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9.5: Teorema da função inversa e implícita - Matemática


Teorema da função inversa e implícitaNota: palestras FIXME Para provar o teorema da função inversa, usamos o princípio de mapeamento de contração que vimos em FIXME e que usamos para provar o teorema de Picard. Lembre-se de que um mapeamento (f dois pontos X a X ') entre dois espaços métricos ((X, d) ) e ((X', d ') ) é chamado de contração se houver um (k <1 ) de modo que [d ' bigl (f (x), f (y) bigr) leq kd (x, y) text {para todos} x, y in X. ] O princípio do mapeamento de contração diz que se (f dois pontos X a X ) é uma contração e (X ) é um espaço métrico completo, então existe um ponto fixo, ou seja, existe um (x em X ) tal que (f (x) = x ) Intuitivamente, se uma função é diferenciável, então localmente “se comporta como” a derivada (que é uma função linear). A ideia do teorema da função inversa é que se uma função é diferenciável e a derivada é invertível, a função é (localmente) invertível. Deixe (U subset { mathbb {R}} ^ n ) ser um conjunto e deixe (f dois pontos U para { mathbb {R}} ^ n ) ser uma função continuamente diferenciável. Suponha também que (x_0 em U ), (f (x_0) = y_0 ) e (f '(x_0) ) é invertível (ou seja, (J_f (x_0) não = 0 ) ) Então existem conjuntos abertos (V, W subset { mathbb {R}} ^ n ) tais que (x_0 in V subconjunto U ), (f (V) = W ) e ( f | _V ) é um para um e para. Além disso, o inverso (g (y) = (f | _V) ^ {- 1} (y) ) é continuamente diferenciável e [g '(y) = { bigl (f' (x) bigr) } ^ {- 1}, qquad text {para todos os $ x em V $, $ y = f (x) $.} ] Escreva (A = f '(x_0) ). Como (f ') é contínuo, existe uma bola aberta (V ) ao redor de (x_0 ) tal que [ left lVert {A-f' (x)} right rVert < frac {1} {2 left lVert {A ^ {- 1}} right rVert} qquad text {para todos $ x em V $.} ] Observe que (f '(x) ) é invertível para todos (x em V ). Dado (y in { mathbb {R}} ^ n ), definimos ( varphi_y dois pontos C para { mathbb {R}} ^ n ) [ varphi_y (x) = x + A ^ {- 1} bigl (yf (x) bigr). ] Como (A ^ {- 1} ) é um para um, então ( varphi_y (x) = x ) ( (x ) é um ponto fixo) se apenas se (yf (x) = 0 ), ou em outras palavras (f (x) = y ) . Usando a regra da cadeia, obtemos [ varphi_y '(x) = I - A ^ {- 1} f' (x) = A ^ {- 1} bigl (A-f '(x) bigr). ] Então, para (x in V ) temos [ left lVert { varphi_y '(x)} right rVert leq left lVert {A ^ {- 1}} right rVert left lVert {A-f '(x)} right rVert < nicefrac {1} {2}. ] Como (V ) é uma bola, é convexo e, portanto, [ left lVert { varphi_y (x_1) - varphi_y (x_2)} right rVert leq frac {1} {2} left lVert {x_1-x_2} right rVert qquad text {para todos $ x_1, x_2 em V $}. ] Em outras palavras ( varphi_y ) é uma contração definida em (V ), embora até agora não saibamos qual é o intervalo de ( varphi_y ). Não podemos aplicar o teorema do ponto fixo, mas podemos dizer que ( varphi_y ) tem no máximo um ponto fixo (observe a prova de unicidade no princípio do mapeamento de contração). Ou seja, existe no máximo um (x em V ) tal que (f (x) = y ), e então (f | _V ) é um-para-um. Vamos (W = f (V) ). Precisamos mostrar que (W ) está aberto. Pegue um (y_1 em W ), então há um único (x_1 em V ) tal que (f (x_1) = y_1 ). Seja (r> 0 ) pequeno o suficiente para que a bola fechada (C (x_1, r) subconjunto V ) (como (r> 0 ) exista como (V ) está aberto). Suponha que (y ) é tal que [ left lVert {y-y_1} right rVert < frac {r} {2 left lVert {A ^ {- 1}} right rVert}. ] Se pudermos mostrar que (y em W ), então mostramos que (W ) está aberto. Defina ( varphi_y (x) = x + A ^ {- 1} bigl (y-f (x) bigr) ) como antes. Se (x in C (x_1, r) ), então [ begin {split} left lVert { varphi_y (x) -x_1} right rVert & leq left lVert { varphi_y (x) - varphi_y (x_1)} right rVert + left lVert { varphi_y (x_1) -x_1} right rVert & leq frac {1} {2} left lVert { x-x_1} right rVert + left lVert {A ^ {- 1} (y-y_1)} right rVert & leq frac {1} {2} r + left lVert { A ^ {- 1}} right rVert left lVert {y-y_1} right rVert & < frac {1} {2} r + left lVert {A ^ {- 1}} right rVert frac {r} {2 left lVert {A ^ {- 1}} right rVert} = r. end {split} ] Então ( varphi_y ) leva (C (x_1, r) ) em (B (x_1, r) subconjunto C (x_1, r) ). É uma contração em (C (x_1, r) ) e (C (x_1, r) ) está completo (subconjunto fechado de ({ mathbb {R}} ^ n ) está completo). Aplique o princípio de mapeamento de contração para obter um ponto fixo (x ), ou seja, ( varphi_y (x) = x ). Isso é (f (x) = y ). Portanto, (y in f bigl (C (x_1, r) bigr) subconjunto f (V) = W ). Portanto, (W ) está aberto. Em seguida, precisamos mostrar que (g ) é continuamente diferenciável e calcular sua derivada. Primeiro, vamos mostrar que é diferenciável. Seja (y in W ) e (k in { mathbb {R}} ^ n ), (k not = 0 ), de modo que (y + k in W ). Então, existem (x in V ) e (h in { mathbb {R}} ^ n ) únicos, (h not = 0 ) e (x + h in V ) , de modo que (f (x) = y ) e (f (x + h) = y + k ) como (f | _V ) é um-para-um e no mapeamento de (V ) em (W ). Em outras palavras, (g (y) = x ) e (g (y + k) = x + h ). Ainda podemos extrair algumas informações do fato de que ( varphi_y ) é uma contração. [ varphi_y (x + h) - varphi_y (x) = h + A ^ {- 1} bigl (f (x) -f (x + h) bigr) = h - A ^ {- 1} k. ] Então [ left lVert {hA ^ {- 1} k} right rVert = left lVert { varphi_y (x + h) - varphi_y (x)} right rVert leq frac {1} {2} left lVert {x + hx} right rVert = frac { left lVert {h} right rVert} {2}. ] Pela desigualdade do triângulo inverso ( left lVert {h} right rVert - left lVert {A ^ {- 1} k} right rVert leq frac {1} {2} left lVert {h} right rVert ) então [ left lVert {h} right rVert leq 2 left