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11.1: Operadores auto-adjuntos ou hermitianos


Seja (V ) um espaço de produto interno de dimensão finita sobre ( mathbb {C} ) com produto interno ( inner { cdot} { cdot} ). Um operador linear (T in mathcal {L} (V) ) é exclusivamente determinado pelos valores de

[ inner {Tv} {w}, quad text {para todos (v, w in V ).} ]

Isso significa, em particular, que se (T, S in mathcal {L} (V) ) e

begin {equation *}
inner {Tv} {w} = inner {Sv} {w} quad text {para todos (v, w in V ),}
end {equação *}

então (T = S ). Para ver isso, considere (w ) os elementos de uma base ortonormal de (V ).

Definição 11.1.1. Dado (T in mathcal {L} (V) ), o anexo (a.k.a. eremita conjugado) de (T ) é definido como o operador (T ^ * in mathcal {L} (V) ) para o qual

[ inner {Tv} {w} = inner {v} {T ^ * w}, quad text {para todos (v, w in V )} ]

Além disso, chamamos de (T ) auto-adjunto (a.k.a.eremita}) se (T = T ^ * ).

A singularidade de (T ^ * ) é clara pela observação anterior.

Exemplo 11.1.2. Seja (V = mathbb {C} ^ 3 ), e seja (T in cal {L} ( mathbb {C} ^ 3) ) definido por (T (z_1, z_2, z_3 ) = (2z_2 + iz_3, iz_1, z_2) ). Então
begin {equation *}
begin {split}
inner {(y_1, y_2, y_3)} {T ^ * (z_1, z_2, z_3)} & = inner {T (y_1, y_2, y_3)} {(z_1, z_2, z_3)}
& = inner {(2y_2 + iy_3, iy_1, y_2)} {(z_1, z_2, z_3)}
& = 2y_2 overline {z_1} + iy_3 overline {z_1} + iy_1 overline {z_2} + y_2 overline {z_3}
& = inner {(y_1, y_2, y_3)} {(- iz_2,2z_1 + z_3, -iz_1)}
end {split}
end {equação *}

de modo que (T ^ * (z_1, z_2, z_3) = (- iz_2,2z_1 + z_3, -iz_1) ). Escrevendo a matriz para (T ) em termos de base canônica, vemos que
begin {equation *}
M (T) = begin {bmatrix} 0 & 2 & i i & 0 & 0 0 & 1 & 0 end {bmatrix} quad text {e} quad
M (T ^ *) = begin {bmatrix} 0 & -i & 0 2 & 0 & 1 -i & 0 & 0 end {bmatrix}.
end {equação *}

Observe que (M (T ^ *) ) pode ser obtido de (M (T) ) tomando o conjugado complexo de cada elemento e, em seguida, transpondo. Esta operação é chamada de conjugado transpor de (M (T) ), e o denotamos por ((M (T)) ^ {*} ).

Coletamos várias propriedades elementares da operação adjunta na seguinte proposição. Você deve fornecer uma prova desses resultados para sua própria prática.

Proposição 11.1.3. Deixar (S, T in mathcal {L} (V) ) e (a in mathbb {F} ).

  1. ((S + T) ^ * = S ^ * + T ^ * ).
  2. ((aT) ^ * = overline {a} T ^ * ).
  3. ((T ^ *) ^ * = T ).
  4. (I ^ * = I ).
  5. ((ST) ^ * = T ^ * S ^ * ).
  6. (M (T ^ *) = M (T) ^ * ).

Quando (n = 1 ), observe que a transposta conjugada de uma matriz (1 vezes 1 ) (A ) é apenas o conjugado complexo de sua única entrada. Portanto, exigir que (A ) seja auto-adjunto ( (A = A ^ * )) equivale a dizer que esta única entrada é real. Por causa da transposição, no entanto, a realidade não é o mesmo que auto-adjunção quando (n> 1 ), mas a analogia não deixa de ser transportada para os autovalores dos operadores auto-adjuntos.

Proposição 11.1.4. Cada autovalor de um operador auto-adjunto é real.

Prova. Suponha que ( lambda in mathbb {C} ) seja um autovalor de (T ) e que (0 neq v in V ) seja um autovetor correspondente tal que (Tv = lambda v ) Então

begin {equation *}
begin {split}
lambda norm {v} ^ 2 & = interno { lambda v} {v} = interno {Tv} {v} = interno {v} {T ^ * v}
& = interno {v} {Tv} = interno {v} { lambda v} = overline { lambda} interno {v} {v}
= overline { lambda} norm {v} ^ 2.
end {split}
end {equação *}

Isso implica que ( lambda = overline { lambda} ).

Exemplo 11.1.5. O operador (T in mathcal {L} (V) ) definido por (T (v) = begin {bmatrix} 2 & 1 + i 1-i & 3 end {bmatrix} v ) é auto-adjunta e pode ser verificado (por exemplo, usando o polinômio característico) que os autovalores de (T ) são ( lambda = 1,4 ).


Operador auto-adjunto

Deve-se notar que para operadores limitados o operador adjunto pode ser definido naturalmente, enquanto para operadores ilimitados isso só pode ser feito se o domínio de UMA , D (UMA), é denso em H e apenas para esses vetores ϕ para qual ⟨ϕ, UMAχ⟩ É uma função contínua de χ . O conjunto desses vetores é um subconjunto vetorial de H e por definição será o domínio D (UMA † ) , de UMA † .

Definição: Um operador linear UMA é dito ser:

  1. uma operador simétrico E se UMAUMA † e $ overline < mathcal(A)> = mathcal$, onde $ overline < mathcal(A)> $ é o complemento de D (UMA)
  2. uma auto-adjunto operador se UMA = UMA † e $ overline < mathcal(A)> = mathcal$ .

Para operadores lineares limitados e, em particular, para operadores lineares em espaços de Hilbert de dimensão finita, as três definições coincidem.

'' 'Proposição: Uma condição necessária e suficiente para o operador linear UMA ser Hermitiano é aquele '''

Prova: Essa igualdade certamente implica a definição 1. de operador Hermitiano. O inverso é verdadeiro devido à seguinte identidade, que pode ser facilmente verificada:

A matriz que representa o anexo de um operador linear UMA em qualquer base ortonormal é o conjugado hermitiano da matriz que representa UMA . Na verdade, seus elementos de matriz são dados por:

Então, se um operador linear limitado é auto-adjunto, é representado por uma matriz Hermitiana em qualquer base ortonormal.


3 respostas 3

Vamos $ mathscr$ ser um espaço Hilbert. O domínio de um operador $ A $ em $ mathscr$ é denotado $ D (A) $ por um extensão de $ A $ significa um operador $ B $ com $ D (A) subconjunto D (B) $ e $ B | D (A) = A $ (onde $ B | D (A) $ denota a restrição de $ B $ a $ D (A) $). Se $ B $ é uma extensão de $ A $, é padrão escrever $ A subconjunto B $.

