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8.4: Divisores de Ângulo


Se (amedangle ABX equiv - amedangle CBX ), então dizemos que a linha ((BX) ) divide ao meio ( ângulo ABC ), ou a linha ((BX) ) é uma bissetriz de ( ângulo ABC ). Se (amedangle ABX equiv pi - amedangle CBX ), então a linha ((BX) ) é chamada de bissetriz externa de ( ângulo ABC ).

If (medangle ABA '= pi ); ou seja, se (B ) estiver entre (A ) e (A '), então a bissetriz de ( ângulo ABC ) é a bissetriz externa de ( ângulo A'BC ) e o contrário.

Observe que a bissetriz e a bissetriz externa são definidas exclusivamente pelo ângulo.

Exercício ( PageIndex {1} )

Mostre que, para qualquer ângulo, sua bissetriz e bissetriz externa são perpendiculares.

Dica

Sejam ((BX) ) e ((BY) ) as bissetoras interna e externa de ( ângulo ABC ). Então

/ )

e, portanto, o resultado.

As bissetoras de ( ângulo ABC ), ( ângulo BCA ) e ( ângulo CAB ) de um triângulo não degenerado (ABC ) são chamadas de bissetoras do triângulo (ABC ) nos vértices (A, B ) e (C ) respectivamente.

Lemma ( PageIndex {1} )

Seja ( triângulo ABC ) um triângulo não degenerado. Suponha que a bissetriz no vértice (A ) intercepta o lado ([BC] ) no ponto (D ). Então

[ dfrac {AB} {AC} = dfrac {DB} {DC}. ]

Prova

Seja ( ell ) uma linha passando por (C ) que é paralela a ((AB) ). Observe que ( ell nparallel (AD) ); definir

(E = ell cap (AD) ).

Observe também que (B ) e (C ) ficam em lados opostos de ((AD) ). Portanto, pela propriedade transversal (Teorema 7.3.1),

[ Measangle BAD = Measangle CED. ]

Além disso, os ângulos (ADB ) e (EDC ) ​​são verticais; em particular, pela Proposição 2.5.1

( Measangle ADB = Measangle EDC. )

Pela condição de similaridade AA, ( triangle ABD sim triangle ECD ). Em particular,

[ dfrac {AB} {EC} = dfrac {DB} {DC}. ]

Como ((AD) ) divide em duas partes ( angle BAC ), obtemos que ( Measangle BAD = Measangle DAC ). Junto com 8.4.2, isso implica que ( Measangle CEA = Measangle EAC ). Pelo Teorema 4.3.1, ( triângulo ACE ) é isósceles; isso é,

(EC = AC. )

Junto com 8.4.3, implica 8.4.1.

Exercício ( PageIndex {2} )

Formule e prove um análogo do Lemma ( PageIndex {1} ) para a bissetriz externa.

Dica

Se (E ) é o ponto de intersecção de ((BC) ) com a bissetriz externa de ( ângulo BAC ), então ( dfrac {AB} {AC} = dfrac {EB} { EC} ). Pode ser provado nas mesmas linhas que Lemma ( PageIndex {1} ).


Teorema do Bissetor do Ângulo: Provas e Exemplos Resolvidos

Teorema do Bisector do Ângulo é um dos teoremas fundamentais da matemática, especialmente da geometria. O Teorema da Bissetriz do Ângulo diz que uma bissetriz do ângulo de um triângulo dividirá o lado oposto em dois segmentos proporcionais aos outros dois lados do triângulo.

Teorema da bissetriz do ângulo se aplica a todos os tipos de triângulos, como triângulos equiláteros, triângulos isósceles e triângulos retângulos, etc.


Como calculamos este triângulo?

1. Dados de entrada inseridos: lado a, be c.

2. O perímetro do triângulo é a soma dos comprimentos de seus três lados

3. Semiperímetro do triângulo

O semiperímetro do triângulo é a metade de seu perímetro. O semiperímetro freqüentemente aparece em fórmulas para triângulos que recebem um nome separado. Pela desigualdade do triângulo, o comprimento do lado mais longo de um triângulo é menor que o semiperímetro.

