. Isso exige que completemos o quadrado (três vezes).

A esfera está centrada em ((- 1,2,3) ) e tem um raio de 4.

A equação de uma esfera é um exemplo de uma função implícita que define uma superfície no espaço. No caso de uma esfera, as variáveis ​​ (x text <,> ) (y ) e (z ) são usadas. Agora consideramos as situações em que as superfícies são definidas onde uma ou duas dessas variáveis ​​estão ausentes.

Subseção 11.1.3 Introdução aos aviões no espaço

Os eixos de coordenadas definem naturalmente três planos (mostrado na Figura 11.1.8), o coordenar aviões: o plano (x ) - (y ), o plano (y ) - (z ) e o plano (x ) - (z ). O plano (x ) - (y ) é caracterizado como o conjunto de todos os pontos no espaço onde o valor (z ) - é 0. Isso, de fato, nos dá uma equação que descreve este plano: (z = 0 text <.> ) Da mesma forma, o plano (x ) - (z ) são todos os pontos onde o valor (y ) - é 0, caracterizado por (y = 0 text <.> )

A equação (x = 2 ) descreve todos os pontos no espaço onde o valor (x ) - é 2. Este é um plano, paralelo ao plano de coordenadas (y ) - (z ), mostrado em Figura 11.1.9.

Exemplo 11.1.10. Regiões definidas por planos.

Esboce a região definida pelas inequações (- 1 leq y leq 2 text <.> )

A região são todos os pontos entre os planos (y = -1 ) e (y = 2 text <.> ) Esses planos são esboçados na Figura 11.1.11, que são paralelos ao (x ) - plano (z ). Assim, a região se estende infinitamente nas direções (x ) e (z ), e é limitada por planos na direção (y ).

Subseção 11.1.4 Cilindros

A equação (x = 1 ) obviamente não possui as variáveis ​​ (y ) e (z ), o que significa que ela define pontos onde as coordenadas (y ) e (z ) podem assumir qualquer valor. Agora considere a equação (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) no espaço. Em o avião, esta equação descreve um círculo de raio 1, centrado na origem. No espaço, a coordenada (z ) não é especificada, o que significa que pode assumir qualquer valor. Na Figura 11.1.12. (A), mostramos parte do gráfico da equação (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) esboçando 3 círculos: o inferior tem uma constante (z ) - valor de (- 1,5 text <,> ) o do meio tem um valor (z ) de 0 e o círculo superior tem um valor (z ) de 1. Por plotagem tudo possíveis (z ) - valores, obtemos a superfície mostrada na Figura 11.1.12. (b). Esta superfície se parece com um "tubo" ou um "cilindro" que os matemáticos chamam de superfície cilindro por um motivo totalmente diferente.

Definição 11.1.13. Cilindro.

Seja (C ) uma curva em um plano e seja (L ) uma linha não paralela a (C text <.> ) A é o conjunto de todas as linhas paralelas a (L ) que passar por (C text <.> ) A curva (C ) é o do cilindro e as linhas são o.

Neste texto, consideramos curvas (C ) que se encontram em planos paralelos a um dos planos coordenados, e retas (L ) que são perpendiculares a esses planos, formando cilindros direitos. Assim, a diretriz pode ser definida usando equações envolvendo 2 variáveis, e as regras serão paralelas ao eixo da terceira variável.

No exemplo anterior à definição, a curva (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) no plano (x ) - (y ) é a diretriz e as réguas são linhas paralelas ao (z )-eixo. (Qualquer círculo mostrado na Figura 11.1.12 pode ser considerado uma diretriz - simplesmente escolhemos aquele em que (z = 0 text <.> )) Os exemplos de regras também podem ser vistos na Figura 11.1.12. (B). Mais exemplos nos ajudarão a entender essa definição.

Exemplo 11.1.14. Cilindros gráficos.

Represente graficamente os seguintes cilindros.

Podemos ver a equação (z = y ^ 2 ) como uma parábola no plano (y ) - (z ), conforme ilustrado na Figura 11.1.15. (A). Como (x ) não aparece na equação, as regras são linhas através desta parábola paralelas ao eixo (x ), mostrado na Figura 11.1.15. (B). Essas regras dão uma idéia geral de como a superfície se parece, desenhada na Figura 11.1.15. (C).

Podemos ver a equação (x = sin (z) ) como uma curva seno que existe no plano (x ) - (z ), conforme mostrado na Figura 11.1.16. (A). As regras são paralelas ao eixo (y ), pois a variável (y ) não aparece na equação (x = sin (z) text <> ) algumas delas são mostradas na Figura 11.1. 16. (b). A superfície é mostrada na Figura 11.1.16. (C).

Subseção 11.1.5 Superfícies de revolução

Uma das aplicações de integração que aprendemos anteriormente foi encontrar o volume de sólidos de revolução - sólidos formados girando uma curva em torno de um eixo horizontal ou vertical. Agora consideramos como encontrar a equação da superfície de tal sólido.

Considere a superfície formada por rotação (y = sqrt) sobre o eixo (x ). As seções transversais desta superfície paralelas ao plano (y ) - (z ) são círculos, como mostrado na Figura 11.1.17. (A). Cada círculo tem a equação da forma (y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2 ) para algum raio (r text <.> ) O raio é uma função de (x text <> ) na verdade, é (r (x) = sqrt text <.> ) Assim, a equação da superfície mostrada na Figura 11.1.17. (b) é (y ^ 2 + z ^ 2 = ( sqrt) ^ 2 text <.> )

Generalizamos os princípios acima para fornecer as equações de superfícies formadas por curvas giratórias em torno dos eixos de coordenadas.

Ideia-chave 11.1.18. Superfícies de revolução, parte 1.

Seja (r ) uma função de raio.

A equação da superfície formada por rotação (y = r (x) ) ou (z = r (x) ) sobre o eixo (x ) - é (y ^ 2 + z ^ 2 = r (x) ^ 2 text <.> )

A equação da superfície formada pela rotação (x = r (y) ) ou (z = r (y) ) sobre o eixo (y ) - é (x ^ 2 + z ^ 2 = r (y) ^ 2 text <.> )

A equação da superfície formada pela rotação (x = r (z) ) ou (y = r (z) ) sobre o eixo (z ) - é (x ^ 2 + y ^ 2 = r (z) ^ 2 text <.> )

Exemplo 11.1.19. Encontrar a equação de uma superfície de revolução.

Seja (y = sin (z) ) on ([0, pi] text <.> ) Encontre a equação da superfície de revolução formada por rotação (y = sin (z) ) sobre o eixo (z ).

Usando a ideia-chave 11.1.18, descobrimos que a superfície tem a equação (x ^ 2 + y ^ 2 = sin ^ 2 (z) text <.> ) A curva é esboçada na Figura 11.1.20. (A) e a superfície é desenhada na Figura 11.1.20. (b).

Observe como a superfície (e, portanto, a equação resultante) é a mesma se começarmos com a curva (x = sin (z) text <,> ) que também é desenhada na Figura 11.1.20. (A).

Este método específico de criação de superfícies de revolução é limitado. Por exemplo, no Exemplo 7.3.11 da Seção 7.3 encontramos o volume do sólido formado pela rotação (y = sin (x) ) em torno do eixo (y ). Nosso método atual de formação de superfícies só pode girar (y = sin (x) ) em torno do eixo (x ). Tentar reescrever (y = sin (x) ) como uma função de (y ) não é trivial, pois simplesmente escrever (x = sin ^ <-1> (y) ) só dá parte de a região que desejamos.

O que desejamos é uma forma de escrever a superfície de revolução formada girando (y = f (x) ) em torno do eixo (y ). Começamos reconhecendo que essa superfície é o mesmo que girar (z = f (x) ) em torno do eixo (z ). Isso nos dará uma maneira mais natural de ver a superfície.

Um valor de (x ) é uma medida da distância do eixo (z ). À distância (r text <,> ), plotamos a (z ) - altura de (f (r) text <.> ) Ao girar (f (x) ) sobre o (z ) - eixo, queremos que todos os pontos a uma distância de (r ) do eixo (z ) - no plano (x ) - (y ) tenham um (z ) -altura de (f (r) text <.> ) Todos esses pontos satisfazem a equação (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 text <> ), portanto (r = sqrt text <.> ) Substituindo (r ) por ( sqrt) em (f (r) ) dá (z = f ( sqrt) text <.> ) Esta é a equação da superfície.

Ideia-chave 11.1.21. Superfícies da Revolução, Parte 2.

Seja (z = f (x) text <,> ) (x geq 0 text <,> ) uma curva no plano (x ) - (z ). A superfície formada pela rotação desta curva em torno do eixo (z ) tem a equação (z = f big ( sqrt big) text <.> )

Exemplo 11.1.22. Encontrar a equação da superfície de revolução.

Encontre a equação da superfície encontrada girando (z = sin (x) ) em torno do eixo (z ).

Usando a ideia-chave 11.1.21, a superfície tem a equação (z = sin big ( sqrt big) text <.> ) A curva e a superfície são representadas graficamente na Figura 11.1.23.


APEX Calculus

Até este ponto neste texto, consideramos a matemática em um mundo bidimensional. Traçamos gráficos no plano (xy ) - usando coordenadas retangulares e polares e encontramos a área das regiões no plano. Nós consideramos propriedades de sólido objetos, como volume e área de superfície, mas apenas definindo primeiro uma curva no plano e, em seguida, girando-a para fora do plano.

Embora haja matemática maravilhosa para explorar em “2D”, vivemos em um mundo “3D” e, eventualmente, desejaremos aplicar a matemática que envolve esta terceira dimensão. Nesta seção, apresentamos as coordenadas cartesianas no espaço e exploramos as superfícies básicas. Isso estabelecerá uma base para muito do que faremos no restante do texto.

Cada ponto (P ) no espaço pode ser representado por um triplo ordenado, (P = (a, b, c) text <,> ) onde (a text <,> ) (b ) e (c ) representam a posição relativa de (P ) ao longo dos eixos (x ) -, (y ) - e (z ) -, respectivamente. Cada eixo é perpendicular aos outros dois.

Visualizar pontos no espaço no papel pode ser problemático, pois estamos tentando representar um conceito tridimensional em um meio bidimensional. Não podemos desenhar três linhas representando os três eixos em que cada linha é perpendicular às outras duas. Apesar desse problema, existem convenções padrão para plotar formas no espaço que discutiremos e que são mais do que adequadas.

