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6.3: Trinômios de fatoração da forma ax² + bx + c


objetivos de aprendizado

  • Fatore trinômios da forma (ax ^ {2} + bx + c ).
  • Fatore trinômios com um fator comum.

Fatorando trinômios da forma (ax ^ {2} + bx + c )

Fatorar trinômios da forma (ax ^ {2} + bx + c ) pode ser desafiador porque o termo do meio é afetado pelos fatores de (a ) e (c ). Para ilustrar isso, considere o seguinte trinômio fatorado:

(10x ^ {2} + 17x + 3 = (2x + 3) (5x + 1) )

Podemos multiplicar para verificar se esta é a fatoração correta.

( begin {alinhados} (2x + 3) (5x + 1) & = 10x ^ {2} + 2x + 15x + 3 & = 10x ^ {2} + 17x + 3 quad color {Cerulean} { checkmark} end {alinhado} )

Como vimos antes, o produto dos primeiros termos de cada binômio é igual ao primeiro termo do trinômio. O termo médio do trinômio é a soma dos produtos dos termos externos e internos dos binômios. O produto dos últimos termos de cada binômio é igual ao último termo do trinômio. Visualmente, temos o seguinte:

Em geral,

( begin {alinhados} color {Cerúleo} {a} color {preto} {x ^ {2} +} color {Cerúleo} {b} color {preto} {x +} color {Cerúleo} { c} & = (px + m) (qx + n) & = pqx ^ {2} + pnx + qmx + mn & = color {Cerulean} {pq} color {black} {x ^ { 2} +} color {Cerúleo} {(pn + qm)} color {preto} {x +} color {Cerúleo} {mn} end {alinhado} )

Isso nos dá,

[a = pq quad text {e} quad b = pn + qm, quad text {onde} quad c = mn ]

Em suma, quando o coeficiente líder de um trinômio é diferente de (1 ), haverá mais a considerar ao determinar os fatores usando o método de tentativa e erro. A chave está na compreensão de como o meio termo é obtido. Multiplique ((2x + 5) (3x + 7) ) e siga cuidadosamente a formação do termo do meio.

( begin {array} {ccc} {( color {Cerúleo} {2x} color {black} {+} color {OliveGreen} {5} color {black} {) (3x + 7) = color {Cerulean} {2x} color {black} { cdot 3x}}} & { underbrace {+ color {Cerulean} {2x} color {black} { cdot 7 +} color {OliveGreen} { 5} color {black} { cdot 3x}}} & {+ color {OliveGreen} {5} color {black} { cdot 7}} {} & { color {Cerulean} {middle : term}} & {} end {array} )

( begin {alinhado} & = 6x ^ {2} + 14x + 15x + 35 & = 6x ^ {2} + 29x + 35 end {alinhado} )

Se pensarmos no método FOIL para multiplicar binômios, o termo do meio resulta da soma do produto interno e do produto externo. Neste caso, (14x + 15x = 29x ), conforme ilustrado abaixo:

Por esse motivo, precisamos buscar produtos dos fatores do primeiro e do último termos cuja soma seja igual ao coeficiente do meio termo. Por exemplo, para fatorar (6x ^ {2} + 29x + 35 ), observe os fatores de (6 ) e (35 ).

( begin {array} {ccc} {6 = 1 cdot 6} & { quad} & {35 = 1 cdot 35} {= color {OliveGreen} {2 cdot 3}} & { quad} & {= color {OliveGreen} {5 cdot 7}} end {array} )

A combinação que produz o coeficiente do termo do meio é (2⋅7 + 3⋅5 = 14 + 15 = 29 ). Certifique-se de que os termos externos tenham coeficientes (2 ) e (7 ), e que os termos internos tenham coeficientes (5 ) e (3 ). Use esta informação para fatorar o trinômio:

( begin {alinhados} 6x ^ {2} + 29x + 35 & = (2x quad color {Cerulean} {?} color {black} {) (3x} quad color {Cerulean} {?} cor {preto} {)} & = (2x + 5) (3x + 7) end {alinhado} )

Exemplo ( PageIndex {1} )

Fator:

(3x ^ {2} + 7x + 2 ).

Solução:

Como o coeficiente líder e o último termo são primos, só há uma maneira de fatorar cada um.

(3 = 1 cdot 3 quad text {e} quad 2 = 1 cdot 2 )

Comece escrevendo os fatores do primeiro termo, (3x ^ {2} ), como segue:

(3x ^ {2} + 7x + 2 = (x quad color {Cerúleo} {?} Color {preto} {) (3x} quad color {Cerúleo} {?} Color {preto} { )} )

O meio e o último termo são ambos positivos; portanto, os fatores de (2 ) são escolhidos como números positivos. Nesse caso, a única escolha é em qual agrupamento colocar esses fatores.

((x + 1) (3x + 2) quad text {ou} quad (x + 2) (3x + 1) )

Determine qual agrupamento está correto multiplicando cada expressão.

( begin {alinhados} (x + 1) (3x + 2) & = 3x ^ {2} + 2x + 3x + 2 & = 3x ^ {2} + 5x + 2 quad color {red} {x} (x + 2) (3x + 1) & = 3x ^ {2} + x + 6x + 2 & = 3x ^ {2} + 7x + 2 quad color {Cerulean} { marca de seleção} end {alinhado} )

Observe que esses produtos diferem apenas em seus termos intermediários. Além disso, observe que o termo do meio é a soma do produto interno e externo, conforme ilustrado abaixo:

Responder:

((x + 2) (3x + 1) )

Exemplo ( PageIndex {2} )

Fator:

(12x ^ {2} + 38x + 20 ).

Solução:

Primeiro, considere os fatores do primeiro e do último termos.

( begin {array} {ccc} {12 = 1 cdot 12} & { quad} & {20 = 1 cdot 20} {= 2 cdot 6} & { quad} & {= 2 cdot 10} {= 3 cdot 4} & { quad} & {= 4 cdot 5} end {array} )

Procuramos produtos de fatores cuja soma é igual ao coeficiente do meio termo, (38 ). Para resumir, o processo de pensamento é ilustrado começando com os fatores (2 ) e (6 ). A fatoração começa neste ponto com o primeiro período.

