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6.1: Números Complexos


objetivos de aprendizado

  1. Compreenda o significado geométrico de um número complexo como um ponto no plano.
  2. Prove as propriedades algébricas de adição e multiplicação de números complexos e aplique essas propriedades. Compreenda a ação de tomar o conjugado de um número complexo.
  3. Compreenda o valor absoluto de um número complexo e como encontrá-lo, bem como seu significado geométrico.

Embora muito poderosos, os números reais são inadequados para resolver equações como (x ^ 2 + 1 = 0 ), e é aqui que entram os números complexos. Definimos o número (i ) como o número imaginário tal que (i ^ 2 = -1 ), e defina os números complexos como aqueles da forma (z = a + bi ) onde (a ) e (b ) são números reais. Chamamos isso de forma padrão, ou forma cartesiana, do número complexo (z ). Então, nos referimos a (a ) como o real parte de (z ), e (b ) como o imaginário parte de (z ). Acontece que tais números não apenas resolvem a equação acima, mas também resolvem qualquer polinômio de grau pelo menos 1 com coeficientes complexos. Esta propriedade, chamada de Teorema Fundamental da Álgebra, às vezes é mencionada dizendo que ( mathbb {C} ) é algebricamente fechado. Gauss é geralmente creditado por dar uma prova deste teorema em 1797, mas muitos outros trabalharam nele e a primeira prova completamente correta foi devida a Argand em 1806.

Assim como um número real pode ser considerado um ponto na reta, um número complexo (z = a + bi ) pode ser considerado como um ponto ( left (a, b right) ) no plano cujo A coordenada (x ) é (a ) e cuja coordenada (y ) é (b. ) Por exemplo, na figura a seguir, o ponto (z = 3 + 2i ) pode ser representado como o ponto no plano com coordenadas ( left (3,2 right). )

A adição de números complexos é definida como segue. [ left (a + bi right) + left (c + di right) = left (a + c right) + left (b + d right) i ]

Esta adição obedece a todas as propriedades usuais, conforme indica o teorema a seguir.

Teorema ( PageIndex {1} ): Propriedades de adição de números complexos

Sejam (z, w, ) e (v ) números complexos. Então, as seguintes propriedades são mantidas.

  • Lei Comutativa para Adição [z + w = ​​w + z ]
  • Identidade Aditiva [z + 0 = z ]
  • Existência de Aditivo Inverso [ begin {array} {l} mbox {Para cada} ; z in mathbb {C}, mbox {existe} ; -z in mathbb {C} mbox {tal que} ; z + left (-z right) = 0 mbox {Na verdade, se} z = a + bi, mbox {then} -z = -a-bi. end {array} ]
  • Lei Associativa para Adição [ left (z + w right) + v = z + left (w + v right) ]
Prova

A prova desse teorema é deixada como um exercício para o leitor.

Agora, a multiplicação de números complexos é definida da maneira que você esperaria, lembrando que (i ^ {2} = -1 ). [ begin {alinhados} left (a + bi right) left (c + di right) & = & ac + adi + bci + i ^ {2} bd & = & left (ac-bd direita) + esquerda (ad + bc direita) i end {alinhado} ]

Considere os seguintes exemplos.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Multiplicação de números complexos

  • ((2-3i) (- 3 + 4i) = 6 + 17i )
  • ((4-7i) (6-2i) = 10-50i )
  • ((- 3 + 6i) (5-i) = -9 + 33i )

A seguir estão propriedades importantes de multiplicação de números complexos.

Teorema ( PageIndex {2} ): Propriedades de Multiplicação de Números Complexos

Sejam (z, w ) e (v ) números complexos. Então, as seguintes propriedades de multiplicação são mantidas.

  • Lei Comutativa para Multiplicação [zw = wz ]
  • Lei Associativa para Multiplicação [ left (zw right) v = z left (wv right) ]
  • Identidade multiplicativa [1z = z ]
  • Existência de Multiplicativo Inverso [ mbox {Para cada} ; z neq 0, mbox {existe} ; z ^ {- 1} mbox {de modo que} ; zz ^ {- 1} = 1 ]
  • Lei distributiva [z left (w + v right) = zw + zv ]

Você pode querer verificar algumas dessas declarações. Os números reais também satisfazem os axiomas acima e, em geral, qualquer estrutura matemática que satisfaça esses axiomas é chamada de campo. Existem muitos outros campos, em particular os finitos, particularmente úteis para criptografia, e a razão para especificar esses axiomas é que a álgebra linear trata de campos e podemos fazer quase tudo nesse assunto usando qualquer campo. Embora aqui, os campos de maior interesse sejam o campo familiar de números reais, denotado como ( mathbb {R} ), e o campo de números complexos, denotado como ( mathbb {C} ).

