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10.5: Uma aplicação para aproximação de Fourier


Se (U ) é uma base ortogonal de um espaço vetorial (V ), o teorema da expansão (Teorema [thm: 030904]) apresenta um vetor (v in V ) como uma combinação linear dos vetores em (VOCÊ). É claro que isso requer que o conjunto (U ) seja finito, pois, caso contrário, a combinação linear é uma soma infinita e não faz sentido em (V ).

No entanto, dado um conjunto ortogonal infinito (U = { vect {f} _1, vect {f} _2, dots, vect {f} _n, dots } ), podemos usar o teorema da expansão para ( { vect {f} _1, vect {f} _2, dots, vect {f} _n } ) para cada (n ) para obter uma série de “aproximações” ( vect {v} _n ) para um determinado vetor ( vect {v} ). Uma questão natural é se estes ( vect {v} _n ) estão ficando cada vez mais perto de ( vect {v} ) conforme (n ) aumenta. Isso acabou sendo uma ideia muito frutífera.

Nesta seção, iremos investigar um importante conjunto ortogonal no espaço ( vectspace {C} [- pi, pi] ) de funções contínuas no intervalo ([- pi, pi] ), usando o produto interno. [ langle f, g rangle = int _ {- pi} ^ { pi} f (x) g (x) dx ] Claro, o cálculo será necessário. O conjunto ortogonal em questão é [ {1, sin x, cos x, sin (2x), cos (2x), sin (3x), cos (3x), pontos } ]

As técnicas padrão de integração fornecem [ begin {alinhados} vectlength 1 vectlength ^ 2 & = int _ {- pi} ^ { pi} 1 ^ 2 dx = 2 pi vectlength sin kx vectlength ^ 2 & = int _ {- pi} ^ { pi} sin ^ 2 (kx) dx = pi quad mbox {para qualquer} k = 1, 2, 3, dots vectlength cos kx vectlength ^ 2 & = int _ {- pi} ^ { pi} cos ^ 2 (kx) dx = pi quad mbox {para qualquer} k = 1, 2, 3, pontos end {alinhados} ] Deixamos as verificações para o leitor, juntamente com a tarefa de mostrar que essas funções são ortogonais: [ langle sin (kx), sin (mx) rangle = 0 = langle cos (kx), cos (mx) rangle quad mbox {if} k neq m ] e [ langle sin (kx), cos (mx) rangle = 0 quad mbox {para todos} k geq 0 mbox {e} m geq 0 ] (Observe que (1 = cos (0x) ), portanto, a função constante (1 ) está incluída.)

Agora defina o seguinte subespaço de ( vectspace {C} [- pi, pi] ): [F_n = func {span} {1, sin x, cos x, sin (2x) , cos (2x), dots, sin (nx), cos (nx) } ] O objetivo é usar o teorema de aproximação (Teorema [thm: 031150]); então, dada uma função (f ) em ( vectspace {C} [- pi, pi] ), defina o Coeficientes de Fourier de (f ) por [ begin {alinhado} a_0 & = frac { langle f (x), 1 rangle} { vectlength 1 vectlength ^ 2} = frac {1} {2 pi } int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx a_k & = frac { langle f (x), cos (kx) rangle} { vectlength cos (kx) vectlength ^ 2} = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) cos (kx) dx quad k = 1, 2, dots b_k & = frac { langle f (x), sin (kx) rangle} { vectlength sin (kx) vectlength ^ 2} = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) sin (kx) dx quad k = 1, 2, dots end {alinhado} ] Então o teorema de aproximação (Teorema [thm: 031150]) fornece o Teorema [thm: 032777] .

032777 Seja (f ) qualquer função contínua de valor real definida no intervalo ([- pi, pi] ). Se (a_ {0} ), (a_ {1} ), ( dots ), e (b_ {0} ), (b_ {1} ), ( dots ) são os coeficientes de Fourier de (f ), então dados (n geq 0 ), [f_n (x) = a_0 + a_1 cos x + b_1 sin x + a_2 cos (2x) + b_2 sin (2x) + pontos + a_n cos (nx) + b_n sin (nx) ] é uma função em (F_ {n} ) que é mais próxima de (f ) no sentido de que [ vectlength f - f_n vectlength leq vectlength f - g vectlength ] vale para todas as funções (g ) em (F_ {n} ).

A função (f_ {n} ) é chamada de (n ) th Aproximação de Fourier para a função (f ).

032790 Encontre a quinta aproximação de Fourier para a função (f (x) ) definida em ([- pi, pi] ) como segue: [f (x) = left { begin {array} {ll} pi + x & mbox {if} - pi leq x <0 pi - x & mbox {if} 0 leq x leq pi end {array} right . ]

15cm

O gráfico de (y = f (x) ) aparece no diagrama superior. Os coeficientes de Fourier são calculados da seguinte maneira. Os detalhes das integrações (geralmente por partes) são omitidos.

