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5.8: Resolva Aplicações de Equações Quadráticas - Matemática


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Resolva aplicativos modelados por equações quadráticas

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. A soma de dois números ímpares consecutivos é (- 100 ). Encontre os números.
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 2.18.
  2. Resolva: ( frac {2} {x + 1} + frac {1} {x-1} = frac {1} {x ^ {2} -1} ).
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 7.35.
  3. Encontre o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo com pernas de (5 ) polegadas e (12 ) polegadas.
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 2.34.

Resolva aplicativos modelados por equações quadráticas

Resolvemos algumas aplicações que são modeladas por equações quadráticas anteriormente, quando o único método que tínhamos para resolvê-las era a fatoração. Agora que temos mais métodos para resolver equações quadráticas, daremos outra olhada nos aplicativos.

Vamos primeiro resumir os métodos que agora temos para resolver equações quadráticas.

Métodos para resolver equações quadráticas

  1. Factoring
  2. Propriedade de Raiz Quadrada
  3. Completando o quadrado
  4. Fórmula quadrática

Ao resolver cada equação, escolha o método mais conveniente para trabalhar o problema. Como um lembrete, copiaremos nossa estratégia usual de solução de problemas aqui para que possamos seguir as etapas.

Use uma estratégia de resolução de problemas

  1. Ler o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
  2. Identificar o que nós estamos procurando.
  3. Nome o que nós estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
  4. Traduzir em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação algébrica.
  5. Resolver a equação usando técnicas de álgebra.
  6. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
  7. Responder a pergunta com uma frase completa.

Resolvemos aplicações de números que envolviam inteiros pares e ímpares consecutivos, modelando a situação com equações lineares. Lembre-se, notamos que cada número inteiro par é (2 ) mais do que o número que o precede. Se chamarmos o primeiro de (n ), o próximo será (n + 2 ). O próximo seria (n + 2 + 2 ) ou (n + 4 ). Isso também é verdade quando usamos números inteiros ímpares. Um conjunto de inteiros pares e um conjunto de inteiros ímpares são mostrados abaixo.

( begin {array} {cl} {} & { text {Inteiros pares consecutivos}} {} & {64,66,68} {n} & {1 ^ { text {st}} text {inteiro par consecutivo}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} text {inteiro par consecutivo}} {n + 4} & {3 ^ { text {rd} } text {inteiro par consecutivo}} end {array} )

( begin {array} {cl} {} & { text {Inteiros ímpares consecutivos}} {} & {77,79,81} {n} & {1 ^ { text {st}} text {inteiro ímpar}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} text {inteiro ímpar consecutivo}} {n + 4} & {3 ^ { text {rd} } text {inteiro ímpar consecutivo}} end {array} )

Algumas aplicações de números inteiros pares ou ímpares consecutivos são modeladas por equações quadráticas. A notação acima será útil ao nomear as variáveis.

Exemplo ( PageIndex {1} )

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é (195 ). Encontre os inteiros.

Solução:

Passo 1: Ler o problema

Passo 2: Identificar o que nós estamos procurando.

Procuramos dois inteiros ímpares consecutivos.

etapa 3: Nome o que nós estamos procurando.

Seja (n = ) o primeiro inteiro ímpar.

(n + 2 = ) o próximo inteiro ímpar.

Passo 4: Traduzir em uma equação. Declare o problema em uma frase.

“O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é (195 ).” O produto do primeiro inteiro ímpar e do segundo inteiro ímpar é (195 ).

Traduza para uma equação.

(n (n + 2) = 195 )

Etapa 5: Resolver a equação. Distribuir.

(n ^ {2} +2 n = 195 )

Escreva a equação no formato padrão.

(n ^ {2} +2 n-195 = 0 )

Fator.

((n + 15) (n-13) = 0 )

Use a propriedade Zero Product.

(n + 15 = 0 quad n-13 = 0 )

Resolva cada equação.

(n = -15, quad n = 13 )

Existem dois valores de (n ) que são soluções. Isso nos dará dois pares de inteiros ímpares consecutivos para nossa solução.

( begin {array} {cc} { text {Primeiro inteiro ímpar} n = 13} & { text {Primeiro inteiro ímpar} n = -15} { text {próximo inteiro ímpar} n + 2} & { text {próximo inteiro ímpar} n + 2} {13 + 2} & {-15 + 2} {15} & {-13} end {array} )

Etapa 6: Verificar a resposta.

Esses pares funcionam? Eles são inteiros ímpares consecutivos?

( begin {alinhado} 13,15 & text {sim} - 13, -15 & text {sim} end {alinhado} )

É o produto deles (195 )?

( begin {alinhados} 13 cdot 15 & = 195 & text {yes} - 13 (-15) & = 195 & text {yes} end {alinhados} )

Etapa 7: Responder a questão.

Dois inteiros ímpares consecutivos cujo produto é (195 ) são (13,15 ) e (- 13, -15 ).

Exercício ( PageIndex {1} )

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é (99 ). Encontre os inteiros.

Responder

Os dois inteiros ímpares consecutivos cujo produto é (99 ) são (9, 11 ) e (- 9, −11 ).

Exercício ( PageIndex {2} )

O produto de dois inteiros pares consecutivos é (168 ). Encontre os inteiros.

Responder

Os dois inteiros pares consecutivos cujo produto é (128 ) são (12, 14 ) e (- 12, −14 ).

Usaremos a fórmula para a área de um triângulo para resolver o próximo exemplo.

Definição ( PageIndex {1} )

Área de um Triângulo

Para um triângulo com base, (b ) e altura, (h ), a área, (A ), é dada pela fórmula (A = frac {1} {2} bh ) .