(12x ^ {2} + 38x + 20 = (2x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {) (6x} quad color {Cerulean} {?} Color {black} { )} )

Procuramos fatores de 20 que, juntamente com os fatores de 12, produzem um termo médio de 38x

( begin {array} {lll} {Fatores : of : 20} & {Possível} & {fatoração} { color {Cerulean} {1 cdot 20}} & {(2x + 1) ( 6x + 20)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 46x}} { color {Cerulean} {1 cdot 20}} & {(2x + 20) (6x + 1)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 122x}} { color {Cerulean} {2 cdot 10}} & {(2x + 2) (6x + 10)} & { color { Cerúleo} {meio : termo Rightarrow 32x}} { color {Cerúleo} {2 cdot 10}} & {(2x + 10) (6x + 2)} & { color {Cerúleo} {médio : term Rightarrow 64x}} { color {Cerulean} {4 cdot 5}} & {(2x + 4) (6x + 5)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 34x }} { color {Cerulean} {4 cdot 5}} & { color {OliveGreen} {(2x + 5) (6x + 4)}} & { color {OliveGreen} {middle : term Rightarrow 38x} quad color {Cerulean} { checkmark}} end {array} )

Aqui, a última combinação produz um termo médio de (38x ).

Responder:

((2x + 5) (6x + 4) )

Exemplo ( PageIndex {3} )

Fator:

(10x ^ {2} −23x + 6 ).

Solução

Primeiro, considere os fatores do primeiro e do último termos.

( begin {array} {ccc} {10 = 1 cdot 10} & { quad} & {6 = 1 cdot 6} {= 2 cdot 5} & { quad} & {= 2 cdot 3} end {array} )

Estamos procurando produtos de fatores cuja soma é igual ao coeficiente do meio termo, (- 23 ). A fatoração começa neste ponto com dois conjuntos de parênteses em branco:

(10x ^ {2} -23x + 6 = ( quad) ( quad) )

Como o último termo é positivo e o do meio é negativo, sabemos que ambos os fatores do último termo devem ser negativos. Aqui listamos todas as combinações possíveis com os fatores de (10x ^ {2} = 2x⋅5x ).

(10x ^ {2} -23x + 6 = (2x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {) (5x} quad color {Cerulean} {?} Color {black} { )} )

( begin {array} {ll} {(2x-1) (5x-6)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -17x}} {(2x-6) (5x -1)} & { color {Cerúleo} {meio : termo Rightarrow -32x}} {(2x-2) (5x-3)} & { color {Cerúleo} {meio : termo Rightarrow -16x}} {(2x-3) (5x-2)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -19x}} end {array} )

Não há combinação que produza um termo médio de (- 23x ). Em seguida, passamos para os fatores de (10x ^ {2} = 10x⋅x ) e listamos todas as combinações possíveis:

(10x ^ {2} -23x + 6 = (10x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {) (x} quad color {Cerulean} {?} Color {black} { )} )

( begin {array} {ll} {(10x-1) (x-6)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -61x}} {(10x-6) (x -1)} & { color {Cerúleo} {meio : termo Rightarrow -162x}} {(10x-2) (x-3)} & { color {Cerúleo} {meio : termo Rightarrow -32x}} { color {OliveGreen} {(10x-3) (x-2)}} & { color {OliveGreen} {middle : term Rightarrow -23x} quad color {Cerulean} { checkmark}} end {array} )

E podemos escrever

Responder:

((10x-3) (x-2) ). A verificação completa é deixada para o leitor.

Podemos reduzir muitas das suposições envolvidas na fatoração de trinômios se considerarmos todos os fatores do primeiro e do último termos e seus produtos.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Fator:

(5x ^ {2} + 38x-16 ).

Solução:

Começamos com os fatores de (5 ) e (16 ).

( begin {array} {cc} {} & {16 = 1 cdot 16} {5 = 1 cdot 5} & {= 2 cdot 8} {} & {= 4 cdot 4 } end {array} )

Como o coeficiente líder é primo, podemos começar com o seguinte:

(5x ^ {2} + 38x-16 = (x quad color {Cerúleo} {?} Color {preto} {) (5x} quad color {Cerúleo} {?} Color {preto} { )} )

Procuramos produtos dos fatores de 5 e 16 que poderiam somar 38.

( begin {array} {lll} {Fatores : of : 16} & {Possível} & {produtos} { color {Cerulean} {1 cdot 16}} & {1 cdot color { Cerúleo} {1} : color {black} {e : 5} cdot color {Cerúleo} {16}} & { color {Cerúleo} {produtos Rightarrow : 1 : e : 80} } { color {Cerulean} {1 cdot 16}} & {1 cdot color {Cerulean} {16} : color {black} {and : 5} cdot color {Cerulean} { 1}} & { color {Cerulean} {products Rightarrow : 16 : and : 5}} { color {Cerulean} {2 cdot 8}} & {1 cdot color {Cerulean} {2} : color {black} {and : 5} cdot color {Cerulean} {8}} & { color {OliveGreen} {products Rightarrow : 2 : and : 40} quad color {Cerúleo} { checkmark}} { color {Cerúleo} {2 cdot 8}} & {1 cdot color {Cerúleo} {8} : color {preto} {e : 5 } cdot color {Cerúleo} {2}} & { color {Cerúleo} {produtos Rightarrow : 8 : e : 10}} { color {Cerúleo} {4 cdot 4}} & {1 cdot color {Cerúleo} {4} : color {black} {e : 5} cdot color {Cerúleo} {4}} & { color {Cerúleo} {produtos Rightarrow : 4 : e : 20}} end {array} )

Como o último termo é negativo, devemos procurar fatores com sinais opostos. Aqui podemos ver que os produtos 2 e 40 somam 38 se tiverem sinais opostos:

(1 cdot ( color {Cerúleo} {- 2} color {preto} {) + 5 cdot} color {Cerúleo} {8} color {preto} {= - 2 + 40 = 38} )

Portanto, use (- 2 ) e (8 ) como os fatores de (16 ), certificando-se de que os produtos internos e externos são (- 2x ) e (40x ):

Responder:

((x + 8) (5x-2) ). A verificação completa é deixada para o leitor.

Depois de muita prática, o processo descrito no exemplo anterior pode ser executado mentalmente.

Exercício ( PageIndex {1} )

Fator:

(12x ^ {2} -31x-30 )

Responder

((3x-10) (4x + 3) )

Quando dados trinômios com múltiplas variáveis, o processo é semelhante.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Fator:

(9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} ).

Solução:

Pesquise os fatores do primeiro e do último termos, de forma que a soma dos produtos interno e externo seja igual ao termo do meio.

( begin {array} {cc} {9x ^ {2} = 1x cdot 9x} & {25y ^ {2} = 1y cdot 25y} {= 3x cdot 3x} & {= 5y cdot 5y} end {array} )

Adicione os seguintes produtos para obter o termo do meio: (3x⋅5y + 3x⋅5y = 30xy ).

( begin {alinhado} 9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} & = (3x quad) (3x quad) & = (3x + 5y) (3x + 5y) & = (3x + 5y) ^ {2} end {alinhado} )

Neste exemplo, temos um trinômio quadrado perfeito. Verificar.

