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4: Geometria Vetorial


4: Geometria Vetorial

Coleção secundária de matemática

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Vetores avançados - Provando linhas retas e paralelas (GCSE Maths 9-1)

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Conteúdo

As rotações quadridimensionais são de dois tipos: rotações simples e rotações duplas.

Edição de rotações simples

Uma simples rotação R em torno de um centro de rotação O deixa um plano inteiro de A a O (plano-eixo) fixo. Todo plano B que é completamente ortogonal [a] a A intercepta A em um certo ponto P. Cada um desses pontos P é o centro da rotação 2D induzida por R em B. Todas essas rotações 2D têm o mesmo ângulo de rotação α.

As meias-linhas de O no plano do eixo A não são deslocadas as meias-linhas de O ortogonal para A são deslocadas através de α todas as outras meias-linhas são deslocadas através de um ângulo menor que α.

Edição de rotações duplas

Para cada rotação R de 4-espaço (fixando a origem), há pelo menos um par de 2-planos ortogonais A e B, cada um dos quais é invariante e cuja soma direta UMAB é tudo de 4 espaços. Portanto, R operando em qualquer um desses planos produz uma rotação normal desse plano. Para quase todo R (todo o conjunto 6-dimensional de rotações, exceto para um subconjunto tridimensional), os ângulos de rotação α no plano A e β no plano B - ambos assumidos como diferentes de zero - são diferentes. Os ângulos de rotação desiguais α e β satisfazendo −π & lt α , β & lt π são quase [b] exclusivamente determinados por R. Supondo que o espaço 4 seja orientado, as orientações dos 2 planos A e B podem ser escolhidas de acordo com essa orientação de duas maneiras. Se os ângulos de rotação forem desiguais ( αβ ), R às vezes é denominado "rotação dupla".

Nesse caso de rotação dupla, A e B são o único par de planos invariantes, e meias-linhas da origem em A, B são deslocadas por α e β respectivamente, e meias-linhas da origem não em A ou B são deslocados através de ângulos estritamente entre α e β.

Rotações isoclínicas Editar

Se os ângulos de rotação de uma rotação dupla são iguais, então existem infinitos planos invariantes em vez de apenas dois, e todas as meias-linhas de O são deslocadas pelo mesmo ângulo. Essas rotações são chamadas isoclínico ou rotações equiangulares, ou Deslocamentos de Clifford. Cuidado: nem todos os planos através de O são invariantes sob rotações isoclínicas, apenas os planos que são medidos por uma meia-linha e a meia-linha deslocada correspondente são invariantes.

Assumindo que uma orientação fixa foi escolhida para o espaço 4-dimensional, as rotações isoclínicas 4D podem ser colocadas em duas categorias. Para ver isso, considere uma rotação isoclínica R e tome um conjunto ordenado de orientação consistente OU, BOI, OY, OZ de meias-linhas mutuamente perpendiculares em O (denotadas como OUXYZ), de modo que OU e OX abrangem um plano invariável e, portanto, OY e OZ também abrangem um plano invariante. Agora suponha que apenas o ângulo de rotação α seja especificado. Então, existem em geral quatro rotações isoclínicas nos planos OUX e OYZ com ângulo de rotação α, dependendo dos sentidos de rotação em OUX e OYZ.

Fazemos a convenção de que os sentidos de rotação de OU para OX e de OY para OZ são considerados positivos. Então temos as quatro rotações R1 = (+α, +α) , R2 = (−α, −α) , R3 = (+α, −α) e R4 = (−α, +α) . R1 e R2 são inversos uns dos outros, então são R3 e R4 . Enquanto α estiver entre 0 e π, essas quatro rotações serão distintas.

Rotações isoclínicas com sinais semelhantes são denotadas como isoclínico esquerdo aqueles com sinais opostos como direito-isoclínico. As rotações isoclínicas à esquerda e à direita são representadas respectivamente pela multiplicação à esquerda e à direita por quatérnios unitários, consulte o parágrafo "Relação com os quatérnios" abaixo.

As quatro rotações são diferentes em pares, exceto se α = 0 ou α = π. O ângulo α = 0 corresponde à rotação de identidade α = π corresponde à inversão central, dada pelo negativo da matriz identidade. Esses dois elementos de SO (4) são os únicos que são simultaneamente isoclínicos à esquerda e à direita.

As isoclinas esquerda e direita definidas como acima parecem depender de qual rotação isoclínica específica foi selecionada. No entanto, quando outra rotação isoclínica R ′ com seus próprios eixos OU ′, OX ′, OY ′, OZ ′ é selecionada, então pode-se sempre escolher a ordem de U ′, X ′, Y ′, Z ′ de modo que OUXYZ pode ser transformado em OU′X′Y′Z ′ por uma rotação em vez de por uma reflexão de rotação (isto é, de modo que a base ordenada OU ′, OX ′, OY ′, OZ ′ também é consistente com a mesma escolha fixa de orientação como OU, OX, OY, OZ). Portanto, uma vez que se tenha selecionado uma orientação (isto é, um sistema OUXYZ de eixos que é universalmente denotado como destro), pode-se determinar o caráter esquerdo ou direito de uma rotação isoclínica específica.

