Artigos

6.9: Cálculo das Funções Hiperbólicas - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Aplique as fórmulas para derivados e integrais das funções hiperbólicas.
  • Aplique as fórmulas para as derivadas das funções hiperbólicas inversas e suas integrais associadas.
  • Descreva as condições comuns aplicadas de uma curva catenária.

Fomos apresentados às funções hiperbólicas anteriormente, junto com algumas de suas propriedades básicas. Nesta seção, veremos as fórmulas de diferenciação e integração para as funções hiperbólicas e suas inversas.

Derivados e integrais das funções hiperbólicas

Lembre-se de que o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são definidos como

[ sinh x = dfrac {e ^ x − e ^ {- x}} {2} ]

e

[ cosh x = dfrac {e ^ x + e ^ {- x}} {2}. ]

As outras funções hiperbólicas são então definidas em termos de ( sinh x ) e ( cosh x ). Os gráficos das funções hiperbólicas são mostrados na Figura ( PageIndex {1} ).

É fácil desenvolver fórmulas de diferenciação para as funções hiperbólicas. Por exemplo, olhando para ( sinh x ), temos

[ begin {align *} dfrac {d} {dx} left ( sinh x right) & = dfrac {d} {dx} left ( dfrac {e ^ x − e ^ {- x }} {2} right) [4pt] & = dfrac {1} {2} left [ dfrac {d} {dx} (e ^ x) - dfrac {d} {dx} (e ^ {- x}) right] [4pt] & = dfrac {1} {2} [e ^ x + e ^ {- x}] [4pt] & = cosh x. end {align *} ]

De forma similar,

[ dfrac {d} {dx} cosh x = sinh x. ]

Resumimos as fórmulas de diferenciação para as funções hiperbólicas em Tabela ( PageIndex {1} ).

Tabela ( PageIndex {1} ): Derivadas das funções hiperbólicas
(f (x) ) ( dfrac {d} {dx} f (x) )
( sinh x ) ( cosh x )
( cosh x ) ( sinh x )
( tanh x ) ( text {sech} ^ 2 , x )
( text {coth} x ) (- text {csch} ^ 2 , x )
( text {sech} x ) (- text {sech} , x tanh x )
( text {csch} x ) (- text {csch} , x coth x )

Vamos comparar as derivadas das funções hiperbólicas com as derivadas das funções trigonométricas padrão. Existem muitas semelhanças, mas também diferenças. Por exemplo, as derivadas das funções seno correspondem a:

[ dfrac {d} {dx} sin x = cos x ]

e

[ dfrac {d} {dx} sinh x = cosh x. enhum número]

As derivadas das funções cosseno, no entanto, diferem em sinal:

[ dfrac {d} {dx} cos x = - sin x, nonumber ]

mas

[ dfrac {d} {dx} cosh x = sinh x. enhum número]

À medida que continuamos nosso exame das funções hiperbólicas, devemos estar cientes de suas semelhanças e diferenças com as funções trigonométricas padrão. Essas fórmulas de diferenciação para as funções hiperbólicas levam diretamente às seguintes fórmulas integrais.

[ begin {align} int sinh u , du & = cosh u + C [4pt] int text {csch} ^ 2 u , du & = - coth u + C [4pt] int cosh u , du & = sinh u + C [4pt] int text {sech} , u tanh u , du & = - text {sech} , u + C− text {csch} , u + C [4pt] int text {sech} ^ 2u , du & = tanh u + C [4pt] int text {csch} , u coth u , du & = - text {csch} , u + C end {align} ]

Exemplo ( PageIndex {1} ): Diferenciando funções hiperbólicas

Avalie os seguintes derivados:

  1. ( dfrac {d} {dx} ( sinh (x ^ 2)) )
  2. ( dfrac {d} {dx} ( cosh x) ^ 2 )

Solução:

Usando as fórmulas em Table ( PageIndex {1} ) e a regra da cadeia, obtemos

  1. ( dfrac {d} {dx} ( sinh (x ^ 2)) = cosh (x ^ 2) ⋅2x )
  2. ( dfrac {d} {dx} ( cosh x) ^ 2 = 2 cosh x sinh x )

Exercício ( PageIndex {1} )

Avalie os seguintes derivados:

  1. ( dfrac {d} {dx} ( tanh (x ^ 2 + 3x)) )
  2. ( dfrac {d} {dx} left ( dfrac {1} {( sinh x) ^ 2} right) )
Dica

Use as fórmulas em Tabela ( PageIndex {1} ) e aplique a regra da cadeia conforme necessário.

