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5.5: Substituição - Matemática


O Teorema Fundamental do Cálculo nos deu um método para avaliar integrais sem usar somas de Riemann. A desvantagem desse método, porém, é que devemos ser capazes de encontrar uma antiderivada, e isso nem sempre é fácil. Nesta seção, examinamos uma técnica, chamada integração por substituição, para nos ajudar a encontrar antiderivadas. Especificamente, esse método nos ajuda a encontrar antiderivadas quando o integrando é o resultado de uma derivada da regra da cadeia.

A princípio, a abordagem do procedimento de substituição pode não parecer muito óbvia. No entanto, é principalmente uma tarefa visual - ou seja, o integrando mostra o que fazer; é uma questão de reconhecer a forma da função. Então, o que devemos ver? Estamos procurando um integrando da forma (f [g (x)] g ′ (x) dx ). Por exemplo, na integral

[∫ (x ^ 2−3) ^ 3 2x , dx. label {eq1} ]

temos

[f (x) = x ^ 3 não numérico ]

e

[g (x) = x ^ 2−3. nonumber ]

Então

[g '(x) = 2x. nonumber ]

e

[f [g (x)] g ′ (x) = (x ^ 2−3) ^ 3 (2x), não numérico ]

e vemos que nosso integrando está na forma correta. O método é chamado de substituição porque substituímos parte do integrando pela variável (u ) e parte do integrando por (du ). Também é conhecido como mudança de variáveis porque estamos alterando variáveis ​​para obter uma expressão que seja mais fácil de trabalhar para aplicar as regras de integração.

Substituição com Integrais Indefinidos

Seja (u = g (x) ) ,, onde (g ′ (x) ) é contínuo ao longo de um intervalo, seja (f (x) ) contínuo ao longo do intervalo correspondente de ge seja (F (x) ) seja uma antiderivada de (f (x). ) Então,

[ begin {align *} ∫f [g (x)] g ′ (x) , dx & = ∫f (u) , du [5pt] & = F (u) + C [ 5pt] & = F (g (x)) + C end {alinhar *} ]

Prova

Sejam (f ), (g ), (u ) e (F ) conforme especificado no teorema. Então

[ dfrac {d} {dx} big [F (g (x)) big] = F ′ (g (x)) g ′ (x) = f [g (x)] g ′ (x) . ]

Integrando ambos os lados em relação ax, vemos que

[∫f [g (x)] g ′ (x) , dx = F (g (x)) + C. ]

Se agora substituirmos (u = g (x) ), e (du = g '(x) dx ), obtemos

[∫f [g (x)] g ′ (x) , dx = ∫f (u) , du = F (u) + C = F (g (x)) + C. ]

Voltando ao problema que examinamos originalmente, deixamos (u = x ^ 2−3 ) e então (du = 2x , dx ).

Reescreva a integral (Equação ref {eq1}) em termos de (u ):

[∫ (x ^ 2−3) ^ 3 (2x , dx) = ∫u ^ 3 , du. ]

Usando a regra de potência para integrais, temos

[∫u ^ 3 , du = dfrac {u ^ 4} {4} + C. ]

Substitua a expressão original por (x ) de volta na solução:

[ dfrac {u ^ 4} {4} + C = dfrac {(x ^ 2−3) ^ 4} {4} + C. ]

Podemos generalizar o procedimento na seguinte Estratégia de Solução de Problemas.

Estratégia de resolução de problemas: integração por substituição

  1. Olhe cuidadosamente para o integrando e selecione uma expressão (g (x) ) dentro do integrando para definir igual a u. Vamos selecionar (g (x) ) de modo que (g ′ (x) ) também faça parte do integrando.
  2. Substitua (u = g (x) ) e (du = g ′ (x) dx. ) Na integral.
  3. Agora devemos ser capazes de avaliar a integral em relação a (u ). Se a integral não puder ser avaliada, precisamos voltar e selecionar uma expressão diferente para usar como (u ).
  4. Avalie a integral em termos de (u ).
  5. Escreva o resultado em termos de (x ) e a expressão (g (x). )

Exemplo ( PageIndex {1} ): Usando substituição para encontrar uma antiderivada

Use a substituição para encontrar a antiderivada de ( displaystyle ∫6x (3x ^ 2 + 4) ^ 4 , dx. )

Solução

O primeiro passo é escolher uma expressão para (u ). Escolhemos (u = 3x ^ 2 + 4 ) porque então (du = 6x , dx ) e já temos (du ) no integrando. Escreva a integral em termos de (u ):

[∫6x (3x ^ 2 + 4) ^ 4 , dx = ∫u ^ 4 , du. enhum número]

Lembre-se que (du ) é a derivada da expressão escolhida para (u ), independente do que esteja dentro do integrando. Agora podemos avaliar a integral em relação a (u ):

[∫u ^ 4 , du = dfrac {u ^ 5} {5} + C = dfrac {(3x ^ 2 + 4) ^ 5} {5} + C. Não numérico ]

Análise

Podemos verificar nossa resposta tomando a derivada do resultado da integração. Devemos obter o integrando. Escolhendo um valor para (C ) de (1 ), deixamos (y = dfrac {1} {5} (3x ^ 2 + 4) ^ 5 + 1. ) Temos

[y = dfrac {1} {5} (3x ^ 2 + 4) ^ 5 + 1, não numérico ]

assim

[ begin {align *} y ′ & = left ( dfrac {1} {5} right) 5 (3x ^ 2 + 4) ^ 46x [5pt] & = 6x (3x ^ 2 + 4 ) ^ 4. End {align *} ]

Esta é exatamente a expressão com a qual começamos dentro do integrando.

