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1.5: Sistemas de classificação e homogêneos


Existe um tipo especial de sistema que requer estudos adicionais. Este tipo de sistema é chamado de sistema homogêneo de equações, que definimos acima na Definição [def: sistema homogêneo]. Nosso foco nesta seção é considerar quais tipos de soluções são possíveis para um sistema homogêneo de equações.

Considere a seguinte definição.

Definição ( PageIndex {1} ): Solução Trivial

Considere o sistema homogêneo de equações dado por [ begin {array} {c} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + cdots + a_ {1n} x_ {n} = 0 a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + cdots + a_ {2n} x_ {n} = 0 vdots a_ {m1} x_ {1} + a_ {m2 } x_ {2} + cdots + a_ {mn} x_ {n} = 0 end {array} ] Então, (x_ {1} = 0, x_ {2} = 0, cdots, x_ {n } = 0 ) é sempre uma solução para este sistema. Nós chamamos isso de solução trivial .

Se o sistema tem uma solução em que nem todos os (x_1, cdots, x_n ) são iguais a zero, então chamamos esta solução não trivial . A solução trivial não nos diz muito sobre o sistema, pois diz que (0 = 0 )! Portanto, ao trabalhar com sistemas de equações homogêneos, queremos saber quando o sistema tem uma solução não trivial.

Suponha que temos um sistema homogêneo de (m ) equações, usando (n ) variáveis, e suponha que (n> m ). Em outras palavras, existem mais variáveis ​​do que equações. Então, acontece que esse sistema sempre tem uma solução não trivial. O sistema não apenas terá uma solução não trivial, mas também infinitas soluções. Também é possível, mas não obrigatório, ter uma solução não trivial se (n = m ) e (n

Considere o seguinte exemplo.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Soluções para um sistema homogêneo de equações

Encontre as soluções não triviais para o seguinte sistema homogêneo de equações [ begin {array} {c} 2x + y - z = 0 x + 2y - 2z = 0 end {array} ]

Solução

Observe que este sistema tem (m = 2 ) equações e (n = 3 ) variáveis, portanto (n> m ). Portanto, por nossa discussão anterior, esperamos que esse sistema tenha infinitas soluções.

O processo que usamos para encontrar as soluções para um sistema homogêneo de equações é o mesmo processo que usamos na seção anterior. Primeiro, construímos a matriz aumentada, dada por [ left [ begin {array} {rrr | r} 2 & 1 & -1 & 0 1 & 2 & -2 & 0 end {array} right ] ] Em seguida, transportamos essa matriz para o seu, conforme abaixo. [ left [ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 end {array} right] ] O sistema de equações correspondente é [ begin {array} {c} x = 0 y - z = 0 end {array} ] Visto que (z ) não é restringido por nenhuma equação, sabemos que esta variável se tornará nosso parâmetro. Seja (z = t ) onde (t ) é qualquer número. Portanto, nossa solução tem a forma [ begin {array} {c} x = 0 y = z = t z = t end {array} ] Portanto, este sistema tem infinitas soluções, com um parâmetro (t ).

Suponha que devamos escrever a solução para o exemplo anterior de outra forma. Especificamente, [ begin {array} {c} x = 0 y = 0 + t z = 0 + t end {array} ] pode ser escrito como [ left [ begin {array} {r} x y z end {array} right] = left [ begin {array} {r} 0 0 0 end {array} right] + t left [ begin {array} {r} 0 1 1 end {array} right] ] Observe que construímos uma coluna a partir das constantes na solução (todas iguais a (0 )), como bem como uma coluna correspondente aos coeficientes em (t ) em cada equação. Embora discutiremos essa forma de solução mais em capítulos posteriores, por enquanto, considere a coluna de coeficientes do parâmetro (t ). Neste caso, esta é a coluna ( left [ begin {array} {r} 0 1 1 end {array} right] ).

Há um nome especial para esta coluna, que é solução básica. As soluções básicas de um sistema são colunas construídas a partir dos coeficientes dos parâmetros da solução. Freqüentemente denotamos soluções básicas por (X_1, X_2 ) etc., dependendo de quantas soluções ocorrem. Portanto, Exemplo [exa: solução homogênea] tem a solução básica (X_1 = left [ begin {array} {r} 0 1 1 end {array} right] ).

Exploraremos isso com mais detalhes no exemplo a seguir.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Soluções Básicas de um Sistema Homogêneo

Considere o seguinte sistema homogêneo de equações. [ begin {array} {c} x + 4y + 3z = 0 3x + 12y + 9z = 0 end {array} ] Encontre as soluções básicas para este sistema.

Solução

A matriz aumentada deste sistema e o resultado são [ left [ begin {array} {rrr | r} 1 & 4 & 3 & 0 3 & 12 & 9 & 0 end {array} right] rightarrow cdots rightarrow left [ begin {array} {rrr | r} 1 & 4 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right] ] Quando escrito em equações, este sistema é dado por [x + 4y + 3z = 0 ] Observe que apenas (x ) corresponde a uma coluna dinâmica. Neste caso, teremos dois parâmetros, um para (y ) e outro para (z ). Seja (y = s ) e (z = t ) para quaisquer números (s ) e (t ). Então, nossa solução se torna [ begin {array} {c} x = -4s - 3t y = s z = t end {array} ] que pode ser escrito como [ left [ begin {array} {r} x y z end {array} right] = left [ begin {array} {r} 0 0 0 end {array} right] + s left [ begin {array} {r} -4 1 0 end {array} right] + t left [ begin {array} {r} -3 0 1 end {array} right] ] Você pode ver aqui que temos duas colunas de coeficientes correspondentes aos parâmetros, especificamente uma para (s ) e outra para (t ). Portanto, este sistema possui duas soluções básicas! Estes são [X_1 = left [ begin {array} {r} -4 1 0 end {array} right], X_2 = left [ begin {array} {r} -3 0 1 end {array} right] ]

Apresentamos agora uma nova definição.

