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7.4: Frações Parciais - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Integre uma função racional usando o método de frações parciais.
  • Reconhecer fatores lineares simples em uma função racional.
  • Reconhecer fatores lineares repetidos em uma função racional.
  • Reconhecer fatores quadráticos em uma função racional.

Vimos algumas técnicas que nos permitem integrar funções racionais específicas. Por exemplo, sabemos que

[ int dfrac {du} {u} = ln | u | + C não numérico ]

e

[ int dfrac {du} {u ^ 2 + a ^ 2} = dfrac {1} {a} tan ^ {- 1} left ( dfrac {u} {a} right) + C . enhum número]

No entanto, ainda não temos uma técnica que nos permita lidar com quocientes arbitrários desse tipo. Assim, não é imediatamente óbvio como proceder para avaliar

[ int dfrac {3x} {x ^ 2 − x − 2} , dx. nonumber ]

No entanto, sabemos a partir de material desenvolvido anteriormente que

[ int left ( dfrac {1} {x + 1} + dfrac {2} {x − 2} right) , dx = ln | x + 1 | +2 ln | x − 2 | + C. Não numérico ]

Na verdade, obtendo um denominador comum, vemos que

[ dfrac {1} {x + 1} + dfrac {2} {x − 2} = dfrac {3x} {x ^ 2 − x − 2}. nonumber ]

Consequentemente,

[ int dfrac {3x} {x ^ 2 − x − 2} , dx = int left ( dfrac {1} {x + 1} + dfrac {2} {x − 2} right ) , dx. nonumber ]

Nesta seção, examinamos o método de decomposição de fração parcial, o que nos permite decompor funções racionais em somas de funções racionais mais simples e mais facilmente integradas. Usando este método, podemos reescrever uma expressão como:

[ dfrac {3x} {x ^ 2 − x − 2} nonumber ]

como uma expressão como

[ dfrac {1} {x + 1} + dfrac {2} {x − 2}. nonumber ]

A chave para o método de decomposição de fração parcial é ser capaz de antecipar a forma que a decomposição de uma função racional assumirá. Como veremos, essa forma é previsível e altamente dependente da fatoração do denominador da função racional. Também é extremamente importante ter em mente que a decomposição da fração parcial pode ser aplicada a uma função racional ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) somente se (deg (P (x)) < deg (Q (x)) ). No caso em que (deg (P (x)) ≥deg (Q (x)) ), devemos primeiro realizar a divisão longa para reescrever o quociente ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) na forma (A (x) + dfrac {R (x)} {Q (x)} ), onde (deg (R (x))

Exemplo ( PageIndex {1} ): Integrando ( displaystyle int frac {P (x)} {Q (x)} , dx ), onde (deg (P (x)) ≥deg (Q (x)) )

Avalie

[ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 5} {x + 1} , dx. enhum número ]

Solução

Uma vez que (deg (x ^ 2 + 3x + 5) ≥deg (x + 1), ) realizamos uma divisão longa para obter

[ dfrac {x ^ 2 + 3x + 5} {x + 1} = x + 2 + dfrac {3} {x + 1}. enhum número]

Desse modo,

[ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 5} {x + 1} , dx = int left (x + 2 + dfrac {3} {x + 1} right) , dx = dfrac {1} {2} x ^ 2 + 2x + 3 ln | x + 1 | + C. enhum número]

Visite este site para obter uma revisão da divisão longa de polinômios.

Exercício ( PageIndex {1} )

Avalie

[ int dfrac {x − 3} {x + 2} , dx. enhum número ]

Dica

Use a divisão longa para obter ( dfrac {x − 3} {x + 2} = 1− dfrac {5} {x + 2}. Não numérico )

Responder

[x − 5 ln | x + 2 | + C não numérico ]

Para integrar ( displaystyle int dfrac {P (x)} {Q (x)} , dx ), onde (deg (P (x))

Fatores Lineares Não Repetidos

Se (Q (x) ) pode ser fatorado como ((a_1x + b_1) (a_2x + b_2)… (a_nx + b_n) ), onde cada fator linear é distinto, então é possível encontrar constantes ( A_1, A_2,… A_n ) satisfatório

[ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {a_1x + b_1} + dfrac {A_2} {a_2x + b_2} + ⋯ + dfrac {A_n} {a_nx + b_n } label {eq: 7.4.1} ]

A prova de que tais constantes existem está além do escopo deste curso.

No próximo exemplo, vemos como usar frações parciais para integrar uma função racional desse tipo.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Frações parciais com fatores lineares não repetidos

Avalie ( displaystyle int dfrac {3x + 2} {x ^ 3 − x ^ 2−2x} , dx. )

Solução

Como (deg (3x + 2)

[ dfrac {3x + 2} {x (x − 2) (x + 1)} = dfrac {A} {x} + dfrac {B} {x − 2} + dfrac {C} {x +1}. enhum número]

Devemos agora encontrar essas constantes. Para fazer isso, começamos obtendo um denominador comum à direita. Desse modo,

[ dfrac {3x + 2} {x (x − 2) (x + 1)} = dfrac {A (x − 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x − 2 )} {x (x − 2) (x + 1)}. enhum número]

Agora, definimos os numeradores iguais uns aos outros, obtendo

[3x + 2 = A (x − 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x − 2). Label {Ex2Numerator} ]

Existem duas estratégias diferentes para encontrar os coeficientes (A ), (B ) e (C ). Nós nos referimos a eles como método de equação de coeficientes e a método de substituição estratégica.

Estratégia um: Método de Equação de Coeficientes

Reescreva a Equação ( ref {Ex2Numerator} ) no formulário

[3x + 2 = (A + B + C) x ^ 2 + (- A + B − 2C) x + (- 2A). enhum número]

Equacionar coeficientes produz o sistema de equações

[ begin {align *} A + B + C & = 0 [4pt] −A + B − 2C & = 3 [4pt] −2A & = 2. end {align *} ]

Para resolver este sistema, primeiro observamos que (−2A = 2⇒A = −1. ) Substituir esse valor nas duas primeiras equações nos dá o sistema

(B + C = 1 )

(B − 2C = 2 ).

Multiplicar a segunda equação por (−1 ) e adicionar a equação resultante à primeira produz

(-3C = 1, )

o que, por sua vez, implica que (C = - dfrac {1} {3} ). Substituindo este valor na equação (B + C = 1 ) resulta (B = dfrac {4} {3} ). Assim, resolver essas equações resulta em (A = −1, B = dfrac {4} {3} ) e (C = - dfrac {1} {3} ).

É importante notar que o sistema produzido por este método é consistente se e somente se tivermos configurado a decomposição corretamente. Se o sistema estiver inconsistente, há um erro em nossa decomposição.

Estratégia dois: Método de Substituição Estratégica

O método de substituição estratégica é baseado no pressuposto de que configuramos a decomposição corretamente. Se a decomposição for configurada corretamente, então deve haver valores de (A, B, ) e (C ) que satisfaçam a Equação ( ref {Ex2Numerator} ) para todos os valores de (x ). Ou seja, esta equação deve ser verdadeira para qualquer valor de (x ) que desejamos substituir nele. Portanto, escolhendo os valores de (x ) cuidadosamente e substituindo-os na equação, podemos encontrar (A, B ) e (C ) facilmente. Por exemplo, se substituirmos (x = 0 ), a equação se reduz a (2 = A (−2) (1) ). Resolver para (A ) resulta em (A = −1 ). Em seguida, substituindo (x = 2 ), a equação se reduz a (8 = B (2) (3) ), ou equivalentemente (B = 4/3 ). Por último, substituímos (x = −1 ) na equação e obtemos (−1 = C (−1) (- 3). ) Resolvendo, temos (C = - dfrac {1} {3 } ).

É importante ter em mente que se tentarmos usar este método com uma decomposição que não tenha sido configurada corretamente, ainda seremos capazes de encontrar valores para as constantes, mas essas constantes não têm sentido. Se optarmos por usar o método de substituição estratégica, então é uma boa ideia verificar o resultado recombinando os termos algebricamente.