Responder a

( dfrac {d} {dx} ( tanh (x ^ 2 + 3x)) = ( text {sech} ^ 2 (x ^ 2 + 3x)) (2x + 3) )

Resposta b

( dfrac {d} {dx} left ( dfrac {1} {( sinh x) ^ 2} right) = dfrac {d} {dx} ( sinh x) ^ {- 2} = −2 ( sinh x) ^ {- 3} cosh x )

Exemplo ( PageIndex {2} ): Integrais que envolvem funções hiperbólicas

Avalie os seguintes integrais:

  1. ( displaystyle int x cosh (x ^ 2) dx )
  2. ( displaystyle int tanh x , dx )

Solução

Podemos usar (u ) - substituição em ambos os casos.

uma. Let (u = x ^ 2 ). Então, (du = 2x , dx ) e

[ begin {align *} int x cosh (x ^ 2) dx & = int dfrac {1} {2} cosh u , du [4pt] & = dfrac {1} { 2} sinh u + C [4pt] & = dfrac {1} {2} sinh (x ^ 2) + C. end {align *} ]

b. Seja (u = cosh x ). Então, (du = sinh x , dx ) e

[ begin {align *} int tanh x , dx & = int dfrac { sinh x} { cosh x} , dx [4pt] & = int dfrac {1} { u} du [4pt] & = ln | u | + C [4pt] & = ln | cosh x | + C. end {alinhar *} ]

Observe que ( cosh x> 0 ) para todos (x ), então podemos eliminar os sinais de valor absoluto e obter

[ int tanh x , dx = ln ( cosh x) + C. enhum número]

Exercício ( PageIndex {2} )

Avalie os seguintes integrais:

  1. ( displaystyle int sinh ^ 3x cosh x , dx )
  2. ( displaystyle int text {sech} ^ 2 (3x) , dx )
Dica

Use as fórmulas acima e aplique (u ) - substituição conforme necessário.

Responder a

( displaystyle int sinh ^ 3x cosh x , dx = dfrac { sinh ^ 4x} {4} + C )

Resposta b

( displaystyle int text {sech} ^ 2 (3x) , dx = dfrac { tanh (3x)} {3} + C )

Cálculo de funções hiperbólicas inversas

Olhando para os gráficos das funções hiperbólicas, vemos que, com as restrições de intervalo apropriadas, todas elas têm inversas. A maioria das restrições de faixa necessárias podem ser discernidas examinando atentamente os gráficos. Os domínios e intervalos das funções hiperbólicas inversas estão resumidos na Tabela ( PageIndex {2} ).

Tabela ( PageIndex {2} ): Domínios e intervalos das funções hiperbólicas inversas
FunçãoDomínioAlcance
( sinh ^ {- 1} x )(−∞,∞)(−∞,∞)
( cosh ^ {- 1} x )(1,∞)[0,∞)
( tanh ^ {- 1} x )(−1,1)(−∞,∞)
( coth ^ {- 1} x )(−∞,1)∪(1,∞)(−∞,0)∪(0,∞)
( text {sech} ^ {- 1} x )(0,1)[0,∞)
( text {csch} ^ {- 1} x )(−∞,0)∪(0,∞)(−∞,0)∪(0,∞)

Os gráficos das funções hiperbólicas inversas são mostrados na figura a seguir.

Para encontrar as derivadas das funções inversas, usamos a diferenciação implícita. Nós temos

[ begin {align} y & = sinh ^ {- 1} x [4pt] sinh y & = x [4pt] dfrac {d} {dx} sinh y & = dfrac { d} {dx} x [4pt] cosh y dfrac {dy} {dx} & = 1. end {align} ]

Lembre-se de que ( cosh ^ 2y− sinh ^ 2y = 1, ) então ( cosh y = sqrt {1+ sinh ^ 2y} ). Então,

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {1} { cosh y} = dfrac {1} { sqrt {1+ sinh ^ 2y}} = dfrac {1} { sqrt {1 + x ^ 2}}. ]

Podemos derivar fórmulas de diferenciação para as outras funções hiperbólicas inversas de maneira semelhante. Essas fórmulas de diferenciação estão resumidas na Tabela ( PageIndex {3} ).

Tabela ( PageIndex {3} ): Derivadas das funções hiperbólicas inversas
(f (x) ) ( dfrac {d} {dx} f (x) )
( sinh ^ {- 1} x ) ( dfrac {1} { sqrt {1 + x ^ 2}} )
( cosh ^ {- 1} x ) ( dfrac {1} { sqrt {x ^ 2−1}} )
( tanh ^ {- 1} x ) ( dfrac {1} {1 − x ^ 2} )
( coth ^ {- 1} x ) ( dfrac {1} {1 − x ^ 2} )
( text {sech} ^ {- 1} x ) ( dfrac {−1} {x sqrt {1 − x ^ 2}} )
( text {csch} ^ {- 1} x ) ( dfrac {−1} {| x | sqrt {1 + x ^ 2}} )

Observe que as derivadas de ( tanh ^ {- 1} x ) e ( coth ^ {- 1} x ) são as mesmas. Assim, quando integramos (1 / (1 − x ^ 2) ), precisamos selecionar a antiderivada adequada com base no domínio das funções e nos valores de (x ). As fórmulas de integração envolvendo as funções hiperbólicas inversas são resumidas a seguir.