Uma convenção é que os eixos devem estar em conformidade com o regra da mão direita. Esta regra estabelece que quando o dedo indicador da mão direita é estendido na direção do eixo positivo (x ), e o dedo médio (dobrado "para dentro" de forma perpendicular à palma) aponta ao longo do eixo positivo (y ) - eixo, então o polegar estendido apontará na direção do eixo positivo (z ). (Pode levar algum tempo para verificar isso, mas este sistema é inerentemente diferente daquele criado usando a "regra da mão esquerda".)

Desde que os eixos de coordenadas sejam posicionados de forma que sigam esta regra, não importa como os eixos são desenhados no papel. Existem dois métodos populares que discutiremos brevemente.

Na Figura 12.1.1 vemos o ponto (P = (2,1,3) ) plotado em um conjunto de eixos. A convenção básica aqui é que o plano (xy ) - é desenhado em sua maneira padrão, com o eixo (z ) - para baixo à esquerda. A perspectiva é que o papel representa o plano (xy ) e o eixo positivo (z ) está surgindo, fora da página. Este método é preferido por muitos engenheiros. Como pode ser difícil dizer onde um único ponto se encontra em relação a todos os eixos, linhas tracejadas foram adicionadas para permitir que se veja a que distância ao longo de cada eixo o ponto se encontra.

Também se pode considerar o plano (xy ) como sendo um plano horizontal em, digamos, uma sala, onde o eixo (z ) positivo está apontando para cima. Quando alguém dá um passo para trás e olha para esta sala, pode desenhar os eixos como mostrado na Figura 12.1.2. O mesmo ponto (P ) é desenhado, novamente com linhas tracejadas. Esse ponto de vista é preferido pela maioria dos matemáticos e é a convenção adotada por este texto.

Assim como os eixos (x ) - e (y ) - dividem o plano em quatro quadrantes, os planos de coordenadas (x ) -, (y ) - e (z ) - dividem o espaço em oito octantes. O octante em que (x text <,> ) (y text <,> ) e (z ) são positivos é chamado de primeiro octante. Não citamos os outros sete octantes neste texto.

Subseção 12.1.1 Medindo Distâncias

É de fundamental importância saber como medir distâncias entre pontos no espaço. A fórmula para fazer isso é baseada na medição da distância no plano e é conhecida (em ambos os contextos) como a medida euclidiana da distância.

Definição 12.1.3. Distância no espaço.

Sejam (P = (x_1, y_1, z_1) ) e (Q = (x_2, y_2, z_2) ) pontos no espaço. A distância (D ) entre (P ) e (Q ) é

Nos referimos ao segmento de linha que conecta os pontos (P ) e (Q ) no espaço como ( overline text <,> ) e referem-se ao comprimento deste segmento como ( norm < overline> text <.> ) A fórmula de distância acima nos permite calcular o comprimento deste segmento.

Exemplo 12.1.4. Comprimento de um segmento de linha.

Deixe (P = (1,4, -1) ) e deixe (Q = (2,1,1) text <.> ) Desenhe o segmento de linha ( overline) e encontre seu comprimento.

Os pontos (P ) e (Q ) são plotados na Figura 12.1.5 nenhuma consideração especial precisa ser feita para desenhar o segmento de linha conectando esses dois pontos simplesmente conecte-os com uma linha reta. Um não pode realmente medir esta linha na página e deduzir qualquer coisa significativa, seu verdadeiro comprimento deve ser medido analiticamente. Aplicando a Definição 12.1.3, temos

Subseção 12.1.2 Esferas

Assim como um círculo é o conjunto de todos os pontos no avião equidistante de um determinado ponto (seu centro), uma esfera é o conjunto de todos os pontos em espaço que são equidistantes de um determinado ponto.A definição 12.1.3 nos permite escrever uma equação da esfera.

Começamos com um ponto (C = (a, b, c) ) que deve ser o centro de uma esfera com raio (r text <.> ) Se um ponto (P = (x, y , z) ) encontra-se na esfera, então (P ) é (r ) unidades de (C text <> ) ou seja,

Quadrando ambos os lados, obtemos a equação padrão de uma esfera no espaço com centro em (C = (a, b, c) ) com raio (r text <,> ) como fornecido na seguinte ideia-chave.

Ideia-chave 12.1.6. Equação padrão de uma esfera no espaço.

A equação padrão da esfera com raio (r text <,> ) centrado em (C = (a, b, c) text <,> ) é

Exemplo 12.1.7. Equação de uma esfera.

Encontre o centro e o raio da esfera definida por (x ^ 2 + 2x + y ^ 2-4y + z ^ 2-6z = 2 text <.> )

Para determinar o centro e o raio, devemos colocar a equação na forma padrão. Isso exige que completemos o quadrado (três vezes).

A esfera está centrada em ((- 1,2,3) ) e tem um raio de 4.

A equação de uma esfera é um exemplo de uma função implícita que define uma superfície no espaço. No caso de uma esfera, as variáveis ​​ (x text <,> ) (y ) e (z ) são usadas. Agora consideramos as situações em que as superfícies são definidas onde uma ou duas dessas variáveis ​​estão ausentes.

Subseção 12.1.3 Introdução aos aviões no espaço

Os eixos de coordenadas definem naturalmente três planos (mostrado na Figura 12.1.8), o coordenar aviões: o plano (xy ), o plano (yz ) e o plano (xz ). O plano (xy ) - é caracterizado como o conjunto de todos os pontos no espaço onde o valor (z ) - é 0. Isso, de fato, nos dá uma equação que descreve este plano: (z = 0 text <.> ) Da mesma forma, o plano (xz ) são todos os pontos onde o valor (y ) é 0, caracterizado por (y = 0 text <.> )

A equação (x = 2 ) descreve todos os pontos no espaço onde o valor de (x ) é 2. Este é um plano, paralelo ao plano de coordenadas (yz ), mostrado na Figura 12.1.9.

Exemplo 12.1.10. Regiões definidas por planos.

Esboce a região definida pelas inequações (- 1 leq y leq 2 text <.> )

A região são todos os pontos entre os planos (y = -1 ) e (y = 2 text <.> ) Esses planos são esboçados na Figura 12.1.11, que são paralelos ao (xz ) - avião. Assim, a região se estende infinitamente nas direções (x ) e (z ), e é limitada por planos na direção (y ).

Subseção 12.1.4 Cilindros

A equação (x = 1 ) obviamente não possui as variáveis ​​ (y ) e (z ), o que significa que ela define pontos onde as coordenadas (y ) e (z ) podem assumir qualquer valor. Agora considere a equação (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) no espaço. Em o avião, esta equação descreve um círculo de raio 1, centrado na origem. No espaço, a coordenada (z ) não é especificada, o que significa que pode assumir qualquer valor. Na Figura 12.1.12. (A), mostramos parte do gráfico da equação (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) esboçando 3 círculos: o inferior tem uma constante (z ) - valor de (- 1,5 text <,> ) o do meio tem um valor (z ) de 0 e o círculo superior tem um valor (z ) de 1. Por plotagem tudo possíveis (z ) - valores, obtemos a superfície mostrada na Figura 12.1.12. (b). Esta superfície se parece com um "tubo" ou um "cilindro" que os matemáticos chamam de superfície cilindro por um motivo totalmente diferente.

Definição 12.1.13. Cilindro.

Seja (C ) uma curva em um plano e seja (L ) uma linha não paralela a (C text <.> ) A é o conjunto de todas as linhas paralelas a (L ) que passar por (C text <.> ) A curva (C ) é o do cilindro e as linhas são o.

Neste texto, consideramos curvas (C ) que se encontram em planos paralelos a um dos planos coordenados, e retas (L ) que são perpendiculares a esses planos, formando cilindros direitos. Assim, a diretriz pode ser definida usando equações envolvendo 2 variáveis, e as regras serão paralelas ao eixo da terceira variável.

No exemplo anterior à definição, a curva (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) no plano (xy ) é a diretriz e as regras são linhas paralelas ao eixo (z ). (Qualquer círculo mostrado na Figura 12.1.12 pode ser considerado uma diretriz - simplesmente escolhemos aquele em que (z = 0 text <.> )) Os exemplos de regras também podem ser vistos na Figura 12.1.12. (B). Mais exemplos nos ajudarão a entender essa definição.

Exemplo 12.1.14. Cilindros gráficos.

Represente graficamente os seguintes cilindros.

Podemos ver a equação (z = y ^ 2 ) como uma parábola no plano (yz ), conforme ilustrado na Figura 12.1.15. (A). Como (x ) não aparece na equação, as réguas são retas através desta parábola paralelas ao eixo (x ), mostrado na Figura 12.1.15. (B). Essas regras dão uma idéia geral de como a superfície se parece, desenhada na Figura 12.1.15. (C).

Podemos ver a equação (x = sin (z) ) como uma curva seno que existe no plano (xz ), conforme mostrado na Figura 12.1.16. (A). As regras são paralelas ao eixo (y ), pois a variável (y ) não aparece na equação (x = sin (z) text <> ) algumas delas são mostradas na Figura 12.1. 16. (b). A superfície é mostrada na Figura 12.1.16. (C).

Subseção 12.1.5 Superfícies de revolução

Uma das aplicações de integração que aprendemos anteriormente foi encontrar o volume de sólidos de revolução - sólidos formados girando uma curva em torno de um eixo horizontal ou vertical. Agora consideramos como encontrar a equação da superfície de tal sólido.

Considere a superfície formada por rotação (y = sqrt) sobre o eixo (x ). As seções transversais dessa superfície paralelas ao plano (yz ) - são círculos, como mostrado na Figura 12.1.17. (A). Cada círculo tem a equação da forma (y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2 ) para algum raio (r text <.> ) O raio é uma função de (x text <> ) na verdade, é (r (x) = sqrt text <.> ) Assim, a equação da superfície mostrada na Figura 12.1.17. (b) é (y ^ 2 + z ^ 2 = ( sqrt) ^ 2 text <.> )

Generalizamos os princípios acima para fornecer as equações de superfícies formadas por curvas giratórias em torno dos eixos de coordenadas.

Ideia-chave 12.1.18. Superfícies de revolução, parte 1.

Seja (r ) uma função de raio.

A equação da superfície formada por rotação (y = r (x) ) ou (z = r (x) ) sobre o eixo (x ) - é (y ^ 2 + z ^ 2 = r (x) ^ 2 text <.> )

A equação da superfície formada pela rotação (x = r (y) ) ou (z = r (y) ) sobre o eixo (y ) - é (x ^ 2 + z ^ 2 = r (y) ^ 2 text <.> )

A equação da superfície formada pela rotação (x = r (z) ) ou (y = r (z) ) sobre o eixo (z ) - é (x ^ 2 + y ^ 2 = r (z) ^ 2 text <.> )

Exemplo 12.1.19. Encontrar a equação de uma superfície de revolução.