Estrutura do grupo de SO (4) Editar

Cada plano através do centro de rotação O é o plano-eixo de um subgrupo comutativo isomórfico a SO (2). Todos esses subgrupos são conjugados mutuamente em SO (4).

Cada par de planos completamente ortogonais através de O é o par de planos invariantes de um subgrupo comutativo de SO (4) isomórfico a SO (2) × SO (2).

Esses grupos são toros máximos de SO (4), que são todos mutuamente conjugados em SO (4). Veja também o toro de Clifford.

Todas as rotações isoclínicas à esquerda formam um subgrupo não comutativo S 3 eu de SO (4), que é isomórfico ao grupo multiplicativo S 3 de quatérnios de unidade. Todas as rotações isoclínicas direitas da mesma forma formam um subgrupo S 3 R de SO (4) isomórfico a S 3 Ambos S 3 eu e S 3 R são subgrupos máximos de SO (4).

Cada rotação isoclínica esquerda comuta com cada rotação isoclínica direita. Isso implica que existe um produto direto S 3 eu × S 3 R com subgrupos normais S 3 eu e S 3 R ambos os grupos de fatores correspondentes são isomórficos ao outro fator do produto direto, isto é, isomórficos a S 3 (Este não é o SO (4) ou um subgrupo dele, porque S 3 eu e S 3 R não são disjuntos: a identidade eu e a inversão central -eu cada um pertence a ambos S 3 eu e S 3 R .)

Cada rotação 4D A é, de duas maneiras, o produto das rotações isoclínicas à esquerda e à direita UMAeu e UMAR . UMAeu e UMAR são determinados juntos até a inversão central, ou seja, quando ambos UMAeu e UMAR são multiplicados pela inversão central, seu produto é A novamente.

Isso implica que S 3 eu × S 3 R é o grupo de cobertura universal de SO (4) - sua capa dupla exclusiva - e que S 3 eu e S 3 R são subgrupos normais de SO (4). A rotação de identidade I e a inversão central -eu formar um grupo C2 de ordem 2, que é o centro de SO (4) e de ambos S 3 eu e S 3 R . O centro de um grupo é um subgrupo normal desse grupo. O grupo de fatores de C2 em SO (4) é isomórfico a SO (3) × SO (3). Os grupos de fatores de S 3 eu por C2 e de S 3 R por C2 são cada um isomórfico a SO (3). Da mesma forma, os grupos de fatores de SO (4) por S 3 eu e do SO (4) por S 3 R são cada um isomórfico a SO (3).

A topologia de SO (4) é a mesma do grupo de Lie SO (3) × Spin (3) = SO (3) × SU (2), ou seja, o espaço P 3 × S 3 < displaystyle mathbb

^ <3> times mathbb ^ <3>> onde P 3 < displaystyle mathbb

^ <3>> é o espaço projetivo real de dimensão 3 e S 3 < displaystyle mathbb ^ <3>> é a 3-esfera. No entanto, é digno de nota que, como um grupo de Lie, SO (4) não é um produto direto de grupos de Lie e, portanto, não é isomórfico a SO (3) × Spin (3) = SO (3) × SU (2 )

Propriedade especial de SO (4) entre grupos de rotação em geral Editar

Os grupos de rotação de dimensão ímpar não contêm a inversão central e são grupos simples.

Os grupos de rotação de dimensão par contêm a inversão central -eu e ter o grupo C2 = < eu , −eu > como seu centro. Para mesmo n ≥ 6, SO (n) é quase simples em que o grupo de fator SO (n) / C2 de SO (n) por seu centro é um grupo simples.

SO (4) é diferente: não há conjugação por nenhum elemento de SO (4) que transforma as rotações isoclínicas esquerda e direita uma na outra. Os reflexos transformam uma rotação isoclínica esquerda em uma isoclínica direita por conjugação e vice-versa. Isso implica que, sob o grupo O (4) de tudo isometrias com ponto fixo O nos subgrupos distintos S 3 eu e S 3 R são conjugados entre si e, portanto, não podem ser subgrupos normais de O (4). O grupo de rotação 5D SO (5) e todos os grupos de rotação superior contêm subgrupos isomórficos a O (4). Como SO (4), todos os grupos de rotação de dimensão par contêm rotações isoclínicas. Mas ao contrário de SO (4), em SO (6) e em todos os grupos de rotação par-dimensional superiores quaisquer duas rotações isoclínicas através do mesmo ângulo são conjugadas. O conjunto de todas as rotações isoclínicas não é nem mesmo um subgrupo de SO (2 N ), quanto mais um subgrupo normal.

SO (4) é comumente identificado com o grupo de mapeamentos lineares isométricos que preservam a orientação de um espaço vetorial 4D com produto interno sobre os números reais sobre si mesmo.

Com relação a uma base ortonormal em tal espaço, SO (4) é representado como o grupo de matrizes ortogonais de 4ª ordem reais com determinante +1.

Decomposição isoclínica Editar

Uma rotação 4D dada por sua matriz é decomposta em uma rotação isoclínica esquerda e uma rotação isoclínica direita [2] como segue:

ser sua matriz com respeito a uma base ortonormal arbitrária.