Definição ( PageIndex {1} ): Combinação Linear

Sejam (X_1, cdots, X_n, V ) matrizes de coluna. Então (V ) é considerado um combinação linear das colunas (X_1, cdots, X_n ) se houver escalares, (a_ {1}, cdots, a_ {n} ) tais que [V = a_1 X_1 + cdots + a_n X_n ]

Um resultado notável desta seção é que uma combinação linear das soluções básicas é novamente uma solução para o sistema. Ainda mais notável é que cada solução pode ser escrita como uma combinação linear dessas soluções. Portanto, se tomarmos uma combinação linear das duas soluções do Exemplo [exa: soluções básicas], também seria uma solução. Por exemplo, podemos pegar a seguinte combinação linear

[3 left [ begin {array} {r} -4 1 0 end {array} right] + 2 left [ begin {array} {r} -3 0 1 end {array} right] = left [ begin {array} {r} -18 3 2 end {array} right] ] Você deve reservar um momento para verificar se [ esquerda [ begin {array} {r} x y z end {array} right] = left [ begin {array} {r} -18 3 2 end {array} certo]]

é na verdade uma solução para o sistema do Exemplo [exa: soluções básicas].

Outra forma de obtermos mais informações sobre as soluções de um sistema homogêneo é considerar o classificação da matriz de coeficiente associada. Agora definimos o que se entende por classificação de uma matriz.

Definição ( PageIndex {1} ): Classificação de uma matriz

Seja (A ) uma matriz e considere qualquer um dos (A ). Então, o número (r ) das entradas iniciais de (A ) não depende do que você escolher, e é chamado de classificação de (A ). Nós o denotamos por Rank ( (A )).

Da mesma forma, poderíamos contar o número de posições de pivô (ou colunas de pivô) para determinar a classificação de (A ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando a classificação de uma matriz

Considere a matriz [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 3 1 & 5 & 9 2 & 4 & 6 end {array} right] ] Qual é a sua classificação?

Solução

Primeiro, precisamos encontrar o de (A ). Por meio do algoritmo usual, descobrimos que é [ left [ begin {array} {rrr} fbox {1} & 0 & -1 0 & fbox {1} & 2 0 & 0 & 0 end {array} right] ] Aqui temos duas entradas principais, ou duas posições de pivô, mostradas acima nas caixas. A classificação de (A ) é (r = 2. )

Observe que teríamos obtido a mesma resposta se tivéssemos encontrado o de (A ) em vez de.

Suponha que temos um sistema homogêneo de (m ) equações em (n ) variáveis ​​e suponha que (n> m ). Por nossa discussão acima, sabemos que este sistema terá infinitas soluções. Se considerarmos a classificação da matriz de coeficientes desse sistema, podemos descobrir ainda mais sobre a solução. Observe que estamos olhando apenas a matriz de coeficientes, não a matriz aumentada inteira.

Teorema ( PageIndex {1} ): Classificação e soluções para um sistema homogêneo

Seja (A ) a matriz de coeficientes (m vezes n ) correspondente a um sistema homogêneo de equações e suponha que (A ) tenha classificação (r ). Então, a solução para o sistema correspondente tem parâmetros (n-r ).

Considere nosso exemplo acima [exa: soluções básicas] no contexto deste teorema. O sistema neste exemplo tem (m = 2 ) equações em (n = 3 ) variáveis. Primeiro, porque (n> m ), sabemos que o sistema tem uma solução não trivial e, portanto, infinitas soluções. Isso nos diz que a solução conterá pelo menos um parâmetro. A classificação da matriz de coeficientes pode nos dizer ainda mais sobre a solução! A classificação da matriz de coeficientes do sistema é (1 ), pois tem uma entrada principal em. O teorema [thm: rankhomogeneoussolutions] nos diz que a solução terá (n-r = 3-1 = 2 ) parâmetros. Você pode verificar se isso é verdade na solução de Exemplo [exa: soluções básicas].

Observe que se (n = m ) ou (n

Não estamos limitados a sistemas homogêneos de equações aqui. A classificação de uma matriz pode ser usada para aprender sobre as soluções de qualquer sistema de equações lineares. Na seção anterior, discutimos que um sistema de equações pode não ter solução, uma solução única ou infinitas soluções. Suponha que o sistema seja consistente, seja ele homogêneo ou não. O teorema a seguir nos diz como podemos usar a classificação para aprender sobre o tipo de solução que temos.

Teorema ( PageIndex {1} ): Classificação e soluções para um sistema consistente de equações

Seja (A ) a matriz aumentada (m times left (n + 1 right) ) correspondente a um sistema consistente de equações em (n ) variáveis, e suponha que (A ) tenha classificação (r ). Então

  1. o sistema tem uma solução única se (r = n )

  2. o sistema tem infinitas soluções se (r

Não apresentaremos uma prova formal disso, mas considere as discussões a seguir.

  1. Sem solução O teorema acima assume que o sistema é consistente, ou seja, que tem uma solução. Acontece que é possível que a matriz aumentada de um sistema sem solução tenha qualquer classificação (r ) desde que (r> 1 ). Portanto, devemos saber que o sistema é consistente para usar este teorema!

  2. Solução Única Suponha que (r = n ). Então, há uma posição de pivô em cada coluna da matriz de coeficiente de (A ). Portanto, existe uma solução única.

  3. Soluções infinitas Suponha que (r


Ao realizar operações de linha elementares em um sistema homogêneo, obtemos sistemas equivalentes que são todos homogêneos. Na verdade, as operações elementares de linha (multiplicando uma equação por uma constante diferente de zero adicionando um múltiplo de uma equação a outra equação trocando duas equações) deixam o vetor zero de constantes no lado direito do sinal de igual inalterado.

Como conseqüência, podemos transformar o sistema original em um sistema homogêneo equivalente, onde a matriz está na forma escalonada de linha (REF).