Agora pegue $ A $ para ser densamente definido, o que significa que o subespaço linear $ D (A) $ de $ mathscr$ é denso em $ mathscr$. Esta condição permite definir o operador adjunto $ A ^ ast $ de $ A $ sua definição é tal que $ D (A ^ ast) $ é o conjunto de todos $ y in mathscr$ tal que o mapa $ D (A) ni x mapsto (Ax, y) in mathbf$ é contínuo (por um teorema de Hahn-Banach este mapa estende-se então para $ mathscr$, e o faz exclusivamente, pois assumimos que $ A $ é densamente definido). Pelo teorema de representação de Riesz para cada $ y em D (A ^ ast) $ existe um único elemento de $ mathscr$, que é denotado $ A ^ ast y $, tal que $ (Ax, y) = (x, A ^ ast y) $ para todos os $ x em D (A) $. Assim, $ A ^ ast $ é definido de modo a garantir $ (Ax, y) = (x, A ^ ast y) $ para todos os $ x em D (A) $ e $ y em D (A ^ ast) $.

$ A $ é simétrico (ou formalmente auto-adjunto, aparentemente os físicos os chamam também de Hermitian, mas nenhum matemático faria isso) se $ A subset A ^ ast $ auto-adjunto se $ A = A ^ ast $. Assim, todo operador auto-adjunto é simétrico, mas o inverso não precisa ser válido. No entanto, se $ A $ for contínuo e $ D (A) = mathscr$ então $ A $ simétrico implica $ A $ auto-adjunto. (No caso de dimensão finita, todo mapa linear é contínuo.)

Algo que chama a atenção na mecânica quântica (teorema de Hellinger-Toeplitz): se $ A $ é simétrico e $ D (A) = mathscr$ então $ A $ é contínuo. Portanto, se $ A $ não é contínuo e simétrico, não pode ser definido no conjunto de $ mathscr$. (Isso mostra que você não pode discutir a mecânica quântica sem se preocupar com os domínios, uma vez que pode-se mostrar que se os operadores $ A $ e $ B $ satisfizerem a relação de comutação canônica $ AB-BA = iI $ então pelo menos um de $ A $ e $ B $ não pode ser contínuo). Além disso, um operador simétrico $ A $ é auto-adjuvante se seu espectro for um subconjunto da linha real (isso é importante na mecânica quântica, pois o espectro é ali dado uma interpretação física).

Existe outra noção que é freqüentemente útil, particularmente em física matemática. $ A $ é essencialmente auto-adjunto se $ A $ é simétrico e seu fechamento é auto-adjunto (tal operador admite uma única extensão auto-adjunta, ou seja, seu fechamento). Isso aparece, por exemplo na representação padrão das relações de comutação canônicas: $ mathscr= L ^ 2 ( mathbf) $, $ A = -id / dx $ e $ B $ multiplicação por $ x $. $ A $ e $ B $ são essencialmente auto-adjuntos no espaço de Schwartz $ mathscr( mathbf)$.

Observação: Mesmo se $ A $ for densamente definido, $ A ^ ast $ não precisa ser densamente definido (na verdade, é densamente definido se $ A $ for fechável, por exemplo, se $ A $ for simétrico).

Se você quiser uma referência, a referência padrão é Reed / Simon: métodos da física matemática moderna, volume I (isso é perfeitamente rigoroso para os padrões da matemática).


Operadores auto-adjuntos

Dado um operador linear densamente definido UMA sobre H, seu adjunto UMA* é definido da seguinte forma:

  • O domínio de UMA* consiste em vetores x dentro H de tal modo que
  • Pelo teorema de representação de Riesz para funcionais lineares, se x está no domínio de UMA*, há um vetor único z dentro H de tal modo que

Observe que é a densidade do domínio do operador, junto com a parte de exclusividade da representação de Riesz, que garante que o operador adjunto seja bem definido.

Um resultado do tipo Hellinger-Toeplitz diz que um operador com um adjunto limitado definido em todos os lugares é limitado.

A condição para um operador linear em um espaço de Hilbert ser auto-adjunto é mais forte do que ser simétrico.

Para qualquer operador densamente definido UMA no espaço de Hilbert pode-se definir seu operador adjunto UMA*. Para um operador simétrico UMA, o domínio do operador UMA* contém o domínio do operador UMA, e a restrição do operador UMA* no domínio de UMA coincide com o operador UMA, ou seja, , em outras palavras UMA* é uma extensão de UMA. Para um operador auto-adjunto UMA o domínio de UMA* é o mesmo que o domínio de UMA, e UMA=UMA*. Consulte também Extensões de operadores simétricos e operador ilimitado.

Interpretação geométrica

Existe uma maneira geométrica útil de olhar para o adjunto de um operador UMA sobre H da seguinte forma: consideramos o gráfico G (UMA) de UMA definido por

Teorema. Seja J o mapeamento simplético

Então o gráfico de UMA* é o complemento ortogonal de JG (UMA):

Um operador densamente definido UMA é simétrico se e somente se

onde a notação de subconjunto é entendido como significando Uma operadora UMA é auto-adjunto se e apenas se isto é, se e somente se

Exemplo. Considere o complexo espaço de Hilbert L 2 (R), e o operador que multiplica uma determinada função por x:

O domínio de UMA é o espaço de todas as funções L 2 para as quais o lado direito é quadrado-integrável. UMA é um operador simétrico sem quaisquer autovalores e autofunções. Na verdade, verifica-se que o operador é auto-adjuvante, conforme segue a teoria delineada abaixo.

Como veremos mais tarde, os operadores auto-adjuntos têm propriedades espectrais muito importantes; eles são, na verdade, operadores de multiplicação em espaços gerais de medida.


Auto-adjunto e eremita

Os matemáticos tendem a falar mais abstratamente do que os físicos!

O Hermitian (mais corretamente, o Hermitian adjoint) de um operador só se aplica a operadores em espaços vetoriais sobre os números complexos.

Se U e V são quaisquer espaços de produto interno e T é uma transformação linear de U para V, o & quotadjoint & quot de T, T *, é uma transformação linear de V para U tal que, para qualquer u em U e v em V, & ltTu , v & gt = & ltu, T * v & gt. Os dois produtos internos são considerados em V e U respectivamente.

Em particular, se U = V e T * = T, isto é, se & ltTu, v & gt = & ltu, Tv & gt, então T é & quotself-adjacente & quot.

IIRC corretamente:
-Um operador é hermitiano se & ltu, Av & gt = & ltAu, v & gt para todo u, v, no domínio de A.
-Um operador é auto-adjunto se A * = A.

A diferença sutil é que os domínios de A e A * podem não coincidir em geral.
Essas definições coincidem para operadores limitados.
Eu vi alguns lugares onde um operador hermitiano é limitado por definição, outros relaxam essa condição. Não estou muito certo das definições exatas, então não me cite aqui.

IIRC corretamente:
-Um operador é hermitiano se & ltu, Av & gt = & ltAu, v & gt para todo u, v, no domínio de A.
-Um operador é auto-adjunto se A * = A.

A diferença sutil é que os domínios de A e A * podem não coincidir em geral.
Essas definições coincidem para operadores limitados.
Já vi alguns lugares onde um operador hermitiano é limitado por definição, outros relaxam essa condição. Não estou muito certo das definições exatas, então não me cite aqui.

Correto. Mas é mais do que isso. Um operador hermitiano é um operador auto-adjunta em um espaço de produto interno complexo com um produto interno particular. Assim, mesmo que o campo seja complexo, se o produto interno for o típico, o operador seria meramente auto-adjunta.

Para uma matriz, o conjugado de Hermit é o conjugado complexo do transposto. Se for igual ao original, a matriz é Hermitiana.