[ begin {alinhados} a_0 & = frac {1} {2 pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = frac { pi} {2} \% linha 2 a_k & = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) cos (kx) dx = frac {2} { pi k ^ 2} [ 1 - cos (k pi)] = left { begin {array} {ll} 0 & mbox {if} k mbox {is even} frac {4} { pi k ^ 2 } & mbox {if} k mbox {é estranho} end {array} right. \% linha 3 b_k & = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) sin (kx) dx = 0 quad mbox {para todos} k = 1, 2, dots end {alinhados} ]

Portanto, a quinta aproximação de Fourier é [f_5 (x) = frac { pi} {2} + frac {4} { pi} left { cos x + frac {1} {3 ^ 2} cos (3x) + frac {1} {5 ^ 2} cos (5x) right } ] Isso é plotado no diagrama do meio e já é uma aproximação razoável para (f (x) ). Por comparação, (f_ {13} (x) ) também é plotado no diagrama inferior.

Dizemos que uma função (f ) é um função par if (f (x) = f (-x) ) vale para todos (x ); (f ) é chamado de Função estranha if (f (-x) = -f (x) ) vale para todos (x ). Exemplos de funções pares são funções constantes, as potências pares (x ^ {2} ), (x ^ {4} ), ( pontos ) e ( cos (kx) ); essas funções são caracterizadas pelo fato de que o gráfico de (y = f (x) ) é simétrico em relação ao eixo (y ). Exemplos de funções ímpares são as potências ímpares (x ), (x ^ {3} ), ( pontos ) e ( sin (kx) ) onde (k> 0 ), e o gráfico de (y = f (x) ) é simétrico em relação à origem se (f ) for ímpar. A utilidade dessas funções decorre do fato de que [ begin {array} {ll} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = 0 & mbox {if} f mbox {é ímpar} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = 2 int_ {0} ^ { pi} f (x) dx & mbox {if} f mbox {é par } end {array} ] Esses fatos geralmente simplificam os cálculos dos coeficientes de Fourier. Por exemplo:

  1. Todos os coeficientes de seno de Fourier (b_ {k} ) desaparecem se (f ) for par.
  2. Os coeficientes do cosseno de Fourier (a_ {k} ) desaparecem se (f ) for ímpar.

Isso ocorre porque (f (x) sin (kx) ) é ímpar no primeiro caso e (f (x) cos (kx) ) é ímpar no segundo caso.

As funções (1 ), ( cos (kx) ) e ( sin (kx) ) que ocorrem na aproximação de Fourier para (f (x) ) são fáceis de gerar como um voltagem elétrica (quando (x ) é o tempo). Somando esses sinais (com as amplitudes dadas pelos coeficientes de Fourier), é possível produzir um sinal elétrico com (a aproximação de) (f (x) ) como a tensão. Portanto, essas aproximações de Fourier desempenham um papel fundamental na eletrônica.

Finalmente, as aproximações de Fourier (f_ {1}, f_ {2}, dots ) ​​de uma função (f ) ficam cada vez melhores à medida que (n ) aumenta. A razão é que os subespaços (F_ {n} ) aumentam: [F_1 subseteq F_2 subseteq F_3 subseteq cdots subseteq F_n subseteq cdots ] Então, porque (f_n = proj {F_n} {f} ), obtemos (veja a discussão a seguir Exemplo [exa: 031164]) [ vectlength f - f_1 vectlength geq vectlength f - f_2 vectlength geq cdots geq vectlength f - f_n vectlength geq cdots ] Esses números ( vectlength f - f_ {n} vectlength ) se aproximam de zero; na verdade, temos o seguinte teorema fundamental.

032829 Seja (f ) qualquer função contínua em (C [- pi, pi] ). Então [f_n (x) mbox {se aproxima de} f (x) mbox {para todos} x mbox {de forma que} - pi

Isso mostra que (f ) tem uma representação como uma série infinita, chamada de Séries de Fourier de (f ): [f (x) = a_0 + a_1 cos x + b_1 sin x + a_2 cos (2x) + b_2 sin (2x) + cdots ] sempre que (- pi

Assim, a série de Fourier para a função (f ) no Exemplo [exa: 032790] é [f (x) = frac { pi} {2} + frac {4} { pi} left { cos x + frac {1} {3 ^ 2} cos (3x) + frac {1} {5 ^ 2} cos (5x) + frac {1} {7 ^ 2} cos (7x ) + cdots right } ] Dado que (f (0) = pi ) e ( cos (0) = 1 ), tomar (x = 0 ) leva à série [ frac { pi ^ 2} {8} = 1 + frac {1} {3 ^ 2} + frac {1} {5 ^ 2} + frac {1} {7 ^ 2} + cdots ]

032840 Expanda (f (x) = x ) no intervalo ([- pi, pi] ) em uma série de Fourier e, assim, obtenha uma expansão em série de ( frac { pi} {4} ).

