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P.4E: Exercícios - Expoentes Racionais - Matemática


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A: Notação Radical para Exponencial

Exercício ( PageIndex {A} [5pt] ): Notação Radical para Exponencial

Expresse usando expoentes racionais.

  1. ( sqrt {10} [5pt] )
  2. ( sqrt {6} [5pt] )
  3. ( sqrt [3] {3} [5pt] )
  4. ( sqrt [4] {5} [5pt] )
  1. ( sqrt [3] {5 ^ {2}} [5pt] )
  2. ( sqrt [4] {2 ^ {3}} [5pt] )
  3. ( sqrt [3] {49} [5pt] )
  4. ( sqrt [3] {9} [5pt] )
  1. ( sqrt [5] {x} [5pt] )
  2. ( sqrt [6] {x} [5pt] )
  3. ( sqrt [6] {x ^ {7}} [5pt] )
  4. ( sqrt [5] {x ^ {4}} [5pt] )
  1. ( dfrac {1} { sqrt {x}} [5pt] )
  2. ( dfrac {1} { sqrt [3] {x ^ {2}}} [5pt] )
Respostas 1-13:
1. (10 ​​^ {1/2} [5pt] )
3. (3 ^ {1/3} [5pt] )
5. (5 ^ {2/3} [5pt] )
7. (7 ^ {2/3} [5pt] )
9. (x ^ {1/5} [5pt] )
11. (x ^ {7/6} [5pt] )
13. (x ^ {- 1/2} [5pt] )
( grande estrela )

B: Notação Exponencial para Radical.

Exercício ( PageIndex {B} [5pt] ): Exponencial para notação radical

Expresse de forma radical.

  1. (10 ​​^ {1/2} [5pt] )
  2. (11 ^ {1/3} [5pt] )
  3. (7 ^ {2/3} [5pt] )
  1. (2 ^ {3/5} [5pt] )
  2. (x ^ {3/4} [5pt] )
  3. (x ^ {5/6} [5pt] )
  1. (x ^ {- 1/2} [5pt] )
  2. (x ^ {- 3/4} [5pt] )
  3. ( left ( frac {1} {x} right) ^ {- 1/3} [5pt] )
  1. ( left ( frac {1} {x} right) ^ {- 3/5} [5pt] )
  2. ((2 x + 1) ^ {2/3} [5pt] )
  3. ((5 x - 1) ^ {1/2} [5pt] )
Respostas 15-25:
15. ( sqrt {10} [5pt] )
17. ( sqrt [3] {49} [5pt] )
19. ( sqrt [4] {x ^ {3}} [5pt] )
21. ( dfrac {1} { sqrt {x}} [5pt] )
23. ( sqrt [3] {x} [5pt] )
25. ( sqrt [3] {(2 x + 1) ^ {2}} [5pt] )
( grande estrela )

C: Forma Exponencial para Radical; então simplifique.

Exercício ( PageIndex {C} [5pt] ): Exponencial para a forma radical e depois simplificar

Escreva como um radical e depois simplifique.

  1. (64 ^ {1/2} [5pt] )
  2. (49 ^ {1/2} [5pt] )
  3. ( left ( frac {1} {4} right) ^ {1/2} [5pt] )
  4. ( left ( frac {4} {9} right) ^ {1/2} [5pt] )
  5. (4 ^ {- 1/2} [5pt] )
  6. (9 ^ {- 1/2} [5pt] )
  7. ( left ( frac {1} {4} right) ^ {- 1/2} [5pt] )
  8. ( left ( frac {1} {16} right) ^ {- 1/2} [5pt] )
  9. (8 ^ {1/3} [5pt] )
  1. (125 ^ {1/3} [5pt] )
  2. ( left ( frac {1} {27} right) ^ {1/3} [5pt] )
  3. ( left ( frac {8} {125} right) ^ {1/3} [5pt] )
  4. ((- 27) ^ {1/3} [5pt] )
  5. ((- 64) ^ {1/3} [5pt] )
  6. (16 ^ {1/4} [5pt] )
  7. (625 ^ {1/4} [5pt] )
  8. (81 ^ {- 1/4} [5pt] )
  9. (16 ^ {- 1/4} [5pt] )
  1. (100.000 ^ {1/5} [5pt] )
  2. ((- 32) ^ {1/5} [5pt] )
  3. ( left ( frac {1} {32} right) ^ {1/5} [5pt] )
  4. ( left ( frac {1} {243} right) ^ {1/5} [5pt] )
  5. (9 ^ {3/2} [5pt] )
  6. (4 ^ {3/2} [5pt] )
  7. (8 ^ {5/3} [5pt] )
  8. (27 ^ {2/3} [5pt] )
  1. (16 ^ {3/2} [5pt] )
  2. (32 ^ {2/5} [5pt] )
  3. ( left ( frac {1} {16} right) ^ {3/4} [5pt] )
  4. ( left ( frac {1} {81} right) ^ {3/4} [5pt] )
  5. ((- 27) ^ {2/3} [5pt] )
  6. ((- 27) ^ {4/3} [5pt] )
  7. ((- 32) ^ {3/5} [5pt] )
  8. ((- 32) ^ {4/5} [5pt] )
Respostas: 27-59
27. (8)
29. ( dfrac {1} {2} [5pt] )
31. ( dfrac {1} {2} [5pt] )
33. (2 [5pt] )
35. (2)
37. (8 [5pt] )
39. (- 3 [5pt] )
41. (2 [5pt] )
43. ( dfrac {1} {3} [5pt] )
45. (8 [5pt] )
47. ( dfrac {1} {2} [5pt] )
49. (27 [5pt] )
51. (32)
53. (64 [5pt] )
55. ( dfrac {1} {8} [5pt] )
57. (9 [5pt] )
59. (-8)
( grande estrela )

D: Operações exponenciais. PRODUTOS

Exercício ( PageIndex {D} [5pt] ): Operações Exponenciais

Execute as operações e simplifique. Deixe as respostas em formato exponencial.