4. A área do triângulo usando a fórmula de Heron & # 39s

A fórmula de Heron fornece a área de um triângulo quando o comprimento dos três lados é conhecido. Não há necessidade de calcular ângulos ou outras distâncias no triângulo primeiro. A fórmula de Heron funciona igualmente bem em todos os casos e tipos de triângulos.

5. Calcule as alturas do triângulo a partir de sua área.

Existem muitas maneiras de determinar a altura do triângulo. A maneira mais fácil é a partir da área e do comprimento da base. A área de um triângulo é a metade do produto do comprimento e da altura da base. Cada lado do triângulo pode ser uma base, existem três bases e três alturas (altitudes). A altura do triângulo é o segmento de linha perpendicular de um vértice a uma linha que contém a base.

6. Cálculo dos ângulos internos do triângulo usando uma Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é útil para encontrar os ângulos de um triângulo quando conhecemos todos os três lados. A regra do cosseno, também conhecida como lei dos cossenos, relaciona todos os três lados de um triângulo com o ângulo de um triângulo. A Lei dos Cossenos é a extrapolação do teorema de Pitágoras para qualquer triângulo. O teorema de Pitágoras funciona apenas em um triângulo retângulo. O teorema de Pitágoras é um caso especial da Lei dos Cossenos e pode ser derivado dela porque o cosseno de 90 ° é 0. É melhor encontrar o ângulo oposto ao lado mais longo primeiro. Com a Lei dos Cossenos, também não há problema com ângulos obtusos como com a Lei dos Senos porque a função cosseno é negativa para ângulos obtusos, zero para ângulos retos e positiva para ângulos agudos. Também usamos o cosseno inverso denominado arco-cosseno para determinar o ângulo a partir do valor do cosseno.

7. Inradius

O incircle de um triângulo é um círculo tangente a cada lado. Um centro incircle é chamado de incenter e tem um raio chamado inradius. Todos os triângulos têm um incentivo e ele sempre fica dentro do triângulo. O incentivo é a interseção das bissetoras de três ângulos. O produto do infravermelho e do semiperímetro (metade do perímetro) de um triângulo é sua área.

8. Circunradius

O circumcircle de um triângulo é um círculo que passa por todos os vértices do triângulo, e o circumradius de um triângulo é o raio do circumcircle do triângulo. O circuncentro (centro da circunferência) é o ponto onde as bissetoras perpendiculares de um triângulo se cruzam.

9. Cálculo de medianas

A mediana de um triângulo é um segmento de linha que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Cada triângulo tem três medianas e todas elas se cruzam no centroide do triângulo. O centróide divide cada mediana em partes na proporção de 2: 1, com o centróide sendo duas vezes mais próximo do ponto médio de um lado do que do vértice oposto. Usamos o teorema de Apolônio para calcular o comprimento de uma mediana a partir dos comprimentos de seu lado.


Como encontrar a bissetriz perpendicular?

Exemplo:
Vamos encontrar a equação bissetriz perpendicular com os pontos P (3,4), Q (6,6).

Considere as coordenadas dos pontos P e Q como sendo x1, y1 e x2, y2, respectivamente. Precisamos calcular os pontos médios da reta PQ, que é F, e a inclinação para encontrar a equação da bissetriz perpendicular.

Passo 1:
Vamos calcular o ponto médio da linha que é a média das coordenadas xey.
Ponto médio de uma linha = x1 + x2 / 2, y1 + y2 / 2
Ponto médio de PQ = 3 + 6/2, 4 + 6/2 = (9/2, 10/2)

Passo 2:
A seguir, precisamos encontrar a inclinação da reta PQ usando a fórmula y2-y1 / x2-x1. Observe que a inclinação é representada pela letra & # 39m & # 39.
Inclinação de PQ (m) = 6-7 / 6-5 = -1 = 6-4 / 6-3 = 2/3 = 0,4
etapa 3:
Agora, vamos calcular a inclinação da bissetriz perpendicular (AB) da linha PQ. A inclinação da bissetriz perpendicular = -1 / inclinação da linha.
Portanto, para AB = -1 / 0,4 = -2,5
Passo 4:
Assim que encontrarmos a inclinação como acima, podemos encontrar a equação com a inclinação e os pontos médios.
Vamos encontrar a equação do AB com pontos médios (9 / 2,10 / 2) e a inclinação -2,5. Fórmula para encontrar a equação: y-y1 = m (x-x1) y-10/2 = -2,5 (x-9/2)

Resolvendo o acima, obtemos a equação y-5 = -2,5 (x-9/2).