Aqui (f ) é uma função ímpar, então todos os coeficientes do cosseno de Fourier (a_ {k} ) são zero. Quanto aos coeficientes de seno: [b_k = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} x sin (kx) dx = frac {2} {k} (- 1 ) ^ {k + 1} quad mbox {for} k geq 1 ] onde omitimos os detalhes da integração por partes. Portanto, a série de Fourier para (x ) é [x = 2 [ sin x - frac {1} {2} sin (2x) + frac {1} {3} sin (3x) - frac {1} {4} sin (4x) + dots] ] para (- pi

Exercícios para 1

soluções

2

[ex: 10_5_1] Em cada caso, encontre a aproximação de Fourier (f_ {5} ) da função dada em ( vectspace {C} [- pi, pi] ).

  1. (f (x) = pi - x )
  2. (f (x) = | x | = left { begin {array} {rl} x & mbox {if} 0 leq x leq pi -x & mbox {if} - pi leq x <0 end {array} right. )
  3. (f (x) = x ^ 2 )
  4. (f (x) = left { begin {array} {rl} 0 & mbox {if} - pi leq x <0 x & mbox {if} 0 leq x leq pi end {array} right. )
  1. ( displaystyle frac { pi} {2} - frac {4} { pi} leftB cos x + frac { cos 3x} {3 ^ 2} + frac { cos 5x} { 5 ^ 2} rightB )
  2. ( displaystyle frac { pi} {4} + leftB sin x - frac { sin 2x} {2} + frac { sin 3x} {3} - frac { sin 4x} { 4} + frac { sin 5x} {5} rightB )

    ( displaystyle - frac {2} { pi} leftB cos x + frac { cos 3x} {3 ^ 2} + frac { cos 5x} {5 ^ 2} rightB )

  1. Encontre (f_ {5} ) para a função par (f ) em ([- pi, pi] ) satisfazendo (f (x) = x ) para (0 leq x leq pi ).
  2. Encontre (f_ {6} ) para a função par (f ) em ([- pi, pi] ) satisfazendo (f (x) = sin x ) para (0 leq x leq pi ).

    [Dica: If (k> 1 ), ( int sin x cos (kx) = frac {1} {2} leftB frac { cos [(k - 1) x]} { k - 1} - frac { cos [(k + 1) x]} {k + 1} rightB ).]

  1. ( displaystyle frac {2} { pi} - frac {8} { pi} leftB frac { cos 2x} {2 ^ 2 - 1} + frac { cos 4x} {4 ^ 2 - 1} + frac { cos 6x} {6 ^ 2 - 1} rightB )
  1. Prove que ( int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = 0 ) se (f ) é ímpar e que ( int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = 2 int_ {0} ^ { pi} f (x) dx ) se (f ) for par.
  2. Prove que ( frac {1} {2} [f (x) + f (-x)] ) é par e que ( frac {1} {2} [f (x) - f (-x )] ) é ímpar para qualquer função (f ). Observe que eles somam (f (x) ).

Mostre que ( {1, cos x, cos (2x), cos (3x), dots } ) é um conjunto ortogonal em ( vectspace {C} [0, pi] ) com respeito ao produto interno ( langle f, g rangle = int_ {0} ^ { pi} f (x) g (x) dx ).

( int cos kx cos lx dx )
(= frac {1} {2} leftB frac { sin [(k + l) x]} {k + l} - frac { sin [(k - l) x]} {k - l} rightB_0 ^ { pi} = 0 ) desde que (k neq l ).

  1. Mostre que ( frac { pi ^ 2} {8} = 1 + frac {1} {3 ^ 2} + frac {1} {5 ^ 2} + cdots ) ​​usando o exercício [ex: 10_5_1 ] (b).
  2. Mostre que ( frac { pi ^ 2} {12} = 1 - frac {1} {2 ^ 2} + frac {1} {3 ^ 2} - frac {1} {4 ^ 2} + cdots ) ​​usando o Exercício [ex: 10_5_1] (c).

  1. O nome homenageia o matemático francês J.B.J. Fourier (1768-1830) que usou essas técnicas em 1822 para investigar a condução de calor em sólidos.↩

Aproximação de quadro de Fourier finito usando o método de reconstrução polinomial inversa

Em várias aplicações, os dados são coletados no domínio da frequência (Fourier) de maneira não uniforme, seja por projeto ou como consequência de medições inexatas. Os dois principais gargalos para a reconstrução de imagem a partir de dados de Fourier não uniformes são (i) não há maneira óbvia de realizar a aproximação numérica, pois os dados de Fourier não uniformes não são passíveis de técnicas de transformação rápida e reamostragem dos dados primeiro para espaçamento uniforme geralmente não é preciso nem robusto e (ii) o fenômeno de Gibbs é aparente quando a função subjacente (imagem) é suave por partes, uma ocorrência em quase todos os aplicativos. Investigações recentes sugerem que pode ser útil ver as amostras não uniformes de Fourier como coeficientes de quadro de Fourier ao projetar algoritmos de reconstrução que tentam mitigar qualquer um desses problemas fundamentais. O método de reconstrução polinomial inversa (IPRM) foi desenvolvido para resolver o fenômeno de Gibbs na reconstrução de funções analíticas por partes a partir de dados espectrais, notadamente dados de Fourier. Este artigo demonstra que o IPRM também é adequado para aproximar o operador de quadro Fourier inverso finito como uma projeção no espaço (L_2 ) ponderado de polinômios ortogonais. Além disso, o IPRM também pode ser usado para remover o fenômeno de Gibbs da aproximação do quadro de Fourier quando a função subjacente é suave por partes. Os resultados numéricos unidimensionais apresentados aqui demonstram que usar o IPRM desta forma produz uma aproximação robusta, estável e precisa de dados de Fourier não uniformes.