[ int dfrac {1} { sqrt {1 + u ^ 2}} du = sinh ^ {- 1} u + C ]

[ int dfrac {1} {u sqrt {1 − u ^ 2}} du = - text {sech} ^ {- 1} | u | + C ]

[ int dfrac {1} { sqrt {u ^ 2−1}} du = cosh ^ {- 1} u + C ]

[ int dfrac {1} {u sqrt {1 + u ^ 2}} du = - text {csch} ^ {- 1} | u | + C ]

[ int dfrac {1} {1 − u ^ 2} du = begin {cases} tanh ^ {- 1} u + C & text {if} | u | <1 coth ^ { -1} u + C & text {if} | u |> 1 end {cases} ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Diferenciando funções hiperbólicas inversas

Avalie os seguintes derivados:

  1. ( dfrac {d} {dx} left ( sinh ^ {- 1} left ( dfrac {x} {3} right) right) )
  2. ( dfrac {d} {dx} left ( tanh ^ {- 1} x right) ^ 2 )

Solução

Usando as fórmulas em Table ( PageIndex {3} ) e a regra da cadeia, obtemos os seguintes resultados:

  1. ( dfrac {d} {dx} ( sinh ^ {- 1} ( dfrac {x} {3})) = dfrac {1} {3 sqrt {1+ dfrac {x ^ 2} { 9}}} = dfrac {1} { sqrt {9 + x ^ 2}} )
  2. ( dfrac {d} {dx} ( tanh ^ {- 1} x) ^ 2 = dfrac {2 ( tanh ^ {- 1} x)} {1 − x ^ 2} )

Exercício ( PageIndex {3} )

Avalie os seguintes derivados:

  1. ( dfrac {d} {dx} ( cosh ^ {- 1} (3x)) )
  2. ( dfrac {d} {dx} ( coth ^ {- 1} x) ^ 3 )
Dica

Use as fórmulas em Tabela ( PageIndex {3} ) e aplique a regra da cadeia conforme necessário.

Responder a

( dfrac {d} {dx} ( cosh ^ {- 1} (3x)) = dfrac {3} { sqrt {9x ^ 2−1}} )

Resposta b

( dfrac {d} {dx} ( coth ^ {- 1} x) ^ 3 = dfrac {3 ( coth ^ {- 1} x) ^ 2} {1 − x ^ 2} )

Exemplo ( PageIndex {4} ): Integrais que envolvem funções hiperbólicas inversas

Avalie os seguintes integrais:

  1. ( displaystyle int dfrac {1} { sqrt {4x ^ 2−1}} dx )
  2. ( displaystyle int dfrac {1} {2x sqrt {1−9x ^ 2}} dx )

Solução

Podemos usar (u ) - substituição em ambos os casos.

Let (u = 2x ). Então, (du = 2 , dx ) e temos

[ begin {align *} int dfrac {1} { sqrt {4x ^ 2−1}} , dx & = int dfrac {1} {2 sqrt {u ^ 2−1}} , du [4pt] & = dfrac {1} {2} cosh ^ {- 1} u + C [4pt] & = dfrac {1} {2} cosh ^ {- 1} (2x) + C. end {align *} ]

Seja (u = 3x. ) Então, (du = 3 , dx ) e obtemos

[ begin {align *} int dfrac {1} {2x sqrt {1−9x ^ 2}} dx & = dfrac {1} {2} int dfrac {1} {u sqrt { 1 − u ^ 2}} du [4pt] & = - dfrac {1} {2} text {sech} ^ {- 1} | u | + C [4pt] & = - dfrac { 1} {2} text {sech} ^ {- 1} | 3x | + C end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Avalie os seguintes integrais:

  1. ( displaystyle int dfrac {1} { sqrt {x ^ 2−4}} dx, x> 2 )
  2. ( displaystyle int dfrac {1} { sqrt {1 − e ^ {2x}}} dx )
Dica

Use as fórmulas acima e aplique (u ) - substituição conforme necessário.

Responder a

( displaystyle int dfrac {1} { sqrt {x ^ 2−4}} dx = cosh ^ {- 1} ( dfrac {x} {2}) + C )

Resposta b

( displaystyle int dfrac {1} { sqrt {1 − e ^ {2x}}} dx = - text {sech} ^ {- 1} (e ^ x) + C )

Formulários

Uma aplicação física das funções hiperbólicas envolve cabos pendurados. Se um cabo de densidade uniforme for suspenso entre dois suportes sem qualquer carga além de seu próprio peso, o cabo forma uma curva chamada de catenária. Linhas de alta tensão, correntes penduradas entre dois postes e fios de uma teia de aranha formam catenárias. A figura a seguir mostra correntes penduradas em uma fileira de postes.

As funções hiperbólicas podem ser usadas para modelar catenárias. Especificamente, as funções da forma (y = a cdot cosh (x / a) ) são catenárias. A Figura ( PageIndex {4} ) mostra o gráfico de (y = 2 cosh (x / 2) ).

Exemplo ( PageIndex {5} ): Usando uma catenária para encontrar o comprimento de um cabo

Suponha que um cabo suspenso tenha o formato (10 ​​ cosh (x / 10) ) para (- 15≤x≤15 ), onde (x ) é medido em pés. Determine o comprimento do cabo (em pés).

