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5.4E: Dividindo Polinômios (Exercícios) - Matemática


Para os exercícios a seguir, use a divisão longa para encontrar o quociente e o resto.

19. ( frac {x ^ {3} -2 x ^ {2} +4 x + 4} {x-2} )

20. ( frac {3 x ^ {4} -4 x ^ {2} +4 x + 8} {x + 1} )

Para os exercícios a seguir, use a divisão sintética para encontrar o quociente. Se o divisor for um fator, escreva a forma fatorada.

21. ( frac {x ^ {3} -2 x ^ {2} +5 x-1} {x + 3} )

22. ( frac {x ^ {3} +4 x + 10} {x-3} )

23. ( frac {2 x ^ {3} +6 x ^ {2} -11 x-12} {x + 4} )

24. ( frac {3 x ^ {4} +3 x ^ {3} +2 x + 2} {x + 1} )


Planilhas da Divisão de Polinômios

Incorpore esta ampla gama de PDFs de planilha de divisão de polinômios com exercícios para dividir monômios por monômios, polinômios por monômios e polinômios por polinômios, empregando métodos como fatoração, divisão sintética, divisão longa e método de caixa. Exercícios no formato de palavra são incluídos para alunos do ensino médio aplicarem o conceito de divisão polinomial para encontrar a área e o volume. Acesse algumas dessas planilhas gratuitamente!

Obtenha ampla prática na divisão de monômios com este conjunto de planilhas para impressão. Você também pode aplicar as leis dos expoentes para resolver os problemas.

Aprimore suas habilidades na divisão de polinômios por monômios, dividindo a expressão polinomial termo por termo e dividindo cada termo com o monômio. Use a regra do expoente para simplificar os termos individuais.

Utilize este método alternativo para dividir polinômios fatorando-os. Fatore os fatores comuns do numerador e denominador e, a seguir, cancele-os para simplificar os polinômios.

Equipe-se com o método de divisão sintética que é útil ao dividir um polinômio por um binômio linear. Obtenha a raiz do fator dado, divida o polinômio e determine o quociente.

Aprimore suas habilidades de divisão de polinômios usando divisão sintética com essas planilhas para impressão! Organize os coeficientes na ordem do apt e execute o processo usual para chegar ao quociente e ao resto diferente de zero.

Configure a soma da divisão organizando os termos em ordem decrescente dos expoentes e substitua os termos ausentes por coeficientes zero, divida até obter zero como o resto.

Aumente sua prática com este conjunto de planilhas em PDF com polinômios que deixam sobras na divisão. Aplique o método de divisão longa e descubra o quociente e o restante dos polinômios aqui.

Familiarize os alunos do ensino médio com o método de caixa ou grade para dividir polinômios. Determine o quociente facilmente organizando o divisor na grade, divida os termos passo a passo e preencha as grades de acordo.

Ganhe conhecimento profundo do processo de divisão da grade polinomial com este conjunto de recursos de método tabular para impressão! Siga as etapas, conecte os valores do apt nas grades e encontre o quociente e o restante dos polinômios.

Aplique o conceito de divisão de polinômios nessas planilhas em PDF interessantes com exercícios no formato de palavra. Encontre a área, comprimentos diagonais, parâmetros ausentes ou volume das formas fornecidas.


Suponha que você receba dois polinômios e queremos dividir um polinômio por outro. Um método é a divisão longa, um processo semelhante à divisão longa de dois números inteiros. Usarei um exemplo ao explicar cada etapa ao longo do caminho.

Suponha que queremos dividir x 2 + 3x + 5 por x + 1. Configure a divisão longa como faria com números inteiros, com o primeiro polinômio (chamado de dividendo) sob a linha de divisão longa e o polinômio pelo qual estamos dividindo (chamado de divisor) à esquerda:

Certifique-se de escrever os termos da esquerda para a direita, do grau mais alto ao mais baixo, tanto para o dividendo quanto para o divisor.