Agora que temos os valores de (A, B, ) e (C, ), reescrevemos a integral original:

[ int dfrac {3x + 2} {x ^ 3 − x ^ 2−2x} , dx = int left (- dfrac {1} {x} + dfrac {4} {3} ⋅ dfrac {1} {x − 2} - dfrac {1} {3} ⋅ dfrac {1} {x + 1} right) , dx. enhum número]

Avaliar a integral nos dá

[ int dfrac {3x + 2} {x ^ 3 − x ^ 2−2x} , dx = - ln | x | + dfrac {4} {3} ln | x − 2 | - dfrac {1} {3} ln | x + 1 | + C. enhum número]

No próximo exemplo, integramos uma função racional em que o grau do numerador não é menor que o grau do denominador.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Dividindo antes de aplicar frações parciais

Avalie ( displaystyle int dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {x ^ 2−4} , dx. )

Solução

Como (deg (x ^ 2 + 3x + 1) ≥deg (x ^ 2−4), ) devemos realizar a divisão longa dos polinômios. Isto resulta em

[ dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {x ^ 2−4} = 1 + dfrac {3x + 5} {x ^ 2−4} nonumber ]

Em seguida, realizamos a decomposição da fração parcial em ( dfrac {3x + 5} {x ^ 2−4} = dfrac {3x + 5} {(x + 2) (x − 2)} ). Nós temos

[ dfrac {3x + 5} {(x − 2) (x + 2)} = dfrac {A} {x − 2} + dfrac {B} {x + 2}. enhum número]

Desse modo,

[3x + 5 = A (x + 2) + B (x − 2). enhum número]

Resolvendo para (A ) e (B ) usando qualquer um dos métodos, obtemos (A = 11/4 ) e (B = 1/4. )

Reescrevendo a integral original, temos

[ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {x ^ 2−4} , dx = int left (1+ dfrac {11} {4} ⋅ dfrac {1} {x− 2} + dfrac {1} {4} ⋅ dfrac {1} {x + 2} right) , dx. enhum número]

Avaliar a integral produz

[ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {x ^ 2−4} , dx = x + dfrac {11} {4} ln | x − 2 | + dfrac {1} {4 } ln | x + 2 | + C. enhum número]

Como vemos no próximo exemplo, pode ser possível aplicar a técnica de decomposição de fração parcial a uma função não racional. O truque é converter a função não racional em uma função racional por meio de uma substituição.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Aplicando frações parciais após uma substituição

Avalie ( displaystyle int dfrac { cos x} { sin ^ 2x− sin x} , dx. )

Solução

Vamos começar deixando (u = sin x. ) Consequentemente, (du = cos x , dx. ) Depois de fazer essas substituições, temos

[ int dfrac { cos x} { sin ^ 2x− sin x} , dx = int dfrac {du} {u ^ 2 − u} = int dfrac {du} {u ( u − 1)}. enhum número]

Aplicar a decomposição da fração parcial a ( dfrac {1} {u (u − 1)} ) resulta em ( dfrac {1} {u (u − 1)} = - dfrac {1} {u} + dfrac {1} {u − 1}. )

Desse modo,

[ int dfrac { cos x} { sin ^ 2x− sin x} , dx = - ln | u | + ln | u − 1 | + C = - ln | sin x | + ln | sin x − 1 | + C. enhum número]

Exercício ( PageIndex {2} )

Avalie ( displaystyle int dfrac {x + 1} {(x + 3) (x − 2)} , dx. )

Dica

[ dfrac {x + 1} {(x + 3) (x − 2)} = dfrac {A} {x + 3} + dfrac {B} {x − 2} não numérico ]

Responder

[ dfrac {2} {5} ln | x + 3 | + dfrac {3} {5} ln | x − 2 | + C não numérico ]

Fatores Lineares Repetidos

Para algumas aplicações, precisamos integrar expressões racionais que têm denominadores com fatores lineares repetidos, ou seja, funções racionais com pelo menos um fator da forma ((ax + b) ^ n, ) onde (n ) é um número inteiro positivo maior ou igual a (2 ). Se o denominador contém o fator linear repetido ((ax + b) ^ n ), então a decomposição deve conter

[ dfrac {A_1} {ax + b} + dfrac {A_2} {(ax + b) ^ 2} + ⋯ + dfrac {A_n} {(ax + b) ^ n}. label {eq: 7.4.2} ]

Como vemos em nosso próximo exemplo, a técnica básica usada para resolver os coeficientes é a mesma, mas requer mais álgebra para determinar os numeradores das frações parciais.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Frações parciais com fatores lineares repetidos

Avalie ( displaystyle int dfrac {x − 2} {(2x − 1) ^ 2 (x − 1)} , dx. )

Solução

Temos (deg (x − 2)

[ dfrac {A} {2x − 1} + dfrac {B} {(2x − 1) ^ 2} nonumber ]

na decomposição na Equação ref {eq: 7.4.2}. Desse modo,

[ dfrac {x − 2} {(2x − 1) ^ 2 (x − 1)} = dfrac {A} {2x − 1} + dfrac {B} {(2x − 1) ^ 2} + dfrac {C} {x − 1}. enhum número]

Depois de obter um denominador comum e igualar os numeradores, temos

[x − 2 = A (2x − 1) (x − 1) + B (x − 1) + C (2x − 1) ^ 2. label {Ex5Numerator} ]

Em seguida, usamos o método de equação de coeficientes para encontrar os valores de (A, B, ) e (C ).

[x − 2 = (2A + 4C) x ^ 2 + (- 3A + B − 4C) x + (A − B + C). enhum número]

A equação dos coeficientes resulta em (2A + 4C = 0 ), (- 3A + B − 4C = 1 ) e (A − B + C = −2 ). Resolver este sistema resulta em (A = 2, B = 3, ) e (C = −1. )

Alternativamente, podemos usar o método de substituição estratégica. Nesse caso, substituir (x = 1 ) e (x = 1/2 ) na Equação ( ref {Ex5Numerador} ) produz facilmente os valores (B = 3 ) e (C = - 1 ). Neste ponto, pode parecer que não temos boas escolhas para (x ), no entanto, uma vez que já temos valores para (B ) e (C ), podemos substituir esses valores e escolher qualquer valor para (x ) não usado anteriormente. O valor (x = 0 ) é uma boa opção. Neste caso, obtemos a equação (−2 = A (−1) (- 1) +3 (−1) + (- 1) (- 1) ^ 2 ) ou, equivalentemente, (A = 2 . )

Agora que temos os valores para (A, B, ) e (C ), reescrevemos a integral original e a avaliamos:

[ begin {align *} int dfrac {x − 2} {(2x − 1) ^ 2 (x − 1)} , dx & = int left ( dfrac {2} {2x − 1 } + dfrac {3} {(2x − 1) ^ 2} - dfrac {1} {x − 1} right) , dx [4pt]
& = ln | 2x − 1 | - dfrac {3} {2 (2x − 1)} - ln | x − 1 | + C. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Configure a decomposição da fração parcial para

[ int dfrac {x + 2} {(x + 3) ^ 3 (x − 4) ^ 2} , dx. enhum número]

(Não resolva para os coeficientes nem conclua a integração.)

Dica

Use o método de solução de problemas de Exemplo ( PageIndex {5} ) para orientação.

Responder

[ dfrac {x + 2} {(x + 3) ^ 3 (x − 4) ^ 2} = dfrac {A} {x + 3} + dfrac {B} {(x + 3) ^ 2 } + dfrac {C} {(x + 3) ^ 3} + dfrac {D} {(x − 4)} + dfrac {E} {(x − 4) ^ 2} não numérico ]

O Método Geral

Agora que estamos começando a ter uma ideia de como funciona a técnica de decomposição de fração parcial, vamos delinear o método básico na seguinte estratégia de resolução de problemas.