1.5: Sistemas de classificação e homogêneos

Agora precisamos abordar os sistemas não homogêneos brevemente. Ambos os métodos que examinamos no capítulo sobre equações diferenciais de segunda ordem também podem ser usados ​​aqui. Como veremos, Coeficientes Indeterminados é quase idêntico quando usado em sistemas, enquanto Variação de Parâmetros precisará ter uma nova fórmula derivada, mas será um pouco mais fácil quando aplicada a sistemas.

Coeficientes Indeterminados

O método de coeficientes indeterminados para sistemas é praticamente idêntico ao caso da equação diferencial de segunda ordem. A única diferença é que os coeficientes precisarão ser vetores agora.

Vamos dar uma rápida olhada em um exemplo.

Já temos a solução complementar, pois resolvemos essa parte na seção de autovalores reais. Isto é,

Adivinhar a forma de uma solução específica funcionará exatamente da mesma forma que funcionava quando vimos esse método pela primeira vez. Temos um polinômio linear e, portanto, nossa estimativa precisará ser um polinômio linear. A única diferença é que os “coeficientes” precisarão ser vetores em vez de constantes. A solução específica terá a forma,

Então, precisamos diferenciar o palpite

Antes de conectar ao sistema, vamos simplificar um pouco a notação para ajudar em nosso trabalho. Vamos escrever o sistema como,

Isso tornará o trabalho a seguir um pouco mais fácil. Agora, vamos conectar coisas ao sistema.

[começar vec a & = A left ( direita) + t vec g vec a & = tA vec a + A vec b + t vec g vec 0 & = t left ( direita) + esquerda ( right) end]

Agora precisamos definir os coeficientes iguais. Fazer isso dá,

Agora, apenas ( vec a ) é desconhecido na primeira equação, então podemos usar a eliminação Gaussiana para resolver o sistema. Vamos deixar esse trabalho para você verificar.

Agora que sabemos ( vec a ), podemos resolver a segunda equação para ( vec b ).

Então, uma vez que fomos capazes de resolver as duas equações, a solução particular é, então,

A solução geral é então,

Então, como você pode ver, os coeficientes indeterminados são quase os mesmos da primeira vez que vimos. O trabalho de resolução das “constantes” é um pouco mais confuso.

Variação de Parâmetros

Nesse caso, precisaremos derivar uma nova fórmula para variação de parâmetros para sistemas. A derivação desta vez será muito mais simples do que quando vimos a variação de parâmetros pela primeira vez.

Primeiro seja (X (t) ) uma matriz cujo (i ^ < text> ) coluna é o (i ^ < text> ) solução linearmente independente para o sistema,

Agora pode ser mostrado que (X (t) ) será uma solução para a seguinte equação diferencial.

Isso nada mais é do que o sistema original com a matriz no lugar do vetor original.

Vamos tentar encontrar uma solução específica para

[ vec x '= A vec x + vec g left (t right) ]

Vamos supor que podemos encontrar uma solução para o formulário,

[< vec x_P> = X esquerda (t direita) , vec v esquerda (t direita) ]

onde precisaremos determinar o vetor ( vec v left (t right) ). Para fazer isso, precisaremos conectá-lo ao sistema não homogêneo. Não se esqueça de definir a regra de produto da solução particular ao conectar a suposição ao sistema.

[X ', vec v + X , vec v' = A , X , vec v + vec g ]

Observe que eliminamos a parte ( left (t right) ) das coisas para simplificar um pouco a notação. Agora usando ( eqref) podemos reescrever isso um pouco.

[começarX ', vec v + X , vec v' & = X ', vec v + vec g X , vec v' & = vec g end]

Como formamos (X ) usando soluções linearmente independentes, sabemos que ( det (X) ) deve ser diferente de zero e isso significa que podemos encontrar o inverso de (X ). Portanto, multiplique ambos os lados pelo inverso de (X ).

Agora tudo o que precisamos fazer é integrar os dois lados para obter ( vec v left (t right) ).

[, vec v left (t right) = int <<> vec g , dt >> ]

Como no caso da equação diferencial de segunda ordem, podemos ignorar quaisquer constantes de integração. A solução particular é então,

Vamos trabalhar um exemplo rápido usando isso.

Encontramos a solução complementar para este sistema na seção de autovalores reais. Isto é,

Agora, precisamos encontrar o inverso dessa matriz. Vimos como encontrar inversos de matrizes na segunda seção de revisão de álgebra linear e o processo é o mesmo aqui, embora não tenhamos entradas constantes. Deixaremos os detalhes para você verificar.

Agora faça a multiplicação na integral.

Lembre-se de que para integrar uma matriz ou vetor basta integrar as entradas individuais.

Agora podemos obter a solução específica.

A solução geral é então,

Portanto, parte do trabalho pode ser um pouco confuso, mas no geral não é tão ruim.

Vimos dois métodos de resolução de equações diferenciais não homogêneas aqui e, embora o trabalho possa ser um pouco confuso, eles não são tão ruins. Claro, também mantivemos a parte não homogênea bastante simples aqui. Problemas mais complicados terão uma quantidade significativa de trabalho envolvido.


Martha L. Abell, James P. Braselton, em Mathematica por Exemplo (Quinta Edição), 2017

6.4.1.1 Sistemas Lineares Homogêneos

O sistema homogêneo correspondente de equação (6.28) é

Da mesma forma que com as equações lineares discutidas anteriormente, um solução geral da equação (6.28) é X = X h + X p onde X h é um solução geral da equação (6.29) e X p é um solução particular da equação do sistema não homogêneo (6.28).

UMA solução particular para um sistema de equações diferenciais ordinárias é um conjunto de funções que satisfazem o sistema, mas não contém quaisquer constantes arbitrárias. Ou seja, uma solução particular para um sistema é um conjunto de funções específicas, não contendo constantes arbitrárias, que satisfaçam o sistema.