lVert {A ^ {- 1} k} right rVert leq 2 left lVert {A ^ {- 1} } right rVert left lVert {k} right rVert. ] Em particular, quando (k ) vai para 0, também vai (h ). Como (x in V ), então (f '(x) ) é invertível. Seja (B = bigl (f '(x) bigr) ^ {- 1} ), que é o que pensamos ser a derivada de (g ) em (y ). Então [ begin {split} frac { left lVert {g (y + k) -g (y) -Bk} right rVert} { left lVert {k} right rVert} & = frac { left lVert {h-Bk} right rVert} { left lVert {k} right rVert} & = frac { left lVert {hB bigl (f (x + h) -f (x) bigr)} right rVert} { left lVert {k} right rVert} & = frac { left lVert {B bigl (f (x + h ) -f (x) -f '(x) h bigr)} right rVert} { left lVert {k} right rVert} & leq left lVert {B} right rVert frac { left lVert {h} right rVert} { left lVert {k} right rVert} , frac { left lVert {f (x + h) -f (x) -f '(x) h} right rVert} { left lVert {h} right rVert} & leq 2 left lVert {B} right rVert left lVert {A ^ {-1}} right rVert frac { left lVert {f (x + h) -f (x) -f '(x) h} right rVert} { left lVert {h} direita rVert}. end {split} ] Conforme (k ) vai para 0, o mesmo acontece com (h ). Portanto, o lado direito vai para 0, pois (f ) é diferenciável e, portanto, o lado esquerdo também vai para 0. E (B ) é precisamente o que queríamos que (g '(y) ) fosse .Temos que (g ) é diferenciável, vamos mostrar que é (C ^ 1 (W) ). Agora, (g dois pontos W a V ) é contínua (é diferenciável), (f ') é uma função contínua de (V ) a (L ({ mathbb {R}} ^ n) ), e (X a X ^ {- 1} ) é uma função contínua. (g '(y) = { bigl (f' bigl (g (y) bigr) bigr)} ^ {- 1} ) é a composição dessas três funções contínuas e, portanto, é contínua. Suponha que (U subset { mathbb {R}} ^ n ) está aberto e (f dois pontos U to { mathbb {R}} ^ n ) é um mapeamento continuamente diferenciável de modo que (f '(x ) ) é invertível para todos (x em U ). Então, dado qualquer conjunto aberto (V subconjunto U ), (f (V) ) é aberto. ( (f ) é um mapeamento aberto). Sem perda de generalidade, suponha que (U = V ). Para cada ponto (y in f (V) ), escolhemos (x in f ^ {- 1} (y) ) (pode haver mais de um ponto), então pelo teorema da função inversa há uma vizinhança de (x ) em (V ) que mapeia para uma vizinhança de (y ). Portanto, (f (V) ) é aberto. O teorema, e o corolário, não são verdadeiros se (f '(x) ) não é invertível para algum (x ). Por exemplo, o mapa (f (x, y) = (x, xy) ), mapeia ({ mathbb {R}} ^ 2 ) no conjunto ({ mathbb {R}} ^ 2 setminus {(0, y): y neq 0 } ), que não está aberto nem fechado. Na verdade (f ^ {- 1} (0,0) = {(0, y): y in { mathbb {R}} } ). Observe que esse mau comportamento ocorre apenas no eixo (y ), em todos os outros lugares onde a função é invertível localmente. Na verdade, se evitarmos o eixo (y ) - é até um para um. Observe também que só porque (f '(x) ) é invertível em todos os lugares não significa que (f ) é um para -um globalmente. É "localmente" um a um, mas talvez não "globalmente". Por exemplo, pegue o mapa (f dois pontos { mathbb {R}} ^ 2 setminus {0 } para { mathbb {R}} ^ 2 ) definido por (f (x, y ) = (x ^ 2-y ^ 2,2xy) ). Resta ao aluno mostrar que (f ) é diferenciável e a derivada é invertível. Por outro lado, o mapeamento é 2 para 1 globalmente. Para cada ((a, b) ) que não é a origem, existem exatamente duas soluções para (x ^ 2-y ^ 2 = a ) e (2xy = b ). Deixamos para o aluno mostrar que existe pelo menos uma solução, e então notamos que substituindo (x ) e (y ) por (- x ) e (- y ) obtemos outra solução .Também note que a invertibilidade da derivada não é uma condição necessária, apenas suficiente para ter uma inversa contínua e ser um mapeamento aberto. Por exemplo, a função (f (x) = x ^ 3 ) é um mapeamento aberto de ({ mathbb {R}} ) para ({ mathbb {R}} ) e é globalmente um para -um com uma inversa contínua. Teorema da função implícita O teorema da função inversa é realmente um caso especial do teorema da função implícita que provamos a seguir. Embora um tanto ironicamente, provamos o teorema da função implícita usando o teorema da função inversa. O que estávamos mostrando no teorema da função inversa era que a equação (xf (y) = 0 ) era solucionável para (y ) em termos de (x ) se a derivada em termos de (y ) era invertível, isto é, se (f '(y) ) era invertível. Ou seja, havia localmente uma função (g ) tal que (xf bigl (g (x) bigr) = 0 ). OK, então que tal olharmos para a equação (f (x, y) = 0 ). Obviamente, isso não pode ser resolvido para (y ) em termos de (x ) em todos os casos. Por exemplo, quando (f (x, y) ) não depende realmente de (y ). Para um exemplo um pouco mais complicado, observe que (x ^ 2 + y ^ 2-1 = 0 ) define o círculo unitário, e podemos resolver localmente para (y ) em termos de (x ) quando 1 ) estamos perto de um ponto que se encontra no círculo unitário e 2) quando não estamos em um ponto onde o círculo tem uma tangência vertical, ou em outras palavras onde ( frac { partial f} { partial y} = 0 ). Para tornar as coisas simples, fixamos algumas notações. Deixamos ((x, y) in { mathbb {R}} ^ {n + m} ) denotar as coordenadas ((x ^ 1, ldots, x ^ n, y ^ 1, ldots, y ^ m) ). Uma transformação linear (A in L ({ mathbb {R}} ^ {n + m}, { mathbb {R}} ^ m) ) pode então ser sempre escrita como (A = [A_x ~ A_y ] ) de modo que (A (x, y) = A_x x + A_y y ), onde (A_x in L ({ mathbb {R}} ^ n, { mathbb {R}} ^ m) ) e (A_y in L ({ mathbb {R}} ^ m) ). Let (A = [A_x ~ A_y] in L ({ mathbb {R}} ^ {n + m} , { mathbb {R}} ^ m) ) e suponha que (A_y ) seja invertível, então deixe (B = - {(A_y)} ^ {- 1} A_x ) e observe que [0 = A (x, Bx) = A_x x + A_y Bx. ] A prova é óbvia. Simplesmente resolvemos e obtemos (y = Bx ). Vamos, portanto, mostrar