Estratégia de resolução de problemas: decomposição parcial da fração

Para decompor a função racional (P (x) / Q (x) ), use as seguintes etapas:

  1. Certifique-se de que (deg (P (x))
  2. Fatore (Q (x) ) no produto de fatores quadráticos lineares e irredutíveis. Uma quadrática irredutível é uma quadrática que não possui zeros reais.
  3. Assumindo que (deg (P (x))
  4. Se (Q (x) ) pode ser fatorado como ((a_1x + b_1) (a_2x + b_2)… (a_nx + b_n) ), onde cada fator linear é distinto, então é possível encontrar constantes ( A_1, A_2, ... A_n ) satisfazendo [ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {a_1x + b_1} + dfrac {A_2} {a_2x + b_2} + ⋯ + dfrac {A_n} {a_nx + b_n}. ]
  5. Se (Q (x) ) contém o fator linear repetido ((ax + b) ^ n ), então a decomposição deve conter [ dfrac {A_1} {ax + b} + dfrac {A_2} { (ax + b) ^ 2} + ⋯ + dfrac {A_n} {(ax + b) ^ n}. ]
  6. Para cada fator quadrático irredutível (ax ^ 2 + bx + c ) que (Q (x) ) contém, a decomposição deve incluir [ dfrac {Ax + B} {ax ^ 2 + bx + c}. ]
  7. Para cada fator quadrático irredutível repetido ((ax ^ 2 + bx + c) ^ n, ) a decomposição deve incluir [ dfrac {A_1x + B_1} {ax ^ 2 + bx + c} + dfrac {A_2x + B_2} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ 2} + ⋯ + dfrac {A_nx + B_n} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ n}. ]
  8. Depois que a decomposição apropriada for determinada, resolva para as constantes.
  9. Por último, reescreva a integral em sua forma decomposta e avalie-a usando técnicas ou fórmulas de integração desenvolvidas anteriormente.

Fatores Quadráticos Simples

Agora, vamos examinar a integração de uma expressão racional em que o denominador contém um fator quadrático irredutível. Lembre-se de que o quadrático (ax ^ 2 + bx + c ) é irredutível se (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) não tem zeros reais — isto é, se (b ^ 2−4ac <0. )

Exemplo ( PageIndex {6} ): Expressões Racionais com um Fator Quadrático Irredutível

Avalie

[ int dfrac {2x − 3} {x ^ 3 + x} , dx. nonumber ]

Solução

Como (deg (2x − 3)

[ dfrac {2x − 3} {x (x ^ 2 + 1)} = dfrac {Ax + B} {x ^ 2 + 1} + dfrac {C} {x}. nonumber ]

Depois de obter um denominador comum e igualar os numeradores, obtemos a equação

[2x − 3 = (Ax + B) x + C (x ^ 2 + 1). Não numérico ]

Resolvendo para (A, B, ) e (C, ), obtemos (A = 3, B = 2, ) e (C = −3. )

Desse modo,

[ dfrac {2x − 3} {x ^ 3 + x} = dfrac {3x + 2} {x ^ 2 + 1} - dfrac {3} {x}. nonumber ]

Substituindo de volta na integral, obtemos

[ begin {align *} int dfrac {2x − 3} {x ^ 3 + x} , dx & = int left ( dfrac {3x + 2} {x ^ 2 + 1} - dfrac {3} {x} right) , dx nonumber [4pt]
& = 3 int dfrac {x} {x ^ 2 + 1} , dx + 2 int dfrac {1} {x ^ 2 + 1} , dx − 3 int dfrac {1} {x } , dx & & text {Divida a integral} [4pt]
& = dfrac {3} {2} ln ∣x ^ 2 + 1∣ + 2 tan ^ {- 1} x − 3 ln | x | + C. & & text {Avalie cada integral} end {align *} ]

Nota: Podemos reescrever ( ln ∣x ^ 2 + 1∣ = ln (x ^ 2 + 1) ), se desejarmos fazê-lo, uma vez que (x ^ 2 + 1> 0. )

Exemplo ( PageIndex {7} ): Frações parciais com um fator quadrático irredutível

Avalie ( displaystyle int dfrac {, dx} {x ^ 3−8}. )

Solução: Podemos começar fatorando (x ^ 3−8 = (x − 2) (x ^ 2 + 2x + 4). ) Vemos que o fator quadrático (x ^ 2 + 2x + 4 ) é irredutível, pois (2 ^ 2−4 (1) (4) = - 12 <0. ) Usando a decomposição descrita na estratégia de resolução de problemas, obtemos

[ dfrac {1} {(x − 2) (x ^ 2 + 2x + 4)} = dfrac {A} {x − 2} + dfrac {Bx + C} {x ^ 2 + 2x + 4 } enhum número]

Depois de obter um denominador comum e igualar os numeradores, isso se torna

[1 = A (x ^ 2 + 2x + 4) + (Bx + C) (x − 2). enhum número]

Aplicando qualquer um dos métodos, obtemos (A = dfrac {1} {12}, B = - dfrac {1} {12}, ) e (C = - dfrac {1} {3}. )

Reescrevendo ( int dfrac {, dx} {x ^ 3−8}, ) temos

[ int dfrac {, dx} {x ^ 3−8} = dfrac {1} {12} int dfrac {1} {x − 2} , dx− dfrac {1} {12 } int dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 2x + 4} , dx. enhum número]

Nós podemos ver isso

[ int dfrac {1} {x − 2} , dx = ln | x − 2 | + C, nonumber ]

mas

[ int dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 2x + 4} , dx nonumber ]

requer um pouco mais de esforço. Vamos começar por Completando o quadrado em (x ^ 2 + 2x + 4 ) para obter

[x ^ 2 + 2x + 4 = (x + 1) ^ 2 + 3. enhum número]

Ao deixar (u = x + 1 ) e, conseqüentemente, (du = , dx, ), vemos que

[ begin {align *} int dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 2x + 4} , dx & = int dfrac {x + 4} {(x + 1) ^ 2 + 3 } , dx & & text {Complete o quadrado do denominador} [4pt]
& = int dfrac {u + 3} {u ^ 2 + 3} , du & & text {Substituto} u = x + 1, , x = u − 1, text {e} du = dx [4pt]
& = int dfrac {u} {u ^ 2 + 3} du + int dfrac {3} {u ^ 2 + 3} du & & text {Divida o numerador} [4pt]
& = dfrac {1} {2} ln ∣u ^ 2 + 3∣ + dfrac {3} { sqrt {3}} tan ^ {- 1} dfrac {u} { sqrt {3} } + C & & text {Avalie cada integral} [4pt]
& = dfrac {1} {2} ln ∣x ^ 2 + 2x + 4∣ + sqrt {3} tan ^ {- 1} left ( dfrac {x + 1} { sqrt {3} } right) + C & & text {Reescrever em termos de} x text {e simplificar} end {alinhar *} ]

Substituindo de volta na integral original e simplificando dá

[ int dfrac {, dx} {x ^ 3−8} = dfrac {1} {12} ln | x − 2 | - dfrac {1} {24} ln | x ^ 2 + 2x + 4 | - dfrac { sqrt {3}} {12} tan ^ {- 1} left ( dfrac {x + 1} { sqrt {3}} right) + C. enhum número]

Aqui, novamente, podemos descartar o valor absoluto se desejarmos fazer isso, uma vez que (x ^ 2 + 2x + 4> 0 ) para todos (x ).

Exemplo ( PageIndex {8} ): Encontrando um Volume

Encontre o volume do sólido de revolução obtido girando a região delimitada pelo gráfico de (f (x) = dfrac {x ^ 2} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} ) e o x-eixo sobre o intervalo ([0,1] ) sobre o y-eixo.

Solução

Vamos começar esboçando a região a ser revolvida (ver Figura ( PageIndex {1} )). A partir do esboço, vemos que o método shell é uma boa escolha para resolver esse problema.

