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7.8: Integrais impróprios - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Avalie uma integral em um intervalo infinito.
  • Avalie uma integral em um intervalo fechado com uma descontinuidade infinita dentro do intervalo.
  • Use o teorema da comparação para determinar se uma integral definida é convergente.

A área entre o gráfico de (f (x) = dfrac {1} {x} ) e o eixo (x ) - sobre o intervalo ([1, + ∞) ) é finito ou infinito? Se esta mesma região é girada em torno do eixo (x ), o volume é finito ou infinito? Surpreendentemente, a área da região descrita é infinita, mas o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo (x ) - é finito.

Nesta seção, definimos integrais em um intervalo infinito, bem como integrais de funções contendo uma descontinuidade no intervalo. Examinamos várias técnicas para avaliar integrais impróprias, todas envolvendo a obtenção de limites.

Integrando em um intervalo infinito

Como devemos definir uma integral do tipo ( displaystyle int ^ {+ ∞} _af (x) , dx? ) Podemos integrar ( displaystyle int ^ t_af (x) , dx ) para qualquer valor de (t ), portanto, é razoável observar o comportamento dessa integral à medida que substituímos por valores maiores de (t ). A figura ( PageIndex {1} ) mostra que ( displaystyle int ^ t_af (x) , dx ) pode ser interpretado como área para vários valores de (t ). Em outras palavras, podemos definir uma integral imprópria como um limite, tomado como um dos limites de aumento ou diminuição da integração sem limite.

Definição: integral impróprio

  1. Seja (f (x) ) contínuo ao longo de um intervalo da forma ([a, + ∞) ). Então [ int ^ {+ ∞} _af (x) , dx = lim_ {t → + ∞} int ^ t_af (x) , dx, label {impróprio1} ] desde que este limite exista.
  2. Seja (f (x) ) contínuo ao longo de um intervalo da forma ((- ∞, b] ). Então [ int ^ b _ {- ∞} f (x) , dx = lim_ { t → −∞} int ^ b_tf (x) , dx, label {impróprio2} ] desde que este limite exista.

Em cada caso, se o limite existe, então o totalmente inapropriado é dito que converge. Se o limite não existe, diz-se que a integral imprópria diverge.

  1. Seja (f (x) ) contínuo sobre ((- ∞, + ∞) ). Então [ int ^ {+ ∞} _ {- ∞} f (x) , dx = int ^ 0 _ {- ∞} f (x) , dx + int ^ {+ ∞} _0f (x) , dx, label {impróprio3} ] desde que ( displaystyle int ^ 0 _ {- ∞} f (x) , dx ) e ( displaystyle int ^ {+ ∞} _0f (x) , dx ) convergem. Se qualquer uma dessas duas integrais divergem, então ( displaystyle int ^ {+ ∞} _ {- ∞} f (x) , dx ) diverge. (Pode-se mostrar que, de fato, ( displaystyle int ^ {+ ∞} _ {- ∞} f (x) , dx = int ^ a _ {- ∞} f (x) , dx + int ^ {+ ∞} _af (x) , dx ) para qualquer valor de a.).

Em nosso primeiro exemplo, voltamos à questão que colocamos no início desta seção: É a área entre o gráfico de (f (x) = frac {1} {x} ) e o (x ) -eixo sobre o intervalo ([1, + ∞) ) finito ou infinito?

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando uma área

Determine se a área entre o gráfico de (f (x) = dfrac {1} {x} ) e o eixo (x ) - sobre o intervalo ([1, + ∞) ) é finita ou infinito.

Solução

Primeiro fazemos um esboço rápido da região em questão, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {2} ).

Podemos ver que a área desta região é dada por

[A = int ^ ∞_1 frac {1} {x} , dx. enhum número]

que pode ser avaliada usando a Equação ref {imprópria1}:

[ begin {align *} A = int ^ ∞_1 frac {1} {x} , dx nonumber [4pt] = lim_ {t → + ∞} int ^ t_1 frac {1 } {x} , dx tag {Reescrever a integral imprópria como um limite} [4pt] = lim_ {t → + ∞} ln | x | ∣ ^ t_1 tag {Encontre a antiderivada} [ 4pt] = lim_ {t → + ∞} ( ln | t | - ln 1) tag {Avalie a antiderivada} [4pt] = + ∞. tag {Avalie o limite.} end {align *} ]

Uma vez que a integral imprópria diverge para (+ ∞, ), a área da região é infinita.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando um Volume

Encontre o volume do sólido obtido girando a região limitada pelo gráfico de (f (x) = dfrac {1} {x} ) e o eixo (x ) - sobre o intervalo ([1, + ∞) ) sobre o eixo (x ).

Solução

O sólido é mostrado na Figura ( PageIndex {3} ). Usando o método do disco, vemos que o volume (V ) é

[V = π int ^ {+ ∞} _1 frac {1} {x ^ 2} , dx. enhum número]

Então nós temos

[ displaystyle begin {align *} V & = π int ^ {+ ∞} _1 frac {1} {x ^ 2} , dx [4pt]
& = π lim_ {t → + ∞} int ^ t_1 frac {1} {x ^ 2} , dx quad text {Reescrever como um limite.} [4pt]
& = π lim_ {t → + ∞} - frac {1} {x} ∣ ^ t_1 quad text {Encontre a antiderivada.} [4pt]
& = π lim_ {t → + ∞} left (- frac {1} {t} +1 right) quad text {Avalie a antiderivada.} [4pt]
& = π end {align *} ]

A integral imprópria converge para (π ). Portanto, o volume do sólido de revolução é (π ).

Em conclusão, embora a área da região entre o eixo (x ) e o gráfico de (f (x) = 1 / x ) no intervalo ([1, + ∞) ) seja infinita, o volume do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo (x ) é finito. O sólido gerado é conhecido como Chifre de Gabriel.

Nota: o chifre de Gabriel (também chamado de trombeta de Torricelli) é uma figura geométrica que tem infinito área de superfície, mas finito volume. O nome se refere à tradição que identifica o Arcanjo Gabriel como o anjo que toca a buzina para anunciar o Dia do Julgamento, associando o divino, ou infinito, ao finito. As propriedades desta figura foram estudadas pela primeira vez pelo físico e matemático italiano Evangelista Torricelli no século XVII.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Acidentes de trânsito em uma cidade

Suponha que em um cruzamento movimentado, os acidentes de trânsito ocorram em uma taxa média de um a cada três meses. Depois que os moradores reclamaram, foram feitas alterações nos semáforos no cruzamento. Já se passaram oito meses desde que as alterações foram feitas e não houve acidentes. As mudanças foram efetivadas ou o intervalo de 8 meses sem acidentes é fruto do acaso?