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10.5: Uma aplicação para aproximação de Fourier

OBJETIVO. A transformada de Fourier, uma ferramenta matemática fundamental amplamente usada na análise de sinais, é onipresente na radiologia e parte integrante da moderna formação de imagens de RM. Compreender as técnicas de ressonância magnética requer uma compreensão básica do que a transformada de Fourier realiza. A codificação da imagem MR, o preenchimento do espaço k e um amplo espectro de artefatos estão todos enraizados na transformada de Fourier.

CONCLUSÃO. Este artigo ilustra esses princípios básicos de Fourier e sua relação com a ressonância magnética.

Joseph Fourier (1768–1830) é responsável por observar que um sinal complexo pode ser reescrito como a soma infinita de ondas senoidais simples [1]. O próprio Fourier é mais famoso por aplicar este princípio para resolver uma série de equações diferenciais que governam a dissipação de calor. No entanto, as aplicações desse conceito são inestimáveis ​​para quem deseja estudar a composição de um sinal complexo, seja na forma de música, vozes, imagens ou imagens médicas digitais, incluindo ressonância magnética.

Qualquer sinal ou onda complicada pode ser reescrito como a soma de uma série de ondas simples. Uma aproximação de uma onda complicada pode ser alcançada adicionando ondas seno e co-seno muito simples (Fig. 1) com combinações variadas de frequências e amplitudes (Fig. 2). A série de Fourier (Fig. 3) fornece um meio para descrever uma onda complicada em termos de senos e cossenos simples. Quanto mais eles somarmos, cada um com frequência sucessivamente mais alta, melhor será a aproximação (Fig. 4A, 4B, 4C).

A transformada de Fourier decompõe um sinal complicado nas frequências e amplitudes relativas de suas ondas componentes simples.

A transformada de Fourier (Fig. 5A) nos permite estudar o conteúdo da frequência de uma variedade de sinais complicados [1]. Podemos visualizar e até mesmo manipular essas informações em um espaço de Fourier ou frequência (Fig. 5B). Um exemplo clínico familiar de um espaço de Fourier é o espectro de frequência e amplitude obtido durante a espectroscopia de RM (Fig. 5C). Os múltiplos picos (amplitudes) no espectro da espectroscopia MR representam as contribuições relativas de metabólitos biológicos específicos em uma determinada região de interesse (ROI), cada um diferindo ligeiramente na frequência de ressonância como resultado de sua estrutura química única [2].

Com relação à ressonância magnética, o sinal complicado que desejamos decompor é o eco da ressonância magnética que contém a informação espacial codificada em frequência e fase necessária para construir uma imagem. Seguindo o gradiente de seleção de fatia para uma sequência típica de spin-eco, que isola um plano de imagem particular, todos os sistemas de spin precessam na mesma frequência e fase ditada pelo campo magnético principal (Bo) Neste ponto, todos os prótons no plano de imagem desejado parecem iguais para a transformada de Fourier. A aplicação de campos de gradiente sobrepostos e dinamicamente variáveis ​​introduz variações espacialmente dependentes de frequência e fase na ROI, interrogando efetivamente a anatomia para todas as diferentes frequências espaciais. Quanto mais íngreme o gradiente aplicado, maior o grau de separação alcançável dos sistemas de spin possível. Gradientes fortes são necessários para buscar altas frequências espaciais (detalhes), enquanto gradientes menos acentuados trazem frequências espaciais mais baixas (contraste). Além disso, esses gradientes menores geram muito mais sinal coletivo do que gradientes íngremes porque as frequências de precessão e fase são geralmente mais semelhantes em toda a ROI (isso ficará evidente quando compararmos as porções centrais do espaço k com a periferia, discutido mais tarde). A amplitude dos ecos de retorno irá variar com a composição do tecido, TR e TE [3, 4].

Este sinal, de outra forma irremediavelmente complicado, é digitalizado, desmontado pela transformada de Fourier e inserido no espaço k, um espaço de Fourier 2D que organiza a frequência espacial e as informações de amplitude (Fig. 6A, 6B, 6C, 6D, 6E). Um pixel no espaço k, quando transformado inversamente, contribui com uma única frequência espacial específica (alternando linhas claras e escuras) para a imagem inteira. Uma transformada de Fourier inversa 2D de todo o espaço k combina todas as frequências espaciais e resulta na imagem que vemos. Dependendo de onde um pixel reside no espaço k, as linhas terão frequência e orientação variadas. Por convenção, altas frequências espaciais são mapeadas para a periferia do espaço k e baixas frequências espaciais são mapeadas perto da origem. A intensidade relativa de um pixel reflete sua contribuição geral para a imagem, com pixels mais brilhantes contribuindo mais com uma determinada frequência espacial.