( begin {alinhados} (3x + 5y) ^ {2} & = 9x ^ {2} +2 cdot 3x cdot 5y + 25y ^ {2} & = 9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} quad color {Cerulean} { checkmark} end {alinhado} )

Responder:

((3x + 5y) ^ {2} )

Exercício ( PageIndex {2} )

Fator:

(16x ^ {2} −24xy + 9y ^ {2} ).

Responder

((4x-3a) ^ {2} )

Fatorando trinômios com fatores comuns

É uma boa prática fatorar primeiro o GCF, se houver. Isso produz um fator trinomial com coeficientes menores. Como vimos, os trinômios com coeficientes menores requerem muito menos esforço para fatorar. Essa etapa comumente esquecida vale a pena identificar logo.

Exemplo ( PageIndex {6} )

Fator:

(12x ^ {2} -27x + 6 ).

Solução:

Comece fatorando o GCF.

(12x ^ {2} -27x + 6 = 3 (4x ^ {2} -9x + 2) )

Depois de fatorar 3, os coeficientes do trinômio resultante são menores e têm menos fatores.

( begin {array} {cc} {4 = color {OliveGreen} {1 cdot 4}} & {2 = color {OliveGreen} {1 cdot 2}} {= 2 cdot 2} & {} end {array} )

Depois de alguma reflexão, podemos ver que a combinação que dá o coeficiente do termo do meio é (4 (−2) +1 (−1) = - 8−1 = −9 ).

( begin {align} 3 (4x ^ {2} -9x + 2) & = 3 (4x quad color {Cerulean} {?} color {black} {) (x} quad color {Cerulean } {?} color {black} {)} & = 3 (4x-1) (x-2) end {alinhado} )

Verificar.

( begin {alinhados} 3 (4x-1) (x-2) & = 3 (4x ^ {2} -8x-x + 2) & = 3 (4x ^ {2} -9x + 2) & = 12x ^ {2} -27x + 6 quad color {Cerúleo} { checkmark} end {alinhado} )

O fator (3 ) é parte da forma fatorada da expressão original; certifique-se de incluí-lo na resposta.

Responder:

(3 (4x-1) (x-2) )

É uma boa prática trabalhar consistentemente com trinômios onde o coeficiente principal é positivo.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Fator:

(- x ^ {2} + 2x + 15 ).

Solução

Neste exemplo, o coeficiente líder é (- 1 ). Antes de iniciar o processo de fatoração, fatorar o (- 1 ):

(- x ^ {2} + 2x + 15 = -1 (x ^ {2} -2x-15) )

Neste ponto, fatorar o trinômio restante como de costume, lembrando-se de escrever (- 1 ) como um fator em sua resposta final. Porque (3 + (−5) = −2 ), use (3 ) e (5 ) como os fatores de (15 ).

( begin {alinhados} -x ^ {2} + 2x = 15 & = - 1 (x ^ {2} -2x-15) & = - 1 (x quad) (x quad) & = - (x + 3) (x-5) end {alinhado} )

Responder:

(- 1 (x + 3) (x-5) ). O cheque é deixado para o leitor.

Exemplo ( PageIndex {8} )

Fator:

(- 60a ^ {2} -5a + 30 )

Solução

O GCF de todos os termos é (5 ). No entanto, neste caso, fatorar out (- 5 ) porque isso produz um fator trinomial onde o coeficiente líder é positivo.

(- 60a ^ {2} -5a + 30 = -5 (12a ^ {2} + a-6) )

Concentre-se nos fatores de (12 ) e (6 ) que se combinam para dar o coeficiente do meio, (1 ).

( begin {array} {cc} {12 = 1 cdot 12} & {6 = 1 cdot 6} {= 2 cdot 6} & {= color {OliveGreen} {2 cdot 3} } {= color {OliveGreen} {3 cdot 4}} & {} end {array} )

Depois de muito pensar, descobrimos que (3⋅3−4⋅2 = 9−8 = 1 ). Fatore o trinômio remanescente.

( begin {alinhados} -60a ^ {2} -5a + 30 & = - 5 (12a ^ {2} + a-6) & = - 5 (4a quad) (3a quad) & = -5 (4a + 3) (3a-2) end {alinhado} )

Responder:

(- 5 (4a + 3) (3a-2) ). O cheque é deixado para o leitor.

Exercício ( PageIndex {3} )

Fator:

(24 + 2x − x ^ {2} ).

Responder

(- 1 (x − 6) (x + 4) )

Fatoração usando o método AC

Nesta seção, fatoramos trinômios da forma (ax ^ {2} + bx + c ) usando o método AC descrito anteriormente.

Exemplo ( PageIndex {9} )

Fator usando o método AC:

(18x ^ {2} −21x + 5 ).

Solução:

Aqui (a = 18, b = −21 ) e (c = 5 ).

( begin {alinhado} ac & = 18 (5) & = 90 end {alinhado} )

Fatore (90 ) e pesquise os fatores cuja soma seja (- 21 ).

( begin {alinhados} 90 & = 1 (90) & = 2 (45) & = 3 (30) & = 5 (18) & = color {OliveGreen} {6 (15 )} quad color {Cerulean} { checkmark} & = 9 (10) end {alinhado} )

Nesse caso, a soma dos fatores (- 6 ) e (- 15 ) é igual ao coeficiente do meio, (- 21 ). Portanto, (- 21x = −6x − 15x ), e podemos escrever

(18x ^ {2} color {OliveGreen} {- 21x} color {black} {+ 5 = 18x ^ {2}} color {OliveGreen} {- 6x-15x} color {black} {+ 5 } )

Fatore a expressão equivalente por agrupamento.

( begin {alinhados} 18x ^ {2} -21x + 5 & = 18x ^ {2} -6x-15x + 5 & = 6x (3x-1) -5 (3x-1) & = ( 3x-1) (6x-5) end {alinhado} )

Responder:

((3x-1) (6x-5) )

Exemplo ( PageIndex {10} )

Fatore usando o método AC: (9x ^ {2} −61x − 14 ).

Solução:

Aqui (a = 9, b = −61 ) e (c = −14 ).

Fatoramos (- 126 ) da seguinte forma:

( begin {align} -126 & = 1 (-126) & = color {OliveGreen} {2 (-63)} quad color {Cerulean} { checkmark} & = 3 (-42 ) & = 6 (-21) & = 7 (-18) & = 9 (-14) end {alinhado} )

A soma dos fatores (2 ) e (- 63 ) é igual ao coeficiente do meio, (- 61 ). Substitua (- 61x ) por (2x − 63x ):

( begin {alinhados} 9x ^ {2} -61x-14 & = 9x ^ {2} + 2x-63x-14 quad color {Cerulean} {Reorganizar : os : termos.} & = 9x ^ {2} -63x + 2x-14 quad color {Cerulean} {Fator : por : agrupamento.} & = 9x (x-7) +2 (x-7) & = (x -7) (9x + 2) end {alinhado} )

Responder:

((x-7) (9x + 2) ). O cheque é deixado para o leitor.

