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3.1: Sinal de um ângulo - Matemática


Os ângulos positivos e negativos podem ser visualizados nas direções anti-horário e horário; formalmente, eles são definidos da seguinte forma:

  • O ângulo (AOB ) é chamado de positivo se (0 < measureangle AOB < pi );

  • O ângulo (AOB ) é denominado negativo se (amedangle AOB <0 ).

Observe que, de acordo com as definições acima, o ângulo reto e também o ângulo zero não são positivos nem negativos.

Exercício ( PageIndex {1} )

Calce que ( angle AOB ) é positivo se e somente se ( angle BOA ) é negativo.

Dica

Defina ( alpha = measureangle AOB ) e ( beta = measureangle BOA ). Observe que ( alpha = pi ) se e somente se ( beta = pi ). Caso contrário, ( alpha = - beta ). Daí o resultado.

Lemma ( PageIndex {1} )

Seja ( angle AOB ) em linha reta. Então ( angle AOX ) é positivo se e somente se ( angle BOX ) é negativo.

Prova

Defina ( alpha = measureangle AOX ) e ( beta = measureangle BOX ). Uma vez que ( angle AOB ) é reto,

[ alpha - beta equiv pi. ]

Segue-se que ( alpha = pi Leftrightarrow beta = 0 ) e ( alpha = 0 Leftrightarrow beta = pi ). Nestes dois casos, o sinal de ( angle AOX ) e ( angle BOX ) são indefinidos.

Nos casos restantes, temos que (| alpha | < pi ) e (| beta | < pi ). Se ( alpha ) e ( beta ) tiverem o mesmo sinal, então (| alpha - beta | < pi ); o último contradiz 3.1.1. Portanto, a declaração segue.

Exercício ( PageIndex {2} )

Suponha que os ângulos (ABC ) e (A'B'C ') tenham o mesmo sinal e

(2 cdot amedangle ABC equiv 2 cdot amedangle A'B'C '. )

Mostre que ( medido ABC = medido A'B'C ').

Dica

Defina ( alpha = medido ABC ), ( beta = medido A'B'C '). Como (2 cdot alpha equiv 2 cdot beta ), o Exercício 1.8.1 implica que ( alpha equiv beta ) ou ( alpha equiv beta + pi ). Neste último caso, os ângulos têm sinais opostos, o que é impossível.

Como ( alpha, beta in (- pi, pi] ), igualdade ( alpha equiv beta ) implica ( alpha = beta ).


S3: Matemática

Atividade de foco da unidade
Use seu conhecimento em conjuntos para resolver o seguinte problema.
"Para fins de planejamento, um professor de Educação Física (P.E) perguntou a um Sênior
3 turmas de 24 alunos para votar levantando as mãos para os jogos de bola que gostavam de jogar, entre futebol, voleibol e basquete. Após a votação, ele
observaram que cada um dos 24 alunos gostou de pelo menos um jogo. 1 aluno gostou de todos os três jogos. 2 alunos gostavam de vôlei e basquete, mas não de futebol. 2 alunos gostaram de voleibol
e futebol, mas não basquete. Em resumo, ele notou que 6 alunos gostaram
voleibol, 12 gostavam de basquete e 15 gostavam de futebol ’’.

O professor voltou para a sala dos professores e percebeu que não havia estabelecido
o número de alunos que gostavam de futebol e basquete, mas não de voleibol.
Ele o chamou para ajudá-lo a determinar esse número usando o seu conhecimento, para evitar chamar a classe inteira para votar novamente. Gentilmente, determine o número e dê ao professor.

O conhecimento das operações no set é muito útil para resolver alguns complexos da vida real
problemas que não são fáceis de resolver por meio de outros métodos analíticos. No Sênior 1 e
Sênior 2, aprendemos alguns conceitos básicos e operações em conjuntos. Nesta unidade, vamos
praticar a aplicação desses conceitos e estendê-los para resolver um pouco mais
problemas desafiadores.

1.1 Revisão de união, interseção e complemento de conjuntos

1. Lembre seus parceiros o que é um conjunto.

2. Dado que A =
países da comunidade>

(a) Com a ajuda de um mapa ou um
atlas, liste os membros de:

(b) Encontre: (i) n(A) (ii) n(B)

O conjunto de elementos comuns que aparecem em dois ou mais conjuntos é denominado a
intersecção dos conjuntos
. O símbolo usado para denotar a interseção de conjuntos é ∩.
A intersecção de conjuntos também é representada por "e" na declaração da palavra. Por exemplo,
“Conjuntos A e B” significa A∩B.
Quando os elementos de dois ou mais conjuntos são colocados juntos para formar um conjunto, o conjunto formado
é conhecido como união de conjuntos. O símbolo para a união de conjuntos é ∪.
A união de conjuntos também é representada por “ou” na declaração de palavra. Por exemplo, “Conjuntos A
ou B "significa A∪B que é a união dos conjuntos A e B.
Complemento de um conjunto é o conjunto de todos os elementos do conjunto universal que não são
membros de um determinado conjunto. O complemento do conjunto UMA é denotado por UMA'. Um conjunto universal contém todos os subconjuntos em consideração. É denotado pelo símbolo ε.

Dados os seguintes conjuntos A = <a, b, c, d, e, f>
e B = <a, b, c, h, i,> encontre:
(eu) (UMAB) (ii) (UMAB)

Dado A = <1, 2, 3, 4, 5>, B = <2, 4, 6> e
C = <1, 3, 5, 7, 9>, responda as perguntas
abaixo sobre os conjuntos A, B e C.

(a) Liste o conjunto UMAB.

achar:
(uma) n(A) (b) n (B) (c) n (C)

(e) n (A) + n (C) - n (B)

2. Encontre a união dos seguintes conjuntos:

1.2 Representação de problemas usando um diagrama de Venn

1.2.1 Diagramas de Venn envolvendo dois conjuntos

Foi realizada uma pesquisa em uma loja para saber a quantidade de clientes que compravam pão ou leite, ou ambos, ou nenhum. De um total de 79 clientes para o
dia, 52 compraram leite, 32 compraram pão e 15 não compraram.

(a) Sem usar um diagrama de Venn, encontre

o número de clientes que:

(b) Com a ajuda de um diagrama de Venn,
resolver as questões (i), (ii) e (iii)

em (a) acima.
(c) Qual dos métodos em (a) e

(b) acima é mais fácil de trabalhar?
Justifique sua resposta.