  1. (5 ^ {3/2} cdot 5 ^ {1/2} [5pt] )
  2. (3 ^ {2/3} cdot 3 ^ {7/3} [5pt] )
  3. (5 ^ {1/2} cdot 5 ^ {1/3} [5pt] )
  4. (2 ^ {1/6} cdot 2 ^ {3/4} [5pt] )
  5. (y ^ {1/4} cdot y ^ {2/5} [5pt] )
  6. (x ^ {1/2} cdot x ^ {1/4} [5pt] )
  7. ((u ^ {12} v ^ {18}) ^ { tfrac {1} {6}} [5pt] )
  8. ((r ^ {9} s ^ {12}) ^ { tfrac {1} {3}} [5pt] )
  9. ( left (8 ^ {1/2} right) ^ {2/3} [5pt] )
  10. ( left (3 ^ {6} right) ^ {2/3} [5pt] )
  1. ( left (x ^ {2/3} right) ^ {1/2} [5pt] )
  2. ( left (y ^ {3/4} right) ^ {4/5} [5pt] )
  3. ( left (y ^ {8} right) ^ {- 1/2} [5pt] )
  4. ( left (y ^ {6} right) ^ {- 2/3} [5pt] )
  5. ( left (4 x ^ {2} y ^ {4} right) ^ {1/2} [5pt] )
  6. ( left (9 x ^ {6} y ^ {2} right) ^ {1/2} [5pt] )
  7. ( left (2 x ^ {1/3} y ^ {2/3} right) ^ {3} [5pt] )
  8. ( left (8 x ^ {3/2} y ^ {1/2} right) ^ {2} [5pt] )
  9. ( left (36 x ^ {4} y ^ {2} right) ^ {- 1/2} [5pt] )
  10. ( left (8 x ^ {3} y ^ {6} z ^ {- 3} right) ^ {- 1/3} [5pt] )
  1. ( left (27 q ^ { tfrac {3} {2}} right) ^ { tfrac {4} {3}} [5pt] )
  2. ( left (64 s ^ { tfrac {3} {7}} right) ^ { tfrac {1} {6}} [5pt] )
  3. ( left (a ^ { tfrac {1} {3}} b ^ { tfrac {2} {3}} right) ^ { tfrac {3} {2}} [5pt] )
  4. ( left (m ^ { tfrac {4} {3}} n ^ { tfrac {1} {2}} right) ^ { tfrac {3} {4}} [5pt] )
  5. ( left (16 u ^ { tfrac {1} {3}} right) ^ { tfrac {3} {4}} [5pt] )
  1. ( left (625 n ^ { tfrac {8} {3}} right) ^ { tfrac {3} {4}} [5pt] )
  2. ( left (4 p ^ { tfrac {1} {3}} q ^ { tfrac {1} {2}} right) ^ { tfrac {3} {2}} [5pt] )
  3. ( left (9 x ^ { tfrac {2} {5}} y ^ { tfrac {3} {5}} right) ^ { tfrac {5} {2}} [5pt] )
  4. ( left (16 x ^ {2} y ^ {- 1/3} z ^ {2/3} right) ^ {- 3/2} [5pt] )
  5. ( left (81 x ^ {8} y ^ {- 4/3} z ^ {- 4} right) ^ {- 3/4} [5pt] )
  6. ( left (100 a ^ {- 2/3} b ^ {4} c ^ {- 3/2} right) ^ {- 1/2} [5pt] )
  7. ( left (125 a ^ {9} b ^ {- 3/4} c ^ {- 1} right) ^ {- 1/3} [5pt] )
Respostas 61-91

61. (25 [5pt] )
63. (5 ^ {5/6} [5pt] )
65. (y ^ {13/20} [5pt] )
67. (U ^ {2} v ^ {3} [5pt] )

69. (2 [5pt] )
71. (x ^ {1/3} [5pt] )
73. ( dfrac {1} {y ^ {4}} [5pt] )
75. (2 x y ^ {2} [5pt] )
77. (8 x y ^ {2} [5pt] )
79. ( dfrac {1} {6 x ^ {2} y} [5pt] )
81. (81 q ^ {2} [5pt] )
83. (a ^ { tfrac {1} {2}} b )
85. (8 u ^ { tfrac {1} {4}} [5pt] )
87. (8 p ^ { tfrac {1} {2}} q ^ { tfrac {3} {4}} [5pt] )
89. ( dfrac {y ^ {1/2}} {64 x ^ {3} z} [5pt] )
91. ( dfrac {a ^ {1/3} b ^ {3/4}} {10 b ^ {2}} [5pt] )
( grande estrela )

D: Operações exponenciais. QUOCIENTES

Exercício ( PageIndex {D} [5pt] ): Operações Exponenciais

Execute as operações e simplifique. Deixe as respostas em formato exponencial.