4.21: Bissetores de Ângulo em Triângulos

Construção e propriedades das bissetoras, que cortam os ângulos pela metade.

Teorema do Bisector do Ângulo

A bissetriz do ângulo corta um ângulo exatamente pela metade. Uma propriedade importante das bissetoras do ângulo é que se um ponto está na bissetriz de um ângulo, então o ponto é equidistante dos lados do ângulo. Isso é chamado de Teorema do Bisector do Ângulo.

Em outras palavras, se ( overrightarrow) bissectos ( ângulo ABC ), ( overrightarrow perp FD overline), e, ( overrightarrow perp overline) então (FD = DG ).

Figura ( PageIndex <1> )

O inverso deste teorema também é verdadeiro.

Angle Bisector Teorema Converse: Se um ponto está no interior de um ângulo e equidistante dos lados, então ele se encontra na bissetriz desse ângulo.

Quando construímos bissetores de ângulo para os ângulos de um triângulo, eles se encontram em um ponto. Este ponto é chamado de no centro do triângulo.

Figura ( PageIndex <2> )

E se lhe dissessem que ( overrightarrow) é a bissetriz do ângulo de ( angle FGH )? Como você encontraria o comprimento de (FJ ) dado o comprimento de (HJ )?

Existem informações suficientes para determinar se ( overrightarrow) é a bissetriz do ângulo de ( angle CAD )? Por que ou por que não?

Figura ( PageIndex <3> )

Não porque (B ) não é necessariamente equidistante de ( overline) e ( overline). Não sabemos se os ângulos no diagrama são ângulos retos.

Um ângulo (108 ^ < circ> ) é dividido ao meio. Quais são as medidas dos ângulos resultantes?

Sabemos que dividir ao meio significa cortar pela metade, então cada um dos ângulos resultantes será a metade de 108. A medida de cada ângulo resultante é (54 ^ < circ> ).

Está (Y ) na bissetriz do ângulo de ( angle XWZ )?

Figura ( PageIndex <4> )

Se (Y ) estiver na bissetriz do ângulo, então (XY = YZ ) e ambos os segmentos precisam ser perpendiculares aos lados do ângulo. Pelas marcações sabemos ( overline perp overrightarrow) e ( overline perp overrightarrow). Em segundo lugar, (XY = YZ = 6 ). Então, sim, (Y ) está na bissetriz do ângulo de ( angle XWZ ).

( overrightarrow) é a bissetriz do ângulo de ( angle LMN ). Encontre a medida de (x ).

Figura ( PageIndex <5> )

(LO = ON ) pelo teorema do bisetor do ângulo.

( overrightarrow) é a bissetriz do ângulo de ( angle CAD ). Resolva a variável ausente.

Figura ( PageIndex <6> )

(CB = BD ) pelo Teorema do Bissetor do Ângulo, para que possamos configurar e resolver uma equação para (x ).

Análise

Para as questões 1-4, ( overrightarrow) é a bissetriz do ângulo de ( angle CAD ). Resolva a variável ausente.

  1. Figura ( PageIndex <7> )
  2. Figura ( PageIndex <8> )
  3. Figura ( PageIndex <9> )
  4. Figura ( PageIndex <10> )

Existem informações suficientes para determinar se ( overrightarrow) é o ângulo bissetriz de angle CAD? Por que ou por que não?

  1. Figura ( PageIndex <11> )
  2. Figura ( PageIndex <12> )
  1. Em que tipo de triângulo todas as bissetoras dos ângulos passarão pelos vértices do triângulo?
  2. Qual é outro nome para as bissetoras dos ângulos dos vértices de um quadrado?
  3. Desenhe as bissetoras dos ângulos dos vértices de um quadrado. Quantos triângulos você tem? Que tipo de triângulos são?
  4. Preencha os espaços em branco no Converse do Teorema Bissetor do Ângulo. Figura ( PageIndex <13> )

Dado: ( overline cong overline), de modo que (AD ) e (DC ) ​​são as distâncias mais curtas para ( overrightarrow) e ( overrightarrow)


Detalhes

Se as linhas se cruzam, o ponto de intersecção é

.