O volume é dado por

[V = 2π int ^ 1_0x⋅ dfrac {x ^ 2} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} , dx = 2π int ^ 1_0 dfrac {x ^ 3} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} , dx. enhum número]

Como (deg ((x ^ 2 + 1) ^ 2) = 4> 3 = deg (x ^ 3), ) podemos prosseguir com a decomposição da fração parcial. Observe que ((x ^ 2 + 1) ^ 2 ) é um quadrático irredutível repetido. Usando a decomposição descrita na estratégia de resolução de problemas, obtemos

[ dfrac {x ^ 3} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} = dfrac {Ax + B} {x ^ 2 + 1} + dfrac {Cx + D} {(x ^ 2 + 1 ) ^ 2}. enhum número]

Encontrar um denominador comum e igualar os numeradores dá

[x ^ 3 = (Ax + B) (x ^ 2 + 1) + Cx + D. enhum número]

Resolvendo, obtemos (A = 1, B = 0, C = −1, ) e (D = 0. ) Substituindo de volta na integral, temos

[V = 2π int _0 ^ 1 dfrac {x ^ 3} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} , dx = 2π int _0 ^ 1 left ( dfrac {x} {x ^ 2 +1} - dfrac {x} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} right) , dx = 2π left ( dfrac {1} {2} ln (x ^ 2 + 1) + dfrac {1} {2} ⋅ dfrac {1} {x ^ 2 + 1} right) Big | ^ 1_0 = π left ( ln 2− tfrac {1} {2} right). enhum número]

Exercício ( PageIndex {4} )

Configure a decomposição da fração parcial para [ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {(x + 2) (x − 3) ^ 2 (x ^ 2 + 4) ^ 2} , dx. enhum número]

Dica

Use a estratégia de resolução de problemas.

Responder

[ dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {(x + 2) (x − 3) ^ 2 (x ^ 2 + 4) ^ 2} = dfrac {A} {x + 2} + dfrac {B} {x − 3} + dfrac {C} {(x − 3) ^ 2} + dfrac {Dx + E} {x ^ 2 + 4} + dfrac {Fx + G} {(x ^ 2 + 4) ^ 2} não numérico ]

Conceitos chave

  • A decomposição da fração parcial é uma técnica usada para quebrar uma função racional em uma soma de funções racionais simples que podem ser integradas usando técnicas previamente aprendidas.
  • Ao aplicar a decomposição da fração parcial, devemos ter certeza de que o grau do numerador é menor que o grau do denominador. Caso contrário, precisamos realizar uma divisão longa antes de tentar a decomposição da fração parcial.
  • A forma que a decomposição assume depende do tipo de fatores no denominador. Os tipos de fatores incluem fatores lineares não repetidos, fatores lineares repetidos, fatores quadráticos irredutíveis não repetidos e fatores quadráticos irredutíveis repetidos.

Glossário

decomposição de fração parcial
uma técnica usada para quebrar uma função racional na soma de funções racionais simples

7,4 Frações Parciais

No início deste capítulo, estudamos sistemas de duas equações em duas variáveis, sistemas de três equações em três variáveis ​​e sistemas não lineares. Aqui, apresentamos outra maneira pela qual os sistemas de equações podem ser utilizados - a decomposição de expressões racionais.

As frações podem ser complicadas adicionar uma variável ao denominador torna-as ainda mais complicadas. Os métodos estudados nesta seção ajudarão a simplificar o conceito de uma expressão racional.

Decompondo P (x) Q (x) P (x) Q (x) Onde Q (x) Tem apenas fatores lineares não repetidos

Lembre-se da álgebra sobre adição e subtração de expressões racionais. Essas operações dependem de encontrar um denominador comum para que possamos escrever a soma ou diferença como uma única expressão racional simplificada. Nesta seção, veremos a decomposição da fração parcial, que é a anulação do procedimento para adicionar ou subtrair expressões racionais. Em outras palavras, é um retorno da única expressão racional simplificada às expressões originais, chamada de fração parcial.

Por exemplo, suponha que adicionemos as seguintes frações:

Primeiro precisaríamos encontrar um denominador comum, (x + 2) (x −3). (x + 2) (x −3).

Em seguida, escreveríamos cada expressão com esse denominador comum e encontraríamos a soma dos termos.

A decomposição da fração parcial é o inverso deste procedimento. Começaríamos com a solução e reescreveríamos (decomporíamos) como a soma de duas frações.

Investigaremos expressões racionais com fatores lineares e fatores quadráticos no denominador onde o grau do numerador é menor que o grau do denominador. Independentemente do tipo de expressão que estamos decompondo, a primeira e mais importante coisa a fazer é fatorar o denominador.

Quando o denominador da expressão simplificada contém fatores lineares distintos, é provável que cada uma das expressões racionais originais, que foram adicionadas ou subtraídas, tivesse um dos fatores lineares como denominador. Em outras palavras, usando o exemplo acima, os fatores de x 2 - x −6 x 2 - x −6 são (x −3) (x + 2), (x −3) (x + 2), os denominadores de a expressão racional decomposta. Portanto, iremos reescrever a forma simplificada como a soma das frações individuais e usar uma variável para cada numerador. Em seguida, resolveremos cada numerador usando um dos vários métodos disponíveis para decomposição de fração parcial.

Decomposição parcial da fração de P (x) Q (x): Q (x) P (x) Q (x): Q (x) tem fatores lineares não repetidos

Como

Dada uma expressão racional com fatores lineares distintos no denominador, decomponha-a.

Exemplo 1

Decompondo uma função racional com fatores lineares distintos

Decompor a expressão racional dada com fatores lineares distintos.

Solução

Separaremos os fatores do denominador e daremos a cada numerador um rótulo simbólico, como A, B, A, B ou C. C.

Multiplique ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

A equação resultante é

Expanda o lado direito da equação e colete os termos semelhantes.

Configure um sistema de equações associando coeficientes correspondentes.

Adicione as duas equações e resolva para B. B.

Assim, a decomposição da fração parcial é

Embora esse método não seja visto com muita frequência em livros didáticos, nós o apresentamos aqui como uma alternativa que pode facilitar algumas decomposições parciais de frações. É conhecido como método Heaviside, em homenagem a Charles Heaviside, um pioneiro no estudo da eletrônica.

Encontre a decomposição em fração parcial da seguinte expressão.

Decompondo P (x) Q (x) P (x) Q (x) Onde Q (x) Tem fatores lineares repetidos

Algumas frações que podemos encontrar são casos especiais que podemos decompor em frações parciais com fatores lineares repetidos. Devemos lembrar que explicamos os fatores repetidos escrevendo cada fator em potências crescentes.

Decomposição parcial da fração de P (x) Q (x): Q (x) P (x) Q (x): Q (x) tem fatores lineares repetidos

Escreva as potências do denominador em ordem crescente.

Como

Dada uma expressão racional com fatores lineares repetidos, decomponha-a.

Exemplo 2

Decomposição com fatores lineares repetidos

Decomponha a expressão racional dada com fatores lineares repetidos.

Solução

Em seguida, multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum.

No lado direito da equação, expandimos e coletamos termos semelhantes.

A seguir, comparamos os coeficientes de ambos os lados. Isso dará o sistema de equações em três variáveis:


É possível dividir muitas frações na soma ou diferença de duas ou mais frações. Isso tem muitos usos (como na integração).

1 + 4 = 5 (x + 2)
(x + 1) (x + 6) (x + 1) (x + 6)

O método de frações parciais nos permite dividir o lado direito da equação acima no lado esquerdo.

Fatores lineares no denominador

Este método é usado quando os fatores no denominador da fração são lineares (em outras palavras, não possuem termos de quadrado ou cubo, etc.).

Dividir 5 (x + 2) em frações parciais.
(x + 1) (x + 6)

5 (x + 2) º UMA + B
(x + 1) (x + 6) (x + 1) (x + 6)

Então, agora, tudo o que precisamos fazer é encontrar A e B.

5 (x + 2) º A (x + 6) + B (x + 1)
(x + 1) (x + 6) (x + 1) (x + 6)
(colocando as frações sobre um denominador comum)

5 (x + 2) º A (x + 6) + B (x + 1) (cancelamos os denominadores)

A expressão acima é um identidade (portanto, º em vez de =). Uma identidade é verdadeira para cada valor de x. Isso significa que podemos substituir quaisquer valores de x em ambos os lados da expressão para nos ajudar a encontrar A e B. Ao tentar calcular essas constantes, tente escolher valores de x que tornará a aritmética mais fácil. Neste exemplo, se substituirmos x = -6 na identidade, o termo A (x + 6) desaparecerá, tornando-se muito mais fácil de resolver.

a resposta é 1 + 4 (como sabíamos)
(x + 1) (x + 6)

Método de encobrir

O "método de encobrimento" é uma maneira rápida de calcular frações parciais, mas é importante perceber que isso só funciona quando há fatores lineares no denominador, como há aqui.