Calcule a partir disso o chamado matriz associada

M tem posto um e é de norma euclidiana unitária como um vetor 16D se e somente se A for de fato uma matriz de rotação 4D. Neste caso, existem números reais uma, b, c, d e p, q, r, s de tal modo que

Existem exatamente dois conjuntos de uma, b, c, d e p, q, r, s de tal modo que uma 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 e p 2 + q 2 + r 2 + s 2 = 1. Eles são opostos um do outro.

A matriz de rotação então é igual a

Essa fórmula é devida a Van Elfrinkhof (1897).

O primeiro fator nesta decomposição representa uma rotação isoclínica à esquerda, o segundo fator uma rotação isoclínica à direita. Os fatores são determinados até a matriz de identidade negativa de 4ª ordem, ou seja, a inversão central.

Relação com quatérnions Editar

Um ponto no espaço 4-dimensional com coordenadas cartesianas (você, x, y, z) pode ser representado por um quatérnio P = você + XI + yj + zk .

Uma rotação isoclínica à esquerda é representada pela multiplicação à esquerda por um quaternion unitário Qeu = uma + bi + cj + dk . Na linguagem do vetor-matriz, isso é

Da mesma forma, uma rotação isoclínica à direita é representada pela multiplicação à direita por um quaternion unitário QR = p + qi + rj + sk , que está na forma de vetor de matriz

Na seção anterior (# decomposição isoclínica) é mostrado como uma rotação 4D geral é dividida em fatores isoclínicos à esquerda e à direita.

Na linguagem do quatérnio, a fórmula de Van Elfrinkhof lê

u ′ + x ′ i + y ′ j + z ′ k = (a + b i + c j + d k) (u + x i + y j + z k) (p + q i + r j + s k),

De acordo com o matemático alemão Felix Klein, esta fórmula já era conhecida por Cayley em 1854 [ citação necessária ] .

A multiplicação do quaternion é associativa. Portanto,

o que mostra que as rotações isoclínica esquerda e isoclínica direita comutam.

Os valores próprios das matrizes de rotação 4D Editar

Os quatro valores próprios de uma matriz de rotação 4D geralmente ocorrem como dois pares conjugados de números complexos de magnitude unitária. Se um autovalor for real, deve ser ± 1, uma vez que uma rotação deixa a magnitude de um vetor inalterada. O conjugado desse autovalor também é unitário, produzindo um par de autovetores que definem um plano fixo e, portanto, a rotação é simples. Na notação de quatérnio, uma rotação adequada (ou seja, não invertida) em SO (4) é uma rotação simples adequada se e somente se as partes reais dos quatérnios unitários Qeu e QR são iguais em magnitude e têm o mesmo sinal. [c] Se ambos forem zero, todos os autovalores da rotação são unitários e a rotação é a rotação nula. Se as partes reais de Qeu e QR não são iguais, então todos os autovalores são complexos e a rotação é uma rotação dupla.

A fórmula de Euler-Rodrigues para rotações 3D Editar

Nosso espaço 3D comum é convenientemente tratado como o subespaço com sistema de coordenadas 0XYZ do espaço 4D com sistema de coordenadas UXYZ. Seu grupo de rotação SO (3) é identificado com o subgrupo de SO (4) que consiste nas matrizes

Na fórmula de Van Elfrinkhof na subseção anterior, esta restrição a três dimensões leva a p = uma , q = −b , r = −c , s = −d , ou em representação de quatérnio: QR = Qeu′ = Qeu -1. A matriz de rotação 3D então se torna

que é a representação da rotação 3D pelos seus parâmetros de Euler – Rodrigues: uma, b, c, d .

A fórmula do quaternion correspondente P ′ = QPQ -1, onde Q = Qeu , ou, na forma expandida:

x ′ i + y ′ j + z ′ k = (a + b i + c j + d k) (x i + y j + z k) (a - b i - c j - d k)

Coordenadas de Hopf Editar

As rotações no espaço 3D tornam-se matematicamente muito mais tratáveis ​​com o uso de coordenadas esféricas. Qualquer rotação em 3D pode ser caracterizada por um eixo fixo de rotação e um plano invariante perpendicular a esse eixo. Sem perda de generalidade, podemos tomar o plano xy como o plano invariante e o eixo z como o eixo fixo. Como as distâncias radiais não são afetadas pela rotação, podemos caracterizar uma rotação por seu efeito na esfera unitária (2 esferas) por coordenadas esféricas referidas ao eixo fixo e plano invariante:

Porque x 2 + y 2 + z 2 = 1, os pontos estão na 2-esfera. Um ponto em <θ0, φ0> girado por um ângulo φ sobre o eixo z é especificado simplesmente por <θ0, φ0 + φ>. Enquanto as coordenadas hiperesféricas também são úteis para lidar com rotações 4D, um sistema de coordenadas ainda mais útil para 4D é fornecido por coordenadas Hopf <ξ1, η, ξ2>, [3] que são um conjunto de três coordenadas angulares especificando uma posição na 3-esfera. Por exemplo:

Porque você 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1, os pontos estão na esfera 3.

No espaço 4D, cada rotação sobre a origem tem dois planos invariantes que são completamente ortogonais entre si e se cruzam na origem, e são girados por dois ângulos independentes ξ1 e ξ2 . Sem perda de generalidade, podemos escolher, respectivamente, os planos uz - e xy - como esses planos invariantes. Uma rotação em 4D de um ponto <ξ10, η0, ξ20> através dos ângulos ξ1 e ξ2 é então simplesmente expresso em coordenadas Hopf como <ξ10 + ξ1, η0, ξ20 + ξ2> .