Lembre-se de que, quando resolvemos aplicações geométricas, é útil desenhar a figura.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Um arquiteto está projetando a entrada de um restaurante. Ela quer colocar uma janela triangular acima da porta. Devido a restrições de energia, a janela só pode ter uma área de (120 ) pés quadrados e o arquiteto quer que a base tenha (4 ) pés a mais que o dobro da altura. Encontre a base e a altura da janela.

Solução:

Passo 1: Ler o problema. Desenhe uma imagem.
Passo 2: Identificar o que nós estamos procurando.Procuramos a base e a altura.
etapa 3: Nome o que nós estamos procurando.

Seja (h = ) a altura do triângulo.

(2h + 4 = ) a base do triângulo.

Passo 4: Traduzir em uma equação.

Conhecemos a área. Escreva a fórmula para a área de um triângulo.

(A = frac {1} {2} b h )
Etapa 5: Resolver a equação. Substitua nos valores. (120 = frac {1} {2} (2 h + 4) h )
Distribuir. (120 = h ^ {2} +2 h )
Esta é uma equação quadrática, reescreva-a na forma padrão. (h ^ {2} +2 h-120 = 0 )
Fator. ((h-10) (h + 12) = 0 )
Use a propriedade Zero Product. (h-10 = 0 quad h + 12 = 0 )
Simplificar. (h = 10, quad cancel {h = -12} )
Como (h ) é a altura de uma janela, um valor de (h = -12 ) não faz sentido.
A altura do triângulo (h = 10 ).

A base do triângulo (2h + 4 ).

(2 cdot 10 + 4 )

(24)

Etapa 6: Verificar a resposta.

Um triângulo com altura (10 ​​) e base (24 ) tem área (120 )? sim.

Etapa 7: Responder a questão.A altura da janela triangular é de (10 ​​) pés e a base é de (24 ) pés.
Tabela 9.5.1

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre a base e a altura de um triângulo cuja base é dezoito centímetros mais do que seis vezes maior que sua altura e tem uma área de (456 ) polegadas quadradas.

Responder

A altura do triângulo é de (12 ) polegadas e a base é de (76 ) polegadas.

Exercício ( PageIndex {4} )

Se um triângulo que tem uma área de (110 ) pés quadrados tem uma base que é dois pés menos que o dobro da altura, qual é o comprimento de sua base e altura?

Responder

A altura do triângulo é de (11 ) pés e a base é de (20 ) pés.

Nos dois exemplos anteriores, o número no radical no Quadrático Fórmula era um quadrado perfeito e, portanto, as soluções eram números racionais. Se obtivermos um número irracional como solução para um problema de aplicativo, usaremos uma calculadora para obter um valor aproximado.

Usaremos a fórmula para a área de um retângulo para resolver o próximo exemplo.

Definição ( PageIndex {2} )

Área de um Retângulo

Para um retângulo com comprimento, (L ), e largura, (W ), a área, (A ), é dada pela fórmula (A = LW ).

Exemplo ( PageIndex {3} )

Mike quer colocar (150 ) pés quadrados de grama artificial em seu jardim da frente. Esta é a área máxima de relva artificial permitida pela associação de proprietários. Ele quer uma área retangular de grama com comprimento 30 cm a menos que (3 ) vezes a largura. Encontre o comprimento e a largura. Arredonde para o décimo de pé mais próximo.

Solução:

Passo 1: Ler o problema. Desenhe uma imagem.
Passo 2: Identificar o que nós estamos procurando.Procuramos o comprimento e a largura.
etapa 3: Nome o que nós estamos procurando.

Seja (w = ) a largura do retângulo.

(3w-1 = ) o comprimento do retângulo

Passo 4: Traduzir em uma equação. Conhecemos a área. Escreva a fórmula para a área de um retângulo.
Etapa 5: Resolver a equação. Substitua nos valores.
Distribuir.

Esta é uma equação quadrática; reescrevê-lo na forma padrão.

Resolva a equação usando a Fórmula Quadrática.

Identifique os valores (a, b, c ).
Escreva a Fórmula Quadrática.
Em seguida, substitua nos valores de (a, b, c ).
Simplificar.
Reescreva para mostrar duas soluções.

Faça uma estimativa das respostas usando uma calculadora.

Eliminamos a solução negativa para a largura.

Etapa 6: Verificar a resposta. Certifique-se de que as respostas façam sentido. Como as respostas são aproximadas, a área não sairá exatamente para (150 ).
Etapa 7: Responder a questão.A largura do retângulo é de aproximadamente (7,2 ) pés e o comprimento é de aproximadamente (20,6 ) pés.
Tabela 9.5.2

Exercício ( PageIndex {5} )

O comprimento de uma horta retangular de 200 pés quadrados é quatro pés menos do que o dobro da largura. Encontre o comprimento e a largura do jardim, até o décimo de pé mais próximo.

Responder

O comprimento do jardim é de aproximadamente (18 ) pés e a largura (11 ) pés.

Exercício ( PageIndex {6} )

Uma toalha de mesa retangular tem uma área de 30 metros quadrados. A largura é (5 ) pés mais curta que o comprimento. Qual é o comprimento e a largura da toalha de mesa até o décimo de pé mais próximo?

Responder

O comprimento da toalha de mesa é de aproximadamente (11,8 ) pés e a largura de (6,8 ) pés.

O Teorema de Pitágoras dá a relação entre as pernas e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Usaremos o Teorema de Pitágoras para resolver o próximo exemplo.

Definição ( PageIndex {3} )

Teorema de Pitágoras

Em qualquer triângulo retângulo, onde (a ) e (b ) são os comprimentos das pernas, e (c ) é o comprimento da hipotenusa, (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ).

Exemplo ( PageIndex {4} )

Rene está configurando uma exibição de luz de feriado. Ele quer fazer uma "árvore" na forma de dois triângulos retângulos, como mostrado abaixo, e tem duas fileiras de luzes de (10 ​​) pés para usar nas laterais. Ele vai prender as luzes no topo de um poste e em duas estacas no chão. Ele quer que a altura do mastro seja igual à distância da base do mastro a cada estaca. Qual deve ser a altura do mastro?