Exercício ( PageIndex {1} )

Use a substituição para encontrar a antiderivada de ( displaystyle ∫3x ^ 2 (x ^ 3−3) ^ 2 , dx. )

Dica

Let (u = x ^ 3−3. )

Responder

( displaystyle ∫3x ^ 2 (x ^ 3−3) ^ 2 , dx = dfrac {1} {3} (x ^ 3−3) ^ 3 + C )

Às vezes, precisamos ajustar as constantes em nossa integral se elas não corresponderem exatamente às expressões que estamos substituindo.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Usando Substituição com Alteração

Use a substituição para encontrar a antiderivada de [∫z sqrt {z ^ 2−5} , dz. enhum número]

Solução

Reescreva a integral como ( displaystyle ∫z (z ^ 2−5) ^ {1/2} , dz. ) Let (u = z ^ 2−5 ) e (du = 2z , dz ). Agora temos um problema porque (du = 2z , dz ) e a expressão original tem apenas (z , dz ). Temos que alterar nossa expressão para (du ) ou a integral em (u ) será duas vezes maior do que deveria. Se multiplicarmos ambos os lados da equação (du ) por ( dfrac {1} {2} ). podemos resolver este problema. Desse modo,

[u = z ^ 2−5 nonumber ]

[du = 2z , dz nonumber ]

[ dfrac {1} {2} du = dfrac {1} {2} (2z) , dz = z , dz. enhum número]

Escreva a integral em termos de (u ), mas puxe o ( dfrac {1} {2} ) para fora do símbolo de integração:

[∫z (z ^ 2−5) ^ {1/2} , dz = dfrac {1} {2} ∫u ^ {1/2} , du. Nonumber ]

Integre a expressão em (u ):

[ begin {align *} dfrac {1} {2} ∫u ^ {1/2} , du & = left ( dfrac {1} {2} right) dfrac {u ^ {3 / 2}} { dfrac {3} {2}} + C [5pt] & = left ( dfrac {1} {2} right) left ( dfrac {2} {3} right ) u ^ {3/2} + C [5pt] & = dfrac {1} {3} u ^ {3/2} + C [5pt] & = dfrac {1} {3} ( z ^ 2−5) ^ {3/2} + C end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Use a substituição para encontrar a antiderivada de ( displaystyle ∫x ^ 2 (x ^ 3 + 5) ^ 9 , dx. )

Dica

Multiplique a equação du por ( dfrac {1} {3} ).

Responder

( displaystyle ∫x ^ 2 (x ^ 3 + 5) ^ 9 , dx = dfrac {(x ^ 3 + 5) ^ {10}} {30} + C )

Integração de funções trigonométricas

Os próximos três exemplos ajudarão a preencher algumas peças que faltam em nosso conhecimento antiderivado. Conhecemos as antiderivadas das funções seno e cosseno; e as outras funções padrão tangente, cotangente, secante e cossecante? Nós descobrimos isso a seguir.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Integração por substituição: antiderivadas de ( tan x )

Avalie ( int tan x dx. )

Solução

O parágrafo anterior estabeleceu que não conhecíamos as antiderivadas da tangente, portanto, devemos supor que aprendemos algo nesta seção que pode nos ajudar a avaliar essa integral indefinida.

Reescreva ( tan x ) como ( sin x / cos x ). Embora a presença de uma composição de funções possa não ser imediatamente óbvia, reconheça que ( cos x ) está "dentro" da função (1 / x ). Portanto, vemos se a configuração (u = cos x ) retorna resultados utilizáveis. Temos que (du = - sin x dx ), portanto (- du = sin x dx ). Podemos integrar:

[ begin {align} int tan x dx & = int frac { sin x} { cos x} dx & = int frac1 { underbrace { cos x} _u} underbrace { sin x dx} _ {- du} & = int frac {-1} u du & = - ln | u | + C & = - ln | cos x | + C. end {align} ]

Alguns textos preferem trazer o (- 1 ) dentro do logaritmo como uma potência de ( cos x ), como em:

[ begin {align} - ln | cos x | + C & = ln | ( cos x) ^ {- 1} | + C & = ln left | frac {1} { cos x} right | + C & = ln | sec x | + C. end {align} ]

Portanto, o resultado que eles fornecem é ( int tan x dx = ln | sec x | + C ). Essas duas respostas são equivalentes.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Integrando por substituição: antiderivadas de ( sec x )

Avalie ( int sec x dx ).