Principais vantagens

  • Se um trinômio da forma (ax ^ {2} + bx + c ) fatora no produto de dois binômios, então o coeficiente do meio termo será a soma de certos produtos de fatores do primeiro e do último termos.
  • Se o trinômio tem um maior fator comum, então é uma prática recomendada primeiro fatorar o GCF antes de tentar fatorá-lo em um produto de binômios.
  • Se o coeficiente líder de um trinômio for negativo, é uma prática recomendada fatorar esse fator negativo antes de tentar fatorar o trinômio.
  • Fatorar trinômios da forma (ax ^ {2} + bx + c ) requer muita prática e paciência. É extremamente importante dedicar algum tempo para se tornar proficiente, trabalhando muitos exercícios.

Exercício ( PageIndex {4} ) Trinômios de fatoração

Fator.

  1. (3x ^ {2} −14x − 5 )
  2. (5x ^ {2} + 7x + 2 )
  3. (2x ^ {2} + 5x − 3 )
  4. (2x ^ {2} + 13x − 7 )
  5. (2x ^ {2} + 9x − 5 )
  6. (7x ^ {2} + 20x − 3 )
  7. (7x ^ {2} −46x − 21 )
  8. (3x ^ {2} + x − 2 )
  9. (5x ^ {2} + 34x − 7 )
  10. (5x ^ {2} −28x − 12 )
  11. (9x ^ {2} −12x + 4 )
  12. (4x ^ {2} −20x + 25 )
  13. (49x ^ {2} + 14x + 1 )
  14. (25x ^ {2} −10x + 1 )
  15. (2x ^ {2} + 7x + 16 )
  16. (6x ^ {2} −19x − 10 )
  17. (27x ^ {2} + 66x − 16 )
  18. (12x ^ {2} −88x − 15 )
  19. (12y ^ {2} −8y + 1 )
  20. (16y ^ {2} −66y − 27 )
  21. (9x ^ {2} −12xy + 4y ^ {2} )
  22. (25x ^ {2} + 40x + 16 )
  23. (15x ^ {2} −26xy + 8y ^ {2} )
  24. (12a ^ {2} −4ab − 5b ^ {2} )
  25. (4x ^ {2} y ^ {2} + 16xy − 9 )
  26. (20x ^ {2} y ^ {2} + 4xy − 7 )
  27. A área de um retângulo é dada pela função (A (x) = 3x ^ {2} −10x + 3 ), onde (x ) é medido em metros. Reescreva esta função de forma fatorada.
  28. A área de um retângulo é dada pela função (A (x) = 10x ^ {2} −59x − 6 ), onde (x ) é medido em metros. Reescreva esta função de forma fatorada.
Responder

1. ((x − 5) (3x + 1) )

3. ((x + 3) (2x − 1) )

5. ((x + 5) (2x − 1) )

7. ((x − 7) (7x + 3) )

9. ((x + 7) (5x − 1) )

11. ((3x − 2) ^ {2} )

13. ((7x + 1) ^ {2} )

15. Prime

17. ((3x + 8) (9x − 2) )

19. ((6y − 1) (2y − 1) )

21. ((3x − 2y) ^ {2} )

23. ((3x − 4y) (5x − 2y) )

25. ((2xy − 1) (2xy + 9) )

27. (A (x) = (3x − 1) (x − 3) )

Exercício ( PageIndex {5} ) fatorando trinômios com fatores comuns

Fator.

  1. (6x ^ {2} −20x − 16 )
  2. (45x ^ {2} + 27x − 18 )
  3. (20x ^ {2} −20x + 5 )
  4. (3x ^ {2} + 39x − 90 )
  5. (16x ^ {2} + 26x − 10 )
  6. (54x ^ {2} −15x + 6 )
  7. (45x ^ {2} −45x − 20 )
  8. (90x ^ {2} + 300x + 250 )
  9. (40x ^ {2} −36xy + 8y ^ {2} )
  10. (24a ^ {2} b ^ {2} + 18ab − 81 )
  11. (6x ^ {2} y ^ {2} + 46xy + 28 )
  12. (2x ^ {5} + 44x ^ {4} + 144x ^ {3} )
  13. (5x ^ {3} −65x ^ {2} + 60x )
  14. (15a ^ {4} b ^ {2} −25a ^ {3} b − 10a ^ {2} )
  15. (6a ^ {4} b + 2a ^ {3} b ^ {2} −4a ^ {2} b ^ {3} )
  16. (20a ^ {3} b ^ {2} −60a ^ {2} b ^ {3} + 45ab ^ {4} )
Responder

1. (2 (x − 4) (3x + 2) )

3. (5 (2x − 1) ^ {2} )

5. (2 (8x ^ {2} + 13x − 5) )

7. (5 (3x − 4) (3x + 1) )

9. (4 (5x − 2y) (2x − y) )

11. (2 (xy + 7) (3xy + 2) )

13. (5x (x − 12) (x − 1) )

15. (2a ^ {2} b (3a − 2b) (a + b) )

Exercício ( PageIndex {6} ) Fatorando trinômios com fatores comuns

Fatorar (- 1 ) e então fatorar mais.

  1. (- x ^ {2} −4x + 21 )
  2. (- x ^ {2} + x + 12 )
  3. (- x ^ {2} + 15x − 56 )
  4. (- x ^ {2} + x + 72 )
  5. (- y ^ {2} + 10y − 25 )
  6. (- y ^ {2} −16y − 64 )
  7. (36−9a − a ^ {2} )
  8. (72−6a − a ^ {2} )
  9. (32 + 4x − x ^ {2} )
  10. (200 + 10x − x ^ {2} )
Responder

1. (- 1 (x − 3) (x + 7) )

3. (- 1 (x − 7) (x − 8) )

5. (- 1 (y − 5) ^ {2} )

7. (- 1 (a − 3) (a + 12) )

9. (- 1 (x − 8) (x + 4) )

Exercício ( PageIndex {7} ) Fatorando trinômios com fatores comuns

Fatorar um fator comum negativo primeiro e, em seguida, fatorar ainda mais, se possível.