Solução:

Passo 1: Ler o problema. Desenhe uma imagem.
Passo 2: Identificar o que nós estamos procurando.Estamos procurando a altura do mastro.
etapa 3: Nome o que nós estamos procurando.

A distância da base do mastro a qualquer uma das estacas é a mesma que a altura do mastro.

Seja (x = ) a altura do mastro.
(x = ) a distância do poste à estaca

Cada lado é um triângulo retângulo. Fazemos um desenho de um deles.

Passo 4: Traduzir em uma equação.

Podemos usar o Teorema de Pitágoras para resolver para (x ).
Escreva o Teorema de Pitágoras.

(a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} )
Etapa 5: Resolver a equação. Substituto. (x ^ {2} + x ^ {2} = 10 ^ {2} )
Simplificar. (2 x ^ {2} = 100 )
Divida por (2 ) para isolar a variável. ( frac {2 x ^ {2}} {2} = frac {100} {2} )
Simplificar. (x ^ {2} = 50 )
Use a propriedade de raiz quadrada. (x = pm sqrt {50} )
Simplifique o radical. (x = pm 5 sqrt {2} )
Reescreva para mostrar duas soluções.
Se aproximarmos esse número para o décimo mais próximo com uma calculadora, encontraremos (x≈7,1 ).
Etapa 6: Verificar a resposta. Verifique você mesmo no Teorema de Pitágoras.
Etapa 7: Responder a questão.O mastro deve ter cerca de 30 metros de altura.
Tabela 9.5.3

Exercício ( PageIndex {7} )

O sol lança uma sombra de um mastro de bandeira. A altura do mastro da bandeira é três vezes o comprimento de sua sombra. A distância entre o fim da sombra e o topo do mastro da bandeira é de (20 ) pés. Encontre o comprimento da sombra e o comprimento do mastro da bandeira. Arredonde para o décimo mais próximo.

Responder

O comprimento da sombra do mastro é de aproximadamente (6,3 ) pés e a altura do mastro é de (18,9 ) pés.

Exercício ( PageIndex {8} )

A distância entre os cantos opostos de um campo retangular é quatro a mais que a largura do campo. O comprimento do campo é o dobro de sua largura. Encontre a distância entre os cantos opostos. Arredonde para o décimo mais próximo.

Responder

A distância entre os cantos opostos é de aproximadamente (7,2) pés.

A altura de um projétil disparado do solo é modelada por uma equação quadrática. A velocidade inicial, (v_ {0} ), impulsiona o objeto para cima até que a gravidade faça com que o objeto caia de volta.

Definição ( PageIndex {4} )

A altura em pés, (h ), de um objeto disparado para cima no ar com velocidade inicial, (v_ {0} ), após (t ) segundos é dada pela fórmula

Podemos usar essa fórmula para descobrir quantos segundos um fogo de artifício levará para atingir uma altura específica.

Exercício ( PageIndex {9} )

Uma flecha é atirada do solo para o ar a uma velocidade inicial de (108 ) pés / s. Use a fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) para determinar quando a seta estará a (180 ) pés do solo. Arredonde o décimo mais próximo.

Responder

A seta alcançará (180 ) pés no seu caminho para cima após (3 ) segundos e novamente no seu caminho para baixo após aproximadamente (3.8 ) segundos.

Exercício ( PageIndex {10} )

Um homem joga uma bola para o ar com uma velocidade de (96 ) pés / s. Use a fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) para determinar quando a altura da bola será de (48 ) pés. Arredonde para o décimo mais próximo.

Responder

A bola alcançará (48 ) pés no seu caminho para cima após aproximadamente (. 6 ) segundos e novamente no seu caminho para baixo após aproximadamente (5,4 ) segundos.

Resolvemos problemas de movimento uniforme usando a fórmula (D = rt ) nos capítulos anteriores. Utilizamos uma tabela como a seguinte para organizar as informações e nos conduzir à equação.

A fórmula (D = rt ) assume que sabemos (r ) e (t ) e os usamos para encontrar (D ). Se sabemos (D ) e (r ) e precisamos encontrar (t ), resolveríamos a equação para (t ) e obteríamos a fórmula (t = frac {D} {r } ).

Alguns problemas de movimento uniforme também são modelados por equações quadráticas.

Exemplo ( PageIndex {6} )

O professor Smith acabou de voltar de uma conferência que ficava a (2.000 ) milhas a leste de sua casa. Seu tempo total no avião para a viagem de ida e volta foi de (9 ) horas. Se o avião estava voando a uma taxa de (450 ) milhas por hora, qual era a velocidade do jato?

Solução:

Esta é uma situação de movimento uniforme. Um diagrama nos ajudará a visualizar a situação.

Preenchemos o quadro para organizar as informações.

Estamos procurando a velocidade do jato. Seja (r = ) a velocidade do jato.

Quando o avião voa com o vento, o vento aumenta sua velocidade e, portanto, a taxa é (450 + r ).

Quando o avião voa contra o vento, o vento diminui sua velocidade e a taxa é (450 - r ).

Escreva nas taxas.
Escreva nas distâncias.
Uma vez que (D = r⋅t ), resolvemos para
(t ) e obtenha (t = frac {D} {r} ).
Dividimos a distância por
a taxa em cada linha, e
coloque a expressão no
coluna de tempo.
Sabemos que os tempos somam (9 )
e assim escrevemos nossa equação.
( frac {2000} {450-r} + frac {2000} {450 + r} = 9 )
Multiplicamos ambos os lados pelo LCD. ((450-r) (450 + r) left ( frac {2000} {450-r} + frac {2000} {450 + r} right) = 9 (450-r) (450 + r ) )
Simplificar. (2000 (450 + r) +2000 (450-r) = 9 (450-r) (450 + r) )
Fatore o (2.000 ). (2000 (450 + r + 450-r) = 9 left (450 ^ {2} -r ^ {2} right) )
Resolver. (2000 (900) = 9 left (450 ^ {2} -r ^ {2} right) )
Divida por (9 ). (2000 (100) = 450 ^ {2} -r ^ {2} )
Simplificar.