Solução

Lembre-se da Seção 6.4 que a fórmula para o comprimento do arco é

[ underbrace { int ^ b_a sqrt {1+ [f ′ (x)] ^ 2} dx} _ { text {Comprimento do arco}}. enhum número]

Temos (f (x) = 10 cosh (x / 10) ), então (f ′ (x) = sinh (x / 10) ). Então o comprimento do arco é

[ int ^ b_a sqrt {1+ [f ′ (x)] ^ 2} dx = int ^ {15} _ {- 15} sqrt {1+ sinh ^ 2 left ( dfrac {x } {10} right)} dx. enhum número]

Agora lembre-se disso

[1+ sinh ^ 2x = cosh ^ 2x, nonumber ]

então nós temos

[ begin {align *} text {Arc Length} & = int ^ {15} _ {- 15} sqrt {1+ sinh ^ 2 left ( dfrac {x} {10} right) } dx [4pt] & = int ^ {15} _ {- 15} cosh left ( dfrac {x} {10} right) dx [4pt] & = left.10 sinh left ( dfrac {x} {10} right) right | ^ {15} _ {- 15} [4pt] & = 10 left [ sinh left ( dfrac {3} {2} direita) - sinh esquerda (- dfrac {3} {2} direita) direita] [4pt] & = 20 sinh esquerda ( dfrac {3} {2} direita) [4pt] e ≈42.586 , text {ft.} End {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {5} ):

Suponha que um cabo suspenso tenha o formato (15 cosh (x / 15) ) para (- 20≤x≤20 ). Determine o comprimento do cabo (em pés).

Responder

(52,95 ) pés

Conceitos chave

  • As funções hiperbólicas são definidas em termos de funções exponenciais.
  • A diferenciação termo a termo produz fórmulas de diferenciação para as funções hiperbólicas. Essas fórmulas de diferenciação dão origem, por sua vez, às fórmulas de integração.
  • Com as restrições de intervalo apropriadas, todas as funções hiperbólicas têm inversos.
  • A diferenciação implícita produz fórmulas de diferenciação para as funções hiperbólicas inversas, que por sua vez dão origem a fórmulas de integração.
  • As aplicações físicas mais comuns das funções hiperbólicas são cálculos envolvendo catenárias.

Glossário

catenária
uma curva na forma da função (y = a cdot cosh (x / a) ) é uma catenária; um cabo de densidade uniforme suspenso entre dois suportes assume a forma de uma catenária

6.9: Cálculo das Funções Hiperbólicas - Matemática

As funções hiperbólicas aparecem com alguma frequência nas aplicações e são bastante semelhantes em muitos aspectos às funções trigonométricas. Isso é um pouco surpreendente, dadas nossas definições iniciais.

Definição 9.6.1 O cosseno hiperbólico é a função $ cosh x = over2>, $ e o seno hiperbólico é a função $ sinh x = over 2>. $

Observe que $ cosh $ é par (ou seja, $ cosh (-x) = cosh (x) $) enquanto $ sinh $ é ímpar ($ sinh (-x) = - sinh (x) $ ) e $ ds cosh x + sinh x = e ^ x $. Além disso, para todos $ x $, $ cosh x> 0 $, enquanto $ sinh x = 0 $ se e somente se $ ds e ^ x -e ^ <- x> = 0 $, o que é verdadeiro precisamente quando $ x = 0 $.

Lema 9.6.2 O intervalo de $ cosh x $ é $ [1, infty) $.

Prova.
Seja $ y = cosh x $. Resolvemos $ x $: $ eqalign<> over 2> cr 2y & = e ^ x + e ^ <- x> cr 2ye ^ x & = e ^ <2x> + 1 cr 0 & = e ^ <2x> -2ye ^ x +1 cr e ^ & = <2y pm sqrt <4y ^ 2 -4> over 2> cr e ^ & = y pm sqrt cr> $ Da última equação, vemos $ ds y ^ 2 geq 1 $ e, como $ y geq 0 $, segue-se $ y geq 1 $.

Agora suponha que $ y geq 1 $, então $ ds y pm sqrt> 0 $. Então $ ds x = ln (y pm sqrt) $ é um número real e $ y = cosh x $, então $ y $ está na faixa de $ cosh (x) $.

Definição 9.6.3 As outras funções hiperbólicas são $ eqalign < tanh x & = < sinh x over cosh x> cr coth x & = < cosh x over sinh x> cr sech x & = <1 over cosh x> cr csch x & = <1 over sinh x> cr> $ O domínio de $ coth $ e $ csch $ é $ x neq 0 $ enquanto o domínio das outras funções hiperbólicas são todos os números reais. Os gráficos são mostrados na figura 9.6.1

Certamente as funções hiperbólicas não se parecem muito com as funções trigonométricas graficamente. Mas eles têm propriedades análogas, começando com a seguinte identidade.

Teorema 9.6.4 Para todos os $ x $ em $ R $, $ ds cosh ^ 2 x - sinh ^ 2 x = 1 $.