Se Φ 1 = (ϕ 11 ϕ 21 ⋮ ϕ n 1), Φ 2 = (ϕ 12 ϕ 22 ⋮ ϕ n 2),…, Φ n = (ϕ 1 n ϕ 2 n ⋮ ϕ n n) são n soluções linearmente independentes da equação (6.29), a solução geral da equação (6.29) é

Φ = (ϕ 11 ϕ 12… ϕ 1 n ϕ 21 ϕ 22… ϕ 2 n ⋮ ⋮… ⋮ ϕ n 1 ϕ n 2… ϕ n n) é chamado de matriz fundamental para a equação (6.29). Se Φ é uma matriz fundamental para a equação (6.29), Φ ′ = A Φ ou Φ ′ - A Φ = 0.


1.5: Sistemas de classificação e homogêneos

Agora precisamos abordar os sistemas não homogêneos brevemente. Ambos os métodos que examinamos no capítulo sobre equações diferenciais de segunda ordem também podem ser usados ​​aqui. Como veremos, Coeficientes Indeterminados é quase idêntico quando usado em sistemas, enquanto Variação de Parâmetros precisará ter uma nova fórmula derivada, mas será um pouco mais fácil quando aplicada a sistemas.

Coeficientes Indeterminados

O método de coeficientes indeterminados para sistemas é praticamente idêntico ao caso da equação diferencial de segunda ordem. A única diferença é que os coeficientes precisarão ser vetores agora.

Vamos dar uma rápida olhada em um exemplo.

Já temos a solução complementar, pois resolvemos essa parte na seção de autovalores reais. Isto é,

Adivinhar a forma de uma solução específica funcionará exatamente da mesma maneira que funcionava quando vimos esse método pela primeira vez. Temos um polinômio linear e, portanto, nossa estimativa precisará ser um polinômio linear. A única diferença é que os “coeficientes” precisarão ser vetores em vez de constantes. A solução específica terá a forma,

Então, precisamos diferenciar o palpite

Antes de conectar ao sistema, vamos simplificar um pouco a notação para ajudar em nosso trabalho. Vamos escrever o sistema como,

Isso tornará o trabalho a seguir um pouco mais fácil. Agora, vamos conectar coisas ao sistema.

[começar vec a & = A left ( direita) + t vec g vec a & = tA vec a + A vec b + t vec g vec 0 & = t left ( direita) + esquerda ( right) end]

Agora precisamos definir os coeficientes iguais. Fazer isso dá,

Agora, apenas ( vec a ) é desconhecido na primeira equação, então podemos usar a eliminação Gaussiana para resolver o sistema. Vamos deixar esse trabalho para você verificar.

Agora que sabemos ( vec a ), podemos resolver a segunda equação para ( vec b ).

Então, uma vez que fomos capazes de resolver as duas equações, a solução particular é, então,

A solução geral é então,

Então, como você pode ver, os coeficientes indeterminados são quase os mesmos da primeira vez que vimos. O trabalho de resolução das “constantes” é um pouco mais confuso.

Variação de Parâmetros

Nesse caso, precisaremos derivar uma nova fórmula para variação de parâmetros para sistemas. A derivação desta vez será muito mais simples do que quando vimos a variação de parâmetros pela primeira vez.

Primeiro seja (X (t) ) uma matriz cujo (i ^ < text> ) coluna é o (i ^ < text> ) solução linearmente independente para o sistema,

Agora pode ser mostrado que (X (t) ) será uma solução para a seguinte equação diferencial.

Isso nada mais é do que o sistema original com a matriz no lugar do vetor original.

Vamos tentar encontrar uma solução específica para

[ vec x '= A vec x + vec g left (t right) ]

Vamos supor que podemos encontrar uma solução para o formulário,

[< vec x_P> = X esquerda (t direita) , vec v esquerda (t direita) ]

onde precisaremos determinar o vetor ( vec v left (t right) ). Para fazer isso, precisaremos conectá-lo ao sistema não homogêneo. Não se esqueça de definir a regra de produto da solução particular ao conectar a suposição ao sistema.

[X ', vec v + X , vec v' = A , X , vec v + vec g ]

Observe que eliminamos a parte ( left (t right) ) das coisas para simplificar um pouco a notação. Agora usando ( eqref) podemos reescrever isso um pouco.

[começarX ', vec v + X , vec v' & = X ', vec v + vec g X , vec v' & = vec g end]

Como formamos (X ) usando soluções linearmente independentes, sabemos que ( det (X) ) deve ser diferente de zero e isso significa que podemos encontrar o inverso de (X ). Portanto, multiplique ambos os lados pelo inverso de (X ).

Agora tudo o que precisamos fazer é integrar os dois lados para obter ( vec v left (t right) ).

[, vec v left (t right) = int <<> vec g , dt >> ]

Como no caso da equação diferencial de segunda ordem, podemos ignorar quaisquer constantes de integração. A solução particular é então,

Vamos trabalhar um exemplo rápido usando isso.

Encontramos a solução complementar para este sistema na seção de autovalores reais. Isto é,

Agora, precisamos encontrar o inverso desta matriz. Vimos como encontrar inversos de matrizes na segunda seção de revisão de álgebra linear e o processo é o mesmo aqui, embora não tenhamos entradas constantes. Deixaremos os detalhes para você verificar.

Agora faça a multiplicação na integral.

Lembre-se de que para integrar uma matriz ou vetor basta integrar as entradas individuais.

Agora podemos obter a solução específica.

A solução geral é então,

Portanto, parte do trabalho pode ser um pouco confuso, mas no geral não é tão ruim.

Vimos dois métodos de resolução de equações diferenciais não homogêneas aqui e, embora o trabalho possa ser um pouco confuso, eles não são tão ruins. Claro, também mantivemos a parte não homogênea bastante simples aqui. Problemas mais complicados terão uma quantidade significativa de trabalho envolvido.