O longo processo de divisão é o seguinte: imagine pegar apenas o termo de maior grau do dividendo (em nosso exemplo, x2) e dividi-lo pelo termo de maior grau do divisor (em nosso exemplo, x). O resultado é o primeiro termo do nosso & quotquotiente & quot. Em nosso exemplo, o resultado será x. Normalmente, você deve escrever a resposta acima do termo do mesmo grau que o resultado:

Agora, pegue o resultado e multiplique-o pelo divisor inteiro:

Escreva este resultado abaixo do dividendo, certificando-se de alinhar cada termo do resultado sob o termo no dividendo com o mesmo grau:

Agora, temos que subtrair nosso resultado x 2 + x do dividendo. Uma maneira de fazer isso sem perder o controle dos sinais é reverter todos os sinais dos termos do nosso resultado e adicionar termos semelhantes:

Observe que o primeiro termo sempre será cancelado (e possivelmente outros também serão). Depois de escrever o que sobrou, reduza o próximo termo do dividendo que ainda não usamos:

Agora, repetimos o processo de divisão longa, pegando o grau mais alto de nosso novo polinômio (que é 2x) e dividindo-o pelo termo de grau mais alto do divisor (novamente, x), o resultado é 2. Esse é o nosso segundo termo de nosso quociente, e o escrevemos da seguinte maneira:

Como antes, multiplique 2 por x + 1 e escreva o resultado abaixo de 2x + 5 (alinhando termos semelhantes), troque os sinais e adicione:

Paramos quando não temos mais termos para derrubar. O resultado da última etapa é o restante. Portanto, o quociente é x + 2 e o resto é 3.

É comum escrever a resposta da seguinte forma:

Divida os polinômios x 4 + 3x 2 - 5 e x 2 + 4x.

Primeiro escrevemos em forma de divisão longa

Em seguida, decida o que precisamos multiplicar por x 2 para obter x 4. Como x 2 * x 2 = x 4, podemos escrever

Em seguida, multiplicamos x 2 + 7x e x 2.

Agora subtraia para obter e abaixe 3x 2 para obter

Repetimos esse processo até que o grau do resto seja menor que o grau do denominador.


Usando a divisão longa para dividir polinômios

Estamos familiarizados com o algoritmo da aritmética comum. Começamos dividindo nos dígitos do dividendo que tem o maior valor nominal. Nós dividimos, multiplicamos, subtraímos, incluímos o dígito na próxima posição de valor e repetimos. Por exemplo, vamos dividir 178 por 3 usando divisão longa.

Outra maneira de ver a solução é como uma soma de partes. Isso deve parecer familiar, pois é o mesmo método usado para verificar a divisão na aritmética elementar.

Nós chamamos isso de Algoritmo de Divisão e o discutirei mais formalmente depois de examinar um exemplo.

A divisão de polinômios que contêm mais de um termo tem semelhanças com a divisão longa de números inteiros. Podemos escrever um dividendo polinomial como o produto do divisor e o quociente adicionado ao restante. Os termos da divisão polinomial correspondem aos dígitos (e valores de posição) da divisão de número inteiro. Este método nos permite dividir dois polinômios. Por exemplo, se dividíssemos 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 5 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 5 por x + 2 x + 2 usando o algoritmo de divisão longa, ficaria assim :

Podemos identificar o, o, o e o.

Escrever o resultado dessa maneira ilustra o algoritmo de divisão.

Observação: O Algoritmo de Divisão:

O afirma que, dado um dividendo polinomial f (x) f (x) e um divisor polinomial diferente de zero d (x) d (x), onde o grau de d (x) d (x) é menor ou igual ao grau de f (x), f (x), existem polinômios únicos q (x) q (x) e r (x) r (x) tais que

q (x) q (x) é o quociente er (x) r (x) é o resto. O resto é igual a zero ou tem grau estritamente menor que d (x). d (x).