Colocar 5 (x + 2) em frações parciais usando o método de encobrimento:
(x + 1) (x + 6)

cubra x + 6 com sua mão e substitua -6 no que resta, dando 5 (-6 + 2) / (- 6 + 1) = -20 / -5 = 4. Isso indica que uma das frações parciais é 4 / (x + 6). Agora cubra (x + 1) e substitua -1 no que resta para descobrir que a outra fração parcial é 1 / (x + 1).

Fator repetido no denominador

Lembre-se de que o método acima é apenas para fatores lineares no denominador. Quando há um fator repetido no denominador, como (x - 1) 2 ou (x + 4) 2, o seguinte método é usado.

Dividir x - 2 em frações parciais
(x + 1) (x - 1) 2

x - 2 º UMA + B + C
(x + 1) (x - 1) 2 (x + 1) (x - 1) (x - 1) 2

Observe que colocamos um (x - 1) e a (x - 1) fração de 2 pol.
Como antes, tudo o que fazemos agora é encontrar os valores de A, B e C, colocando-os sobre um denominador comum e, em seguida, substituindo x nos valores.
x - 2 º A (x - 1) 2 + B (x - 1) (x + 1) + C (x + 1)

deixe x = 0
-2 = A - B + C
-2 = -3/4 - B -½
B = 3/4

- 3 + 3 - 1
4 (x + 1) 4 (x - 1) 2 (x - 1) 2

Fator quadrático no denominador

Este método é para quando existe um termo quadrado em um dos fatores do denominador.

2x - 1 º UMA + Bx + C
(x + 1) (x 2 + 1) (x + 1) (x 2 + 1)

Encontre A, B e C da mesma forma que acima.

Observe que é Bx + C no numerador da fração com o termo ao quadrado no denominador.


7.4: Frações Parciais - Matemática

Nesta seção, vamos dar uma olhada nas integrais de expressões racionais de polinômios e mais uma vez vamos começar esta seção com uma integral que já podemos fazer para que possamos contrastá-la com as integrais que faremos nesta seção .

Portanto, se o numerador é a derivada do denominador (ou um múltiplo constante da derivada do denominador), fazer esse tipo de integral é bastante simples. No entanto, muitas vezes o numerador não é a derivada do denominador (ou um múltiplo constante). Por exemplo, considere o seguinte integral.

Neste caso, o numerador definitivamente não é a derivada do denominador, nem é um múltiplo constante da derivada do denominador. Portanto, a substituição simples que usamos acima não funcionará. No entanto, se notarmos que o integrando pode ser quebrado da seguinte forma,

então a integral é realmente muito simples.

Este processo de pegar uma expressão racional e decompor em expressões racionais mais simples que podemos adicionar ou subtrair para obter a expressão racional original é chamado decomposição de fração parcial. Muitas integrais envolvendo expressões racionais podem ser feitas se primeiro fizermos frações parciais no integrando.

Então, vamos fazer uma revisão rápida das frações parciais. Vamos começar com uma expressão racional na forma,

onde ambos (P left (x right) ) e (Q left (x right) ) são polinômios e o grau de (P left (x right) ) é menor que o grau de (Q left (x right) ). Lembre-se de que o grau de um polinômio é o maior expoente do polinômio. As frações parciais só podem ser feitas se o grau do numerador for estritamente menor que o grau do denominador. É importante lembrar isso.

Então, uma vez que determinamos que as frações parciais podem ser feitas, fatoramos o denominador tão completamente quanto possível. Então, para cada fator no denominador, podemos usar a seguinte tabela para determinar o (s) termo (s) que pegamos na decomposição da fração parcial.

Observe que o primeiro e o terceiro casos são realmente casos especiais do segundo e do quarto casos, respectivamente.

Existem vários métodos para determinar os coeficientes para cada termo e examinaremos cada um deles nos exemplos a seguir.

Vamos começar os exemplos fazendo a integral acima.

O primeiro passo é fatorar o denominador o máximo possível e obter a forma da decomposição da fração parcial. Fazer isso dá,

A próxima etapa é realmente adicionar o lado direito de volta.

Agora, precisamos escolher (A ) e (B ) para que os numeradores desses dois sejam iguais para cada (x ). Para fazer isso, precisamos definir os numeradores iguais.

[3x + 11 = A left ( direita) + B esquerda ( certo)]

Observe que, na maioria dos problemas, iremos direto da forma geral de decomposição para esta etapa e não nos preocupamos em realmente adicionar os termos de volta. O único ponto para adicionar os termos é obter o numerador e podemos obtê-lo sem realmente anotar os resultados da adição.

Neste ponto, temos uma de duas maneiras de proceder. Uma maneira sempre funcionará, mas geralmente dá mais trabalho. O outro, embora nem sempre funcione, costuma ser mais rápido quando funciona. Neste caso, ambos funcionarão e, portanto, usaremos a maneira mais rápida para este exemplo. Vamos dar uma olhada no outro método em um exemplo posterior.

O que vamos fazer aqui é notar que os numeradores devem ser iguais para qualquer x que escolheríamos usar. Em particular, os numeradores devem ser iguais para (x = - 2 ) e (x = 3 ). Então, vamos conectá-los e ver o que temos.

[começarx & = - 2: & hspace <0.5in> 5 & = A left (0 right) + B left (<- 5> right) & hspace <0.25in> & Rightarrow & hspace < 0,25 pol.> B & = - 1 x & = 3 , , , ,: & hspace <0,5 pol.> 20 & = A esquerda (5 direita) + B esquerda (0 direita) & hspace <0.25in> & Rightarrow & hspace <0.25in> A & = 4 end]

Então, escolhendo cuidadosamente os (x ) 's, conseguimos que as constantes desconhecidas desaparecessem rapidamente. Observe que esses são os valores que afirmamos que seriam acima.

Neste ponto, realmente não há muito a fazer além da integral.

Recall that to do this integral we first split it up into two integrals and then used the substitutions,

on the integrals to get the final answer.

Before moving onto the next example a couple of quick notes are in order here. First, many of the integrals in partial fractions problems come down to the type of integral seen above. Make sure that you can do those integrals.

There is also another integral that often shows up in these kinds of problems so we may as well give the formula for it here since we are already on the subject.

It will be an example or two before we use this so don’t forget about it.

Now, let’s work some more examples.

We won’t be putting as much detail into this solution as we did in the previous example. The first thing is to factor the denominator and get the form of the partial fraction decomposition.

The next step is to set numerators equal. If you need to actually add the right side together to get the numerator for that side then you should do so, however, it will definitely make the problem quicker if you can do the addition in your head to get,

[ + 4 = Aleft( ight)left( <3x - 2> ight) + Bxleft( <3x - 2> ight) + Cxleft( ight)]

As with the previous example it looks like we can just pick a few values of (x) and find the constants so let’s do that.

[começarx & = 0 ,,,,, : & hspace<0.5in>4 & = Aleft( 2 ight)left( < - 2> ight) & hspace <0.5in>& Rightarrow & hspace<0.25in>A & = - 1 x & = - 2 : & hspace<0.5in>8 & = Bleft( < - 2> ight)left( < - 8> ight) & hspace<0.25in>&Rightarrow & hspace<0.25in>B & = frac<1><2> x & = frac<2><3>,, : & hspace<0.5in>frac<<40>> <9>& = Cleft( <3>> ight)left( <3>> ight) & hspace <0.25in>& Rightarrow & hspace<0.25in>C & = frac<<40>><<16>> = frac<5><2>end]

Note that unlike the first example most of the coefficients here are fractions. That is not unusual so don’t get excited about it when it happens.

Again, as noted above, integrals that generate natural logarithms are very common in these problems so make sure you can do them. Also, you were able to correctly do the last integral right? The coefficient of (frac<5><6>) is correct. Make sure that you do the substitution required for the term properly.