A partir da atividade acima, vemos claramente que um diagrama de Venn desempenha um papel muito importante
na análise do problema definido e ajuda a resolver o problema com muita facilidade.
Primeiro, expresse os dados em termos de notações de conjunto e, em seguida, preencha os dados no Venn
diagrama para uma solução fácil. Alguns fatos importantes como “interseção”,
“União” e “complemento” devem ser bem considerados e representados no desenho
Diagramas venn. Considere dois conjuntos de interseção A e B
de modo que A = e
B = .
Representamos os dois conjuntos em um diagrama de conjunto como

A união dos conjuntos A e B é dada pelo número de elementos.

n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
No diagrama de Venn na Fig 1.1,
n(A) = 6, n(B) = 9 e n(A ∩ B) = 4
n(A∪B) = 6 + 9 - 4 = 11

A Fig. 1.2 mostra as marcas de 15 pontuadas
por vários alunos do terceiro ano em grupos
C e D.

n (C∪D) = n (C) + n (D) - n (C∩D)
= 7 + 9 - 4
= 16 - 4
= 12

Uma pesquisa envolvendo 120 pessoas sobre seu
café da manhã preferido mostrou que 55 bebem leite no café da manhã,
40 bebem suco no café da manhã e 25 bebem leite e suco no café da manhã.

(a) Representam as informações em um diagrama de Venn.

(b) Calcule o seguinte:

(i) Número de pessoas que tomam apenas leite.

(ii) Número de pessoas que não tomam leite nem suco.

(a) Seja A o conjunto daqueles que bebem leite e B o conjunto daqueles
que bebem suco, x seja o número daqueles que bebem apenas leite,
y seja o número daqueles que bebem apenas suco e z representa o número de
aqueles que não tomaram nenhum.
Expressando dados em notação de conjunto
n(A) = 55, n (B) = 40, n (A∩B ′) = x,
n (A∩B) = 25, n (A′∩B) = y.
n (ε) = 120
.

(b) (i) Somos obrigados a encontrar o número de
aqueles que tomam apenas leite.
x = 55 - 25 = 30
Então, 30 pessoas tomam só leite.

(ii) Para encontrar o valor de z
30 + 25 + 15 + z = 120.
z = 120 – (30+ 15 + 25).
z = 120 - 70 ⇒ z = 50.
Então, 50 pessoas não comem ovos nem suco
para o café da manhã.

Em uma classe de 20 alunos, 12 fazem Arte (A) e
10 tomar Química (C). O número que
take none é a metade do número que leva ambos.

(a) Representar as informações em um Venn
diagrama.

(b) Use o diagrama de Venn para determinar o

número que leva:
(i) Ambos (ii) Nenhum

Primeiro extraímos os dados e os representamos em notação de conjunto.

(b) Resolvendo o valor de y
12 - y + y + 10 - y + 1 / 2y = 20

Portanto, 22 - 1 / 2y = 20
Coletando termos semelhantes juntos,
obtemos, - 1 / 2y = 20 - 22
- 1 / 2y = –2
–Y = –4

y = 4
(i) Aqueles que tomam ambos são iguais a
4.
(ii) Aqueles que não tomam
= 1/2 × 4 = 2

1. Em um determinado grupo de crianças, todas estudam francês ou alemão ou
ambas as línguas. 15 estudam francês, mas
não a Alemanha, 12 estudam alemão de
quem 5 estuda ambas as línguas.

(a) Desenhe um diagrama de Venn para mostrar
Essa informação.

(b) Calcule quantas crianças são
lá no grupo.

2. Em uma classe de 30 alunos, os alunos são obrigados a participar de pelo menos
um esporte escolhido de futebol e voleibol. 18 jogam vôlei, 22 jogam
futebol americano. Alguns praticam os dois esportes.

(a) Desenhe um diagrama de Venn para mostrar essas informações.

(b) Use seu diagrama para ajudar
determinar o número de alunos que praticam os dois esportes.

3. Num grupo de 17 alunos, 10 oferecem Economia e 9 oferecem Matemática.
O número que oferece Economia e Matemática é o dobro do número
que oferecem nenhum dos dois assuntos.

(a) Desenhe um diagrama de Venn para representar
a informação.

(b) Calcule o número de alunos
naquela
(i) Ofereça ambos os assuntos

(ii) Ofereça apenas um assunto

(iii) Não ofereça nenhum dos assuntos.

4. De 35 alunos em uma classe, 26 jogam futebol, 20 jogam vôlei e 17
jogue os dois jogos.

(a) Representam as informações em um diagrama de Venn.

(b) Calcule o número de alunos
que não jogam nenhum dos jogos.

5. Em uma escola de 232 alunos, 70 são membros do clube anti-AIDS, 30 são
membros do clube de debate e 142 não pertencem a nenhum dos mencionados
clubes.
(a) Representam as informações no diagrama de Venn.

(b) Use o diagrama de Venn para calcular
o número de alunos que pertencem apenas ao clube de debate.

VOCÊ SABIA?
Ser membro de um clube anti-AIDS pode ajudá-lo a aprender muitos métodos
de se manter seguro e livre do HIV-AIDS. Ser um membro
do clube de debates também pode ajudá-lo a se tornar um bom orador público.

6. Os alunos da terceira classe foram questionados sobre os esportes que praticam. 17 de
eles jogam futebol. 14 jogam tênis. 5 deles jogam futebol e tênis.
A turma tem 30 alunos.

(a) Desenhe um diagrama de Venn para mostrar essas informações.

(b) Quantos jogam futebol, mas não tênis?

(c) Quantos não jogam futebol nem tênis?

7. Para os dois eventos A e B,

Admitimos que, n (A∩B) = 5, n (A) = 11, n (A∪B) = 12 e n (B ') = 8.

(a) Copie e complete o diagrama de Venn abaixo.

8. Um grupo de 50 homens casados ​​foi questionado se eles deram suas esposas
flores ou chocolates no Dia dos Namorados. Os resultados revelaram que 31 deram
chocolates, 12 deram flores e 5 deram flores e chocolates.

(a) Representam as informações em um diagrama de Venn.

(b) Encontre o número de homens que

(iii) Não deu flores nem chocolates.

1.2.2 Diagramas de Venn envolvendo três
conjuntos

Uma pesquisa foi feita com 50 pessoas sobre quais alimentos eles gostam entre arroz, doce
batatas e posho. Verificou-se que 15 pessoas gostam de arroz, 30 pessoas gostam
batata-doce, 19 pessoas gostam de posho. 8 pessoas gostam de arroz e batata doce,
12 arroz e posho, 7 pessoas gostam de batata doce e posho. 5 pessoas gostam de todos os
três tipos de alimentos.