Uma construção importante em relação aos números complexos é o conjugado complexo denotado por uma linha horizontal acima do número, ( overline {z} ). É definido como segue.

Definição ( PageIndex {1} ): Conjugado de um número complexo

Seja (z = a + bi ) um número complexo. Então o conjugado de (z ), escrito ( overline {z} ) é dado por [ overline {a + bi} = a-bi ]

Geometricamente, a ação do conjugado é refletir um determinado número complexo no eixo (x ). Algebricamente, ele muda o sinal na parte imaginária do número complexo. Portanto, para um número real (a ), ( overline {a} = a ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Conjugado de um número complexo

  • Se (z = 3 + 4i ), então ( overline {z} = 3-4i ), ou seja, ( overline {3 + 4i} = 3-4i ).
  • ( overline {-2 + 5i} = -2-5i ).
  • ( overline {i} = -i ).
  • ( overline {7} = 7 ).

Considere o seguinte cálculo.

[ begin {align *} left ( overline {a + bi} right) left (a + bi right) & = left (a-bi right) left (a + bi right) [4pt] & = a ^ {2} + b ^ {2} - left (ab-ab right) i = a ^ {2} + b ^ {2} end {align *} ]

Observe que não há parte imaginária no produto, portanto, multiplicar um número complexo por seu conjugado resulta em um número real.

Teorema ( PageIndex {3} ): Propriedades do Conjugado

Sejam (z ) e (w ) números complexos. Então, as seguintes propriedades do conjugado são mantidas.

  • ( overline {z pm w} = overline {z} pm overline {w} ).
  • ( overline {(zw)} = overline {z} ~ overline {w} ).
  • ( overline {( overline {z})} = z ).
  • ( overline { left ( frac {z} {w} right)} = frac { overline {z}} { overline {w}} ).
  • (z ) é real se e somente se ( overline {z} = z ).

A divisão de números complexos é definida como segue. Sejam (z = a + bi ) e (w = c + di ) números complexos tais que (c, d ) não sejam ambos zero. Então, o quociente (z ) dividido por (w ) é

[ begin {align *} frac {z} {w} & = frac {a + bi} {c + di} [4pt] & = frac {a + bi} {c + di} vezes frac {c-di} {c-di} [4pt] & = frac {(ac + bd) + (bc-ad) i} {c ^ 2 + d ^ 2} [4pt] & = frac {ac + bd} {c ^ 2 + d ^ 2} + frac {bc-ad} {c ^ 2 + d ^ 2} i. end {alinhar *} ]

Em outras palavras, o quociente ( frac {z} {w} ) é obtido multiplicando-se o topo e a base de ( frac {z} {w} ) por ( overline {w} ) e em seguida, simplificando a expressão.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Divisão de Números Complexos

[ frac {1} {i} = frac {1} {i} times frac {-i} {- i} = frac {-i} {- i ^ 2} = - i ]

[ frac {2-i} {3 + 4i} = frac {2-i} {3 + 4i} times frac {3-4i} {3-4i} = frac {(6-4) + (- 3-8) i} {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = frac {2-11i} {25} = frac {2} {25} - frac {11} {25} i ]

[ frac {1-2i} {- 2 + 5i} = frac {1-2i} {- 2 + 5i} times frac {-2-5i} {- 2-5i} = frac {( -2-10) + (4-5) i} {2 ^ 2 + 5 ^ 2} = - frac {12} {29} - frac {1} {29} i ]

Curiosamente, todo número complexo diferente de zero (a + bi ) tem um inverso multiplicativo único. Em outras palavras, para um número complexo diferente de zero (z ), existe um número (z ^ {- 1} ) (ou ( frac {1} {z} )) de forma que (zz ^ {-1} = 1 ). Observe que (z = a + bi ) é diferente de zero exatamente quando (a ^ {2} + b ^ {2} neq 0 ), e seu inverso pode ser escrito na forma padrão conforme definido agora.