  1. (- 8x ^ {2} + 6x + 9 )
  2. (- 4x ^ {2} + 28x − 49 )
  3. (- 18x ^ {2} −6x + 4 )
  4. (2 + 4x − 30x ^ {2} )
  5. (15 + 39x − 18x ^ {2} )
  6. (90 + 45x − 10x ^ {2} )
  7. (- 2x ^ {2} + 26x + 28 )
  8. (- 18x ^ {3} −51x ^ {2} + 9x )
  9. (- 3x ^ {2} y ^ {2} + 18xy ^ {2} −24y ^ {2} )
  10. (- 16a ^ {4} + 16a ^ {3} b − 4a ^ {2} b ^ {2} )
  11. A altura em pés de um projétil lançado de uma torre é dada pela função (h (t) = - 16t ^ {2} + 64t + 80 ), onde (t ) representa o número de segundos após o lançamento. Reescreva a função fornecida de forma fatorada.
  12. A altura em pés de um projétil lançado de uma torre é dada pela função (h (t) = - 16t ^ {2} + 64t + 192 ), onde (t ) representa o número de segundos após o lançamento. Reescreva a função fornecida de forma fatorada.
Responder

1. (- (2x − 3) (4x + 3) )

3. (- 2 (3x − 1) (3x + 2) )

5. (- 3 (2x − 5) (3x + 1) )

7. (- 2 (x − 14) (x + 1) )

9. (- 3y ^ {2} (x − 4) (x − 2) )

11. (h (t) = - 16 (t + 1) (t − 5) )

Exercício ( PageIndex {8} ) Fatoração usando o método AC

Fator usando o método AC.

  1. (2x ^ {2} + 5x − 7 )
  2. (3x ^ {2} + 7x − 10 )
  3. (4x ^ {2} −25x + 6 )
  4. (16x ^ {2} −38x − 5 )
  5. (6x ^ {2} + 23x − 18 )
  6. (8x ^ {2} + 10x − 25 )
  7. (4x ^ {2} + 28x + 40 )
  8. (- 6x ^ {2} −3x + 30 )
  9. (12x ^ {2} −56xy + 60y ^ {2} )
  10. (20x ^ {2} + 80xy + 35y ^ {2} )
Responder

1. ((x − 1) (2x + 7) )

3. ((x − 6) (4x − 1) )

5. ((2x + 9) (3x − 2) )

7. (4 (x + 2) (x + 5) )

9. (4 (x − 3y) (3x − 5y) )

Exercício ( PageIndex {9} ) Tópicos do quadro de discussão

  1. Crie seu próprio trinômio da forma (ax ^ {2} + bx + c ) que fatora. Compartilhe-o, junto com a solução, no quadro de discussão.
  2. Escreva sua própria lista de etapas para fatorar um trinômio da forma (ax ^ {2} + bx + c ) e compartilhe-a no quadro de discussão.
  3. Crie um trinômio da forma (ax ^ {2} + bx + c ) que não fatore e compartilhe-o junto com o motivo pelo qual ele não é fatorado.
Responder

1. As respostas podem variar

3. As respostas podem variar


Trinômios de fatoração - Polinômios de fatoração

Trinomiais são expressões algébricas que contêm três termos. Os trinômios quadráticos têm a forma de um x 2 x 2 + bx + c, e a, be c todos representam um número.

Para fatorar os trinômios, você terá que trabalhar para encontrar dois números que se multiplicarão para igualar o "c" da forma quadrática acima, e também somarão para igualar "b". Estas são as etapas para as perguntas mais fáceis em que o primeiro "a" é igual a 1. Para problemas mais difíceis, "a" será um número diferente de um. Você terá que primeiro multiplicar "a" e "c" e, em seguida, encontrar os fatores do produto "a * c" que também somam "b".

Vamos explorar isso com perguntas de exemplo para demonstrar como fatorar trinômios.

Neste exemplo, vamos usar o método "multiplicação cruzada e verificação" para fatorar o trinômio. Esta é uma das maneiras de fatorar os trinômios.

Use multiplicação cruzada e marque para fatorar o trinômio Fatore o termo b ^ 2 e coloque-os na primeira caixa

Fatore o último termo -20. Existem algumas combinações (1x20, 2x10, 4x5) que podem nos dar 20, então qual é? Vamos multiplicar essas combinações pelos fatores do primeiro termo. Veja qual combinação produzirá uma resposta que corresponda ao termo do meio (nesta pergunta, o termo do meio é & ndashb).

Combinação que corresponde ao meio termo

Dessas combinações, 4x-5 (que é igual a -1) é capaz de produzir o termo do meio correspondente -b.

Descubra que 4, -5 correspondem ao termo do meio Fatorado com sucesso b ^ 2-b-20

O método "multiplique cruzado e, em seguida, verifique" também pode ser usado em trinômios mais duros nos quais o coeficiente líder não é 1. Nesta questão, o coeficiente líder é 2 (do termo líder 2 x 2 2 2 x 2).

Fatore o primeiro termo 2x ^ 2 e coloque na primeira caixa

Para fatorar o último termo +12, existem algumas combinações (1x12, 2x6, 3x4). Mais uma vez, multiplicaremos cruzadamente essas combinações aos fatores do primeiro termo. Veja qual combinação produzirá um termo intermediário correspondente (nesta pergunta, o termo intermediário é + 25x)

Encontre a combinação que corresponde a 25x

Dessas combinações, 1x12 é capaz de produzir o termo do meio correspondente + 25x. Isso porque (2x x 12) + (x x 1) = 24x + x = 25x

Descubra que 12 e 1 correspondem ao termo médio de 25x Fatorado 2x ^ 2 + 25x + 12 com sucesso

Polinômios de fatoração: ax² + bx + c

Este pacote ajuda os alunos a entender como fatorar equações quadráticas mais avançadas. Os alunos usarão a fatoração para encontrar as duas soluções (também chamadas de raízes ou interceptos x) de uma equação quadrática (que representa graficamente como uma parábola). A fatoração é o processo de encontrar dois termos - para equações quadráticas, esses termos serão dois binômios - que podem ser multiplicados juntos para obter a equação quadrática.

Muitos alunos estão familiarizados com o uso do processo FOIL para multiplicar binômios. Fatorar equações quadráticas é, essencial, o reverso de usar FOIL para transformar um par de binômios em um polinômio. Por exemplo:

Se você tiver o problema: $ (x-2) (x + 4) $

Você usaria FOIL (que significa "multiplique os PRIMEIROS termos, depois os termos EXTERIORES, depois os termos INTERNOS e os ÚLTIMOS termos") para obter: $ x ^ 2 + 4x-2x-8 $,

que pode ser simplificado para $ x ^ 2 + 2x-8 $

Por outro lado, se você recebeu a expressão $ x ^ 2 + 2x-8 $ e pediu para fatorá-la

(ou se você recebeu $ x ^ 2 + 2x-8 $ = 0 e pediu para resolvê-lo),

$ x vezes x = x ^ 2 $ e $ -2 vezes 4 = -8 $ enquanto $-2+4=2$,

Cada página começa com problemas mais fáceis que se tornam mais difíceis à medida que os alunos trabalham no pacote. Os problemas mais simples estão na forma padrão. Problemas mais avançados exigem que os alunos simplifiquem e combinem termos semelhantes antes de fatorar o problema.