(a) Extraia os dados e represente-os em notação de conjunto.

(b) Sem usar um diagrama de Venn

(i) Encontre o número de pessoas que não gostam de nenhum dos alimentos.

(ii) Encontre o número de pessoas que gostam apenas de posho e arroz.

(iii) Encontre o número de pessoas que gostam apenas de batata-doce e arroz.

(c) Com a ajuda de um diagrama de Venn

descubra as soluções para (b) (i), (ii) e (iii) acima.

(d) Foi fácil fazer (b) (i), (ii) e

(iii) sem um diagrama de Venn?

A partir da atividade acima, é claramente visto que sem um diagrama de Venn, os problemas
envolvendo três ou mais conjuntos torna-se complicado de manusear.
Um diagrama de Venn torna o problema mais fácil porque podemos representar os dados
extraídos em cada região e, em seguida, calcular os valores necessários.
Considere o diagrama de Venn mostrado na Fig. 1.6
mostrando o número de alunos que fazem as línguas estrangeiras Alemão (G),
Espanhol (S) e Francês (F) em uma faculdade.


O número total de alunos que cursam línguas é dado pela união dos três
conjuntos conforme mostrado pela seguinte fórmula

A partir do diagrama de Venn na Fig 1.6,
n (G∪S∪F) = 93 + 95 + 165
- (18 + 20 + 20 + 75) + 15
= 353 - 113 + 15
= 255

Os alunos da turma do terceiro ano fizeram uma pesquisa sobre seus nomes para saber se eles
continha as letras B, C e D. O diagrama de Venn a seguir mostra os resultados de
a pesquisa em termos do número de nomes em cada categoria:

Use o diagrama de Venn para determinar o
número dos nomes dos alunos que continham

(c) Letras B e D, mas não C

(d) Apenas duas das letras

(e) O número total de alunos

(a) Todas as três letras
n(B∩C∩D) = 2
(b) n(D) = 9 + 6 +2 +2 = 19

(c) Letras B e D, mas não C
n(B∩D) -n(B∩C∩D) = 4 -2 = 2

(d) Apenas duas das letras
= 6 +10 + 2 =18

(e) O número total de alunos
n(B∪C∪D) = n(B) + n(C) + (C)
-<n(B∩C) + n(B∩D) +n(C∩D)> +n(B∩C∩D)
= 15 + 28 + 19 - <12 + 4 + 8>+ 2
= 62 - 24 + 2
= 40 alunos

Um grupo de 40 turistas chegou a Ruanda e visitou o Parque Nacional Akagera
(A), florestas Nyungwe (N) e montanhas Virunga (V). Os resultados mostraram que 33
visitaram Akagera, 21 visitaram Nyungwe e
23 visitaram Virunga. 18 visitaram Akagera e Nyungwe, 10 visitaram Nyungwe e
Virunga e 17 visitaram Akagera e Virunga. Todos os turistas visitaram pelo menos um dos
os lugares.
(a) Representam as informações em um diagrama de Venn.

(b) Encontre o número de turistas que visitaram:

n (ɛ) = 40.
n / D) = 33, n (N) = 21, n (V) = 23.
n / DN) = 18, n (N∩V) = 10,
n / DV) = 17.
Deixar n(A∩NV) = y


n (A∩N′∩V ′) = 33 - (18 - y + y + 17 - y).

n (A∩N′∩V ′) = 33 - 35 + y = y - 2.

n (A′∩N∩V ′) = 21 - (18 - y + y + 10 - y).

n (A′∩N′∩V) = 23 - (17 - y + y + 10 - y).

O diagrama de Venn na Fig. 1.9 mostra o
dados em regiões específicas.

y - 2 + 18 - y + y- 7 + 17– y + y + 10 - y + y - 4 = 40
y + 32 = 40.
y = 8.

(b) (i) Aqueles que visitaram apenas Akagera
são y - 2 = 8 - 2 = 6.

(ii) Aqueles que não visitaram Nyungwe
são y - 4 + 17 - y + y - 2
= 8 – 4 +17 – 8 + 8 – 2
= 19
Exemplo 1.8

O diagrama de Venn abaixo mostra a alocação dos membros do Conselho
de diretores de uma escola em três comitês diferentes

Acadêmico (A), Produção (P) e Finanças (F).

(a) Determine os valores de x, y e z.

(b) Qual é o número total de membros
no Conselho de Administração?

(c) Encontre o número daqueles que não são
membros do comitê acadêmico.

(d) Quantos pertencem a pelo menos dois comitês?

(a) Para acadêmico,
2 + x + 2 + y = 8.
x + y = 8 - 4.
x + y = 4. (i)
Para produção,
2 + x + 2 + z = 8.
x + z = 8 - 4.
x + z = 4. (ii)
Para Finanças,

1+ y + 2 + z = 7.
y + z = 7 - 3.
y + z = 4. (iii)
Faça x o assunto na equação (i)
x = 4 - y. (4)
Substitua a equação (iv) em (ii)
4 - y + z = 4.
–Y + z = 0. (v)
Resolvendo (iii) e (v) simultaneamente
y + z = 4
+ - y + z = 0

2z = 4 ⇒ z = 2
Então, y = 4 - z = 4 - 2 = 2
∴ y = 2.
x + y = 4 e, portanto, x = 4 - y = 4 - 2 = 2.
∴ x = 2.

(b) O número total de membros são

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 = 15

(c) Aqueles que não são membros da academia

comitê são: 2 + 1 + z + 2
= 2 + 1 + 2 + 2 = 7
(d) Aqueles que pertencem a pelo menos dois
comitês são: y + 2 + x + z
= 2 + 2 + 2 + 2 = 8

1. Em uma classe de 53 alunos, 30 estudam
Química, 20 estudos de Física, 15 de Matemática. 6 estudam ambos
Química e Física, 4 estudam matemática e química, 5 estudam
Física e Matemática. Tudo
os alunos estudam pelo menos um dos temas.
(a) Representam as informações em um diagrama de Venn.

(b) Encontre o número de alunos
que estudam todos os três assuntos.

(ii) Física, mas não Matemática

2. De cada 100 alunos em uma escola, 42 fazem inglês, 35 fazem Kiswahili e
30 aprendem francês. 20 não cursam nenhuma das matérias, 9 cursam francês e inglês,
10 cursam francês e kiswahili, 11 cursam inglês e kiswahili.

(a) Representam as informações em um diagrama de Venn.