Definição ( PageIndex {2} ): Inverso de um número complexo

Seja (z = a + bi ) um número complexo. Então, o inverso multiplicativo de (z ), escrito (z ^ {- 1} ) existe se e somente se (a ^ {2} + b ^ {2} neq 0 ) e é dado por

[z ^ {- 1} = frac {1} {a + bi} = frac {1} {a + bi} times frac {a-bi} {a-bi} = frac {a- bi} {a ^ {2} + b ^ {2}} = frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}} - i frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}} ]

Observe que podemos escrever (z ^ {- 1} ) como ( frac {1} {z} ). Ambas as notações representam o inverso multiplicativo do número complexo (z ). Considere agora um exemplo.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Inverso de um número complexo

Considere o número complexo (z = 2 + 6i ). Então (z ^ {- 1} ) é definido, e

[ begin {align *} frac {1} {z} & = frac {1} {2 + 6i} [4pt] & = frac {1} {2 + 6i} times frac { 2-6i} {2-6i} [4pt] & = frac {2-6i} {2 ^ 2 + 6 ^ 2} [4pt] & = frac {2-6i} {40} [4pt] & = frac {1} {20} - frac {3} {20} i end {alinhar *} ]

Você sempre pode verificar sua resposta computando (zz ^ {- 1} ).

Outra construção importante de números complexos é a do valor absoluto, também chamado de módulo. Considere a seguinte definição.

Definição ( PageIndex {3} ): Valor absoluto

O valor absoluto, ou módulo, de um número complexo, denotado ( left | z right | ), é definido como segue. [ left | a + bi right | = sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} ]

Assim, se (z ) é o número complexo (z = a + bi ), segue-se que [ left | z right | = left (z overline {z} right) ^ {1/2} ]

Também pela definição, se (z = a + bi ) e (w = c + di ) são dois números complexos, então ( left vert zw right vert = left vert z right vert left vert w right vert. ) Reserve um momento para verificar isso.

A desigualdade do triângulo é uma propriedade importante do valor absoluto dos números complexos. Existem duas versões úteis que apresentamos aqui, embora a primeira seja oficialmente chamada de desigualdade triangular.

Proposição ( PageIndex {1} ): Desigualdade do Triângulo

Sejam (z, w ) números complexos.

As duas desigualdades a seguir são válidas para quaisquer números complexos (z, w ): [ begin {array} {l} left | z + w right | leq left | z right | + left | w right | left | left | z right | - left | w right | certo | leq left | z-w right | end {array} ] O primeiro é chamado de Triangle Inequality.

Prova

Seja (z = a + bi ) e (w = c + di ). Primeiro, observe que [z overline {w} = left (a + bi right) left (c-di right) = ac + bd + left (bc-ad right) i ] e assim ( left vert ac + bd right vert leq left vert z overline {w} right vert = left vert z right vert left vert w right vert. )

Então, [ left vert z + w right vert ^ {2} = left (a + c + i left (b + d right) right) left (a + ci left (b + d direita) direita) ] [= esquerda (a + c direita) ^ {2} + esquerda (b + d direita) ^ {2} = a ^ {2} + c ^ { 2} + 2ac + 2bd + b ^ {2} + d ^ {2} ] [ leq esquerda vert z direita vert ^ {2} + esquerda vert w direita vert ^ {2} } +2 left vert z right vert left vert w right vert = left ( left vert z right vert + left vert w right vert right) ^ {2 } ]

Tirando a raiz quadrada, temos que [ left vert z + w right vert leq left vert z right vert + left vert w right vert ] para verificar a desigualdade do triângulo .

Para obter a segunda desigualdade, escreva [z = z-w + w, ; w = w-z + z ] e assim pela primeira forma da desigualdade obtemos ambos: [ left vert z right vert leq left vert zw right vert + left vert w right vert, ; left vert w right vert leq left vert zw right vert + left vert z right vert ]

Portanto, tanto ( left vert z right vert - left vert w right vert ) e ( left vert w right vert - left vert z right vert ) não são maiores que ( left vert zw right vert ). Isso prova a segunda versão porque ( left vert left vert z right vert - left vert w right vert right vert ) é um dos ( left vert z right vert - left vert w right vert ) ou ( left vert w right vert - left vert z right vert ).

Com esta definição, é importante observar o seguinte. Você pode querer verificar esta observação.