Se r (x) = 0, r (x) = 0, então d (x) d (x) se divide uniformemente em f (x). f (x). Isso significa que, neste caso, tanto d (x) d (x) eq (x) q (x) são fatores de f (x). f (x).

Como:

  1. Configure o problema de divisão.
  2. Determine o primeiro termo do quociente dividindo o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor.
  3. Multiplique a resposta pelo divisor e escreva-a abaixo dos termos semelhantes do dividendo.
  4. Subtraia a parte inferior do binômio superior.
  5. Derrubar o próximo período do dividendo.
  6. Repita as etapas 2 a 5 até atingir o último termo do dividendo.
  7. Se o resto for diferente de zero, expresse como uma fração usando o divisor como denominador.

Exemplo 1

Problema 1

Usando a divisão longa para dividir um polinômio de segundo grau

Divida 5 x 2 + 3 x - 2 5 x 2 + 3 x - 2 por x + 1. x + 1.

Solução

O quociente é 5 x - 2. 5 x - 2. O restante é 0. Escrevemos o resultado como

Análise

Este problema de divisão tinha um resto de 0. Isso nos diz que o dividendo é dividido igualmente pelo divisor e que o divisor é um fator do dividendo.

Exemplo 2

Problema 1

Usando a divisão longa para dividir um polinômio de terceiro grau

Divida 6 x 3 + 11 x 2 - 31 x + 15 6 x 3 + 11 x 2 - 31 x + 15 por 3 x - 2. 3 x - 2.

Solução

Existe um resto de 1. Podemos expressar o resultado como:

Análise

Podemos verificar nosso trabalho usando o algoritmo de divisão para reescrever a solução. Em seguida, multiplique.

Observe, enquanto escrevemos nosso resultado,

  • o dividendo é 6 x 3 + 11 x 2 - 31 x + 15 6 x 3 + 11 x 2 - 31 x + 15
  • o divisor é 3 x - 2 3 x - 2
  • o quociente é 2 x 2 + 5 x - 7 2 x 2 + 5 x - 7
  • o restante é 1 1

Tente:

Exercício 1

Divida 16 x 3 - 12 x 2 + 20 x - 3 16 x 3 - 12 x 2 + 20 x - 3 por 4 x + 5. 4 x + 5.

Solução

4 x 2 - 8 x + 15 - 78 4 x + 5 4 x 2 - 8 x + 15 - 78 4 x + 5


Guia passo a passo para multiplicar e dividir monômios

  • Ao dividir dois monômios, você precisa dividir seus coeficientes e, em seguida, dividir suas variáveis.
  • No caso de expoentes com a mesma base, você precisa subtrair seus poderes.
  • Regras do expoente:
    ( color <>> ), ( color < frac= x ^>)
    ( color < frac <1>= x ^ <-b>>, color <(x ^ a) ^ b = x ^>)
    ( color <(xy) ^ a = x ^ a × y ^ a> )

Multiplicando e dividindo monômios & # 8211 Exemplo 1:

Multiplique expressões. ((8x ^ 5) (- 2x ^ 4) = )

Use a propriedade de multiplicação dos expoentes: ( color<>> → x ^ 5 × x ^ 4 = x ^ 9 )
Então: ((8x ^ 5) (- 2x ^ 4) = - 16x ^ 9 )

Multiplicando e dividindo monômios & # 8211 Exemplo 2:

Multiplicando e dividindo monômios & # 8211 Exemplo 3:

Multiplique expressões. ((- 3x ^ 7) (4x ^ 3) = )

Use a propriedade de multiplicação dos expoentes: ( color<>> → x ^ 7 × x ^ 3 = x ^ <10> )
Então: ((- 3x ^ 7) (4x ^ 3) = - 12x ^ <10> )


DIVISÃO DE POLINOMIAIS POR PLANILHA DE DIVISÃO LONGA

Para dividir o polinômio dado por x - 2, temos que dividir o primeiro termo do polinômio P (x) pelo primeiro termo do polinômio g (x).