  1. ( dfrac {5 ^ {11/3}} {5 ^ {2/3}} [5pt] )
  2. ( dfrac {2 ^ {9/2}} {2 ^ {1/2}} [5pt] )
  3. ( dfrac {2 a ^ {2/3}} {a ^ {1/6}} [5pt] )
  4. ( dfrac {3 b ^ {1/2}} {b ^ {1/3}} [5pt] )
  5. ( dfrac {r ^ { tfrac {5} {2}} cdot r ^ {- tfrac {1} {2}}} {r ^ {- tfrac {3} {2}}} [5pt] )
  6. ( dfrac {a ^ { tfrac {3} {4}} cdot a ^ {- tfrac {1} {4}}} {a ^ {- tfrac {10} {4}}} [5pt] )
  7. ( dfrac {c ^ { tfrac {5} {3}} cdot c ^ {- tfrac {1} {3}}} {c ^ {- tfrac {2} {3}}} [5pt] )
  1. ( dfrac {m ^ { tfrac {7} {4}} cdot m ^ {- tfrac {5} {4}}} {m ^ {- tfrac {2} {4}}} [5pt] )
  2. ( left ( dfrac {a ^ {3/4}} {a ^ {1/2}} right) ^ {4/3} [5pt] )
  3. ( left ( dfrac {b ^ {4/5}} {b ^ {1/10}} right) ^ {10/3} [5pt] )
  4. ( left ( dfrac {4 x ^ {2/3}} {y ^ {4}} right) ^ {1/2} [5pt] )
  5. ( left ( dfrac {27 x ^ {3/4}} {y ^ {9}} right) ^ {1/3} [5pt] )
  6. ( dfrac {y ^ {1/2} y ^ {2/3}} {y ^ {1/6}} [5pt] )
  7. ( dfrac {x ^ {2/5} x ^ {1/2}} {x ^ {1/10}} [5pt] )
  1. ( dfrac {x y} {x ^ {1/2} y ^ {1/3}} [5pt] )
  2. ( dfrac {x ^ {5/4} y} {x y ^ {2/5}} [5pt] )
  3. ( dfrac {49 a ^ {5/7} b ^ {3/2}} {7 a ^ {3/7} b ^ {1/4}} [5pt] )
  4. ( dfrac {16 a ^ {5/6} b ^ {5/4}} {8 a ^ {1/2} b ^ {2/3}} [5pt] )
  5. ( left ( dfrac {36 s ^ { tfrac {1} {5}} t ^ {- tfrac {3} {2}}} {s ^ {- tfrac {9} {5}} t ^ { tfrac {1} {2}}} right) ^ { tfrac {1} {2}} [5pt] )
  6. ( left ( dfrac {27 b ^ { tfrac {2} {3}} c ^ {- tfrac {5} {2}}} {b ^ {- tfrac {7} {3}} c ^ { tfrac {1} {2}}} right) ^ { tfrac {1} {3}} [5pt] )
  1. ( left ( dfrac {8 x ^ { tfrac {5} {3}} y ^ {- tfrac {1} {2}}} {27 x ^ {- tfrac {4} {3}} y ^ { tfrac {5} {2}}} right) ^ { tfrac {1} {3}} [5pt] )
  2. ( left ( dfrac {16 m ^ { tfrac {1} {5}} n ^ { tfrac {3} {2}}} {81 m ^ { tfrac {9} {5}} n ^ {- tfrac {1} {2}}} right) ^ { tfrac {1} {4}} [5pt] )
  3. ( dfrac { left (9 x ^ {2/3} y ^ {6} right) ^ {3/2}} {x ^ {1/2} y} [5pt] )
  4. ( dfrac { left (125 x ^ {3} y ^ {3/5} right) ^ {2/3}} {x y ^ {1/3}} [5pt] )
  5. ( dfrac { left (27 a ^ {1/4} b ^ {3/2} right) ^ {2/3}} {a ^ {1/6} b ^ {1/2}} [5pt] )
  6. ( dfrac { left (25 a ^ {2/3} b ^ {4/3} right) ^ {3/2}} {a ^ {1/6} b ^ {1/3}} [5pt] )
Respostas 101-125
101. (125 [5pt] )
103. (2 a ^ {1/2} [5pt] )
105.9a. (r ^ { frac {7} {2}} [5pt] )
107.1a. (c ^ {2} [5pt] )
109. (a ^ {1/3} [5pt] )
111. ( dfrac {2 x ^ {1/3}} {y ^ {2}} [5pt] )
113. (y )
115. (x ^ {1/2} y ^ {2/3} [5pt] )
117. (7 a ^ {2/7} b ^ {5/4} [5pt] )
119. ( dfrac {6 s} {t} [5pt] )
121. ( dfrac {2x} {3y} [5pt] )
123. (27 x ^ {1/2} y ^ {8} [5pt] )
125. (9 b ^ {1/2} [5pt] )
( grande estrela )

E: Operações de forma radical a exponencial.

Exercício ( PageIndex {E} [5pt] ): Operações de forma radical a exponencial

Reescreva de forma exponencial e, em seguida, execute as operações.

  1. ( sqrt [3] {9} cdot sqrt [5] {3} [5pt] )
  2. ( sqrt {5} cdot sqrt [5] {25} [5pt] )
  3. ( sqrt {x} cdot sqrt [3] {x} [5pt] )
  4. ( sqrt {y} cdot sqrt [4] {y} [5pt] )
  5. ( sqrt [3] {x ^ {2}} cdot sqrt [4] {x} [5pt] )
  6. ( sqrt [5] {x ^ {3}} cdot sqrt [3] {x} [5pt] )
  7. ( dfrac { sqrt [3] {100}} { sqrt {10}} [5pt] )
  1. ( dfrac { sqrt [5] {16}} { sqrt [3] {4}} [5pt] )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {a ^ {2}}} { sqrt {a}} [5pt] )
  3. ( dfrac { sqrt [5] {b ^ {4}}} { sqrt [3] {b}} [5pt] )
  4. ( dfrac { sqrt [3] {x ^ {2}}} { sqrt [5] {x ^ {3}}} [5pt] )
  5. ( dfrac { sqrt [4] {x ^ {3}}} { sqrt [3] {x ^ {2}}} [5pt] )
  1. ( sqrt { sqrt [5] {16}} [5pt] )
  2. ( sqrt { sqrt [3] {9}} [5pt] )
  3. ( sqrt [3] { sqrt [5] {2}} [5pt] )
  4. ( sqrt [3] { sqrt [5] {5}} [5pt] )
  5. ( sqrt [3] { sqrt {7}} [5pt] )
  6. ( sqrt [3] { sqrt {3}} [5pt] )
Respostas 131-147:
131. ( sqrt [15] {3 ^ {13}} [5pt] )
133. ( sqrt [6] {x ^ {5}} [5pt] )
135. ( sqrt [12] {x ^ {11}} [5pt] )
137. ( sqrt [6] {10} [5pt] )
139. ( sqrt [6] {a} [5pt] )
141. ( sqrt [15] {x} [5pt] )
143. ( sqrt [5] {4} [5pt] )
145. ( sqrt [15] {2} [5pt] )
147. ( sqrt [6] {7} [5pt] )
( grande estrela )

.


Números racionais

A maioria dos números que usamos na vida cotidiana são números racionais.

Aqui estão mais alguns exemplos:

Número Como uma fração Racional?
5 5/1 sim
1.75 7/4 sim
.001 1/1000 sim
& menos 0,1 & menos 1/10 sim
0.111. 1/9 sim
& radic2
(raiz quadrada de 2)
? NÃO !