que o mesmo pode ser feito para funções (C ^ 1 ). [Thm: implícito] Seja (U subset { mathbb {R}} ^ {n + m} ) um conjunto aberto e seja (f colon U to { mathbb {R}} ^ m ) um mapeamento (C ^ 1 (U) ). Seja ((x_0, y_0) in U ) um ponto tal que (f (x_0, y_0) = 0 ) e tal que [ frac { parcial (f ^ 1, ldots, f ^ m)} { partial (y ^ 1, ldots, y ^ m)} (x_0, y_0) neq 0. ] Então existe um conjunto aberto (W subset { mathbb {R}} ^ n ) com (x_0 em W ), um conjunto aberto (W ' subconjunto { mathbb {R}} ^ m ) com (y_0 em W' ), com (W vezes W ' subconjunto U ), e um mapeamento (C ^ 1 (W) ) (g dois pontos W para W' ), com (g (x_0) = y_0 ), e para todos ( x em W ), o ponto (g (x) ) é o único ponto em (W ') tal que [f bigl (x, g (x) bigr) = 0. ] Além disso, se ([A_x ~ A_y] = f '(x_0, y_0) ), então [g' (x_0) = - {(A_y)} ^ {- 1} A_x. ] FIXME: e estes são TODOS os pontos onde (f ) desaparece perto de (x_0, y_0 ). A condição ( frac { parcial (f ^ 1, ldots, f ^ m)} { parcial (y ^ 1, ldots, y ^ m)} (x_0, y_0) = det (A_y) neq 0 ) significa simplesmente que (A_y ) é invertível.Define (F dois pontos U to { mathbb {R}} ^ {n + m} ) por (F (x, y): = bigl (x, f (x, y) bigr) ). É claro que (F ) é (C ^ 1 ), e queremos mostrar que a derivada em ((x_0, y_0) ) é invertível. Vamos calcular a derivada. Sabemos que [ frac { left lVert {f (x_0 + h, y_0 + k) - f (x_0, y_0) - A_x h - A_y k} right rVert} { left lVert {(h , k)} right rVert} ] vai para zero como ( left lVert {(h, k)} right rVert = sqrt { left lVert {h} right rVert ^ 2 + left lVert {k} right rVert ^ 2} ) vai para zero. Mas então o mesmo acontece com [ frac { left lVert { bigl (h, f (x_0 + h, y_0 + k) -f (x_0, y_0) bigr) - (h, A_x h + A_y k)} right rVert} { left lVert {(h, k)} right rVert} = frac { left lVert {f (x_0 + h, y_0 + k) - f (x_0, y_0) - A_x h - A_y k} right rVert} { left lVert {(h, k)} right rVert}. ] Portanto, a derivada de (F ) em ((x_0, y_0) ) leva ((h, k) ) a ((h, A_x h + A_y k) ). Se ((h, A_x h + A_y k) = (0,0) ), então (h = 0 ), e assim (A_y k = 0 ). Como (A_y ) é um-para-um, então (k = 0 ). Portanto (F '(x_0, y_0) ) é um-para-um ou em outras palavras invertível e podemos aplicar o teorema da função inversa. Ou seja, existe algum conjunto aberto (V subset { mathbb {R }} ^ {n + m} ) com ((x_0,0) em V ), e um mapeamento inverso (G dois pontos V para { mathbb {R}} ^ {n + m} ), isto é (F bigl (G (x, s) bigr) = (x, s) ) para todos ((x, s) em V ) (onde (x em { mathbb {R}} ^ n ) e (s in { mathbb {R}} ^ m )). Escreva (G = (G_1, G_2) ) (o primeiro (n ) e o segundo (m ) componentes de (G )). Então [F bigl (G_1 (x, s), G_2 (x, s) bigr) = bigl (G_1 (x, s), f (G_1 (x, s), G_2 (x, s)) bigr) = (x, s). ] Então (x = G_1 (x, s) ) e (f bigl (G_1 (x, s), G_2 (x, s)) = f bigl (x, G_2 (x, s) bigr) = s ). Conectando (s = 0 ), obtemos [f bigl (x, G_2 (x, 0) bigr) = 0. ] O conjunto (G (V) ) contém toda uma vizinhança do ponto ((x_0, y_0) ) e, portanto, há alguns abertos O conjunto (V ) está aberto e, portanto, existem alguns conjuntos abertos ( tilde {W} ) e (W ') tais que ( tilde {W} times W ' subconjunto G (V) ) com (x_0 in tilde {W} ) e (y_0 in W' ). Então pegue (W = {x in tilde {W}: G_2 (x, 0) in W '} ). A função que leva (x ) a (G_2 (x, 0) ) é contínua e, portanto, (W ) está aberta. Definimos (g dois pontos W para { mathbb {R}} ^ m ) por (g (x): = G_2 (x, 0) ) que é o (g ) no teorema. O fato de que (g (x) ) é o único ponto em (W ') segue porque (W vezes W' subconjunto G (V) ) e (G ) é um-para- um e em (G (V) ). Em seguida, diferencie [x mapsto f bigl (x, g (x) bigr), ] em (x_0 ), que deve ser o mapa zero. A derivada é feita da mesma maneira que acima. Obtemos isso para todos (h in { mathbb {R}} ^ {n} ) [0 = A bigl (h, g '(x_0) h bigr) = A_xh + A_yg' (x_0) h, ] e obtemos a derivada desejada para (g ) também. Em outras palavras, no contexto do teorema, temos (m ) equações em (n + m ) incógnitas. [ begin {alinhados} & f ^ 1 (x_1, ldots, x_n, y_1, ldots, y_m) = 0 & qquad qquad qquad vdots & f ^ m (x_1, ldots , x_n, y_1, ldots, y_m) = 0 end {alinhados} ] E a condição que garante uma solução é que este é um mapeamento (C ^ 1 ) (que todos os componentes são (C ^ 1 ), ou em outras palavras, todas as derivadas parciais existem e são contínuas), e a matriz [ begin {bmatrix} frac { partial f ^ 1} { partial y ^ 1} & ldots & frac { parcial f ^ 1} { parcial y ^ m} vdots & ddots & vdots frac { parcial f ^ m} { parcial y ^ 1} & ldots & frac { parcial f ^ m} { parcial y ^ m} end {bmatriz} ] é invertível em ((x_0, y_0) ). Considere o conjunto (x ^ 2 + y ^ 2 - {(z + 1)} ^ 3 = -1 ), (e ^ x + e ^ y + e ^ z = 3 ) próximo ao ponto ((0,0,0) ). A função que estamos olhando é [f (x, y, z) = (x ^ 2 + y ^ 2 - {(z + 1)} ^ 3 + 1, e ^ x + e ^ y + e ^ z -3). ] Descobrimos que [Df = begin {bmatrix} 2x & 2y & -3 {(z + 1)} ^ 2 e ^ x & e ^ y & e ^ z end {bmatrix }. ] A matriz [ begin {bmatrix} 2 (0) & -3 {(0 + 1)} ^ 2 e ^ 0 & e ^ 0 end {bmatrix} = begin {bmatrix} 0 & -3 1 & 1 end {bmatrix} ] é invertível. Portanto, próximo a ((0,0,0) ), podemos encontrar (y ) e (z ) como (C ^ 1 ) funções de (x ) tais que para (x ) perto de 0 temos [x ^ 2 + y (x) ^ 2 - {(z (x) +1)} ^ 3 = -1, qquad e ^ x + e ^ {y (x)} + e ^ {z (x)} = 3. ] O teorema não nos diz como encontrar (y (x) ) e (z (x) ) explicitamente, apenas nos diz que eles existem. Em outras palavras, próximo à origem, o conjunto de soluções é uma curva suave em ({ mathbb {R}} ^ 3 ) que passa pela origem. Observe que existem versões do teorema para muitas derivadas arbitrariamente. Se (f ) tem (k ) derivadas contínuas, então a solução também tem (k ) derivadas.