A teoria da probabilidade nos diz que se o tempo médio entre os eventos é (k ), o probabilidade que (X ), o tempo entre eventos, está entre (a ) e (b ) é dado por

[(P (a≤x≤b) = int ^ b_af (x) , dx nonumber ]

Onde

[f (x) = begin {cases} 0, text {if} ; x <0 ke ^ {- kx}, text {if} ; x≥0 end {cases}. enhum número]

Assim, se os acidentes estão ocorrendo a uma taxa de um a cada 3 meses, então a probabilidade de que (X ), o tempo entre os acidentes, esteja entre (a ) e (b ) é dada por

[P (a≤x≤b) = int ^ b_af (x) , dx nonumber ]

onde [f (x) = begin {cases} 0, text {if} ; x <0 3e ^ {- 3x}, text {if} ; x≥0 end {cases}. enhum número]

Para responder à pergunta, devemos calcular ( displaystyle P (X≥8) = int ^ {+ ∞} _83e ^ {- 3x} , dx ) e decidir se é provável que 8 meses poderiam ter se passado sem um acidente se não tivesse havido melhora na situação do tráfego.

Solução

Precisamos calcular a probabilidade como uma integral imprópria:

( displaystyle begin {align *} P (X≥8) = int ^ {+ ∞} _83e ^ {- 3x} , dx [4pt]
= lim_ {t → + ∞} int ^ t_83e ^ {- 3x} , dx [4pt]
= lim_ {t → + ∞} −e ^ {- 3x} ∣ ^ t_8 [4pt]
= lim_ {t → + ∞} (- e ^ {- 3t} + e ^ {- 24}) [4pt]
≈3,8 × 10 ^ {- 11}. end {align *} )

O valor (3,8 × 10 ^ {- 11} ) representa a probabilidade de nenhum acidente em 8 meses nas condições iniciais. Como esse valor é muito, muito pequeno, é razoável concluir que as alterações foram eficazes.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Avaliando um Integral Impróprio em um Intervalo Infinito

Avalie ( displaystyle int ^ 0 _ {- ∞} frac {1} {x ^ 2 + 4} , dx. ) Declare se a integral imprópria converge ou diverge.

Solução

Comece reescrevendo ( displaystyle int ^ 0 _ {- ∞} frac {1} {x ^ 2 + 4} , dx ) como um limite usando a Equação ref {imprópria2} da definição. Desse modo,

[ begin {align *} int ^ 0 _ {- ∞} frac {1} {x ^ 2 + 4} , dx & = lim_ {t → −∞} int ^ 0_t frac {1} {x ^ 2 + 4} , dx quad text {Reescrever como um limite.} [4pt]
& = lim_ {t → −∞} frac {1} {2} tan ^ {- 1} frac {x} {2} ∣ ^ 0_t quad text {Encontre a antiderivada.} [4pt ]
& = lim_ {t → −∞} left ( frac {1} {2} tan ^ {- 1} 0− frac {1} {2} tan ^ {- 1} frac {t} {2} right) quad text {Avalie a antiderivada.} [4pt]
& = frac {π} {4}. quad text {Avalie o limite e simplifique.} end {align *} ]

A integral imprópria converge para ( dfrac {π} {4}. )

Exemplo ( PageIndex {5} ): Avaliando uma Integral Imprópria em ((- ∞, + ∞) )

Avalie ( displaystyle int ^ {+ ∞} _ {- ∞} xe ^ x , dx. ) Declare se a integral imprópria converge ou diverge.

Solução

Comece dividindo o integral:

[ int ^ {+ ∞} _ {- ∞} xe ^ x , dx = int ^ 0 _ {- ∞} xe ^ x , dx + int ^ {+ ∞} _0xe ^ x , dx. ]

Se ( displaystyle int ^ 0 _ {- ∞} xe ^ x , dx ) ou ( displaystyle int ^ {+ ∞} _0xe ^ x , dx ) diverge, então ( displaystyle int ^ {+ ∞} _ {- ∞} xe ^ x , dx ) diverge. Calcule cada integral separadamente. Para a primeira integral,

( displaystyle int ^ 0 _ {- ∞} xe ^ x , dx = lim_ {t → −∞} int ^ 0_txe ^ x , dx ) Reescrever como um limite.

(= lim_ {t → −∞} (xe ^ x − e ^ x) ∣ ^ 0_t ) Use a integração por partes para encontrar a antiderivada. (Aqui (u = x ) e (dv = e ^ x ).)

(= lim_ {t → −∞} (- 1 − te ^ t + e ^ t) ) Avalie a antiderivada.

(=−1.)

Avalie o limite. Nota: ( displaystyle lim_ {t → −∞} te ^ t ) é indeterminado da forma (0⋅∞ ). Assim, ( displaystyle lim_ {t → −∞} te ^ t = lim_ {t → −∞} frac {t} {e ^ {- t}} = lim_ {t → −∞} frac {−1} {e ^ {- t}} = lim_ {t → −∞} −e ^ t = 0 ) pela Regra de L'Hôpital.

O primeiro integral impróprio converge. Para a segunda integral,

( displaystyle int ^ {+ ∞} _0xe ^ x , dx = lim_ {t → + ∞} int ^ t_0xe ^ x , dx ) Reescrever como um limite.

(= lim_ {t → + ∞} (xe ^ x − e ^ x) ∣ ^ t_0 ) Encontre a antiderivada.

(= lim_ {t → + ∞} (te ^ t − e ^ t + 1) ) Avalie a antiderivada.

(= lim_ {t → + ∞} ((t − 1) e ^ t + 1) ) Reescrever. ( (te ^ t − e ^ t ) é indeterminado.)

(= + ∞. ) Avalie o limite.

Assim, ( displaystyle int ^ {+ ∞} _0xe ^ x , dx ) diverge. Visto que esta integral diverge, ( displaystyle int ^ {+ ∞} _ {- ∞} xe ^ x , dx ) também diverge.

Exercício ( PageIndex {1} )

Avalie ( displaystyle int ^ {+ ∞} _ {- 3} e ^ {- x} , dx. ) Declare se a integral imprópria converge ou diverge.