Cada rotação no espaço 3D tem uma linha de eixo invariável que não é alterada pela rotação. A rotação é completamente especificada especificando o eixo de rotação e o ângulo de rotação em torno desse eixo. Sem perda de generalidade, este eixo pode ser escolhido como o eixo z de um sistema de coordenadas cartesianas, permitindo uma visualização mais simples da rotação.

No espaço 3D, as coordenadas esféricas <θ, φ> pode ser visto como uma expressão paramétrica da esfera 2. Para θ fixo, eles descrevem círculos na esfera 2 que são perpendiculares ao eixo z e esses círculos podem ser vistos como trajetórias de um ponto na esfera. Um ponto <θ0, φ0> na esfera, sob uma rotação sobre o eixo z, seguirá uma trajetória <θ0, φ0 + φ> conforme o ângulo φ varia. A trajetória pode ser vista como uma rotação paramétrica no tempo, onde o ângulo de rotação é linear no tempo: φ = ωt , com ω sendo uma "velocidade angular".

Análogo ao caso 3D, cada rotação no espaço 4D tem pelo menos dois planos de eixo invariantes que são deixados invariantes pela rotação e são completamente ortogonais (isto é, eles se cruzam em um ponto). A rotação é completamente especificada especificando-se os planos dos eixos e os ângulos de rotação em torno deles. Sem perda de generalidade, esses planos de eixo podem ser escolhidos para serem os planos uz - e xy - de um sistema de coordenadas cartesianas, permitindo uma visualização mais simples da rotação.

As rotações quadridimensionais podem ser derivadas da fórmula de rotação de Rodrigues e da fórmula de Cayley. Seja A uma matriz simétrica 4 × 4. A matriz assimétrica A pode ser decomposta exclusivamente como

em duas matrizes assimétricas UMA1 e UMA2 satisfazendo as propriedades UMA1UMA2 = 0 , UMA1 3 = −UMA1 e UMA2 3 = −UMA2 , onde ∓θ1eu e ∓θ2eu são os autovalores de A. Então, as matrizes de rotação 4D podem ser obtidas a partir das matrizes assimétricas. UMA1 e UMA2 pela fórmula de rotação de Rodrigues e pela fórmula de Cayley. [6]

Seja A uma matriz simétrica inclinada 4 × 4 diferente de zero com o conjunto de valores próprios

Então A pode ser decomposto como

Onde UMA1 e UMA2 são matrizes assimétricas que satisfazem as propriedades

Além disso, as matrizes assimétricas UMA1 e UMA2 são obtidos exclusivamente como

é uma matriz de rotação em E 4, que é gerado pela fórmula de rotação de Rodrigues, com o conjunto de autovalores

é uma matriz de rotação em E 4, que é gerado pela fórmula de rotação de Cayley, de modo que o conjunto de autovalores de R é,

A matriz de rotação geradora pode ser classificada em relação aos valores θ1 e θ2 do seguinte modo:


A magnitude do vetor ainda é o comprimento do vetor, mesmo em dimensões superiores.

Pode ajudar lembrar as raízes latinas de três palavras aqui:

vetor é latim para "transportador", como um navio ou cavalo, ou "passageiro" - algo que serve para um passeio. (Relacionado a veículo, uma coisa em que você anda.)

magnitude é o latim anglicizado para "grandeza". (Relacionado a lupa- um "biggifier".)

direção vem de um verbo latino para "dirigir", ou seja, para escolher a direção de transporte de um veículo.

Quando os físicos quiseram nomear uma quantidade matemática que levaria um ponto a um "passeio", denotando simultaneamente a distância e a direção, eles pegaram emprestadas as palavras latinas para essas coisas. A magnitude de um vetor é simplesmente o quão longe ele carrega um ponto.

É fácil perder isso de vista quando os conceitos foram abstraídos para dimensões superiores e ainda mais níveis de abstração, mas "ser levado para um passeio, uma certa distância em uma certa direção", é a metáfora subjacente.

A maneira mais fácil de intuir isso (em dimensões finitas) é tentar imaginar sua concepção de "comprimento do deslocamento" em mais de 3 dimensões.

Pense na maneira como o conceito de comprimento em 2 dimensões se estende ao conceito de comprimento em 3 dimensões quando um eixo ortogonal extra é adicionado. Em teoria (embora seja difícil de visualizar), poderíamos adicionar um 4º eixo ortogonal e criar um espaço 4-dimensional com distâncias e comprimentos. A magnitude do vetor em 4 dimensões é o comprimento do deslocamento neste novo espaço.

Em termos gerais, o conceito de comprimento corresponde ao norma que é uma função que atribui um comprimento ou tamanho estritamente positivo a cada vetor em um espaço vetorial, pois o vetor zero recebe um comprimento zero.

Em um espaço euclidiano n dimensional $ mathbb$, a noção intuitiva de comprimento do vetor $ x = (x_1, x_2,. x_n) $ é expressa por

que dá a distância ordinária da origem ao ponto X, como consequência do teorema de Pitágoras.