Este foi um tópico muito confuso. Vou escrever a definição do adjunto que acabei de encontrar.

Seja T: D (T) - & gtH um operador, possivelmente ilimitado, de modo que D (T) seja denso em H. Em seguida, definimos

e é possível definir T *: D (T *) - & gtH definindo (T * x | y) = (x | Ty) para todo x em D (T *) ey em D (T).

Não sei os detalhes da prova necessária para essa definição ainda, mas parece bom de qualquer maneira.

Considerando a primeira postagem de Hallsoflvy, acho que minha atenção foi atraída para este

demais, enquanto eu não sabia o que era relevante. O resto da postagem já continha a resposta, que era a mesma dada por Galileu. Mas não estou convencido de que estava tudo bem com os conjuntos U e V aqui

Com espaços de norma arbitrários, o adjunto seria entre os duais, T *: V * - & gtU *. Com os espaços de Hilbert, suponho, é como mostrei agora.

De qualquer forma, minha dificuldade surgiu do fato de que eu só conhecia o caso T /> - & gtH e T * /> - & gtH anteriormente com operadores limitados. Além disso, se um operador limitado T: D (T) - & gtH é definido em um subconjunto denso, ele sempre pode ser estendido ao H unicamente.

Olhando para trás, para a resposta de Galileu, eu deveria ter sido capaz de perguntar sobre a definição de adjunto. mas você sabe, é tão difícil manter os pensamentos claros


Operador auto-adjunto

Em matemática, em um espaço de produto interno de dimensão finita, um operador auto-adjunto é aquele que é seu próprio adjunto, ou, equivalentemente, aquele cuja matriz é Hermitiana, onde uma matriz Hermitiana é aquela que é igual à sua própria transposta conjugada. Pelo teorema espectral de dimensão finita, tais operadores têm uma base ortonormal na qual o operador pode ser representado como uma matriz diagonal com entradas no número real s. Neste artigo, consideramos a generalização deste conceito para operadores em espaços de Hilbert de dimensão arbitrária.

Operadores auto-adjuntos são usados ​​em análise funcional e mecânica quântica. Na mecânica quântica, sua importância reside no fato de que na formulação de Dirac von Neumann da mecânica quântica, os observáveis ​​físicos, como posição, momento, momento angular e spin, são representados por operadores auto-adjuntos em um espaço de Hilbert. De particular importância é o hamiltoniano

: H psi = - frac <2 m> abla ^ 2 psi + V psi

que como um observável corresponde à energia total de uma partícula de massa "m" em um campo potencial real "V". Os operadores diferenciais são uma classe importante de operadores ilimitados.

A estrutura dos operadores auto-adjuntos em espaços de Hilbert de dimensão infinita assemelha-se essencialmente ao caso de dimensão finita, ou seja, os operadores são auto-adjuntos se e somente se forem unitariamente equivalentes a operadores de multiplicação de valor real. Com modificações adequadas, este resultado pode ser estendido para operadores possivelmente ilimitados em espaços dimensionais infinitos. Uma vez que um operador auto-adjunto definido em todos os lugares é necessariamente limitado, é necessário estar mais atento à questão do domínio no caso ilimitado. Isso é explicado abaixo com mais detalhes

operadores ymmetric

Um operador linear parcialmente definido "A" em um espaço de Hilbert "H" é chamado simétrico se e somente se: langle Ax médio y ângulo = lang x mid Ay ang para todos os elementos "x" e "y" no domínio de "A". Mais geralmente, um operador linear parcialmente definido "A" de um espaço vetorial topológico "E" em seu espaço dual contínuo "E" e amplowast é dito ser simétrico if: langle Ax médio y ângulo = lang x mid Ay ang para todos os elementos "x" e "y" no domínio de "A". Esse uso é bastante padrão na literatura de análise funcional.

Um operador simétrico "definido em todos os lugares" é auto-adjunto. Pelo teorema de Hellinger-Toeplitz, um operador simétrico "definido em todos os lugares" é limitado.

Operadores simétricos limitados também são chamados Hermitiano.

A definição anterior concorda com a de matrizes dada na introdução deste artigo, se tomarmos como "H" o espaço de Hilbert C "n" com o produto escalar padrão e interpretar uma matriz quadrada como um operador linear neste espaço de Hilbert. No entanto, é muito mais geral, pois existem importantes espaços de Hilbert de dimensão infinita.

O espectro de qualquer operador simétrico limitado é real, em particular todos os seus autovalores são reais, embora um operador simétrico possa não ter nenhum autovalor.

Uma versão geral do teorema espectral que também se aplica a operadores simétricos limitados é declarada abaixo. Se o conjunto de autovalores para um operador simétrico não for vazio, e os autovalores forem não degenerados, segue-se da definição que autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais. Contrariamente ao que às vezes é afirmado em livros introdutórios de física, é possível para simétrico operadores não tenham nenhum valor próprio (embora o espectro de qualquer operador autoadjunto seja não vazio). O exemplo abaixo ilustra o caso especial em que um operador simétrico (ilimitado) tem um conjunto de autovetores que constituem uma base de espaço de Hilbert. O operador "A" abaixo pode ser visto como tendo um inverso compacto, significando que a equação diferencial correspondente "A" "f" = "g" é resolvida por algum operador integral, portanto compacto, "G". O operador simétrico compacto "G" então tem uma família contável de autovetores que são completos em L ^ 2. O mesmo pode ser dito para "A".

Exemplo. Considere o espaço de Hilbert complexo L 2 [0,1] e o operador diferencial

definido no subespaço que consiste em todas as funções de valor complexo infinitamente diferenciáveis ​​"f" em [0,1] com as condições de contorno:

Então, a integração por partes mostra que "A" é simétrico. Suas autofunções são os sinusóides

: f_n (x) = sin (n pi x) quad n = 1,2, ldots

com os autovalores reais "n" 2 π 2, a ortogonalidade bem conhecida das funções seno segue como consequência da propriedade de serem simétricas.

Consideramos generalizações deste operador abaixo.

Operadores auto-adjuntos

Dado um operador linear densamente definido "A" em "H", seu adjunto "A" * é definido da seguinte forma:
* O domínio de "A" * consiste nos vetores "x" em "H" de modo que

:: y mapeia para langle x médio A y ângulo

: (que é um mapa "linear" densamente definido) é um funcional linear contínuo. Por continuidade e densidade do domínio de "A", ele se estende a um funcional linear contínuo único em todos os "H".

* Pelo teorema de representação de Riesz para funcionais lineares, se "x" está no domínio de "A" *, há um único vetor "z" em "H" tal que :: langle x médio A y ângulo = langle z mid y ângulo quad forall y em operatorname R: Este vetor "z" é definido como "A" * "x". Pode-se mostrar que a dependência de "z" em "x" é linear.

Observe que é a densidade do domínio do operador, junto com a parte de exclusividade da representação de Riesz, que garante que o operador adjunto seja bem definido.

Um resultado do tipo Hellinger-Toeplitz diz que um operador com um adjunto limitado é limitado. Portanto, o adjunto de um operador ilimitado é necessariamente ilimitado.

A condição para um operador linear em um espaço de Hilbert ser "auto-adjunto" é mais forte do que "simétrico".