Seja (z = a + bi ) e (w = c + di. ) Então

[ left | z-w right | = sqrt { left (a-c right) ^ {2} + left (b-d right) ^ {2}}. enhum número]

Assim, a distância entre o ponto no plano determinado pelo par ordenado ( left (a, b right) ) e o par ordenado ( left (c, d right) ) é igual a ( left | zw right | ) onde (z ) e (w ) são conforme descritos.

Por exemplo, considere a distância entre ( left (2,5 right) ) e ( left (1,8 right). ) Letting (z = 2 + 5i ) e (w = 1 + 8i, ) (zw = 1-3i ), ( left (zw right) left ( overline {zw} right) = left (1-3i right) left (1 + 3i direita) = 10 ) então ( esquerda vert zw direita vert = sqrt {10} ).

Lembre-se de que nos referimos a (z = a + bi ) como a forma padrão do número complexo. Na próxima seção, examinaremos outra forma pela qual podemos expressar o número complexo.


Cis θ

A função /> é uma forma abreviada de escrever a expressão equivalente /> & # 160:

Por definição:

Esta forma simplifica a aritmética complexa e permite o estudo de análises complexas, além de reduzir a carga de trabalho na escrita das expressões.


6.1: Números Complexos

(x + sim)(você + vi) = (xuyv) + (xv + yu)eu.

Agora, se dois números complexos são iguais, suas partes reais devem ser iguais e suas partes imaginárias devem ser iguais. Para que zw = 1, nós & rsquoll precisamos

(xuyv) + (xv + yu)eu = 1.

Isso nos dá duas equações. O primeiro diz que as partes reais são iguais:

e a segunda diz que as partes imaginárias são iguais:

Agora, no nosso caso, z foi dado e C era desconhecido, então, nessas duas equações x e y são dados, e você e v são as incógnitas para resolver. Você pode facilmente resolver para você e v neste par de equações lineares simultâneas. Quando você fizer isso, você & rsquoll encontrará

Então, o recíproco de z = x + sim é o número C = você + vi Onde você e v tem os valores encontrados. Em resumo, temos a seguinte fórmula de reciprocidade:

Recíprocos feitos geometricamente e conjugados complexos.

Isso significa o comprimento de 1 /z é o recíproco do comprimento de z. Por exemplo, se |z| = 2, como no diagrama, então | 1 /z| = 1/2. Também significa o argumento para 1 /z é a negação disso para z. No diagrama, arg (z) é cerca de 65 & deg enquanto arg (1 /z) é cerca de & # 15065 & deg.

Você pode ver no diagrama outro ponto marcado com uma barra sobre z. Isso é chamado de conjugado complexo de z. Tem o mesmo componente real x, mas o componente imaginário é negado. A conjugação complexa nega o componente imaginário, então como uma transformação do plano C todos os pontos são refletidos no eixo real (ou seja, os pontos acima e abaixo do eixo real são trocados). Obviamente, os pontos no eixo real não mudam porque o complexo conjugado de um número real é ele mesmo.

Conjugados complexos nos fornecem outra maneira de interpretar os recíprocos. Você pode facilmente verificar se um número complexo z = x + sim vezes seu conjugado xsim é o quadrado do seu valor absoluto |z| 2 .

Portanto, 1 /z é o conjugado de z dividido pelo quadrado do seu valor absoluto |z| 2 .

Na figura, você pode ver que 1 / |z| e o conjugado de z mentir no mesmo raio de 0, mas 1 / |z| é apenas um quarto do comprimento do conjugado de z (e |z| 2 é 4).

A propósito, a conjugação complexa é uma operação surpreendentemente & ldquotransparente & rdquo. Ele comuta com todas as operações aritméticas: o conjugado da soma, diferença, produto ou quociente é a soma, diferença, produto ou quociente, respectivamente, dos conjugados. Essa operação é chamada de isomorfismo de campo.

Divisão.

A seguir, temos uma expressão em variáveis ​​complexas que usa conjugação complexa e divisão por um número real.


6.1: Números Complexos

Agora você verá matemáticos trabalhando: tornando as coisas fáceis mais difíceis para torná-las mais fáceis!

Como podemos dizer que o polinômio é irredutível, quando executamos o preenchimento do quadrado ou usamos a fórmula quadrática? Vamos tentar o preenchimento quadrático: não há muito o que fazer aqui, a transferência do termo constante é tudo o que precisamos fazer para ver qual é o problema:

Não podemos tirar raízes quadradas agora, pois o quadrado de cada número real não é negativo!