1.5: Sistemas de classificação e homogêneos

Sistemas de equações lineares. Solução de matriz, matriz aumentada, sistemas homogêneos e não homogêneos, regra de Cramer & # 8217s, espaço nulo

Forma matricial de um sistema linear de equações. A forma matricial de um sistema de m equações lineares em n incógnitas

onde A é a matriz de coeficiente,

Matriz aumentada de um sistema de equações lineares. A matriz aumentada de um sistema de equações lineares AX = B é a matriz

formado anexando o vetor constante (b & # 8217s) à direita da matriz de coeficientes.

Resolvendo um sistema de equações lineares, reduzindo a matriz aumentada do sistema para a forma canônica de linha. Um sistema de equações lineares AX = B pode ser resolvido reduzindo a matriz aumentada do sistema para a forma canônica de linha por operações de linha elementares.

[A B] é reduzido por transformações de linha elementares para a forma canônica equivalente de linha da seguinte maneira:

Assim, a solução é o sistema equivalente de equações:

Expresso na forma vetorial, temos

Como saber se um sistema de m equações lineares em n incógnitas é consistente ou inconsistente, ou seja, se ele tem uma solução ou não? A resposta é dada pelo seguinte teorema fundamental.

Teorema fundamental. Um sistema AX = B de m equações lineares em n incógnitas é consistente se e somente se a matriz de coeficientes e a matriz aumentada do sistema têm a mesma classificação.

Corolário. Uma condição necessária para que o sistema AX = B de n + 1 equações lineares em n incógnitas tenha uma solução é que | A B | = 0, ou seja, o determinante da matriz aumentada é igual a zero.

Teorema. Em um sistema consistente AX = B de m equações lineares em n incógnitas de classificação r & lt n, n-r das incógnitas podem ser escolhidos de forma que a matriz de coeficientes das restantes r incógnitas seja de classificação r. Quando essas n-r incógnitas são atribuídas a quaisquer valores, as outras r incógnitas são exclusivamente determinadas.

Reduzimos [A B] por transformações de linha elementares para a forma canônica equivalente de linha [C K] da seguinte maneira:

Uma vez que A e [A B] são, cada um, de classificação r = 3, o sistema dado é consistente além disso, a solução geral contém n - r = 4 - 3 = 1 constante arbitrária. Da última linha de [C K], x4 = 0. Seja x3 = a onde a é arbitrário, então x1 = 10 + 11a e x2 = -2 - 4a. A solução do sistema é dada por x1 = 10 + 11a, x2 = -2 - 4a, x3 = a, x4 = 0 ou

Sistemas homogêneos e não homogêneos. Uma equação linear do tipo

em que o termo constante é zero é chamado de homogêneo, enquanto uma equação linear do tipo

onde o termo constante b não é zero é chamado de não homogêneo. Da mesma forma, um sistema de equações AX = 0 é denominado homogêneo e um sistema AX = B é denominado não homogêneo, desde que B não seja o vetor zero.

Teorema. Um sistema de n equações não homogêneas em n incógnitas AX = B tem uma solução única desde que a classificação de sua matriz de coeficientes A seja n, que é fornecida | A | & # 88000.

Dois métodos adicionais para resolver um sistema consistente não homogêneo AX = B de n equações em n incógnitas.

Método de determinantes usando a regra dos Cramers e # 8217s. Denotado por Aeu, (i = 1,2,. n) a matriz obtida de A substituindo sua i-ésima coluna pela coluna de constantes (o b & # 8217s). Então, se | A | & # 88000, o sistema AX = B tem a solução única

Solução usando A -1. If | A | & # 8800 0, A -1 existe e a solução do sistema AX = B é dada por X = A -1 B.

Teorema. Em um sistema de n equações lineares em n incógnitas AX = B, se o determinante da matriz de coeficiente A for zero, nenhuma solução pode existir a menos que todos os determinantes que aparecem nos numeradores na Regra de Cramer & # 8217s também sejam zero.

Sistemas homogêneos de equações.

Considere o sistema homogêneo de equações lineares AX = 0 consistindo em m equações em n incógnitas. Seja a classificação da matriz de coeficientes A r. Se r = n, a solução consiste apenas na solução única X = 0, que é chamada de solução trivial. Se r & lt n há um número infinito de vetores de solução que irão satisfazer o sistema correspondente a todos os pontos em algum subespaço do espaço n-dimensional. Para ilustrar isso, vamos considerar alguns exemplos simples do espaço tridimensional comum.

Suponha que o sistema AX = 0 consista na única equação

Esta equação corresponde a um plano no espaço tridimensional que passa pela origem do sistema de coordenadas. Qualquer ponto neste plano satisfaz a equação e é, portanto, uma solução para nosso sistema AX = 0. O conjunto de todas as soluções para nosso sistema AX = 0 corresponde a todos os pontos neste plano. Além disso, como o plano passa pela origem do sistema de coordenadas, o plano representa um espaço vetorial. Por quê? Porque uma combinação linear de quaisquer dois vetores no plano também está no plano e qualquer vetor no plano pode ser obtido como uma combinação linear de quaisquer dois vetores básicos no plano. Então, em resumo, neste exemplo particular, a solução definida para nosso sistema AX = 0 corresponde ao subespaço bidimensional do espaço tridimensional representado por este plano. Chamamos esse subespaço de espaço de solução do sistema AX = 0.

Vamos considerar outro exemplo. Suponha que o sistema AX = 0 consista nas duas equações a seguir

Essas duas equações correspondem a dois planos no espaço tridimensional que se cruzam em alguma linha que passa pela origem do sistema de coordenadas. Qualquer ponto dessa linha de interseção satisfaz o sistema e é, portanto, uma solução para nosso sistema AX = 0. Além disso, como a linha passa pela origem do sistema de coordenadas, a linha representa um espaço vetorial. Uma combinação linear de quaisquer dois vetores na linha também está na linha e qualquer vetor na linha pode ser obtido como uma combinação linear de qualquer vetor de base para a linha. Então, em resumo, neste exemplo a solução definida para nosso sistema AX = 0 corresponde a um subespaço unidimensional do espaço tridimensional representado por esta linha de intersecção dos dois planos. Neste caso, o espaço de solução do sistema AX = 0 é unidimensional.

