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14.1: Integrais Iterados e Área


No capítulo anterior, descobrimos que poderíamos diferenciar funções de várias variáveis ​​em relação a uma variável, enquanto tratamos todas as outras variáveis ​​como constantes ou coeficientes. Podemos integrar funções de várias variáveis ​​de maneira semelhante. Por exemplo, se somos informados de que (f_x (x, y) = 2xy ), podemos tratar (y ) como permanecendo constante e integrar para obter (f (x, y) ):

[ begin {align *}
f (x, y) & = int f_x (x, y) , dx
& = int 2xy , dx
& = x ^ 2y + C.
end {align *} ]

Faça uma observação cuidadosa sobre a constante de integração, (C ). Esta "constante '' é algo com uma derivada de (0 ) em relação a (x ), então pode ser qualquer expressão que contenha apenas constantes e funções de (y ). Por exemplo, se ( f (x, y) = x ^ 2y + sin y + y ^ 3 + 17 ), então (f_x (x, y) = 2xy ). Para significar que (C ) é na verdade uma função de (y ), escrevemos:

[f (x, y) = int f_x (x, y) , dx = x ^ 2y + C (y). ]

Usando este processo, podemos até avaliar integrais definidas.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Integração de funções de mais de uma variável

Avalie o integral ( displaystyle int_1 ^ {2y} 2xy , dx. )

Solução

Encontramos a integral indefinida como antes, em seguida, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:

[ begin {align *}
int_1 ^ {2y} 2xy , dx & = x ^ 2y Big | _1 ^ {2y}
& = (2a) ^ 2a - (1) ^ 2a
& = 4y ^ 3-y.
end {align *} ]

Também podemos integrar em relação a (y ). Em geral,

[ int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f_x (x, y) , dx = f (x, y) Big | _ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} = f big (h_2 (y), y big) -f big (h_1 (y), y big), ]

e

[ int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} f_y (x, y) , dy = f (x, y) Big | _ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} = f big (x, g_2 (x) big) -f big (x, g_1 (x) big). ]

Observe que, ao integrar em relação a (x ), os limites são funções de (y ) (da forma (x = h_1 (y) ) e (x = h_2 (y) )) e o resultado final também é uma função de (y ). Ao integrar com respeito a (y ), os limites são funções de (x ) (da forma (y = g_1 (x) ) e (y = g_2 (x) )) e o final resultado é uma função de (x ). Outro exemplo nos ajudará a entender isso.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Integrando funções de mais de uma variável

Avalie ( displaystyle int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) , dy ).

Solução

Consideramos (x ) como permanecendo constante e integramos em relação a (y ):

[ begin {align *}
int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) , dy & = left ( frac {5x ^ 3y ^ {- 2}} {- 2} + frac { 6y ^ 3} {3} right) Bigg | _1 ^ x
& = left (- frac52x ^ 3x ^ {- 2} + 2x ^ 3 right) - left (- frac52x ^ 3 + 2 right)
& = frac92x ^ 3- frac52x-2.
end {align *} ]

Observe como os limites da integral são de (y = 1 ) a (y = x ) e que a resposta final é uma função de (x ).

No exemplo anterior, integramos uma função em relação a (y ) e terminamos com uma função de (x ). Podemos integrar isso também. Este processo é conhecido como integração iterada, ou integração múltipla.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Integrando um integral

Avalie ( displaystyle int_1 ^ 2 left ( int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) , dy right) , dx. )

Solução

Seguimos uma "ordem de operações" padrão e realizamos as operações entre parênteses primeiro (que é a integral avaliada em Exemplo ( PageIndex {2} ).)

[ begin {align *}
int_1 ^ 2 left ( int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) , dy right) , dx & = int_1 ^ 2 left ( left [ frac {5x ^ 3y ^ {- 2}} {- 2} + frac {6y ^ 3} {3} right] Bigg | _1 ^ x right) , dx
& = int_1 ^ 2 left ( frac92x ^ 3- frac52x-2 right) , dx
& = left ( frac98x ^ 4- frac54x ^ 2-2x right) Bigg | _1 ^ 2
& = frac {89} 8.
end {align *} ]

Observe como os limites de (x ) foram (x = 1 ) a (x = 2 ) e o resultado final foi um número.