This time the denominator is already factored so let’s just jump right to the partial fraction decomposition.

[ - 29x + 5 = Aleft( ight)left( <+ 3> ight) + Bleft( <+ 3> ight) + left( ight) ight)^2>]

In this case we aren’t going to be able to just pick values of (x) that will give us all the constants. Therefore, we will need to work this the second (and often longer) way. The first step is to multiply out the right side and collect all the like terms together. Fazer isso dá,

[ - 29x + 5 = left( ight) + left( < - 4A + B - 8C + D> ight) + left( <3A + 16C - 8D> ight)x - 12A + 3B + 16D]

Now we need to choose (A), (B), (C), and (D) so that these two are equal. In other words, we will need to set the coefficients of like powers of (x) equal. This will give a system of equations that can be solved.

[left. começar & :hspace <0.25in>& A + C & = 0 & :hspace <0.25in>& - 4A + B - 8C + D & = 1 & :hspace <0.25in>& 3A + 16C - 8D & = - 29 & :hspace <0.25in>& - 12A + 3B + 16D & = 5end ight>hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>A = 1,,B = - 5,,C = - 1,,D = 2]

Note that we used () to represent the constants. Also note that these systems can often be quite large and have a fair amount of work involved in solving them. The best way to deal with these is to use some form of computer aided solving techniques.

Now, let’s take a look at the integral.

In order to take care of the third term we needed to split it up into two separate terms. Once we’ve done this we can do all the integrals in the problem. The first two use the substitution (u = x - 4), the third uses the substitution (v = + 3) and the fourth term uses the formula given above for inverse tangents.

Let’s first get the general form of the partial fraction decomposition.

Now, set numerators equal, expand the right side and collect like terms.

Setting coefficient equal gives the following system.

[left. começar & :hspace <0.25in>& A + B & = 0 & :hspace <0.25in>& C - B & = 1 & : hspace <0.25in>& 8A + 4B - C + D & = 10 & : hspace <0.25in>& - 4B + 4C - D + E & = 3 & :hspace <0.25in>& 16A - 4C - E & = 36end ight>,,,,, Rightarrow ,,,,,,,,A = 2,,B = - 2,,C = - 1,,D = 1,,E = 0]

Don’t get excited if some of the coefficients end up being zero. It happens on occasion.

To this point we’ve only looked at rational expressions where the degree of the numerator was strictly less that the degree of the denominator. Of course, not all rational expressions will fit into this form and so we need to take a look at a couple of examples where this isn’t the case.

So, in this case the degree of the numerator is 4 and the degree of the denominator is 3. Therefore, partial fractions can’t be done on this rational expression.

To fix this up we’ll need to do long division on this to get it into a form that we can deal with. Here is the work for that.

So, from the long division we see that,

The first integral we can do easily enough and the second integral is now in a form that allows us to do partial fractions. So, let’s get the general form of the partial fractions for the second integrand.

Setting numerators equal gives us,

[18 = Axleft( ight) + Bleft( ight) + C]

Now, there is a variation of the method we used in the first couple of examples that will work here. There are a couple of values of (x) that will allow us to quickly get two of the three constants, but there is no value of (x) that will just hand us the third.

What we’ll do in this example is pick (x)’s to get the two constants that we can easily get and then we’ll just pick another value of (x) that will be easy to work with (ou seja it won’t give large/messy numbers anywhere) and then we’ll use the fact that we also know the other two constants to find the third.

[começarx & = 0 : & hspace <0.25in>18 & = Bleft( < - 3> ight) & hspace<0.15in>Rightarrow hspace<0.25in>B & = - 6 x & = 3 : & hspace <0.25in>18 & = Cleft( 9 ight) & hspace <0.15in>Rightarrow hspace<0.25in>C & = 2 x & = 1 : & 18 & = Aleft( < - 2> ight) + Bleft( < - 2> ight) + C = - 2A + 14 & hspace <0.15in>Rightarrow hspace<0.25in>A & = - 2end]

In the previous example there were actually two different ways of dealing with the () in the denominator. One is to treat it as a quadratic which would give the following term in the decomposition

and the other is to treat it as a linear term in the following way,

which gives the following two terms in the decomposition,

We used the second way of thinking about it in our example. Notice however that the two will give identical partial fraction decompositions. So, why talk about this? Simple. This will work for (), but what about () or ()? In these cases, we really will need to use the second way of thinking about these kinds of terms.

Let’s take a look at one more example.

In this case the numerator and denominator have the same degree. As with the last example we’ll need to do long division to get this into the correct form. We’ll leave the details of that to you to check.

So, we’ll need to partial fraction the second integral. Here’s the decomposition.

Setting numerator equal gives,

[1 = Aleft( ight) + Bleft( ight)]

Picking value of (x) gives us the following coefficients.

[começarx & = - 1 : & hspace <0.25in>1 & = Bleft( < - 2> ight) & hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.5in>B & = - frac<1><2> x & = 1 ,,,, : & hspace<0.25in>1 & = Aleft( 2 ight) & hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.5in>A & = frac<1><2>end]


Questão 1.
Write shaded portion as a fraction. Arrange them in ascending and descending order using correct sign ‘<‘, ‘=’, ‘>’ between the fraction:
(uma)

(b)


appropriate signs between the fractions given

Solução:

(eu) In ascending order, these are

(ii) In descending order, these are

(b)

(eu) In ascending order, these are

(ii) In descending order, these are

(c)

Questão 2.
Compare the fractions and put an appropriate sign.

Solution :


Questão 3.
Make five more such pairs and make appropriate signs.

Questão 4.
Look at the figures and write ‘<’ or ‘>’, ‘=’ between the pairs of fractions.
Solution :


Make five more such problems and solve them with your friends.
Solução:

For the remaining part, please try yourself.

Question 5.
How quickly can you do this? Fill appropriate sign (<, =,>)

Solution :


Question 6.
The following fractions represent just three different numbers. Separate them into three groups of equivalent fractions, by changing each one to its simplest form.

Solution :


Question 7.
Find answers to the following. Write and indicate how you solved them.

Solution :
(uma) Equivalent fraction of (frac < 5 >< 9 >) are

Equivalent fraction of (frac < 4 >< 5 >) are

(b) Equivalent fraction of (frac < 9 >< 16 >) are

Question 8.
Ila reads 25 pages of a book containing 100 pages. Lalita reads (frac < 1 >< 2 >) of the same book. Who read less?

Question 9.
Rafiq exercised for (frac < 3 >< 6 >) of an hour, while 6 Rohit exercised for (frac < 3 >< 4 >) of an hour. Who exercised for a longer time?
Solution :
∴ (frac < 3 >< 4 >) > (frac < 3 >< 6 >)
∴ Rohit exercised for a longer time.

Question 10.
In class A of 25 students, 20 passed in first class in another class B of 30 students, 24 passed in first class. In which class was a greater fraction of students getting first class?
Solution :

Hence, in both the classes the same fraction (left( frac < 4 > < 5 > ight))of total students got first class.

We hope the NCERT Solutions for Class 6 Maths Chapter 7 Fractions Ex 7.4 help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 6 Maths Chapter 7 Fractions Ex 7.4, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


Defn: UMA quadratic surd is a root of a non-trivial quadratic equation with integer coefficients.

Thm: An eventually periodic continued fraction has is equal to a quadratic surd.

Thm: (Lagrange) If &alpha is a quadratic surd, then &alpha has a periodic continued fraction.

proof: (Charves) [RS92, pg 41] As &alpha is a quadratic surd, there are integers p 0 > 0, q 0 and r 0 de tal modo que
Replace &alpha with ( a k &zeta k +1 + a k -1)/( b k &zeta k +1 + b k -1) and multiply the resulting expression by ( b k &zeta k +1 + b k -1) 2
to get p 0( a k &zeta k +1 + a k -1) 2 + q 0( a k &zeta k +1 + a k -1)( b k &zeta k +1 + b k -1) + r 0( b k &zeta k +1 + b k -1) 2 = 0
Expand and collect terms in &zeta k +1 to get:

  • p k +1 = p 0 uma k 2 + q 0 uma k b k + r 0 b k 2
  • q k +1 = 2 p 0 uma k uma k -1 + q 0( a k b k -1 + a k -1 b k ) + 2 r 0 b k b k -1
  • r k +1 = p 0 uma k -1 2 + q 0 uma k -1 b k -1 + r 0 b k -1 2

Defn: A quadratic surd &zeta is reduzido iff &zeta > 0 and its conjugate &zeta * satisfies -1 < &zeta * < 0.