O que determina a dimensão do espaço de solução do sistema AX = 0? A dimensão é dada por n - r. Em nosso primeiro exemplo, o número de incógnitas, n, é 3 e a classificação, r, é 1, então a dimensão do espaço de solução foi 3 - 1 = 2. Em nosso segundo exemplo n = 3 er = 2, então a dimensão de o espaço de solução era 3 - 2 = 1.

Espaço nulo de uma matriz. O espaço de solução do sistema homogêneo AX = 0 é chamado de espaço nulo da matriz A. A razão para esse nome é que se a matriz A for vista como um operador linear que mapeia pontos de algum espaço vetorial V em si mesma, ela pode ser vista como mapeamento de todos os elementos deste espaço de solução de AX = 0 no elemento nulo "0". Assim, o espaço nulo N de A é aquele subespaço de todos os vetores em V que são representados no elemento nulo & # 82200 "pela matriz A.

Nulidade de uma matriz. A nulidade de uma matriz A é a dimensão do espaço nulo de A.

Se a matriz A tem nulidade s, então AX = 0 tem s soluções linearmente independentes X1, X2,. , Xs tal que toda solução de AX = 0 é uma combinação linear deles e toda combinação linear deles é uma solução. Uma base para o espaço nulo A é qualquer conjunto de s soluções linearmente independentes de AX = 0. A nulidade de uma matriz mxn A de posto r é dada por

Teorema 1. Uma condição necessária e suficiente para que o sistema AX = 0 tenha uma solução diferente da solução trivial é que o posto de A seja r & lt n.

Teorema 2. Uma condição necessária e suficiente para que um sistema AX = 0 de n equações homogêneas em incógnitas tenha uma solução diferente da solução trivial é | A | = 0.

Teorema 3. Se a classificação de AX = 0 é r & lt n, o sistema tem exatamente n-r soluções linearmente independentes, de modo que toda solução é uma combinação linear dessas n-r soluções linearmente independentes e cada combinação linear é uma solução.

Solução completa do sistema homogêneo AX = 0.

A solução completa do sistema linear AX = 0 de m equações em n incógnitas consiste no espaço nulo de A, que pode ser dado como todas as combinações lineares de qualquer conjunto de vetores linearmente independentes que abrangem esse espaço nulo. Se a classificação de A for r, haverá n-r vetores linearmente independentes u1, você2,. , vocên-r que abrangem o espaço nulo de A. Assim, a solução completa pode ser escrita como

onde c1, c2,. , cn-r são constantes arbitrárias.

Solução completa do sistema não homogêneo AX = B.

Se o sistema AX = B de m equações em n incógnitas é consistente, uma solução completa do sistema é dada pela solução completa de AX = 0 mais qualquer solução particular de AX = B. A solução completa de AX = 0 consiste no espaço nulo de A, que pode ser dado como todas as combinações lineares de qualquer conjunto de vetores linearmente independentes que abrangem esse espaço nulo. Se a classificação de A for r, haverá n-r vetores linearmente independentes u1, você2,. , vocên-r que abrangem o espaço nulo de A. Se denotarmos uma solução particular de AX = B por xp então a solução completa pode ser escrita como

onde c1, c2,. , cn-r são constantes arbitrárias.


A system of linear equations, written in the matrix form as MACHADO = B, is consistent if and only if the rank of the coefficient matrix is equal to the rank of the augmented matrix that is, ρ ( UMA) = ρ ([ UMA | B]).

We apply the theorem in the following examples.

Non-homogeneous Linear Equations

Test for consistency of the following system of linear equations and if possible solve:

x + 2 yz = 3, 3xy + 2z = 1, x − 2 y + 3z = 3, xy + z +1 = 0 .

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is AX = B, where


Applying Gaussian elimination method on [ A | B], we get


There are three non-zero rows in the row-echelon form of [A | B].So, ρ ([A | B] ) . = 3

So, the row-echelon form of A is . There are three non-zero rows in it. So ρ(A) = 3.

From the echelon form, we write the equivalent system of equations

The last equation 0 = 0 is meaningful. By the method of back substitution, we get

So, the solution is (x = −1, y = 4, z = 4) .(Note that A is not a square matrix.)

Here the given system is consistent and the solution is unique.

Test for consistency of the following system of linear equations and if possible solve:

4x − 2 y + 6z = 8, x + y − 3z = −1, 15x − 3y + 9z = 21.

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is MACHADO = B, Onde


Applying elementary row operations on the augmented matrix[ UMA | B], we get


So, ρ ( UMA) = ρ ([ UMA | B]) = 2 < 3. From the echelon form, we get the equivalent equations

x + y - 3z = -1, y - 3z = -2 , 0 = 0 .

The equivalent system has two non-trivial equations and three unknowns. So, one of the unknowns should be fixed at our choice in order to get two equations for the other two unknowns. We fix z arbitrarily as a real number t , and we get y = 3t - 2, x = -1- (3t - 2) + 3t = 1. So, the solution is ( x = 1, y = 3t - 2, z = t ) , where t is real . The above solution set is a one-parameter family of solutions.

Here, the given system is consistent and has infinitely many solutions which form a one parameter family of solutions.

In the above example, the square matrix UMA is singular and so matrix inversion method cannot be applied to solve the system of equations. However, Gaussian elimination method is applicable and we are able to decide whether the system is consistent or not. The next example also confirms the supremacy of Gaussian elimination method over other methods.

Test for consistency of the following system of linear equations and if possible solve:

xy + z = −9, 2x − 2 y + 2z = −18, 3x − 3y + 3z + 27 = 0.

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is MACHADO = B, Onde


Applying elementary row operations on the augmented matrix[ UMA | B], we get


So, ρ ( UMA) = ρ ([ UMA | B]) = 1 < 3.

From the echelon form, we get the equivalent equations x - y + z = -9, 0 = 0, 0 = 0.

The equivalent system has one non-trivial equation and three unknowns.