O exemplo anterior mostrou como poderíamos realizar algo chamado integral iterada; ainda não sabemos por que estaríamos interessados ​​em fazê-lo nem qual o resultado, como o número (89/8 ), meios. Antes de investigarmos essas questões, oferecemos algumas definições.

Definição: integração iterada

Integração iterada é o processo de integrar repetidamente os resultados de integrações anteriores. Integrar uma integral é denotado como segue.

Sejam (a ), (b ), (c ) e (d ) números e sejam (g_1 (x) ), (g_2 (x) ), (h_1 ( y) ) e (h_2 (y) ) são funções de (x ) e (y ), respectivamente. Então:

  1. ( displaystyle int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f (x, y) , dx , dy = int_c ^ d left ( int_ {h_1 (y) } ^ {h_2 (y)} f (x, y) , dx right) , dy. )
  2. ( displaystyle int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} f (x, y) , dy , dx = int_a ^ b left ( int_ {g_1 (x) } ^ {g_2 (x)} f (x, y) , dy right) , dx. )

Mais uma vez, anote os limites dessas integrais iteradas.

Com ( displaystyle int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f (x, y) , dx , dy ), (x ) varia de (h_1 ( y) ) a (h_2 (y) ), enquanto (y ) varia de (c ) a (d ). Ou seja, os limites de (x ) são curvas, as curvas (x = h_1 (y) ) e (x = h_2 (y) ), enquanto os limites de (y ) são constantes, (y = c ) e (y = d ). É útil lembrar que, ao configurar e avaliar essas integrais iteradas, integramos "de curva a curva e, a seguir, de ponto a ponto. ''

Agora começamos a investigar Por quê estamos interessados ​​em integrais iteradas e que eles querem dizer.

Área de uma região plana

Considere a região plana (R ) limitada por (a leq x leq b ) e (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) ), mostrada na Figura ( PageIndex {1 } ). Aprendemos na Seção 7.1 (em Cálculo I) que a área de (R ) é dada por

[ int_a ^ b big (g_2 (x) -g_1 (x) big) , dx. ]

Podemos ver a expressão ( big (g_2 (x) -g_1 (x) big) ) como

[ big (g_2 (x) -g_1 (x) big) = int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} 1 ​​, dy = int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 ( x)} , dy, ]

o que significa que podemos expressar a área de (R ) como uma integral iterada:

[ text {área de} R = int_a ^ b big (g_2 (x) -g_1 (x) big) , dx = int_a ^ b left ( int_ {g_1 (x)} ^ { g_2 (x)} , dy right) , dx = int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} , dy , dx. ]

Resumindo: uma determinada integral iterada pode ser vista como fornecendo a área de uma região plana.

Uma região (R ) também pode ser definida por (c leq y leq d ) e (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) ), conforme mostrado na Figura ( PageIndex {2} ). Usando um processo semelhante ao anterior, temos
$$ text {a área de} R = int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} , dx , dy. ]

Nós afirmamos isso formalmente em um teorema.

TEOREM ( PageIndex {1} ): Área de uma região plana

  1. Seja (R ) uma região plana limitada por (a leq x leq b ) e (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) ), onde (g_1 ) e (g_2 ) são funções contínuas em ([a, b] ). A área (A ) de (R ) é $$ A = int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} , dy , dx. $$
  2. Seja (R ) uma região plana limitada por (c leq y leq d ) e (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) ), onde (h_1 ) e (h_2 ) são funções contínuas em ([c, d] ). A área (A ) de (R ) é $$ A = int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} , dx , dy. $$

Os exemplos a seguir devem nos ajudar a entender esse teorema.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Área de um retângulo

Encontre a área (A ) do retângulo com os cantos ((- 1,1) ) e ((3,3) ), como mostrado na Figura ( PageIndex {3} ).

Solução

A integração múltipla é obviamente um exagero nesta situação, mas procedemos para estabelecer seu uso.