(b) Encontre o número de alunos que
pegue três assuntos.
(c) Encontre o número de alunos que
faça exame apenas do inglês.
(d) Encontre o número de alunos que
veja o Kiswahili e o francês.
3. Uma escola tem um corpo docente
de 22 professores. 8 deles ensinam
Matemática, 7 ensinam Física e
4 ensinam Química. 3 ensina ambos
Matemática e Física, nenhuma
leciona Matemática e Química.
Nenhum professor ensina todos os três
assuntos. O número de professores
quem ensina Física e Química é
igual ao número de professores que
ensina Química, mas não Física.
(a) Representar os dados em um Venn
diagrama.
(b) Encontre o número de professores que
Ensinar

(iii) Nenhum dos três assuntos.

4. Em uma classe de 60 alunos, 15 são membros do clube de debate (D), 30
são sócios do clube nunca mais (A) e 20 são sócios do clube de ciências
(S). 3 são membros do debate e nunca mais apenas. 4 são membros de
nunca mais e clube de ciências apenas enquanto eu for um membro do debate e
apenas clube de ciências. 7 alunos não pertencem a nenhum dos clubes.

(a) Representam os dados do Venndiagram.

(b) Encontre o número de alunos que pertencem a

(iii) Não pertença a um clube de debate.

5. Em uma classe de 45 alunos, 7 como Matemática (M) apenas, 2 como Física
(P) apenas, e 3 como Química (C) apenas. 18 como Matemática e Física,
16 como Física e Química, 14 como Matemática e Química. O
o número de alunos que não gostam de nenhuma das três disciplinas é metade do número
daqueles que gostam de todos os três assuntos.

(a) Mostre as informações acima em um diagrama de Venn.

(b) Determine o número de alunos que

(i) Como nenhum dos três assuntos.

(ii) Quem não gosta de matemática.

6. Uma pesquisa envolvendo 50 pessoas foi feita para descobrir quais religiosos

eventos que frequentam entre católicos, protestantes e muçulmanos. Era
descobri que 15 pessoas participam do evento católico, 30 pessoas participam
Evento protestante, 19 pessoas participam de evento muçulmano. 8 pessoas comparecem a ambos
Eventos católicos e protestantes, 12 pessoas comparecem tanto católicos como
Eventos muçulmanos, 7 pessoas participam de eventos protestantes e muçulmanos. 5
as pessoas participam de todas as três categorias de eventos religiosos.

(a) Represente as informações no diagrama de Venn.

(b) (i) Quantas pessoas comparecem apenas ao evento católico?

(ii) Quantos comparecem a eventos católicos e protestantes, mas
não em um evento muçulmano?

(Iii) Quantas pessoas não frequentam qualquer um desses religiosos
eventos?

As diferenças religiosas não devem causar divisionismo. Todos nós devemos
aprendam a valorizar uns aos outros para permanecerem juntos como ruandeses pacíficos.

Um conjunto - é uma coleção bem definida de objetos distintos, considerados como um objeto por si só.
Por exemplo, os números 2, 4 e 6 são objetos distintos quando considerados
separadamente, mas quando são considerados coletivamente, eles formam um
único conjunto de tamanho três, escrito <2, 4, 6>.

União de sit: Na teoria dos conjuntos, a união (denotada por ∪) de uma coleção
de conjuntos é o conjunto de todos os elementos da coleção. É um dos fundamentos
operações através das quais os conjuntos podem ser combinados e relacionados entre si.
Por exemplo, se A = <1, 2, 3, 4, 5> e
B = <4, 5, 6, 7, 8, 9>, então temos um
união definida para A e B como:
A∪B = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>

• Intersecção de conjuntos: Em matemática, a interseção A∩B de dois conjuntos
A e B é o conjunto que contém todos os elementos de A que também pertencem a B
(ou equivalentemente, todos os elementos de B que também pertencem a A), mas nenhum outro
elementos Para três conjuntos A, B e C,
nós escrevemos A∩B∩C.
Por exemplo, se A = <1, 2, 3, 4, 5> e
B = <4, 5, 6, 7, 8, 9>, então temos um conjunto de interseção para A e B como
A∩B = <4, 5>

Elogio de conjunto. Na teoria dos conjuntos, o complemento de um conjunto A refere-se
a elementos que não estão em A. O complemento relativo de A em relação a um conjunto
B, também denominado a diferença dos conjuntos A e B, escrito como B A, é o conjunto de
elementos em B, mas não em A. Por exemplo, considere o conjunto universal
U = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7>, e definiremos nosso subconjunto como A = <1, 3, 4>.
O complemento de A é o conjunto de todos os elementos em U que não estão em A.
Portanto, o complemento de A é
<2, 5, 6, 7>.

Um diagrama de Venn. É um diagrama que representa matemática ou lógica
define pictoricamente como círculos ou curvas fechadas dentro de um retângulo envolvente
(o conjunto universal), elementos comuns dos conjuntos sendo representados por
intersecções dos círculos.

1. Os seguintes fatos foram descobertos em uma pesquisa de preferências de curso de
110 alunos em seis anos: 21 gostam apenas de engenharia, 63 gostam de engenharia,
55 gostam de medicina e 34 não gostam de nenhum dos dois cursos.

(a) Desenhe um diagrama de Venn representando essas informações.

(b) (i) Quantos gostam de Engenharia ou Medicina?

(ii) Quantos gostam de Engenharia e Medicina?

(iii) Quantos gostam apenas de Medicina?

2. Foi realizada uma pesquisa em uma loja para saber o número de clientes
quem comprou pão ou leite ou ambos ou nenhum. De um total de 79 clientes
durante o dia, 52 compraram leite, 32 compraram pão e 15 não compraram nenhum.

(a) Desenhe um diagrama de Venn para mostrar essas informações e usá-lo para
descobrir:

(b) (i) Quantos compraram pão e leite.

(ii) Quantos compraram apenas pão.

(iii) Quantos compraram apenas leite.

3. Cinco membros do clube de matemática
conduziu uma pesquisa entre 150 alunos do terceiro ano sobre a qual
carreiras que desejam ingressar entre Engenharia e Medicina
cursos. 83 desejam ingressar na Engenharia, 58 desejam ingressar na área médica
cursos. 36 não querem entrar em nenhuma das carreiras.
Represente os dados no diagrama de Venn. Encontre o número de alunos
que desejam ingressar em ambas as carreiras.

4. Uma pesquisa foi feita com 50 pessoas sobre
quais hotéis eles comem entre H, S e L. 15 pessoas comem no hotel H, 30
pessoas comem no hotel S, 19 pessoas comem no hotel L, 8 pessoas comem nos hotéis H e
S, 12 pessoas comem nos hotéis H e L, 7 pessoas comem nos hotéis S e L. 5 pessoas
comer nos hotéis H, S e L.
(a) Quantas pessoas comem somente no Hotel H?