Taking y = s, z = t arbitrarily, we get x - s + t = -9 or x = -9 + s - t.

So, the solution is ( x = -9 + s - t , y = s, z = t ) , where s e t are parameters.

The above solution set is a two-parameter family of solutions.

Here, the given system of equations is consistent and has infinitely many solutions which form a two parameter family of solutions.

Test the consistency of the following system of linear equations

xy + z = −9, 2xy + z = 4, 3xy + z = 6, 4xy + 2z = 7.

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system of equations is MACHADO = B, Onde


Applying elementary row operations on the augmented matrix [A|B], we get


So, ρ (A) = 3 and ρ ([ A | B]) = 4. Hence ρ ( A) ≠ ρ ([ A | B]).

If we write the equivalent system of equations using the echelon form, we get

x - y + z = -9, y - z = 22, z = -23, 0 = -11.

The last equation is a contradiction.

So the given system of equations is inconsistent and has no solution. By Rouché - Capelli theorem, we have the following rule:

· If there are n unknowns in the system of equations and ρ ( UMA ) = ρ ([ UMA | B]) = n, then the system MACHADO = B, is consistent and has a unique solution.

· If there are n unknowns in the system MACHADO = B, e ρ ( UMA ) = ρ ([ UMA | B]) = n - k , k ≠ 0 then the system is consistent and has infinitely many solutions and these solutions form a k - parameter family. In particular, if there are 3 unknowns in a system of equations and ρ ( UMA ) = ρ ([ UMA | B]) = 2, then the system has infinitely many solutions and these solutions form a one parameter family. In the same manner, if there are 3 unknowns in a system of equations and ρ ( UMA ) = ρ ([ UMA | B]) = 1, then the system has infinitely many solutions and these solutions form a two parameter family.

· If ρ ( UMA ) ≠ ρ ([ UMA | B]), then the system MACHADO = B is inconsistent and has no solution.

Example 1.33

Find the condition on a, b and c so that the following system of linear equations has one parameter family of solutions: x + y + z = a, x + 2 y + 3z = b, 3x + 5 y + 7z = c.

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is MACHADO = B, Onde UMA =

Applying elementary row operations on the augmented matrix [ UMA | B], we get


In order that the system should have one parameter family of solutions, we must have ρ ( UMA) = ρ ([ UMA, B]) = 2. So, the third row in the echelon form should be a zero row.

So, c - 2b - uma = 0 ⇒ c = uma + 2b.

Example 1.34

Investigate for what values of λ e μ the system of linear equations

x + 2 y + z = 7, x + y + λ z = μ, x + 3y − 5z = 5 has

(i) no solution (ii) a unique solution (iii) an infinite number of solutions.

Solução

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is MACHADO = B, Onde UMA =

Applying elementary row operations on the augmented matrix [ UMA | B], we get


(i) If λ = 7 and μ ≠ 9 , then ρ (A) = 2 and ρ ([ A | B]) = 3. So ρ ( A) ≠ ρ ([ A | B]). Hence the given system is inconsistent and has no solution.

(ii) If λ ≠ 7 and m is any real number, then ρ (A) = 3 and ρ ([ A | B]) = 3.

So ρ (A) = ρ ([ A | B]) = 3 = Number of unknowns. Hence the given system is consistent and has a unique solution.

(iii) If λ = 7 and μ = 9, then ρ(A) = 2 and ρ ([ A | B]) = 2.

So, ρ(A) = ρ ([ A | B]) = 2 < Number of unknowns. Hence the given system is consistent and has infinite number of solutions.


Elementary Operations

The algebraic method for solving systems of linear equations is described as follows. Two such systems are said to be equivalent if they have the same set of solutions. A system is solved by writing a series of systems, one after the other, each equivalent to the previous system. Each of these systems has the same set of solutions as the original one the aim is to end up with a system that is easy to solve. Each system in the series is obtained from the preceding system by a simple manipulation chosen so that it does not change the set of solutions.

As an illustration, we solve the system , in this manner. At each stage, the corresponding augmented matrix is displayed. The original system is

First, subtract twice the first equation from the second. The resulting system is

which is equivalent to the original. At this stage we obtain by multiplying the second equation by . The result is the equivalent system

Finally, we subtract twice the second equation from the first to get another equivalent system.

Agora this system is easy to solve! And because it is equivalent to the original system, it provides the solution to that system.

Observe that, at each stage, a certain operation is performed on the system (and thus on the augmented matrix) to produce an equivalent system.

Definition 1.1 Elementary Operations

The following operations, called elementary operations, can routinely be performed on systems of linear equations to produce equivalent systems.

  1. Interchange two equations.
  2. Multiply one equation by a nonzero number.
  3. Add a multiple of one equation to a different equation.

Suppose that a sequence of elementary operations is performed on a system of linear equations. Then the resulting system has the same set of solutions as the original, so the two systems are equivalent.

Elementary operations performed on a system of equations produce corresponding manipulations of the rows of the augmented matrix. Thus, multiplying a row of a matrix by a number />means multiplying every entryof the row by />. Adding one row to another row means adding each entry of that row to the corresponding entry of the other row. Subtracting two rows is done similarly. Note that we regard two rows as equal when corresponding entries are the same.

In hand calculations (and in computer programs) we manipulate the rows of the augmented matrix rather than the equations. For this reason we restate these elementary operations for matrices.

Definition 1.2 Elementary Row Operations

The following are called elementary row operations on a matrix.

  1. Interchange two rows.
  2. Multiply one row by a nonzero number.
  3. Add a multiple of one row to a different row.

In the illustration above, a series of such operations led to a matrix of the form

where the asterisks represent arbitrary numbers. In the case of three equations in three variables, the goal is to produce a matrix of the form

This does not always happen, as we will see in the next section. Here is an example in which it does happen.

Example 1.1.3 Find all solutions to the following system of equations.