É aqui que o matemático entra: ela (ou ele) imagina que existem raízes de -1 (embora não sejam números reais) e as chama de ie - i. Portanto, a propriedade definidora deste número imaginado i é que

Agora que o polinômio tornou-se subitamente redutível, podemos escrever

O número a é chamado de parte real de a + bi, o número b é chamado de parte imaginária de a + bi.

Felizmente, a álgebra com números complexos funciona de forma muito previsível. Aqui estão alguns exemplos:

Em geral, a multiplicação funciona com o método FOIL:

Dois números complexos a + bi e a - bi são chamados de par conjugado complexo. A boa propriedade de um par conjugado complexo é que seu produto é sempre um número real não negativo:

Usando esta propriedade, podemos ver como dividir dois números complexos. Vejamos o exemplo

O truque mágico é multiplicar o numerador e o denominador pelo companheiro conjugado complexo do denominador, em nosso exemplo, multiplicamos por 1+ i:

Como (1+ i) (1- i) = 2 e (2 + 3 i) (1+ i) = - 1 + 5 i, obtemos

Você pode encontrar mais informações em nossa Seção de Números Complexos.

Usando a fórmula quadrática, as raízes calculam para

Não é difícil ver pela forma da fórmula quadrática, que se um polinômio quadrático tem raízes complexas, eles sempre serão um par conjugado complexo!

Aqui está outro exemplo. Considere o polinômio

é chamado de discriminante.

  • Se o discriminante for positivo, o polinômio tem 2 raízes reais distintas.
  • Se o discriminante for negativo, o polinômio tem 2 raízes complexas, que formam um par conjugado complexo.
  • Se o discriminante é zero, o polinômio tem uma raiz real de multiplicidade 2.

Já sabemos que todo polinômio pode ser fatorado sobre os números reais em um produto de fatores lineares e polinômios quadráticos irredutíveis. Mas agora também observamos que todo polinômio quadrático pode ser fatorado em 2 fatores lineares, se permitirmos números complexos. Consequentemente, a versão complexa do Teorema Fundamental da Álgebra é a seguinte:

Podemos afirmar isso também no idioma raiz:

O uso de números complexos torna as afirmações mais fáceis e & quotbelas & quot!


Descoberta

Foi por volta de 1740, e os matemáticos estavam interessados ​​em números imaginários.

Um número imaginário, quando ao quadrado dá um resultado negativo

Normalmente, isso é impossível (tente elevar ao quadrado alguns números, lembrando que multiplicar os negativos dá um positivo e veja se consegue um resultado negativo), mas imagine que você pode fazer isso!

E podemos ter esse número especial (chamado eu para imaginário):

Leonhard Euler estava se divertindo um dia, brincando com números imaginários (ou assim eu imagino!), E ele levou esta série de Taylor bem conhecida (leia sobre eles, eles são fascinantes):

e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! + .

E ele colocou eu afim disso:

e ix = 1 + ix + (ix) 2 2! + (ix) 3 3! + (ix) 4 4! + (ix) 5 5! + .

E porque i 2 = -1, simplifica para:

e ix = 1 + ix - x 2 2!ix 3 3! + x 4 4! + ix 5 5! − .

Agora agrupe todos os eu termos no final:

e ix = (1 - x 2 2! + x 4 4! -. ) + i (x - x 3 3! + x 5 5! − . )

E aqui está o milagre. os dois grupos são na verdade a série de Taylor para cos e pecado:

cos x = 1 − x 2 2! + x 4 4! − .
sin x = x - x 3 3! + x 5 5! − .

e eux = cos x + eu sin x

Ele deve ter ficado tão feliz quando descobriu isso!

E agora é chamado Fórmula de Euler.

Exemplo: quando x = 1,1

Nota: estamos usando radianos, não graus.

A resposta é uma combinação de um número real e um número imaginário, que juntos são chamados de número complexo.

Podemos plotar tal número no plano complexo (os números reais vão da esquerda para a direita e os números imaginários vão de cima para baixo):


Aqui nós mostramos o número 0.45 + 0.89 eu

Que é o mesmo que e 1.1i


Uma interpretação geométrica de números imaginários

Quatro números na linha real são multiplicados por potências inteiras da unidade imaginária, que corresponde a rotações por múltiplos do ângulo reto. Imagem: Kephir | Wikimedia Commons.