(b) Quantas pessoas comem nos hotéis H e S, mas não no L?

(c) Quantas pessoas não comem em nenhum desses três hotéis?

5. Uma pesquisa envolvendo 50 alunos foi
realizadas e pesquisas revelaram que 21 deles gostam de Kiswahili (K)
enquanto 32 deles gostam de Matemática (M).

(a) Represente as informações no diagrama de Venn.

(b) Quantos alunos gostam de apenas uma matéria?

6. Um grupo de 50 pessoas foi questionado sobre as seções que liam muito
agudamente em um jornal entre política, anúncios e
Esportes. Os resultados mostraram que 25 leem política, 16 leem publicidade,
14 leem esportes. 5 leem política e propaganda, 4 leem ambos
propaganda e esportes, 6 leem política e esportes e 2 leem as três seções.

(a) Represente os dados no diagrama de Venn.

(b) Encontre o número de pessoas que lêem

(i) Pelo menos uma das três seções.

(ii) Apenas uma das três seções.

7. Dado isso, n(A∪B) = 29, n (A) = 21,
n(B) = 17, n(A∩B) = x.


(a) Escreva em termos dos elementos de cada parte.

(b) Forme uma equação e, portanto, encontre o valor de x.

8. Em uma escola, cada aluno faz pelo menos uma dessas disciplinas de Matemática,
Física e Quimica. Em um grupo de 60 alunos, 7 fazem todas as disciplinas,
9 fazem Física e Química apenas, 8 fazem Física e Matemática, 5 fazem
Matemática e Química apenas. 11 alunos fazem apenas matemática,
2 fazem apenas Física e 15 alunos fazem apenas Química.

(a) Desenhe um diagrama de Venn para as informações acima.

(b) Encontre o número daqueles que não fazem nenhuma das disciplinas.

(c) Encontre o número de alunos que fazem matemática.

Perguntas complementares interativas atendidas pela Siyavula Education.

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Ângulos de táxi e trigonometria

Uma boa discussão das propriedades desta geometria é dada por Krause [1].

Neste artigo, vamos explorar uma versão ligeiramente modificada da geometria do táxi. Em vez de usar ângulos euclidianos medidos em radianos, espelharemos a definição usual de radianos para obter um radiano de táxi (um t-radiano). Usando esta definição, definiremos as funções trigonométricas do táxi e exploraremos a estrutura das fórmulas de adição da trigonometria. Como aplicações desse novo tipo de medição de ângulo, exploraremos a existência de relações triangulares semelhantes e ilustraremos como determinar a distância a um objeto próximo realizando uma medição de paralaxe.

Doravante, o rótulo geometria de táxi será usado para esta geometria de táxi modificada, um subscrito e será anexado a qualquer função ou quantidade euclidiana.

2. Ângulos de táxi


Figura 1: O círculo da unidade do táxi.

Definição 2.1 UMA t-radiano é um ângulo cujo vértice é o centro de um círculo unitário (táxi) e intercepta um arco de comprimento 1. A medida do ângulo de um táxi é o número de t-radianos subtendidos pelo ângulo no círculo unitário do táxi em torno do vértice.

Segue-se imediatamente que um círculo unitário de táxi tem 8 t-radianos, já que o círculo unitário de táxi tem uma circunferência de 8. Para fins de referência, os ângulos euclidianos / 4, / 2 e na posição padrão agora têm medida 1, 2 e 4, respectivamente. O teorema a seguir fornece a fórmula para determinar as medidas de táxi de alguns outros ângulos euclidianos.

Teorema 2.2 Um ângulo euclidiano agudo na posição padrão tem uma medida de táxi de

Prova: A medida do ângulo euclidiano do táxi é igual à distância do táxi de (1,0) até a intersecção das retas y = - x +1 e. A coordenada x desta interseção é

e, portanto, a coordenada y de P é. Portanto, a distância do táxi de (1,0) a P é

Definição 2.3 O ângulo de referência de um ângulo é o menor ângulo entre e o eixo x.

O Teorema 2.2 pode ser facilmente estendido a qualquer ângulo agudo situado inteiramente em um quadrante.

Corolário 2.4 Se um ângulo euclidiano agudo com ângulo de referência euclidiano estiver contido inteiramente em um quadrante, então o ângulo tem uma medida de táxi de

Este corolário implica que a medida do táxi de um ângulo euclidiano na posição não padrão não é necessariamente igual à medida do mesmo ângulo euclidiano na posição padrão do táxi. Assim, embora os ângulos sejam invariantes à translação, eles não são invariantes à rotação. Esta é uma consideração importante ao lidar com quaisquer triângulos na geometria de um táxi.

Na geometria euclidiana, um dispositivo como um bastão cruzado ou sextante pode ser usado para medir a separação angular entre dois objetos. As características de um dispositivo semelhante para medir os ângulos do táxi seriam muito estranhas para os habitantes de uma geometria euclidiana, medindo o tamanho do táxi do mesmo ângulo euclidiano em direções diferentes, normalmente produziria resultados diferentes. Assim, para um observador euclidiano, o dispositivo de medição do ângulo do táxi deve mudar fundamentalmente à medida que é apontado em diferentes direções. É claro que isso é muito estranho para nós, já que nossos próprios dispositivos de medição de ângulos não parecem mudar à medida que os apontamos em direções diferentes.

A medida de táxi de outros ângulos euclidianos também pode ser encontrada. Exceto em alguns casos, essas fórmulas serão mais complicadas, pois os ângulos situados em dois ou mais quadrantes abrangem os cantos do círculo unitário.

Lema 2.5: Os ângulos retos euclidianos sempre têm uma medida de táxi de 2 t-radianos.

Prova: Sem perda de generalidade, seja um ângulo abrangendo o eixo y positivo. Conforme mostrado na Figura 2, divida em dois ângulos euclidianos e com ângulos de referência / 2 - e / 2 -, respectivamente. Usando o Corolário 2, vemos que


Figura 2: Os ângulos retos do táxi são precisamente ângulos retos euclidianos.

Declaramos agora o resultado familiar para o comprimento de um arco e observamos que sua prova é óbvia, uma vez que todas as distâncias ao longo de um círculo de táxi são dimensionadas igualmente conforme o raio é alterado. Este resultado será usado quando nos voltarmos para relações triangulares semelhantes e o conceito de paralaxe.