As equações das bissetoras dos ângulos são obtidas resolvendo

.

A inclinação da bissetriz do ângulo em termos da inclinação das duas linhas e é

.

A inclinação da perpendicular à bissetriz do ângulo é

.

Observe que .

A equação da bissetriz do ângulo na forma ponto-inclinação é

e a equação da perpendicular à bissetriz do ângulo no ponto de intersecção é

.


Conteúdo

Uma bissetriz de segmento de linha passa pelo ponto médio do segmento. Particularmente importante é a bissetriz perpendicular de um segmento, que, de acordo com seu nome, encontra o segmento em ângulos retos. A bissetriz perpendicular de um segmento também tem a propriedade de que cada um de seus pontos seja equidistante das extremidades do segmento. Portanto, os limites do diagrama de Voronoi consistem em segmentos de tais linhas ou planos.

Na geometria clássica, a bissecção é uma construção simples de compasso e régua, cuja possibilidade depende da habilidade de desenhar círculos de raios iguais e centros diferentes. O segmento é dividido ao meio desenhando círculos de interseção de raio igual, cujos centros são os pontos finais do segmento e de forma que cada círculo passa por um ponto final. A linha determinada pelos pontos de intersecção dos dois círculos é a bissetriz perpendicular do segmento, uma vez que cruza o segmento em seu centro. Esta construção é de fato usada quando se constrói uma linha perpendicular a uma dada linha em um dado ponto: desenhando um círculo arbitrário cujo centro é aquele ponto, ele cruza a linha em mais dois pontos, e a perpendicular a ser construída é aquela que corta o segmento definido por esses dois pontos.

O teorema de Brahmagupta afirma que se um quadrilátero cíclico é ortodiagonal (ou seja, tem diagonais perpendiculares), então a perpendicular a um lado do ponto de intersecção das diagonais sempre corta o lado oposto.

Uma bissetriz de ângulo divide o ângulo em dois ângulos com medidas iguais. Um ângulo tem apenas uma bissetriz. Cada ponto de uma bissetriz do ângulo é equidistante dos lados do ângulo.

O interior ou bissetriz interna de um ângulo é a linha, meia linha ou segmento de linha que divide um ângulo de menos de 180 ° em dois ângulos iguais. O exterior ou bissetriz externa é a linha que divide o ângulo suplementar (de 180 ° menos o ângulo original), formado por um lado formando o ângulo original e a extensão do outro lado, em dois ângulos iguais. [1]

Para dividir um ângulo com régua e compasso, desenha-se um círculo cujo centro é o vértice. O círculo encontra o ângulo em dois pontos: um em cada perna. Usando cada um desses pontos como centro, desenhe dois círculos do mesmo tamanho. A intersecção dos círculos (dois pontos) determina uma linha que é a bissetriz do ângulo.

A prova da correção dessa construção é bastante intuitiva, contando com a simetria do problema. A trissecção de um ângulo (dividindo-o em três partes iguais) não pode ser alcançada apenas com o compasso e a régua (isso foi provado pela primeira vez por Pierre Wantzel).

As bissetoras interna e externa de um ângulo são perpendiculares. Se o ângulo for formado pelas duas linhas dadas algebricamente como l 1 x + m 1 y + n 1 = 0 < displaystyle l_ <1> x + m_ <1> y + n_ <1> = 0> e l 2 x + m 2 y + n 2 = 0, < displaystyle l_ <2> x + m_ <2> y + n_ <2> = 0,> então as bissetoras interna e externa são dadas pelas duas equações [2]: p 0,15

Edição de Triângulo

Edição de simultaneidades e colinearidades

As bissetoras dos ângulos internos de um triângulo são simultâneas em um ponto denominado incentivo do triângulo, conforme mostrado no diagrama à direita.

As bissetoras de dois ângulos externos e a bissetriz do outro ângulo interno são concorrentes. [3]: p.149

Três pontos de interseção, cada um de uma bissetriz do ângulo externo com o lado estendido oposto, são colineares (caem na mesma linha que os outros). [3]: pág. 149

Três pontos de intersecção, dois deles entre uma bissetriz do ângulo interno e o lado oposto, e o terceiro entre a outra bissetriz do ângulo externo e o lado oposto estendido, são colineares. [3]: pág. 149

Teorema da bissetriz do ângulo Editar

O teorema da bissetriz do ângulo se preocupa com os comprimentos relativos dos dois segmentos em que o lado do triângulo é dividido por uma linha que divide o ângulo oposto. Ele iguala seus comprimentos relativos aos comprimentos relativos dos outros dois lados do triângulo.