Dica

[ int ^ {+ ∞} _ {- 3} e ^ {- x} , dx = lim_ {t → + ∞} int ^ t _ {- 3} e ^ {- x} , dx ]

Responder

Converge para (e ^ 3. )

Integrando um Integrando Descontínuo

Agora vamos examinar integrais de funções contendo uma descontinuidade infinita no intervalo em que a integração ocorre. Considere uma integral da forma ( displaystyle int ^ b_af (x) , dx, ) onde (f (x) ) é contínua em ([a, b) ) e descontínua em (b ). Como a função (f (x) ) é contínua em ([a, t] ) para todos os valores de (t ) satisfazendo (a le t

Usamos uma abordagem semelhante para definir ( displaystyle int ^ b_af (x) , dx ), onde (f (x) ) é contínuo em ((a, b] ) e descontínuo em ( a ). Agora procedemos com uma definição formal.

Definição: Integral impróprio convergente e divergente

  1. Seja (f (x) ) contínuo sobre ([a, b) ). Então, [ int ^ b_af (x) , dx = lim_ {t → b ^ -} int ^ t_af (x) , dx. label {improperundefb} ]
  2. Seja (f (x) ) contínuo sobre ((a, b] ). Então, [ int ^ b_af (x) , dx = lim_ {t → a ^ +} int ^ b_tf (x) , dx. label {imprópria} ] Em cada caso, se o limite existe, então a integral imprópria é dita convergir.Se o limite não existe, então a integral imprópria é dita que diverge.
  3. Se (f (x) ) é contínuo sobre ([a, b] ) exceto em um ponto (c ) em ((a, b) ), então [ int ^ b_af (x ) , dx = int ^ c_af (x) , dx + int ^ b_cf (x) , dx, label {improperundefc} ] fornecido ambos ( displaystyle int ^ c_af (x) , dx ) e ( displaystyle int ^ b_cf (x) , dx ) convergem. Se qualquer uma dessas integrais diverge, então ( displaystyle int ^ b_af (x) , dx ) diverge.

Os exemplos a seguir demonstram a aplicação desta definição.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Integrando um Integrando Descontínuo

Avalie ( displaystyle int ^ 4_0 frac {1} { sqrt {4 − x}} , dx, ) se possível. Indique se a integral converge ou diverge.

Solução

A função (f (x) = dfrac {1} { sqrt {4 − x}} ) é contínua em ([0,4) ) e descontínua em 4. Usando a Equação ref {improperundefb} de a definição, reescrever ( displaystyle int ^ 4_0 frac {1} { sqrt {4 − x}} , dx ) como um limite:

( displaystyle begin {align *} int ^ 4_0 frac {1} { sqrt {4 − x}} , dx & = lim_ {t → 4 ^ -} int ^ t_0 frac {1 } { sqrt {4 − x}} , dx quad text {Reescrever como um limite.} [4pt]
& = lim_ {t → 4 ^ -} (- 2 sqrt {4 − x}) ∣ ^ t_0 quad text {Encontre a antiderivada.} [4pt]
& = lim_ {t → 4 ^ -} (- 2 sqrt {4 − t} +4) quad text {Avalie a antiderivada.} [4pt]
& = 4. quad text {Avalie o limite.} end {align *} )

O integral impróprio converge.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Integrando um Integrando Descontínuo

Avalie ( displaystyle int ^ 2_0x ln x , dx. ) Declare se a integral converge ou diverge.

Solução

Como (f (x) = x ln x ) é contínuo sobre ((0,2] ) e é descontínuo em zero, podemos reescrever a integral na forma limite usando a Equação ref {improperundefa}:

( displaystyle begin {alinhar *} int ^ 2_0x ln x , dx & = lim_ {t → 0 ^ +} int ^ 2_tx ln x , dx quad text {Reescrever como um limite .} [4pt]
& = lim_ {t → 0 ^ +} ( frac {1} {2} x ^ 2 ln x− frac {1} {4} x ^ 2) ∣ ^ 2_t quad text {Avaliar} ; int x ln x , dx ; text {usando integração por partes com} ; u = ln x ; text {e} ; dv = x. [4pt]
& = lim_ {t → 0 ^ +} (2 ln 2−1− frac {1} {2} t ^ 2 ln t + frac {1} {4} t ^ 2). quad text {Avalie a antiderivada.} [4pt]
& = 2 ln 2−1. quad text {Avalie o limite.} end {align *} )

Portanto

( displaystyle lim_ {t → 0 ^ +} t ^ 2 ln t ; text {é indeterminado.} )

Para avaliá-lo, reescreva como um quociente e aplique a regra de L'Hôpital.

O integral impróprio converge.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Integrando um Integrando Descontínuo

Avalie ( displaystyle int ^ 1 _ {- 1} frac {1} {x ^ 3} , dx. ) Declare se a integral imprópria converge ou diverge.

Solução

Como (f (x) = 1 / x ^ 3 ) é descontínuo em zero, usando a Equação ref {improperundefc}, podemos escrever

[ int ^ 1 _ {- 1} frac {1} {x ^ 3} , dx = int ^ 0 _ {- 1} frac {1} {x ^ 3} , dx + int ^ 1_0 frac {1} {x ^ 3} , dx. nonumber ]

Se qualquer uma das duas integrais diverge, então a integral original diverge. Comece com ( displaystyle int ^ 0 _ {- 1} frac {1} {x ^ 3} , dx ):

( displaystyle int ^ 0 _ {- 1} frac {1} {x ^ 3} , dx = lim_ {t → 0 ^ -} int ^ t _ {- 1} frac {1} {x ^ 3} , dx ) Reescrever como um limite.

(= lim_ {t → 0 ^ -} (- frac {1} {2x ^ 2}) ∣ ^ t _ {- 1} ) Encontre a antiderivada.

(= lim_ {t → 0 ^ -} (- frac {1} {2t ^ 2} + frac {1} {2}) ) Avalie a antiderivada.

(= + ∞. ) Avalie o limite.

Portanto, ( displaystyle int ^ 0 _ {- 1} frac {1} {x ^ 3} , dx ) diverge. Como ( displaystyle int ^ 0 _ {- 1} frac {1} {x ^ 3} , dx ) diverge, ( displaystyle int ^ 1 _ {- 1} frac {1} {x ^ 3} , dx ) diverge.

Exercício ( PageIndex {2} )

Avalie ( displaystyle int ^ 2_0 frac {1} {x} , dx. ) Declare se a integral converge ou diverge.

Dica

Escreva ( displaystyle int ^ 2_0 frac {1} {x} , dx ) na forma de limite usando a Equação ref {improperundefa}.

Responder

(+ ∞ ), diverge.