Se você tiver 4 variáveis ​​$ x, y, z, w $, e mover alterar essas variáveis ​​em $ delta x, delta y, delta z, delta w $ e $ sqrt <( delta x) ^ 2+ ( delta y) ^ 2 + ( delta z) 2+ ( delta w) ^ 2> $ é a magnitude de sua alteração.

Existem muitas respostas técnicas para sua pergunta, mas se considerarmos o conceito de rotação em dimensões superiores como garantido, você pode entender o comprimento de um vetor da mesma forma que o entende em dimensões inferiores.

Um vetor é um objeto unidimensional, você sempre pode girá-lo até que se alinhe com o eixo x, então seu comprimento é exatamente o que o comprimento normal no eixo x é.

Você pode entender a fórmula $ | vec x | = sqrt < sum_i x_i ^ 2> $, usando várias aplicações do teorema de Pitágoras em planos bidimensionais.

Por exemplo, para um vetor quadridimensional, há um componente do vetor ao longo da quarta dimensão. Se você subtrair esse componente, o restante é um vetor no espaço $ x $ - $ y $ - $ z $. Vamos chamá-lo de $ vec u = vec x - x_4 hat e_4 $. Você pode girar o espaço para que dois vetores $ vec u $ e $ hat e_4 $ estejam em seu plano $ x $ - $ y $ (ou mova o plano $ u $ - $ e_4 $). Então, pelo teorema de Pitágoras, $ | vec x | = sqrt <| vec u | ^ 2 + | x_4 hat e_4 | ^ 2> = sqrt <| vec u | ^ 2 + x_4 ^ 2> $. Este é apenas um triângulo retângulo no espaço bidimensional definido por $ vec u $ e $ hat e_4 $, e $ vec u $ e $ x_4 hat e_4 $ são seus lados. Mas você sabe que $ | vec u | ^ 2 = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 $ (este é apenas o comprimento na dimensão da árvore, você pode deduzir isso pelo mesmo argumento acima). Portanto, $ | vec x | = sqrt$.


Vetor 4

Retorna o produto escalar de dois vetores - consulte http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html O elemento W é ignorado.

O alvo é a Kismet Math Library

Retorna verdadeiro se o vetor A for igual ao vetor B (A == B) dentro de uma tolerância de erro especificada

O alvo é a Kismet Math Library

Retorna verdadeiro se o vetor A for igual ao vetor B (A == B)

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Determina se o vetor é normalizado / unidade (comprimento 1). O elemento W é ignorado.

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Determina se o vetor é normalizado / unidade (comprimento 1) dentro da tolerância quadrada especificada. O elemento W é ignorado.

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Retorna o comprimento do vetor.

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Retorna o comprimento quadrado do vetor.

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Retorna o comprimento do vetor. O elemento W é ignorado.

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ComprimentoXYZ Quadrado (Vetor4)

Retorna o comprimento quadrado do vetor. O elemento W é ignorado.

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Obtém uma cópia negada do vetor. Equivalente a -Vector para scripts.

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XYZ inseguro normal (Vector4)

Calcula a versão da unidade normalizada do vetor sem verificar o comprimento zero. O elemento W é ignorado e o vetor retornado tem W = 0.

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Normalizar no local XYZ (Vector4)

Normalize este vetor no local se for grande o suficiente ou configure-o para (0,0,0,0) caso contrário. O elemento W é ignorado e o vetor retornado tem W = 0.

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Obtém uma cópia da unidade normalizada do vetor, garantindo que seja seguro fazer isso com base no comprimento. O elemento W é ignorado e o vetor retornado tem W = 0. Retorna o vetor zero se o comprimento do vetor for muito pequeno para normalizar com segurança.

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Retorna verdadeiro se o vetor A não for igual ao vetor B (A! = B) dentro de uma tolerância de erro especificada

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Diferente exatamente (Vector4)

Retorna verdadeiro se o vetor A não for igual ao vetor B (A! = B) dentro de uma tolerância de erro especificada

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Transformar Vector4 por Matrix

Transforma o vetor4 de entrada por uma matriz4x4 fornecida e retorna o vetor4 resultante.

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Atribua os valores do vetor fornecido.

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Determina se algum componente não é um número (NAN)

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Vetor 4 é quase zero 3

Verifica se o vetor está próximo de zero dentro de uma tolerância especificada. O elemento W é ignorado.

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Verifica se todos os componentes do vetor são exatamente zero.

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Espelho Vector 4 por Vector 3

Dado um vetor de direção e uma normal de superfície, retorna o vetor refletido através da normal de superfície. Produz um resultado semelhante a um laser em um espelho! O elemento W é ignorado.


Obtém um valor que indica se as operações de vetor estão sujeitas à aceleração de hardware por meio do suporte intrínseco JIT.

Retorna um novo vetor cujos elementos são os valores absolutos dos elementos do vetor fornecido.

Retorna um novo vetor cujos valores são a soma de cada par de elementos de dois vetores fornecidos.

Retorna um novo vetor executando uma operação bit a bit And Not em cada par de elementos correspondentes em dois vetores.

Reinterpreta os bits de um vetor especificado em um vetor de bytes não assinados.