Para qualquer operador densamente definido "A" no espaço de Hilbert, pode-se definir seu operador adjunto "A" *. Para um operador simétrico "A", o domínio do operador "A" * contém o domínio do operador "A", e a restrição do operador "A" * no domínio de "A" coincide com o operador "A", ou seja, A subseteq A ^ *, em outras palavras "A" * é a extensão de "A". Para um operador auto-adjunto "A", o domínio de "A" * é igual ao domínio de "A" e "A" = "A" *. Veja também Extensões de operadores simétricos.

Interpretação geométrica

Existe uma maneira geométrica útil de olhar para o adjunto de um operador "A" em "H" da seguinte maneira: consideramos o gráfico G ("A") de "A" definido por

Teorema. Seja J o mapeamento simplético

: H oplus H ightarrow H oplus H

: nome do operador: (xi, eta) mapsto (-eta, xi).

Então, o gráfico de "A" * é o complemento ortogonal de JG ("A"):

Um operador densamente definido "A" é simétrico se e somente se: A subseteq A ^ *.

onde a notação de subconjunto A subseteq A ^ * é entendida como significando G (A) subseteq G (A ^ *). Um operador "A" é auto-adjunto se e somente se A = A ^ * isto é, se e somente se G (A) = G (A ^ *).

Exemplo. Considere o complexo espaço de Hilbert L 2 (R), e o operador que multiplica uma determinada função por "x":

O domínio de "A" é o espaço de todas as funções L 2 para as quais o lado direito é integrável ao quadrado. "A" é um operador simétrico sem quaisquer autovalores e autofunções. Na verdade, verifica-se que o operador é auto-adjunto, como se segue da teoria delineada abaixo.

Como veremos mais tarde, os operadores auto-adjuntos têm propriedades espectrais muito importantes; eles são, na verdade, operadores de multiplicação em espaços gerais de medida.

Teorema espectral

Operadores parcialmente definidos "A", "B" nos espaços de Hilbert "H", "K" são equivalente unitariamente se e somente se houver um operador unitário "U": "H" → "K" tal que

* "U" mapeia a bijetiva dom "A" em dom "B",

* B U xi = U A xi, quad xi em operatornameUMA.

Um operador de multiplicação é definido como segue: Seja (X, Sigma, mu) um espaço de medida aditivo contável e "f" uma função mensurável de valor real em "X". Um operador "T" do formulário

cujo domínio é o espaço de ψ para o qual o lado direito acima está em "L" 2 é chamado de operador de multiplicação.

Teorema. Qualquer operador de multiplicação é um operador auto-adjunto (densamente definido). Qualquer operador auto-adjunto é unitariamente equivalente a um operador de multiplicação.

Esta versão do teorema espectral para operadores auto-adjuntos pode ser provada por redução ao teorema espectral para operadores unitários. Essa redução usa a "transformada de Cayley" para operadores auto-adjuntos, que é definida na próxima seção. Podemos notar que se T é a multiplicação por f, então o espectro de T é apenas o intervalo essencial de f.

Cálculo funcional Borel

Dada a representação de "T" como um operador de multiplicação, é fácil caracterizar o Cálculo funcional Borel : Se "h" é uma função Borel de valor real limitada em R, então "h" ("T") é o operador de multiplicação pela composição h circ f. Para que isso seja bem definido, devemos mostrar que é a única operação em funções limitadas de Borel de valor real que satisfazem uma série de condições.

Resolução da identidade

É costume introduzir a seguinte notação

onde mathbf <1> _ <(- infty, lambda]> denota a função que é identicamente 1 no intervalo (-infty, lambda]. A família de operadores de projeção E"T"(λ) é chamado resolução da identidade para "T". Além disso, a seguinte representação integral de Stieltjes para "T" pode ser provada:

: T = int_ <-infty> ^ <+ infty> lambda d operatorname_T (lambda).

A definição da integral de operador acima pode ser reduzida àquela de uma integral de Stieltjes de valor escalar usando a topologia de operador fraco. Em tratamentos mais modernos, no entanto, essa representação é geralmente evitada, uma vez que a maioria dos problemas técnicos pode ser tratada pelo cálculo funcional.

Formulação na literatura de física

Na física, particularmente na mecânica quântica, o teorema espectral é expresso de uma forma que combina o teorema espectral como afirmado acima e o cálculo funcional de Borel usando a notação de Dirac como segue:

Se "H" é Hermitiano (o nome para auto-adjunto na literatura de física) e "f" é uma função de Borel,

: f (H) = int dE midPsi_ ângulo f (E) langle Psi_ meio

: H mid Psi_ ângulo = E midPsi_ ângulo

onde a integral percorre todo o espectro de "H". A notação sugere que "H" é diagonalizado pelos autovalores Ψ"E". Essa notação é puramente formal. Pode-se ver a semelhança entre a notação de Dirac e a seção anterior. A resolução da identidade (às vezes chamada de medidas de projeção avaliada) se assemelha formalmente às projeções de classificação 1 | Psi_ ângulo langle Psi_ | .Na notação de Dirac, as medidas (projetivas) são descritas através de valores próprios e estados próprios, ambos objetos puramente formais. Como seria de se esperar, isso não sobrevive à passagem para a resolução da identidade. Na última formulação, as medições são descritas usando a medida espectral de | Ângulo psi, se o sistema está preparado em | Ângulo psi antes da medição. Alternativamente, se alguém quiser preservar a noção de autoestados e torná-la rigorosa, em vez de meramente formal, pode-se substituir o espaço de estado por um espaço de Hilbert equipado adequado.

Se "f" = 1, o teorema é referido como resolução da unidade:

: I = int dE mid Psi_ ângulo langle Psi_ meio

No caso H_= H-iGamma é a soma de um operador Hermitiano "H" e um skew-Hermitiano (ver matriz skew-Hermitiana) -iGamma, define-se o conjunto de base biortogonal

: H ^ * _ mid Psi_^ * ângulo = E ^ * médio Psi_ângulo ^ *

e escreva o teorema espectral como:

: f (H_) = int dE mid Psi_ ângulo f (E) langle Psi_^ * mid

(Veja o método de particionamento de Feshbach-Fano para o contexto onde tais operadores aparecem na teoria de espalhamento).

Extensões de operadores simétricos

A seguinte questão surge em vários contextos: se um operador "A" no espaço de Hilbert "H" é simétrico, quando ele tem extensões auto-adjuntas? Uma resposta é fornecida pelo Transformada de Cayley de um operador auto-adjunto e os índices de deficiência. (Devemos observar aqui que muitas vezes é de conveniência técnica lidar com operadores fechados. No caso simétrico, o requisito de fechamento não apresenta obstáculos, uma vez que é sabido que todos os operadores simétricos podem ser fechados.)

Teorema. Suponha que "A" seja um operador simétrico. Então, há um operador linear único parcialmente definido

: nome do operador(A) nome da operação do cólon(A + i) nome da operação direita(A-i)

: nome do operador(A) (Ax + ix) = Ax - ix quad x em operatorname(UMA).

Aqui, "ran" e "dom" denotam o intervalo e o domínio, respectivamente. W ("A") é isométrico em seu domínio. Além disso, o intervalo de 1 - W ("A") é denso em "H".