Encontre o valor máximo da coordenada no elipsóide usando o teorema da função implícita.

Defina a função e suponha que o ponto com o valor máximo da coordenada seja. O que também significa que está no elipsóide.

Então, do IFT sabemos abrir e abrir, e há uma função tal que:

Uma vez que é o ponto que procuramos, segue-se. Então

que produz. Conectando isso, obtemos ou. Como estamos interessados ​​no valor máximo da coordenada, escolhemos como nossa solução possível. Portanto, nosso valor máximo atual para é.

Precisamos verificar o caso onde.

Portanto, nosso ponto é. Não podemos usar o IFT para a coordenada, mas podemos fazer isso para a coordenada. Encontrar o mínimo de será o mesmo que encontrar o máximo de.

Então, a partir do IFT, abra, e abra, e uma função tal que:

Uma vez que é o ponto de que precisamos, onde o mínimo de é,.

Daí o significado e assim é o nosso ponto.

Conectando isso, obtemos de modo que não seja o máximo da coordenada.

Parte 2.2: Suponha, ou em outras palavras e nosso ponto é.

Conectando-o, obtemos de modo que também não seja o máximo.

No geral, o ponto que estávamos procurando é e o valor máximo da coordenada é.


Encontre o máximo e o mínimo da função que satisfaz

A área definida é compacta, portanto tal função admitiria um mínimo e um máximo. Suponha que seja o ponto da curva com valor máximo.

Definir . Observe que como está na curva, é.

Suponha que, portanto, a partir do IFT aberto, e aberto, e uma função tal que:

Resulta da diferenciação implícita que, que é zero em, então.

Resolvendo este sistema, descobrimos que é o potencial mínimo e o potencial máximo.


O Teorema da Função Implícita

O teorema da função implícita é parte do alicerce da análise matemática e da geometria. Encontrando sua gênese em estudos do século XVIII de funções analíticas reais e mecânica, os teoremas de função implícita e inversa agora floresceram em ferramentas poderosas nas teorias de equações diferenciais parciais, geometria diferencial e análise geométrica.

Existem muitas formas diferentes do teorema da função implícita, incluindo (i) a formulação clássica para funções C k, (ii) formulações em outros espaços de funções, (iii) formulações para funções não suaves, (iv) formulações para funções com degeneração Jacobiano. Teoremas de função implícita particularmente poderosos, como o teorema de Nash-Moser, foram desenvolvidos para aplicações específicas (por exemplo, a incorporação de variedades Riemannianas). Todos esses tópicos, e muitos mais, são tratados no presente volume.

A história do teorema da função implícita é uma loja viva e complexa, e está intimamente ligada ao desenvolvimento de idéias fundamentais em análise e geometria. Todo esse desenvolvimento, junto com exemplos matemáticos e provas, é recontado pela primeira vez aqui. É um conto emocionante e continua a evoluir.

O Teorema da Função Implícita é um tratamento acessível e completo dos teoremas da função implícita e inversa e suas aplicações. Será de interesse para matemáticos, acrobacias de graduação / graduação avançada e para aqueles que aplicam a matemática. O livro unifica ideias díspares que desempenharam um papel importante na matemática moderna. Ele serve para documentar e contextualizar um corpo substancial de idéias matemáticas.

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—JOURNAL OF OPERATOR THEORY

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--- Aplicações da Matemática

"Este pequeno livro consiste em seis capítulos e é inteiramente dedicado a um dos resultados mais importantes da análise - o teorema da função implícita e suas variações. O livro começa com comentários históricos sobre a evolução das ideias que levam ao teorema... O livro atrairá uma grande parte da comunidade matemática, uma vez que todos encontrarão lá algumas generalizações de resultados clássicos em uma forma muito legível. "


Isso ajuda em alguma coisa?
http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfImplicitFunctionTheorem.html [Quebrado]

Parece um assunto muito profundo, porque esse cara escreveu um livro inteiro sobre o Teorema da Função Implícita:
http://www.birkhauser.ch/books/math/4285.htm

& quotA história do teorema da função implícita é uma história viva e complexa e está intimamente ligada ao desenvolvimento de ideias fundamentais em análise e geometria. Todo esse desenvolvimento, junto com exemplos matemáticos e provas, é recontado pela primeira vez aqui. É um conto emocionante e continua a evoluir. & Quot

hum. sim, soa como um verdadeiro virador de página. Acho que fiquei presa ao lado desse cara em um coquetel uma vez. : zzz:

O teorema da função implícita em 2 vbls é muito fácil de entender. que tal uma explicação em vez de uma prova real?