Solução

Este exemplo emprega um truque maravilhoso: multiplique o integrando por "1" para que possamos ver como integrar mais claramente. Neste caso, escrevemos "1" como

$$ 1 = frac { sec x + tan x} { sec x + tan x}. $$

Pode parecer que saiu do campo esquerdo, mas funciona perfeitamente. Considerar:

[ begin {align} int sec x dx & = int sec x cdot frac { sec x + tan x} { sec x + tan x} dx & = int frac { sec ^ 2 x + sec x tan x} { sec x + tan x} dx. end {alinhar} ]

Agora vamos (u = sec x + tan x ); isso significa (du = ( sec x tan x + sec ^ 2 x) dx ), que é o nosso numerador. Desse modo:

[ begin {align} & = int frac {du} {u} & = ln | u | + C & = ln | sec x + tan x | + C. end {align} ]

Podemos usar técnicas semelhantes às usadas nos Exemplos ( PageIndex {3} ) e ( PageIndex {4} ) para encontrar antiderivadas de ( cot x ) e ( csc x ) (que o leitor pode explorar nos exercícios.) Resumimos nossos resultados aqui.

Teorema ( PageIndex {1} ): Antiderivadas de funções trigonométricas

  1. ( int sin x dx = - cos x + C )
  2. ( int cos x dx = sin x + C )
  3. ( int tan x dx = - ln | cos x | + C )
  4. ( int csc x dx = - ln | csc x + cot x | + C )
  5. ( int sec x dx = ln | sec x + tan x | + C )
  6. ( int cot x dx = ln | sin x | + C )

Observação

Embora tenhamos essas fórmulas, neste ponto será melhor mostrar o trabalho de apoio para todos, exceto os dois primeiros (as antiderivadas de seno e cosseno).

Exemplo ( PageIndex {5} ): Usando substituição com integrais de funções trigonométricas

Use a substituição para avaliar a integral ( displaystyle ∫ dfrac { sin t} { cos ^ 3t} , dt. )

Solução

Sabemos que a derivada de ( cos t ) é (- sin t ), então definimos (u = cos t ). Então (du = - sin t , dt. )

Substituindo no integral, temos

[∫ dfrac { sin t} { cos ^ 3t} , dt = −∫ dfrac {du} {u ^ 3}. Nonumber ]

Avaliando a integral, obtemos

[−∫ dfrac {du} {u ^ 3} = - ∫u ^ {- 3} , du = - left (- dfrac {1} {2} right) u ^ {- 2} + C. nonumber ]

Colocando a resposta de volta em termos de t, obtemos

[∫ dfrac { sin t} { cos ^ 3t} , dt = dfrac {1} {2u ^ 2} + C = dfrac {1} {2 cos ^ 2t} + C. Nonumber ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Use a substituição para avaliar a integral ( displaystyle ∫ dfrac { cos t} { sin ^ 2t} , dt. )

Dica

Use o processo de Exemplo ( PageIndex {5} ) para resolver o problema.

Responder

( displaystyle ∫ dfrac { cos t} { sin ^ 2t} , dt = - dfrac {1} { sin t} + C )

Exercício ( PageIndex {4} )

Use a substituição para avaliar a integral indefinida ( displaystyle ∫ cos ^ 3t sin t , dt. )

Dica

Use o processo de Exemplo ( PageIndex {5} ) para resolver o problema.

Responder

( displaystyle ∫ cos ^ 3t sin t , dt = - dfrac { cos ^ 4t} {4} + C )

Exploramos mais uma integral trigonométrica comum.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Integração por substituição: potências de ( cos x ) e ( sin x )

Avalie ( int cos ^ 2x dx ).

Solução

Temos uma composição de funções como ( cos ^ 2x = big ( cos x big) ^ 2 ).

No entanto, definir (u = cos x ) significa (du = - sin x dx ), que não temos na integral. Outra técnica é necessária.

O processo que empregaremos é usar uma fórmula de redução de energia para ( cos ^ 2x ) (talvez consulte o verso deste texto para esta fórmula), que afirma

$$ cos ^ 2x = frac {1+ cos (2x)} {2}. $$

O lado direito desta equação não é difícil de integrar. Nós temos:

[ begin {align} int cos ^ 2x dx & = int frac {1+ cos (2x)} 2 dx & = int left ( frac12 + frac12 cos ( 2x) right) dx. end {align} ]

Integrando, obtemos:

[ begin {align} & = frac12x + frac12 frac { sin (2x)} {2} + C & = frac12x + frac { sin (2x)} 4 + C. end {alinhar}]

Faremos um uso significativo dessa técnica de redução de potência em seções futuras.

Uma substituição em U com uma torção

Às vezes, precisamos manipular uma integral de maneiras mais complicadas do que apenas multiplicar ou dividir por uma constante. Precisamos eliminar todas as expressões dentro do integrando que estão em termos da variável original. Quando terminarmos, (u ) deve ser a única variável no integrando. Em alguns casos, isso significa resolver para a variável original em termos de (u ). Essa técnica deve ficar clara no próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Encontrando uma Antiderivada Usando Substituição U

Use a substituição para encontrar a antiderivada de [∫ dfrac {x} { sqrt {x − 1}} , dx. enhum número]

Solução

Se deixarmos (u = x − 1, ) então (du = dx ). Mas isso não explica o x no numerador do integrando. Precisamos expressar x em termos de u. Se (u = x − 1 ), então (x = u + 1. ) Agora podemos reescrever a integral em termos de você:

[∫ dfrac {x} { sqrt {x − 1}} , dx = ∫ dfrac {u + 1} { sqrt {u}} , du = ∫ sqrt {u} + dfrac { 1} { sqrt {u}} , du = ∫ (u ^ {1/2} + u ^ {- 1/2}) , du. Nonumber ]

Em seguida, integramos da maneira usual, substituímos u pela expressão original, fatoramos e simplificamos o resultado. Desse modo,

[ begin {align *} ∫ (u ^ {1/2} + u ^ {- 1/2}) , du & = dfrac {2} {3} u ^ {3/2} + 2u ^ {1/2} + C [5pt] & = dfrac {2} {3} (x − 1) ^ {3/2} +2 (x − 1) ^ {1/2} + C [5pt] & = (x − 1) ^ {1/2} left [ dfrac {2} {3} (x − 1) +2 right] + C [5pt] & = (x − 1 ) ^ {1/2} left ( dfrac {2} {3} x− dfrac {2} {3} + dfrac {6} {3} right) [5pt] & = (x− 1) ^ {1/2} left ( dfrac {2} {3} x + dfrac {4} {3} right) [5pt] & = dfrac {2} {3} (x − 1 ) ^ {1/2} (x + 2) + C. end {align *} ]

Substituição de Integrais Definidos

A substituição também pode ser usada com integrais definidos. No entanto, usar a substituição para avaliar uma integral definida requer uma mudança nos limites da integração. Se mudarmos as variáveis ​​no integrando, os limites da integração também mudam.

Substituição com Integrais Definidos

Sejam (u = g (x) ) e sejam (g ') contínuos ao longo de um intervalo ([a, b] ), e sejam (f ) contínuos ao longo do intervalo (u = g (x). ) Então,

[∫ ^ b_af (g (x)) g ′ (x) , dx = ∫ ^ {g (b)} _ {g (a)} f (u) , du. ]

Embora não iremos provar formalmente este teorema, nós o justificamos com alguns cálculos aqui. Da regra de substituição para integrais indefinidos, se (F (x) ) é uma antiderivada de (f (x), ) temos

[∫f (g (x)) g ′ (x) , dx = F (g (x)) + C. ]

Então

[ begin {align *} ∫ ^ b_af [g (x)] g ′ (x) , dx & = F (g (x)) bigg | ^ {x = b} _ {x = a} [5pt] & = F (g (b)) - F (g (a)) [5pt] & = F (u) bigg | ^ {u = g (b)} _ {u = g ( a)} [5pt] & = ∫ ^ {g (b)} _ {g (a)} f (u) , du end {alinhar *} ]

e temos o resultado desejado.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Usando substituição para avaliar um integral definido

Use a substituição para avaliar [∫ ^ 1_0x ^ 2 (1 + 2x ^ 3) ^ 5 , dx. enhum número]

Solução

Seja (u = 1 + 2x ^ 3 ), então (du = 6x ^ 2dx ). Como a função original inclui um fator de (x ^ 2 ) e (du = 6x ^ 2dx ), multiplique ambos os lados da equação (du ) por (1/6. ) Então,

[ begin {align *} du & = 6x ^ 2 , dx [5pt] text {torna-se} quad dfrac {1} {6} du & = x ^ 2 , dx. end {align *} ]

Para ajustar os limites de integração, observe que quando (x = 0, u = 1 + 2 (0) = 1, ) e quando (x = 1, u = 1 + 2 (1) = 3. ) Então

[∫ ^ 1_0x ^ 2 (1 + 2x ^ 3) ^ 5dx = dfrac {1} {6} ∫ ^ 3_1u ^ 5 , du. enhum número]

Avaliando esta expressão, obtemos

[ begin {align *} dfrac {1} {6} ∫ ^ 3_1u ^ 5 , du & = ( dfrac {1} {6}) ( dfrac {u ^ 6} {6}) bigg | ^ 3_1 [5pt] & = dfrac {1} {36} [(3) ^ 6− (1) ^ 6] [5pt] & = dfrac {182} {9}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Use a substituição para avaliar a integral definida ( displaystyle ∫ ^ 0 _ {- 1} y (2y ^ 2−3) ^ 5 , dy. )

Dica

Use as etapas de Exemplo ( PageIndex {8} ) para resolver o problema.

Responder

( displaystyle ∫ ^ 0 _ {- 1} y (2y ^ 2−3) ^ 5 , dy = dfrac {91} {3} )

Exercício ( PageIndex {6} )

Use a substituição para avaliar ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 cos left ( dfrac {π} {2} x ^ 3 right) , dx. )

Dica

Use o processo de Exemplo ( PageIndex {8} ) para resolver o problema.

Responder

( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 cos left ( dfrac {π} {2} x ^ 3 right) , dx = dfrac {2} {3π} ≈0,2122 )

A substituição pode ser apenas uma das técnicas necessárias para avaliar uma integral definida. Todas as propriedades e regras de integração se aplicam de forma independente, e as funções trigonométricas podem precisar ser reescritas usando uma identidade trigonométrica antes de podermos aplicar a substituição. Além disso, temos a opção de substituir a expressão original por (u ) após encontrarmos a antiderivada, o que significa que não precisamos alterar os limites de integração. Essas duas abordagens são mostradas no Exemplo ( PageIndex {9} ).