Se dividirmos & # xa0 2 x 3 & # xa0by x, temos 2 x 2 . Agora temos que multiplicar isso & # xa0 2 x 2 & # xa0by x - 2. Disto obtemos & # xa0 2 x 3 & # xa0- 4 x 2 . & # xa0

Agora temos que subtrair & # xa0 2 x 3 & # xa0- 4 x 2 & # xa0 do polinômio fornecido. Então temos -2 x 2 & # xa0 + 5x + 4.

Agora temos que subtrair & # xa0 2 x 3 & # xa0- 4 x 2 & # xa0 do polinômio fornecido. Portanto, obtemos -2x 2 & # xa0 + 5x + 4.

repita este processo até obter o grau de p (x) & # xa0 ≥ & # xa0degree & # xa0 de g (x).

Faça a seguinte divisão: & # xa0

Faça a seguinte divisão: & # xa0

Faça a seguinte divisão: & # xa0

Vamos primeiro escrever os termos de cada polinômio em ordem decrescente (ou ordem crescente & # xa0).

Assim, o problema dado torna-se & # xa0 (10- 4x + 3x 2) & # xa0 ÷ & # xa0 (x - 2)

Na primeira etapa, vamos dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor.

Depois de mudar os sinais, + 3x 2 & # xa0 e -3 x 2 & # xa0 serão cancelados. Simplificando, obtemos 2x + 10.

Na segunda etapa novamente, vamos dividir o primeiro termo que é 2x pelo primeiro termo do divisor que é x.

Além do material fornecido acima, se você precisar de qualquer outro material em matemática, use nossa pesquisa personalizada do Google aqui.

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Sempre apreciamos seus comentários. & # Xa0

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Os matemáticos não são as pessoas que acham a matemática fácil; são as pessoas que gostam de como ela é misteriosa, intrigante e difícil. Você é um matemático?

Comentário registrado na página 'Iniciador do Dia' de 9 de outubro pelo Sr. Jones, País de Gales:

& quotAcho que ter uma iniciação do dia ajuda a melhorar a matemática em geral. Meus alunos dizem que os amam. & quot

Comentário gravado na página 'Iniciação do Dia' de 25 de junho por [email protected] e essex.herts.sch.uk,:

& quotNós todos amamos suas entradas. É tão bom ter uma coleção dessas. Nós os usamos para todas as faixas etárias e habilidades. Gostei particularmente do jogo de KIM, já que nunca o usamos para matemática antes. Continue o bom trabalho e muito obrigado
Os melhores votos de Inger Kisby & quot

A cada mês é publicado um boletim informativo contendo detalhes das novas adições ao site da Transum e um novo quebra-cabeça do mês.

O boletim informativo é então duplicado como um podcast que está disponível nas principais redes de distribuição. Você pode ouvir o podcast enquanto se desloca, faz exercícios ou relaxa.

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Boletim de Notícias

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Guia passo a passo para simplificar polinômios

  • Encontre termos “curtidos”. (eles têm as mesmas variáveis ​​com o mesmo poder).
  • Adicione ou subtraia termos “semelhantes” usando a ordem de operação.

Simplificando Polinômios & # 8211 Exemplo 1:

Simplifique esta expressão. (2x (2x-4) = )

Use a propriedade distributiva: (2x (2x − 4) = 4x ^ 2−8x )

Simplificando Polinômios & # 8211 Exemplo 2:

Simplifique esta expressão. (4x ^ 2 + 6x + 2x ^ 2-4x-3 = )

Primeiro, encontre os termos & # 8220like & # 8221 e combine-os: (4x ^ 2 + 2x ^ 2 = 6x ^ 2 ), (6x-4x = 2x )
Agora simplifique: (4x ^ 2 + 6x + 2x ^ 2-4x-3 = 6x ^ 2 + 2x-3 )

Simplificando Polinômios & # 8211 Exemplo 3:

Simplifique esta expressão. (4x (6x-3) = )