Prova.
A prova é um cálculo direto: $ cosh ^ 2 x - sinh ^ 2 x = <(e ^ x + e ^ <-x>) ^ 2 over 4> - <(e ^ x -e ^ <- x>) ^ 2 over 4> = + 2 + e ^ <-2x> - e ^ <2x> + 2 - e ^ <-2x> over 4> = <4 over 4> = 1. $

Isso dá imediatamente duas identidades adicionais: $ 1- tanh ^ 2 x = sech ^ 2 x qquad hbox qquad coth ^ 2 x - 1 = csch ^ 2 x. $

A identidade do teorema também ajuda a fornecer uma motivação geométrica. Lembre-se de que o gráfico de $ ds x ^ 2 -y ^ 2 = 1 $ é uma hipérbole com assíntotas $ x = pm y $ cujos $ x $ -interceptações são $ pm 1 $. Se $ (x, y) $ é um ponto na metade direita da hipérbole, e se deixarmos $ x = cosh t $, então $ ds y = pm sqrt= pm sqrt < cosh ^ 2 t-1> = pm sinh t $. Portanto, para algum $ t $ adequado, $ cosh t $ e $ sinh t $ são as coordenadas de um ponto típico da hipérbole. Na verdade, $ t $ é o dobro da área mostrada no primeiro gráfico da figura 9.6.2. Mesmo isso é análogo à trigonometria $ cos t $ e $ sin t $ são as coordenadas de um ponto típico no círculo unitário, e $ t $ é o dobro da área mostrada no segundo gráfico da figura 9.6.2.

Dadas as definições das funções hiperbólicas, encontrar suas derivadas é simples. Aqui, novamente, vemos semelhanças com as funções trigonométricas.

Teorema 9.6.5 $ ds cosh x = sinh x $ e $ ds sinh x = cosh x $.

Claro, isso também nos dá imediatamente dois anti-derivados.

Como $ cosh x> 0 $, $ sinh x $ está aumentando e, portanto, é injetivo, então $ sinh x $ tem um inverso, $ arcsinh x $. Além disso, $ sinh x> 0 $ quando $ x> 0 $, então $ cosh x $ é injetivo em $ [0, infty) $ e tem um inverso (parcial), $ arccosh x $. As outras funções hiperbólicas também têm inversos, embora $ arcsech x $ seja apenas um inverso parcial. Podemos calcular as derivadas dessas funções, pois temos outras funções inversas.

As outras derivadas são deixadas para os exercícios.


6.9: Cálculo das Funções Hiperbólicas - Matemática

O último conjunto de funções que veremos neste capítulo são as funções hiperbólicas. Em muitas situações físicas, combinações de (<< bf> ^ x> ) e (<< bf> ^ <- x >> ) surgem com bastante frequência. Por causa disso, essas combinações recebem nomes. Existem seis funções hiperbólicas e são definidas como segue.

Aqui estão os gráficos das três funções hiperbólicas principais.

Também temos os seguintes fatos sobre as funções hiperbólicas.

[começar sinh left (<- x> right) = - sinh left (x right) & hspace <1.0in> cosh left (<- x> right) = cosh left (x direita) < cosh ^ 2> left (x right) - < sinh ^ 2> left (x right) = 1 & hspace <1.0in> 1 - < tanh ^ 2> left (x direita) = < mbox> << mbox> ^ < mbox <2> >> left (x right) end]

Você notará que elas são semelhantes, mas não exatamente iguais, a algumas das identidades trigonométricas mais comuns, então tome cuidado para não confundir as identidades aqui com aquelas das funções trigonométricas padrão.

Como as funções hiperbólicas são definidas em termos de funções exponenciais, encontrar seus derivados é bastante simples, desde que você já tenha lido a próxima seção. No entanto, não o fizemos, então precisaremos da seguinte fórmula, que pode ser facilmente comprovada depois de cobrirmos a próxima seção.

Com esta fórmula, faremos a derivada para o seno hiperbólico e deixaremos o resto para você como um exercício.

Para o resto, podemos usar a definição da função hiperbólica e / ou a regra de quociente. Aqui estão todas as seis derivadas.


Subseção 6.6.1 Funções Hiperbólicas Inversas

Assim como as funções trigonométricas inversas são úteis em certas integrações, as funções hiperbólicas inversas são úteis em outras. A Figura 6.6.11. (A) mostra a restrição no domínio de ( cosh (x) ) para tornar a função um-para-um e o domínio resultante e o intervalo de sua função inversa. Como ( sinh (x) ) já é um para um, nenhuma restrição de domínio é necessária, conforme mostrado na Figura 6.6.11. (B). Uma vez que ( sech (x) ) não é um para um, ele também precisa de um domínio restrito para ser invertível. A Figura 6.6.12. (B) mostra o gráfico de ( sech ^ <-1> (x) text <.> ) Você deve comparar cuidadosamente o gráfico desta função com o gráfico dado na Figura 6.6.4. (b) para ver como esse inverso foi construído. O resto da área de funções hiperbólicas já é um-para-um e não precisa de restrições de domínio. Seus gráficos também são mostrados na Figura 6.6.12.