Seja (y = sin (z) ) on ([0, pi] text <.> ) Encontre a equação da superfície de revolução formada por rotação (y = sin (z) ) sobre o eixo (z ).

Usando a ideia-chave 12.1.18, descobrimos que a superfície tem a equação (x ^ 2 + y ^ 2 = sin ^ 2 (z) text <.> ) A curva é esboçada na Figura 12.1.20. (A) e a superfície é desenhada na Figura 12.1.20. (b).

Observe como a superfície (e, portanto, a equação resultante) é a mesma se começarmos com a curva (x = sin (z) text <,> ) que também é desenhada na Figura 12.1.20. (A).

Este método específico de criação de superfícies de revolução é limitado. Por exemplo, no Exemplo 7.3.11 da Seção 7.3 encontramos o volume do sólido formado pela rotação (y = sin (x) ) em torno do eixo (y ). Nosso método atual de formação de superfícies só pode girar (y = sin (x) ) em torno do eixo (x ). Tentar reescrever (y = sin (x) ) como uma função de (y ) não é trivial, pois simplesmente escrever (x = sin ^ <-1> (y) ) só dá parte de a região que desejamos.

O que desejamos é uma forma de escrever a superfície de revolução formada girando (y = f (x) ) em torno do eixo (y ). Começamos reconhecendo que essa superfície é o mesmo que girar (z = f (x) ) em torno do eixo (z ). Isso nos dará uma maneira mais natural de ver a superfície.

Um valor de (x ) é uma medida da distância do eixo (z ). À distância (r text <,> ), plotamos a (z ) - altura de (f (r) text <.> ) Ao girar (f (x) ) sobre o (z ) - eixo, queremos que todos os pontos a uma distância de (r ) do eixo (z ) - no plano (xy ) tenham uma (z ) - altura de ( f (r) text <.> ) Todos esses pontos satisfazem a equação (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 text <> ), portanto (r = sqrt text <.> ) Substituindo (r ) por ( sqrt) em (f (r) ) dá (z = f ( sqrt) text <.> ) Esta é a equação da superfície.

Ideia-chave 12.1.21. Superfícies da Revolução, Parte 2.

Seja (z = f (x) text <,> ) (x geq 0 text <,> ) uma curva no plano (xz ). A superfície formada pela rotação desta curva em torno do eixo (z ) tem a equação (z = f big ( sqrt big) text <.> )

Exemplo 12.1.22. Encontrar a equação da superfície de revolução.

Encontre a equação da superfície encontrada girando (z = sin (x) ) em torno do eixo (z ).

Usando a ideia-chave 12.1.21, a superfície tem a equação (z = sin big ( sqrt big) text <.> ) A curva e a superfície são representadas graficamente na Figura 12.1.23.


Cálculo III

Horário comercial:Sala 203 D do Olds Upton:
Seg-sex 2-3, embora eu esteja por aí a tarde toda.
Outras vezes, por nomeação ou sorte.

Planilhas Maple: Créditos a Mike May (St. Louis Univ.) E John Fink (K College) por criar algumas dessas folhas. Baixe o arquivo e abra em um computador que tenha o Maple. Pelo que eu sei, todos os computadores da escola têm o programa, mas estou aberto a surpresas.

Para abri-los: 1. Clique no link (ele abrirá um documento do Google que se parecerá com algo sem sentido). 2. Baixe o arquivo para um computador que tenha o Maple. 4. Abra! (Maple deve carregar automaticamente).

Plotando com Maple Introdução aos gráficos no Maple e na Seção 9.6

Quadric Surfaces 6 de abril e material de aula 8 de abril (Seção 9.6)

Sugestão útil: ao trabalhar em um problema (especialmente nos aquecimentos), pense em quais habilidades ele ajuda a desenvolver e como isso o ajuda a fazer ou ver que você não podia fazer ou ver antes. É melhor para o seu aprendizado se você puder resolver todos os problemas práticos de uma determinada tarefa.

Atribuições: Se esta versão parece estar desatualizada, tente recarregar e me envie um e-mail se ainda estiver desatualizada. Além disso, parte da codificação matemática será feita em TeX onde for conveniente ou por meio do MathJax. Por exemplo, se você ver " int_a ^ b", isso seria a integral de a para b.

Seção 13.3: 19, 21, 23, 25 *, 31, 33 *, 35 *
Seção 13.4: 7 *, 9, 11, 13 *, 21 *

Antes de chegar ao Teorema de Green, vimos a segunda parte do Teorema Fundamental das integrais de caminho:

Teorema
Se F é um campo vetorial independente de caminho contínuo em um conjunto conectado aberto, então existe uma função f de forma que $ nabla f = < bf F>. $
Um dos outros grandes resultados que vimos é que se F= & lang P, Q & tocou com um domínio que é Simplesmente Conectado, então F é o caminho independente se Py = Qx.

Este último resultado é na verdade uma consequência do Teorema de Green.

Teorema de Green:
Se D é um conjunto simplesmente conectado e C é seu limite orientado no sentido anti-horário, então $ int_C langle P, Q rangle cdot d < bf r> = iint_D (Q_x-P_y) dA $ desde que as derivadas parciais sejam contínuas.

Escrevendo dr como & langdx, dy & rang, podemos reescrever isso como $ int_C P dx + Q dy = iint_D (Q_x-P_y) dA $
Quando cada teorema é útil:
Alguém pode estar se perguntando quando aplicar o Teorema Fundamental dos Integrais de Caminho em oposição ao Teorema de Green (ou vice-versa). A coisa mais importante a se observar é se F é conservador. Se for, vá em frente e aplique o Fundo. Thm para Path Integrals. Caso contrário, use o teorema de Green.

Seção 13.2: 17 *, 19, 21 *, 39 *, 41, 43
Seção 13.3: 1 *, 3, 5 *, 7, 9, 11 *

Para uma integral de um campo vetorial, começamos com uma parametrização suave, r(t), para uma curva, C, então $ int_C < bf F> cdot d < bf r> = int_a ^ b < bf F> (x (t), y (t)) cdot < bf r> '(t) dt $ Podemos pensar nesta integral como uma representação do trabalho feito pelo campo vetorial em um objeto conforme ele se move ao longo da curva C de uma ponta a outra.

Teorema Fundamental de Integrais de Caminho Se a curva C começa em r(uma) e termina em r(b) então $ int_C < nabla> f cdot d < bf r> = f (< bf r> (b)) - f (< bf r> (a)) $
Observe que isso só funciona para campos de gradiente e não em geral.

Seção 13.1: 1 *, 5 *, 9,
11-14 Matching, 25, 33 *
Seção 13.2: 1, 5 *, 9 *, 13, 33 *, 35

Um campo de vetor pode ser considerado uma função $ < bf F>: mathbb^ n rightarrow mathbb^ n $ Para esboçar esses campos vetoriais, tomamos um ponto (uma, b) e desenhe o vetor F(uma, b).

Temos muitos tipos comuns de campos de vetor:

1. Campos de força: Gravidade, elétrica, etc.

2. Campos de velocidade: F(x, y) = & lang-y, x& tocou, o que vimos na aula.

3. Campos de Gradiente: & nablaf(x, y) = & lang fx , fy &tocou

Lembrar: Seguindo em frente, os termos Campos de Gradiente e Conservative Vector Fields são usados ​​indistintamente.

Integrais de caminho (a.k.a. Integrais de linha, a.k.a. Integrais de curva, a.k.a. Integrais curvilíneos)
Mais comumente, eles são chamados de Integrais de Linha, mas sempre gostei do termo Integrais de Caminho (embora "curvilíneo" também pareça muito legal).

Definição:
Dada uma parametrização $ < bf r> (t) = langle x (t), y (t) rangle, a leq t leq b, $ para uma curva C, nós chamamos isso de parametrização suave E se r'nunca é o vetor zero e é sempre contínuo. Isso evita que a parametrização gire e cubra certas partes de nossa curva várias vezes.

Temos, então, muitas maneiras diferentes de calcular uma integral de caminho: $ int_C f (x, y) ds = int_a ^ bf (x (t), y (t)) | < bf r> '(t) | dt $ $ int_C f (x, y) dx = int_a ^ bf (x (t), y (t)) x '(t) dt $ $ int_C f (x, y) dy = int_a ^ bf (x (t), y (t)) y '(t) dt $ Se tivermos uma curva em R 3, cálculos semelhantes são válidos.

Missa e Centro de Missa
Uma aplicação dessas integrais de curva em relação ao comprimento de arco são nossos velhos amigos, massa e centro de massa. Eles são calculados da mesma forma que os calculamos no início do trimestre (consulte o Exemplo 3 na página 915 para as fórmulas explícitas).

Orientação
Dada uma curva C temos uma orientação (direção) colocada devido à parametrização. Podemos reverter essa orientação para terminar com uma nova curva que chamaremos -C.

A integração com respeito ao comprimento de arco não se preocupa com esta orientação: $ int_C f (x, y) ds = int_ <-C> f (x, y) ds $ mas com respeito a x e y, as coisas mudam: $ int_C f (x, y) dx = int_ <-C> f (x, y) dx $ $ int_C f (x, y) dy = int_ <-C> f (x, y) dy $ Na sexta-feira, falaremos mais sobre essas duas últimas integrais, pois elas nos ajudam a integrar campos vetoriais em uma curva e podemos encontrar o trabalho feito por um campo de força.

Seção 12.7: 5, 15, 17 *, 19, 21 *, 35, 29 *, 51 *, 53
Seção 12.8: 13, 25, 31 *, 37, 41

Integrais triplos são calculados da mesma maneira que integrais duplos, calculando um conjunto de integrais iterados.

Existem várias aplicações. Já conversamos sobre missa e centro de massa em sala de aula. Também podemos calcular o volume de um sólido $ V (S) = iiint_S dV, $ valor médio de uma função $ f_= frac < iiint_S f (x, y, z) dxdydz>, $ e até mesmo funcionam (consulte o número 41 na seção 12.8).