Um Teorema de Comparação

Nem sempre é fácil ou mesmo possível avaliar uma integral imprópria diretamente; entretanto, comparando-a com outra integral cuidadosamente escolhida, pode ser possível determinar sua convergência ou divergência. Para ver isso, considere duas funções contínuas (f (x) ) e (g (x) ) satisfazendo (0≤f (x) ≤g (x) ) para (x≥a ) ( Figura ( PageIndex {6} )). Neste caso, podemos ver as integrais dessas funções em intervalos da forma ([a, t] ) como áreas, então temos a relação

[0≤ int ^ t_af (x) , dx≤ int ^ t_ag (x) , dx ]

para (t≥a ).

Portanto, se

[ int ^ {+ ∞} _af (x) , dx = lim_ {t → + ∞} int ^ t_af (x) , dx = + ∞, ]

então

[ int ^ {+ ∞} _ag (x) , dx = lim_ {t → + ∞} int ^ t_ag (x) , dx = + ∞ ]

também. Ou seja, se a área da região entre o gráfico de (f (x) ) e o eixo (x ) sobre ([a, + ∞) ) é infinita, então a área da região entre o gráfico de (g (x) ) e o eixo (x ) sobre ([a, + ∞) ) também é infinito.

Por outro lado, se

[ int ^ {+ ∞} _ag (x) , dx = lim_ {t → + ∞} int ^ t_ag (x) , dx = L ]

para algum número real (L ), então

[ int ^ {+ ∞} _af (x) , dx = lim_ {t → + ∞} int ^ t_af (x) , dx ]

deve convergir para algum valor menor ou igual a (L ), uma vez que ( displaystyle int ^ t_af (x) , dx ) aumenta conforme (t ) aumenta e ( displaystyle int ^ t_af (x) , dx≤L ) para todos (t≥a. )

Se a área da região entre o gráfico de (g (x) ) e o eixo (x ) - sobre ([a, + ∞) ) for finita, então a área da região entre o gráfico de (f (x) ) e o eixo (x ) sobre ([a, + ∞) ) também é finito.

Essas conclusões são resumidas no teorema a seguir.

Um Teorema de Comparação

Sejam (f (x) ) e (g (x) ) contínuos sobre ([a, + ∞). ) Suponha que (0≤f (x) ≤g (x) ) para (x≥a. )

  1. Se [ int ^ {+ ∞} _af (x) , dx = lim_ {t → + ∞} int ^ t_af (x) , dx = + ∞, ] então [ int ^ {+ ∞} _ag (x) , dx = lim_ {t → + ∞} int ^ t_ag (x) , dx = + ∞. ]
  2. Se [ int ^ {+ ∞} _ag (x) , dx = lim_ {t → + ∞} int ^ t_ag (x) , dx = L, ] onde (L ) é um real número, então [ int ^ {+ ∞} _af (x) , dx = lim_ {t → + ∞} int ^ t_af (x) , dx = M ] para algum número real (M≤ EU.)

Exemplo ( PageIndex {9} ): Aplicando o Teorema da Comparação

Use uma comparação para mostrar que

[ int ^ {+ ∞} _1 frac {1} {xe ^ x} , dx nonumber ]

converge.

Solução

Nós podemos ver isso

[0≤ frac {1} {xe ^ x} ≤ frac {1} {e ^ x} = e ^ {- x}, ]

então, se ( displaystyle int ^ {+ ∞} _1e ^ {- x} , dx ) convergir, então o mesmo acontecerá ( displaystyle int ^ {+ ∞} _1 frac {1} {xe ^ x } , dx ). Para avaliar ( displaystyle int ^ {+ ∞} _1e ^ {- x} , dx, ) primeiro reescrevê-lo como um limite:

( displaystyle int ^ {+ ∞} _1e ^ {- x} , dx = lim_ {t → + ∞} int ^ t_1e ^ {- x} , dx )

(= lim_ {t → + ∞} (- e ^ {- x}) ∣ ^ t_1 )

(= lim_ {t → + ∞} (- e ^ {- t} + e ^ {- 1}) )

(= e ^ {- 1}. )

Uma vez que ( displaystyle int ^ {+ ∞} _1e ^ {- x} , dx ) converge, o mesmo acontece com ( displaystyle int ^ {+ ∞} _1 frac {1} {xe ^ x} , dx. )

Exemplo ( PageIndex {10} ): Aplicando o Teorema da Comparação

Use o teorema de comparação para mostrar que ( displaystyle int ^ {+ ∞} _1 frac {1} {x ^ p} , dx ) diverge para todos (p <1 ).

Solução

Para (p <1, 1 / x≤1 / (x ^ p) ) sobre ([1, + ∞). ) No Exemplo ( PageIndex {1} ), mostramos que ( displaystyle int ^ {+ ∞} _1 frac {1} {x} , dx = + ∞. ) Portanto, ( displaystyle int ^ {+ ∞} _1 frac {1} {x ^ p} , dx ) diverge para todos (p <1 ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Use uma comparação para mostrar que ( displaystyle int ^ {+ ∞} _e frac { ln x} {x} , dx ) diverge.

Dica

( frac {1} {x} ≤ frac { ln x} {x} ) em ([e, + ∞) )

Responder

Uma vez que ( displaystyle int ^ {+ ∞} _e frac {1} {x} , dx = + ∞, ) ( displaystyle int ^ {+ ∞} _e frac { ln x} { x} , dx ) diverge.

Laplace Transforms

Nos últimos capítulos, vimos várias maneiras de usar a integração para resolver problemas do mundo real. Para este próximo projeto, vamos explorar uma aplicação mais avançada de integração: transformações integrais. Especificamente, descrevemos a transformada de Laplace e algumas de suas propriedades. O Transformada de Laplace é usado em engenharia e física para simplificar os cálculos necessários para resolver alguns problemas. Leva funções expressas em termos de tempo e transforma em funções expressas em termos de frequência. Acontece que, em muitos casos, os cálculos necessários para resolver problemas no domínio da frequência são muito mais simples do que aqueles exigidos no domínio do tempo.

A transformada de Laplace é definida em termos de uma integral como

[L {f (t)} = F (s) = int ^ ∞_0e ^ {- st} f (t) dt. ]

Observe que a entrada para uma transformada de Laplace é uma função do tempo, (f (t), ) e a saída é uma função da frequência, (F (s) ). Embora muitos exemplos do mundo real exijam o uso de números complexos (envolvendo o número imaginário (i = sqrt {−1}), ) neste projeto nos limitamos a funções de números reais.