Reinterpreta os bits de um vetor especificado em um vetor de ponto flutuante de precisão dupla.

Reinterpreta os bits de um vetor especificado em um vetor de inteiros de 16 bits.

Reinterpreta os bits de um vetor especificado em um vetor de inteiros.

Reinterpreta os bits de um vetor especificado nos de um vetor de inteiros longos.

Reinterpreta os bits de um vetor especificado nos de um vetor de bytes assinados.

Reinterpreta os bits de um vetor especificado em um vetor de ponto flutuante de precisão única.

Reinterpreta os bits de um vetor especificado em um vetor de inteiros de 16 bits sem sinal.

Reinterpreta os bits de um vetor especificado nos de um vetor de inteiros sem sinal.

Reinterpreta os bits de um vetor especificado nos de um vetor de inteiros longos sem sinal.

Retorna um novo vetor executando uma operação bit a bit And em cada par de elementos em dois vetores.

Retorna um novo vetor executando uma operação bit a bit Or em cada par de elementos em dois vetores.

Retorna um novo vetor cujos elementos são os menores valores integrais maiores ou iguais aos elementos do vetor fornecido.

Retorna um novo vetor cujos elementos são os menores valores integrais maiores ou iguais aos elementos do vetor fornecido.

Cria um novo vetor de precisão única com elementos selecionados entre dois vetores de origem de precisão única especificados com base em um vetor de máscara integral.

Cria um novo vetor de precisão dupla com elementos selecionados entre dois vetores de origem de precisão dupla especificados com base em um vetor de máscara integral.

Cria um novo vetor de um tipo especificado com elementos selecionados entre dois vetores de origem especificados do mesmo tipo com base em um vetor de máscara integral.

Converte um Vector & ltInt64 & gt em um Vector & ltDouble & gt.

Converte um Vector & ltUInt64 & gt em um Vector & ltDouble & gt.

Converte um Vector & ltSingle & gt em um Vector & ltInt32 & gt.

Converte um Vector & ltDouble & gt em um Vector & ltInt64 & gt.

Converte um Vector & ltInt32 & gt em um Vector & ltSingle & gt.

Converte um Vector & ltUInt32 & gt em um Vector & ltSingle & gt.

Converte um Vector & ltSingle & gt em um Vector & ltUInt32 & gt.

Converte um Vector & ltDouble & gt em um Vector & ltUInt64 & gt.

Retorna um novo vetor cujos valores são o resultado da divisão dos elementos do primeiro vetor pelos elementos correspondentes no segundo vetor.

Retorna o produto escalar de dois vetores.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em dois vetores de precisão dupla especificados são iguais.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em dois vetores integrais especificados são iguais.

Retorna um novo vetor cujos elementos sinalizam se os elementos em dois vetores inteiros longos especificados são iguais.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em dois vetores de precisão única especificados são iguais.

Retorna um novo vetor de um tipo especificado cujos elementos sinalizam se os elementos em dois vetores especificados do mesmo tipo são iguais.

Retorna um valor que indica se cada par de elementos nos vetores fornecidos é igual.

Retorna um valor que indica se algum único par de elementos nos vetores fornecidos é igual.

Retorna um novo vetor cujos elementos são os maiores valores integrais que são menores ou iguais aos elementos do vetor fornecido.

Retorna um novo vetor cujos elementos são os maiores valores integrais que são menores ou iguais aos elementos do vetor fornecido.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor de ponto flutuante de precisão dupla são maiores do que seus elementos correspondentes em um segundo vetor de ponto flutuante de precisão dupla.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor integral são maiores do que seus elementos correspondentes em um segundo vetor integral.

Retorna um novo vetor de inteiro longo cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor de inteiro longo são maiores do que seus elementos correspondentes em um segundo vetor de inteiro longo.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor de ponto flutuante de precisão única são maiores do que seus elementos correspondentes em um segundo vetor de ponto flutuante de precisão única.

Retorna um novo vetor cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor de um tipo especificado são maiores do que seus elementos correspondentes no segundo vetor do mesmo tempo.

Retorna um valor que indica se todos os elementos no primeiro vetor são maiores do que os elementos correspondentes no segundo vetor.

Retorna um valor que indica se algum elemento no primeiro vetor é maior do que o elemento correspondente no segundo vetor.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor são maiores ou iguais aos seus elementos correspondentes no segundo vetor de ponto flutuante de precisão dupla.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor integral são maiores ou iguais aos seus elementos correspondentes no segundo vetor integral.

Retorna um novo vetor de inteiro longo cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor de inteiro longo são maiores ou iguais aos seus elementos correspondentes no segundo vetor de inteiro longo.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor são maiores ou iguais aos seus elementos correspondentes no segundo vetor de ponto flutuante de precisão simples.

Retorna um novo vetor cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor de um tipo especificado são maiores ou iguais aos seus elementos correspondentes no segundo vetor do mesmo tipo.

Retorna um valor que indica se todos os elementos no primeiro vetor são maiores ou iguais a todos os elementos correspondentes no segundo vetor.

Retorna um valor que indica se algum elemento no primeiro vetor é maior ou igual ao elemento correspondente no segundo vetor.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor de ponto flutuante de precisão dupla são menores que seus elementos correspondentes em um segundo vetor de ponto flutuante de precisão dupla.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor integral são menores do que seus elementos correspondentes em um segundo vetor integral.