Como as funções hiperbólicas são definidas em termos de funções exponenciais, seus inversos podem ser expressos em termos de logaritmos, conforme mostrado na Ideia-Chave 6.6.13. Muitas vezes é mais conveniente referir-se a ( sinh ^ <-1> (x) ) do que a ( ln big (x + sqrt big) text <,> ) especialmente quando se está trabalhando na teoria e não precisa calcular os valores reais. Por outro lado, quando os cálculos são necessários, a tecnologia muitas vezes é útil, mas muitas calculadoras portáteis não têm um conveniente Botão ( sinh ^ <-1> (x) ). (Freqüentemente, pode ser acessado em um sistema de menu, mas não convenientemente.) Em tal situação, a representação logarítmica é útil. O leitor não é encorajado a memorizá-los, mas sim saber que existem e saber como usá-los quando necessário.


Cálculo integral

O cálculo integral constitui a segunda metade da primeira parte do cálculo. É essencialmente uma forma de retroceder a partir dos derivados. Ou seja, em vez de encontrar a derivada de uma função, encontra-se a qual função ou funções uma derivada corresponde.

Enquanto a derivada pode ser usada para calcular a taxa de mudança em uma curva em qualquer ponto, uma integral pode ser usada para encontrar a área sob uma curva em qualquer intervalo. A relação entre integrais e derivadas forma a espinha dorsal do teorema fundamental do cálculo, que será discutido em detalhes neste tópico.

A relação entre integrais e áreas sob as curvas é melhor explicada por meio das somas de Riemann, que estão vagamente ilustradas na imagem abaixo.

Observe que a área sob esta curva pode ser aproximada pela soma da área dos retângulos. Se a largura dos retângulos fosse menor, a aproximação seria ainda mais próxima. Isso é discutido com mais detalhes no subtópico sobre as somas de Riemann.

Este guia primeiro discute antiderivadas, integrais definidos e métodos para aproximar integrais definidos. Em seguida, apresenta e explica o teorema fundamental do cálculo. Depois disso, a exploração de integrais continua com diferentes métodos que podem ser usados ​​para integração e como integrar diferentes funções, como funções exponenciais e hiperbólicas. Finalmente, o tópico termina com uma exploração de tópicos mais avançados em cálculo integral.

  • Antiderivado
  • Integral definida
  • Aproximando integrais usando retângulos, a regra do trapézio e a regra de Simpson
  • Cálculo de integrais definidos com somas de Riemann
  • O Teorema Fundamental do Cálculo
  • Integrais indefinidos
  • Integrais impróprios
  • Integração por partes
  • Integração usando substituição U
  • Integração usando frações parciais
  • Integrando Funções Exponenciais
  • Integrando Funções Hiperbólicas
  • Integrais trigonométricos
  • Integração usando funções trigonométricas inversas
  • Teste Integral
  • Área sob uma curva
  • Centróides e centro de massa
  • Volume de Revolução
  • Laplace Transform
  • Transformada inversa de Laplace

Notas de aula

Este é um dos mais de 2.400 cursos do OCW. Explore os materiais para este curso nas páginas com links à esquerda.

MIT OpenCourseWare é uma publicação gratuita e aberta de material de milhares de cursos do MIT, cobrindo todo o currículo do MIT.

Sem inscrição ou registro. Navegue livremente e use materiais OCW em seu próprio ritmo. Não há inscrição nem datas de início ou término.

O conhecimento é a sua recompensa. Use o OCW para orientar sua própria aprendizagem ao longo da vida ou para ensinar outras pessoas. Não oferecemos crédito ou certificação para usar OCW.

Feito para compartilhar. Baixe os arquivos para mais tarde. Envie para amigos e colegas. Modifique, remixe e reutilize (lembre-se de citar o OCW como a fonte).

Sobre o MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare é uma publicação online de materiais de mais de 2.500 cursos do MIT, compartilhando conhecimento gratuitamente com alunos e educadores em todo o mundo. Saiba mais & raquo

& copy 2001 & ndash2018
Instituto de Tecnologia de Massachusetts

O uso do site e dos materiais do MIT OpenCourseWare está sujeito à nossa Licença Creative Commons e outros termos de uso.


A partir de sinh e cosh podemos criar:

Tangente hiperbólica & quottanh & quot (pronuncia-se "que") :

tanh (x) = sinh (x) cosh (x) = e x e menos e e menos x e x + e & menosx

Cotangente hiperbólica:

coth (x) = cosh (x) sinh (x) = e x + e & menosx e x e menos e e menos x

Secante hiperbólica:

sech (x) = 1 cosh (x) = 2 e x + e & menosx

Cossecante hiperbólico & quotcsch & quot ou & quotcosech & quot:

csch (x) = 1 sinh (x) = 2 e x e menos e e menos x


Cálculo de Weyl

Na mecânica hamiltoniana sobre um espaço de fase $ mathbf ^ <2 n> $, o colchete de Poisson $ $ de dois observáveis ​​suaves $ f: mathbf ^ <2 n> rightarrow mathbf$ e $ g: mathbf R ^ <2 n> rightarrow mathbf R $ (cf. também colchetes de Poisson) é o novo observável definido por