Ups! A raiz quadrada de 2 não pode ser escrita como uma fração simples! E existem muitos mais desses números, e porque eles são não é racional eles são chamados de irracionais.

Outro famoso irracional o número é Pi (& pi):


Atividades resolvidas

Aplicamos a definição de exponenciação, multiplicando a base por si mesma tantas vezes quanto o expoente indica:

Se o expoente for negativo, primeiro expressamos a potência como uma fração. O expoente será o denominador, então aplicamos a Regra do Expoente Negativo, tornando os expoentes positivos.

Quando temos um poder de um poder. Aplicamos a regra que consiste em multiplicar os dois expoentes e obtemos uma potência com um expoente negativo. Continuamos da mesma forma que o ponto anterior.

Temos o quociente de duas potências. Como a base é a mesma, a regra diz que subtraímos os expoentes (o numerador menos o denominador). Obtemos um expoente negativo.

Temos a multiplicação de potências no numerador, mas não podemos resolver porque existem bases diferentes (2 e 3). No denominador, temos uma potência com base 6 (3 · 2).

Ao escrever a potência no denominador como a multiplicação das potências das bases 3 e 2, temos então as mesmas bases no numerador e no denominador e agora podemos aplicar as regras.

Primeiro podemos eliminar o sinal negativo do expoente da primeira potência escrevendo a fração inversa. Dessa forma, teremos uma divisão de poderes com a mesma base.

Aplicamos as regras de exponenciação a cada um deles para simplificar a expressão. Transformamos as bases em outras (usando poderes) para obter bases em comum.

O maior problema dessa expressão é a quantidade de bases diferentes que os poderes possuem. O que faremos é decompor as bases em fatores primários. Notar que 10 = 2·5 e 60 = 6·10 = 2·3·2·5. Depois disso, só temos que multiplicar ou dividir as potências.

Aplicamos as propriedades de exponenciação, mas primeiro entre parênteses para começar a eliminá-las.

Exercício 10

Temos um expoente alto, mas não precisamos nos preocupar com isso. A parte importante desse exercício é que a base do poder, que é o parêntese inteiro, é uma subtração e não temos regras para resolvê-lo. Devido a isso, temos que fazer o trabalho dentro dos parênteses até que possamos aplicar as regras que temos.

Exercício 11

Escrevemos a base 18 como um produto de fatores primários e reagrupamos em poderes: 18 = 3·6 = 3·2·3.

Exercício 12

Temos muitos expoentes. Aplicamos a regra ao primeiro, que é o poder de uma multiplicação. Temos que identificar claramente os fatores de multiplicação para aplicar as regras sem cometer erros. Depois, continuaremos com os outros expoentes.

Exercício 13

Eliminamos o primeiro expoente, -1, o que significa escrever o inverso da base. Também temos bases diferentes, mas já sabemos como resolver esse problema: escrever as bases como produtos de fatores primos e reagrupar em poderes. Lembramos que o símbolo ":" é uma divisão, da mesma forma que "/".

Exercício 14

A dificuldade desse problema são os parâmetros, ou seja, as letras. Trabalhamos com eles da mesma forma que fazemos com números (afinal, os parâmetros representam números).

Exercício 15

Embora seja simplesmente um problema de escrita, representaremos as divisões ":" na forma de frações "/".


College Algebra (7ª edição) Editar edição

Expoentes Racionais Expresse o radical como uma potência com um expoente racional.

(uma)

(b)

Para qualquer expoente racional em termos mais baixos, onde é um inteiro e , nós definimos

Se é uniforme, então exigimos que

Se e são dois inteiros positivos, temos

fatores

fatores fatores fatores

grupo de fatores

O caso de qual ou pode ser provado usando a definição de expoentes negativos.


Seção P.3: Expoentes inteiros e notação científica

A familiaridade com as seguintes regras é essencial para nosso trabalho com expoentes e bases.

Na tabela, as bases aeb são números reais e os expoentes m e n são inteiros.

1. aman  amn32 # 35  325  37

Para multiplicar duas potências do mesmo número, some os expoentes.

Para dividir duas potências do mesmo número, subtraia os expoentes.

Para elevar uma potência a uma nova potência, multiplique os expoentes.

Para elevar um produto a uma potência, eleve cada fator à potência.

Para elevar um quociente a uma potência, aumente o numerador e o denominador

Para elevar uma fração a uma potência negativa, inverta a fração e mude

o mover um número elevado a uma potência de numerador para denominador

ou de denominador para numerador, mude o sinal do expoente.

Prova da Lei 3 Se m e n são inteiros positivos, temos

 1a # a #. . . # a2 1a # a #. . . # a2. . . 1a # a #. . . # a2

Os casos para os quais m  0 ou n  0 podem ser provados usando a definição de negativo

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20 CAPÍTULO P ■ Pré-requisitos

Prova da Lei 4 Se n for um número inteiro positivo, temos

1ab2 n  1ab2 1ab2. . . 1ab2  1a # a #. . . # a2 # 1b # b #. . . # b2  a n b n

Aqui, usamos as Propriedades Comutativas e Associativas repetidamente. Se n  0,

A lei 4 pode ser provada usando a definição de expoentes negativos.

Você deve provar as Leis 2, 5, 6 e 7 nos Exercícios 58 e 59.

Exemplo 3 ■ Usando as leis dos expoentes

Agora tente os exercícios 19 e 21

Exemplo 4 ■ Simplificando Expressões com Expoentes

(a) 1 2a 3b 2 2 1 3ab 4 2 3 (b) a b a

(a) 1 2a 3b 2 2 1 3ab 4 2 3

 1 2a 3b 2 2 333a 3 1 b 4 2 3 4

 1 2a 3b 2 2 1 27a 3b 12 2

Agora tente os exercícios 25 e 29

Fatores de grupo com a mesma base

Fatores de grupo com a mesma base

Ao simplificar uma expressão, você descobrirá que muitos métodos diferentes levarão

para o mesmo resultado, você deve se sentir livre para usar qualquer uma das regras de expoentes para chegar a

seu próprio método. No próximo exemplo, vemos como simplificar expressões com expoentes negativos.