Coordenadas Cilíndricas
Integrando em coordenadas cilíndricas, usamos a transformação $ (x, y, z) = T_C (r, theta, z) = (r cos theta, r sin theta, z) $ e podemos mostrar que: $ iiint f (x, y, z) dxdydz = iiint f (T_C (r, theta, z)) r drd theta dz. $
Coordenadas Esféricas
Da mesma forma, se TS representa a mudança de variáveis ​​para coordenadas esféricas, então vimos na aula que $ iiint f (x, y, z) dxdydz $ $ = iiint f (T_C (r, theta, z)) rho ^ 2 sin ( phi) d rho d phi d theta. $

Seção 12.9: 7 *, 9, 11 *, 13, 17 *, 19 *, 25, 27 *

Generalizando o processo que tomamos para mudar para coordenadas polares, usamos a fórmula da área de superfície pensando que se x = x(você, v) e y = y(você, v), então parametrizamos uma área no xy-plano por $ f (u, v) = langle x (u, v), y (u, v), 0 rangle. $ Conectando isso à área de superfície, vemos $ dA = | f_u times f_v | dudv. $ Em aula, simplificamos esta fórmula para mostrar que $ dA = | det (JT) | dudv $ onde T (u, v) = (x(você, v), y(você, v)) e podemos pensar em JT como a matriz $ JT = left [ begin[cc] xx_u & y_u x_v & y_v end right]. $ Esta matriz acima é chamada de Matriz Jacobiana para T. Em muitas fontes, a transposição desta matriz: $ left [ begin[cc] xx_u & x_v y_u & y_v end right] $ é referido como a matriz Jacobiana. Uma vez que nos preocupamos apenas com o determinante (e os determinantes dessas duas matrizes são os mesmos), podemos trocá-los conforme necessário.

No livro, o determinante da matriz Jacobiana é referido simplesmente como O Jacobiano de T.

Isso nos leva à seguinte equação para mudança de variáveis: $ iint_ f (x, y) dA = iint_R f (x (u, v), y (u, v)) dudv. $ Aqui, eu escrevo R porque a ideia é obter um domínio "bom" no uv-avião começando com algo não tão bom xy-avião.

Os exemplos que fizemos em aula e o Exemplo 2 do livro são casos em que trocamos as variáveis ​​para integrar uma região mais agradável. No Exemplo 3 do livro, vemos um exemplo em que aplicamos uma mudança de variáveis ​​para tornar a função que estamos integrando muito mais agradável.

Na quarta-feira, começaremos a falar sobre integrais triplos e podemos generalizar essa mudança de variáveis ​​para transferir facilmente de coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas e esféricas!

13 de maio:

Dê uma olhada nas questões do exame simulado. Esteja preparado para fazer perguntas sobre coisas que você não entende.

Seção 12.5: 3, 7 *, 11, 13 *, 15
Seção 12.6: 1 *, 5, 9 *, 23 *, 25 *, 27

Massa
Dada uma função de densidade para um domínio D, podemos encontrar a massa: $ M = iint_D rho (x, y) dA. $

Centro de massa
Para encontrar o centro de massa, calculamos os momentos sobre o x-eixo e o y-eixo: $ M_x = iint_D y rho (x, y) dA, $ $ M_y = iint_D x rho (x, y) dA $ Então o centro de massa é dado pelas coordenadas $ overline x = fracM, overline y = frac$
Superfície
Dada a parametrização de uma superfície, r(s, t), a área desta superfície pode ser encontrada por $ A = iint_D | < bf r> _s times < bf r> _t | dsdt. $ Agora seria um bom momento para revisar a Seção 10.5 (Superfícies paramétricas) enquanto trabalhava nesses problemas.

Seção 12.3: 17 *, 21, 27, 37 *, 49 *, 51
Seção 12.4: 7 *, 11, 15, 19 *, 23, 27 *, 29, 31

Freqüentemente, é um pouco mais fácil integrar uma função usando coordenadas polares em vez de coordenadas retangulares. Na aula de hoje, vimos que $ mathrmA = mathrmx mathrmy = r mathrmr mathrm theta $ Então escrevemos nossa integral em termos de coordenadas polares usando as substituições $ x = r cos ( theta) y = r sin ( theta) r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 $ a nosso favor. Então $ iint_D f (x, y) dA = iint_D f (r cos ( theta), r sin ( theta)) r drd theta $

Seção 12.1: 1, 5 *, 11 *, 13
Seção 12.2: 3, 9 *, 15, 21, 27 *, 35 *
Seção 12.3: 1, 3 *, 5, 7, 9 *,

Dado um retângulo, $ R = [a, b] times [c, d] = <(x, y) | a leq x leq b, c leq y leq d >, $ Teorema de Fubini nos diz que se f é integrável, então $ iint_R f (x, y) dA = int_a ^ b int_c ^ df (x, y) dy dx $ $ = int_c ^ d int_a ^ bf (x, y) dx dy. $ Se nossa função for sempre positiva, este valor representa o volume total abaixo de nossa função e acima do xy - avião.

Valor médio
O valor médio de uma função no Calc 2 foi calculado $ f_= frac <1> int_a ^ b f (x) dx. $ Sobre um retângulo, será $ f_= frac <1> < mathrm(R)> iint_R f (x, y) dA $
Integrais sobre outros domínios
No final da aula, falamos sobre o que pode acontecer se nossa região não for um retângulo. Se $ D = <(x, y) | a leq x leq b, g_1 (x) leq y leq g_2 (x) > $ então, olhando para um exemplo, descobrimos que poderia calcular a integral $ iint_D f (x, y) dA = int_a ^ b int_^ f (x, y) dy dx $ Da mesma forma, se nosso domínio é $ D = <(x, y) | h_1 (y) leq x leq h_2 (y), c leq y leq d > $ então $ iint_D f (x, y) dA = int_c ^ d int_^ f (x, y) dx dy. $ Eu o encorajo a tentar resolver todos os problemas práticos atribuídos na Seção 12.3. Falaremos mais sobre esta seção na sexta-feira, mas é importante ter um conhecimento sólido sobre como calcular essas integrais integradas antes de falarmos sobre a troca de limites de integração.

Seção 11,8: 1 *, 3, 9 *, 13 *, 17 *, 21 *, 41 *, 45

Hoje falamos sobre o método dos multiplicadores de Lagrange, ambos ao lidar com uma restrição (por exemplo, g(x, y) = c) e com duas restrições (por exemplo, g(x, y, z) = c1 e h(x, y, z) = c2).

Uma restrição
A grande ideia conceitual por trás do Método dos Multiplicadores de Lagrange é que, com uma ou duas restrições, as curvas de nível de uma função são tangentes aos gráficos de nossas restrições (veja os exemplos da aula ou Figura 1 na página 813).

Isso nos diz que os vetores de gradiente seriam paralelos entre si. Em outras palavras, $ nabla f = lambda nabla g $ para alguma constante real & lambda. Isso resulta em duas equações com três incógnitas (ou três equações com quatro incógnitas se o f é uma função de três variáveis). Combinando essas equações com a restrição, g(x, y) = c, nos dá informações suficientes para encontrar as localizações dos extremos possíveis.

Embargo: Um problema que pode surgir é que nossos vetores de gradiente podem ser paralelos sem satisfazer a equação acima. Veja o problema de aquecimento número 21 e tente descobrir isso (falaremos sobre isso na quarta-feira).

Duas Restrições
Com duas restrições, g(x, y, z) = c1 e h(x, y, z) = c2, estamos olhando para a interseção de duas superfícies (ou seja, uma curva).

O plano ortogonal a esta curva de interseção contém os vetores & nablaf, & nablag, e & nablah. Se esses vetores forem diferentes de zero, podemos dizer $ nabla f = lambda nabla g + mu nabla h. $ Veja a Figura 5 na página 817 para uma figura geométrica.

A equação acima nos dá três equações para resolver, olhando para elas em componentes, com cinco variáveis ​​no total. Para resolver todos os cinco, podemos precisar usar nossas restrições, g(x, y, z) = c1 e h(x, y, z) = c2, para resolver completamente nosso sistema de equações.

Duas notas
1. Pode ser mais fácil parametrizar a curva de interseção em vez de usar Multiplicadores de Lagrange. Portanto, se você acha que pode encontrar uma parametrização facilmente para reduzir o problema a um problema unidimensional, sinta-se à vontade para fazê-lo.

2. Elimine variáveis ​​quando possível. Se sua restrição permite que você resolva uma das variáveis, você pode substituí-la na função f e agora você transformou um problema de três variáveis ​​em um de duas variáveis, ou melhor ainda, um problema de duas variáveis ​​em um problema Calc 1!

Na quarta-feira, descobrimos que extremos locais ocorrem nos pontos críticos. Para descobrir se esses pontos são máximos ou mínimos locais, analisamos a segunda derivada, ou seja, a matriz de Hessian.

Positivo definitivo
O Matrix UMA é definido positivo se todos os determinantes das submatrizes forem positivos.

Definido negativo
O Matrix UMA é negativo definido se os determinantes das submatrizes alternam negativo para positivo para negativo.

Indeterminado
Vamos chamar a matriz UMA indefinido se o determinante de UMA é diferente de zero, mas não é definido positivo nem negativo.

Degenerar
Vamos chamar a matriz UMA degenerar se o determinante de UMA é zero.

Teste de Segunda Derivada
Suponha (uma, b, c) é um ponto crítico para a função f.
1: Se Hf (uma, b, c) é definido positivo, então f (uma, b, c) é um mínimo local.
2: Se Hf (uma, b, c) é definido negativo, então f (uma, b, c) é um máximo local.
3: Se Hf (uma, b, c) é indefinido, então f (uma, b, c) é um ponto de sela.
4: Se Hf (uma, b, c) é degenerado, então este teste é inconclusivo e devemos adotar uma abordagem diferente.

Teorema de valor extremo
Se uma função é contínua em um conjunto fechado e limitado (o conjunto contém seu limite e não se afasta infinitamente da origem), então a função atinge seu máximo absoluto e mínimo absoluto.

Processo para encontrar os valores extremos de f:
1. Encontre os pontos críticos de f dentro do nosso conjunto.
2. Encontre os pontos críticos na fronteira (veja a nota abaixo).
3. Avalie a função nos pontos críticos encontrados nas etapas 1 e 2. O maior é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto.

Observações na etapa 2:
Isso pode ser bastante complicado dependendo do limite.

Se nosso limite for unidimensional (por exemplo, um círculo ou linha), vamos parametrizar nosso limite r(t) e encontre o máximo / mínimo de f (r(t)). Isso se torna um problema que podemos resolver usando os métodos do Cálculo 1 (consulte a Seção 4.2 para revisão).