Teorema 2.6 Dado um ângulo central de um círculo unitário (táxi), o comprimento s do arco interceptado em um círculo de raio r pelo ângulo é dado por s = r.

Do teorema anterior, podemos facilmente deduzir a versão de táxi de um resultado padrão.

Corolário 2.7 Cada círculo de táxi tem 8 t-radianos.

3. TRIGONOMETRIA TAXICAB

Definição 3.1 O ponto de intersecção do lado terminal do ângulo de um táxi na posição padrão com o círculo unitário do táxi é o ponto (cos, sin).

É importante notar que os valores do seno e cosseno do táxi de um ângulo do táxi não concordam com os valores do seno e cosseno euclidiano do ângulo euclidiano correspondente. Por exemplo, o ângulo 1 t-radiano tem valores de seno e cosseno de táxi iguais de 0,5. O intervalo das funções cosseno e seno permanece [-1,1], mas o período dessas funções fundamentais é agora 8. Também segue imediatamente (a partir da função de distância) isso. Além disso, os valores de cosseno e seno variam (por partes) linearmente com o ângulo:

A Tabela 1 fornece relações simples e úteis prontamente derivadas dos gráficos das funções seno e cosseno que são mostradas na Figura 3.


Tabela 1: Relações trigonométricas básicas do táxi

A estrutura dos gráficos dessas funções é semelhante à dos gráficos euclidianos de seno e cosseno. Observe que a transição suave de aumentar para diminuir nos extremos foi substituída por um canto. Este é o mesmo efeito visto ao comparar os círculos euclidianos com os círculos de táxi.


Figura 3: Gráficos das funções seno e cosseno.

Conforme discutido abaixo, e assim como na geometria padrão do táxi descrita em Krause [1], a congruência SAS para triângulos não é válida na geometria modificada do táxi. Assim, as provas rotineiras de fórmulas de soma e diferença não são tão rotineiras nesta geometria. O primeiro resultado que provaremos é para o cosseno da soma de dois ângulos. A fórmula dada para o cosseno da soma de dois ângulos assume apenas duas formas, a forma usada em uma dada situação depende da localização de e. A notação será usada para indicar um ângulo no quadrante I e da mesma forma para os quadrantes II, III e IV.


Mesa 2: Formas e regiões de validade.

Teorema 3.2 onde os sinais são escolhidos para serem negativos quando e estão em lados diferentes do eixo x e positivos caso contrário.

Prova: Sem perda de generalidade, suponha que, se um ângulo estiver fora de [0,8), o uso da identidade produzirá o resultado desejado após o uso da seguinte prova.
Todos os subcasos têm uma estrutura semelhante. Vamos provar o subcaso. Nesta situação, pegamos os sinais negativos do lado direito da equação. Desse modo,

A curiosa estrutura de caso no Teorema 3.2 é devido às combinações ímpares de quadrantes que determinam qual sinal escolher. O motivo da mudança de sinal quando e estiver em lados diferentes do x-eixo reside no fato de que um canto da função cosseno está sendo cruzado (ou seja, diferentes partes da função cosseno estão sendo usadas) para obter os valores do cosseno de e. A Tabela 2 resume qual forma de quando deve ser usada.

Podemos usar o Teorema 3.2 e as relações na Tabela 1 para estabelecer um par de corolários.


Tabela 3: Formas e regiões de validade.

Corolário 3.4 onde os sinais são escolhidos de acordo com a Tabela 3.

Prova: Primeiro, observe. Como com a fórmula de adição de cosseno, todos os casos são provados de forma semelhante. Vamos assumir e. Temos e no mesmo quadrante e, portanto,

4. TRIÂNGULOS SEMELHANTES

Considere o triângulo formado pelos pontos (0,0), (2,0) e (2,2). Este triângulo tem lados de comprimentos 2, 2 e 4 e ângulos de medida 1, 1 e 2 t-radianos. Se girarmos este triângulo 1 t-radiano no sentido horário, o triângulo resultante terá lados de comprimento 2 e ângulos de medida 1, 1 e 2 t-radianos (veja a Figura 4). Esses dois triângulos satisfazem a condição ASASA, mas não são congruentes. Isso também elimina as condições ASA, SAS e AAS, bem como a possibilidade de uma condição SSA ou AAA.


Figura 4: Triângulos que satisfazem ASASA que não são congruentes.

O triângulo formado pelos pontos (0,0), (0,5,1,5) e (1,5, 0,5) tem lados de comprimento 2 e ângulos 1, 1,5 e 1,5 t-radianos. Assim, ele satisfaz a condição SSS com o segundo triângulo do exemplo anterior. No entanto, os ângulos desses triângulos não são congruentes. Conseqüentemente, a condição SSS falha.

A última condição restante, SASAS, realmente se mantém. Sua prova se baseia no fato de que mesmo nesta geometria a soma dos ângulos de um triângulo é uma constante 4 t-radianos, o que por sua vez se baseia no fato de que, dadas as linhas paralelas e uma transversal, ângulos interiores alternados são congruentes. Começamos observando que os ângulos opostos são congruentes. Isso leva imediatamente ao seguinte lema.

Lema 4.1 Dados duas linhas paralelas e uma transversal, os ângulos internos alternados são congruentes.

Prova: Using Figure 5 translate along the transversal to become an angle opposite . By the note above, and are congruent.


Figure 5: Alternate interior angles formed by parallel lines and a transversal are congruent.

Theorem 4.2 The sum of the angles of a triangle in modified taxicab geometry is 4 t-radians.

Proof: Given the triangle in Figure 6, we can translate the angle gamma from Q para R and by the congruence of alternate interior angles conclude the sum of the angles of the triangle is 4 t-radians.


Figure 6: The sum of the angles of a taxicab triangle is always 4 t-radians.

Therefore, given two triangles having all three sides and any two angles congruent, the triangles must be similar. However, as we have seen, this is the only similar triangle relation in taxicab geometry.

5. PARALLAX

Suppose that as a citizen of Modified Taxicab-land you wish to find the distance to a nearby object Q in the first quadrant, and that there is also a distant reference object P "at infinity" essentially in the same direction as Q with reference angle (Figure 7). The distant reference object should be far enough away so that it appears stationary when you move small distances. We may assume without loss of generality that the object Q does not lie on either axis, for if it did, we could move a small distance to get the object in the interior of the first quadrant.


Figure 7: A parallax diagram in taxicab geometry.