Para um estado $ (p, q) $ do espaço de fase $ mathbf ^ <2 n> $, o vetor momentum é dado por $ p = (p _ <1>, dots, p _ ) $, enquanto $ q = (q _ <1>, dots, q _ ) $ é o vetor de posição. Os colchetes de Poisson das funções de coordenadas $ < bf p> _j $, $ < bf q> _ $ são dados por

Por comparação, na mecânica quântica acima de $ < bf R> ^ $, os operadores de posição $ Q _ = X _ $ de multiplicação por $ mathbf_j $ correspondem ao momento clássico observáveis ​​$ mathbf_j $ e os operadores de momentum $ P _ $ correspondentes às coordenadas observáveis ​​$ mathbf

_ $ são dados por

As relações de comutação canônicas

começar [P _ , P _ ] = [Q _ , Q _ ] = 0, quad [P _ , Q _ ] = frac < hbar> delta _ I end

Na mecânica clássica e quântica, a posição, o momento e os observáveis ​​constantes abrangem a álgebra de Lie de Heisenberg $ mathfrak _ $ sobre $ mathbf ^ <2 n + 1> $. O grupo Heisenberg $ mathcal _ $ correspondendo à álgebra de Lie $ mathfrak _ $ é dado em $ mathbf ^ <2 n + 1> $ pela lei do grupo

começar = left (p + p ^ < prime>, q + q ^ < prime>, t + t ^ < prime> + frac <1> <2> (pq ^ < prime> - qp ^ < prime>) right). fim

Aqui, escreve-se $ xi a $ para o produto escalar $ sum xi _ a_ $ de $ xi in mathbf ^ $ com $ k $ -tuple $ a = (a _ <1>, dots, a _ ) $ de números ou operadores. Definir $ mathcal = (D _ <1>, dots, D _ ) $ e $ mathcal = (X _ <1>, pontos, X _ ) $.

O mapeamento $ rho $ de $ mathcal _ $ para o grupo de operadores unitários em $ L ^ <2> ( mathbf ^ ) $ formalmente definido por $ rho (p, q, t) = e ^ $ é uma representação unitária do grupo de Heisenberg $ matemático _ $. O operador $ e ^ + q < cal X> + t I)> $ maps $ f in L ^ <2> ( mathbf ^ ) $ para a função $ x mapsto e ^ e ^ e ^ f (x + p) $.

Se $ hat ( xi) = int _ < mathbf^ <2 n >> e ^ <- ix xi> f (x) dx $ denota a transformação de Fourier de uma função $ f in L ^ <1> (< bf R> ^ <2 n>) $, a fórmula de inversão de Fourier

começar f (x) = (2 pi) ^ <- 2 n> int _ << bf R> ^ <2 n >> e ^ hat ( xi) d xi fim

recupera $ f $ de $ hat $ no caso de $ hat $ também ser integrável.

Agora suponha que $ sigma: mathbf ^ <2 n> rightarrow mathbf$ é uma função cuja transformação de Fourier $ hat < sigma> $ pertence a $ L ^ <1> (< bf R> ^ <2 n>) $. Então o operador linear limitado $ sigma ( mathcal ) $ é definido por

começar (2 pi) ^ <- 2 n> int _ < mathbf^ <2 n >> rho (p, q, 0) hat < sigma> (p, q) d p d q = end

começar = (2 pi) ^ <- 2 n> int _ < mathbf^ <2 n >> e ^ + q mathcal )> hat < sigma> (p, q) d p d q. fim

O cálculo funcional de Weyl $ sigma mapsto sigma ( mathcal , mathcal ) $ foi proposto por H. Weyl [a27], Seção IV.14, como um meio de associar um quantum observável $ sigma ( mathcal ) $ com um observável clássico $ sigma $. As ideias de Weyl foram posteriormente desenvolvidas por H.J. Groenewold [a11], J.E. Moyal [a18] e J.C.T. Pool [a22].

O mapeamento $ sigma mapsto sigma ( mathcal , mathcal ) $ estende-se exclusivamente a uma bijeção do espaço de Schwartz $ mathcal ^ < prime> ( mathbf ^ <2 n>) $ de distribuições temperadas (cf. também Funções generalizadas, espaço de) para o espaço de mapeamentos lineares contínuos de $ mathcal ( mathbf ^ ) $ a $ mathcal S ^ < prime> ( mathbf R ^ ) $. Além disso, a aplicação $ sigma mapsto sigma ( mathcal , mathcal ) $ define um mapeamento unitário (cf. também operador unitário) de $ L ^ <2> ( mathbf ^ <2 n>) $ no espaço dos operadores Hilbert-Schmidt em $ L ^ <2> ( mathbf ^ ) $ (cf. também operador Hilbert – Schmidt) e de $ L ^ <1> (< bf R> ^ <2 n>) $ no espaço de operadores compactos em $ L ^ <2> ( mathbf ^ ) $. Por $ a, b in mathbf ^ $, a função $ sigma ( xi, x) = (a xi + b x) ^ $ é mapeada pelo cálculo de Weyl para o operador $ sigma ( mathcal , mathcal ) = (a mathcal + b mathcal ) ^ $. Os termos monomiais em qualquer polinômio $ sigma ( xi, x) $ são substituídos por produtos de operadores simétricos na expressão $ sigma ( mathcal ) $. A análise harmônica no espaço de fase é uma descrição sucinta desse círculo de idéias, que é exposto em [a9].