( begin {alinhado} 200000 & = 202500-r ^ {2} -2500 & = - r ^ {2} 50 & = r end {alinhado} )

A velocidade do jato é de (50 ) mph.

Verificar:

É (50 ) mph uma velocidade razoável para o jato? sim.

Se o avião estiver viajando a (450 ) mph e o vento estiver a (50 ) mph,

Tailwind

(450 + 50 = 500 mathrm {mph} quad frac {2000} {500} = 4 ) horas

Vento contrário

(450-50 = 400 mathrm {mph} quad frac {2000} {400} = 5 ) horas

Os tempos somam (9 ) horas, por isso verifica.

Tabela 9.5.5

A velocidade do jato era de (50 ) mph.

Exercício ( PageIndex {11} )

MaryAnne acabou de voltar de uma visita com seus netos no leste. A viagem era de (2.400 ) milhas de sua casa e seu tempo total no avião para a viagem de ida e volta era de (10 ​​) horas. Se o avião estava voando a uma taxa de (500 ) milhas por hora, qual era a velocidade do jato?

Responder

A velocidade do jato era de (100 ) mph.

Exercício ( PageIndex {12} )

Gerry acabou de voltar de uma viagem cross country. A viagem foi de (3.000 ) milhas de sua casa e seu tempo total no avião para a viagem de ida e volta foi de (11 ) horas. Se o avião estava voando a uma taxa de (550 ) milhas por hora, qual era a velocidade do jato?

Responder

A velocidade do jato era de (50 ) mph.

As aplicações de trabalho também podem ser modeladas por equações quadráticas. Iremos configurá-los usando os mesmos métodos que usamos quando os resolvemos com equações racionais. Usaremos um cenário semelhante agora.

Exercício ( PageIndex {13} )

A revista de notícias semanais tem uma grande história nomeando a Pessoa do Ano e o editor quer que a revista seja impressa o mais rápido possível. Ela pediu à impressora para operar uma impressora extra para fazer a impressão mais rapidamente. Pressione # 1 para fazer o trabalho em (6 ) horas a mais do que Pressione # 2 para fazer o trabalho e, quando ambas as impressoras estiverem funcionando, elas podem imprimir o trabalho em (4 ) horas. Quanto tempo leva para cada impressora imprimir o trabalho sozinha?

Responder

A tecla # 1 levaria (12 ) horas e a tecla # 2 levaria (6 ) horas para fazer o trabalho sozinho.

Exercício ( PageIndex {14} )

Erlinda está dando uma festa e quer encher sua banheira de hidromassagem. Se ela usar apenas a mangueira vermelha, levará (3 ) horas a mais do que se ela usar apenas a mangueira verde. Se ela usar as duas mangueiras juntas, a banheira de hidromassagem enche em (2 ) horas. Quanto tempo leva para cada mangueira encher a banheira de hidromassagem?

Responder

A mangueira vermelha leva (6 ) horas e a mangueira verde leva (3 ) horas sozinha.

Acesse esses recursos online para obter instruções e práticas adicionais com a solução de aplicativos modelados por equações quadráticas.

  • Problemas de palavras envolvendo equações quadráticas
  • Problemas com palavras de equação quadrática
  • Aplicando a Fórmula Quadrática

Conceitos chave

  • Métodos para resolver equações quadráticas
    • Factoring
    • Propriedade de Raiz Quadrada
    • Completando o quadrado
    • Fórmula quadrática
  • Como usar uma estratégia de solução de problemas.
    1. Ler o problema. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação de álgebra.
    2. Resolver a equação usando boas técnicas de álgebra.
    3. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
    4. Responder a pergunta com uma frase completa.
  • Área de um Triângulo
    • Para um triângulo com base, (b ) e altura, (h ), a área, (A ), é dada pela fórmula (A = frac {1} {2} bh ) .
  • Área de um Retângulo
    • Para um retângulo com comprimento, (L ), e largura, (W ), a área, (A ), é dada pela fórmula (A = LW ).
  • Teorema de Pitágoras
    • Em qualquer triângulo retângulo, onde (a ) e (b ) são os comprimentos das pernas, e (c ) é o comprimento da hipotenusa, (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ).
  • Movimento do projétil
    • A altura em pés, (h ), de um objeto atirado para cima no ar com velocidade inicial, (v_ {0} ), após (t ) segundos é dada pela fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ).

Aplicação de equações quadráticas



Exemplos, soluções, vídeos, planilhas, jogos e atividades para ajudar os alunos de Álgebra 1 a aprender a resolver problemas de palavras que envolvem equações quadráticas.

Aplicações de Equações Quadráticas - Problemas de Palavras de Equações Quadráticas, parte 1
Como abordar problemas de palavras que envolvem equações quadráticas?
Resolvendo problemas de palavras com equações quadráticas - inteiros consecutivos e problemas de dimensões retangulares.
Exemplos:
1. O produto de dois inteiros consecutivos é 5 mais de três vezes maior. Encontre os inteiros.
2. A largura de um retângulo é 5 pés menor que seu comprimento. Encontre as dimensões do retângulo se a área for de 84 pés quadrados.

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9.5 Resolver aplicações de equações quadráticas

A soma de dois números ímpares consecutivos é −100. Encontre os números.
Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 2.18.

Encontre o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo com pernas de 5 e 12 polegadas.
Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 2.34.