Usar propriedade distributiva: (4x (6x-3) = 24x ^ 2-12x )

Simplificando Polinômios & # 8211 Exemplo 4:

Simplifique esta expressão. (7x ^ 3 + 2x ^ 4 + 2x ^ 3-4x ^ 4-8x = )

Primeiro encontre os termos & # 8220like & # 8221 e combine-os: (7x ^ 3 + 2x ^ 3 = 10x ^ 3 ), (2x ^ 4-4x ^ 4 = -2x ^ 4 )
Agora simplifique e escreva na forma padrão: (7x ^ 3 + 2x ^ 4 + 2x ^ 3-4x ^ 4-8x = -2x ^ 4 + 10x ^ 3-8x )


Soluções NCERT para matemática da classe 10, capítulo 2: polinômios

Aqui, oferecemos uma visão geral e os exercícios envolvidos no Capítulo 2 de Matemática da Classe 10. Além disso, o Capítulo 2 de Soluções NCERT para Matemática da Classe 10 consiste no Exercício 2.1, Exercício 2.2, Exercício 2.3 e Exercício 2.4. Além disso, os alunos podem fazer o download das Polinômios NCERT Solutions para Matemática da Aula 10, por meio de exercícios, nos links fornecidos abaixo de forma tabulada:

Exercício 2.1Introdução
Exercício 2.2Significado geométrico dos zeros de um polinômio
Exercício 2.3Relação entre zeros e coeficientes de um polinômio
Exercício 2.4Algoritmo de divisão para polinômios

Soluções NCERT para matemática da classe 10, capítulo 2: polinômios (exercícios resolvidos)

Os alunos podem baixar o CBSE Solutions PDF for Class 10 Maths Chapter 2 no link abaixo ou adicione esta página aos favoritos para ver as respostas quando necessário:

As soluções para o Capítulo 2 de matemática da classe 10 fornecidas neste artigo incluem as respostas a todas as perguntas dos exercícios de uma maneira simples e compreensível. Para entrar em detalhes, as Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 2, envolve vários exercícios, como Exercício 2.1, Exercício 2.2, Exercício 2.3 e Exercício 2.4. Os alunos podem consultar o PDF de soluções para resolver suas tarefas e trabalhos de casa no prazo. Mastering Polynomials NCERT Solutions vai certamente ajudar os alunos em sua preparação para o exame de placa da classe 10.

CBSE Class 10 Maths Capítulo 2: Polinômios

O estudo de polinômios aqui é a continuação dos tópicos estudados na Aula 9. Polinomial é uma expressão que consiste em variáveis ​​e coeficientes, que envolve apenas as operações de adição, subtração, multiplicação e expoentes inteiros não negativos.

Os polinômios desempenham um papel importante na descrição dos fenômenos mais naturais ao nosso redor. De equações newtonianas ao projeto de uma montanha-russa, os polinômios são parte integrante de quase tudo que se pode expressar em noções matemáticas.

Um polinômio, em particular, tem uma ampla gama de aplicações. Para citar alguns, temos o seguinte:

  1. O mais famoso Equação newtoniana que descreve o deslocamento de um objeto é um exemplo de um polinômio. A equação é a seguinte: s = ut + ½at².
  2. Estatísticos usar modelos matemáticos, baseados em polinômios, para analisar e interpretar dados e chegar às conclusões necessárias. No planejamento financeiro, os polinômios são usados ​​para calcular a taxa de juros com base no valor do principal e no número de anos.
  3. Polinômios também são usados ​​em Meteorologia. Do mapeamento de padrões climáticos ao rastreamento de caminhos de objetos celestes, os polinômios são úteis.
  4. Vários carreiras de engenharia também usam polinômios. Engenheiros aeroespaciais, mecânicos e elétricos são obrigados a usar polinômios para projetar em seus respectivos campos. A indústria aeroespacial pode exigir o projeto de foguetes, enquanto o campo mecânico precisa do projeto de vários motores. Quedas de tensão em elétrica e eletrônica também são expressas como polinômios.
  5. Polinômios também são usados ​​em campos médicos, para monitorar o estado dos pacientes, sua ingestão e as condições corporais.
  6. Projetando um montanha russa e sua trajetória também usa polinômios.