No cálculo de Weyl, o colchete de Poisson é mapeado para uma constante vezes o comutador apenas para polinômios $ sigma ( xi, x) $ de grau menor ou igual a dois. Os resultados de Groenewold e L. van Hove [a9], pp. 197-199, mostram que uma quantização sobre um espaço de observáveis ​​definidos em um espaço de fase $ mathbf ^ <2 n> $ e razoavelmente maior do que a álgebra de Heisenberg $ mathfrak _ $ não é possível. Uma discussão geral sobre as obstruções à quantização pode ser encontrada em [a12].

Na teoria dos operadores pseudo-diferenciais, iniciada por J.J. Kohn e L. Nirenberg [a16], associa-se o símbolo $ sigma $ ao operador $ sigma ( mathcal , mathcal ) _ < operatorname> $ dado por

de forma que se $ sigma $ é um polinômio, a diferenciação sempre atua primeiro (cf. também Operador pseudo-diferencial Símbolo de um operador). Para operadores integrais singulares (cf. também integral Singular), o produto dos símbolos corresponde aos operadores de composição operadores integrais regulares de módulo. O cálculo simbólico para operadores pseudo-diferenciais é estudado em [a25], [a24], [a14]. O cálculo de Weyl foi desenvolvido como uma teoria de operadores pseudo-diferenciais por L.V. Hörmander [a13], [a14].

O cálculo funcional de Weyl também pode ser formulado em um ambiente abstrato. Suponha que $ < cal A> = (A _ <1>, dots, A _ ) $ seja um $ k $ -tuplo de operadores agindo em um espaço de Banach $ X $, com a propriedade de que para cada $ xi in mathbf ^ $, o operador $ i xi A $ é o gerador de um $ C _ <0> $ - grupo de operadores tal que para alguns $ C & gt 0 $ e $ s geq 0 $, o limite $ | e ^ | leq C (1 + | xi |) ^ $ retém para cada $ xi in mathbf ^ $. Então, o operador limitado

estádefinido para cada $ f in S ( mathbf ^ ) $.

Os operadores $ A _ <1>, dots, A _ $ não comutam necessariamente entre si. Os exemplos são $ k $ -tuplos de operadores auto-adjuntos limitados (cf. também operador Auto-adjunto) ou, com $ k = 2 n $, o sistema de operadores de posição ilimitados $ Q_$ e operadores de momentum $ P_$ considerado acima (mais precisamente, deve-se usar o fechamento $ i overline < xi mathcal> $ de $ i xi A $ aqui).

para todos os $ zeta in mathbf ^ $. Para um $ k $ -tuple $ mathcal $ de operadores auto-adjuntos limitados, M. Taylor [a23] mostrou que a escolha $ C ^ < prime> = 1 $, $ s ^ < prime> = 0 $ e $ r ^ <2> = sum | A _ | ^ <2> $ é possível.

O cálculo de Weyl neste cenário foi desenvolvido por R.F.V. Anderson [a1], [a2], [a3], E. Nelson [a20] e E. Albrecht [a6]. Os dois últimos autores fornecem a conexão com o cálculo operacional heurístico ordenado no tempo de R.P. Feynman [a10] desenvolvido em seu estudo de eletrodinâmica quântica.

Uma combinação dos cálculos funcionais de Weyl e ordenados é estudada em [a17] e [a19].

no momento $ t = 1 $. O estudo do suporte do cálculo de Weyl para matrizes está intimamente relacionado com a teoria das lacunas de operadores diferenciais hiperbólicos e técnicas de geometria algébrica [a21], [a7], [a8], [a4], [a5], [a26 ]


O que é uma função hiperbólica?

Funções hiperbólicas são funções que parametrizam uma hipérbole. Um dos exemplos mais conhecidos de um objeto que pode ser modelado por uma função hiperbólica é uma catenária. Esta é a curva formada quando uma corda, corrente ou cabo é suspenso.

Matemáticos como Johann Bernoulli nos mostraram que a curva não é modelada por uma parábola, mas sim pela equação $ y = dfrac><2>$. Esta equação é, na verdade, a equação da função cosseno hiperbólica.

Eles são usados ​​para modelar um comportamento semelhante ao observado na catenária. Também chamamos essas funções funções trigonométricas hiperbólicas porque eles são análogo a funções trigonométricas e compartilhar propriedades e identidades semelhantes.


Assista o vídeo: Geometri - Parametrisering av hyperbler (Dezembro 2021).