Resolva aplicativos modelados por equações quadráticas

Resolvemos algumas aplicações que são modeladas por equações quadráticas anteriormente, quando o único método que tínhamos para resolvê-las era a fatoração. Agora que temos mais métodos para resolver equações quadráticas, daremos outra olhada nos aplicativos.

Vamos primeiro resumir os métodos que agora temos para resolver equações quadráticas.

Métodos para resolver equações quadráticas

  1. Factoring
  2. Propriedade de Raiz Quadrada
  3. Completando o quadrado
  4. Fórmula quadrática

Ao resolver cada equação, escolha o método mais conveniente para trabalhar o problema. Como um lembrete, copiaremos nossa estratégia usual de solução de problemas aqui para que possamos seguir as etapas.

Como

Use uma estratégia de solução de problemas.

  1. Passo 1. Ler o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
  2. Passo 2. Identificar o que nós estamos procurando.
  3. Etapa 3. Nome o que nós estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
  4. Passo 4. Traduzir em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação algébrica.
  5. Etapa 5. Resolver a equação usando técnicas de álgebra.
  6. Etapa 6. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
  7. Etapa 7. Responder a pergunta com uma frase completa

Resolvemos aplicações de números que envolviam inteiros pares e ímpares consecutivos, modelando a situação com equações lineares. Lembre-se, notamos que cada número inteiro par é 2 a mais do que o número que o precede. Se chamarmos o primeiro n, então o próximo é n + 2. O próximo seria n + 2 + 2 ou n + 4. Isso também é verdadeiro quando usamos números inteiros ímpares. Um conjunto de inteiros pares e um conjunto de inteiros ímpares são mostrados abaixo.

Algumas aplicações de números inteiros pares ou ímpares consecutivos são modeladas por equações quadráticas. A notação acima será útil ao nomear as variáveis.

Exemplo 9.35

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 195. Encontre os inteiros.

Solução

Etapa 1. Leia o problema.
Etapa 2. Identificar o que nós estamos procurando. Procuramos dois inteiros ímpares consecutivos.
Etapa 3. Nome o que nós estamos procurando. Seja n = n = o primeiro inteiro ímpar.
n + 2 = n + 2 = o próximo inteiro ímpar
Etapa 4. Traduzir em uma equação. Declare o problema em uma frase. “O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 195.”
O produto do primeiro inteiro ímpar e do segundo inteiro ímpar é 195.
Traduza para uma equação. n (n + 2) = 195 n 2 + 2 n = 195 n (n + 2) = 195 n 2 + 2 n = 195
Etapa 5. Resolva a equação. Distribuir.
Escreva a equação no formato padrão.
Fator.
n 2 + 2 n - 195 = 0 (n + 15) (n - 13) = 0 n 2 + 2 n - 195 = 0 (n + 15) (n - 13) = 0
Use a propriedade Zero Product.
Resolva cada equação.
n + 15 = 0 n - 13 = 0 n = −15, n = 13 n + 15 = 0 n - 13 = 0 n = −15, n = 13
Existem dois valores de n que são soluções. Isso nos dará dois pares de inteiros ímpares consecutivos para nossa solução.
Primeiro inteiro ímpar n = 13 Primeiro inteiro ímpar n = −15 próximo inteiro ímpar n + 2 próximo inteiro ímpar n + 2 13 + 2 - 15 + 2 15 −13 Primeiro inteiro ímpar n = 13 Primeiro inteiro ímpar n = −15 próximo ímpar inteiro n + 2 próximo inteiro ímpar n + 2 13 + 2 - 15 + 2 15 −13
Etapa 6. Verifique a resposta.
Esses pares funcionam?
Eles são inteiros ímpares consecutivos?
13, 15 sim - 13, −15 sim 13, 15 sim - 13, −15 sim
O produto deles é 195?
13 · 15 = 195 sim - 13 (−15) = 195 sim 13 · 15 = 195 sim - 13 (−15) = 195 sim
Etapa 7. Resposta a questão. Dois inteiros ímpares consecutivos cujo produto é 195 são 13, 15 e −13, −15.

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 99. Encontre os inteiros.

O produto de dois inteiros pares consecutivos é 168. Encontre os inteiros.

Usaremos a fórmula para a área de um triângulo para resolver o próximo exemplo.

Área de um Triângulo

Para um triângulo com base, b, e altura, h, a área, UMA, é dado pela fórmula A = 1 2 b h. A = 1 2 b h.

Lembre-se de que, quando resolvemos aplicações geométricas, é útil desenhar a figura.

Exemplo 9.36

Um arquiteto está projetando a entrada de um restaurante. Ela quer colocar uma janela triangular acima da porta. Devido a restrições de energia, a janela só pode ter uma área de 120 pés quadrados e o arquiteto quer que a base tenha 4 pés a mais que o dobro da altura. Encontre a base e a altura da janela.

Solução

Etapa 1. Leia o problema.
Desenhe uma imagem.
Etapa 2. Identificar o que nós estamos procurando. Procuramos a base e a altura.
Etapa 3. Nome o que nós estamos procurando. Deixar h = a altura do triângulo.
2h + 4 = a base do triângulo
Etapa 4. Traduzir em uma equação.
Conhecemos a área. Escreva o
fórmula para a área de um triângulo.
A = 1 2 b h A = 1 2 b h
Etapa 5. Resolva a equação.
Substitua nos valores.
120 = 1 2 (2 h + 4) h 120 = 1 2 (2 h + 4) h
Distribuir. 120 = h 2 + 2 h 120 = h 2 + 2 h
Esta é uma equação quadrática, reescreva-a na forma padrão. h 2 + 2 h - 120 = 0 h 2 + 2 h - 120 = 0
Fator. (h - 10) (h + 12) = 0 (h - 10) (h + 12) = 0
Use a propriedade Zero Product. h - 10 = 0 h + 12 = 0 h - 10 = 0 h + 12 = 0
Simplificar. h = 10, h = - 12 h = 10, h = - 12
Desde h é a altura de uma janela, um valor de h = −12 não faz sentido.
A altura do triângulo h = 10. h = 10.
A base do triângulo 2 h + 4. 2 h + 4.
2 · 10 + 4 2 · 10 + 4
24 24
Etapa 6. Verifique a resposta.
Um triângulo com altura 10 e base 24 tem área 120? sim.
Etapa 7. Resposta a questão. A altura da janela triangular é de 10 pés e a base é de 24 pés.