O pico de radiofrequência é um artefato que exemplifica muito bem esse conceito. Uma faísca ou outra fonte de ruído de radiofrequência na sala do scanner de RM pode contaminar o eco de RM. Quando transformada de Fourier, a frequência dessa centelha pode ser incorporada erroneamente ao espaço k como um pixel anormal e brilhante. A frequência desonesta é então transformada em inverso de Fourier em ruído senoidal no espaço da imagem (Figs. 7A e 7B). O artefato de zíper é outra manifestação de vazamento de radiofrequência. É causada por uma faixa estreita e constante de emissão de radiofrequência que ocasionalmente emana de dispositivos de monitoramento de pacientes. Quando esse sinal indesejado é transformado em inverso de Fourier no espaço da imagem, ele se manifesta como linhas persistentes, finas e hiperintensas na direção da codificação de frequência que parecem se assemelhar a um zíper [3] (Fig. 7C).

Dependendo de como e quando escolhemos ativar uma combinação particular de gradientes de codificação de fase e frequência, temos a opção de preencher o espaço k de várias maneiras criativas. Se inspecionarmos o espaço de Fourier de uma fotografia de Lincoln (Fig. 8A), as porções mais intensas (pixels mais brilhantes) estão localizadas centralmente onde residem as baixas frequências (contraste). É aqui que os componentes mais essenciais da imagem são armazenados. Por corolário, ao preencher o espaço k, podemos escolher preencher as porções centrais de sinal-ruído alto e ignorar as regiões menos importantes e de sinal-ruído baixo para reduzir o tempo de aquisição. Isso pode ser realizado ativando gradientes correspondentes ao centro do espaço k, talvez em forma de espiral [3] (Fig. 8B). Além disso, a organização simétrica do espaço k, uma consequência direta das propriedades de simetria conjugada complexa inerente à transformada de Fourier, foi usada para diminuir o tempo de aquisição adquirindo apenas metade do espaço k [3] (Fig. 8C). Uma imagem espelhada da metade restante pode então ser gerada, economizando tempo em detrimento da relação sinal-ruído.

A codificação de fase envolve a ativação rápida e, a seguir, a desativação de um gradiente. Embora o gradiente esteja temporariamente ativado, alguns sistemas de spin terão precessão mais rápido do que outros, dependendo de sua localização ao longo do gradiente. Quando desligado, a taxa de precessão através do ROI irá se equilibrar, entretanto, uma mudança gradual e espacialmente dependente na fase terá sido “impressa” nos prótons [3, 4]. O aumento sucessivo da amplitude do gradiente de codificação de fase criará uma taxa de mudança de fase variável na ROI. Essa taxa de mudança de fase se traduz em um tipo de frequência que a transformada de Fourier resolve em diferentes frequências espaciais [5] (Fig. 9A). Quanto maior o número de etapas de codificação de fase realizadas, maior será a resolução espacial resultante (Fig. 9B).

O artefato de Gibbs é uma aproximação imperfeita de bordas nítidas por uma série de Fourier sem um número adequado de termos de alta frequência. Este efeito é facilmente mostrado removendo altas frequências espaciais do espaço de Fourier de uma imagem de Lincoln e transformando inversamente o resultado (Figs. 10A e 10B). Na ressonância magnética, isso é comumente referido como artefato de truncamento ou toque e torna-se perceptível quando poucas etapas de codificação de fase são realizadas. Muitas vezes é visto próximo à mesa interna da calvária (Fig. 10C) ou na medula espinhal cervical superior, onde pode ser confundido com uma siringe. Aumentar o número de etapas de codificação de fase (por exemplo, de 128 para 256) irá melhorar este artefato.

Como ele consome mais tempo na aquisição do sinal, o artefato de movimento ou fantasmas ocorrem mais visivelmente na direção de codificação de fase. No tempo que leva para aplicar uma nova etapa de amplitude de codificação de fase (aproximadamente segundos), uma estrutura em movimento pode ter assumido uma nova posição e, portanto, uma nova frequência de ressonância. A codificação de fase de uma mudança abrupta na posição está essencialmente aproximando uma borda afiada (mudança de frequência) com ondas sinusoidais (codificação de fase), levando ao artefato de toque em sua série de Fourier [6] (Fig. 11A, 11B). Quando esses erros de codificação de fase são transformados de Fourier inversa, a estrutura parece estar espalhada sobre a imagem na direção de codificação de fase, independentemente da direção original do movimento.