Vamos começar com um exemplo simples. Aqui calculamos a transformada de Laplace de (f (t) = t ). Nós temos

[L {t} = int ^ ∞_0te ^ {- st} dt. ]

Esta é uma integral imprópria, então a expressamos em termos de um limite, o que dá

[L {t} = int ^ ∞_0te ^ {- st} dt = lim_ {z → ∞} int ^ z_0te ^ {- st} dt. ]

Agora usamos integração por partes para avaliar a integral. Observe que estamos integrando em relação a t, portanto, tratamos a variável s como uma constante. Nós temos

(u = t ) (du = dt ) (dv = e ^ {- st} dt ) (v = - frac {1} {s} e ^ {- st} ).

Então nós obtemos

[ begin {align *} lim_ {z → ∞} int ^ z_0te ^ {- st} dt = lim_ {z → ∞} [[- frac {t} {s} e ^ {- st} ] ∣ ^ z_0 + frac {1} {s} int ^ z_0e ^ {- st} dt] [4pt] = lim_ {z → ∞} [[- frac {z} {s} e ^ {−sz} + frac {0} {s} e ^ {- 0s}] + frac {1} {s} int ^ z_0e ^ {- st} dt] [4pt] = lim_ { z → ∞} [[- frac {z} {s} e ^ {- sz} +0] - frac {1} {s} [ frac {e ^ {- st}} {s}] ∣ ^ z_0] [4pt] = lim_ {z → ∞} [[- frac {z} {s} e ^ {- sz}] - frac {1} {s ^ 2} [e ^ {- sz} −1]] [4pt] = lim_ {z → ∞} [- frac {z} {se ^ {sz}}] - lim_ {z → ∞} [ frac {1} { s ^ 2e ^ {sz}}] + lim_ {z → ∞} frac {1} {s ^ 2} [4pt] = 0−0 + frac {1} {s ^ 2} [4pt] = frac {1} {s ^ 2}. end {align *} ]

  1. Calcule a transformada de Laplace de (f (t) = 1. )
  2. Calcule a transformada de Laplace de (f (t) = e ^ {- 3t}. )
  3. Calcule a transformada de Laplace de (f (t) = t ^ 2 ). (Observe que você terá que integrar por partes duas vezes.)

As transformadas de Laplace são freqüentemente usadas para resolver equações diferenciais. As equações diferenciais não são abordadas em detalhes até mais tarde neste livro; mas, por agora, vamos olhar para a relação entre a transformada de Laplace de uma função e a transformada de Laplace de sua derivada.

Vamos começar com a definição da transformada de Laplace. Nós temos

[L {f (t)} = int ^ ∞_0e ^ {- st} f (t) dt = lim_ {z → ∞} int ^ z_0e ^ {- st} f (t) dt. ]

Use a integração por partes para avaliar ( displaystyle lim_ {z → ∞} int ^ z_0e ^ {- st} f (t) dt ). (Seja (u = f (t) ) e (dv = e ^ {- st} dt ).)

Depois de integrar por partes e avaliar o limite, você verá que

[L {f (t)} = frac {f (0)} {s} + frac {1} {s} [L {f ′ (t)}]. ]

Então,

[L {f ′ (t)} = sL {f (t)} - ​​f (0). ]

Assim, a diferenciação no domínio do tempo simplifica a multiplicação por s no domínio da frequência.

A última coisa que veremos neste projeto é como as transformadas de Laplace de (f (t) ) e sua antiderivada estão relacionadas. Seja (g (t) = int ^ t_0f (u) du. ) Então,

[L {g (t)} = int ^ ∞_0e ^ {- st} g (t) dt = lim_ {z → ∞} int ^ z_0e ^ {- st} g (t) dt. ]

Use a integração por partes para avaliar ( displaystyle lim_ {z → ∞} int ^ z_0e ^ {- st} g (t) dt. ) (Let (u = g (t) ) e (dv = e ^ {- st} dt ). Observe, pela forma como definimos (g (t), du = f (t) dt. ))

Como você pode esperar, você deve ver que

[L {g (t)} = frac {1} {s} ⋅L {f (t)}. ]

A integração no domínio do tempo simplifica a divisão por (s ) no domínio da frequência.

Conceitos chave

  • Integrais de funções em intervalos infinitos são definidos em termos de limites.
  • Integrais de funções em um intervalo para o qual a função tem uma descontinuidade em um ponto final podem ser definidos em termos de limites.
  • A convergência ou divergência de uma integral imprópria pode ser determinada comparando-a com o valor de uma integral imprópria para a qual a convergência ou divergência é conhecida.

Equações Chave

  • Integrais impróprios

( displaystyle int ^ {+ ∞} _af (x) , dx = lim_ {t → + ∞} int ^ t_af (x) , dx )

( displaystyle int ^ b _ {- ∞} f (x) , dx = lim_ {t → −∞} int ^ b_tf (x) , dx )

( displaystyle int ^ {+ ∞} _ {- ∞} f (x) , dx = int ^ 0 _ {- ∞} f (x) , dx + int ^ {+ ∞} _0f (x) , dx )

Glossário

totalmente inapropriado
uma integral sobre um intervalo infinito ou uma integral de uma função contendo uma descontinuidade infinita no intervalo; uma integral imprópria é definida em termos de um limite. A integral imprópria converge se esse limite for um número real finito; caso contrário, o integral impróprio diverge

7.8: Integrais impróprios - Matemática

Falando geometricamente, as integrais são a forma de calcular a área ou o volume sob as curvas. Esses métodos permitem que os matemáticos calculem a área sob curvas arbitrariamente complexas. Esses tipos de integrais são chamados de integrais definidos. Integrais definidas são construídas sobre a ideia de integrais indefinidas. Essas integrais indefinidas nada mais são do que anti-derivadas das funções. Os anti-derivados são o reverso da diferenciação. Vamos ver essas ideias em detalhes.

O que são integrais impróprios?

Integrais impróprios são integrais definidos onde um ou ambos os limites estão no infinito ou onde o Integrando tem uma assíntota vertical no intervalo de integração. Calcular a área até o infinito parece um problema intratável, mas por meio de alguma manipulação inteligente, esses problemas podem ser resolvidos. Vamos considerar uma função f (x), então a área sob a curva delimitada pelo eixo x entre os limites x = a e x = b é denotada como,

Como os dois limites aqui são finitos, isso é chamado de integral própria. Uma integral própria com um limite infinito será denotada como,

ou

Considere um exemplo para obter um melhor entendimento.

Exemplo: Calcule a seguinte integral definida.

O gráfico desta função é mostrado na figura abaixo. O objetivo é calcular a área mencionada. Observe que a área não está divergindo porque a função está indo para zero assintoticamente.

Isso pode ser reescrito como,



Agora, isso é apenas uma integral definida, para resolver esta segunda parte do teorema fundamental do cálculo pode ser usada.