Encontre a base e a altura de um triângulo cuja base tem dez centímetros a mais que seis vezes sua altura e tem uma área de 456 centímetros quadrados.

Se um triângulo que tem uma área de 110 pés quadrados tem uma base que é dois pés a menos que o dobro da altura, qual é o comprimento de sua base e altura?

Nos dois exemplos anteriores, o número no radical da Fórmula Quadrática era um quadrado perfeito e, portanto, as soluções eram números racionais. Se obtivermos um número irracional como solução para um problema de aplicativo, usaremos uma calculadora para obter um valor aproximado.

Usaremos a fórmula para a área de um retângulo para resolver o próximo exemplo.

Área de um Retângulo

Para um retângulo com comprimento, eu, e largura, C, a área, UMA, é dado pela fórmula UMA = LW.

Exemplo 9.37

Mike quer colocar 150 pés quadrados de grama artificial em seu jardim da frente. Esta é a área máxima de relva artificial permitida pela associação de proprietários. Ele quer uma área retangular de grama com comprimento 30 cm a menos que 3 vezes a largura. Encontre o comprimento e a largura. Arredonde para o décimo de pé mais próximo.


Aplicações de equações quadráticas



Uma série de aulas de álgebra básicas gratuitas.
Como encontrar o vértice e o eixo de simetria de uma equação quadrática ou função quadrática?
Como resolver problemas de palavras usando equações quadráticas?

Os diagramas a seguir mostram como encontrar o vértice de uma função quadrática e usá-lo para converter da forma geral para a forma de vértice. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções para equações quadráticas em forma de vértice.

Aplicações de equações quadráticas
Em Álgebra I e Álgebra II, às vezes precisamos resolver problemas de palavras usando equações quadráticas. Ao resolver problemas com palavras, algumas aplicações comuns de equação quadrática incluem problemas de movimento de projéteis e problemas de área de geometria. O mais importante ao resolver esses tipos de problemas é ter certeza de que eles estão configurados corretamente para que possamos usar a equação quadrática para resolvê-los facilmente.

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  • Autor da postagem: admin
  • Postagem publicada: 28 de outubro de 2019
  • Categoria de postagem: matemática
  • Postar comentários: 9 comentários

Você sabia que existem muitos usos de equações quadráticas na vida diária? Ele desempenha um papel muito importante na sobrevivência dos seres humanos. Às vezes, as pessoas resolvem as equações, mas não estão cientes porque isso acontece naturalmente. Todo campo que envolve o cálculo de velocidade, área ou determinação de lucro deve envolver equações quadráticas. Pode ser direta ou indiretamente.

Então, o que é uma equação quadrática? É uma equação que envolve pelo menos uma variável ao quadrado. A forma mais padrão da equação quadrática está na forma, ax² + bx + c = 0. X representa o desconhecido, enquanto a, bec são os coeficientes porque representam números conhecidos.

Usos de equações quadráticas na vida diária

1. Calculando um lucro

As equações quadráticas são freqüentemente usadas para calcular o lucro do negócio. Mesmo ao lidar com produtos pequenos, você precisará resolver uma equação quadrática para determinar quantos deles terão lucro. Por exemplo, se você deseja vender tapetes fofos e sua meta é ganhar $ 100k com esse negócio. Primeiro, você precisa determinar seu preço médio de venda. Nesse caso, vamos definir como $ 50 por carpete. Portanto, se você tiver um lucro de $ 10 por tapete, terá que formar uma equação quadrática para saber quantos tapetes você deve vender para atingir $ 100 mil.

2. Cálculo das áreas da sala

Sempre que a construção está ocorrendo, os construtores usam equações quadráticas para determinar a área. As pessoas também calculam as áreas de outras coisas, como um pedaço de terreno e caixas. No entanto, um bom exemplo para ilustrar isso está em construção. Por exemplo, a maioria dos edifícios tem a forma quadrada ou retangular. Para a construção de retângulo, isso significa que um lado deve cobrir o dobro dos outros lados. Calcular a área dos materiais necessários para cobrir essa área levará à formação de uma equação quadrática.

3. Quadrática nos esportes

Existem muitos usos de equações quadráticas nos esportes diários. Tornou-se muito útil na jogabilidade e também na análise. Por exemplo, quando um analista de futebol precisa determinar a forma de uma equipe ou atleta, eles sempre fazem cálculos. Você encontrará um ou dois elementos de uma equação quadrática nesta análise. Os jogadores de basquete marcam lançando a bola na rede e medindo a distância e o tempo precisos que isso levará. Usando uma equação quadrática de velocidade pode calcular a altura da bola. Os jogadores resolvem essa equação sempre que marcam, mas o cálculo é feito em seus cérebros em milissegundos.

4. Aprendizagem

Aprender faz parte de nossa vida diária. Não podemos ignorar o fato de que as equações quadráticas desempenham um papel importante em nossos sistemas educacionais. Nas salas de aula, é onde tudo começa. Todos os dias, milhões de alunos estão resolvendo equações quadráticas. Se você se tornar um professor de matemática, física ou ciência da computação, provavelmente lidará com esses tipos de cálculos todos os dias. Tornou-se parte de nossas vidas, sem que aprender alguns aspectos da ciência e da matemática se tornaria impossível.