A região (R ) é limitada por (x = -1 ), (x = 3 ), (y = 1 ) e (y = 3 ). Escolhendo integrar com relação a (y ) primeiro, temos
$$ A = int _ {- 1} ^ 3 int_1 ^ 3 1 , dy , dx = int _ {- 1} ^ 3 left (y Big | _1 ^ 3 right) , dx = int _ {- 1} ^ 3 2 , dx = 2x Big | _ {- 1} ^ 3 = 8. ]

Também poderíamos integrar em relação a (x ) primeiro, dando:
$$ A = int_1 ^ 3 int _ {- 1} ^ 3 1 , dx , dy = int_1 ^ 3 left (x Big | _ {- 1} ^ 3 right) , dy = int_1 ^ 3 4 , dy = 4y Big | _1 ^ 3 = 8. ]

É claro que existem maneiras mais simples de localizar essa área, mas é interessante notar que esse método funciona.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Área de um triângulo

Encontre a área (A ) do triângulo com vértices em ((1,1) ), ((3,1) ) e ((5,5) ), como mostrado na Figura ( PageIndex {4} ).

Solução

O triângulo é delimitado pelas linhas, conforme mostrado na figura. Escolher integrar em relação a (x ) primeiro dá que (x ) é limitado por (x = y ) a (x = frac {y + 5} 2 ), enquanto (y ) é limitado por (y = 1 ) a (y = 5 ). (Lembre-se de que como (x ) - os valores aumentam da esquerda para a direita, a curva mais à esquerda, (x = y ), é o limite inferior e a curva mais à direita, (x = (y + 5) / 2 ), é o limite superior.) A área é

[ begin {align *}
A & = int_1 ^ 5 int_ {y} ^ { frac {y + 5} 2} , dx , dy
& = int_1 ^ 5 left (x Big | _y ^ { frac {y + 5} 2} right) , dy
& = int_1 ^ 5 left (- frac12y + frac52 right) , dy
& = left (- frac14y ^ 2 + frac52y right) Grande | _1 ^ 5
&=4.
end {align *} ]

Também podemos encontrar a área integrando em relação a (y ) primeiro. Nesta situação, entretanto, temos duas funções que atuam como o limite inferior para a região (R ), (y = 1 ) e (y = 2x-5 ). Isso exige que usemos duas integrais iteradas. Observe como os limites (x ) - são diferentes para cada integral:

[ begin {align *}
A & = int_1 ^ 3 int_1 ^ x 1 , dy , dx & + & & & int_3 ^ 5 int_ {2x-5} ^ x1 , dy , dx
& = int_1 ^ 3 big (y big) Big | _1 ^ x , dx & + & & & & int_3 ^ 5 big (y big) Big | _ {2x-5} ^ x , dx
& = int_1 ^ 3 big (x-1 big) , dx & + & & & int_3 ^ 5 big (-x + 5 big) , dx
&= 2 & + & & & 2 \
&=4.
end {align *} ]

Como esperado, obtemos a mesma resposta nos dois sentidos.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Área de uma região plana

Encontre a área da região delimitada por (y = 2x ) e (y = x ^ 2 ), conforme mostrado na Figura ( PageIndex {5} ).

Solução

Mais uma vez, encontraremos a área da região usando ambas as ordens de integração.

Usando (, dy , dx ):

[ int_0 ^ 2 int_ {x ^ 2} ^ {2x} 1 , dy , dx = int_0 ^ 2 (2x-x ^ 2) , dx = big (x ^ 2- frac13x ^ 3 big) Big | _0 ^ 2 = frac43. ]

Usando (, dx , dy ):

[ int_0 ^ 4 int_ {y / 2} ^ { sqrt {y}} 1 , dx , dy = int_0 ^ 4 ( sqrt {y} -y / 2) , dy = left ( frac23y ^ {3/2} - frac14y ^ 2 right) Big | _0 ^ 4 = frac43. ]

Alteração da ordem de integração

Em cada um dos exemplos anteriores, recebemos uma região (R ) e encontramos os limites necessários para encontrar a área de (R ) usando ambas as ordens de integração. Nós nos integramos usando ambas as ordens de integração para demonstrar sua igualdade.