Editar comprimentos

ou em termos trigonométricos, [4]

Onde b e c são os comprimentos dos lados opostos aos vértices B e C e o lado oposto A é dividido na proporção b:c.

Se as bissetoras internas dos ângulos A, B e C têm comprimentos t a, t b, < displaystyle t_, t_,> e t c < displaystyle t_>, então [5]

Não há dois triângulos não congruentes que compartilhem o mesmo conjunto de três comprimentos de bissetriz de ângulo interno. [6] [7]

Triângulos inteiros Editar

Edição Quadrilateral

As bissetoras do ângulo interno de um quadrilátero convexo ou formam um quadrilátero cíclico (isto é, os quatro pontos de intersecção das bissetoras do ângulo adjacentes são concíclicos), [8] ou são concorrentes. No último caso, o quadrilátero é um quadrilátero tangencial.

Rhombus Edit

Cada diagonal de um losango divide ângulos opostos.

Quadrilátero Ex-tangencial Editar

O excentro de um quadrilátero ex-tangencial encontra-se na intersecção de seis bissetores de ângulo. Estas são as bissetoras do ângulo interno em dois ângulos de vértice opostos, as bissetoras do ângulo externo (bissetriz do ângulo suplementar) nos outros dois ângulos do vértice e as bissetoras do ângulo externo nos ângulos formados onde as extensões dos lados opostos se cruzam.

Edição de parábola

A tangente a uma parábola em qualquer ponto divide o ângulo entre a linha que une o ponto ao foco e a linha do ponto e perpendicular à diretriz.

Edição de Triângulo

Medianas Editar

Cada uma das três medianas de um triângulo é um segmento de linha que atravessa um vértice e o ponto médio do lado oposto, então divide esse lado (embora não perpendicularmente). As três medianas se cruzam em um ponto que é chamado de centróide do triângulo, que é seu centro de massa se tiver densidade uniforme, portanto, qualquer linha através do centróide de um triângulo e um de seus vértices corta o lado oposto. O centróide está duas vezes mais próximo do ponto médio de qualquer lado do que do vértice oposto.

Bissetores perpendiculares Editar

A bissetriz perpendicular interior de um lado de um triângulo é o segmento, caindo inteiramente sobre e dentro do triângulo, da linha que divide perpendicularmente esse lado. As três bissetoras perpendiculares dos três lados de um triângulo se cruzam no circuncentro (o centro do círculo através dos três vértices). Assim, qualquer linha que atravesse o circuncentro de um triângulo e seja perpendicular a um lado corta esse lado.

Em um triângulo agudo, o circuncentro divide os bissetores perpendiculares internos dos dois lados mais curtos em proporções iguais. Em um triângulo obtuso, os dois lados mais curtos bissetores perpendiculares (estendidos além de seus lados opostos do triângulo até o circuncentro) são divididos por seus respectivos lados do triângulo que se cruzam em proporções iguais. [9]: Corolários 5 e 6

Edição Quadrilateral

Os dois bimedianos de um quadrilátero convexo são os segmentos de linha que conectam os pontos médios de lados opostos, portanto, cada um divide dois lados. Os dois bimedianos e o segmento de linha que une os pontos médios das diagonais são concorrentes em um ponto denominado "centróide do vértice" e são todos divididos ao meio por este ponto. [10]: p.125

As quatro "maltitudes" de um quadrilátero convexo são as perpendiculares a um lado através do ponto médio do lado oposto, dividindo assim o último lado. Se o quadrilátero é cíclico (inscrito em um círculo), essas maltitudes são simultâneas em (todas se encontram) em um ponto comum denominado "anticentro".

O teorema de Brahmagupta afirma que se um quadrilátero cíclico é ortogonal (ou seja, tem diagonais perpendiculares), então a perpendicular a um lado do ponto de intersecção das diagonais sempre corta o lado oposto ao meio.