5. Encontrando uma Velocidade

Encontrar a velocidade de um determinado objeto pode levar à formação de uma equação quadrática. Por exemplo, os canoístas usam essas equações para determinar a quantidade de velocidade que devem aplicar ao subir ou descer um rio. Por exemplo, o caiaque está subindo a corrente contra um rio que flui a 2 km por hora. Portanto, se ele conseguir se mover até 15 km, a viagem levará 3 horas de ida e volta. Antes de chegar a uma velocidade que o caiaque estará se movendo, você deve formar uma equação como 3x ^ 2 - 30x -12 = 0. X significa velocidade e a resposta final será
10,39 km por hora.

6. Uma antena parabólica

Alguns elementos de uma equação quadrática são usados ​​ao configurar uma antena parabólica. Isso ocorre porque envolve a configuração de certos ângulos para que possa captar sinais de forma eficaz. O prato captura o sinal e o passa para uma buzina de alimentação que agora transmite para a sua TV ou estação. Definir uma antena para receber um sinal de dois ou três satélites ao mesmo tempo envolve a resolução de uma equação quadrática. Um cientista ou engenheiro pode não estar ciente porque é experiente. No entanto, para que o sistema funcione, ele deve ser configurado de acordo com os ângulos retos.

7. Militar e policiais

Quadratic equations are often used by the military or law enforcement to determine the speed of moving objects such as cars and planes. The military can also use them to determine the distance between them and an approaching enemy. In addition, the military uses quadratic equations to predict where tanks or artillery will land. The police apply it when figuring out the trajectories of bullets. The traffic police use it to figure out the speeds of cars involved in accidents on the road.

8. Engineering

Engineers apply quadratic equations more than any other career. Quadratic equations are important when designing curved equipment such as auto-bodies. Brake systems are designed by automotive engineers by solving equations that arise. Aerospace engineers also interact with quadratic equations so often in their careers. Chemical and electrical engineers deal with quadratic equations daily because they work with complex systems. Audio engineers design sound systems with the help of solving some equations.

9. Management and clerical work

There are thousands of management and clerical work that involve the use of quadratic equations daily. For example production, managers and engineering managers supervise people that are dealing with equations. That means they need to have solid knowledge on the same. Human resource managers have to determine the workforce cable of completing some given tasks. In addition, they have to figure out how to pay or design pension plans. All those activities actively depend on the quadratic equations. Insurance agents also deal with them because they have to design complex insurance models and plans that involve a lot of computation.

10. Agriculture

Quadratic equations are also applied in agriculture extensively. Without agriculture, human beings cannot survive. So that means that these equations play a major role in the existence of the human race. One of the biggest applications of quadratic equations in Agriculture is in the arrangement of boundaries. For example, calculating the areas of pens that will produce high yields involves finding the areas. Some area calculations lead to the formation of an equation.


Conclusão

We have shown that the quadratic equation has many applications and has played a fundamental role in human history. Here are a few more applications in which the quadratic equation is indispensable. As a challenge, can you make this list up to 101?

That drop goal, grandfather clocks, rabbits, areas, singing, tax, architecture, sundials, stopping, electronics, micro-chips, fridges, sunflowers, acceleration, paper, planets, ballistics, shooting, jumping, asteroids, quantum theory, chaos, windows, tennis, badminton, flight, radio, pendulum, weather, falling, shower, differential equations, telescope, golf.


Only if it can be put in the form ax 2 + bx + c = 0, e uma é not zero.

The name comes from "quad" meaning square, as the variable is squared (in other words x 2).

These are all quadratic equations in disguise:

In disguise In standard form a, b and c
x 2 = 3x -1 x 2 - 3x + 1 = 0 a=1, b=-3, c=1
2(x 2 - 2x) = 5 2x 2 - 4x - 5 = 0 a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3 x 2 - x - 3 = 0 a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x 2 = 0 5x 2 + x - 1 = 0 a=5, b=1, c=-1

5.8: Solve Applications of Quadratic Equations - Mathematics

A quadratic equation can be written in the standard form

where is the unknown variable, the coefficients , and are real numbers, and

(If we have a linear equation . and a much simpler problem.) In a class like this the coefficients are usually given explicitly, but in actual applications they are often variables, or even algebraic expressions.

Para solve the quadratic equation means to find values of that make the equation true. To illustrate the principles and issues let's look at a special case first. Consider the equation

You might say that's not a quadratic equation since it's not in the form . However, it can be converted into an equivalent equation that is in that form, by suitable operations on both sides of the equation:

The last equation in this sequence é in standard form, with , , and having the given values. However, the equation can be solved much more easily than :

Thus there are two solutions of the equation, and . We can (and should) verify this by substituting these values in the original equation. If we obtain and if we obtain .

Note the symbol in the second and third of the above sequence of equations. The square root of is positive by convention and equals . However, our task at that stage is not to compute a square root as such, but to answer the question for what values of does equal ? There are two such values, and , and we must consider both possibilities.

Let's now consider the more general equation

where and are considered known and, as before, needs to be determined.

It can be solved just like the special case considered earlier:

Let's see how this works with our equation in standard form:

If the constant term was instead of we would have a perfect square . To make it so we just add on both sides and obtain

which can be rewritten as

we simply look at the factor of , halve it, square it, and add the appropriate constant that makes the constant equal to that desired value. One simple minded way to obtain that constant is to subtract whatever constant is there, and then add the desired value. For this to work the leading coefficient (multiplying ) must equal . If it doesn't we divide first by the leading coefficient on both sides. (However, do not memorize this procedure as a recipe. Rather think about it, and practice it, until it makes sense and is so compelling that it becomes a natural part of your repertoire.)

Two Real Solutions

An example illustrates the process:

We easily check that and do in fact satisfy the original equation.

The above example illustrates one of three possible outcomes of this procedure, the case where there are two real solutions.