Às vezes, as integrais têm seus limites como infinito. Essas integrais são chamadas integrais impróprios com dois limites infinitos.

ou

Integral impróprio divergente

Na função anterior, o limite da área calculada até o infinito é finito. Mas frequentemente, em alguns casos, as integrais não convergem para um valor finito. Intuitivamente, isso significa que a área encerrada sob a curva não é finita. Considere um exemplo para este tipo de caso para obter uma melhor compreensão de tais integrais.

Exemplo: calcule o seguinte integral.

O gráfico desta função é apresentado a seguir.



Vamos calcular a área sob esta curva usando o mesmo método acima.

Reescrevendo a integral fornecida.

Agora, isso é novamente apenas uma integral definida, para resolver esta segunda parte do teorema fundamental do cálculo pode ser usada.

Uma vez que este limite diverge. A área sob a curva é infinita.

Vejamos alguns problemas com esses conceitos.

Problemas de amostra

Pergunta 1: Calcule a seguinte integral definida.

Isso pode ser reescrito como,

Agora, isso é apenas uma integral definida, para resolver esta segunda parte do teorema fundamental do cálculo pode ser usada.

Pergunta 2: Calcule a seguinte integral definida.

Isso pode ser reescrito como,

Agora, isso é apenas uma integral definida, para resolver esta segunda parte do teorema fundamental do cálculo pode ser usada.

Este limite avalia até o infinito. Portanto, a área sob a curva é infinita.

Pergunta 3: Calcule a seguinte integral definida.



Isso pode ser reescrito como,

Agora, isso é apenas uma integral definida, para resolver esta segunda parte do teorema fundamental do cálculo pode ser usada.

Este limite avalia até o infinito. Portanto, a área sob a curva é infinita.

Pergunta 4: Calcule a seguinte integral definida.

Isso pode ser reescrito como,



Agora, isso é apenas uma integral definida, para resolver esta segunda parte do teorema fundamental do cálculo pode ser usada.

Esta área não pode ser calculada. Isso é infinito.

Pergunta 5: Calcule a seguinte integral definida.

Isso pode ser reescrito como,



Agora, isso é apenas uma integral definida, para resolver esta segunda parte do teorema fundamental do cálculo pode ser usada.

Esta área não pode ser calculada. Isso é infinito.

Questão 6: Determine se esta integral imprópria é convergente ou divergente.

Isso pode ser reescrito como,

Agora, isso é apenas uma integral definida, para resolver esta segunda parte do teorema fundamental do cálculo pode ser usada.

O limite não é definido, portanto, essa integral é divergente.

Questão 7: Determine se esta integral imprópria é convergente ou divergente.

Isso pode ser reescrito como,

Agora, isso é apenas uma integral definida, para resolver esta segunda parte do teorema fundamental do cálculo pode ser usada.


Conteúdo

Para encontrar uma fórmula explícita para a integral de superfície sobre uma superfície S, precisamos parametrizar S definindo um sistema de coordenadas curvilíneas em S, como a latitude e longitude em uma esfera. Que tal parametrização seja r(s, t) , Onde (s, t) varia em alguma região T do plano. Então, a integral de superfície é dada por

onde a expressão entre as barras do lado direito é a magnitude do produto vetorial das derivadas parciais de r(s, t) e é conhecido como elemento de superfície. A integral da superfície também pode ser expressa na forma equivalente

onde g é o determinante da primeira forma fundamental do mapeamento de superfície r(s, t) . [1] [2]

Por exemplo, se quisermos encontrar a área da superfície do gráfico de alguma função escalar, digamos z = f(x, y) , temos

que é a fórmula padrão para a área de uma superfície descrita desta forma. Pode-se reconhecer o vetor na penúltima linha acima como o vetor normal para a superfície.

Observe que, devido à presença do produto vetorial, as fórmulas acima funcionam apenas para superfícies embutidas no espaço tridimensional.

Isso pode ser visto como a integração de uma forma de volume Riemanniana na superfície parametrizada, onde o tensor métrico é dado pela primeira forma fundamental da superfície.

Considere um campo vetorial v em uma superfície S, isto é, para cada r = (x, y, z) em S, v(r) é um vetor.

A integral de superfície pode ser definida em termos de componentes de acordo com a definição da integral de superfície de um campo escalar, o resultado é um vetor. Isso se aplica, por exemplo, na expressão do campo elétrico em algum ponto fixo devido a uma superfície eletricamente carregada, ou a gravidade em algum ponto fixo devido a uma folha de material.

Alternativamente, se integrarmos o componente normal do campo vetorial sobre a superfície, o resultado será um escalar, geralmente chamado de fluxo que passa pela superfície. Imagine que temos um fluido fluindo através S, de tal modo que v(r) determina a velocidade do fluido em r. O fluxo é definido como a quantidade de fluido que flui através S por unidade de tempo.

Esta ilustração implica que se o campo vetorial é tangente a S em cada ponto, então o fluxo é zero porque o fluido apenas flui em paralelo com S, e nem dentro nem fora. Isso também implica que se v não flui apenas junto S, isto é, se v tem um componente tangencial e um normal, então apenas o componente normal contribui para o fluxo. Com base neste raciocínio, para encontrar o fluxo, precisamos pegar o produto escalar de v com a superfície da unidade normal n para S em cada ponto, o que nos dará um campo escalar, e integrará o campo obtido como acima. Nós encontramos a fórmula

O produto vetorial no lado direito desta expressão é uma normal de superfície (não necessariamente unital) determinada pela parametrização.

Esta fórmula define a integral à esquerda (observe o ponto e a notação vetorial para o elemento de superfície).

Também podemos interpretar isso como um caso especial de integração de 2 formas, onde identificamos o campo vetorial com uma forma 1, e então integramos seu dual de Hodge sobre a superfície. Isso é equivalente a integrar ⟨v, n⟩ d S < displaystyle left langle mathbf , mathbf right rangle mathrm S> sobre a superfície imersa, onde d S < displaystyle mathrm S> é a forma de volume induzido na superfície, obtida pela multiplicação interna da métrica Riemanniana do espaço ambiente com a normal externa da superfície.

ser uma forma 2 diferencial definida em uma superfície S, e deixar

Então, a integral de superfície de f em S É dado por

é o elemento de superfície normal para S.

Notemos que a integral de superfície desta forma 2 é a mesma que a integral de superfície do campo vetorial que tem como componentes f x < displaystyle f_>, f y < displaystyle f_> e f z < displaystyle f_> .

Vários resultados úteis para integrais de superfície podem ser derivados usando geometria diferencial e cálculo vetorial, como o teorema da divergência e sua generalização, o teorema de Stokes.