Solução:
The augmented matrix of the original system is

To create a in the upper left corner we could multiply row 1 through by . However, the can be obtained without introducing fractions by subtracting row 2 from row 1. The result is

The upper left is now used to “clean up” the first column, that is create zeros in the other positions in that column. First subtract times row 1 from row 2 to obtain

Next subtract times row 1 from row 3. The result is

This completes the work on column 1. We now use the in the second position of the second row to clean up the second column by subtracting row 2 from row 1 and then adding row 2 to row 3. For convenience, both row operations are done in one step. The result is

Note that the last two manipulations did not affect the first column (the second row has a zero there), so our previous effort there has not been undermined. Finally we clean up the third column. Begin by multiplying row 3 by to obtain

Now subtract times row 3 from row 1, and then add times row 3 to row 2 to get

The corresponding equations are , , e , which give the (unique) solution.


1.5: Rank and Homogeneous Systems

Question 1. The homogeneous equation Ax = 0 has the trivial solution if and only if the equation has at least one free variable.

Responder: False. Every homogeneous equation has the trivial solution x = 0.

Question 2. The parametric equation x = p + tv described a line through v parallel to p.

Responder: False. This is a line through p parallel to v. Try t = 0.

Question 3. The solution set of Ax = b is the set of all vectors of the form w = p + v, where v is any solution of Ax = 0, and Ap = b.

Responder: True. See Theorem 6, page 52.

Question 4. If x is a nontrivial solution of Ax = 0, then every entry in x is nonzero.

Responder: False. If x is not equal to the zero vector, and Ax = 0, then x is a nontrivial solution. The trivial solution has all entries 0. If some entries are zero but not all, then x is not = 0.

Question 5. The equation Ax = b is homogeneous if the zero vector is a solution.

Responder: True. If 0 is a solution, then A0 = b. But A0 = 0 for any matrix A, so b = 0.


Serenitea Pot Genshin Impact 1.5 - How to Unlock, Tubby, Furniture Crafting, Co-op Explained

First teased a little bit after Genshin Impact‘s launch in September 2020, the Serenitea Pot system will let us freely customize our own home, craft furniture, and earn extra rewards.

Genshin Impact – How to unlock the Serenitea Pot

First, you’ll need to be at AR 35 or above, and to have completed the main story quest Chapter I: Act III “A New Star Approaches” As in, you need to be past the point in the main story when we entered Madame Ping’s teapot, which makes perfect sense. As it’s world-building and a demonstration of how the Serenitea Pot works. Adepti uses them as media to channel their power and create Realms and Abodes.

If all the above conditions are cleared, you’ll unlock the “A Teapot to Call Home” quest. Simply clear it by following the instructions in-game, as Genshin Impact always tells you where to go on the map, and you’ll get your Serenitea Pot Gadget.

Why Ratchet & Clank is the Most Important PS5 Game

Genshin Impact – Entering, leaving the Serenitea Pot

Go to the Gadget menu in your inventory, and use the Serenitea Pot to summon it. Then interact with it to enter. Once you’re inside, you can interact with the Pot again to leave. Else, you can also directly teleport outside through the map.

Realm layouts

When you first enter the Serenitea Pot, you’ll be asked to select one of three different layouts.

Cool Isle: An island cluster surrounded by water. One wonders how many cups of tea can be brewed from this vast ocean.

Emerald Peak: A cloud piercing mountain peak. Well, that’s how it looks, at least. But being inside a teapot and all, the highest mountain probably reaches no higher than the stalk of a tea leaf.

Floating Abode: An island cluster suspended in mid-air. A typical feature of many adepti realms. A boundless world featuring nothing besides a cluster of islands.

Trust Rank

The first time you craft and obtain a furnishing, you earn Trust. Accumulate Trust to increase your Trust Rank, and unlock more features for the Serenitea Pot and earn rewards. At some point, you’ll also be able to unlock the remaining two layouts you didn’t pick at first.

How to obtain Furnishings Blueprints, How to Craft, Materials needed

Inside the realm, you can place both indoor and outdoor decorations and furniture, such as buildings, plants, decorations, animals, etc.

After crafting a furnishing, you can click on the furnishings icon in the top-right corner to enter the Furnishings Screen. On the Furnishings Screen, you can place the furnishings you have crafted.

We can get new Furnishing Blueprints by increasing our Trust Rank, completing the Adeptal Mirror, and participating in events. We can also buy Furnishing Blueprints in the Realm Depot or from the Teapot Traveling Salesman.

The Adeptal Mirror is a list of objectives to fulfill.

As for getting materials for crafting, with 1.5, we’ll now be able to cut down trees in Teyvat. Each tree variety offers different types of wood. We’ll also get materials from ore and plants.

Serenitea Pot – Realm Currency, Realm Depot

As you develop your realm, you’ll obtain Real Currency, which can be exchanged with the Teapot Spirit for rewards.

Realm Currency is contained in the Jar of Riches, which has a storage limit. So we’ll need to regularly talk to Tubby and empty the Jar of Riches.

We can also access the Realm Depot via Tubby. In this menu, we can exchange Realm Currency for rare realm items, furnishings, and furnishing blueprints. As your Trust Rank increases, more Realm Treasures will be available.

Adeptal Energy

Placing furnishing in the realm increases Adeptal Energy. With a high Adeptal Energy Rank and Trust Rank, we’ll be able to get Realm Currency faster, and increase the storage limit of the Jar of Riches.

Genshin Impact – Co-op in Serenitea Pot

The Serenitea Pot will have a co-op feature at launch. We’ll be able to visit our Friends’ Realms to hang out together, and check the wares of their Teapot Traveling Salesman. What he will be selling differs from world to world.

Future updates

miHoYo stressed out the Serenitea Pot system will still be in development in Ver1.5. More features will be coming later on, most notably a Gardening system.

Genshin Impact 1.5 Beneath the Light of Jadeite will launch on April 28. The game’s PS5 native version is launching then as well.


Assista o vídeo: Jaki test statystyczny wybrać? (Dezembro 2021).