For square-free d we see that &radic d + &lfloor&radic d &rfloor are reduced.

Thm: A quadratic surd is purely periodic iff it is reduced. [NZM, Thm 7.20]

Thm: The length L of the repeating block in the periodic continued fraction of ( P 0 + &radic D )/ Q 0 satisfies L ( D ) = O (&radic D log( D )) [RS92, pg 50]


Partial Fractions

Remember these formulas of partial fractions for different types of fractions:

Types of fractionsForm of the partial fractions

We can recall from GCSE’s that to transform a function consisting of many fractions into a single fraction, we take LCM (lowest common factor) of the entire function i.e:

if we have a function , we take its LCM and make it into a single fraction:

Now the question is what do we do when we want to reverse this process and split a single fraction into two or more fractions. Well, the process of breaking a single fraction into multiple fractions is known as splitting into ”partial fractions”. It could be both sum or difference of two or more fractions.

There are three different types of fractions:

1. Where a fraction consists of only linear factors in the denominator.

2. Where there are repeated factors in the denominator of the fraction.

3. Where there are quadratic factors in the denominator of the fraction.

We will go through each one of the types with the methods used to solve them along with examples below.

1. Linear factors in the denominator

This included both proper fractions and improper fractions. Let’s have a look at the proper fractions first.

Exemplo 1

Q. Find the partial fractions of

Note: This is the same function that resulted by taking LCM of fractions in the beginning of this article.

Since the denominator has linear factors, there required partial fractions will be:

First find the 2 values of x:

Substitute each value of x in equation 1, one at a time.

So to find the value of UMA por x = -1 in equation 1,

So to find the value of B put in equation 1:

Substituting the values of UMA e B in equation (i) above gives us our partial fractions:

For such proper fractions whose denominators are linear factors we can also use a cover up method.

Cover up method

This is basically a shortcut of finding the partial fractions, where we don’t have to do long calculations like we did in the above example i.e let’s do the above example now with the cover up method. You will see how quickly we can find the results.

Example #2

Q. Find the partial fractions of using the cover up methods.

As we know the partial fraction expression would be:

To find UMA we consider the left hand side of the equation:

We cover up one factor in the denominator first i.e cover up (x + 1)

Since we have covered up (x + 1), the value of x in this case is -1.

We get , substitute the value of x:

Similarly to find B we cover up (2x + 3) and find that in this case.

Substituting this value of x we get:

Therefore our partial fractions are

Now that we have understood how we find partial fractions for proper fractions, we move on to improper fractions.

Partial fractions of Improper fractions

Improper fractions are fractions whose degree of denominator is equal to or less than the degree of its numerator i.e:

these are both considered as improper fractions.

To find work out the partial fractions, we must have the function as a proper fraction. Therefore, we convert all improper fractions into proper ones before we decompose them into partial fractions. We do this by dividing the numerator by its denominator till it becomes a proper fractions. This is done through algebraic long division. Algebraic long division has been explained in detail in the article ”Algebraic long division”. Let’s work out an example now.

Example #3

Q. Find the partial fractions of

We can see that the above function is an improper fractions as the degree of numerator is equal to degree of the denominator. Hence, we must carry out long division to convert it into a proper fraction.

After the long division the fraction becomes:

Now is a proper fraction, we can therefore split it into partial fractions.

Now using the cover up method we find the values of UMA e B.

Therefore, the required partial fractions are:

2. Repeated factors in the denominator

When a square term occurs in a denominator i.e , we consider two separate constants for such expressions.

Example #4

Q. Express in partial fractions

Comparing all the coefficients of :

Hence, the required partial fractions are:

3. Quadratic factors in the denominator

In the case, where a fraction has a quadratic factor in the denominator which cannot be simplified further, then that denominator will have a linear numerato in its partial fraction i.e:

If we have a function we will write it as .

We will then follow the same process as above to find the values of UMA and after that we compare the coefficients of x to find the value of B e C.


Class 12 Maths Chapter 7 Integration by Partial Fractions

Integration by Partial Fractions in mathematics is basically used when we have to integrate a rational function.The complex rational expressions out there cannot be solved in a simpler way. Therefore, in order to avoid this complexity, partial fractions can be used which decompose the rational expressions into simpler partial fractions.

Integration by Partial Fractions falls under Unit 3 Chapter 3 of NCERT Class 12 Mathematics. The chapter has been included in the syllabus for the session 2020-21. No revised syllabus of CBSE, no topics have been omitted from this portion. The whole unit, i.e, Unit 3 will carry around 35 marks in the board examination.

Definition 

In mathematics, a rational function is defined as the ratio of two polynomials P(x)/Q(x), where Q(x) ≠ 0. It is a proper fraction if the degree of P(x) is less than the degree of Q(x), otherwise it is an improper fraction. Even if a fraction is improper, the long division method will reduce it to a correct fraction.

So, if P(x)/Q(x) is an improper fraction, then P(x)/Q(x) = T(x) + P1(x)/Q(x) … where T(x) is a polynomial and P1(x)/Q(x) is a proper rational fraction. We already know how to integrate polynomials, and we&aposll learn how to integrate partial fractions in this article. Furthermore, we can consider rational functions whose denominators can be factored into linear and quadratic equations.

Different Forms of Integration by Partial Fractions

Let&aposs assume we&aposre trying to find the value of [P(x)/Q(x)] dx, where P(x)/Q(x) is a proper rational fraction. In such cases, partial fraction decomposition can be used to write the integrand as a sum of simpler rational functions. Integration can then be done with ease. The picture below depicts some basic partial fractions that can be linked to a variety of rational functions:

Please keep in mind that A, B, and C are all real numbers whose values should be calculated appropriately.

For more reference, check this

Examples of Integration by Partial Fractions

Ques. ਏind ∫ dx / [(x + 1) (x + 2)]

The integrand is a rational function in the proper sense. As a result, if we use the partial fraction form from the image above, we get:

1 / [(x + 1) (x + 2)] = A / (x + 1) + B / (x + 2) … (1)

When we solve this equation, we get:

We must have LHS equal to RHS in order for LHS to be equal to RHS.

A + B = 0 and 2A + B = 1. On solving these two equations, we get

1 / [(x + 1) (x + 2)] = 1 / (x + 1) – 1 / (x + 2)

Hence, ∫ dx / [(x + 1) (x + 2)] = ∫ dx / (x + 1) – ∫ dx / (x + 2)

Observação that Equation (1) holds for all possible x values. Some authors use the symbol ‘≡’ to represent an identity, while others use the symbol ‘=&apos to denote an equation, i.e., a statement that is valid only for certain values of x.


Ques.ਏind ∫ [(x 2 + 1) / (x 2 – 5x + 6)] dx

The integrand in this case is not a proper rational function. As a result, we divide

(x 2 + 1) by (x 2 – 5x + 6) and get,

(x 2 + 1) / (x 2 – 5x + 6) = 1 + (5x – 5) / (x 2 – 5x + 6)

Let&aposs take a look at the second half of the equation to see what we can learn.

5x – 5 = A (x – 3) + B (x – 2) = Ax – 3A + Bx – 2B = x (A + B) – (3A + 2B)

We get A + B = 5 and 3A + 2B = 5 by comparing the coefficients of the x term and constants. We also get A = – 5 and B = 10 when we solve these two equations.