Let us notice that we defined the surface integral by using a parametrization of the surface S. We know that a given surface might have several parametrizations. For example, if we move the locations of the North Pole and the South Pole on a sphere, the latitude and longitude change for all the points on the sphere. A natural question is then whether the definition of the surface integral depends on the chosen parametrization. For integrals of scalar fields, the answer to this question is simple the value of the surface integral will be the same no matter what parametrization one uses.

For integrals of vector fields, things are more complicated because the surface normal is involved. It can be proven that given two parametrizations of the same surface, whose surface normals point in the same direction, one obtains the same value for the surface integral with both parametrizations. If, however, the normals for these parametrizations point in opposite directions, the value of the surface integral obtained using one parametrization is the negative of the one obtained via the other parametrization. It follows that given a surface, we do not need to stick to any unique parametrization, but, when integrating vector fields, we do need to decide in advance in which direction the normal will point and then choose any parametrization consistent with that direction.

Another issue is that sometimes surfaces do not have parametrizations which cover the whole surface. The obvious solution is then to split that surface into several pieces, calculate the surface integral on each piece, and then add them all up. This is indeed how things work, but when integrating vector fields, one needs to again be careful how to choose the normal-pointing vector for each piece of the surface, so that when the pieces are put back together, the results are consistent. For the cylinder, this means that if we decide that for the side region the normal will point out of the body, then for the top and bottom circular parts, the normal must point out of the body too.

Lastly, there are surfaces which do not admit a surface normal at each point with consistent results (for example, the Möbius strip). If such a surface is split into pieces, on each piece a parametrization and corresponding surface normal is chosen, and the pieces are put back together, we will find that the normal vectors coming from different pieces cannot be reconciled. This means that at some junction between two pieces we will have normal vectors pointing in opposite directions. Such a surface is called non-orientable, and on this kind of surface, one cannot talk about integrating vector fields.


A: Integration of function expression with respect to variable x or y gives the area between function c.

Q: FOURIER SERIES 1. Find the series of Fourier functions a) f(x)= sin(x) , 0≤x≤π

R: Clique para ver a resposta

R: Clique para ver a resposta

Q: 2 –1 2 1 1 1 7 7 B -2 1 1 Let A 1 2 5 1 3 Which one is true? (Üstteki matrislere göre hangisi doğrud.

R: Clique para ver a resposta

Q: The equation (x-2)(x-4)%3D0 has. negative roots. а. 3 O b. None of these O c. 1 O d. 2

R: Clique para ver a resposta

A: Any phasor, z such that can be written in the rectangular form as . Disclaimer: Si.


We wrote the answer as x 2 but why +C ?

It is the "Constant of Integration". It is there because of all the functions whose derivative is 2x:

  • the derivative of x 2 é 2x,
  • and the derivative of x 2 +4 é também 2x,
  • and the derivative of x 2 +99 é também 2x,
  • and so on!

Because the derivative of a constant is zero.

So when we marcha ré the operation (to find the integral) we only know 2x, but there could have been a constant of any value.

So we wrap up the idea by just writing + C at the end.


Improper integral

The term usually denotes a limiting process which yields a definition of integral of an unbounded function or of a function over an unbounded set, even when the function is not summable.

Assume that $f$ is a function defined on an half-open interval $[a, b[subset mathbb R$, where $b$ is allowed to take the value infty$. If $f$ is Riemann- (or Lebesgue-) integrable on every interval $[a, eta]subset [a,b]$ and the limit [ lim_ <etauparrow b>int_a^b f(x), dx ] exists, then such limit is called the improper integral of $f$ over $[a,b[$. If the limit exists and is finite, then one says that the improper integral converges and if not, that it diverges. A similar definition is possible for the cases $]a,b]$ and $]a,b[$. In the latter the improper integral is the sum of the limits [ lim_ <etauparrow b>int_c^eta f(x), dx ] and [ lim_ int_alpha^c f(x), dx, ] which are assumed to exist for some point $cin ]a,b[$ and not to give the indeterminate form infty-infty$. Under these assumptions the result is independent of the point $c$.

Some generalizations are used even for functions defined on domains of type $]a_0, a_1[cup ]a_1, a_2[cup ldots cup ]a_, a_k[$. In this case it is required that the improper integral exists on every separate interval and that in the resulting $k$ values infty$ and $-infty$ do not both appear.

Comparison with Riemann- and Lebesgue- integrals

If the function $f$ is Riemann-integrable over $[a,b]$, then the improper integral coincides with the Riemann integral. The same holds with the Lebesgue integral if $f$ is Lebesgue-integrable over $[a,b[$. A partial converse to the last statement holds: if $f$ is Lebesgue-measurable for every $[a,eta]subset [a,b[$ and the improper integral of $|f|$ exists and is finite, then $f$ is summable and the improper integral coincides with the Lebesgue integral. However the improper integral might exist even when $f$ is not summable, as it is the case of [ int_0^infty frac, dx, . ]

Properties

The general properties of integrals carry over to improper integrals: linearity, additivity with respect to the intervals over which the integration proceeds, the rule for integrating inequalities, the mean-value theorems, integration by parts, change of variable, and the Newton-Leibniz formula. For example, if $f$ coincides almost-everywhere on $[a,b[$ with the derivative of a function $F$ that is absolutely continuous on every $[a,eta]subset [a,b[$ then [ int_a^b f(x), dx = F(b)-F(a), . ]

Criteria

To decide about the convergence of the indefinite integral of functions of constant sign one uses the comparison test. That is, if leq fleq g$ and the improper integral of $g$ converges, then so does the improper integral of $f$.

A useful general criterion is that of Cauchy: the improper integral of $f$ on $[a,b[$ converges if and only if for every $varepsilon>0$ $exists etain [a,b[$ such that [ left|int_alpha^eta f(x), dx ight| < varepsilon qquad forall eta>alpha> eta, . ]

The convergence of the improper integral can be turned into deciding the convergence of certain series: the improper integral of $f$ over $[a,b[$ converges if and only if for every sequence $b_n uparrow b$ the corresponding series [ sum_^infty int_<>>^ f(x), dx ] converges.

Higher dimensions and Cauchy principal value

The concept of improper integral can be generalized to integrals of several variables. However such generalization hinges on deciding for a given domain $Omega$ in which way it should be approximated by a sequence of cannonical domains and this is not so clear in more than one variable. Moreover, the fact that the higher-dimensional version of the Riemann integral is quite involved has made some definitions of improper integral seldomly used.