Artefato de aliasing ou wraparound (Fig. 12A, 12B) também está relacionado à codificação de fase e ao erro de registro de Fourier. Para entender esse artefato, lembre-se de que uma mudança de fase de exatamente 2π radianos ou 360 ° irá sobrepor duas ondas exatamente e, assim, negar qualquer benefício de transmitir variação espacial com base na fase. Isso deixa –π a + π (–180 ° a + 180 °) disponível para codificar por fase um determinado campo de visão. Artefato de aliasing ocorre quando sistemas de spin excitados de fora do campo de visão (menos que –π ou mais que + π) se sobrepõem com aqueles de fases idênticas dentro do campo de visão. Matematicamente indistinguíveis, essas estruturas são atribuídas pela transformada de Fourier à mesma posição espacial no espaço da imagem, fazendo com que se enrolem para o outro lado [3].

O deslocamento químico (artefato de tinta nanquim) é um fenômeno de erro de registro espacial que ocorre na direção de codificação de frequência. Prótons na gordura e na água precessam em frequências de ressonância ligeiramente diferentes (a lacuna se tornando mais proeminente com o aumento da força do campo magnético principal), com precessão da gordura mais lenta do que a água em cerca de 3,5 ppm. Durante a codificação de frequência, o sinal de um único voxel contendo gordura e água é atribuído a duas posições espaciais discretas com base nessas duas frequências de ressonância [3] (Fig. 13A). O resultado é uma margem brilhante ou escura acentuada correspondente às interfaces gordura-água. Se as frequências de ressonância de gordura e água não forem resolvidas como diferentes, os sinais aditivos de gordura e água de um determinado voxel resultarão em picos e vales oscilantes dependendo do TE, formando a base para imagens em fase e fora de fase (Fig. . 13B).

A transformada de Fourier é uma ferramenta fundamental na decomposição de um sinal complicado, permitindo-nos ver claramente os componentes de frequência e amplitude escondidos nele. No processo de geração de uma imagem MR, a transformada de Fourier resolve os sinais MR codificados em frequência e fase que compõem o espaço k. A transformada de Fourier inversa 2D do espaço k é a imagem MR que vemos. Uma compreensão da transformada de Fourier é essencial para a compreensão de vários artefatos de RM e a miríade de métodos de aquisição de sinal na prática hoje.


Aplicação de técnicas de transformada rápida de Fourier à aproximação de dipolo discreto

Mostramos como métodos de transformada rápida de Fourier podem ser usados ​​para acelerar cálculos de espalhamento e absorção por partículas de forma arbitrária usando a aproximação de dipolo discreto.

© 1991 Optical Society of America

Roland Schmehl, Brent M. Nebeker e E. Dan Hirleman
J. Opt. Soc. Sou. UMA 14(11) 3026-3036 (1997)

Bruce T. Draine e Piotr J. Flatau
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P. J. Flatau e B. T. Draine
Optar. Expressar 20(2) 1247-1252 (2012)

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Jian Dong, Wenjie Zhang e Linhua Liu
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Referências

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Geralmente sou muito preguiçoso para criticar as respostas, mesmo quando o OP pede. É mais fácil apontar com um ou dois comentários. Mas @zhw me envergonhou de realmente olhar para a resposta e talvez oferecer um pouco de um tutorial. Uma vez que fiz um comentário desleixado, espero que as repararei aqui.

Aqui estão algumas coisas que você sabe ou deveria saber a julgar pelo título do problema e sua resposta.

Uma função par contínua $ f $ em $ [- pi, pi] $ tem uma série de Fourier na forma $ sum_^ infty a_n cos nx $, mas esta série não precisa convergir pontualmente ou uniformemente para $ f $, a menos que você tenha suposições mais fortes sobre $ f $. [Aqui você não. Um curso sobre a série de Fourier pode não provar esse comentário negativo, apenas provar o comentário positivo, supondo, digamos, que $ f $ também seja de variação limitada ou continuamente diferenciável. É essencial saber por que os matemáticos do século 19 tiveram que se preocupar tanto para obter convergência.]

Uma função par contínua $ f $ em $ [- pi, pi] $ tem uma aproximação uniforme por um polinômio trigonométrico da forma $ sum_^ N a_n cos nx $ significa que, para cada $ epsilon & gt0 $, você pode selecionar pelo menos um polinômio de modo que $ left | soma_^ N a_n cos nx -f (x) right | & lt epsilon $ para todos $ - pi leq x leq pi $. [O teorema de Fejer fornece isso, assim como o teorema de Stone-Weierstrass.]

[Curva perigosa à frente!] Se você alterar $ epsilon $, pode ter que escolher um polinômio totalmente diferente, então $ a_n $ pode mudar. Assim, a afirmação # 2 não fornece uma série convergindo para $ f $, mas uma sequência de polinômios trigonométricos convergindo uniformemente para $ f $. Em outras palavras, Stone-Weierstrass ou teorema de Fejer não fornece $ f (x) = sum_^ infty a_n cos nx $ tanto pontualmente quanto uniformemente. Não escreva!

Se $ f (x) = sum_^ infty f_n (x) $ em $ [a, b] $ você não pode escrever $ int_a ^ b f = sum_^ infty int_a ^ b f_n $ sem reivindicar convergência uniforme (ou alguma propriedade mais avançada).