Exemplo ( PageIndex {9} ): Usando substituição para avaliar uma integral trigonométrica

Use a substituição para avaliar [∫ ^ {π / 2} _0 cos ^ 2θ , dθ. enhum número ]

Solução

Vamos primeiro usar uma identidade trigonométrica para reescrever a integral. A identidade trigonométrica ( cos ^ 2θ = dfrac {1+ cos 2θ} {2} ) nos permite reescrever a integral como

[∫ ^ {π / 2} _0 cos ^ 2θ , dθ = ∫ ^ {π / 2} _0 dfrac {1+ cos2θ} {2} , dθ. enhum número]

Então,

[ begin {align *} ∫ ^ {π / 2} _0 left ( dfrac {1+ cos2θ} {2} right) , dθ & = ∫ ^ {π / 2} _0 left ( dfrac {1} {2} + dfrac {1} {2} cos 2θ right) , dθ [5pt] & = dfrac {1} {2} ∫ ^ {π / 2} _0 , dθ + ∫ ^ {π / 2} _0 cos2θ , dθ. end {align *} ]

Podemos avaliar a primeira integral como ela é, mas precisamos fazer uma substituição para avaliar a segunda integral. Seja (u = 2θ. ) Então, (du = 2 , dθ, ) ou ( dfrac {1} {2} , du = dθ ). Além disso, quando (θ = 0, , u = 0, ) e quando (θ = π / 2, , u = π. ) Expressando a segunda integral em termos de (u ), temos

[ begin {align *} dfrac {1} {2} ∫ ^ {π / 2} _0 , dθ + dfrac {1} {2} ∫ ^ {π / 2} _0 cos 2θ , dθ & = dfrac {1} {2} ∫ ^ {π / 2} _0 , dθ + dfrac {1} {2} left ( dfrac {1} {2} right) ∫ ^ π_0 cos u , du [5pt] & = dfrac {θ} {2} , bigg | ^ {θ = π / 2} _ {θ = 0} + dfrac {1} {4} sin u , bigg | ^ {u = θ} _ {u = 0} [5pt] & = left ( dfrac {π} {4} −0 right) + (0−0) = dfrac {π } {4} end {align *} ]

Conceitos chave

  • Substituição é uma técnica que simplifica a integração de funções que são o resultado de uma derivada de regra em cadeia. O termo ‘substituição’ refere-se à alteração de variáveis ​​ou substituição da variável (u ) e (du ) por expressões apropriadas no integrando.
  • Ao usar a substituição de uma integral definida, também temos que alterar os limites da integração.

Equações-chave

  • Substituição com Integrais Indefinidos [∫f [g (x)] g ′ (x) , dx = ∫f (u) , du = F (u) + C = F (g (x)) + C não numérico ]
  • Substituição com Integrais Definidos [∫ ^ b_af (g (x)) g '(x) , dx = ∫ ^ {g (b)} _ {g (a)} f (u) , du nonumber ]

Glossário

mudança de variáveis
a substituição de uma variável, como (u ), por uma expressão no integrando
integração por substituição
uma técnica de integração que permite a integração de funções que são o resultado de uma derivada de regra em cadeia

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.

  • Apex Calculus: a subseção sobre a integração de funções trigonométricas é principalmente do Apex Calculus, Seção 6.1.
  • Editado por Paul Seeburger (Monroe Community College)

Exemplos

Exemplo 1

Solução do Exemplo 1:
Seja u = a x + b que dá du / dx = a ou dx = (1 / a) du. A substituição ajuda a calcular a integral da seguinte forma
sin (a x + b) dx
= (1 / a) sin (u) du
= (1 / a) (-cos (u)) + C
= - (1 / a) cos (a x + b) + C

Exemplo 2

Solução do Exemplo 2:
Seja u = 3x - 2 que dá du / dx = 3 ou dx = (1/3) du. Por isso
e 3x - 2 dx
= e u (1/3) du
= (1/3) e u
= (1/3) e 3x - 2 + C

Exemplo 3

Solução do Exemplo 3:
Seja u = 2x 2 + 5 que dá du / dx = 4x, du = 4x dx, (1/4) du = x dx. A substituição dá
x (2x 2 + 5) 4 dx
= (1/4) (u) 4 du
= (1/4) (1/5) u 5
= (1/20) (2x 2 + 5) 5 + C

Exemplo 4

Solução do Exemplo 4:
Seja u = 2x + 1 que dá du / dx = 2 e dx = (1/2) du. Resolva u = 2x + 1 para x para obter x = (1/2) (u - 1). A substituição dá

Exemplo 5

Solução do Exemplo 5:
Seja u = x - 5 que dá du / dx = 1. Substituindo na integral dada, obtemos
(x - 5) -4 dx
= u -4 du
= (-1/3) u -3
= (-1/3) (x - 5) -3 + C

Exemplo 6

Solução do Exemplo 6:
Seja u = x 2 + 2, o que dá du / dx = 2x e (1/2) du = x dx. Uma substituição no dado integral dá
-x e x 2 + 2 dx
= - e u (1/2) du
= - (1/2) e u du
= - (1/2) e u
= - (1/2) e x 2 + 2 + C