Initially standing at UMA, measure the angle between Q e P using the taxicab equivalent of a cross staff or a sextant. Now, for reasons to be apparent later, you should move a small distance (relative to the distance to the object) in such a way that the distance to the object does not change. This can be accomplished by moving in either of two directions, and, provided you move only a small distance, the object remains in the interior of the first quadrant. Furthermore, exactly one of these directions results in the angle between Q e P being increased, so that the situation depicted in Figure 7 is generic.

You have therefore moved from UMA para B in one of the following directions: NW, NE, SW, or SE. Now measure the new angle between the two objects. With this information we can now find the taxicab distance to the object Q. Construct the point Q' de tal modo que QQ' is parallel to AB and len(QQ')=len(AB) The angle PAQ' has measure since it is merely a translation of QBP. Thus, QAQ' has measure . Now, the lengths of AQ e BQ are equal since the direction of movement from UMA para B was shrewdly chosen so that the distance to the object remained constant. Since translations do not affect lengths, this implies AQ e AQ' have equal lengths. Hence, the points Q e Q' lie on a taxicab circle of radius d centered at UMA . Using the formula for the length of a taxicab arc in Theorem 2.6,

Onde s e d are taxicab distances and is a taxicab angle. This formula is identical to the Euclidean distance estimation formula with d e s Euclidean distances and an Euclidean angle. However, as we shall now see, the commonly used Euclidean version is truly an approximation and not an ex act result. This realization is necessary to logically link the commonly used Euclidean formula and the taxicab formula.

Using Figure 7 but with all distances and angles now Euclidean, we isolate . Using the law of sines and the fact that , we have

This formula can be simplified by moving from UMA para B in a direction perpendicular to the line of sight to Q a partir de UMA rather than in one of the four prescribed directions above. In this case (Figure 8).


Figure 8: A parallax diagram in Euclidean geometry.

Thus, the law of sines gives the Euclidean parallax formula

If we now apply the approximation for small angles we obtain the commonly used Euclidean parallax formula

It is interesting to note the quite different movement requirements in the two geometries needed to obtain the best possible approximations of the distance to the object. This difference lies in the methods of keeping the distance to the object as constant as possible. In the Euclidean case, moving small distances on the line tangent to the circle of radius d centered at the object (i.e. perpendicular to the radius of this circle) essentially leaves the distance to the object unchanged. In taxicab geometry, moving in one direction along either y = x or y =- x keeps the distance to the object exactly unchanged.

We are now in a position to justify the link between results (1) and (2). Since the line segment QQ' of taxicab length s lies on a taxicab circle, . The distance d to the object is given by since the Euclidean angle between the line of sight AQ and the x-axis is . Using Corollary 2 with and , the taxicab measure of is given by

Using these substitutions, formula (1) becomes formula (2).

6. CONCLUSION

In addition to creating a natural definition of angles and trigonometric functions, we have also unwittingly created an environment in which a parallax method can be used to determine the exact distance to a nearby object rather than just an approximation. This is not too surprising a result since there exist directions in which one can travel without the distance to an object changing. With this result, and taxicab and Euclidean angle measuring instruments, the exact Euclidean distance to the object can now be found (up to measurement error of course). The trick is to build your own taxicab cross staff or sextant.


Angles and parallel lines

When two lines intersect they form two pairs of opposite angles, A + C and B + D. Another word for opposite angles are vertical angles.

Vertical angles are always congruent, which means that they are equal.

Adjacent angles are angles that come out of the same vertex. Adjacent angles share a common ray and do not overlap.

The size of the angle xzy in the picture above is the sum of the angles A and B.

Two angles are said to be complementary when the sum of the two angles is 90°.

Two angles are said to be supplementary when the sum of the two angles is 180°.

If we have two parallel lines and have a third line that crosses them as in the ficture below - the crossing line is called a transversal

When a transversal intersects with two parallel lines eight angles are produced.

The eight angles will together form four pairs of corresponding angles. Angles 1 and 5 constitutes one of the pairs. Corresponding angles are congruent. All angles that have the same position with regards to the parallel lines and the transversal are corresponding pairs e.g. 3 + 7, 4 + 8 and 2 + 6.

Angles that are in the area between the parallel lines like angle 2 and 8 above are called interior angles whereas the angles that are on the outside of the two parallel lines like 1 and 6 are called exterior angles.

Angles that are on the opposite sides of the transversal are called alternate angles e.g. 1 + 8.

All angles that are either exterior angles, interior angles, alternate angles or corresponding angles are all congruent.

The picture above shows two parallel lines with a transversal. The angle 6 is 65°. Is there any other angle that also measures 65°?

6 and 8 are vertical angles and are thus congruent which means angle 8 is also 65°.

6 and 2 are corresponding angles and are thus congruent which means angle 2 is 65°.

6 and 4 are alternate exterior angles and thus congruent which means angle 4 is 65°.


When two lines intersect, at the point of their intersection an angle is formed. Learning about angles is important, as they form the base of geometry. The two rays that form the angle are known as the sides of the angle. Also, it is not necessary that an angle is formed by intersection of two straight lines it can be formed by intersection of two curved lines too.

There are various types of angles based on their measure of the angle. The types are,

Types of Angles

An angle which measures less than 90° is called an acute angle. The measure between 0° to 90°. In the picture below, the angle formed by the intersection of PQ and QR at Q forms an angle PQR which measures 45°. Thus, PQR is called an acute angle.

An angle which measures exactly 90° is called a right angle. It is generally formed when two lines are perpendicular to each other. In the figure below, line AB intersects line BC at B and form an angle ABC which measures 90°.

An angle that measures greater than 90° is known as the obtuse angle. The angle measure ranges from 90° to 180°. An obtuse angle can also be found out if we have the measure of the acute angle.

Obtuse Angle Measure = (180 - acute angle measure)

In the picture above, line segment DO intersects line segment OQ at point O and forms an angle DOQ measuring 120°. Thus, it is an obtuse angle.

Also, if we extend line OQ to OP then we can find a measure of the acute angle.

DOP = 180° - DOQ = 180° - 120° = 60°

The angle which measures exactly 180° is called a straight angle. This is similar to a straight line, thus the name straight angle.

A straight angle is nothing but a mixture of an obtuse angle and acute angle on a line.

The angle which measures greater than 180° and less than 360° is known as the reflex angle. The reflex angle can be calculated if the measure of the acute angle is given, as it is complementary to the acute angle on the other side of the line.

Using the reflex angle, we can find the measure of the acute angle.

A Measure of Acute Angle = 360° – a Measure of Reflex Angle

Complementary & SupplementaryAngle

If two angles add up to measure 90° then they are known as complementary angles. The angles don't have to be adjacent to each other to be known as complementary. As long as they add up to 90° they will be known as complementary angles.