Se $ f (x) = lim_ f_n (x) $ em $ [a, b] $ você pode escrever $ int_a ^ b fh = lim_ int_a ^ b f_nh $ para qualquer $ h $ contínuo se você tiver certeza de ter convergência uniforme (ou alguma propriedade mais avançada).

Agora podemos arrumar sua solução. Suas ideias estavam bem, faltando apenas um pouco de cautela. Você tentou usar uma série, mas falhou - em vez disso, use uma sequência!

Para o primeiro problema, use Stone-Weierstrass para selecionar uma sequência apropriada de funções $ p_n a f $ uniformemente em $ [- pi, pi] $. Verifique se $ int _ <- pi> ^ pi f (x) p_n (x) , dx = 0 $ para cada $ n $ e se $ lim_ int _ <- pi> ^ pi f (x) p_n (x) , dx = int _ <- pi> ^ pi [f (x)] ^ 2 , dx. $ Conclua que $ f = 0 $ porque é contínuo.

Para o segundo problema, use Stone-Weierstrass para selecionar uma sequência apropriada de funções $ p_n a f $ uniformemente em $ [0,1] $. Verifique se $ int_ <0> ^ 1 f (x) p_n (x) , dx = 0 $ para cada $ n $ e se $ lim_ int_ <0> ^ 1 f (x) p_n (x) , dx = int_ <0> ^ 1 [f (x)] ^ 2 , dx. $ Conclua que $ f = 0 $ uma vez que é contínuo .


Detalhes do curso

Os objetivos do curso são ganhar facilidade com o uso da transformada de Fourier, tanto de técnicas específicas quanto de princípios gerais, e aprender a reconhecer quando, por que e como ela é usada. Junto com uma grande variedade, a matéria também tem uma grande coerência, e a esperança é que os alunos passem a apreciar ambas.

Os tópicos incluem: A transformada de Fourier como uma ferramenta para resolver problemas físicos. Série de Fourier, a transformada de Fourier de sinais contínuos e discretos e suas propriedades. O delta de Dirac, distribuições e transformações generalizadas. Convoluções e correlações e aplicações, distribuições de probabilidade, teoria de amostragem, filtros e análise de sistemas lineares. A transformada discreta de Fourier e o algoritmo FFT. Transformação de Fourier multidimensional e uso em geração de imagens. Outras aplicações em óptica, cristalografia. A ênfase está em relacionar os princípios teóricos à solução de problemas práticos de engenharia e ciências.


SIAM Journal on Numerical Analysis

O método Fourier – Gegenbauer (FG), introduzido por [Gottlieb, Shu, Solomonoff e Vandeven, ICASE Report 92-4, Hampton, VA, 1992], visa remover o fenômeno de Gibbs, ou seja, recuperar os valores de pontos de um função de seus coeficientes de Fourier. Neste artigo, discutimos alguns aspectos numéricos do método FG relacionados à sua implementação pseudoespectral. Em particular, analisamos o comportamento da série Gegenbauer com um número moderado (várias centenas) de termos adequados para cálculos. Também demonstramos a capacidade do método FG de obter uma aproximação espectralmente precisa em pequenos subintervalos para funções de oscilação rápida ou funções com perfis íngremes.

Com base na análise anterior, sugerimos um método espectral de Fourier de alta ordem para a solução de equações diferenciais não periódicas. Inclui uma técnica de subtração polinomial para acelerar a convergência da série de Fourier e o algoritmo FG para avaliar derivadas nos limites de funções não periódicas. O presente método híbrido Fourier-Gegenbauer (HFG) possui melhores propriedades de resolução do que o método FG original. A precisão desse método é demonstrada resolvendo problemas elípticos rígidos com soluções íngremes.


Fourier and wavelet transformations application to fault detection of induction motor with stator current

Fault detection of an induction motor was carried out using the information of the stator current. After synchronizing the actual data, Fourier and wavelet transformations were adopted in order to obtain the sideband or detail value characteristics under healthy and various faulty operating conditions. The most reliable phase current among the three phase currents was selected using an approach that employs the fuzzy entropy measure. Data were trained with a neural network system, and the fault detection algorithm was verified using the unknown data. Results of the proposed approach based on Fourier and wavelet transformations indicate that the faults can be properly classified into six categories. The training error is 5.3×10&minus7, and the average test error is 0.103.

Journal

Journal of Central South University of Technology &ndash Springer Journals


Introdução

Quantum Fourier Transform (QFT) is one of the most important operations in quantum computing. It can extract the periodicity encoded in the amplitudes of a quantum state, which is employed by an efficient algorithm for integer number factoring, widely known as Shor’s algorithm 1 . Shor’s integer factoring algorithm can be generalized (while still relying on the QFT) into a polynomial-time algorithm for the discrete logarithm problem over Abelian groups 1 . The importance of the above is witnessed through the threat such algorithms pose to modern public-key cryptosystems, such as the RSA or the ECC. Using the QFT as a subroutine, the eigenphase of a black-box unitary can be estimated up to an arbitrary precision 2 , which may be used to estimate quantum amplitudes 3,4 , simulate quantum chemistry/dynamics 5 , find the ground state/energy of a Hamiltonian 6 , compute Hessian to optimize molecular geometry 7 , exponentiate unitaries 8 , construct fractional powers of the QFT using constantly many copies of the controlled-QFT 8,9 , extract features of the solution of linear systems 10 , and more. QFT has also been used in quantum arithmetics 11,12 and quantum cryptography 13 .