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SEÇÃO P.3 ■ Expoentes inteiros e notação científica 21

Matemática no mundo moderno

Exemplo 5 ■ Simplificando Expressões com Expoentes Negativos

Embora muitas vezes não tenhamos conhecimento de sua

presença, a matemática permeia quase

todos os aspectos da vida no mundo moderno.

Com o advento da tecnologia moderna,

a matemática desempenha um papel cada vez maior na

nossas vidas. Hoje você provavelmente estava acordado

alimentado por um despertador digital, enviou uma mensagem,

navegou na Internet, assistiu HDTV ou um

streaming de vídeo, ouviu música em

seu telefone celular, dirigiu um carro com digitalmente

injeção controlada de combustível, depois adormeceu

em uma sala cuja temperatura é con

controlado por um termostato digital. Em cada um de

essas atividades a matemática é crucial

envolvidos. Em geral, uma propriedade como

a intensidade ou frequência do som, o

nível de oxigênio na emissão de exaustão de

um carro, as cores em uma imagem, ou o tempo

peratura em seu quarto é transformada

em sequências de números por sophisti

algoritmos matemáticos identificados. Esses

dados numéricos, que geralmente consistem em

muitos milhões de bits (os dígitos 0 e 1),

são então transmitidos e reinterpretados.

Lidar com grandes quantidades de dados

não era viável até a invenção de

computadores, máquinas cujo proc lógico

esses foram inventados por matemáticos.

As contribuições da matemática em

o mundo moderno não se limita à tecnologia

avanços tecnológicos. Os processos lógicos de

matemática agora é usada para analisar com

problemas complexos de ordem social, política e

ciências da vida de maneiras novas e surpreendentes.

Os avanços na matemática continuam a ser

feito, alguns dos mais emocionantes destes

apenas na última década.

Em outra Matemática no Moderno

Mundo, descreveremos em mais detalhes como

matemática afeta todos nós em todos os nossos

Elimine expoentes negativos e simplifique cada expressão.

e usamos a Lei 7, que nos permite mover um número elevado a uma potência do

numerador para o denominador (ou vice-versa), alterando o sinal do expoente.


Expoentes Fracionários

Isso é visto como consistente com a regra de potência para n = 2/3.

Vamos fazer uma generalização deste exemplo. Qualquer número racional n pode ser expresso como p / q para alguns inteiros pe q diferentes de zero. Então, para y = x n,

Isso é exatamente o que obteríamos se assumirmos que a mesma regra de potência vale para expoentes fracionários como para expoentes integrais. Observe que não precisamos assumir nada sobre os sinais de p ou q, exceto o fato de que q não pode ser zero. Portanto, nossa regra de potência pode agora ser aplicada com segurança a quaisquer expoentes racionais.

A definição da derivada também pode ser usada, mas como os próximos dois exemplos mostram, o uso direto da definição é freqüentemente muito mais complicado do que a regra de potência aprimorada.

Considere o caso bastante simples

A partir da definição da derivada,

de acordo com a Regra de Potência para n = 1/2. Para n = & ndash1 / 2, a definição da derivada fornece

e uma manipulação algébrica semelhante leva a

novamente de acordo com a Regra de Potência.

Para ver como casos mais complicados podem ser tratados, lembre-se do exemplo acima,

A partir da definição da derivada,

mais uma vez de acordo com a Regra de Potência. Este exemplo deve mostrar claramente que, para expoentes fracionários, usar a Regra da Potência é muito mais conveniente do que recorrer à definição da derivada.


P.4E: Exercícios - Expoentes Racionais - Matemática

onde a é qualquer constante positiva diferente de 1 e é o logaritmo natural (base e) de a. Essas fórmulas levam imediatamente às seguintes integrais indefinidas:

Ao resolver os problemas a seguir, lembre-se destas três regras gerais para integração:

onde n é qualquer constante diferente de -1,

onde k é qualquer constante, e

onde k é qualquer constante diferente de zero, aparece com tanta frequência no seguinte conjunto de problemas, encontraremos uma fórmula para isso agora usando a substituição em u de modo que não tenhamos que fazer esse processo simples todas as vezes. Comece deixando

Agora substitua no problema original, substituindo todas as formas de x, e obtendo

Agora temos a seguinte variação da fórmula 1.):

As seguintes regras frequentemente esquecidas, mal utilizadas e impopulares para expoentes também serão úteis:

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 1.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 2.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 3.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 4.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 5.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 6.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 7.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 8.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 9.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 10.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 11.

Clique AQUI para retornar à lista original de vários tipos de problemas de cálculo.

Seus comentários e sugestões são bem vindos. Envie qualquer correspondência por e-mail para Duane Kouba clicando no seguinte endereço:


Recursos matemáticos do PCC SLC

A maioria das contas de poupança que acumulam juros acumulam os juros de forma composta. O exemplo mais simples de juros compostos é um depósito único que acumula juros sobre o saldo atual no final de cada ano. Suponha que você depositou $ 100 em uma conta que aplica juros de 4% ao saldo atual no final de cada ano. Esse processo é ilustrado na Figura 9.9.1.

Ano Saldo inicial ($) Juros ganhos ($) Saldo final ($)
(1) (100.00) (0.04(100.00)=4.00) (104.00)
(2) (104.00) (0.04(104.00)=4.16) (108.16)
(3) (108.16) (0.04(108.16)=4.33) (112.49)
(4) (112.49) (0.04(112.49)=4.50) (116.99)
Figura 9.9.1. 4% de composição de juros anualmente

Se deixarmos (x ) representar o saldo no início de qualquer ano, então o saldo no final desse ano é dado pela fórmula derivada abaixo.

Na Figura 9.9.2, a fórmula é aplicada há vários anos.