Retorna um novo vetor de inteiro longo cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor de inteiro longo são menores do que seus elementos correspondentes em um segundo vetor de inteiro longo.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor de precisão única são menores do que seus elementos correspondentes em um segundo vetor de precisão única.

Retorna um novo vetor de um tipo especificado cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor são menores do que seus elementos correspondentes no segundo vetor.

Retorna um valor que indica se todos os elementos no primeiro vetor são menores que seus elementos correspondentes no segundo vetor.

Retorna um valor que indica se algum elemento no primeiro vetor é menor que o elemento correspondente no segundo vetor.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor de ponto flutuante de precisão dupla são menores ou iguais a seus elementos correspondentes em um segundo vetor de ponto flutuante de precisão dupla.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor integral são menores ou iguais aos seus elementos correspondentes em um segundo vetor integral.

Retorna um novo vetor inteiro longo cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor inteiro longo são menores ou iguais aos seus elementos correspondentes em um segundo vetor inteiro longo.

Retorna um novo vetor integral cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor de ponto flutuante de precisão única são menores ou iguais a seus elementos correspondentes em um segundo vetor de ponto flutuante de precisão única.

Retorna um novo vetor cujos elementos sinalizam se os elementos em um vetor são menores ou iguais aos seus elementos correspondentes no segundo vetor.

Retorna um valor que indica se todos os elementos no primeiro vetor são menores ou iguais a seus elementos correspondentes no segundo vetor.

Retorna um valor que indica se algum elemento no primeiro vetor é menor ou igual ao elemento correspondente no segundo vetor.

Returns a new vector whose elements are the maximum of each pair of elements in the two given vectors.

Returns a new vector whose elements are the minimum of each pair of elements in the two given vectors.

Returns a new vector whose values are a scalar value multiplied by each of the values of a specified vector.

Returns a new vector whose values are the values of a specified vector each multiplied by a scalar value.

Returns a new vector whose values are the product of each pair of elements in two specified vectors.

Narrows two Vector<Double> instances into one Vector<Single> .

Narrows two Vector<Int16> instances into one Vector<SByte> .

Narrows two Vector<Int32> instances into one Vector<Int16> .

Narrows two Vector<Int64> instances into one Vector<Int32> .

Narrows two Vector<UInt16> instances into one Vector<Byte> .

Narrows two Vector<UInt32> instances into one Vector<UInt16> .

Narrows two Vector<UInt64> instances into one Vector<UInt32> .

Returns a new vector whose elements are the negation of the corresponding element in the specified vector.

Returns a new vector whose elements are obtained by taking the one's complement of a specified vector's elements.

Returns a new vector whose elements are the square roots of a specified vector's elements.

Returns a new vector whose values are the difference between the elements in the second vector and their corresponding elements in the first vector.

Widens a Vector<Byte> into two Vector<UInt16> instances.

Widens a Vector<Int16> into two Vector<Int32> instances.

Widens a Vector<Int32> into two Vector<Int64> instances.

Widens a Vector<SByte> into two Vector<Int16> instances.

Widens a Vector<Single> into two Vector<Double> instances.

Widens a Vector<UInt16> into two Vector<UInt32> instances.

Widens a Vector<UInt32> into two Vector<UInt64> instances.

Returns a new vector by performing a bitwise exclusive Or ( XOr ) operation on each pair of elements in two vectors.


Proof that the 24 cell IS the 4 dimensional vector equilibrium

The sixth four dimensional ‘Platonic Solid’ known as the 24 cell IS the 4 dimensional vector equilibrium. (For basic information about the 6 regular convex polytopes I suggest starting here http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_regular_4-polytope. As far as I know this has not been noted before as googling the term 𔄜 dimensional vector equilibrium” at this time brings up no relevant results other than this page here. I have found one reference on Wolfram Mathworld that shows they are aware of the facts. The figure on the right is the most accurate diagram I have seen of this projection. Every point is connected to 8 other points.

The 24 cell is so named because it is bounded by 24 Octahedrons meeting at 24 points, 96 edges. The 24 points also form 96 equilateral triangular faces each of which is shared by 2 Octahedrons. When the vertices of the 24 cell are linked to the centre of the 4 dimensional figure the triangles form 96 tetrahedrons.

Although the 24 cells boundary is composed only of Octahedrons, internally the edges cell also form 12 cubes, 12 rhombic dodecahedrons, 3 hypercubes, and 12 cuboctahedra – but I am by no means finished counting all the incidental forms! Most likely the points of the dual of the hypercube known as the 16 cell are also present but not connected by edges.

To make these forms visible in 2 dimensional projection the 24 points can be arranged in 3 circles of 8 points with the central circle out of phase with the outer and inner circle. In 3 dimensional projection the central and outer circles should be separated into 2 circles of 4 points lifted above and below the plane of the 2 dimensional projection.

As the 24 cell is one of the 6 regular convex 4 dimensional solids, all 24 points are of course by definition equally distant from the centre of the 4 dimensional figure, and therefore all arranged on the hypersurface of a hypersphere of the same radius.

The 24 cell can be constructed from the hypercube (also known as the 8 cell or tesseract) by joining the centres of its adjacent squares.