One Real Solution

In the following example there is only one solution:

The reason there is only one solution is the fact that there is one and only one number whose square is .

Two Conjugate Complex Solutions

If the above procedure leads to taking the square root of a negative number we obtain a conjugate complex pair of solutions as illustrated in the following example:

Of course there is nothing to stop us from applying this procedure to the general equation . This gives rise to the quadratic formula . Personally, I prefer not to burden my mind with having to memorize reliably yet another formula, and so I complete the square almost every time I solve a quadratic equation.


Applications of Quadratic Equations

Application type problems are designed to teach you to read carefully, to think clearly, and to translate from English to algebraic expressions and equations. The problems do not tell you directly to add, subtract, multiply, divide, or square. You must decide on a method of attack from the wording of the problem combined with your previous experience and knowledge. Study the following examples and read the explanations carefully. They are similar to some, but not all, of the problems in the exercises.

In a triângulo retângulo, one of the angles is a right angle (measures 90°) and the side opposite this angle (the longest side) is called the hypotenuse. Pythagoras was a famous Greek mathematician who is given credit for proving the following very important and useful theorem.

Teorema de Pitágoras: In a right triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two sides.

Example 1 illustrates how the Pythagorean Theorem can be used.

Example 1: The Pythagorean Theorem

The length of a rectangle is 7 feet longer than the width. If one diagonal measures 13 feet, what are the dimensions of the rectangle?

Draw a diagram for problems involving geometric figures whenever possible.

Let x = Width of the rectangle

x + 7 = length of the rectangle

(x+7)^2+x^2=13^2 Using the Pythagorean Theorem x^2+14x+49+x^2=169 2x^2+14x+49-169=0 2x^2+14x-120=0 2(x^2+7x-60)=0 2(x-5)(x+12)=0 x-5=0 or x+12=0 x=5 x=-12

A negative number does not fit the conditions of the problem.

Verificar: 5^2+12^2=13^2

The width is 5 ft and the length is 12 ft.

Now let's practice solving this type quadratic equation. This is how our quadratic solver would solve it step-by-step:

Example 2: Work

Working for a janitorial service, a woman and her daughter clean a building in 5 hours. If the daughter were to do the job by herself, she would take 24 hours longer than her mother would take. How long would it take her mother to clean the building without the daughter&rsquos help?

This problem is similar to the work problems discussed in previous section.

Let x = time for mother alone

x + 24 = time for daughter alone

1/x(5x)(x+24)+1/(x+24)(5x)(x+24)=1/5(5x)(x+24) Multiply each term by the LCM of the denominators. 5(x+24)+5x=x(x+24) 5x+120+5x=x^2+24x 0=x^2+24x-10x-120 0=x^2+14x-120 0=(x-6)(x+20) x-6=0 or x+20=0 x=6 x=-20

The value of x can't be negative for this problem.

So the mother could do the job alone in 6 hours.

Example 3: Distance, Rate, Time

An airplane travels at a top speed of 200 mph. The plane, flying at top speed, is clocked over a distance of 960 miles and takes 2 hours more on the return trip because of a head Wind. (A tail wind was helping on the first leg of the flight.) What was the wind velocity?

The basic formula is d = rt (distance = rate x time). Also, t = d/r and r = d/t .

If we know or can represent any two of the three quantities, the formula using these two should be used.

200 + x = speed going 200-x = speed returning 960 = distance each way

We know distance and can represent rate (or speed), so the formula t = d/r is appropriate.

960/(200-x)(200-x)(200+x)-960/(200+x)(200-x)(200+x)=2(200-x)(200+x) 960(200+x)-960(200-x)=2(40000-x^2) 192000+960x-192000+960x=80000-2x^2 2x^2+1920x-80000=0 x^2+960x-40000=0 (x-40)(x+1000)=0 x-40=0 or x+1000=0 x=40 x=-1000

The value of x can't be negative for this problem.

The wind velocity was 40 miles per hour.

Verificar: 960/(200-40)-960/(200+40)=2

Example 4: Geometry

A square piece of cardboard has a small square, 2 in. by 2 in., cut from each corner. The edges are then folded up to form a box with a volume of 5000 cubic inches. What are the dimensions of the box? (Hint: The volume is the product of the length, width, and height. V = lwh .)

Draw a diagram illustrating the information.

Let x = one side of the square.

2(x-4)(x-4)=5000 2(x^2-8x+16)=5000 x^2-8x+16=2500 x^2-8x-2486=0 (x-54)(x+46)=0 x-54=0 or x+46=0 x=54 x=-46 The value of x can't be negative. x-4=50


In Unit 8, Quadratic Equations and Applications, students continue their study of quadratic equations from Unit 7. They learn the three common forms of a quadratic equation&mdashstandard form, intercept form, and vertex form&mdashand understand how to use these forms efficiently based on the situation at hand. Students also learn new strategies to determine the vertex and the roots of a quadratic equation and then apply these strategies in various real-world contexts.

In Topic A, students are introduced to the vertex form of a quadratic equation. They use their factoring skills from Unit 7 to determine the process of completing the square. Using the process of completing the square, students are able to derive the famous quadratic formula, enabling them to solve for the roots of any quadratic equation. Students investigate examples of quadratic equations with two, one, and no real roots, and make the connection of the number of real roots to the value of the discriminant. Throughout the lessons in this topic, students pay attention to the structure of the equations to determine which strategy and approach are the most efficient way to solve.

In Topic B, students recall how replacing the function $<>$ with functions such as $$ or $<>+k$ transforms the graph of $<>$ in predictable ways. Students then write and analyze quadratic functions to represent different real-world applications involving projectile motion, profit and revenue models, and geometric area applications. Lastly, students investigate systems of equations where one of the equations is a quadratic equation.

Pacing: 17 instructional days (15 lessons, 1 flex day, 1 assessment day)