Ano Balanço inicial Balanço final
(1) (100) (1.04(100))
(2) (1.04(100)) (1,04 cdot 1,04 (100) = 1,04 ^ 2 (100) )
(3) (1.04^2(100)) (1,04 cdot 1,04 ^ 2 (100) = 1,04 ^ 3 (100) )
(4) (1.04^3(100)) (1,04 cdot 1,04 ^ 3 (100) = 1,04 ^ 4 (100) )
Figura 9.9.2. 4% de composição de juros anualmente

É fácil ver que se deixarmos (B (t) ) representar o saldo da conta após a conta ter gerado juros por (t ) anos, então

Para a maioria das contas de poupança, os juros são aplicados mais de uma vez por ano. Suponha, por exemplo, que na conta acima, em vez dos juros de 4% sendo aplicados ao final de cada ano, os juros de 1% sejam aplicados ao final de cada trimestre (31 de março, 30 de junho, 30 de setembro e 31 de dezembro). Esse cenário é ilustrado na Figura 9.9.3.

Trimestre Saldo inicial ($) Juros ganhos ($) Saldo final ($)
(1) (100.00) (0.01(100.00)=1.00) (101.00)
(2) (101.00) (0.01(101.00)=1.01) (102.01)
(3) (102.01) (0.01(102.01)=1.02) (103.03)
(4) (103.03) (0.01(103.03)=1.03) (104.06)
Figura 9.9.3. 4% de composição de juros trimestral

Podemos perceber que ao final de um ano (final do quarto trimestre), o valor dos juros auferidos não foi de 4%, mas sim de 4,06%. Os juros anuais antes do efeito de composição são chamados. A taxa de juros após o efeito de composição é chamada. Em nosso cenário atual, juros de 1% são aplicados quatro vezes ao ano, então o saldo ao final de (t ) anos é dado pela fórmula

Podemos analisar ainda mais a fórmula de uma forma que comunique como a taxa de juros de 1% foi derivada.

A partir da última fórmula, podemos inferir uma fórmula geral para o saldo de uma conta após juros compostos por (t ) anos.

(P ) é o investimento inicial na conta

(r ) é a taxa de juros nominal

(n ) é o número de vezes que os juros são compostos a cada ano

(t ) é o número de anos que os juros foram ganhos

Exemplo 9.9.4.

Suponha que Giacomo invista $ 100 em uma conta de poupança com uma taxa de juros nominal de 4%. Determine a taxa de juros efetiva na conta se os juros forem compostos de cada uma das seguintes maneiras.

Como o investido é de $ 100, podemos determinar as taxas efetivas aplicando a fórmula de juros compostos a cada cenário por um ano. O valor do crescimento da conta ao final de um ano será numericamente equivalente à taxa de juros efetiva. Todos os cálculos abaixo foram arredondados para o centavo mais próximo.

A alíquota efetiva da conta é de 4,07%.

A alíquota efetiva da conta é de 4,08%.

Taxas de juros contínuas e o número e.

Suponha que você abra uma conta poupança com uma taxa de juros nominal de 4%. (Boa sorte com isso.) Conforme ilustrado na Figura 9.9.5, a taxa de juros efetiva aumenta à medida que aumenta o número de eventos compostos por ano.

Número de eventos de composição por ano Taxa de juros efetiva
(1) 4%
(4) 4.06%
(12) 4.07%
(52) 4.08%
Figura 9.9.5. Taxa de juros efetiva quando a taxa de juros nominal é de 4%

Agora, suponha que o número de eventos compostos por ano continue crescendo: mil vezes por ano, um milhão de vezes por ano, um bilhão de vezes por ano! Quanto mais e mais vezes os juros são compostos por ano, mais perto a conta fica de ter os juros compostos em a. Poderíamos usar nossa fórmula de taxa de juros estabelecida com (n = 1.000.000 ) para obter uma estimativa muito boa da taxa de juros contínua efetiva, mas há outra opção. Antes de propor a outra opção, precisamos manipular nossa fórmula de juros existente em outra forma.

Na última expressão, (x = frac text <,> ) então, conforme o número de eventos compostos aumenta, também aumenta o valor de (x text <.> )

Na Figura 9.9.6 vemos o efeito que aumentar o valor de (x ) tem no valor de ( left (1+ frac <1> right) ^ x text <.> ) Quanto maior o valor de (x text <,> ), mais próxima será a expressão ( left (1+ frac <1> right) ^ x ) chega a.

(x ) ( left (1+ frac <1> right) ^ x )
(10) (2.59374)
(100) (2.70481)
(1,000) (2.71692)
(10,000) (2.71815)
(100,000) (2.71827)
(1,000,000) (2.71828)
Figura 9.9.6. Valores de ( left (1+ frac <1> right) ^ x )

O número (e ) também é conhecido como. O valor de (e ) é arredondado para o milionésimo mais próximo abaixo.

Conforme mencionado anteriormente, conforme o número de eventos compostos anuais aumenta, também aumenta o valor de (x text <.> ) Conforme o valor de (x ) aumenta, o valor da expressão ( left ( 1+ frac <1> right) ^ x ) fica cada vez mais perto do número (e text <.> ) Vamos usar esse fato para chegar ao nosso.

(P ) é o valor inicial do investimento

(r ) é a taxa de juros nominal

(t ) é o número de anos que os juros são ganhos

Exemplo 9.9.7.

Determine a taxa efetiva em uma conta com uma taxa de juros nominal de 6% composta continuamente.

Vamos ver qual é o efeito de um ano desse cenário em um depósito inicial de $ 100 (arredondado para o centavo mais próximo).

Como em um ano $ 100 cresceram $ 6,08, a taxa de juros efetiva é de 6,18%.

A função do logaritmo natural.

A função logaritmo com uma base de (e ) é chamada. A função é simbolizada como ( ln (x) ) que é lida em voz alta como "o logarítmico natural (aritmo) de (x text <.> )" Para reiterar,

A função logaritmo natural é tremendamente importante no cálculo. Nesse nível, ele serve basicamente a duas funções. É uma chave em qualquer calculadora científica ou gráfica, portanto, pode ser usada ao aplicar a alteração da fórmula de base. Também é usado para resolver equações exponenciais onde a base da (s) expressão (ões) exponencial (is) é o número (e text <.> ) Antes de ver vários exemplos, vamos fazer uma observação baseada na propriedade logarítmica ( log_b ( b ^ n) = n texto <.> )

Exemplo 9.9.8.

Soojin tem uma conta poupança que acumula juros continuamente. A taxa de juros efetiva incidente sobre a conta de Soojin é de 2,84%. Qual é a taxa de juros nominal da conta?