Proof that the Points of the Triangles are the same distance apart as they are from the centre of the 24 cell

To be the 4 dimensional vector equilibrium the lengths of the edges of the 24 cell must be the same as the distance of the vertexes from the centre of the 4d form.
The proof that this is so can be done using only the Pythagorean theorem as follows.

First we calculate the distance of the vertexes of a hypercube from the centre of the hypercube.
The easiest way to do this is by creating a table showing the progression of distances as we climb up through the dimensions from the line, to the square, to the cube, to the hypercube.

Distances from the Centre to the various locations on Measure Polytopes of unit 2 Edge Length

VertexEdgeFaceSolidHypersolid
Line1
Quadradoroot 21
Cuberoot 3root 21
Hypercuberoot 4root 3root 21
5D Measure Solidroot 5root 4root 3root 21

Using this table we see that the vertexes of the hypercube are exactly the same distance from their connected neighbors as they are from the centre of the hypercube. For convenience we have called this two units so as to make the calculations as simple as possible.

Using the Pythagorean theorem the distance between centre points of the square faces of the hypercube can be easily calculated to be root 2.
Therefore when the cubes of the hypercube are converted to their dual octahedra by connecting their square centres, every edge length of the equilateral triangles will be root2 and the vertexes of the triangles will be root2 units from the centre of the 4 dimensional form.

Still curious about the Vector Equilibrium and the 24 Cell ?

Here is a video (interesting mostly for its historical value) of Buckminster Fuller explaining the ‘jitterbug’ collapse of a vector equilibrium with rubber joints.|

Vector Equilibrium: R. Buckminster Fuller
R. Buckminster Fuller on “The Vector Equilibrium “: Everything I Know Sessions, Philly, PA: 1975.For additional videos go to


Magnitude and Direction of Vectors

The magnitude of a vector P Q &rarr is the distance between the initial point P and the end point Q . In symbols the magnitude of P Q &rarr is written as | &thinsp P Q &rarr &thinsp | .

If the coordinates of the initial point and the end point of a vector is given, the Distance Formula can be used to find its magnitude.

| &thinsp P Q &rarr &thinsp | = ( x 2 &minus x 1 ) 2 + ( y 2 &minus y 1 ) 2

Find the magnitude of the vector P Q &rarr whose initial point P is at ( 1 , 1 ) and end point is at Q is at ( 5 , 3 ) .

Substitute the values of x 1 , y 1 , x 2 , and y 2 .

The magnitude of P Q &rarr is about 4.5 .

Direction of a Vector

The direction of a vector is the measure of the angle it makes with a horizontal line .

One of the following formulas can be used to find the direction of a vector:

tan &theta = y x , where x is the horizontal change and y is the vertical change

tan &theta = y 2 &thinsp &minus &thinsp y 1 x 2 &thinsp &minus &thinsp x 1 , where ( x 1 , y 1 ) is the initial point and ( x 2 , y 2 ) is the terminal point.

Find the direction of the vector P Q &rarr whose initial point P is at ( 2 , 3 ) and end point is at Q is at ( 5 , 8 ) .

The coordinates of the initial point and the terminal point are given. Substitute them in the formula tan &theta = y 2 &thinsp &minus &thinsp y 1 x 2 &thinsp &minus &thinsp x 1 .

Find the inverse tan, then use a calculator.

The vector P Q &rarr has a direction of about 59 ° .

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How can we show that $P, Q$ and $R$ are collinear?

In other words, to prove collinearity, we would need to show ((mathbf-mathbf)=k(mathbf-mathbf)) for some constant (k) .

For our example, we have (mathbf- mathbf= 2(mathbf- mathbf)) , and so (mathbf- mathbf= -2(mathbf- mathbf)) , telling us that (P, Q) and (R) are collinear.

  1. A unit vector parallel to the (x) -axis is represented by (mathbf) and a unit vector parallel to the (y) -axis by (mathbf). If (mathbf=amathbf+smathbf) and (mathbf=-amathbf+tmathbf) , where (a) is a constant and (s) and (t) are variables, show that the loci of (P) and (Q) are parallel straight lines. In this case find (mathbf) when (mathbf=2mathbf+3mathbf) and (OQ) is perpendicular to (OP) .

The locus of (P) will be the line (x = a) , while the locus of (Q) will be (x = -a) . These are parallel straight lines.

The diagram shows the case (a = 2) . The point (P) is at ((2,3)) , and (Q) is at ((-2,k)) .

We are told that (OP) and (OQ) are perpendicular, so the gradients of (OP) and (OQ) must multiply to (-1) .

We could alternatively use that (mathbf.mathbf=0) .

Thus (dfrac<3> <2> imes dfrac<-2>=-1 implies k = dfrac<4><3>) . Thus (mathbf = -2mathbf+dfrac<4><3>mathbf) .

UCLES A level Pure Mathematics Scholarship paper, QP 447/0, 1962, Q3

Question reproduced by kind permission of Cambridge Assessment Group Archives. The question remains Copyright University of Cambridge Local Examinations Syndicate (“UCLES”), All rights reserved.


Assista o vídeo: Clase 12 Parte 2 Explicacion Tarea 4, Geometria Vectorial Parcial 1 2020 02 (Dezembro 2021).