Por outro lado, dado qualquer operador "U" parcialmente definido que é isométrico em seu domínio (que não é necessariamente fechado) e tal que 1 - "U" é denso, existe um operador (único) S ("U")

: nome do operador(U) nome de operação de dois pontos(1 - U) ightarrow operatorname(1 + U)

: nome do operador(U) (x - Ux) = i (x + U x) quad x em operatorname(VOCÊ).

O operador S ("U") é densamente definido e simétrico.

Os mapeamentos W e S são inversos um do outro.

O mapeamento W é chamado de Transformada de Cayley. Ele associa uma isometria parcialmente definida a qualquer operador simétrico densamente definido. Observe que os mapeamentos W e S são monótonos: Isso significa que se "B" é um operador simétrico que estende o operador simétrico densamente definido "A", então W ("B") estende W ("A"), e da mesma forma para S.

Teorema. Uma condição necessária e suficiente para "A" ser auto-adjunta é que sua transformada de Cayley W ("A") seja unitária.

Isso nos dá imediatamente uma condição necessária e suficiente para "A" ter uma extensão auto-adjunta, como segue:

Teorema. Uma condição necessária e suficiente para "A" ter uma extensão auto-adjunta é que W ("A") tenha uma extensão unitária.

Um operador isométrico parcialmente definido "V" em um espaço de Hilbert "H" tem uma extensão isométrica única para o fechamento de norma de dom ("V"). Um operador isométrico parcialmente definido com domínio fechado é chamado de isometria parcial.

Dada uma isometria parcial "V", o índices de deficiência de "V" são definidos como a dimensão dos complementos ortogonais do domínio e intervalo:

: n _ + (V) = operatorname nome do operador(V) ^

: n _- (V) = operatorname nome do operador(V) ^

Teorema. Uma isometria parcial "V" tem extensão unitária se e somente se os índices de deficiência forem idênticos. Além disso, "V" tem uma extensão unitária "única" se e somente se os dois índices de deficiência forem zero.

Vemos que há uma bijeção entre extensões simétricas de um operador e extensões isométricas de sua transformada de Cayley. Um operador que possui uma extensão auto-adjunta única é considerado essencialmente auto-adjunto. Esses operadores têm um cálculo funcional de Borel bem definido. Operadores simétricos que não são essencialmente auto-adjuntos podem ainda ter uma extensão canônica auto-adjunta. Esse é o caso para operadores simétricos "não negativos" (ou mais geralmente, operadores que são delimitados abaixo). Esses operadores sempre têm uma extensão de Friedrichs definida canonicamente e para esses operadores podemos definir um cálculo funcional canônico. Muitos operadores que ocorrem na análise são limitados abaixo (como o negativo do operador Laplaciano), portanto, a questão da junção essencial para esses operadores é menos crítica.

elf extensões adjuntas em mecânica quântica

Na mecânica quântica, os observáveis ​​correspondem a operadores auto-adjuntos. Pelo teorema de Stone, os operadores auto-adjuntos são precisamente os geradores infinitesimais de grupos unitários de operadores de evolução no tempo. No entanto, muitos problemas físicos são formulados como uma equação de evolução no tempo envolvendo operadores diferenciais para os quais o hamiltoniano é apenas simétrico. Em tais casos, ou o hamiltoniano é essencialmente auto-adjuvante, caso em que o problema físico tem soluções únicas ou tenta-se encontrar extensões auto-adjuntas do hamiltoniano correspondentes a diferentes tipos de condições de contorno ou condições no infinito.

Fórmulas de Von Neumann

Suponha que "A" seja simétrico, qualquer extensão simétrica de "A" é uma restrição de "A" * De fato, se "B" for simétrico

: A subseteq B implica B subseteq B ^ * subseteq A ^ *

Teorema. Suponha que "A" seja um operador simétrico densamente definido. Deixar

: nome do operador(A ^ *) = overline<>(A)> oplus N_ + oplus N_-

onde a decomposição é ortogonal em relação ao produto interno do gráfico de dom ("A" *):

: langle xi | eta angle_mathrm = langle xi | ângulo eta + langle A ^ * xi | Ângulo A ^ * eta.

Elas são chamadas de fórmulas de von Neumann na referência de Akhiezer e Glazman.

Primeiro consideramos o operador diferencial

definido no espaço de funções C ∞ de valor complexo em [0,1] desaparecendo perto de 0 e 1. "D" é um operador simétrico como pode ser mostrado pela integração por partes. Os espaços "N"+, "N" são dados respectivamente pelas soluções distributivas da equação

que estão em "L" 2 [0,1]. Pode-se mostrar que cada um desses espaços de solução é unidimensional, gerado pelas funções "x" → "e" "ix" e "x" → "e" - "ix" respectivamente. Isso mostra que "D" não é essencialmente auto-adjunta, mas tem extensões auto-adjuntas. Essas extensões auto-adjuntas são parametrizadas pelo espaço de mapeamentos unitários

que, neste caso, é o círculo unitário T.

Este exemplo simples ilustra um fato geral sobre extensões auto-adjuntas de operadores diferenciais simétricos "P" em um conjunto aberto "M". Eles são determinados pelos mapas unitários entre os espaços de autovalores

onde "P"dist é a extensão distributiva de "P".

A seguir, damos o exemplo de operadores diferenciais com coeficiente constante s. Deixar

: P (vec) = sum_alpha c_alpha x ^ alpha

ser um polinômio em R "n" com coeficientes "reais", onde α varia sobre um conjunto (finito) de multi-índices. Desse modo

: alpha = (alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_n),!

Em seguida, o operador "P" (D) definido no espaço de funções infinitamente diferenciáveis ​​de suporte compacto em R "n" por

: P (operatorname) phi = soma_alpha c_alpha D ^ alpha phi

é essencialmente auto-adjunta em "L" 2 (R "n").

Teorema. Seja "P" uma função polinomial em R "n" com coeficientes reais, F a transformada de Fourier considerada como um mapa unitário "L" 2 (R "n") → "L" 2 (R "n"). Então F* "P" (D) F é essencialmente auto-adjunta e sua extensão auto-adjunta única é o operador de multiplicação pela função "P".

De forma mais geral, considere os operadores diferenciais lineares agindo em funções de valor complexo infinitamente diferenciáveis ​​de suporte compacto. Se "M" é um subconjunto aberto de R "n"

: P phi (x) = soma_alfa a_alfa (x) [D ^ alfa phi] (x) quad

onde um"α são funções infinitamente diferenciáveis ​​(não necessariamente constantes). "P" é um operador linear

: C_0 ^ infty (M) ightarrow C_0 ^ infty (M). quad

Corresponding to "P" there is another differential operator, the formal adjoint of "P"

: P^ <>phi = sum_alpha D^alpha (overline phi) quad

Teorema. The operator theoretic adjoint "P"* of "P" is a restriction of the distributional extension of the formal adjoint. Specifically:

Spectral multiplicity theory

The multiplication representation of a self-adjoint operator, though extremely useful, is not a canonical representation. This suggests that it is not easy to extract from this representation a criterion to determine when self-adjoint operators "A" and "B" are unitarily equivalent. The finest grained representation which we now discuss involves spectral multiplicity. This circle of results is called the "Hahn-Hellinger theory of spectral multiplicity".