A popular version of integrating functions with a point singularity, which is of uttermost importance in potential theory, harmonic analysis and partial differential equations, leads to the Cauchy principal value. Assume $f: Omega o mathbb R$ is a function which is Lebesgue integrable on $Omegasetminus B_r (x_0)$ for any $r>0$. The Cauchy principal value of the integral of $f$ over $Omega$, which is denoted by [ < m PV>, int_Omega f ] is given by the limit [ lim_ int_ f ] (when it exists).

However the Cauchy principal value is rarely called improper integral, especially in one space dimension. In fact, if we consider the function $frac<1>$ on $]-1,1[$, given its symmetry it is obvious that [ < m PV>, int_<-1>^1 frac<1>, dx = 0, . ] On the other hand most authors say that the improper integral of $frac<1>$ does not exist, since for the improper integral of $f$ to be well defined for a function which is singular at $ it is usually required that both limits [ lim_ int_alpha^1 f(x), dx ] and [ lim_ int_<-1>^a f(x), dx ] exist and their sum gives not the indeterminacy infty-infty$.


7.1 IMPROPER INTEGRALS

The definite integral />is defined as the limit of a sum under two conditions (i) the interval [uma, b] is of finite length and (ii) f is defined and bounded on [uma, b] Then />is called a proper integral.

But there are many practical problems where f is unbounded on [uma, b] or the interval is not finite. Such integrals are known as improper integrals.

Por exemplo: are improper integrals.

7.1.1 Kinds of Improper .

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Aula: 12º
Subject: Mathematics
Chapter : Ch-8 Integrals
Board ISC Board
escritor ML Aggarwal ISC Understanding ( Vol-2)
Publications APC Arya Publications ( 2020-21 )

Definition of integral

Integration is the inverse process of differentiation. In the differential calculus, we are given a function and we have to find the derivative or differential of this function, but in the integral calculus, we are to find a function whose differential is given

Concepts on Integrals

  • Integration as an inverse process of differentiation
  • Geometrical interpretation of indefinite integral
  • Some properties of indefinite integrals
  • Comparison between differentiation and integration
  • Methods of integration
  • Integration by substitution
  • Integration using trigonometric identities
  • Integrals for some particular functions
  • Integration by partial fractions
  • Integration by parts
  • Integral of the type
  • Integrals for some more types
  • Definite integral
  • Definite integral as a limit of a sum
  • The fundamental theorem of calculus
  • Area function
  • The first fundamental theorem of integral calculus
  • The second fundamental theorem of integral calculus
  • Evaluation 0f definite integrals by substitution
  • Some properties of definite integrals

Integral Types

The integral calculus is of the two forms, namely

(i) Indefinite Integral

(ii) Definite Integral

Anti derivative Functions

Let us have a look at various anti derivative of functions.

Some indefinite integrals which can be evaluated by direct substitutions:

  • 1) If integral is of the form ∫ f(g(x)) g'(x) dx, then put g(x) = t, provided ∫ f(t) exists.
  • 2) ∫ f'(x)/f(x) dx = ln |f (x)| + c, By putting f (x) = t => f’ (x) dx = dt

Some standard substitutions:

1) For terms of the form x 2 + a 2 or √x 2 + a 2 , put x = a tanθ or a cotθ

2) For terms of the form x 2 – a 2 or √x 2 – a 2 , put x = a sec θ or a cosecθ

3) For terms of the form a 2 – x 2 or √x 2 + a 2 , put x = a sin θ or a cosθ

4) If both √a+x, √a–x, are present, then put x = a cos θ.

5) For the form √(x–a)(b–x), put x = a cos 2 θ + b sin 2 θ

6) For the type (√x 2 +a 2 ±x) n or (x±√x 2 –a 2 ) n , put the expression within the bracket = t.

7) For 1/(x+a) n1 (x+b) n2 , where n1,n2 ∈ N (and > 1), again put (x + a) = t (x + b)

  • If the integrand is of the form f(x)g(x), where g(x) is a function of the integral of f(x), then put integral of f(x) = t.
  • The integral of product of two functions of x is evaluated with the help of integration by parts. Let u and v be two functions of x, then ∫uv dx = u∫v dx – ∫[du/dx ∫v dx]dx
  • While carrying out integration by parts, whether a function is u or v should be decided according to ILATEmethod of integration (Inverse, Logarithmic, Algebraic, Trigonometric, Exponent).
  • If both the functions are directly integrable then the first function is chosen in such a way that the derivative of the function thus obtained under integral sign is easily integrable.
  • If in the product of the two functions, one of the functions is not directly integrable like lnx, sin -1 x, cos -1 x, tan -1 x etc. then we take it as the first function and the remaining function is taken as the second function.
  • If there is no second function available, then unity is taken as the second function e.g. in the integration of∫tan -1 x dx, tan -1 x is taken as the first function and 1 as the second function.

Exercise – 8.1

Integrals ML Aggarwal ISC Class-12 Understanding APC Mathematics Solutions

Exercise – 8.2

Integrals ML Aggarwal ISC Class-12 Understanding APC Mathematics Solutions

Exercise – 8.3

ML Aggarwal ISC Class-12 Understanding APC Mathematics Solutions

Exercise – 8.4

ML Aggarwal ISC Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

Exercise – 8.5

ML Aggarwal ISC Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

Exercise – 8.6

ML Aggarwal Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

Exercise – 8.7

ML Aggarwal Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

Exercise – 8.8

ML Aggarwal ISC Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

Exercise – 8.9

ML Aggarwal ISC Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

Exercise – 8.10

ISC Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

Exercise – 8.11

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Exercise – 8.12

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Exercise – 8.13

ISC Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

Exercise – 8.14

ML Aggarwal ISC Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

Exercise – 8.15

ML Aggarwal Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

Exercise – 8.16

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Exercise – 8.17

ML Aggarwal ISC Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

Exercise – 8.18

ISC Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

Exercise – 8.19

ML Aggarwal ISC Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

ML Aggarwal Understanding APC Mathematics Solutions Integrals Class-12

-: End of Integrals ML Aggarwal ISC Class-12 Solutions :-


How to Find an Improper Integral?

Integration is defined as the reverse process of differentiation. The integration is represented by ' &int '. Improper integrals are integrals that have upper and lower limits. It is represented as b &intumaf(x)dx. The fundamental theorem of calculus tells us that to calculate the area under a curve y = f(x) from x = a to x = b, we first calculate the integration g(x) of f(x),

And then evaluate g(b) &minus g(a). That is, the area under the curve f(x) from x=a to x=b is


Assista o vídeo: Całka niewłaściwa (Dezembro 2021).