Tecnicamente, a afirmação é que se f (x, y) é uma função de duas variáveis ​​com derivadas parciais contínuas em um ponto (a, b), e se y parcial em (a, b) é diferente de zero, então há um vizinhança retangular de (a, b) em que o locus dos pontos onde f (x, y) = f (a, b) é uma curva no plano (x, y) que se parece com o gráfico de uma função diferenciável de x , diga y = g (x).

O que essa hipótese significa é que a função f (x, y) divide o plano (x, y) próximo a (a, b) em curvas diferenciáveis ​​onde o valor de f é constante, e que a curva que passa por (a , b), ou seja, a curva de pontos onde f (x, y) tem o mesmo valor que tem em (a, b), é uma curva suave.

Além disso, uma vez que y parcial de f em (a, b) não é zero, isso significa que a linha tangente a esta "curva de nível" não é vertical. (O vetor gradiente é o vetor perpendicular a esta curva, e y parcial não sendo zero significa que o gradiente tem um componente y, então o vetor perpendicular, tangente à curva tem um componente x, portanto, não é vertical.)

OK, agora vemos que a hipótese do teorema diz que a curva de pontos onde f (x, y) tem o mesmo valor que tem em (a, b), é uma curva suave cujo vetor tangente não é vertical em (a , b). Mas isso significa apenas que essa curva também não é vertical, ou seja, ela passa no teste de linha vertical perto desse ponto, ou seja, é localmente o gráfico de uma função.

Mais fácil ?: considere uma função linear de duas variáveis ​​f (x, y) = rx + sy + c de modo que s não seja zero. Então, como s não é zero, a linha definida ao definir essa expressão igual a c, não é vertical, portanto, é o gráfico de uma função, já que podemos dividir por se obter y como uma função de x.

Agora, se f é qualquer função diferenciável, então próximo a (a, b), f é bem aproximado pela função linear (df / dx) (a, b) (xa) + (df / dy) (a, b) (yb ) + f (a, b), ou seja, por uma função linear rx + sy + c, como acima, onde r é a derivada x es é a derivada y de f.

A hipótese do teorema da função implícita é que a linha definida ao definir essa aproximação linear igual af (a, b) não é vertical. Uma vez que essa linha é tangente à curva obtida definindo f (x, y) = f (a, b), então essa curva também não é vertical. É isso.

Em geral, o teorema da função implícita apenas diz que se na aproximação linear af, em um ponto p, você pode resolver algumas das variáveis ​​em termos das outras, então isso também é verdadeiro para o f original, pelo menos perto do dado apontar.


bem, talvez eu esteja provando que o assunto é difícil, mas uma imagem mostraria que não é em um segundo.


Probabilidade e Variáveis ​​Aleatórias

FABRIZIO GABBIANI, STEVEN J. COX, em Matemática para Neurocientistas, 2010

11.8 TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS *

Deixar X ser uma variável aleatória contínua com densidade de probabilidade pX (x) obtendo valores ao longo do intervalo eu = (a, b) (com valores de limite possivelmente infinitos uma e b) Se g(x) é uma função suave, podemos definir uma nova variável aleatória Y = g(X). Y é a transformação de X por meio da função g. Surge uma pergunta: qual é a distribuição de probabilidade de Y dado que de X? Vamos supor primeiro que g(eu) = (CD) e essa dg / dx ≠ 0 over eu (por exemplo., g(x) = αx ) De acordo com o teorema da função inversa, g é invertível em (a, b) e dg −1 (g(x))/tingir = 1/g ′(x) sobre (CD) Estamos procurando uma fórmula explícita para a densidade de probabilidade,

em termos da densidade de probabilidade de X. A probabilidade de que Y ≤ y0 é dado pela probabilidade (sobre a variável aleatória X) que a função característica (lembre-se da Eq. (1.6)), 1 (c, y 0) (g (x)), é igual a 1. Isso é

Comparando com a Eq. (11.15) nós obtemos

Esta equação pode ser generalizada para o caso em que g é localmente invertível em um conjunto aberto eu. Por exemplo, se X é uma variável aleatória tomando valores no intervalo (-b, b) (com b & gt 0) e g(x) = αx 2 depois dg/ dx ≠ 0 sobre (-b,0) ∪ (0,b) Onde g pode ser invertido (Figura 11.4). Seja f ± (y) = ± y / α denotar esses inversos locais. Para y0 & gt 0,

FIGURA 11.4. Ilustração esquemática de uma transformação de variáveis ​​aleatórias. No primeiro exemplo, Y = g (X) é uma função linear de X (Y = αX, linha pontilhada traço). No segundo exemplo, Y é uma função quadrática de X (Y = αX 2, linha tracejada).

e pelos argumentos apresentados acima,


Diferenciação: Teorema da função implícita.

Em primeiro lugar, precisamos introduzir a ideia de uma função implícita, ou seja, uma função está implícita se a função não for explícita.

Uma função explícita é uma função que possui uma variável singular de um lado, com apenas as outras variáveis ​​do outro lado.

Ou seja, se tivermos uma função com xey, uma função explícita é y = f (x), e uma função implícita é uma função onde z = f (x, y), onde z é qualquer expressão, que pode ser com x e y.

Considere o círculo unitário, que é definido pelo conjunto de pontos tais que. Esta é uma relação implícita entre xey, uma vez que a equação tem a forma expressa acima.

No entanto, podemos reorganizar essa função para obter:

A partir disso, podemos usar a equação para definir uma função de Esta equação descreve o semicírculo superior.

Não podemos ampliar o domínio desta função porque

A partir disso, transformamos uma relação implícita global em uma função local explícita, conforme descrito acima.