Exemplo 7

Solução do Exemplo 7:
Seja u = sin (x) que dá du / dx = cos (x) ou cos (x) dx = du. Substitua na integral para obter
cos (x) sen 4 (x) dx = u 4 du
= (1/5) u 5
= (1/5) sen 5 (x) + C

Exemplo 8

Solução do Exemplo 8:
Seja u = 4x + 1 que dá du / dx = 4 ou dx = (1/4) du. Resolva u = 4x + 1 para x para obter x = (1/4) (u - 1). Substitua para obter
(3x / (4x + 1)) dx
= 3 (1/4) ((u - 1) / u) (1/4) du
= (3/16) (u - 1) / u du
= (3/16) (1 - 1 / u) du
= (3/16) (u - ln | u |)
= (3/16) (4x + 1 - ln | 4x + 1 |) + C

Exemplo 9

Solução do Exemplo 9:
Seja u = x - 2 que dá du / dx = 1, dx = du e x = u + 2. Substituição
(x / & # 8730 (x - 2)) dx
= (u + 2) / & # 8730u) dx
= (u 1/2 + 2u -1/2) dx
= (2/3) u 3/2 + 2 * 2 u 1/2
= (2/3) (x - 2) 3/2 + 4 (x - 2) 1/2 + C

Exemplo 10

Solução do Exemplo 10:
Seja u = x + 2 que dá du / dx = 1, dx = du e também x = u - 2. Usando a substituição acima, obtemos
(x + 2) 3 (x + 4) 2 dx
= u 3 (u + 2) 2 du
= (u 5 + 4u 4 + 4u 3) du
= (1/6) u 6 + (4/5) u 5 + u 4
= (1/6) (x + 2) 6 + (4/5) (x + 2) 5 + (x + 2) 4 + C

Exemplo 11

Solução do Exemplo 11:
Seja u = x 2 + 3x + 1 que dá du / dx = 2x + 3 ou (2x + 3) dx = du. A substituição ajuda a calcular a integral da seguinte forma
(1 / u) du
= ln | u |
= ln | x 2 + 3x + 1 | + C


Resolvendo

Pode haver muitas maneiras de resolver equações lineares!

Vejamos outro exemplo:

Exemplo: Resolva estas duas equações:

As duas equações são mostradas neste gráfico:

Nossa tarefa é descobrir onde as duas linhas se cruzam.

Bem, podemos ver onde eles se cruzam, por isso já está resolvido graficamente.

Mas agora vamos resolver isso usando Álgebra!

Hmmm . como resolver isso? Pode haver muitas maneiras! Neste caso, ambas as equações têm "y", então vamos tentar subtrair a segunda equação inteira da primeira:

Então, agora sabemos que as linhas se cruzam em x = 1.

E podemos encontrar o valor correspondente de y usando qualquer uma das duas equações originais (porque sabemos que elas têm o mesmo valor em x = 1). Vamos usar o primeiro (você pode tentar o segundo):

E o gráfico mostra que estamos certos!


Pronto para começar a usar o IM K – 5 Math ™?

Em IM K – 5 Math, fluência significa:

No IM K – 5 Math, a fluência é construída:

  • através das unidades por meio de uma sequência de metas de aprendizagem que fazem sentido para o aluno
  • ao longo do ano por meio da compreensão conceitual e conectando os padrões relevantes por meio de uma história coerente dentro e entre as unidades e centros
  • através das séries por meio das representações, estratégias e algoritmos

No IM K-5 Math, a fluência é construída dentro e entre as séries:

Como os professores podem usar IM K – 5 Math para avaliar a fluência:

Os professores podem usar planilhas de monitoramento, que estão alinhadas às metas da seção e da unidade, e avaliações de fim de unidade para monitorar o progresso do aluno em relação à fluência em matemática ao longo do ano.

O que é fluência?

“A fluência de procedimentos se refere ao conhecimento dos procedimentos, ao conhecimento de quando e como usá-los de forma adequada e à habilidade em executá-los de forma flexível, precisa e eficiente”, conforme definido em Somando: Ajudando as Crianças a Aprender Matemática do Conselho Nacional de Pesquisa (2001).

Qual é a posição do IM sobre a fluência em matemática no currículo do jardim de infância?

IM K – 5 Math é projetado para que os alunos desenvolvam fluência procedimental e compreensão conceitual simultaneamente. As representações, estratégias e algoritmos que são usados ​​e destacados são propositalmente projetados para serem coerentes. A fluência é incorporada ao longo das aulas, ao invés de isolada como uma habilidade separada.

Como a prática de fluência incorporada no IM K-5 Math apoia os professores na implementação da pedagogia culturalmente responsiva?

Professores culturalmente responsivos podem usar seu conhecimento sobre seus alunos e formas culturais de construção de significado para fornecer oportunidades para os alunos desenvolverem e praticarem a fluência. Por exemplo, as rotinas e centros de instrução em nossos materiais curriculares oferecem maneiras comunitárias e colaborativas de aprender e praticar fatos matemáticos. Nossas atividades de aula e centros também incluem oportunidades para os alunos refletirem sobre seu progresso, declarando os fatos que sabem e os fatos que estão aprendendo. Essa prática permite que os alunos se envolvam no estabelecimento de metas e defendam seu aprendizado, tomando decisões informadas sobre o desenvolvimento de sua fluência.