Se nosso limite for uma superfície (por exemplo, limite de uma esfera ou cubo), vamos parametrizar a superfície r(s, t) e encontre o máximo / mínimo de f (r(s, t)). Isso requer começar na etapa 1 novamente e encontrar o limite desse limite.

Em aula, discutimos como a derivada direcional é maximizada quando o vetor de direção é tomado como $ < bf u> = frac < nabla f> <| nabla f |> $ e o máximo seria | & nablaf|.

Otimização
Nos próximos dias, falaremos sobre como encontrar máximos e mínimos locais, bem como máximos e mínimos absolutos.

Em Cálculo I, nossa abordagem era encontrar pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para verificar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.

Neste curso, faremos algo muito semelhante. Primeiro, vamos dar uma olhada nos pontos críticos.

Definição: UMA ponto crítico de uma função f é qualquer ponto onde $ nabla f = < bf 0>. $

Se estivéssemos tentando encontrar todos os extremos locais, usaríamos o teste da segunda derivada para ver se esses pontos críticos são máximos locais ou mínimos locais. Falaremos mais sobre isso na sexta-feira, mas por enquanto precisamos ter uma ideia de qual é a segunda derivada.

Definição: Para uma função f(x, y), a Matriz hessiana para f é $ Hf = left [ beginf_& f_ f_& f_ fim right] $ Para uma função g(x, y, z), a matriz Hessiana seria $ Hg = left [ beging_& g_& g_ g_& g_& g_ g_& g_& g_ fim right] $
Conforme o número de variáveis ​​aumenta, a matriz Hessiana ficará cada vez maior.

Boas notícias: Normalmente temos isso fxy = fyx, então lembrando se fxy vai na primeira ou segunda linha não é realmente tão importante porque a matriz seria exatamente a mesma! Na verdade, poderíamos inverter completamente essa matriz se quiséssemos e algumas fontes realmente têm a matriz invertida.

Seção 11.4: 31, 37 *
Seção 11.5: 5, 9 *, 21, 37, 39 *, 47 *, 53
Seção 11.6: 5, 7 *, 11, 15 *

Leia as Seções 11.4, 11.5 e 11.6

Uma aplicação de diferenciais é estimar o erro. Na aula, nós deixamos SA( x, y, z) representam a área de superfície de uma caixa retangular com comprimentos laterais x, y, e z. Então $ mathrm SA = nabla SA (x, y, z) cdot langle mathrmx, mathrmy, mathrmz rangle $ representa o erro no cálculo SA dados os erros de cálculo x, y, e z (dx, dye dz, respectivamente).

Podemos então encontrar o erro relativo ou percentual de erro dividindo o erro, d SA, pela área total.

Regra da Cadeia
A regra da cadeia quando aplicada a uma composição f (r(t)) é $ frac

= nabla f cdot < bf r> '(t). $ If r depende de mais variáveis, digamos r é uma função de s e t, então a composição depende de s e t e calculamos as derivadas parciais: $ frac < partial f> < partial s> = nabla f cdot frac < partial < bf r >> < partial s> $ e da mesma forma $ frac < parcial f> < partial t> = nabla f cdot frac < partial < bf r >> < partial t> $

Derivados direcionais
A derivada direcional representa a taxa de variação de uma função em uma determinada direção. Portanto, a derivada de f no positivo x- a direção seria e partef/&papelx. Em aula, mostramos que se nosso vetor de direção é você, então a derivada direcional seria $ D _ < bf u> f (a, b) = nabla f (a, b) cdot < bf u>. $ Embargo: Nós deve presumir você é um vetor unitário ou então nossa derivada depende do comprimento de você. (Tente calcular as derivadas parciais no caso unidimensional (Calc 1) para ver por que isso é um problema.)

Seção 11.4: 1, 5 *, 11, 19 *, 23 *, 25, 27, 39 *, 41
Seção 11.6: 39, 43 *, 47 *, 59

Leia a Seção 11.4

Na semana passada, levantamos o conceito de derivadas parciais e quando combinamos essas derivadas parciais em um vetor, obtemos o gradiente: $ nabla f (x, y, z) = langle f_x (x, y, z), f_y (x, y, z), f_z (x, y, z) rangle. $
Em aula, derivamos a equação de um plano tangente a uma superfície. Para uma função, z = f(x,y), o plano tangente em
(uma, b, f(uma,b)) é definido por $ z = f (a, b) + nabla f (a, b) cdot langle x-a, y-b rangle. $
E para uma superfície definida implicitamente, f(x,y,z) = 0, o plano tangente no ponto (uma, b, c) pode ser escrito $ nabla f (a, b, c) cdot langle x-a, y-b, z-c rangle = 0. $
Esta última equação nos dá alguns grandes insights sobre a geometria do vetor gradiente. Primeiro, esta última equação mostra que o vetor gradiente é ortogonal à nossa superfície! (Afinal, é ortogonal ao plano tangente.) Em segundo lugar, veremos na próxima semana que o vetor gradiente também nos dá a direção em que nossa função aumenta mais rapidamente.

Superfícies Paramétricas
Para uma superfície parametrizada por r(s, t), as derivadas parciais rs e rs são vetores tangentes à superfície e podemos calcular um vetor normal usando o produto vetorial. O plano tangente resultante no ponto r(s0, t0) = (uma, b, c) pode ser escrito $ (< bf r> _s times < bf r> _t) cdot langle x-a, y-b, z-c rangle. $
Diferenciais
Ao completar sua leitura, você encontrará o diferencial de uma função $ mathrmf = f_x mathrmx + f_y mathrmy + f_z mathrmz. $ Assim como acontece com os planos tangentes, vemos um produto escalar aparecer com o diferencial. Deixe dx = & lang dx, dy, dz& rang, então $ mathrmf = nabla f cdot mathrm< bf>$

Dê uma olhada nas questões do exame simulado. Esteja preparado para fazer perguntas sobre coisas que você não entende.

Oficialmente, não há nada a ser recolhido na segunda ou quarta-feira. Atualizei as datas de vencimento das atribuições abaixo para refletir isso.

Seção 11.3: 10 *, 15, 21, 27, 33, 39 *, 45 *, 51 *, 63, 65 *, 69, 91 *

Leia a Seção 11.3

Para uma função de valor real z = f (x,y), podemos calcular um derivativo parcial com respeito a uma de nossas variáveis ​​tratando todas as outras como constantes e diferenciando como se estivéssemos no Calc 1. Terminamos com muitas notações: $ frac < partial z> < partial x> = frac < partial f> < partial x> = f_x. $
Se tivermos uma superfície definida implicitamente, f (x,y,z) = 0, podemos usar a diferenciação implícita para encontrar $ frac < partial z> < partial x>, frac < partial z> < partial y>, frac < partial y> < partial x> $ e assim por diante.

Para uma função f (x,y) as derivadas parciais dependem de ambos x e y, então terminamos com quatro derivados de segunda ordem: $ f_, f_, f_, f_. $ Felizmente para nós, os parciais mistos são os mesmos em muitos casos. O teorema de Clairaut diz que se as parciais de segunda ordem são contínuas, então $ f_= f_.$

Equações diferenciais parciais
Uma das aplicações mais importantes em toda a matemática é o estudo de Equações Diferenciais Parciais (PDEs). Temos as equações de onda: $ u_= c ^ 2 u_$ para uma dimensão, $ u_= c ^ 2 (u_+ u_) $ para duas dimensões e assim por diante. As soluções para essas equações nos ajudam a modelar ondas sonoras, ondas de luz, ondas de água e qualquer outra coisa que se mova como uma onda.

Também temos a equação do calor, que modela como o calor (é claro) varia em uma região ao longo do tempo. Esta equação de calor também desempenha um grande papel na Mecânica Quântica, pois descreve a difusão de partículas (como as partículas se espalham ao longo do tempo).

Um último exemplo são as equações de Navier-Stokes, que descrevem a dinâmica dos fluidos. As soluções gerais para este problema ainda não foram encontradas (embora existam muitas soluções exatas) e há até um prêmio de $ 1 milhão anexado para quem encontrar uma solução!

Seção 11.3: 50, 58, 68, 72, 90

Seção 11.1: 9 *, 19, 23 *, 41, 43 *

Seção 11.2: 1 *, 5, 9 *, 15, 19, 27 *, 31, 35 *, 37

Os limites das funções de mais de uma variável rapidamente se tornam mais complicados do que os limites discutidos no Cálculo 1. A boa notícia, porém, é que todas as combinações de funções elementares que eram contínuas no Calc 1 ainda são contínuas agora.

Ao avaliar os limites de múltiplas variáveis, ainda temos algumas ferramentas à nossa disposição. O primeiro é o teorema de compressão e o segundo é escrever o limite em um sistema de coordenadas diferente. Por exemplo, para encontrar $ lim _ <(x, y) rightarrow (0,0)> f (x, y) $, poderíamos mudar para as coordenadas polares e equivalentemente encontrar $ lim_f (r cos ( theta), r sin ( theta)). $ Este último limite é agora um limite de uma variável e se o resultado não depende de & theta, então o limite existe!

Se este último limite depende de & theta no final, é improvável que o limite exista. Para mostrar isso de forma mais concreta, podemos encontrar duas curvas pela origem e mostrar que o limite é diferente entre essas duas curvas.

Seção Seção 10.2: 33 *, 35, 37

Voltando à Seção 6.4 em Stewart (pp. 455-458), vemos a fórmula para o comprimento do arco, dada uma parametrização $ int_a ^ b sqrt < left ( frac

right) ^ 2 + left ( frac
right) ^ 2> dt. $ Em termos de notação de função com valor vetorial, isso nos leva a $ int_a ^ b | < bf f> '(t) | dt, $ que nos leva a uma boa generalização em R 3 (e dimensões superiores!).

Também começamos a examinar as parametrizações de superfície. Eles são muito úteis para gráficos de superfícies que não podem ser expressos como uma função de x e y.

Por exemplo, cones, esferas, hiperbolóides e até mesmo cilindros não parecem muito corretos se forem representados graficamente no Maple. No entanto, usar uma parametrização suaviza esses problemas (trocadilhos, consulte as Figuras 8 e 9 na página 730).

Vamos dar uma olhada nisso na quarta-feira.

Seção Seção 10.1: (19-24) * (correspondência: explique suas respostas!), 25, 39 *

Seção 10.2: 3 *, 19, 23 *, 31 *, 41, 43, 49 *, 51, 53 *

Nossos exemplos mais comuns de curvas em R 3 serão linhas, hélices (hélices?) E interseções de superfícies. Para uma hélice, nossa fórmula básica é $ < bf f> (t) = langle cos (t), sin (t), t rangle. $ Podemos então usar deslocamentos e transformações para mudar o eixo de transformação , o raio, a velocidade, etc.