Para pensar nisso de outra maneira, expressamos o círculo unitário como a pré-imagem de um bom valor de uma função legal, ou seja, o círculo unitário é

Essa técnica de transformar implícito em explícito é de vital importância no cálculo. Em geral, consideramos alguma curva definida por para alguma função e alguma constante

A ideia de todo esse segmento é ter um teorema que traduza qualquer função explícita em uma função implícita para que possamos realizar cálculos na função.

Em outras palavras, em algum conjunto aberto ao redor do ponto, a curva definida implicitamente por é o gráfico de alguma função g.

No entanto, este é um caso muito específico de 2 variáveis ​​para 1 variável, então precisamos ser capazes de generalizar este teorema de Rn para Rp, precisamos de algumas ferramentas técnicas para generalizar, nomeadamente o teorema do mapeamento de contração e vários corolários facilmente derivados do teorema.

Isto foi evidentemente afirmado na análise 3 anterior, no caso específico das Normas sobre espaços vetoriais, nesta prova também provamos que:

Em particular, consideramos as contrações em uma bola:

Também consideramos famílias de contrações. Considerar

A continuidade é uma propriedade qualitativa dado um épsilon particular, a relação entre esse épsilon e seu delta correspondente geralmente não é simples. Um caso especial em que a relação é simples mostra-se muito útil em muitas situações, o da continuidade de Lipschitz:

Com essas informações, agora podemos generalizar o teorema da função implícita. Essencialmente, dada uma equação, onde, o teorema da função implícita nos diz quando podemos escrever isso como uma função explícita

A condição anterior da derivada ser diferente de zero torna-se o requisito de que o determinante do diferencial seja diferente de zero, ou seja, que o diferencial seja um mapa linear invertível.

Deixe ser uma função (onde está aberto). Em que condições podemos inverter f? Aplicando o teorema da Função Implícita a F (x,y)=-x+ f (y), obtemos o teorema da Função Inversa, que afirma que f tem uma inversa local sobre a se o diferencial for um mapa linear invertível

Quando podemos inverter f e seu inverso também é C-1, chamamos isso de difeomorfismo:


4 respostas 4

Isolinas e isosuperfícies (ou seja, linhas e áreas iguais) correspondem aos gráficos de funções implícitas e são relevantes em muitas ciências, por exemplo, isopotenciais (física), isóbaras e isotérmicas (metereologia).

Provavelmente, o exemplo mais conhecido desse tipo são as linhas de contorno topográficas (linhas de igual altitude, veja a imagem abaixo): Em uma escala suficientemente aproximada e ignorando algumas atrações turísticas geológicas, a altitude geográfica em função da longitude e latitude geográficas atende aos pré-requisitos de o teorema da função implícita. Do ponto de vista matemático, é uma função $ h $ de $ mathbb^ 2 $ a $ mathbb$ (ignorando a curvatura da Terra) e suas funções implícitas são as linhas de contorno.

(Fonte: Wiki Commons)

Outra característica notável da maioria das isolinhas ou superfícies da vida real é: Se tudo o que for igual nelas atua como algum tipo de potencial, as forças correspondentes atuam perpendiculares às isolinhas ou superfícies. Por exemplo, se você colocar uma bola em alguma geografia, ela começará a rolar perpendicularmente às linhas de contorno.

A aplicação fácil mais notável do teorema da função implícita é, em minha opinião, a regularidade das raízes dos polinômios em termos de seus coeficientes. The only issue is that you have to deal with multiplicity to state the full version, but understanding what happens around a simple root is already interesting.

More generally, you can interpret the implicit function theorem as saying that "a smooth family of equations have solutions that vary smoothly", and it is easy to build ad hoc examples.

I can't offer you a good and interesting example, but a nice geometric interpretation. My math professor (Rainer Wüst from TU Berlin) had presented the theorem in way which was easier to digest: He started with a function $f$ which is continuously differentiable in a domain $mathcal G$ in $^2$. He writes in his book "an approach which is completely unnecessary, from a mathematical point of view."

One can give a geometric interpretation to the assertion of the implicit function theorem, which I'll repeat here in his formulation: If $f(y_0,x_0)=0$ and with some conditions on the partial derivatives, there exists a neighborhood $V$ of $x_0$ and a function $h$ which is continuously differntiable in $V$ with $f(x_0)=y_0$ and $f(h(x),x)=0$ for all $xin V$. (Note the deliberate order of $y$ and $x$, which I copied from his book.)

The set $H=<(y,x)in mathcal G: f(y,x)=0>$ should consist of curves, at least under 'reasonable' assumptions on $f$. The conditions of the theorem ensure that $(y_0,x_0)in H$ and that the tangent to the curve at this point is not parallel to the $y$-axis. The therorem states that we can represent this curve, at least in a neighborhood of $x_0$, as a function of $x$.

One specific example for this interpretation is $f(y,x)=x^2+y^2 +1$ where $H$ is the unit circle.

One nice family of examples is brought to us from thermodynamics.

For example, the ideal gas law states: $ PV = nRT $ where $P,V,n,T$ are generally variables which describe the pressure, volume, number of particles and temperature of a gas. We calculate the total differential: $ VdP+PdV= RTdn+RndT $ This equation of differentials contains a multitude of possible interpretations. One beautiful truth, at the outset, this total differential contains all those choices. In the absence of further constraints, any one of the four variables here can be taken as the dependent variable which is given by a function of the three remaining variables. The possibility of taking a given variable as dependent simply amounts to the algebraic freedom to solve for the differential of that variable. For example, $ dP = frac<1>(-PdV+RTdn+RndT) (star)$ Clearly $V=0$ is troubling, we can only expect to find $P = P(V,n,T)$ in some set where $V eq 0$. Of course, this is not really an impediment here as negative volumes are hard to find. In any event, we can read the partial derivatives of $P$ with respect to $V,n,T$ directly from $star$, $ left(frac ight)_ = frac<-P>, left(frac ight)_ = frac, left(frac ight)_ = frac $ The notation above is perhaps redundant given the context, however, in general in applications where there are multiple interpretations possible for a set of variables it is nice to be able to explicitly indicate which variables are taken to be independent.

Generalizing a bit: This example is not hard enough to really appreciate the method of differentials as it explains partial derivatives for sets of variables. Essentially the same analysis is possible for several equations which govern some set of variables. In general, the meaning of something like $frac$ is ambiguous. The value depends on the set of variables which is taken as independent as well as the defining equations (constraints) for the problem. What justifies this formal method? It's the implicit function theorem. Thus, if you play with these differentials a bit and gain a better sense of how the Jacobian can be used to linearize a mapping then the implicit function theorem is not at all abstract. It's simply the condition needed to solve a given linearization for certain variables in terms of the remaining variables.