QFT can be implemented approximately by removing all rotation gates with angles smaller than a certain threshold value, resulting in the Approximate QFT (AQFT). In practice, it was shown that it suffices to apply AQFT with

5.3 × 10 4 controlled rotation gates to factor 2048-digit numbers (reflecting the de facto key size for today’s standard 14 ) with a high expected algorithmic accuracy ( ≳ 99.992%) 15 . AQFT has been studied extensively in the literature. The robustness of the quantum computer equipped with the AQFT was investigated in detail 16,17,18,19,20 . A study of the optimal level of the approximation of the AQFT in the presence of certain errors may be found in ref. 21 . Implementation of the QFT and its approximate version over restricted architectures was addressed in refs 22,23 . An efficient approximate implementation of the AQFT that harnesses certain quantum hardware features was also investigated 24 .

Quantum information is fragile, and it is generally accepted that the implementation of large quantum algorithms must rely on the fault-tolerant computations. Fault tolerance suppresses the errors at the cost of using multiple physical qubits to encode a single logical qubit. Fault-tolerant computations must furthermore rely on a quantum gate library consisting of those gates that are constructible fault tolerantly. A standard choice for such a computationally universal gate library is Clifford+T. Within known fault tolerance approaches, Clifford gates can generally be implemented with the relative ease, frequently transversally. On the other hand, a non-Clifford gate typically does not admit such an implementation for instance, a T gate may be implemented fault tolerantly by distilling a certain quantum state and then teleporting it into the gate 25 . A T gate is indeed far more costly than any of the Clifford gates, and therefore efficient fault-tolerant circuits must minimize the T-count.

To implement an n-qubit AQFT to within a certain fixed error fault-tolerantly, the standard approach is to approximate the desired transformation by removing small-angle controlled rotations to bring down the gate count from O(n 2 ) [ref. 26 , page 219] to (Oleft(n >,(n) ight)) , and then replace the remaining (O(n >,(n))) controlled rotations with their Clifford+T implementations. The resulting circuit has the T-count of (O(n,,>^<2>(n))) . Only in the special case of the semiclassical version of AQFT 27 , where the AQFT transform is followed by the measurement, the T-count of (O(n ,>,(n))) implementation is known 28 . In contrast, in this paper, we focus on the fully coherent AQFT.

We develop a more efficient implementation with the T-count complexity of (O(n ,>,(>))) for the general case of fully coherent AQFT, improving over the standard construction by a factor of (O(>,(>))) . Including the dependence on the approximating error ε results in the reduction of complexity from (O(n,>,(n/varepsilon )>,(frac>,(n/varepsilon )>))) , assuming the error budget is split equally between the approximation of the QFT itself and the approximation by Clifford+T library, and evenly across gates needing the decomposition into Clifford+T, to (O(n >,(n/varepsilon )+>,(n/varepsilon )>,(frac<(n/varepsilon)>))) . We drop the dependence on ε in most discussions to improve the readability. Our results show that, in general and regardless of the amenability to the semiclassical approach, the AQFT may be implemented with (O(n, >,(n))) T gates. This allows for the efficient implementation of the AQFT in any quantum algorithm, including those that use the AQFT as subroutines in the midst of the quantum computation 5,7,10,12,13 . Since our implementation is more involved compared to the standard, we also make a separate effort to show that the constant factor and small-order additive terms missing in the asymptotic analyses but otherwise present in our construction do not prevent it from achieving a significant practical advantage.


Solved Problems

Click or tap a problem to see the solution.

Example 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Example 4

Example 5

Example 1.

We will use the Fourier sine series for representation of the nonhomogeneous solution to satisfy the boundary conditions. Using the results of Example 3 on the page Definition of Fourier Series and Typical Examples, we can write the right side of the equation as the series

We assume that the solution has the form

[yleft( x ight) = sumlimits_^infty <sin npi x> .]

Substituting this into the differential equation, we get

Since the coefficients of each sine mode must be equal to each other, we obtain the algebraic equation

Hence, the solution of the given differential equation is described by the series

Example 2.

We represent the function (fleft( x ight)) on the right-hand side of the equation as a Fourier series:

The complex Fourier coefficients are defined by the formula

Assuming that the solution can be represented as a Fourier series expansion

we find the expression for the derivative:

Substituting this into the differential equation, we get

As this equation is valid for all (n,) we obtain

Here () and (k) are known numbers. Consequently, the solution is given by


Assista o vídeo: Transformada de Fourier, transformada de un señal periódica, TFC40 (Novembro 2021).