Para interseções de superfícies, normalmente faremos uma substituição para obter uma equação simplificada com apenas duas variáveis. Em seguida, use esta equação simplificada para obter uma parametrização para duas de suas variáveis. Finalmente, use a substituição feita para obter uma parametrização para a última variável.

Para vetores tangentes, olhamos para a derivada: $ < bf f> '(t) = lim_ frac$ $ = langle f_1 '(t), f_2' (t), f_3 '(t) rangle. $ Podemos então usar isso para encontrar coisas como linhas tangentes, velocidade e aceleração.

Seção 9.7: 3, 5, 7, 9, 11, 13 *, 15, 19 *, 21, 25, 29 *, 31 *

Na aula de hoje, falamos sobre seções cônicas. A forma algébrica geral sendo $ Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cx + Dy = E. $ Se qualquer um UMA ou B fossem zero, acabamos com uma parábola (ou talvez uma linha se ambas forem zero). Dependendo das relações entre os sinais de UMA ou B, obtemos elipses ou hipérboles.

Em R 3, vamos permitir um z 2 e z termos e nos dá uma grande variedade de superfícies (consulte a página 679 para uma boa tabela dessas superfícies).

Sistemas coordenados: Também falamos sobre alguns dos sistemas de coordenadas que podem ser usados ​​em R 2 e R 3 Em duas dimensões, temos coordenadas retangulares (nosso sistema usual) e coordenadas polares. Em coordenadas polares, usamos (r,& theta) Onde r é a distância entre o ponto e a origem e & theta é o ângulo medido no sentido anti-horário a partir do positivo x-eixo.

Em R 3, temos usado (x,y,z), que seriam nossas coordenadas retangulares. Mas agora temos dois outros:

Coordenadas Cilíndricas: (r,& theta,z) Onde r é a distância no xy- plano entre o ponto e a origem e & theta é o ângulo medido no sentido anti-horário a partir do positivo x-eixo. Esta é uma extensão direta das coordenadas polares, apenas adicionando um z-eixo para a terceira dimensão.

Coordenadas Esféricas: (& rho,& theta,& phi) Aqui, & theta ainda está representando o mesmo ângulo no xy-avião. & rho é a distância da origem e & phi é o ângulo do positivo z-eixo.

Seção 9.5: 1 *, 25 *, 29, 37, 39 *, 49, 55 *, 57, 59, 64 *

Para aviões, a melhor maneira de expressá-los algebricamente é olhar para um vetor normal, n, e um ponto, (x0 , y0 , z0 ), no avião. Então, para um ponto arbitrário (x, y, z) no plano, o vetor & lang x - x0 , y - y0 , z - z0 & rang é ortogonal a
n = & lang A, B, C & rang. Portanto, podemos usar o produto escalar para escrever $ A (x-x_0) + B (y-y_0) + C (z-z_0) = 0 $ nos fornecendo uma bela equação para o plano.

Ao pensar em aviões, geralmente é muito útil colocar os problemas em termos de vetores normais. Por exemplo, para determinar quando um par de planos é paralelo (vetores normais são paralelos) ou para encontrar sua linha de interseção (a direção seria produto cruzado de vetores normais) ou talvez desejamos encontrar o ponto no plano mais próximo da origem (onde o vetor normal aponta diretamente para longe ou em direção à origem).

Os aviões são um exemplo de um superfície em R 3 Podemos construir muitas superfícies por meio de funções gráficas z = f (x , y) Para nos ajudar a começar a representar graficamente uma função, veremos vestígios de uma função (também chamada curvas de contorno e curvas de nível).

Para encontrar traços, definiremos uma de nossas variáveis ​​igual a uma constante e criaremos um gráfico em duas dimensões. Nós vimos isso com
z = x 2 + y 2 onde todos os traços verticais (x = k e y = k) são parábolas e as seções transversais horizontais são círculos. Esses tipos de funções: $ z = frac+ frac$ são exemplos de parabolóides elípticos. Usamos essa terminologia porque as seções transversais horizontais são elipses e as seções transversais verticais são parábolas.

No problema 18 (para sexta-feira), você verá um parabolóide hiperbólico onde as seções transversais horizontais são hipérboles e as seções transversais verticais são parábolas.

Na quarta-feira, daremos uma olhada em exemplos mais comuns de superfícies, incluindo elipsóides, cones, e hiperbolóides.

Seção 9.4: 1 *, 7, 13, 15, 21 *, 23 *, 27, 29 *, 33, 37 #, 39 *, 41

Leia as Seções 9.4 e início de 9.5 (Equações das Linhas)

Um problema comum que encontraremos é, dado um par de vetores em R 3, devemos encontrar um vetor que seja mutuamente ortogonal a esses dois.

Definição: Deixe $ < bf u> = langle u_1, u_2, u_3 rangle, v = langle v_1, v_2, v_3 rangle. $ Então o produto cruzado do você e v é $ begin < bf u> times < bf v> & = left | begin < bf i> & < bf j> & < bf k> u_1 & u_2 & u_3 v_1 & v_2 & v_3 end right | & = langle u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1 rangle. fim $

Pode-se verificar usando o produto escalar se isso atinge o efeito de encontrar um vetor ortogonal.

Os produtos cruzados aparecem em muitas aplicações: rotações em computação gráfica, torque e momento angular. Neste curso, usaremos o produto vetorial para encontrar equações de planos, planos tangentes e área de superfície.

Geometricamente, a propriedade mais importante do produto vetorial é $ | < bf u> times < bf v> | = | < bf u> | | < bf v> | sin ( theta), $ que é a área do paralelogramo medido pelos vetores você e v.

Existem três maneiras pelas quais podemos representar uma linha em dimensões superiores. Primeiro, precisamos saber um ponto na linha,
( x0, y0, z0) e um vetor de direção (inclinação): $ < bf v> = langle a, b, c rangle. $ Para o forma vetorial para a equação de uma linha, se $ < bf r_0> = langle x_0, y_0, z_0 rangle, $ então podemos escrever a linha como uma função de t (o que torna este formulário muito útil): $ < bf r> (t) = < bf r_0> + t < bf v>. $ Também temos o forma paramétrica: $ x = x_0 + at, y = y_0 + bt, z = z_0 + ct, $ que é a forma vetorial escrita componente por componente. A última forma é o forma simétrica. Se pudermos resolver para t na forma paramétrica (a, b e c são diferentes de zero), então $ fraca = fracb = fracc. $

Seção 9.2: 1 *, 5, 11, 13, 15 *, 17, 23, 33 *, 39

Seção 9.3: 1 *, 5, 7 *, 15 *, 21 *, 27, 43, 51

Nós usamos vetores para representar objetos ou ideias onde a direção e a magnitude entram em jogo, por exemplo, velocidade e força, ambas representadas por vetores.

Quando temos várias forças agindo sobre um objeto, podemos encontrar a força geral somando os vetores.
Geometricamente, isso tem uma representação muito boa. Podemos definir o vetor você para começar na origem e vetor v para começar no final de você . Então você + v seria o vetor que começa na origem e termina na ponta da ponta do v. Algebricamente, fazemos essa adição somando cada componente.

Outra coisa boa que a captura de vetores seria o que aconteceria se uma força dobrasse de tamanho (ou direção do giro). Geometricamente, essa nova força seria uma flecha na mesma direção da primeira, mas com o dobro do comprimento (ou apenas na direção oposta). Algebricamente, nós apenas multiplicamos cada componente por dois (ou um negativo).

Esta adição de vetor e multiplicação escalar têm muitas das mesmas propriedades que a adição e multiplicação de números reais têm (por exemplo, propriedades comutativas, associativas e distributivas tente provar isso geometricamente e algebricamente!).

Os conceitos por trás da adição de vetores parecem ter uma bela representação geométrica e algébrica. E se tentássemos multiplicar vetores? Poderíamos torná-lo bom algebricamente e dizer que a adição é feita em termos de componentes como adição, mas como isso pareceria geometricamente? Existe uma maneira legal de ver este tipo de multiplicação geometricamente? Experimente um punhado de exemplos para você em R 2 e veja o que acontece.

No entanto, existem algumas maneiras interessantes de observar produtos de vetores geometricamente. Ambas as formas envolvem olhar para ortogonalidade de vetores. O primeiro é o produto escalar o que nos dá uma boa maneira de encontrar o ângulo entre dois vetores. A segunda forma, sobre a qual falaremos na sexta-feira, é a produto cruzado.

Focando no produto escalar, temos duas maneiras de representá-lo. Se você = & langvocê1, você2, você3& tocou e v = & langv1, v2, v3& rang, então $ < bf u> cdot < bf v> = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 $ e $ < bf u> cdot < bf v> = | < bf u> | | < bf v> | cos ( theta) $ onde & theta é o ângulo entre os dois vetores. Esta primeira forma, envolvendo os componentes de você e v, nos oferece uma maneira fácil e agradável de encontrar o produto escalar. Podemos então usar a segunda equação para encontrar o ângulo entre os dois vetores.

Existem três fatos sobre o produto escalar que são muito bons de saber (tente prová-los!):

Fato 1: Dois vetores diferentes de zero são ortogonais se e somente se seu produto escalar for zero. (Secretamente, isso é como dois fatos em uma frase: se eles são ortogonais, então seu produto escalar é zero. E se seu produto escalar é zero, então eles são ortogonais)

Fato 2: vocêvocê = |você| 2

Fato 3: Também chamada de Desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz: $ | < bf u> cdot < bf v> | leq | < bf u> | | < bf v> |. $

Nota lateral sobre esses fatos: Todos esses três fatos generalizam para R n. O fato 2 nos dá uma boa maneira de alternar entre a notação de comprimento e produto escalar sempre que for conveniente. Para o Fato 3, poderíamos simplesmente chamar isso de desigualdade de Cauchy, pois ele primeiro mostrou que $ | < bf u> cdot < bf v> | ^ 2 leq | < bf u> | ^ 2 | < bf v > | ^ 2, $ ou em termos de notação de soma: $ left | soma_^ 3 u_kv_k right | leq left ( sum_^ 3 u_k ^ 2 right) left ( sum_^ 3 v_k ^ 2 right). $ Bunyakovsky e Schwarz atribuíram seu nome a isso porque generalizaram isso para funções (as somas mudam para integrais, vocêk para f(x), vk para g(x)): $ left | int_a ^ b f (x) g (x) dx right | leq left ( int_a ^ b [f (x)] ^ 2 dx right) left ( int_a ^ b [g (x)] ^ 2 dx right). $ Bunyakovsky descobriu esta desigualdade algum tempo antes Schwarz, mas seus resultados eram amplamente desconhecidos no Ocidente e, por isso, seu nome costuma ser omitido na desigualdade. No mundo mais amplo da matemática, o Fato 3 é frequentemente escrito apenas como a Desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Definição UMA vetor unitário é um vetor de magnitude um. Eles são úteis de vez em quando porque podem nos dar uma direção sem ter que nos preocupar com o tamanho. Veremos alguns exemplos de sua importância no futuro, quando olharmos para derivados.