Depois de resolver todos os 36 problemas, os alunos devem se sentir mais à vontade para resolvê-los e ter uma compreensão clara de como resolvê-los.


O que os professores dizem sobre Mangahigh

Somos amados por professores e alunos em todo o mundo. Aqui está a prova!

Mangahigh transforma nossos alunos em “viciados em matemática” que competem entre si pelas melhores pontuações e medalhas de ouro. E como os questionários recompensam tanto a lembrança precisa do conhecimento quanto a compreensão conceitual profunda, cada hora que eles passam se divertindo os torna matemáticos melhores. Cinco estrelas.

Tom Ding

Ark Academy, Wembley, Londres

Uso Mangahigh em minha sala de aula há mais de 5 anos. O que me faz voltar são os jogos de matemática e a ampla gama de conceitos que são oferecidos. Mas a melhor parte é o fato de que as crianças ADORAM jogar. Tenho alunos que me imploram para atribuir-lhes desafios de professor! Implorando por mais trabalho de matemática? Eu estou bem com isso !!

Renee Hernandez

Green Elementary School, Allen, Texas

As crianças adoraram um aluno com TDAH que NUNCA antes foi capaz de se concentrar nos últimos períodos do dia, ele não iria parar até receber uma medalha! Absolutamente fenomenal! A mãe dele está radiante e o resto da sala dos professores de matemática ficou pasmo!


Exemplo

Exemplo 1

Para os seguintes fatores trinomiais x 2 + 3x + 2 procedemos da seguinte forma:

Você tem que encontrar dois números para que, ao adicioná-los, o resultado seja 3 e, ao multiplicá-lo, o resultado seja 2.

Após a realização de uma inspeção, pode-se concluir que os números procurados são: 2 e 1. Portanto, x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Exemplo 2

Para o fator trinomial x 2 -5x + 6, procuramos dois números cuja soma é -5 e o produto é 6. Os números que atendem a essas duas condições são -3 e -2. Portanto, a fatoração do trinômio dado é x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2


O que os professores dizem sobre Mangahigh

Somos amados por professores e alunos em todo o mundo. Aqui está a prova!

Mangahigh transforma nossos alunos em “viciados em matemática” que competem entre si pelas melhores pontuações e medalhas de ouro. E como os questionários recompensam tanto a lembrança precisa do conhecimento quanto a compreensão conceitual profunda, cada hora que eles passam se divertindo os torna matemáticos melhores. Cinco estrelas.

Tom Ding

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Renee Hernandez

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Um trinômio é um polinômio quadrático (ou um polinômio de grau 2) que geralmente consiste em três termos:
$ a ^ <2> + bx + c, $

onde (a neq 0 ). Em muitos casos, um trinômio pode ser fatorado ou representado como um produto de dois binômios:
$ a ^ <2> + bx + c = (px + q) (rx + s). $

O processo de fatoração de polinômios é essencial para a simplificação de muitas expressões algébricas e é uma ferramenta útil na resolução de equações de grau superior. Este processo é amplamente utilizado no caso de polinômios com coeficiente inteiro. Portanto, nossa calculadora online lida com trinômios apenas com coeficientes inteiros.

O algoritmo, usado em nossa calculadora de trinômios de fatoração, assume a representação do trinômio na forma:
$ a ^ <2> + bx + c = a ^ <2> + mx + nx + c, $

onde inteiros (m ) e (n ) satisfazem as seguintes condições: (m + n = b ), (mn = ac. )

Uma vez que (m ) e (n ) são encontrados, usamos o agrupamento e a propriedade distributiva para finalmente fatorar o trinômio.

Calculadoras relacionadas

Confira nossas outras calculadoras de álgebra, como Completing the Square Calculator ou Perfect Square Calculator.


Resolvendo Equações Quadráticas por Fatoração

Use fatoração para criar formas equivalentes de polinômios.

Avalie e simplifique expressões algébricas, por exemplo: produtos / quocientes de polinômios, expressões logarítmicas e frações complexas e resolva e represente graficamente equações e desigualdades lineares, quadráticas, exponenciais e logarítmicas e resolva e represente graficamente sistemas de equações e inequações.

Operações com números e expressões reais

Equações não lineares

Fatore as expressões algébricas, incluindo a diferença de quadrados e trinômios (trinômios limitados à forma ax 2 + bx + c onde a é igual a 1 após fatorar todos os fatores monomiais).

  • Famílias de funções exibem propriedades e comportamentos que podem ser reconhecidos nas representações. As funções podem ser transformadas, combinadas e compostas para criar novas funções em situações matemáticas e do mundo real.
  • Funções matemáticas são relacionamentos que atribuem cada membro de um conjunto (domínio) a um membro único de outro conjunto (intervalo), e o relacionamento é reconhecível nas representações.
  • Números, medidas, expressões, equações e desigualdades podem representar situações e estruturas matemáticas em muitas formas equivalentes.
  • Os padrões exibem relacionamentos que podem ser estendidos, descritos e generalizados.
  • Relações e funções são relações matemáticas que podem ser representadas e analisadas por meio de palavras, tabelas, gráficos e equações.
  • Existem algumas relações matemáticas que são sempre verdadeiras e essas relações são usadas como as regras da aritmética e da álgebra e são úteis para escrever formas equivalentes de expressões e resolver equações e desigualdades.
  • Propriedades algébricas, processos e representações
  • Análise de dados de uma e duas variáveis ​​(univariada e bivariada)
  • Funções exponenciais e equações
  • Funções e múltiplas representações
  • Relações lineares: Equação e desigualdades em uma e duas variáveis
  • Sistema linear de equações e desigualdades
  • Funções e equações polinomiais
  • Funções e equações quadráticas
  • Estenda propriedades e processos algébricos a expressões e equações quadráticas, exponenciais e polinomiais e a matrizes e aplique-as para resolver problemas do mundo real.
  • Representar uma função polinomial de várias maneiras, incluindo tabs, gráficos, equações e situações contextuais, e fazer conexões entre representações relacionar a solução da equação polinomial associada a cada representação.
  • Representar uma função quadrática de várias maneiras, incluindo tabs, gráficos, equações e situações contextuais, e fazer conexões entre representações relacionar a solução da equação quadrática associada a cada representação.
  • Use propriedades e processos algébricos em situações matemáticas e aplique-os para resolver problemas do mundo real.