Significado geométrico dos zeros de um polinômio, a relação entre zeros e coeficientes de um polinômio e algoritmo de divisão para polinômios são alguns dos outros tópicos principais abordados no capítulo Polinômios de Matemática da Classe 10. Neste capítulo, você também aprenderá instruções e problemas simples no algoritmo de divisão para polinômios com coeficientes reais.

Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 1Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 3 Soluções NCERT para Matemática da Classe 10 (todos os capítulos)

Vantagens do Embibe & # 8217s Soluções NCERT para Matemática da Classe 10 Capítulo 2

Algumas das vantagens de seguir Soluções NCERT pela Embibe são fornecidos abaixo:

  1. Essas soluções NCERT são preparadas de forma elaborada e detalhada para que os alunos possam entender os tópicos facilmente.
  2. Com a ajuda de soluções NCERT em polinômios, os alunos podem aprender facilmente sobre os zeros e coeficientes de um polinômio e o algoritmo de divisão para polinômios.
  3. Nossos especialistas acadêmicos prepararam todas as soluções NCERT de acordo com o último programa revisado do CBSE e as diretrizes do NCERT.
  4. Os alunos podem usar essas soluções NCERT para fins de revisão antes do exame ou teste.
  5. As soluções NCERT da Embibe não irão ajudá-lo apenas na preparação para os exames do conselho, mas também para os exames competitivos e olimpíadas.
  6. As soluções NCERT da Embibe & # 8217s para todos os assuntos podem ser acessadas e baixadas gratuitamente.

Perguntas frequentes sobre soluções NCERT para matemática da classe 10, capítulo 2

Algumas das perguntas mais frequentes são fornecidas abaixo:

A. O grau do polinômio fornecido é 5.

A. O valor de & # 8216a & # 8217 é 0 e & # 8216b & # 8217 é -6.

A. O produto dos outros dois zeros é (b - a + 1).

Pratique a aula 10 questões de matemática com o Embibe

Neste artigo, fornecemos a você todas as informações necessárias sobre as Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 2 e Polinômios # 8211. Para testar melhor o seu comando sobre polinômios, você pode pegar um Teste Polinomial Simulado no Embibe. Com a ajuda de questões práticas e testes de simulação em polinômios, os alunos podem facilmente garantir boas notas neste capítulo.

Junto com o NCERT Solutions, a Embibe oferece vários outros recursos para os alunos da Classe 10. Na Embibe, você pode resolver Perguntas práticas da classe 10 do CBSE ou pegue Testes Simulados Classe 10 de graça. Faça o melhor com as soluções, exemplos de perguntas e testes simulados fornecidos pela Embibe e melhore sua pontuação.

Esperamos que este artigo detalhado sobre Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 2 e Polinômios # 8211 ajude você.

Se você tiver alguma dúvida sobre este artigo sobre polinômios, deixe suas perguntas na seção de comentários abaixo e nós entraremos em contato com você o mais breve possível.


Polinômios - Exercício 8.2 - Classe X

Dado, temos que dividir p (x) por g (x), ou seja, temos que dividir x 2 + 4x + 4 por x + 2.

Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

⸫ o algoritmo de divisão é verificado.

(ii) p (x) = x 2 - 9x + 9, g (x) = x - 3

Dado, temos que dividir p (x) por g (x), ou seja, temos que dividir x 2 - 9x + 9 por x - 3.

Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

⸫ o algoritmo de divisão é verificado.

(iii) p (x) = x 3 + 4x 2 -5x + 6, g (x) = x + 1

Dado, temos que dividir p (x) por g (x), ou seja, temos que dividir x 3 + 4x 2 -5x + 6 por x + 1.

Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

Aqui, p (x) = x 3 + 4x 2 & # 8211 5x + 6

= x 3 + 3x 2 - 8x + x 2 + 3x - 8 + 14

⸫ o algoritmo de divisão é verificado.

(iv) p (x) = x 4 & # 8211 3x 2 - 4, g (x) = x + 2

Dado, temos que dividir p (x) por g (x), ou seja, temos que dividir x 4 & # 8211 3x 2 - 4 por x + 2.

Quociente, q (x) = (x 3 - 2x 2 + x & # 8211 2)

Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

⸫ p (x) = [(x + 2) * (x 3 - 2x 2 + x & # 8211 2)] + 0

= [x 4 - 2x 3 + x 2 - 2x + 2x 3 - 4x 2 + 2x & # 8211 4] + 0

⸫ o algoritmo de divisão é verificado.

(v) p (x) = x 3 - 1, g (x) = x - 1

Dado, temos que dividir p (x) por g (x), ou seja, temos que dividir x 3 & # 8211 1 por x & # 8211 1.

Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

= [x 3 + x 2 + x - x 2 - x & # 8211 1] + 0

⸫ o algoritmo de divisão é verificado.

(vi) p (x) = x 4 - 4x 2 + 12x + 9, g (x) = x 2 + 2x - 3

Dado, temos que dividir p (x) por g (x), ou seja, temos que dividir x 4 - 4x 2 + 12x + 9 por x 2 + 2x - 3.

Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

Aqui, p (x) = x 4 - 4x 2 + 12x + 9

⸫ p (x) = [(x 2 - 2x + 3) * (x 2 + 2x - 3)] + 18

= [x 4 + 2x 3 - 3x 2 - 2x 3 & # 8211 4x 2 + 6x + 3x 2 + 6x & # 8211 9] + 18

⸫ o algoritmo de divisão é verificado.

  1. Encontre o divisor g (x), quando o polinômio p (x) = 4x 3 + 2x 2 - 10x +2 é dividido por g (x) e o quociente e o restante obtido são (2x 2 + 4x + 1) e 5 respectivamente.

Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

= (4x ^ 3 + 2x ^ 2 - 10x +2) - (5) /2x ^ 2 + 4x + 1

= 4x ​​^ 3 + 2x ^ 2 - 10x +2 - 5 /2x ^ 2 + 4x + 1

= 4x ​​^ 3 + 2x ^ 2 - 10x & # 8211 3 /2x ^ 2 + 4x + 1

  1. Ao dividir o polinômio p (x) = x 3 - 3x 2 + x + 2 por um polinômio g (x), o quociente e o resto foram (x - 2) e (-2x + 4), respectivamente. Encontre g (x)

Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

  1. Um polinômio p (x) id dividido por g (x), o quociente obtido q (x) e o restante são dados na tabela. Encontre op (x) em cada caso.

(i) Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

= x 3 - x 2 + x - 2x 2 + 2x - 2 + 4

(ii) Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

p (x) = [(x + 3) * (2x 2 + x + 5)] + (3x + 1)

= 2x 3 + x 2 + 5x + 6x 2 + 3x + 15 + 3x + 1

(iii) Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

p (x) = (2x + 1) (x 3 + 3x 2 - x + 1) + 0

= 2x 4 + 6x 3 - 2x 2 + 2x + x 3 + 3x 2 - x + 1

(iv) Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

p (x) = (x 3 - x 2 - x - 1) * (x - 1) + (2x - 4)

= x 4 - x 3 - x 2 - x - x 3 + x 2 + x + 1 + 2x - 4

(v) Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

p (x) = (x 2 + 2x + 1) (x 4 & # 8211 2x 2 + 5x - 7) + 4x + 12

= x 6 - 2x 4 + 5x 3 - 7x 2 + 2x 5 - 4x 3 + 10x 2 - 14x + x 4 - 2x 2 + 5x - 7 + 4x + 12

p (x) = x 6 + 2x 5 - x 4 + x 3 + x 2 - 5x + 5

  1. Encontre o quociente e o resto ao dividir p (x) por g (x) em cada um dos seguintes casos, sem divisão real

(i) p (x) = x 2 + 7x + 10 g (x) = x - 2

⸫Grau do quociente q (x) = 2 - 1 = 1 e grau do resto r (x) é 0.