Um número complexo (a + bi) é apenas a rotação de um número regular. Com um número negativo, você conta regressivamente a partir da origem (zero) na reta numérica. Com um número imaginário, você girar em torno da origem, como na imagem acima. Os sinais + e & # 8211 em um número negativo informam a direção a seguir: esquerda ou direita na linha do número. Do mesmo jeito, eu diz a você para onde ir em um plano cartesiano (bem, parece como um plano cartesiano, apenas que o eixo y é rotulado eu em vez de). Pegue a equação básica para eu:
X 2 = & # 8211 1
Você pode reescrever isso como:
x * x = -1
O que é o mesmo que dizer:
Qual número, vezes em si, é -1?
Se você estiver tentando pensar em um número real, como 2 ou 3, lembre-se de que estamos trabalhando em um real diferente. Se você tiver x * x = 4, poderá usar a reta numérica para deduzir que 2 * 2 = 4 indo para a direita na linha 2 espaços e depois 2 espaços. Com números imaginários, você deseja girar, não multiplicar. Se você girar um número & # 8220x & # 8221 90 graus e, em seguida, 90 graus novamente (que é x * x no reino imaginário), você obtém -x.

Se você acha isso difícil de entender, deixe-o afundar um pouco. Considere o seguinte: não há muito tempo, as pessoas não conseguiam compreender os números negativos. Em 1798, um matemático britânico disse que eles & # 8220 & # 8230 obscurecem todas as doutrinas das equações e obscurecem as coisas que são em sua natureza excessivamente óbvias e simples. & # 8221 Hoje em dia, todo aluno do ensino fundamental sabe que um número negativo é o oposto de um número positivo.


As raízes da unidade têm uma forte relação com a geometria. Ao representar graficamente as raízes da unidade no plano complexo, eles podem ser usados ​​para gerar os vértices de um polígono regular.

Um triângulo equilátero tem seu centróide localizado na origem e um vértice em (1, 0) (1,0) (1, 0). Quais são as coordenadas dos outros dois vértices?

O ponto (1, 0) (1,0) (1, 0) corresponde ao número complexo 1 + 0 i 1 + 0i 1 + 0 i no plano complexo. Este número é um terceiro ^ text raiz da unidade. O outro 3 º ^ text As primeiras raízes da unidade serão os vértices restantes do triângulo equilátero no plano complexo:

- 1 + i 3 2 e - 1 - i 3 2 frac <-1 + i sqrt <3>> <2> text frac <-1-i sqrt <3>> <2> 2 - 1 + i 3

E 2 - 1 - i 3

​ ​

Esses números complexos correspondem aos seguintes pontos no plano de coordenadas:

(- 1 2, 3 2) e (- 1 2, - 3 2). □ left (- frac <1> <2>, frac < sqrt <3>> <2> right) text left (- frac <1> <2>, - frac > <2> right). _ square (- 2 1, 2 3

) E (- 2 1, - 2 3

​ ​ ) . □ ​


Cerca de

Esta é a documentação do ComplexHeatmap pacote. Os exemplos do livro são gerados na versão 2.7.7.

Você pode obter uma versão Bioconductor estável em http://bioconductor.org/packages/release/bioc/html/ComplexHeatmap.html, mas a versão mais atualizada está sempre no Github e você pode instalá-la por:

O branch de desenvolvimento no Bioconductor é basicamente sincronizado com o repositório Github.

O ComplexHeatmap pacote é inspirado no pheatmap pacote. Você pode encontrar muitos argumentos em ComplexHeatmap têm os mesmos nomes que em pheatmap. Além disso, você pode encontrar este pacote antigo que tentei desenvolver modificando pheatmap.

Observe que esta documentação não é totalmente compatível com versões mais antigas (& lt 1.99.0, antes de outubro de 2018), mas a funcionalidade principal permanece a mesma.

Se você usar ComplexHeatmap em suas publicações, agradeço se puder citar:

Gu, Z. (2016) mapas de calor complexos revelam padrões e correlações em dados genômicos multidimensionais. DOI: 10.1093 / bioinformática / btw313


Um polinômio com coeficientes racionais às vezes pode ser escrito como um produto de polinômios de grau inferior que também possuem coeficientes racionais. Em tais casos, diz-se que o polinômio "fator sobre os racionais". O fatoração é uma maneira útil de encontrar raízes racionais (que correspondem a fatores lineares) e raízes simples envolvendo raízes quadradas de inteiros (que correspondem a fatores quadráticos).