Objetivos

Os alunos usarão a fatoração como método para resolver funções quadráticas. Os alunos irão:

trinômios de fator de várias formas:

ax & sup2 + bx + c = 0, Onde a, b, e c têm um maior fator comum (GCF)

aplique a Propriedade de Produto Zero para resolver equações da forma (ax + b) (cx + d) = 0

obter soluções para equações quadráticas fatoráveis ​​da forma

Questões Essenciais

Como podemos mostrar que propriedades e processos algébricos são extensões de propriedades e processos aritméticos, e como podemos usar propriedades e processos algébricos para resolver problemas?

Vocabulário

Binomial: Um polinômio com dois termos. [IS.1 - Preparação]

Trinômio: Um polinômio com três termos.

Maior Fator Comum: O maior fator que dois ou mais números têm em comum.

Fator: Um número inteiro que se divide uniformemente em outro número.

Zero de uma função: O valor do argumento para o qual a função é zero. Também x-intercepto e raiz de uma equação.

Duração

90 & ndash120 minutos [IS.2 - Todos os alunos]

Habilidades de pré-requisito

Materiais

quadros brancos (ou papel) de alunos e marcadores e borrachas

computadores com acesso à Internet

impressões de problemas / aulas onde desejado

Planos de unidade e aula relacionados

Materiais e recursos relacionados

A possível inclusão de sites comerciais abaixo não é um endosso implícito de seus produtos, que não são gratuitos e não são obrigatórios para este plano de aula.

quadros brancos (ou papel) de alunos e marcadores e borrachas

computadores com acesso à Internet

impressões de problemas / aulas onde desejado

Teste formativo

As observações durante as aulas, discussões e atividades devem enfocar produtos específicos que os alunos criam, particularmente os dois fatores binomiais do trinômio. Require students to multiply the two binomial factors using FOIL and compare the resulting trinomial to the original prompt.

Lesson 2 Student Document (M-A1-1-2_Lesson 2 Student Document.doc) requires students to use the zero property of multiplication and evaluates their level of understanding of the logical necessity of a zero product, if one of the factors is equal to zero.

Suggested Instructional Supports

This lesson helps students to develop skills in solving quadratic equations by factoring and provides them with useful techniques for factoring and for understanding the rationale that supports finding solutions. The lesson includes recognizing and using trinomials in various forms.

The Zero Product Property is an elementary concept that is familiar to students. In applying it to binomial factors, they can use the property as a tool in a way that has not previously been represented. Students are able to recognize that the property applies not only to monomials, but also to binomials, and is applicable for all real numbers.

The think-pair-share activity presents students with representations of all three types of trinomial factoring. By attempting solutions individually, students gain an immediate sense of how well they understand the techniques. In sharing their solution methods and results with partners, they can expand their understanding by seeing different solutions and correcting their own and their partners&rsquo errors.

The Solve by Factoring Worksheet requires students to classify as well as factor the trinomials presented. The classification tasks engage students in reviewing their understanding of the individual characteristics of the three types of trinomials. This activity encourages them to use the specific traits of the trinomial to find the unique binomial factors.

Students who find the factoring of trinomials a challenging operation will get some satisfaction in the application of the Zero Product Property. The property is easy to understand and use, and makes the steps to solving quadratic equations by identifying and deconstructing binomials more accessible. Students with the knowledge and skills to factor trinomials of higher difficulty will also appreciate this basic technique.

This lesson is organized so that students can build upon prior knowledge of factoring and solving linear equations to solve quadratic equations. Students should be introduced, through teacher instruction, to the concepts and procedures for solving quadratics by factoring. During this time students should be given time to individually practice these processes and for discussion with classmates. Students should receive immediate feedback on their work during the activities so they are on track to be successful with homework assignments. The student document can also be used to help students stay organized during classroom instruction.

IS.1 - Preparation
Consider word walls and different strategies to ensure that the vocabulary is constantly used during the lesson.
IS.2 - All Students
Consider pre-teaching the concepts critical to this lesson, including the use of hands-on materials. Throughout the lesson, based on the results of formative assessment, consider the pacing of the lesson to be flexible based on the needs of the students. Also consider reteaching and/or review both during and after the lesson as necessary.
IS.3 - Struggling Learners
Consider pre-teaching the Zero-product property and factoring. Strugglling students may need more direct instruction with learning the concepts critical to this lesson. Throughout the lesson, based on the results of formative assessment, consider the pacing of the lesson to be flexible based on the needs of the students. Also consider reteaching and/or review both during and after the lesson as necessary.
IS.4 - All Students
Consider modeling and doing think alouds to help students understand the problem solving process.

Instructional Procedures

After this lesson, students will know how to solve quadratic equations using factoring. Students are learning how to solve quadratic equations because there are many real-world situations that can be modeled by quadratic equations. Students should have prior knowledge of factoring trinomials. Students will understand that there are two solutions to a quadratic equation and why this is different from solving linear equations. They will also find that in dealing with real-life scenarios not all solutions make sense. They should be able to recognize the solution(s) that fit. Students will be able to check their work by substituting their solutions into the equation.

&ldquoYesterday we looked at quadratic equations and many types of situations that can be modeled using them. One of the things we discussed was the zeros of quadratic equations, which are the solutions. On the graphs we looked at, we noted that the zeros were located where the graph crossed the x-eixo. Let&rsquos take a moment to recall one of these examples.&rdquo Display the following for students:

&ldquoNow solving this equation is rather simple when you can find the zeros right in the graph, but what if you do not have a graph or the zeros are not easy to calculate from the graph? Today, we are going to discuss an algebraic approach that can be used to solve problems like this, as well as story problems that can be modeled using quadratic equations.&rdquo

The following notes, models, and examples should be shown to students to explain the lesson. Visual and auditory learners will be able to see and/or hear the process that is involved in solving quadratics by factoring.

Zero-Product Property

For any uma e b, if ab = 0, then either uma = 0, b = 0, or uma e b equal 0.

Solving Equations by Factoring [IS.3 - Struggling Learners]

Step 1: Make the equation equal to _ 0 _.

Step 2: ___ Factor ___ the trinomial.

Step 3: Apply the ___ Zero Product Property __ (set each factor equal to __ 0 _ then ____ solve ___).

Students should have an understanding of factoring trinomials from previous instruction. Depending on the skill level of your students, you may have to vary how much review of factoring trinomials you provide.

Type 3: Equations of the form ax² + bx + c = 0 with a GCF

Students should be instructed to factor out a GCF before beginning the rest of the solving process as in type 1 and 2.

Note: At first, many of these equations look as if they are type 2 equations yet, after factoring a GCF, the problem may reveal a type 1 equation. If the GCF is not factored out of the equation before beginning the factoring process, the solutions will be the same but the factored forms will be different. (This is demonstrated below.)