We can be more greedy, the contraction mapping principle paired with a Newton's method type argument even gives a sequence of functions which converges to the implicit solution in a particular manner. So, the intuition I sketch above is just the first step in understanding this deeper result. Edwards' Advanced Calculus is once source for the implicit and inverse mapping theorems paired with the contraction mapping based solution sequence results.

There is a better answer to give here. So many of the interesting theorems ultimately rest on the implicit function theorem. In some sense, those theorems are the real triumph of the implicit function theorem.


Inverse and implicit function theorems with domain

I have seen an author use the Implicit Function Theorem for a map whose second partial derivative has a bounded inverse, but is unbounded. The map itself is not defined on an open set, but only on a domain. I failed to find a convincing reference, so I ask here.

To be more precise, assume $X$ is a Banach space, $D$ a linear subspace (dense if needed) and $A$ an unbounded closed linear operator of $X$, with domain $D$. Let $b:Usubset X o X$ be an analytic map where $U$ is an open set. Consider the map $Phi:Ucap D o X$ defined by $Phi(x)=Ax+b(x)$.

Assume that at some point $x_0in Ucap D$, the linear unbounded operator $A+Db_:D o X$ is injective and has a bounded right inverse (which thus takes its values in $D$). Is it true that there is an analytic map $Psi:V o X$, defined in a neighborhood $V$ of $Phi(x_0)$, taking its values in $Dcap U$, such that for all $xin V$ it holds $Phi(Psi(x))=x$?

Any similar statement, pointers to literature, Implicit Function Theorem variants would be helpful. Maybe the usual proof only needs some slight adaptation, but right know I don't see it.

Edit: the question is basically answered by Michael Renardy comment.

I also wonder what would be the general definition of an analytic map in such context, where the map is only define on a dense subspace.


9.5: Inverse and implicit function Theorem - Mathematics

Many important problems in mathematics involve the solution of equations or systems of equations. In this chapter we study the central existence theorems of multivariable calculus that pertain to such problems. The inverse mapping theorem (Theorem 3.3) deals with the problem of solving a system of n equations in n unknowns, while the implicit mapping theorem (Theorem 3.4) deals with a system of n equations in m + n variables x1, . . . , xm, y1, . . . , yn, the problem being to solve for y1, . . . , yn as functions of x1, . . . , xm.

Our method of treatment of these problems is based on a fixed point theorem known as the contraction mapping theorem. This method not only suffices to establish (under appropriate conditions) the existence of a solution of a system of equations, but also yields an explicitly defined sequence of successive approximations converging to that solution.

In Section 1 we discuss the special cases n = 1, m = 1, that is, the solution of a single equation f(x) = 0 or G(x, y) = 0 in one unknown. In Section 2 we give a multivariable generalization of the mean value theorem that is needed for the proofs in Section 3 of the inverse and implicit mapping theorems. In Section 4 these basic theorems are applied to complete the discussion of manifolds that was begun in Chapter II (in connection with Lagrange multipliers).

Chapter 1. NEWTON'S METHOD AND CONTRACTION MAPPINGS

There is a simple technique of elementary calculus known as Newton's method, for approximating the solution of an equation f(x) = 0, where f : is a função. Let [uma, b] be an interval on which f&prime(x) is nonzero and f(x) changes sign, so the equation f(x) = 0 has a single root . Given an arbitrary point , linear approximation gives

Under appropriate hypotheses it can be proved that the sequence defined inductively by (1) converges to the root x*. We shall not include such a proof here, because our main interest lines in a certain modification of Newton&lsquos method, rather than in Newton’s method itself.

In order to avoid the repetitious computation of the derivatives f&prime(x0), f&prime(x1), . . . , f&prime(xn), . . . required in (1), it is tempting to simplify the method by considering instead of (1) the alternative sequence defined inductively by

But this sequence may fail to converge, as illustrated by Fig. 3.2. However there is a similar simplification which “works” we consider the sequence defined inductively by

Onde M = max f&prime(x) E se f&prime(x) > 0 on [uma, b], and M = &minus max f&prime(x) E se f&prime(x) 0, then the sequence defined by (2) converges to x*, with M being an upper bound for f&prime(x) near x*.

Now let us turn the question around. Given a point x* Onde f(x*) = 0, and a number y close to 0, can we find a point x near x* de tal modo que f(x) = y? More generally, supposing that f(uma) = b, and that y is close to b, can we find x close to uma de tal modo que f(x) = y? If so, then

is then a first approximation to a point x de tal modo que f(x) = y. This suggests the conjecture that the sequence definido por

converges to a point x de tal modo que f(x) = y. In fact we will now prove that the slightly simpler sequence, with f&prime(xn) replaced by f&prime(uma), converges to the desired point x E se y is sufficiently close to b.

Theorem 1.3 Deixar f: &rarr be a function such that f(uma) = b e f&prime(uma) &ne 0. Then there exist neighborhoods você = [a &minus &delta, a + &delta] of uma e V = [b &minus &epsilon, b + &epsilon] of b such that, given , the sequence defined inductively by

converges to a (unique) point de tal modo que f(x*) = y*.

PROOF Choose &delta > 0 so small that

Then let . It suffices to show that

is a contraction mapping of você E se , since &phi(x*) = x* clearly implies that f(x*) = y*.

E se x &isin você, so &phi has contraction constant . It remains to show that, if , então &phi maps the interval você into itself. Mas

E se e . Desse modo as desired.

This theorem provides a method for computing local inverse functions by successive approximations. Dado y &isin V, define g(y) to be that point x &isin você given by the theorem, such that f(x) = y. Então f e g are local inverse functions. If we define a sequence of functions on V de

then we see [by setting xn = gn(y)] that this sequence of functions converges to g.

Thus it appears that we are generating partial sums of the binomial expansion

of the inverse function g(y) = (1 + y) 1/2 .

Next we want to discuss the problem of solving an equation of the form G(x, y) = 0 for y as a function of x. We will say that y = f(x) solves the equation G(x, y) = 0 in a neighborhood of the point (uma, b) if G(uma, b) = 0 and the graph of f agrees with the zero set of G near (uma, b) By the latter we mean that there exists a neighborhood C of (uma, b), such that a point (x,y) &isin C lies on the zero set of G se e apenas se y = f(x) That is, if (x,y) &isin C, então G(x, y) = 0 if and only if y = f(x).