We first define "uniform multiplicity":

Definição. A self-adjoint operator "A" has uniform multiplicity "n" where "n" is such that 1 ≤ "n" ≤ ωif and only if "A" is unitarily equivalent to the operator M"f" of multiplication by the function "f"(λ) = λ on

Onde H"n" is a Hilbert space of dimension "n". The domain of M"f" consists of vector-valued functions ψ on R de tal modo que

: int_ <><>|lambda|^2 | psi(lambda)|^2 , d mu(lambda)

Non-negative countably additive measures μ, ν are mutually singular if and only if they are supported on disjoint Borel sets.

Teorema. Let "A" be a self-adjoint operator on a "separable" Hilbert space "H". Then there is an ω sequence of countably additive finite measures on R (some of which may be identically 0)

such that the measures are pairwise singular and "A" is unitarily equivalent to the operator of multiplication by the function "f"(λ) = λ on

This representation is unique in the following sense: For any two such representations of the same "A", the corresponding measures are equivalent in the sense that they have the same sets of measure 0.

The spectral multiplicity theorem can be reformulated using the language of direct integral s of Hilbert spaces:

Teorema. Any self-adjoint operator on a separable Hilbert space is unitarily equivalent to multiplication by the function λ → λ on

: int_mathbb^oplus H_x d mu(x).

The measure equivalence class of μ (or equivalently its sets of measure 0) is uniquely determined and the measurable family<"H""x">"x" is determined almost everywhere with respect to μ.

Example: structure of the Laplacian

The Laplacian on R "n" is the operator

As remarked above, the Laplacian is diagonalized by the Fourier transform. Actually it is more natural to consider the "negative" of the Laplacian - Δ since as an operator it is non-negative (see elliptic operator ).

Teorema. If "n"=1, the - Δ has uniform multiplicity mult=2, otherwise - Δ has uniform multiplicity mult=ω. Morover, the measure μmult is Borel measure on [ 0, ∞).

Pure point spectrum

A self-adjoint operator "A" on "H" has pure point spectrum if and only if "H" has an orthonormal basis <"e""i">"i" ∈ I consisting of eigenvectors for "A".

Example. The Hamiltonian for the harmonic oscillator has a quadratic potential "V", that is

This Hamiltonian has pure point spectrum this is typical for bound state Hamiltonians in quantum mechanics. As was pointed out in a previous example, a sufficient condition that an unbounded symmetric operator has eigenvectors which form a Hilbert space basis is that it has a compact inverse.

* Compact operator on Hilbert space
* Theoretical and experimental justification for the Schrödinger equation

* N.I. Akhiezer and I. M. Glazman, "Theory of Linear Operators in Hilbert Space" (two volumes), Pitman, 1981.

* T. Kato, "Perturbation Theory for Linear Operators", Springer, New York, 1966.

* M. Reed and B. Simon, "Methods of Mathematical Physics" vol 2, Academic Press, 1972.

* G. Teschl, "Mathematical Methods in Quantum Mechanics With Applications to Schrödinger Operators", http://www.mat.univie.ac.at/

* K. Yosida, "Functional Analysis", Academic Press, 1965.

Wikimedia Foundation . 2010 .

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Discrete Laplace operator — For the discrete equivalent of the Laplace transform, see Z transform. In mathematics, the discrete Laplace operator is an analog of the continuous Laplace operator, defined so that it has meaning on a graph or a discrete grid. For the case of a… … Wikipedia

Multiplication operator — In operator theory, a multiplication operator is a linear operator T defined on some vector space of functions and whose value at a function φ is given by multiplication by a fixed function f. That is, for all φ in the function space and all x in … Wikipedia

Affiliated operator — In mathematics, affiliated operators were introduced by Murray and von Neumann in the theory of von Neumann algebras as a technique for using unbounded operators to study modules generated by a single vector. Later Atiyah and Singer showed that… … Wikipedia


Let $mathcal$ be a second-order self-adjoint differential operator. Then $mathcalu(x)$ may be written as
começarlabelmathcalu(x)=fracleft[p(x)frac ight]+q(x)u(x)end as we discussed here. Multiply eqref by $v^ast$ ($v^ast$ is the complex conjugate of $v$) and integrate
começar
int_a^bv^astmathcaludx&=int_a^bv^astfracleft[p(x)frac ight]dx+int_a^bv^ast qudx
&=int_a^bv^ast dleft[p(x)frac ight]+int_a^bv^ast qudx
&=v^ast pfrac|_a^b-int_a^b ^prime pu’dx+int_a^bv^ast qudx
end
We may impose
começarlabelv^ast pfrac|_a^b=0end
as a boundary condition.
começar
-int_a^b ^prime pu’dx&=-int_a^b ^prime pdu
&=-^prime pu|_a^b+int_a^b u(p^prime)’dx
end
We may also impose
começarlabel-^prime pu|_a^b=0end
as a boundary condition. Então
começar
int_a^bv^astmathcaludx&=int_a^b u(p^prime)’dx+int_a^bv^ast qudx
&=int_a^b umathcalv^ast dx
end

Definição. A self-adjoint operator $mathcal$ is called a Hermitian operator with respect to the functions $u(x)$ and $v(x)$ if

começarlabelint_a^bv^astmathcaludx=int_a^b umathcalv^ast dxend

That is, a self-adjoint operator $mathcal$ which satisfies the boundary conditions eqref and eqref is a Hermitian operator.

Hermitian Operators in Quantum Mechanics

In quantum mechanics, the differential operators need to be neither second-order nor real. For example, the momentum operator is given by $hat p=-ihbarfrac$. Therefore we need an extended notion of Hermitian operators in quantum mechanics.

Definição. The operator $mathcal$ is Hermitiano if
começarlabelint psi_1^astmathcalpsi_2 d au=int(mathcalpsi_1)^astpsi_2 d auend
Note that eqref coincides with eqref if $mathcal$ is real. In terms of Dirac’s braket notation eqref can be written as
$langlepsi_1|mathcalpsi_2 angle=langlemathcalpsi_1|psi_2 angle$

O adjoint operator $A^dagger$ of an operator $A$ is defined by
começarlabelint psi_1^ast A^dagger psi_2 d au=int(Apsi_1)^astpsi_2 d auend Again in terms of Dirac’s braket notation eqref can be written as
$langlepsi_1|A^daggerpsi_2 angle=langle Apsi_1|psi_2 angle$
If $A=A^dagger$ then $A$ is said to be auto-adjunto. Clearly, self-adjoint operators are Hermitian operators. However the converse need not be true. Although we will not delve into this any deeper here, the difference is that Hermitian operators are always assumed to be bounded while self-adjoint operators are not necessarily restricted to be bounded. That is, bounded self-adjoint operators are Hermitian operators. Physicists don’t usually distinguish self-adjoint operators and Hermitian operators, and often they mean self-adjoint operators by Hermitian operators. In quantum mechanics, observables such as position, momentum, energy, angular momentum are represented by (Hermitian) linear operators and the measurements of observables are given by the eigenvalues of linear operators. Physical observables are regarded to be bounded and continuous, because the measurements are made in a laboratory (so bounded) and points of discontinuity are mathematical points and nothing smaller than the Planck length can be observed. As well-known any bounded linear operator defined on a Hilbert space is continuous.