Seção 9.1: 3, 9 *, 11 *, 13 *, 15, 17, 27 *, 29, 33, 35 *, 37, 39 *, 41

No plano de coordenadas, a equação x = 5 produz uma linha como o y variável pode mudar livremente. Em três dimensões, o y e z variáveis ​​são livres para criar um plano.

O circulo x 2 + y 2 = 25 se tornaria um cilindro pelo mesmo motivo.

Se desejamos criar uma esfera, pensamos primeiro na representação geométrica. Se o centro é C = (1, 2, 3), e o raio é r = 5, então um ponto, P = (x, y, z), na esfera está a uma distância de 5 de C. Traduzindo isso para uma representação algébrica, obtemos a equação

$ 5 = | PC | = sqrt <(x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 + (z-3) ^ 2>, $ ou em outras palavras, $ 25 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 + (z-3) ^ 2. $ O objetivo desta seção é começar a mover-se do mundo geométrico, onde temos uma imagem em mente, para o algébrico, onde temos uma equação ou expressão .


Programa do MAT 2500

12.1 Sistemas de Coordenadas Tridimensionais
12.2 Vetores
12.3 O Produto Interno
12.4 Produtos Cruzados
10.1 Curvas Definidas por Equações Paramétricas - Revisão
12.5 Equações de Linhas e Planos
12.6 Superfícies quadráticas (opcional)

Capítulo 13: Funções de vetor

13.1 Funções Vetoriais e Curvas de Espaço
13.2 Derivadas e integrais de funções vetoriais
13.3 Comprimento do Arco e Curvatura
13.4 Movimento no Espaço: Velocidade e Aceleração

Capítulo 14: Derivados Parciais

14.1 Funções de várias variáveis
14.2 Limites e continuidade
14.3 Derivados Parciais
14,4 Planos Tangentes e Aproximações Lineares
14.5 A Regra da Corrente
14.6 Derivados direcionais e o gradiente
14.7 Valores Máximos e Mínimos
14.8 Multiplicadores de Lagrange (opcional)

Capítulo 15: Integrais Múltiplos

15.1 Integrais duplos sobre retângulos
15.2 Integrais duplos sobre regiões gerais
10.3 Coordenadas polares - Revisão
15.3 Integrais Duplos em Coordenadas Polares
15.4 Aplicações de Integrais Duplos
15,5 Área de Superfície (Opcional)
15.6 Integrais Triplos
15.7 Integrais triplos em coordenadas cilíndricas
15.8 Integrais triplos em coordenadas esféricas (opcional)

Capítulo 16: Cálculo Vetorial

16.1 Campos Vetoriais
16.2 Integrais de linha
16.3 Teorema Fundamental para Integrais de Linha
16.4 Teorema de Green
16.5 Ondulação e Divergência
16.6 Superfícies paramétricas e suas áreas (opcional)
16,7 Integrais de superfície (opcional)
16.8 Teorema de Stokes (opcional)
16.9 O Teorema da Divergência (Opcional)

Este material é coberto ao longo de um semestre de 14 semanas (56 horas de aula).

O corpo docente tem a opção de utilizar o WebAssign, um suplemento baseado na web para nosso livro didático. Este portal fornece problemas de lição de casa avaliados e práticos, questionários online, instruções em vídeo e um eBook. O registro do WebAssign requer um código de acesso, que acompanha o texto adquirido na Livraria Villanova.

Nota: Se você optar por alugar / comprar um livro que vem sem um código WebAssign, será necessário comprar o código de registro separadamente se o seu instrutor usar o WebAssign.

No início de cada semestre, os alunos receberão um segundo código, denominado código de inscrição em turma, de seu instrutor. Este código os inscreve no curso específico estabelecido por seu instrutor para aquele semestre.

Sistema de Álgebra Computacional (CAS)

Os instrutores usarão o Maple ou um sistema de álgebra computacional comparável no curso.


Programa de Estudos

Esta é uma aula a distância, todos os alunos matriculados nesta aula devem ser altamente responsáveis ​​no gerenciamento de sua programação. Este curso avança muito rápido. Se você ficar para trás, mesmo em uma seção, pode não ser capaz de alcançá-la, já que cada seção geralmente depende muito das anteriores. O aluno matriculado nesta turma deve ser capaz de ler e compreender o livro didático. Se no passado você teve dificuldades em fazer autodidata em matemática, então esta não é a aula para você e é altamente recomendável que você mude para uma aula presencial. O instrutor espera que o aluno leia cada seção do livro, assista aos vídeos e leia as anotações da aula antes de tentar resolver os problemas do dever de casa. Ao pedir ajuda você precisa mostrar todo o seu trabalho, digitando no e-mail (melhor) ou anexando uma cópia digitalizada do seu trabalho. Ao solicitar ajuda para um problema de WebWork, é recomendável usar o botão de e-mail para o instrutor na parte inferior da tela, caso contrário, você não obterá nenhuma resposta.


فهرست

أنظمة الإحداثيات

Em matemática, a geometria analítica (também chamada de geometria cartesiana) descreve cada ponto no espaço tridimensional por meio de três coordenadas. Três eixos de coordenadas são dados, cada um perpendicular aos outros dois na origem, o ponto em que eles se cruzam. Eles geralmente são rotulados x, y , e z . Em relação a esses eixos, a posição de qualquer ponto no espaço tridimensional é dada por um triplo ordenado de números reais, cada número dando a distância desse ponto da origem medida ao longo do eixo dado, que é igual à distância daquele ponto do plano determinado pelos outros dois eixos. [4]

Outros métodos populares de descrever a localização de um ponto no espaço tridimensional incluem coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas, embora haja um número infinito de métodos possíveis. Para mais informações, consulte Espaço euclidiano.

Abaixo estão as imagens dos sistemas mencionados acima.

الخطوط والمستويات

Dois pontos distintos sempre determinam uma linha (reta). Três pontos distintos são colineares ou determinam um plano único. Por outro lado, quatro pontos distintos podem ser colineares, coplanares ou determinar todo o espaço.

Duas linhas distintas podem se cruzar, ser paralelas ou estar inclinadas. Duas linhas paralelas, ou duas linhas que se cruzam, ficam em um único plano, portanto, as linhas de inclinação são linhas que não se encontram e não se encontram em um plano comum.

Dois planos distintos podem se encontrar em uma linha comum ou são paralelos (ou seja, não se encontram). Três planos distintos, nenhum par paralelo, podem encontrar-se em uma linha comum, encontrar-se em um único ponto comum ou não ter nenhum ponto em comum. No último caso, as três linhas de intersecção de cada par de planos são mutuamente paralelas.

Uma linha pode estar em um determinado plano, cruzar esse plano em um ponto único ou ser paralela ao plano. No último caso, haverá linhas no plano que são paralelas à linha dada.

Um hiperplano é um subespaço com uma dimensão menor que a dimensão do espaço total. Os hiperplanos de um espaço tridimensional são os subespaços bidimensionais, ou seja, os planos. Em termos de coordenadas cartesianas, os pontos de um hiperplano satisfazem uma única equação linear, então os planos neste espaço 3 são descritos por equações lineares. Uma linha pode ser descrita por um par de equações lineares independentes - cada uma representando um plano que tem essa linha como uma interseção comum.

O teorema de Varignon afirma que os pontos médios de qualquer quadrilátero em ℝ 3 formam um paralelogramo e, portanto, são coplanares.

الكرات

Uma esfera no espaço 3 (também chamada de 2 esferas porque é um objeto bidimensional) consiste no conjunto de todos os pontos no espaço tridimensional a uma distância fixa r de um ponto central P. O sólido cercado pela esfera é chamado de bola (ou, mais precisamente um 3 bolas) O volume da bola é dado por

Outro tipo de esfera surge de uma bola de 4, cuja superfície tridimensional é a 3 esferas: pontos equidistantes da origem do espaço euclidiano ℝ 4. Se um ponto tem coordenadas, P(x, y, z, C) , então x 2 + y 2 + z 2 + C 2 = 1 caracteriza aqueles pontos na unidade 3-esfera centrada na origem.

Polytopes

Em três dimensões, há nove politopos regulares: os cinco sólidos platônicos convexos e os quatro poliedros Kepler-Poinsot não convexos.

Polopos regulares em três dimensões
Aula Sólidos platônicos Poliedro Kepler-Poinsot
Simetria Td Oh euh
Grupo Coxeter UMA3, [3,3] B3, [4,3] H3, [5,3]
Pedido 24 48 120
Regular
poliedro






<5/2,5>

<5,5/2>

<5/2,3>

<3,5/2>

Superfícies de revolução

Uma superfície gerada pela rotação de uma curva plana em torno de uma linha fixa em seu plano como um eixo é chamada de superfície de revolução. A curva plana é chamada de geratriz da superfície. Uma seção da superfície, feita pela intersecção da superfície com um plano perpendicular (ortogonal) ao eixo, é um círculo.

Exemplos simples ocorrem quando a geratriz é uma linha. Se a linha da generatriz intercepta a linha do eixo, a superfície de revolução é um cone circular reto com o vértice (vértice) o ponto de interseção. No entanto, se a geratriz e o eixo são paralelos, a superfície de revolução é um cilindro circular.

Superfícies quádricas

Em analogia com as seções cônicas, o conjunto de pontos cujas coordenadas cartesianas satisfazem a equação geral de segundo grau, a saber,

A x 2 + B y 2 + C z 2 + F xy + G yz + H xz + J x + K y + L z + M = 0, < displaystyle Ax ^ <2> + Por ^ <2> + Cz ^ <2> + Fxy + Gyz + Hxz + Jx + Ky + Lz + M = 0,>

Onde UMA, B, C, F, G, H, J, K, eu e M são números reais e não todos UMA, B, C, F, G e H são zero, é chamado de superfície quádrica. [5]

Existem seis tipos de superfícies quádricas não degeneradas:

As superfícies quádricas degeneradas são o conjunto vazio, um único ponto, uma única linha, um único plano, um par de planos ou um cilindro quadrático (uma superfície que consiste em uma seção cônica não degenerada em um plano π e todas as linhas de ℝ 3 a essa cônica que são normais a π). [5] Os cones elípticos às vezes também são considerados superfícies quádricas degeneradas.