Theorem 1.4 below is the implicit function theorem for the simplest case m = n = 1. Consideration of equations such as x 2 &minus y 2 = 0 near (0, 0), and x 2 + y 2 &minus 1 = 0 near (1, 0), shows that the hypothesis D2 G(uma, b) &ne 0 is necessary.

Theorem 1.4 Deixar G : 2 &rarr be a function, and a point such that G(uma, b) = 0 and D2 G(uma, b) &ne 0. Then there exists a continuous function f : J &rarr , defined on a closed interval centered at uma, such that y = f(x) solves the equation G(x, y) = 0 in a neighborhood of the point (uma, b).

In particular, if the functions are defined inductively by

then the sequence converges uniformly to f sobre J.

Dado , define Gx* : [d1, d2] &rarr de

Desde a Gx*(d1) 0 on [d1, d2] the intermediate value theorem (see the Appendix) yields a unique point de tal modo que

Defining f : [c1, c2] &rarr de f(x*) = y* for each , we have a function such that y = f(x) solves the equation G(x, y) = 0 in the neighborhood Q of (uma, b).

We want to compute y* = f(x*) by successive approximations. By linear approximation we have

is our first approximation to y*. Similarly we obtain

as the (n + 1)th approximation.

What we shall prove is that, if the rectangle Q is sufficiently small, then the slightly simpler sequence defined inductively by

PROOF First choose &epsilon > 0 such that

E se e . Then choose &delta > 0 less than &epsilon de tal modo que

E se . We will work inside the rectangle C = [a &minus &delta, a + &delta] × [b &minus &epsilon, b + &epsilon], assuming in addition that &delta e &epsilon are sufficiently small that .

Deixar x* be a fixed point of the interval [a &minus &delta, a + &delta] In order to prove that the sequence defined above converges to a point com G(x*, y*) = 0, it suffices to show that the function &phi : [b &minus &epsilon, b + &epsilon] &rarr , defined by

is a contraction mapping of the interval [b &minus &epsilon, b + &epsilon] First note that

since . Thus the contraction constant is .

It remains to show that . Mas

since implies .

the above argument proves that the sequence converges to the unique number de tal modo que G(x, f(x)) = 0. It remains to prove that this convergence is uniform.

To see this, we apply the error estimate of the contraction mapping theorem. Desde a because f0(x) = b e , e , we find that

so the convergence is indeed uniform. The functions are clearly continuous, so this implies that our solution f : [a &minus &delta, a + &delta] &rarr is also continuous (by Theorem VI.1.2).

REMARK We will see later (in Section 3) that the fact that G é implies that f é .

Exemplo 2 Deixar G(x, y) = x 2 + y 2 &minus 1, so G(x, y) = 0 is the unit circle. Let us solve for y = f(x) in a neighborhood of (0, 1) where D2 G(0, 1) = 2. The successive approximations given by (9) are

Thus we are generating partial sums of the binomial series

The preceding discussion is easily generalized to treat the problem of solving an equation of the form

Onde G : m +1 &rarr for y as a function x = (x1, . . . , xm) Dado f : m &rarr , we say that y = f(x) solves the equation G(x, y) = 0 in a neighborhood of (a, b) if G(a, b) = 0 and the graph of f agrees with the zero set of G near .

Theorem 1.4 is simply the case m = 1 of the following result.

Theorem 1.5 Deixar G : m +1 &rarr be a function, and a point such that G(a, b) = 0 and Dm+1 G(a, b) &ne 0. Then there exists a continuous function f : J &rarr , defined on a closed cube centered at , such that y = f(x) solves the equation G(x, y) = 0 in a neighborhood of the point (a, b).

In particular, if the functions are defined inductively by

then the sequence converges uniformly to f sobre J.

To generalize the proof of Theorem 1.4, simply replace x, uma, x* de x, a, x* respectively, and the interval by the m-dimensional interval .

Recall that Theorem 1.5, with the strengthened conclusion that the implicitly defined function f is continuously differentiable (which will be established in Section 3), is all that was needed in Section II.5 to prove that the zero set of a function G : n &rarr is an (n &minus 1)-dimensional manifold near each point where the gradient vector &nablaG is nonzero. That is, the set

is an (n &minus 1)-manifold (Theorem II.5.4).

1.1Show that the equation x 3 + xy + y 3 = 1 can be solved for y = f(x) in a neighborhood of (1, 0).

1.2Show that the set of all points such that (x + y) 5 &minus xy = 1 is a 1-manifold.

1.3Show that the equation y 3 + x 2 y &minus 2x 3 &minus x + y = 0 defines y as a function of x (for all x) Apply Theorem 1.4 to conclude that y is a continuous function of x.

1.4Deixar f : &rarr e G : 2 &rarr be functions such that G(x, f(x)) = 0 for all . Apply the chain rule to show that

1.5Suponha que G : m +1 &rarr is a function satisfying the hypotheses of Theorem 1.5. Assuming that the implicitly defined function y = f(x1, . . . , xm) is also , show that

1.6Application of Newton's method [Eq. (1)] to the function f(x) = x 2 &minus uma, Onde uma > 0, gives the formula . Se , show that the sequence converges to , by proving that is a contraction mapping of . Then calculate accurate to three decimal places.

1.7Prove that the equation 2 &minus x &minus sin x = 0 has a unique real root, and that it lies in the interval [& pi/6, & pi/2]. Show that &phi(x) = 2 &minus sin x is a contraction mapping of this interval, and then apply Theorem 1.1 to find the root, accurate to three decimal places.

1.8Show that the equation x + y &minus z + cos xyz = 0 can be solved for z = f(x, y) in a neighborhood of the origin.

1.9Show that the equation z 3 + ze x+y + 2 = 0 has a unique solution z = f(x, y) defined for all . Conclude from Theorem 1.5 that f is continuous everywhere.

1.10If a planet moves along the ellipse x = a cos &theta, y = b pecado &theta, with the sun at the focus ((uma 2 &minus b 2 ) 1/2 , 0), and if t is the time measured from the instant the planet passes through (uma, 0), then it follows from Kepler&lsquos laws that &theta e t satisfy Kepler’s equation

Onde k is a positive constant and &epsilon = c/a, so .

(a)Show that Kepler's equation can be solved for &theta = f(t).

(c)Conclude that d&theta/dt is maximal at the “perihelion” (uma, 0), and is minimal at the “aphelion” (&minusuma, 0).

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