Como IM K – 5 Math reforça a fluência com fatos?

Os alunos têm oportunidades ao longo do ano para nomear os fatos que sabem, os fatos que ainda estão aprendendo e identificar estratégias para aprender esses fatos. Rotinas de aquecimento, como Number Talks e True ou False, além de centros e jogos durante as aulas, ajudam os alunos a se tornarem mais fluentes ao longo do ano.

Como os alunos ganham fluência nos centros?

Os centros, que geralmente são atividades ou jogos, são projetados em etapas. Os estágios são freqüentemente divididos por faixas de números com os quais os alunos estão operando, para que os professores possam sistematicamente apoiar os alunos com estágios com base nos fatos que eles precisam praticar.

Os centros são destinados à prática extra na escola ou fora da escola e são projetados para desenvolver fluência (ou qualquer habilidade que se desenvolva ao longo do tempo) ao longo de um ano.

  • estão alinhados aos níveis e unidades de graduação.
  • consistem em estados com a mesma estrutura geral
  • pode ser repetido com resultados diferentes a cada vez
  • foco principalmente no principal trabalho de grau
Como é para um aluno saber matemática de memória, em termos de testes cronometrados?

A Matemática Ilustrativa não se posiciona nos testes cronometrados para avaliar o conhecimento dos alunos em matemática. A avaliação pode ser realizada de várias maneiras e não se limita a testes cronometrados. Por exemplo, a avaliação também inclui um professor interagindo com os alunos e observando os alunos enquanto caminham pela sala de aula.

Como um aluno demonstra fluência?

Um aluno que é fluente em matemática pode usar métodos computacionais com flexibilidade, eficiência e precisão. Por exemplo, um aluno fluente em computação pode usar mentalmente 10 + 5 = 15 para saber que 9 + 6 = 15.

Quero mais informações sobre o tema fluência. Quais recursos estão disponíveis?
  • Conselho Nacional de Professores de Matemática. (2000). Princípios e padrões para a matemática escolar. Reston, VA: NCTM.
  • Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). A dding it Up: Ajudando as crianças a aprender matemática. Washington, DC: National Academy Press.

Postagens do blog sobre fluência em matemática do ensino fundamental e médio em destaque

Quando penso em fluência em matemática do ensino fundamental e médio 5, vejo tanto a luta, que é real para os alunos, quanto a alegria que advém do exercício hábil e confiante da habilidade dominada.

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Escola de Matemática do Instituto de Tecnologia da Geórgia | Instituto de Tecnologia da Geórgia | Atlanta, GA

Integrais definidos e indefinidos, técnicas de integração, integrais impróprios, séries infinitas, aplicações.

MATH 1550 ou MATH 1551 ou MATH 1501 ou MATH 15X1 ou MATH 1X51.

Thomas, Cálculo: Primeiros Transcendentais, (14ª ed.)

Fluxograma que descreve as opções de livros didáticos para o outono de 2019.

Tema Seções de Texto Palestras
Revisão de diferenciação e integração indefinida CH. 3, 4,8 2
As somas de Riemann e o teorema fundamental do cálculo 5.1-5.4 4
Integração por substituição, área 5.5-5.6 3
Funções transcendentais: logaritmos, exponenciais 7.1-7.2 2
Técnicas de integração 8.2-8.5, 8.7 7
Regra L & rsquoH & ocircpital & rsquos, integrais impróprios 4.5, 8.8 4
Equações diferenciais lineares de primeira ordem 9.2 1
Sequências e séries infinitas 10.1-10.2 3
Testes de convergência, séries de potências 10.3-10.7 6
Polinômios de Taylor e aproximação de Taylor 10.8-10.9 4
Aplicações: volumes, comprimento, trabalho, centro de massa 6.1-6.6 6

Georgia Tech Resources

Recursos de matemática GT

Instituto de Tecnologia da Geórgia
Avenida Norte, Atlanta, GA 30332
Telefone: 404-894-2000


Como resolver equações simultâneas usando o método de substituição

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Equações simultâneas são duas equações lineares com duas variáveis ​​desconhecidas que têm a mesma solução. Resolver equações com uma variável desconhecida é uma simples questão de isolar a variável, no entanto, isso não é possível quando as equações têm duas variáveis ​​desconhecidas. Usando o método de substituição, você deve encontrar o valor de uma variável na primeira equação e, em seguida, substituir essa variável na segunda equação. [1] X Fonte de pesquisa Embora envolva várias etapas, o método de substituição para resolver equações simultâneas requer apenas habilidades básicas de álgebra.


Resolvendo Sistemas de Equações por Substituição



Estas aulas de álgebra introduzem a técnica de resolução de sistemas de equações por substituição.

Em alguns problemas com palavras, podemos precisar traduzir as sentenças em mais de uma equação. Se tivermos duas variáveis ​​desconhecidas, precisaremos de pelo menos duas equações para resolver a variável. Em geral, se tivermos n variáveis ​​desconhecidas, precisaremos de pelo menos n equações para resolver a variável.