For those who are interested: This may cause a notational confusion, but in mathematics the complex conjugate $a^ast$ is replaced by $ar a$ and the adjoint $a^dagger$ is replaced by $a^ast$. Let $mathcal$ be a Hilbert space. By the Riesz Representation Theorem, it can be shown that for any bounded linear operator $a:mathcallongrightarrowmathcal’$, there exists uniquely a bounded linear operator $a^ast: mathcal’longrightarrowmathcal$ such that
$langle a^asteta|xi angle=langleeta|axi angle$ for all $xiinmathcal$, $etainmathcal’$. This $a^ast$ is defined to be the anexo of the bounded operator $a$. $<>^ast$ defines an involution on $mathcal(mathcal)$, the set of all bounded lineart operators of $mathcal$ and $mathcal(mathcal)$ with $<>^ast$ becomes a C$<>^ast$-algebra. In mathematical formulation of quantum mechanics, observables are represented by self-adjoint operators of the form $a^ast a$, where $ainmathcal(mathcal)$. Note that $a^ast a$ is positive i.e. its eigenvalues are non-negative.

Definição. O expectation value of an operator $mathcal$ is
$langlemathcal angle=int psi^astmathcalpsi d au$
$langlemathcal angle$ corresponds to the result of a measurement of the physical quantity represented by $mathcal$ when the physical system is in a state described by $psi$. The expectation value of an operator should be real and this is guaranteed if the operator is Hermitian. To see this suppose that $mathcal$ is Hermitian. Então
começar
langlemathcal angle^ast&=left[int psi^astmathcalpsi d au ight]^ast
&=intpsimathcal^astpsi^ast d au
&=int(mathcalpsi)^astpsi d au
&=intpsi^astmathcalpsi d au (mbox$ is Hermitian>)
&=langlemathcal angle
end
That is, $langlemathcal angle$ is real.

There are three important properties of Hermitian (self-adjoint) operators:


11.1: Self-adjoint or hermitian operators

Consider a linear vector space of functions over the complex numbers. Any linear combination of functions &Sigmaa i f i (x) with complex coefficients a i is also a member of the space. The functions are to be integrable, with &intf*(x)f(x)dx < &infin, where the limits on x are ±&infin. We may extend this to more than one argument x in the obvious way, but we keep to one argument for simplicity. An inner product of any two functions (a,b) = &intf* a f b dx is defined. This space is, therefore, a Hilbert space, with many similarities with an ordinary Euclidean vector space. The norm of a function is ||f(x)|| = (f,f) (or its square root). We can multiply any function by a constant to make its norm unity.

The space may be spanned by a properly chosen infinite set of basis functions that satisfy (u i ,u j *) = &delta ij and the completeness relation &delta(x - x') = &Sigmau i (x)u i (x'). This allows us to expand any function as f(x) = &intf(x')&delta(x - x')dx' = &Sigmau i (x)&intu i *(x')f(x')dx'= &Sigmaa i u i (x), where the amplitudes a i = (u i ,f) are analogous to a vector.

Let A be an operator that converts any function f(x) into another function g(x) that is also in the space, g(x) = Af(x). Since we can express f(x) as a linear combination of the basis functions u i (x), we can predict the result of operating with A if we know the effect of A on the basis functions. This can be expressed by expanding Au i in terms of the u i , obtaining the amplitudes (u i ,Au j , which form a matrix usually written (i|A|j) = &intu i *(x)Au j (x)dx.

Note that the operator A operates on the function to the right. To find an expression giving the same value in which A operates on the function to the left, we define the adjoint operator A &dagger by (i|A|j) = &int[A &dagger u i (x)]u j dx. Taking the complex conjugate, we have (i|A|j)* = &intu j A &dagger u i (x)dx =(j|A &dagger |i). This shows that the matrix of A &dagger is the transposed complex conjugate of the matrix of A. It follows from this that if A is nonsingular so A -1 exists, so does A &dagger-1 .

Since (Ai,j) = (i,A &dagger j) = (A &dagger&dagger i,j), we have A &dagger&dagger = A. Also, (i,ABj) = (A &dagger i,Bj) = (B &dagger A &dagger i,j), or (AB) &dagger = B &dagger A &dagger . Applying this to AA -1 = 1, we find that 1 = (AA -1 ) &dagger = A -1 &dagger A &dagger , or A -1&dagger = A &dagger-1 . Furthermore, (i,&lambdaA) = (&lambda*A &dagger i,j) from the definition. Finally, (i,[A + B]j) = ([A &dagger + B &dagger ]i,j), or (A + B) &dagger = &dagger + B &dagger . These are the most important algebraic properties of the adjoint operator.

If A &dagger = A, then (i|A|j)* = (j|A|i), so the matrix of A is Hermitian, and A is called a Hermitian operator. The diagonal matrix elements are clearly real, (i|A|i)* = (i|A|i), and the eigernvalues of the matrix are also real. This is the reason Hermitian matrices are so useful in quantum mechanics, where they correspond to real dynamical variables.

For example, consider the operator i(d/dx). Its matrix elements are &intu*i(dv/dx)dx, where we write u,v for u i and u j . Since d(u*v)/dx = u*(dv/dx) + v(du*/dx), the integral us equal to &int[d(u*v)/dx-iv(du*/dx)]dx = &int-iv(du*/dx)dx, as the integrated part vanishes at x = ±&infin. This may be written &int(idu/dx)*v dx, so the adjoint operator is also i(d/dx) and the operator is Hermitian. When multiplied by -h/2&pi, this is the operator for the linear momentum corresponding to the coordiante x. The presence of the i in the operator compensates for the change of sign on the integration by parts that throws the differentiation onto the first function. On the other hand, the coordinate operator x is clearly Hermitian since it moves from one function to the other without change. The second derivative operator d 2 /dx 2 is Hermitian, since two integrations by parts do not change the sign. Therefore, the Laplacian, del 2 , is also Hermitian. It follows that the single-particle Hamiltonian H = (h/2&pi) 2 (del 2 /2m) + V( r ) is Hermitian.

It is easy to show that the components of the angular momentum operator L = r x p are Hermitian. For example, L z = xp y - yp x so L z &dagger = p y &dagger x &dagger - p x &dagger y &dagger = xp y - yp x = L z , since the coordinates and momentum components commute, and are themselves Hermitian.

If an operator A is not Hermitian, the combination (A + A &dagger )/2 will be Hermitian. The adjoint of an operator is analogous to the complex conjugate of a number, and an operator can be resolved into Hermitan and anti-Hermitian parts analogous to real and imaginary parts of a complex number. An operator and its adjoint are evidently quite similar to each other and much like a complex conjugate.

An interesting example is provided by the Runge-Lenz vector, a constant of the motion in orbital motion under an exact inverse-square force. This vector is classically defined as M = ( p x L )/m - k r /r, where the attractive potential is k/r. The second term is clearly Hermitian. The z-component of the first term is M z = (p x L y - p y L x )/m. Taking the adjoint and using the Hermitian nature of p and x, we find M z &dagger = (L y p x - L x p y )/m, or M &dagger = -( L x p )/m. Classically, this would show the operator was Hermitian, but quantum mechanically p and L do not commute because of the presence of x in L. A Hermitian M can be constructed as in the preceding paragraph of which the first term is ( p x L - L x p )/2m, and this operator remains a constant of the motion.

Even though r and p do not commute in general, it happens that r x p = - p x r , as can be seen by writing out the components. Taking the adjoint interchanges the bottom two rows of the cross product determinant, so this property makes L Hermitian.