Se Soojin investir $ 100 por um ano, seu saldo ao final de um ano será de $ 102,84. Podemos determinar a taxa de juros nominal, (r text <,> ) resolvendo a equação

Poderíamos usar um logaritmo de qualquer base para resolver a equação. No entanto, como nossa tecnologia tende a ter apenas chaves para logaritmos de base (10 ​​) e base (e text <,> ), tendemos a usar apenas essas duas bases. Como a base da expressão exponencial na equação que estamos resolvendo é (e text <,> ), parece natural que (e ) seja a base que ainda usaremos. Lembre-se de que, em vez de escrever ( log_e (x) ), escrevemos ( ln (x) text <.> )

A taxa de juros nominal na conta de Soojin é de 2,8%.

Exemplo 9.9.9.

Determine a solução para a equação (7e ^ <10-3x> + 4 = 12 text <.> ) Arredonde o valor final para o milésimo mais próximo.

Queremos isolar a expressão exponencial antes de obter o logaritmo natural de ambos os lados.

Exemplo 9.9.10.

Use a função de logaritmo natural para determinar o valor de ( log_9 (74) text <.> ) Arredonde o valor para o milésimo mais próximo.

Antes de aplicarmos a mudança da fórmula de base, vamos observar que

e porque (9 ^ 2 = 81 text <,> ) esperamos que o valor de ( log_9 (74) ) seja um pouco menor que (2 text <.> ). Vamos em frente e estimar o valor.

Exemplo 9.9.11.

A maior parte do clima que experimentamos aqui na Terra ocorre a cerca de 14 quilômetros da superfície da Terra. Suponha que houvesse uma folha gigantesca (estamos pegando realmente grande) de papel quadriculado perpendicular à superfície da Terra. Suponha que um sistema de eixo (xy ) seja desenhado no papel gráfico com uma unidade de polegadas em ambos os eixos (x ) e (y ). Suponha ainda que a origem do sistema de eixos esteja na superfície da Terra. Suponha que representamos graficamente a função (y = e ^ x ) nesta fantástica folha de papel milimetrado. Quão longe precisaríamos viajar para fora do eixo (x ) - antes que a coordenada (y ) - escapasse da zona climática para a Terra?

Estamos basicamente sendo questionados sobre o valor de (x ) quando a coordenada (y ) no gráfico de (y = e ^ x ) está nove milhas acima do eixo (x ). Precisaremos converter a unidade de milhas em uma unidade de polegadas antes de podermos fazer essa determinação.

Podemos determinar a resposta à pergunta resolvendo a equação (e ^ x = 570,240 text <.> ) Vamos fazer isso.

Então, no momento em que viajamos um pouco mais de 30 centímetros na direção (x ) - a coordenada (y ) no gráfico de (y = e ^ x ) já tem nove milhas acima da superfície da Terra.

Exercícios Exercícios

Resolva cada equação para (x text <.> ) Em cada caso, arredonde a (s) solução (ões) para o milésimo mais próximo.

A solução aproximada para a equação dada é 2,265.

I'm going to solve this equation twice because there are two extremely different yet successful solving strategies that can be applied to the equation.

Any way you slice it, the approximate solution to the given equation is 0.902.

Both values are in the domain of all three logarithmic expressions in the original equation, so the approximate solutions are 5.915 and 2.085.

(6.076) is not in the domain of the expression (ln(6-x) ext<,>) so the given equation has no solution.

Solve each compound interest problem.

Lucy has a savings account which accrues interest at a continuous rate. The nominal rate on the account is 3.25%. Lucy made a one-time deposit of $5,000. How much was in the account 7.5 years after Lucy made her deposit? What is the effective annual interest rate for the account?

The formula we need to use is (B(t)=Pe^) with the following substitutions.

This gives us the following (rounded to the nearest cent).

So the balance of Lucy's account after 7.5 years is $6,380.16. We can determine the effective rate for Lucy's account if we track what happens to $100 in one year.

Because $100 grew to $103.56 in one year, the effective annual interest rate on the account is 3.56%.

Abdul has inherited $50,000 tax free. Abdul plans to save this money for retirement in thirty years. He would like the balance at that time to be at least $1,000,000. What is the minimum average continuous rate of growth the savings must achieve to meet Abdul's goal?

The formula we need to use is (B(t)=Pe^) with the following substitutions.

We need to solve the equation (1,000,000=50,000e^<(r cdot 30)>) for (r ext<.>) Let's do it.

For Abdul to reach his savings goal, the account will have to grow at a continuous annual interest rate of 10%.

Keenan has a bond that has a nominal annual interest rate of 4.25%. The bond accrues interest at the end of every quarter. What is the effective annual interest rate on Keenan's bond?.

The formula for this exercise is

We are told that the nominal annual interest rate, (r ext<,>) is (0.0425 ext<.>) We are told that the number of compounding events per year, (n ext<,>) is (4 ext<.>) We can determine the effective annual interest rate by making a virtual deposit, (P ext<,>) of $100.00 and seeing what the balance is after (1) year ((t)). The following calculation is rounded to the nearest cent.

Since $100.00 earns $4.32 interest in one year, we can deduce that the effective annual interest rate is 4.32%.

Jolene has a super sweet savings account that has an effective annual interest rate of 6.715%. The account compounds interest on a daily basis. Determine the nominal interest rate on Jolene's super sweet savings account. Use 365 for the number of days in a year.

The formula for this exercise is

The only value that we are given directly is (n ext<,>) the number of compounding events in a year (365). From the effective annual interest rate we can tell that $100.00 would grow to $106.715 over the course of one year. Let's let (P=100 ext<,>) (t=1 ext<,>) and (R(1)=106.715 ext<.>) We can then solve for the nominal interest rate, (r ext<.>)

The nominal annual interest rate on Jolene's account is 6.5%

When Earth's moon is directly above you, it is approximately 239,000 miles away from you. Suppose that our fantastical grid system perpendicular to the Earth was able to reach that high. How far would we have to travel out the (x)-axis before the (y)-coordinate on a graph of (y=e^x) would reach the moon? Recall that the origin of the grid is on the Earth's surface and that the unit on each axis is inches.