Polinômios com coeficientes racionais sempre têm tantas raízes, no plano complexo, quanto seu grau, entretanto, essas raízes muitas vezes não são números racionais. Nesses casos, o polinômio não será fatorado em polinômios lineares.

Funções racionais são quocientes de polinômios. Como os polinômios, as funções racionais desempenham um papel muito importante na matemática e nas ciências. Assim como acontece com os números racionais, as funções racionais são geralmente expressas em “termos mais baixos”. Para um determinado par de numerador e denominador, isso envolve encontrar seu maior divisor polinomial comum e removê-lo do numerador e do denominador.


Programa C

estrutura complexa
<
int real, img
>

int main ()
<
escolha interna, x, y, z
estrutura complexa a, b, c

enquanto (1)
<
printf ("Pressione 1 para adicionar dois números complexos. n")
printf ("Pressione 2 para subtrair dois números complexos. n")
printf ("Pressione 3 para multiplicar dois números complexos. n")
printf ("Pressione 4 para dividir dois números complexos. n")
printf ("Pressione 5 para sair. n")
printf ("Digite sua escolha n")
scanf ("% d" e escolha do amp)

if (escolha & gt = 1 & amp & amp choice & lt = 4)
<
printf ("Insira a e b onde a + ib é o primeiro número complexo.")
printf (" n uma cor: # 009900">)
scanf ("% d", & amp a. real)
printf ("b color: # 009900">)
scanf ("% d", & amp a. img)
printf ("Insira c e d, onde c + id é o segundo número complexo.")
printf (" n c color: # 009900">)
scanf ("% d", & amp b. real)
printf ("d color: # 009900">)
scanf ("% d", & amp b. img)
>
if (escolha == 1)
<
c. real = a. real + b. real
c. img = a. img + b. img

if (c. img & gt = 0)
printf ("Soma dos números complexos =% d +% di", c. real, c. img)
senão
printf ("Soma dos números complexos =% d% di", c. real, c. img)
>
else if (escolha == 2)
<
c. real = a. real - b. real
c. img = a. img - b. img

if (c. img & gt = 0)
printf ("Diferença dos números complexos =% d +% di", c. real, c. img)
senão
printf ("Diferença dos números complexos =% d% di", c. real, c. img)
>
else if (escolha == 3)
<
c. real = a. real * b. real - a. img * b. img
c. img = a. img * b. real + a. real * b. img

if (c. img & gt = 0)
printf ("Multiplicação dos números complexos =% d +% di", c. real, c. img)
senão
printf ("Multiplicação dos números complexos =% d% di", c. real, c. img)
>
else if (escolha == 4)
<
if (b. real == 0 & amp & amp b. img == 0)
printf ("A divisão por 0 + 0i não é permitida.")
senão
<
x = a. real * b. real + a. img * b. img
y = a. img * b. real - a. real * b. img
z = b. real * b. real + b. img * b. img

if (x% z == 0 & amp & amp y% z == 0)
<
if (y / z & gt = 0)
printf ("Divisão dos números complexos =% d +% di", x / z, y / z)
senão
printf ("Divisão dos números complexos =% d% di", x / z, y / z)
>
else if (x% z == 0 & amp & amp y% z! = 0)
<
if (y / z & gt = 0)
printf ("Divisão de dois números complexos =% d +% d /% di", x / z, y, z)
senão
printf ("Divisão de dois números complexos =% d% d /% di", x / z, y, z)
>
else if (x% z! = 0 & amp & amp y% z == 0)
<
if (y / z & gt = 0)
printf ("Divisão de dois números complexos =% d /% d +% di", x, z, y / z)
senão
printf ("Divisão de dois números complexos =% d% d /% di", x, z, y / z)
>
senão
<
if (y / z & gt = 0)
printf ("Divisão de dois números complexos =% d /% d +% d /% di", x, z, y, z)
senão
printf ("Divisão de dois números complexos =% d /% d% d /% di", x, z, y, z)
>
>
>
senão
printf ("Escolha inválida.")

printf (" n Pressione qualquer tecla para inserir a escolha novamente. n")
>
>


Assista o vídeo: Los números imaginarios son reales Parte 1: Introducción (Dezembro 2021).