Referências

L. I. Schiff, Quantum Mechanics , 3rd ed. (New York: McGraw-Hill, 1968), Chapter 6. The Runge-Lenz vector appears on p. 236.

There are Wikipedia articles on Adjoint operators and Hilbert space, and other similar topics that are worth looking at.

Composed by J. B. Calvert
Created 15 February 2011
Last revised 21 February 2011


Table of Contents

Chapter 1 Vector Analysis
1.1 Definitions, Elementary Approach
1.2 Advanced Definitions
1.3 Scalar or Dot Product
1.4 Vector or Cross Product
1.5 Triple Scalar Product, Triple Vector Product
1.6 Gradient
1.7 Divergence
1.8 Curl
1.9 Successive Applications of V
1.10 Vector Integration
1.11 Gauss's Theorem
1.12 Stokes's Theorem
1.13 Potential Theory
1.14 Gauss's Law, Poisson's Equation
1.15 Helmholtz's Theorem
Chapter 2 Coordinate Systems
2.1 Curvilinear Coordinates
2.2 Differential Vector Operations
2.3 Special Coordinate Systems—Rectangular Cartesian Coordinates
2.4 Circular Cylindrical Coordinates (p,φ,z)
2.5 Spherical Polar Coordinates (r,0,φ)
2.6 Separation of Variables
Chapter 3 Tensor Analysis
3.1 Introduction, Definitions
3.2 Contraction, Direct Product
3.3 Quotient Rule
3.4 Pseudotensors, Dual Tensors
3.5 Dyadics
3.6 Theory of Elasticity
3.7 Lorentz Co variance of Maxwell's Equations
3.8 Noncartesian Tensors, Co variant Differentiation
3.9 Tensor Differential Operations
Chapter 4 Determinants, Matrices, and Group Theory
4.1 Determinants
4.2 Matrices
4.3 Orthogonal Matrices
4.4 Oblique Coordinates
4.5 Hermitian Matrices, Unitary Matrices
4.6 Diagonalization of Matrices
4.7 Eigenvectors, Eigenvalues
4.8 Introduction to Group Theory
4.9 Discrete Groups
4.10 Continuous Groups
4.11 Generators
4.12 SU(2), SU(3), and Nuclear Particles
4.13 Homogeneous Lorentz Group
Chapter 5 Infinite Series
5.1 Fundamental Concepts
5.2 Convergence Tests
5.3 Alternating Series
5.4 Algebra of Series
5.5 Series of Functions
5.6 Taylor's Expansion
5.7 Power Series
5.8 Elliptic Integrals
5.9 Bernoulli Numbers, Euler-Maclaurin Formula
5.10 Asymptotic or Semiconvergent Series
5.11 Infinite Products
Chapter 6 Functions of a Complex Variable I
6.1 Complex Algebra
6.2 Cauchy-Riemann Conditions
6.3 Cauchy's Integral Theorem
6.4 Cauchy's Integral Formula
6.5 Laurent Expansion
6.6 Mapping
6.7 Conformal Mapping
Chapter 7 Functions of a Complex Variable II: Calculus of Residues 396
7.1 Singularities
7.2 Calculus of Residues
7.3 Dispersion Relations
7.4 The Method of Steepest Descents
Chapter 8 Differential Equations
8.1 Partial Differential Equations of Theoretical Physics
8.2 First-Order Differential Equations
8.3 Separation of Variables—Ordinary Differential Equations
8.4 Singular Points
8.5 Series Solutions—Frobenius Method
8.6 A Second Solution
8.7 Nonhomogeneous Equation—Green's Function
8.8 Numerical Solutions
Chapter 9 Sturm-Liouville Theory - Orthogonal Functions
9.1 Self-Adjoint Differential Equations
9.2 Hermitian (Self-Adjoint) Operators
9.3 Gram-Schmidt Orthogonalization
9.4 Completeness of Eigenfunctions
Chapter 10 The Gamma Function (Factorial Function)
10.1 Definitions, Simple Properties
10.2 Digamma and Polygamma Functions
10.3 Stirling's Series
10.4 The Beta Function
10.5 The Incomplete Gamma Functions and Related Functions
Chapter 11 Bessel Functions
11.1 Bessel Functions of the First Kind, Jv(x)
11.2 Orthogonality
11.3 Neumann Functions, Bessel Functions of the Second Kind, Nv(x)
11.4 Hankel Functions
11.5 Modified Bessel Functions, Iv(x) and Kv(x)
11.6 Asymptotic Expansions
11.7 Spherical Bessel Functions
Chapter 12 Legendre Functions
12.1 Generating Function
12.2 Recurrence Relations and Special Properties
12.3 Orthogonality
12.4 Alternate Definitions of Legendre Polynomials
12.5 Associated Legendre Functions
12.6 Spherical Harmonics
12.7 Angular Momentum Ladder Operators
12.8 The Addition Theorem for Spherical Harmonics
12.9 Integrals of the Product of Three Spherical Harmonics
12.10 Legendre Functions of the Second Kind, Qn(x)
12.11 Vector Spherical Harmonics
Chapter 13 Special Functions
13.1 Hermite Functions
13.2 Laguerre Functions
13.3 Chebyshev (Tschebyscheff) Polynomials
13.4 Chebyshev Polynomials—Numerical Applications
13.5 Hypergeometric Functions
13.6 Confluent Hypergeometric Functions
Chapter 14 Fourier Series
14.1 General Properties
14.2 Advantages, Uses of Fourier Series
14.3 Applications of Fourier Series
14.4 Properties of Fourier Series
14.5 Gibbs Phenomenon
14.6 Discrete Orthogonality—Discrete Fourier Transform
Chapter 15 Integral Transforms
15.1 Integral Transforms
15.2 Development of the Fourier Integral
15.3 Fourier Transforms—Inversion Theorem
15.4 Fourier Transform of Derivatives
15.5 Convolution Theorem
15.6 Momentum Representation
15.7 Transfer Functions
15.8 Elementary Laplace Transforms
15.9 Laplace Transform of Derivatives
15.10 Other Properties
15.11 Convolution or Faltung Theorem
15.12 Inverse Laplace Transformation
Chapter 16 Integral Equations
16.1 Introduction
16.2 Integral Transforms, Generating Functions
16.3 Neumann Series, Separable (Degenerate) Kernels
16.4 Hilbert-Schmidt Theory
16.5 Green's Functions—One Dimension
16.6 Green's Functions—Two and Three Dimensions
Chapter 17 Calculus of Variations
17.1 One-Dependent and One-Independent Variable
17.2 Applications of the Euler Equation
17.3 Generalizations, Several Dependent Variables
17.4 Several Independent Variables
17.5 More Than One Dependent, More than One Independent Variable
17.6 Lagrangian Multipliers
17.7 Variation Subject to Constraints
17.8 Rayleigh-Ritz Variational Technique
Appendix 1 Real Zeros of a Function
Appendix 2 Gaussian Quadrature
General References
Índice


Example

The total orbital angular momentum operator squared commutes with its z-component

It can be shown that spherical harmonics are eigenvectors of both commuting operators simultaneously

Aqui is a normalization constant (for spherical harmonics usually equal unity) and the δ's are Kronecker deltas (zero if the subscripts are different, one otherwise).


Assista o vídeo: Física Quântica #11: Operadores hermitianos e os autovalores reais (Dezembro 2021).