In the figure, a and b the angles are present adjacent to each other and add up to 90° and thus are known as complementary angles. In figure c and d, the angles are not adjacent to each other, but they add up to 90° and thus they are known as complementary angles.

When two angles add up to 180° then they are known as supplementary angles. There are various types of supplementary angles.

Angles which have a common vertex and the sides of the angle are formed by the same lines are known as vertical angles. Vertical angles are equal to each other.

In the above figure, 1 and 3, 2 and 4, 6 and 8 and 5 and 7 are vertical angles. Also, 3, 4,5, 6 are known as interior angles and 1,2,7,8 are known as exterior angles.

Alternate Interior Angles

These are a pair of interior angles present on the opposite side of the transversal. The easiest way to spot alternate interior angles is to identify a "Z” on the interior side.

In the above figure, 3 and 5, 4 and 6 are interior angles. The interior angles equal to one another.

Alternate Exterior Angles

This is similar to alternate interior angles just that it is present on the exterior side. In the above figure, 1 and 7, 2 and 8 are the pair of alternate exterior angles. Similar to alternate interior angles, even alternate exterior angles are equal to one another.

Angles which are present in a similar position are known as corresponding angles. In the above figure, 1 and 5 are corresponding angles and they are equal to one another.


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3.1: Sign of an angle - Mathematics

Adjacent angles - Adjacent angles are two angles that share a common vertex and one common side. They do not overlap.

Alternate exterior angles - When a third line called the transversal crosses two other (usually parallel) lines, angles are formed on the outside, or exterior, of the two lines. The angles that are opposite of each other are the alternate exterior angles.

In the picture below, a and b are alternate exterior angles as are c and d.

Alternate interior angles - When a third line called the transversal crosses two other (usually parallel) lines, angles are formed on the inside, or interior, of the two lines. The angles that are opposite of each other are the alternate interior angles.

In the picture below, a and b are alternate interior angles as are c and d.

Central angle - In a circle, a central angle has its vertex at the center of the circle and endpoints at the circumference.

Complementary angles - Two angles are complementary if they add up to 90°.

Corresponding angles - When two lines (usually parallel) are crossed by another (called the transversal) the angles in the same corners of each line are called corresponding angles.

In the picture below, a and d are corresponding angles as are c and b.

Obtuse angle - Any angle greater than 90°, but less than 180°.

Protractor - A protractor is a tool used for measuring angles and degrees.

Right angle - An angle that equals 90°.

Straight angle - An angle that equals 180°. It will look like a straight line.

Supplementary angles - When the sum of two angles is 180°, they are said to be supplementary.


Transversal - A transversal is a line that crosses two or more other lines.


How to Name an Angle

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There are 7 references cited in this article, which can be found at the bottom of the page.

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Angles are named in two ways. You can name a specific angle by using the vertex point, and a point on each of the angle's rays. The name of the angle is simply the three letters representing those points, with the vertex point listed in the middle. You can also name angles by looking at their size. Right angles are 90 degrees. Acute angles are less than 90 degrees. Obtuse angles are greater than 90 degrees, but less than 180 degrees, which is a straight angle, or a straight line. Using these two naming standards makes it easy to identify and work with angles.


Asymptotes

An asymptote is, essentially, a line that a graph approaches, but does not intersect. For example, in the following graph of (y=frac<1>), the line approaches the x-axis (y=0), but never touches it. No matter how far we go into infinity, the line will not actually reach y=0, but will always get closer and closer.

This means that the line y=0 is a horizontal asymptote. Horizontal asymptotes occur most often when the function is a fraction where the top remains positive, but the bottom goes to infinity. Going back to the previous example, (y=frac<1>) is a fraction. When we go out to infinity on the x-axis, the top of the fraction remains 1, but the bottom gets bigger and bigger. As a result, the entire fraction actually gets smaller, although it will not hit zero. The function will be 1/2, then 1/3, then 1/10, even 1/10000, but never quite 0. Thus, y=0 is a horizontal asymptote for the function (y=frac<1>).

Here is another example, (y=frac<4x+2>):

As you can see in the above graph, the equation approaches zero eventually. This happens because on the top of the fraction 4x+2 will always be positive, but the denominator, (x^2+1), will be far larger. Because the bottom will dominate the top, the fraction approaches zero as x gets closer to infinity. This equation also has an asymptote at y=0.

Now let's find an example with an asymptote not located at y=0. Here is the graph of (y=frac<3x>):

Now, examine what happens when x approaches infinity. The denominator of the fraction is x+2, and as x gets really huge that +2 is practically meaningless (what's the difference in 100000 and 100002?), so we'll just pretend the +2 is gone for a moment. Now our equation looks like this:

Cancel out the x's, and you have y=3. You just took the limit as x approached infinity and discovered that the asymptote is y=3. When x gets to infinity, y is getting really really close to 3. To find horizontal asymptotes, simply look to see what happens when x goes to infinity.

The second type of asymptote is the vertical asymptote, which is also a line that the graph approaches but does not intersect. Vertical asymptotes almost always occur because the denominator of a fraction has gone to 0, but the top hasn't. For example, (y=frac<4>):

Note that as the graph approaches x=2 from the left, the curve drops rapidly towards negative infinity. This is because the numerator is staying at 4, and the denominator is getting close to 0. That means that the fraction itself is getting very big and negative. When x is exactly 2, the function does not exist because you cannot divide by 0. Immediately after 2 it resumes at positive infinity, because the numerator is 4 and the denominator is again very tiny, but this time it is positive.

To find vertical asymptotes, look for any circumstance that makes the denominator of a fraction equal zero. Those are the most likely candidates, at which point you can graph the function to check, or take the limit to see how the graph behaves as it approaches the possible asymptote.

Also keep in mind that trigonometric functions may go to zero repeatedly, so the secant function, which is also written as (y=frac<1>), has many vertical asymptotes:

All of those vertical lines are really asymptotes, which brings up a good point. Your calculator or computer will most likely draw asymptotes as black lines that look like the rest of the graph. This is because the computer wants to connect all the points, and it is not as smart as you. You must use your own judgement to recognize asymptotes when you see a computerized graph.

Hopefully you have now learned a little about horizontal and vertical asymptotes. If you need more information, click over to our message board and ask your question.

Summary

An asymptote approaches very closely -- without actually reaching -- a certain value.


Assista o vídeo: ANGULOS SUPLEMENTARIOS 5º GRADO (Novembro 2021).