A construção bissetriz perpendicular forma um quadrilátero a partir das bissetoras perpendiculares dos lados de outro quadrilátero.

Edição de Triângulo

Há uma infinidade de linhas que dividem a área de um triângulo. Três deles são as medianas do triângulo (que conectam os pontos médios dos lados com os vértices opostos), e estes são concorrentes no centróide do triângulo, de fato, eles são as únicas bissetoras de área que passam pelo centróide. Três outras bissetoras de área são paralelas aos lados do triângulo, cada uma delas intersecciona os outros dois lados de modo a dividi-los em segmentos com as proporções 2 + 1: 1 < displaystyle < sqrt <2>> +1: 1>. [11] Essas seis linhas são simultâneas, três de cada vez: além das três medianas serem simultâneas, qualquer mediana é simultânea a duas das bissetoras da área paralela lateral.

O envelope da infinidade de bissetores de área é um deltóide (amplamente definido como uma figura com três vértices conectados por curvas côncavas ao exterior do deltóide, tornando os pontos internos um conjunto não convexo). [11] Os vértices do deltóide estão nos pontos médios das medianas, todos os pontos dentro do deltóide estão em três bissetores de área diferentes, enquanto todos os pontos fora dele estão em apenas um. [1] Os lados do deltóide são arcos de hipérboles assintóticos aos lados estendidos do triângulo. [11] A razão entre a área do envelope das bissetoras da área e a área do triângulo é invariante para todos os triângulos e é igual a 3 4 log e ⁡ (2) - 1 2, < displaystyle < tfrac <3> < 4 >> log _(2) - < tfrac <1> <2>>,> ou seja, 0,019860. ou menos de 2%.

Um cutelo de um triângulo é um segmento de linha que corta o perímetro do triângulo e tem um ponto final no ponto médio de um dos três lados. Os três cutelos coincidem (todos passam) no centro do círculo de Spieker, que é o círculo interno do triângulo medial. Os cutelos são paralelos às bissetoras do ângulo.

Um divisor de um triângulo é um segmento de linha que tem um ponto final em um dos três vértices do triângulo e divide o perímetro ao meio. Os três divisores coincidem no ponto Nagel do triângulo.

Qualquer linha através de um triângulo que divide a área do triângulo e seu perímetro ao meio passa pelo incentivo do triângulo (o centro de seu círculo interno). Existem um, dois ou três deles para qualquer triângulo. Uma linha através do incentivo corta ao meio uma da área ou perímetro se, e somente se, corta também ao meio o outro. [12]

Edição de paralelogramo

Qualquer linha através do ponto médio de um paralelogramo corta a área [13] e o perímetro ao meio.

Edição de círculo e elipse

Todas as bissetoras de área e bissetoras de perímetro de um círculo ou outra elipse passam pelo centro, e quaisquer cordas pelo centro dividem a área e o perímetro. No caso de um círculo, eles são os diâmetros do círculo.

Edição de paralelogramo

As diagonais de um paralelogramo se dividem entre si.

Edição Quadrilateral

Se um segmento de linha conectando as diagonais de um quadrilátero corta ao meio ambas as diagonais, então este segmento de linha (a Linha de Newton) é ele próprio dividido ao meio pelo centróide do vértice.

Um plano que divide duas arestas opostas de um tetraedro em uma determinada proporção também divide o volume do tetraedro na mesma proporção. Assim, qualquer plano contendo um bimediano (conector de pontos médios de bordas opostas) de um tetraedro corta o volume do tetraedro [14] [15]: pp.89-90