Without factoring out the GCF in problem 1: (3x + 6)(x &ndash 5) = 0, factored, but not completely, since 3 can be factored out of 3x + 6. But solving 3x + 6 = 0 gives a solution of &minus2, the same as in Example 1. This relationship is important because when students are asked to factor something completely, the answer of (3x + 6)(x &ndash 5) would not be correct since it is not completely factored. A similar situation can be shown with Example 2.

Think-pair-share (interpersonal and verbal intelligences): Place a problem on the board and have students individually work out the problem on paper. After 3 to 5 minutes, have students pair up to discuss their answers. Direct students to discuss any errors and help each other decide on a correct answer. Then have a class discussion on the correct answer and anything students noticed during their discussions such as common errors, arithmetic mistakes, procedural mistakes, etc. You may have a student display the process for the class on the board.

Sample problems for students:

Activity 2: Real-Life Scenarios [IS.4 - All Students]

Problem 1: The length of a rectangle is 3 more inches than its width. Find the dimensions of the rectangle with an area of 108 square inches.

1. This problem uses a type 1 scenario and also uses the concepts of area of a rectangle and the distributive property.

2. It is important to explain at this point that in applied situations not all solutions make sense. Have a discussion with students about which answer works and why. (&minus12 is a solution but does not make sense because a length cannot be negative, thus making 9 the only possible solution to the width).

Solução: width = 9 in., length = 12 in.

Problem 2: The length and width of an 8-inch by 12-inch photograph are reduced by the same amount to make a new photograph with an area that is 1/3 of the original. By how many inches will the dimensions of the photograph have to be reduced?

1. This problem uses a type 1 scenario, the concept of area of a rectangle, and using FOIL (First Outside Inside Last when multiplying two binomials).

2. For situation 2 there are two possible solutions that are both positive (16 and 4), but discuss with students which one makes sense in the given situation. Since the possible solutions represent the value that is deducted from each side of the photograph, the only answer that would work is 4. An answer of 16 is not reasonable because it is not possible to cut 16 inches off a photograph that only has 12 inches on one side and 8 on the other.

Solution: Reduce the dimensions of the photograph by 4 inches.

Give students the following problems to work on independently for about 10 to 15 minutes. Have students label the type of each problem before beginning to work on it. After independent work time, have students pair up to compare and discuss answers. As students are finishing, have some students write the work for each problem on the board and then discuss the problems as a class. Hand out the Solving Quadratics by Factoring Worksheet (M-A1-1-2_Solving Quadratics by Factoring Worksheet.doc), as desired, for students to work on. (This resource is good as a day 2 follow-up lesson.)

Routine: Use the Lesson 2 Student Document (M-A1-1-2_Lesson 2 Student Document.doc) to give students a structured format for taking notes. Provide this resource to students, as needed, to allow them to keep more organized and structured notes.

Have students reflect on factoring trinomials and whether they remember the process (intrapersonal). This should be done prior to going through the examples of solving quadratics by factoring. Display two problems (one at a time) and have students work through the factoring process on a white board (or piece of paper). Have students hold up their work when finished and make corrections and adjust teaching where needed to meet the needs of your students.

Alternate Method: For Activity 1, you can do the activity once after presenting all three situations or one situation at a time (after each of the methods), having students change partners for each situation. This approach might allow students more reflection and discussion on each of the methods, if time permits.

Visual Learners: For Activity 2, use the Problem Solving Graphic Organizer (M-A1-1-2_Problem Solving Graphic Organizer.docx and M-A1-1-2_Problem Solving Graphic Organizer Blank.docx) to help students organize their word- problem solving techniques more efficiently. This can help many students, especially those who need their work to be more visual and organized. There are two resources: one with sequential steps and ideas already filled in, and another that has a blank flow chart. Use whichever document fits the needs of your students.

Assign to students an Internet word-problem activity (see the Related Resources section). This activity will help build students&rsquo understanding and ability to read and evaluate important information from a word problem. This is a great way to give students more practice with word problems.


How do you factor a 2 BX C?

Trinomials no form x 2 + bx + c can ser factored by finding two integers, r and s, whose sum is b and whose product is c. If the remaining trinomial is still of the Formato ax 2 + bx + c, find two integers, r and s, whose sum is b and whose product is ac.

  1. Move all terms to one side of the equation, usually the left, using addition or subtraction.
  2. Factor the equation completely.
  3. Set each factor equal to zero, and solve.
  4. List each solution from Step 3 as a solution to the original equation.

In this way, how do you solve an equation with 2 variables?

To solve systems of algebraic equations containing two variables, start by moving the variables to different sides of the equation. Then, divide both sides of the equation de 1 of the variables para solve for that variable. Next, take that number and plug it into the formula to solve for the other variable.

In mathematics, a coefficient is a multiplicative factor in some term of a polynomial, a series, or any expression it is usually a number, but may be any expression. For example, if y is considered as a parameter in the above expression, the coefficient of x is &minus3y, and the constant coefficient is 1.5 + y.


Trinomials

Let us consider the product (x+a)(x+b) and use the distributive property to show how each term of the resulting trinomial is formed. This can help us develop a factoring technique for trinomials.

Notice that the coefficient of the middle term is the sum of uma e b and the last term is the product of uma e b.

Example: Factor x²+2x-63

We need to find a pair of integers whose sum is 2 and whose product is -63.

x²+2x-63 = (x+___)(x+___)

The only possible pair of integers is 7 and 9. to get a product of -63 and a sum of 2, the larger number must be positive and the smaller number must be negative.

x²+2x-63 = (x+9)(x+(-7)) = (x+9)(x-7)

Factoring of the form ax²+bx+c

Let us consider factoring trinomials where the coefficient of the squared term is not one. First, let us use an informal trial and error technique that works quite well for some types of trinomials.

Example: Factor 12x²-x-6

First, observe that 12x² can be written as x·12x, 3x·4x, or 2x·6x. Then, since the middle term and the last term of the trinomial is negative, the binomials can be of the form

(3x+2)(4x-3) best suits the expression.

Perfect Square Trinomials

Perfect square trinomials are trinomials that resulted from squaring a binomial. They are easily recognized bby the nature of their terms. For example, 9y²+24y+16 is a perfect square trinomial because the first term is a perfect square, the last term is a perfect square, the middle term is twice the product of the numbers being squared in the first and last terms.

The following trinomials can be factored as indicated.

a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)²

Example: Factor x²+14x+49

x²+14x+49=(x+7)(x+7)=(x+7)²

Autores:
Danielle Arriz Tio
Hans Nehru Alfante
John Rey Cueva
IV-St. Helena


Assista o vídeo: FATORAÇÃO DE TRINÔMIOS DA FORMA ax + bx + c - Exercíco 1 (Novembro 2021).