Seja q (x) = ax + b (polinômio de grau 1) e o resto, r (x) = k

Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

x 2 + 7x + 10 = (x - 2) * (ax + b) + k

x 2 + 7x + 10 = ax 2 + bx - 2ax - 2b + k

x 2 + 7x + 10 = ax 2 + x (b - 2a) - 2b + k

Vamos comparar os coeficientes de x 2, x e k para obter os valores de a, b e k

⸫ a = 1 coeficientes de x 2 em ambos os lados

⸫ b - 2a = 7 coeficientes de x em ambos os lados

⸫ 10 = -2b + k constantes em ambos os lados

Temos que resolver essas equações para obter o valor de a, be k

k = 10 + 2b = 10 + 9 & # 2152 = 10 + 18 = 28

Portanto, quociente = x + 9 e o restante 28.

(ii) p (x) = x 3 + 4x 2 - 6x + 2 g (x) = x - 3

⸫Grau do quociente q (x) = 3 - 1 = 2 e grau do resto r (x) é 0.

Seja q (x) = ax 2 + bx + c (polinômio de grau 1) e o restante, r (x) = k

Por algoritmo de divisão para polinômios, p (x) = [g (x) * q (x)] + r (x)

x 3 + 4x 2 - 6x + 2 = (x - 3) * (ax 2 + bx + c) + k

x 3 + 4x 2 - 6x + 2 = ax 3 + bx 2 + cx - 3ax 2 - 3bx - 3c + k

x 3 + 4x 2 - 6x + 2 = ax 3 + x 2 (b - 3a) + x (c - 3b) - 3c + k

Vamos comparar os coeficientes de x 3, x 2, x e k para obter os valores de a, b, c e k

⸫ a = 1 coeficientes de x 3 em ambos os lados

⸫ b - 3a = 4 coeficientes de x 2 em ambos os lados

⸫ -6 = c - coeficientes 3b de x em ambos os lados

⸫ 2 = -3c + k constantes em ambos os lados

Resolva essas equações para obter o valor de a, be k

k = 2 + 3c = 2 + 3 & # 21515 = 2 + 45 = 47

Dado que q (x) = ax 2 + bx + c = x 2 + 7x + 15

Portanto, quociente = x 2 + 7x + 15 e o restante 47.

  1. O que deve ser subtraído de (x 3 + 5x 2 + 5x + 8) para que o polinômio resultante seja exatamente divisível por (x 2 + 3x - 2)?

Para encontrar o que deve ser subtraído de (x 3 + 5x 2 + 5x + 8) de modo que o polinômio resultante seja exatamente divisível por (x 2 + 3x - 2), precisamos dividir x 3 + 5x 2 + 5x + 8 por x 2 + 3x - 2

Ao dividir x 3 + 5x 2 + 5x + 8 por x 2 + 3x - 2, obtemos o quociente q (x) = (x +2) e o restante r (x) = (-x + 8).

Portanto, devemos subtrair (-x + 8) de (x 3 + 5x 2 + 5x + 8) para que o polinômio resultante seja exatamente divisível por (x 2 + 3x - 2).

Para encontrar o que deve ser adicionado a (x 4 - 1) de forma que seja exatamente divisível por (x 2 + 2x + 1), precisamos dividir x 4 - 1 de x 2 + 2x + 1

Ao dividir x 4 - 1 por x 2 + 2x + 1, obtemos o quociente q (x) = (x 2 - 2x + 3) e o restante r (x) = (-4x & # 8211 4).

Portanto, devemos adicionar (4x + 4) de (x 4 & # 8211 1) para que o polinômio resultante seja exatamente divisível por (x 2 + 2x + 1).