  1. ^Weisstein, Eric W. "Exterior Angle Bisector." From MathWorld - A Wolfram Web Resource.
  2. ^ Espanha, Barry. Cônicas Analíticas, Dover Publications, 2007 (orig. 1957).
  3. ^ umabcde Johnson, Roger A., Geometria Euclidiana Avançada, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
  4. ^ Oxman, Victor. "Sobre a existência de triângulos com determinados comprimentos de um lado e dois bissetores de ângulo adjacentes", Forum Geometricorum 4, 2004, 215-218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf
  5. ^ Simons, Stuart. Gazeta Matemática 93, março de 2009, 115-116.
  6. ^ Mironescu, P., e Panaitopol, L., "A existência de um triângulo com comprimentos bissetores de ângulo prescritos", American Mathematical Monthly 101 (1994): 58–60.
  7. ^Oxman, Victor, "Uma prova puramente geométrica da singularidade de um triângulo com bissetores de ângulo prescritos", Forum Geometricorum 8 (2008): 197–200.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Quadrilateral". From MathWorld - A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html
  9. ^ umab Mitchell, Douglas W. (2013), "Perpendicular Bisectors of Triangle Sides", Forum Geometricorum 13, 53-59. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf
  10. ^ Altshiller-Court, Nathan, Geometria universitária, Dover Publ., 2007.
  11. ^ umabc Dunn, J. A. e Pretty, J. E., "Halving a triangle," Gazeta Matemática 56, maio de 1972, 105-108.
  12. ^ Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers", Revista Matemática 83, abril de 2010, pp. 141-146.
  13. ^ Dunn, J. A. e J. E. Pretty, "Halving a triangle", Gazeta Matemática 56, maio de 1972, p. 105
  14. ^ Weisstein, Eric W. "Tetrahedron". From MathWorld - A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html
  15. ^ Altshiller-Court, N. "O tetraedro." CH. 4 pol Geometria Sólida Pura Moderna: Chelsea, 1979.
    at cut-the-knot Com miniaplicativo interativo Com miniaplicativo interativo Com miniaplicativo interativo e seccionando uma linha Usando uma bússola e régua
  • Weisstein, Eric W. "Line Bisector". MathWorld.

Este artigo incorpora material da bissetriz de Angle no PlanetMath, que é licenciado sob a licença Creative Commons Atribuição / Compartilhamento pela mesma Licença.


AD é a bissetriz do ângulo de ∠EAB. Resolva para x. RESPOSTAS: A)

O Teorema da Bissetriz do Ângulo diz que uma bissetriz do ângulo de um triângulo dividirá o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos outros dois lados do triângulo.

Foi-nos dado um triângulo e somos solicitados a resolver para x usando o teorema da bissetriz do ângulo.

O teorema da bissetriz do ângulo afirma que se um raio divide o ângulo de um triângulo ao meio, então ele divide o lado oposto do triângulo em segmentos que são proporcionais aos outros dois lados.

Usando o teorema da bissetriz do ângulo, podemos definir uma equação como:

Vamos resolver para x multiplicando ambos os lados da nossa equação por 5.

Vamos subtrair 1 de ambos os lados da nossa equação.

Ao dividir os dois lados da nossa equação por 4, obteremos,


Esperamos que você tenha gostado de aprender sobre o teorema da bissetriz do ângulo do triângulo com os exemplos e questões práticas. Agora, você será capaz de resolver facilmente problemas no teorema da bissetriz do ângulo do triângulo.

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Exemplos resolvidos no bissetor de ângulo

Exemplo 1. Na figura abaixo, BD é a bissetriz de ∠ABC e a bissetriz de BE ∠ABD. Encontre a medida de ∠DBE dado que ∠ABC = 80 °.

É dado que ∠ABC = 80 °.
∠ABD = 1/2 × ∠ABC = 1/2 × 80 ° = 40 ° (BD é uma bissetriz do ângulo ∠ABC em duas partes iguais)
Agora, ∠DBE = 1/2 × ∠ABD = 12 × 40 ° = 20 ° (BE é uma bissetriz e divide ∠ABD em duas partes iguais)
∴ ∠DBE = 20 °

Exemplo 2: Na figura, Ray OD é a bissetriz do ângulo. Encontre x.

Para encontrar x, usaremos a propriedade: Qualquer ponto na bissetriz de um ângulo é equidistante dos lados do ângulo.
Assim, o ponto D que se encontra na bissetriz OD será equidistante dos lados OB e ON ⇒ DB = DN ⇒ 3x - 2 = 10
⇒ 3x = 2 + 10 ⇒ 3x = 12. ∴ x = 4

Exemplo 3: Se QS é a bissetriz de ∠PQR, encontre x.

Como QS divide ao meio ∠PQR, pelo teorema da bissetriz do ângulo obtemos, QP / QR = PS / RS ⇒ 18/24 = 12 / x ⇒ x = (12 × 24) / 18
⇒ (2 × 24) / 3 = 2 × 8 = 16. ∴ x = 16


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