We are basically being asked for the value of the (x) when the (y)-coordinate on the graph of (y=e^x) is 239,000 miles above the (x)-axis. We'll need to convert the unit miles to a unit of inches before we'll be able to make that determination.

That's a lot of inches! We can determine the answer to the question by solving the equation (e^x=15,143,040,000 ext<.>) Let's do it.

So by the time we've traveled a little less than two feet (24 inches) in the (x)-direction the (y) coordinate on the graph of (y=e^x) is already to the moon! Extreme indeed.


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1.3 Radicals and Rational Exponents

A hardware store sells 16-ft ladders and 24-ft ladders. A window is located 12 feet above the ground. A ladder needs to be purchased that will reach the window from a point on the ground 5 feet from the building. To find out the length of ladder needed, we can draw a right triangle as shown in Figure 1, and use the Pythagorean Theorem.

Now, we need to find out the length that, when squared, is 169, to determine which ladder to choose. In other words, we need to find a square root. In this section, we will investigate methods of finding solutions to problems such as this one.

Evaluating Square Roots

Principal Square Root

Does 25 = ± 5 ? 25 = ± 5 ?

Exemplo 1

Evaluating Square Roots

Solução

Using the Product Rule to Simplify Square Roots

To simplify a square root, we rewrite it such that there are no perfect squares in the radicand. There are several properties of square roots that allow us to simplify complicated radical expressions. The first rule we will look at is the product rule for simplifying square roots, which allows us to separate the square root of a product of two numbers into the product of two separate rational expressions. For instance, we can rewrite 15 15 as 3 ⋅ 5 . 3 ⋅ 5 . We can also use the product rule to express the product of multiple radical expressions as a single radical expression.

The Product Rule for Simplifying Square Roots

Como

Given a square root radical expression, use the product rule to simplify it.

  1. Factor any perfect squares from the radicand.
  2. Write the radical expression as a product of radical expressions.
  3. Simplificar.

Exemplo 2

Using the Product Rule to Simplify Square Roots

Simplify the radical expression.

Solução


  1. 100 ⋅ 3 Factor perfect square from radicand . 100 ⋅ 3 Write radical expression as product of radical expressions . 10 3 Simplify . 100 ⋅ 3 Factor perfect square from radicand . 100 ⋅ 3 Write radical expression as product of radical expressions . 10 3 Simplify .

  2. 81 a 4 b 4 ⋅ 2 a Factor perfect square from radicand . 81 a 4 b 4 ⋅ 2 a Write radical expression as product of radical expressions . 9 a 2 b 2 2 a Simplify . 81 a 4 b 4 ⋅ 2 a Factor perfect square from radicand . 81 a 4 b 4 ⋅ 2 a Write radical expression as product of radical expressions . 9 a 2 b 2 2 a Simplify .

Como

Given the product of multiple radical expressions, use the product rule to combine them into one radical expression.

  1. Express the product of multiple radical expressions as a single radical expression.
  2. Simplificar.

Exemplo 3

Using the Product Rule to Simplify the Product of Multiple Square Roots

Simplify the radical expression.
12 ⋅ 3 12 ⋅ 3

Solução

12 ⋅ 3 Express the product as a single radical expression . 36 Simplify . 6 12 ⋅ 3 Express the product as a single radical expression . 36 Simplify . 6

Using the Quotient Rule to Simplify Square Roots

Just as we can rewrite the square root of a product as a product of square roots, so too can we rewrite the square root of a quotient as a quotient of square roots, using the quotient rule for simplifying square roots. It can be helpful to separate the numerator and denominator of a fraction under a radical so that we can take their square roots separately. We can rewrite 5 2 5 2 as 5 2 . 5 2 .

The Quotient Rule for Simplifying Square Roots

Como

Given a radical expression, use the quotient rule to simplify it.

  1. Write the radical expression as the quotient of two radical expressions.
  2. Simplify the numerator and denominator.

Exemplo 4

Using the Quotient Rule to Simplify Square Roots

Simplify the radical expression.

Solução

5 36 Write as quotient of two radical expressions . 5 6 Simplify denominator . 5 36 Write as quotient of two radical expressions . 5 6 Simplify denominator .

Exemplo 5

Using the Quotient Rule to Simplify an Expression with Two Square Roots

Simplify the radical expression.

Solução

234 x 11 y 26 x 7 y Combine numerator and denominator into one radical expression . 9 x 4 Simplify fraction . 3 x 2 Simplify square root . 234 x 11 y 26 x 7 y Combine numerator and denominator into one radical expression . 9 x 4 Simplify fraction . 3 x 2 Simplify square root .

Simplify 9 a 5 b 14 3 a 4 b 5 . 9 a 5 b 14 3 a 4 b 5 .

Adding and Subtracting Square Roots

Como

Given a radical expression requiring addition or subtraction of square roots, simplify.

Exemplo 6

Adding Square Roots

Solução

Exemplo 7

Subtracting Square Roots

Subtract 20 72 a 3 b 4 c − 14 8 a 3 b 4 c . 20 72 a 3 b 4 c − 14 8 a 3 b 4 c .

Solução

Rewrite each term so they have equal radicands.

Now the terms have the same radicand so we can subtract.

Rationalizing Denominators

When an expression involving square root radicals is written in simplest form, it will not contain a radical in the denominator. We can remove radicals from the denominators of fractions using a process called rationalizing the denominator.

We know that multiplying by 1 does not change the value of an expression. We use this property of multiplication to change expressions that contain radicals in the denominator. To remove radicals from the denominators of fractions, multiply by the form of 1 that will eliminate the radical.

For a denominator containing a single term, multiply by the radical in the denominator over itself. In other words, if the denominator is b c , b c , multiply by c c . c c .

For a denominator containing the sum or difference of a rational and an irrational term, multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator, which is found by changing the sign of the radical portion of the denominator. If the denominator is a + b c , a + b c , then the conjugate is a − b c . a − b c .

Como

Given an expression with a single square root radical term in the denominator, rationalize the denominator.


Assista o vídeo: Potenser med negative grunntall (Novembro 2021).