Agora abordamos a habilidade de descrever uma região usando ambas as ordens de integração de uma perspectiva diferente. Em vez de começar com uma região e criar integrais iteradas, começaremos com uma integral iterada e a reescreveremos na outra ordem de integração. Para fazer isso, precisamos entender a região na qual estamos nos integrando.

O mais simples de todos os casos é quando ambas as integrais são limitadas por constantes. A região descrita por esses limites é um retângulo (consulte o Exemplo ( PageIndex {4} )) e assim:

[ int_a ^ b int_c ^ d 1 , dy , dx = int_c ^ d int_a ^ b1 , dx , dy. ]

Quando os limites da integral interna não são constantes, geralmente é muito útil esboçar os limites para determinar a aparência da região que estamos integrando. A partir do esboço, podemos reescrever a integral com a outra ordem de integração.

Os exemplos nos ajudarão a desenvolver essa habilidade.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Alterando a ordem de integração

Reescreva a integral iterada ( displaystyle int_0 ^ 6 int_0 ^ {x / 3} 1 , dy , dx ) com a ordem de integração (, dx , dy ).

Solução

Precisamos usar os limites da integração para determinar a região que estamos integrando.

Os limites nos dizem que (y ) é limitado por (0 ) e (x / 3 ); (x ) é limitado por 0 e 6. Representamos graficamente estas quatro curvas: (y = 0 ), (y = x / 3 ), (x = 0 ) e (x = 6 ) para encontrar a região descrita pelos limites. A Figura ( PageIndex {6} ) mostra essas curvas, indicando que (R ) é um triângulo.

Para alterar a ordem de integração, precisamos considerar as curvas que limitam os valores (x ) -. Vemos que o limite inferior é (x = 3y ) e o limite superior é (x = 6 ). Os limites em (y ) são (0 ) a (2 ). Assim, podemos reescrever a integral como ( displaystyle int_0 ^ 2 int_ {3y} ^ 6 1 , dx , dy. )

Exemplo ( PageIndex {8} ): Alterando a ordem de integração

Altere a ordem de integração de ( displaystyle int_0 ^ 4 int_ {y ^ 2/4} ^ {(y + 4) / 2} 1 , dx , dy ).

Solução

Esboçamos a região descrita pelos limites para nos ajudar a mudar a ordem de integração. (x ) é limitado abaixo e acima (ou seja, à esquerda e à direita) por (x = y ^ 2/4 ) e (x = (y + 4) / 2 ) respectivamente, e ( y ) é limitado entre 0 e 4. Representando graficamente as curvas anteriores, descobrimos que a região (R ) é aquela mostrada na Figura ( PageIndex {7} ).

Para alterar a ordem de integração, precisamos estabelecer curvas que limitam (y ). A figura deixa claro que existem dois limites inferiores para (y ): (y = 0 ) em (0 leq x leq 2 ) e (y = 2x-4 ) em (2 leq x leq 4 ). Portanto, precisamos de duas integrais duplas. O limite superior para cada um é (y = 2 sqrt {x} ). Assim nós temos
$$ int_0 ^ 4 int_ {y ^ 2/4} ^ {(y + 4) / 2} 1 , dx , dy = int_0 ^ 2 int_0 ^ {2 sqrt {x}} 1 , dy , dx + int_2 ^ 4 int_ {2x-4} ^ {2 sqrt {x}} 1 , dy , dx. ]

Esta seção introduziu um novo conceito, a integral iterada. Desenvolvemos um aplicativo para integração iterativa: área entre curvas. No entanto, isso não é novo, pois já sabemos como encontrar áreas delimitadas por curvas.

Na próxima seção, aplicamos a integração iterada para resolver problemas que atualmente não sabemos como tratar. O objetivo "real" desta seção não era aprender uma nova forma de área de computação. Em vez disso, nosso objetivo era aprender como definir uma região no plano usando os limites de uma integral iterada. Essa habilidade é muito importante nas seções seguintes.


Assista o vídeo: INTEGRAL POR PARTES - Cálculo 1 #43 Agora ficou fácil! (Novembro 2021).