Tanto o hiperbolóide de uma folha quanto o parabolóide hiperbólico são superfícies regidas, o que significa que podem ser constituídos por uma família de linhas retas. Na verdade, cada um tem duas famílias de linhas geradoras, os membros de cada família são disjuntos e cada membro uma família se cruza, com apenas uma exceção, todos os membros da outra família. [6] Cada família é chamada de régulo.

Outra maneira de ver o espaço tridimensional é encontrada na álgebra linear, onde a ideia de independência é crucial. O espaço tem três dimensões porque o comprimento de uma caixa é independente de sua largura ou largura. Na linguagem técnica da álgebra linear, o espaço é tridimensional porque cada ponto no espaço pode ser descrito por uma combinação linear de três vetores independentes.

Produto escalar, ângulo e comprimento

Um vetor pode ser representado como uma seta. A magnitude do vetor é seu comprimento e sua direção é a direção apontada pela seta. Um vetor em ℝ 3 pode ser representado por um triplo ordenado de números reais. Esses números são chamados de componentes do vetor.

O produto escalar de dois vetores UMA = [UMA1, UMA2, UMA3] e B = [B1, B2, B3] é definido como: [7]

A magnitude de um vetor UMA é denotado por ||UMA|| . O produto escalar de um vetor UMA = [UMA1, UMA2, UMA3] consigo mesmo é

a fórmula para o comprimento euclidiano do vetor.

Sem referência aos componentes dos vetores, o produto escalar de dois vetores euclidianos diferentes de zero UMA e B é dado por [8]

Onde θ é o ângulo entre UMA e B .

Produto cruzado

O produto vetorial ou produto vetorial é uma operação binária em dois vetores no espaço tridimensional e é denotada pelo símbolo ×. O produto cruzado uma × b dos vetores uma e b é um vetor perpendicular a ambos e, portanto, normal ao plano que os contém. Ele tem muitas aplicações em matemática, física e engenharia.

O espaço e o produto formam uma álgebra sobre um campo, que não é comutativa nem associativa, mas é uma álgebra de Lie com o produto vetorial sendo o colchete de Lie.

Pode-se em n dimensões tomam o produto de n - 1 vetor para produzir um vetor perpendicular a todos eles. Mas se o produto for limitado a produtos binários não triviais com resultados vetoriais, ele existe apenas em três e sete dimensões. [9]

Gradiente, divergência e ondulação

Em um sistema de coordenadas retangulares, o gradiente é dado por

A divergência de um campo vetorial continuamente diferenciável F = você eu + V j + C k é igual à função de valor escalar:

Expandido em coordenadas cartesianas (ver Del em coordenadas cilíndricas e esféricas para representações de coordenadas esféricas e cilíndricas), o enrolamento ∇ × F é para F composto de [Fx, Fy, Fz]:

Onde eu, j, e k são os vetores unitários para o x-, y-, e z-axes, respectivamente. Isso se expande da seguinte forma: [10]

Integrais de linha, integrais de superfície e integrais de volume

Para algum campo escalar f : vocêR nR, a integral de linha ao longo de uma curva suave por partes Cvocê é definido como

Onde r: [a, b] → C é uma parametrização bijetiva arbitrária da curva C de tal modo que r(uma) e r(b) fornecer os pontos finais de C e a & lt b < displaystyle a & ltb>.

Para um campo vetorial F : vocêR nR n , a integral de linha ao longo de uma curva suave por partes Cvocê, na direção de r, é definido como

onde · é o produto escalar e r: [a, b] → C é uma parametrização bijetiva da curva C de tal modo que r(uma) e r(b) fornecer os pontos finais de C.

Uma integral de superfície é uma generalização de integrais múltiplas para integração sobre superfícies. Pode ser considerado o análogo integral duplo da integral de linha. Para encontrar uma fórmula explícita para a integral de superfície, precisamos parametrizar a superfície de interesse, S, ao considerar um sistema de coordenadas curvilíneas em S, como a latitude e longitude em uma esfera. Que tal parametrização seja x(s, t), Onde (s, t) varia em alguma região T no avião. Então, a integral de superfície é dada por

onde a expressão entre as barras do lado direito é a magnitude do produto vetorial das derivadas parciais de x(s, t) e é conhecido como elemento de superfície. Dado um campo vetorial v em S, que é uma função que atribui a cada x em S um vetor v(x), a integral de superfície pode ser definida em termos de componentes de acordo com a definição da integral de superfície de um campo escalar, o resultado é um vetor.

Também pode significar uma integral tripla dentro de uma região D em R 3 de uma função f (x, y, z), < displaystyle f (x, y, z),> e geralmente é escrito como:

Teorema fundamental de integrais de linha

O teorema fundamental das integrais de linha, diz que uma integral de linha através de um campo de gradiente pode ser avaliada avaliando o campo escalar original nos pontos finais da curva.

Teorema de Stokes

O teorema de Stokes relaciona a integral de superfície da curvatura de um campo vetorial F sobre uma superfície Σ em três espaços euclidianos com a integral de linha do campo vetorial sobre seu limite ∂Σ:

Teorema da divergência

Suponha que V seja um subconjunto de R n < displaystyle mathbb ^> (no caso de n = 3, V representa um volume no espaço 3D) que é compacto e tem um limite liso S (também indicado com withV = S ) Se F é um campo vetorial continuamente diferenciável definido em uma vizinhança de V, então o teorema da divergência diz: [11]

O lado esquerdo é uma integral de volume sobre o volume V, o lado direito é a integral de superfície sobre o limite do volume V. O coletor fechado ∂V é geralmente o limite de V orientado por normais apontando para fora, e n é o campo normal da unidade que aponta para fora do limite ∂V . ( dS pode ser usado como uma abreviação para ndS .)

O espaço tridimensional tem várias propriedades topológicas que o distinguem de espaços de outros números de dimensão. Por exemplo, pelo menos três dimensões são necessárias para dar um nó em um pedaço de barbante. [12]

Na geometria diferencial, os espaços tridimensionais genéricos são três variedades, que localmente se assemelham a R 3 < displaystyle < mathbb >^<3>> .

Muitas idéias de dimensão podem ser testadas com geometria finita. A instância mais simples é PG (3,2), que tem os planos de Fano como seus subespaços bidimensionais. É uma instância da geometria de Galois, um estudo da geometria projetiva usando campos finitos. Assim, para qualquer campo Galois GF (q), há um espaço projetivo PG (3,q) de três dimensões. Por exemplo, quaisquer três linhas de inclinação em PG (3,q) estão contidos em exatamente um régulo. [13]


Math Insight

Esta é provavelmente a mais simples de todas as superfícies quádricas e geralmente é a primeira exibida na aula. Tem uma aparência de & ldquonose-cone & rdquo distinta.

Essa superfície é chamada de parabolóide elíptico porque as seções transversais verticais são todas parábolas, enquanto as seções transversais horizontais são elipses. Ocasionalmente, ficamos desleixados e apenas nos referimos a ele simplesmente como um parabolóide que não seria um problema, exceto que leva à confusão com o parabolóide hiperbólico.

As seções transversais abaixo são para o parabolóide elíptico mais simples possível: $ z = x ^ 2 + y ^ 2. $

Seções transversais elípticas parabolóides. O parabolóide elíptico $ z = x ^ 2 + y ^ 2 $ é plotado em um domínio quadrado $ -2 le x le 2, -2 le y le 2 $ no primeiro painel e no domínio circular determinado por $ z le 8 $ no segundo painel. Você pode arrastar os pontos azuis nos controles deslizantes para alterar a localização dos diferentes tipos de seções transversais.

Uma característica importante das seções transversais verticais é que todas as parábolas se abrem na mesma direção. Isso não é verdade para os parabolóides hiperbólicos!

Observe que, neste caso, as seções transversais horizontais são, na verdade, círculos, mas nem sempre é o caso. Na verdade, sempre que $ A $ e $ B $ não forem iguais, o parabolóide será mais largo em uma direção do que na outra.

Você pode usar o miniaplicativo abaixo para investigar como esses coeficientes afetam a forma da superfície. À esquerda, mostra o parabolóide $ z = A x ^ 2 + B y ^ 2 $ sobre o domínio quadrado begin -2 le x le 2 -2 le y le 2. end À direita, o domínio é um disco e mostra a parte do parabolóide para a qual le z le 8 $. Quando você altera A e B, o domínio muda de acordo.

Coeficientes parabolóides elípticos. O parabolóide $ z = A x ^ 2 + B y ^ 2 $ é plotado sobre o domínio quadrado $ -2 le x le 2, -2 le y le 2 $ no primeiro painel. No segundo painel, o mesmo parabolóide é plotado sobre o domínio elíptico para o qual le z le 8 $, um domínio cuja forma depende dos coeficientes $ A $ e $ B $. Você pode arrastar os pontos para alterar $ A $ e $ B $, que são restritos a serem positivos.

Aqui estão algumas coisas em que pensar:

  • O que acontece se $ A $ ou $ B $ for 0? E se ambos estiverem? Algum desses objetos deve ser chamado de parabolóide & ldquoelliptic & rdquo?
  • O que aconteceria se os controles deslizantes incluíssem valores negativos para $ A $ e $ B $? (Clique aqui para experimentar e ver se você está certo.)

O parabolóide elíptico foi usado para motivar a noção de curvas de nível. Você pode ver que as curvas de nível são equivalentes às seções transversais horizontais acima?


Muitas idéias de dimensão podem ser testadas com geometria finita. Tridimensional space_sentence_106

A instância mais simples é PG (3,2), que tem os planos de Fano como seus subespaços bidimensionais. Tridimensional space_sentence_107

É uma instância da geometria de Galois, um estudo da geometria projetiva usando campos finitos. Tridimensional space_sentence_108

Assim, para qualquer campo de Galois GF (q), existe um espaço projetivo PG (3, q) de três dimensões. Espaço tridimensional_sentence_109

Por exemplo, quaisquer três linhas de inclinação em PG (3, q) estão contidas em exatamente um régulo. Space_sentence_110 tridimensional


Assista o vídeo: Introdução a Superfícies Quádricas (Novembro 2021).