(x 2 + 1) / (x 2 – 5x + 6) = 1 – 5 / (x – 2) + 10 / (x – 3)

Therefore, ∫ [(x 2 + 1) / (x 2 – 5x + 6)] dx = ∫ dx – 5 ∫ 1 / (x – 2) + 10 ∫ 1 / (x – 3)

= x – 5log |x – 2| + 10log |x – 3| + C

Ques.ਏind ∫ [(3x – 2) / (x + 1) 2 (x + 3)] dx

If you look at the picture above, you&aposll find that the denominator is identical to example 4. As a result, we have

(3x – 2) / (x + 1) 2 (x + 3) = A / (x + 1) + B / (x + 1) 2 + C / (x + 3)

3x – 2 = A (x + 1) (x + 3) + B (x + 3) + C (x + 1) 2

= A (x 2 + 4x + 3) + B (x + 3) + C (x 2 + 2x + 1) = Ax 2 + 4Ax + 3A + Bx + 3B + Cx 2 + 2Cx + C

= x 2 (A + C) + x (4A + B + 2C) + (3A + 3B + C)

Comparing the coefficients of x 2 , x and the constant terms, we get

We get A = 11/4, B = 𠄵/2, and C = �/4 by solving these three equations.

(3x – 2) / (x + 1) 2 (x + 3) = 11 / 4(x + 1) – 5 / 2(x + 1) 2 – 11 / 4(x + 3)

Therefore, ∫ [(3x – 2) / (x + 1) 2 (x + 3)] dx = 11/4 ∫ dx / (x + 1) – 5/2 ∫ dx / (x + 1) 2 – 11/4 ∫ dx / (x + 3)

= 11/4 log |x + 1| + 5 / 2(x + 1) – 11/4 log |x + 3| + C

= 11/4 log |(x + 1) / (x + 3)| + 5 / 2(x + 1) + C

Sample Questions on Integration by Partial Fractions

Ques. What does the word "partial fractions" mean?

Resp. The process of decomposing a fraction into its simplest form is known as a partial fraction in mathematics.

Ques. What are the various types of denominators in partial fractions?

Resp. In partial fractions, there are four distinct types of denominators:

Irreducible factors of degree 2

Repeated irreducible factors of degree 2

Ques. What is the best way to integrate fractions?

Resp. If you&aposre asked to incorporate a fraction, try multiplying or dividing the fraction&aposs top and bottom by a number. Splitting a fraction into smaller bits before attempting to integrate it may often be beneficial. For this, you can use the partial fractions process.

Ques. What do you mean by integration?

Resp. Integration takes place at the time when distinct people or things are brought together. For example, the integration of students from all the colleges of a particular city at the university and more. As we already know that differentiate is to “set apart”, therefore integrate just the opposite of this. 

Previous Years’ Questions

Short Answer Questions

Ques. Find:   (CBSE 2019)

Ques. Find:   (CBSE 2018)

Ans. Given integral is,

Long Answer Questions

Ques. Find:      (Delhi 2017)

Resp. Given integral is,

Ques. Find:    (All India 2017)

Resp. Given integral is,

Resp. The given integral,

CBSE Class 12 Mathematics: Key Suggestions

The question paper will be divided into two parts: A and B, where both the parts will have internal choices. 

CBSE Class 12 Mathematics: Learning outcomes

From this portion of the chapter, the candidates get to know that partial fraction decomposition can be the methods to decompose the rational expressions.


NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 Integers Ex 7.4

NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 Integers Ex 7.4 are part of NCERT Solutions for Class 12 Maths. Here we have given Class 12 Maths NCERT Solutions Integrals Ex 7.4
Questão 1.
(frac < < 3x >^ < 2 >>< < x >^< 6 >+1 > )
Solução:

Questão 2.
(frac < 1 >< sqrt < 1+< 4x >^ < 2 >> > )
Solução:

Questão 3.
(frac < 1 >< sqrt < < (2-x) >^< 2 >+1 > > )
Solução:

Questão 4.
(frac < 1 >< sqrt < 9-< 25x >^ < 2 >> > )
Solução:

Question 5.
(frac < 3x >< 1+< 2x >^ < 4 >> )
Solução:

Question 6.
(frac < < x >^ < 2 >>< 1-< x >^ < 6 >> )
Solução:

Question 7.
(frac < x-1 >< sqrt < < x >^< 2 >-1 > > )
Solução:

Question 8.
(frac < < x >^ < 2 >>< sqrt < < x >^< 6 >+< a >^ < 6 >> > )
Solução:

Question 9.
(frac < < sec >^< 2 >x >< sqrt < < tan >^< 2 >x+4 > > )
Solução:

Question 10.
(frac < 1 >< sqrt < < x >^< 2 >+2x+2 > > )
Solução:

Question 11.
(frac < 1 >< < 9x >^< 2 >+6x+5 > )
Solução:

Question 12.
(frac < 1 >< sqrt < 7-6x-< x >^ < 2 >> > )
Solução:

Question 13.
(frac < 1 > < sqrt < (x-1)(x-2) >> )
Solução:

Question 14.
(frac < 1 >< sqrt < 8+3x-< x >^ < 2 >> > )
Solução:

Question 15.
(frac < 1 > < sqrt < (x-a)(x-b) >> )
Solução:

Question 16.
(frac < 4x+1 >< sqrt < < 2x >^< 2 >+x-3 > > )
Solução:

Question 17.
(frac < x+2 >< sqrt < < x >^< 2 >-1 > > )
Solução:


Question 18.
(frac < 5x-2 >< 1+2x+< 3x >^ < 2 >> )
Solução:
put 5x-2=A(frac < d >< dx >)(1+2x+3x²)+B
⇒ 6A=5, A=(frac < 5 >< 6 >-2=2A+B), B=(-frac < 11 >< 3 >)

Question 19.
(frac < 6x+7 > < sqrt < (x-5)(x-4) >> )
Solução:



Question 20.
(frac < x+2 >< sqrt < 4x-< x >^ < 2 >> > )
Solução:



Question 21.
(frac < x+2 >< sqrt < < x >^< 2 >+2x+3 > > )
Solução:


Question 22.
(frac < x+3 >< < x >^< 2 >-2x-5 > )
Solução:


Question 23.
(frac < 5x+3 >< sqrt < < x >^< 2 >+4x+10 > > )
Solução:


Question 24.
(int < frac < dx >< < x >^< 2 >+2x+2 > equals > )
(a) xtan -1 (x+1)+c
(b) (x+1)tan -1 x+c
(c) tan -1 (x+1)+c
(d) tan -1 x+c
Solução:

Question 25.
(int < frac < dx >< sqrt < 9x-< 4x >^ < 2 >> > equals > )
(a) (frac < 1 > < 9 >< sin >^< -1 >left( frac < 9x-8 > < 8 > ight) +c)
(b) (frac < 1 > < 2 >< sin >^< -1 >left( frac < 8x-9 > < 9 > ight) +c)
(c) (frac < 1 > < 3 >< sin >^< -1 >left( frac < 9x-8 > < 8 > ight) +c)
(d) (< sin >^< -1 >left( frac < 9x-8 > < 9 > ight) +c)
Solução:

NCERT Solutions for Class 12 Maths Exercise 7.4 in Hindi

प्रश्न 1 से 23 तक के फलनों का समाकलन कीजिए।

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्न 16.

हल-

प्रश्न 17.

हल-

प्रश्न 18.

हल-


प्रश्न 19.

हल-


प्रश्न 20.

हल-

प्रश्न 21.

हल-

प्रश्न 22.

हल-

प्रश्न 23.

हल-

प्रश्न 24.

हल-

प्रश्न 25.

हल-


Partial fraction decomposition is a useful process when taking antiderivatives of many rational functions.

It involves factoring the denominators of rational functions and then generating a sum of fractions whose denominators are the factors of the original denominator. Bézout's identity suggests that numerators exist such that the sum of these fractions equals the original rational function. The process of partial fraction decomposition is the process of finding such numerators. The result is an expression that can be more easily integrated or antidifferentiated.

There are various methods of partial fraction decomposition. One method is the method of equating coefficients. This involves matching terms with equivalent powers and performing algebra to find missing coefficients. It is a common method, and one based on the method of undetermined coefficients. Alternative methods include one based on Lagrange interpolation, another based on residues and more.

The study of partial fraction decomposition is important to calculus, differential equations and other areas, and is also known as partial fraction expansion.