O exemplo a seguir mostra as etapas para resolver um sistema de equações usando o método de substituição. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções.

No Método de Substituição, isolamos uma das variáveis ​​em uma das equações e substituímos os resultados na outra equação. Normalmente tentamos escolher a equação em que o coeficiente de uma variável é 1 e isolar essa variável. Isso evita lidar com frações sempre que possível. Se nenhuma das variáveis ​​tiver um coeficiente de 1, você pode considerar o Método de adição ou o Método de eliminação.

Passos para resolver Sistemas de Equações por Substituição:
1. Isole uma variável em uma das equações. (Ou y = ou x =).
2. Substitua a variável isolada na outra equação.
3. Isso resultará em uma equação com uma variável. Resolva a equação.
4. Substitua a solução da etapa 3 em outra equação para resolver para a outra variável.
5. Recomendado: Verifique a solução.

3x + 2y = 2 (equação 1)
y + 8 = 3x (equação 2)

Etapa 1: tente escolher a equação em que o coeficiente de uma variável é 1.

Escolha a equação 2 e isole a variável y
y = 3x - 8 (equação 3)

Etapa 2: da equação 3, sabemos que y é igual a 3x - 8

Podemos então substituir a variável y na equação 1 por 3x - 8
3x + 2 (3x - 8) = 2

Etapa 6: Substitua x = 2 em

equação 3 para obter o valor de y

Etapa 7: verifique sua resposta com a equação 1

Resolvendo Sistemas Lineares de Equações Usando Substituição
Inclua uma explicação dos gráficos - uma solução, nenhuma solução, soluções infinitas
Exemplos:
2x + 4y = 4
y = x - 2

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5.5: Substituição - Matemática

Orientados pelo discurso do aluno, os currículos IM Certified ™ são programas centrais ricos e envolventes, construídos em torno de foco, coerência e rigor. Os currículos são materiais confiáveis ​​e de autoria especializada, desenvolvidos para equipar todos os alunos a terem sucesso na matemática.

Sobre o currículo

Estimule a discussão, perseverança e gosto pela matemática.

IM K – 5 Math é um currículo básico baseado em problemas, enraizado em padrões de conteúdo e prática para promover o aprendizado e as realizações para todos. Os alunos aprendem fazendo matemática, resolvendo problemas, desenvolvendo compreensão conceitual e discutindo e defendendo seu raciocínio. Os professores ganham confiança com aulas e guias curriculares que os ajudam a facilitar o aprendizado e ajudam os alunos a fazer conexões entre conceitos e procedimentos.

Projeto de aula intencional que promove o crescimento matemático.

Cada atividade e lição em IM K – 5 Math conta uma história matemática coerente entre as unidades e níveis de escolaridade com base nos padrões e nas trajetórias de aprendizagem baseadas em pesquisas. Isso permite que os alunos tenham a oportunidade de ver a matemática como um conjunto conectado de ideias e oferece-lhes acesso à matemática quando desenvolvida na estrutura de design abrangente do currículo.

Concentre-se no desenvolvimento de comunidades de aprendizagem.

A primeira unidade de cada série fornece estruturas de aula que estabelecem uma comunidade matemática e convidam os alunos para a matemática com conteúdo acessível. Cada lição oferece oportunidades para que o professor e os alunos aprendam mais uns sobre os outros, desenvolvam a linguagem matemática e se familiarizem cada vez mais com as rotinas do currículo. The use of authentic contexts and adaptations provides students opportunities to bring their own experiences to the lesson activities and see themselves in the materials and mathematics.


Substitution Property

In the previous section we explored how to take a basic algebraic problem and turn it into a proof, using the common algebraic properties you know as the "reasons" in the proof. In this section, I'll show you a couple examples that use those properties, plus the concept of substitution. Technically, "substitution" is considered to be a método rather than a propriedade, but most textbooks will refer to the "substitution property," and we will do the same here. This idea is very similar to the "Transitive Property," which we will look at in a later section.

The substitution property says that if x = y, then in any true equation involving y, you can replace y with x, and you will still have a true equation. How can we use that in a proof? Here's an example:

Prove: if x + y = 3 and y = 13, then x = -10.

Since this is a proof problem, we're going to set up a two column format with Statements and Reasons. In this problem, how many pieces of information were given to us? Two, right? We were told that x + y = 3, and we were told that y = 13. Great! That makes the first two lines of our proof easy!

Hopefully at this point, you know what to do next we can substitute 13 in place of y in the first equation. And the reason that we can do this is substitution. So we'll do this:

Now so far in doing these algebraic proofs, every step has depended on the previous step. But in this case, our step number 3 depended on both steps 2 and 1, right? We used the Substitution property to combine those two equations into something new. Therefore, we can't somente state "Substitution Property" - we also have to specify that we were using two previous steps:

At this point, we've already simplified this to something very straightforward, so we'll finish the proof now.

Let's try another! Here's a problem.

Prove: If x + y = 10, and x + 2y = 20, then x = 0.

Here is a proof, in its entirety. Can you follow the reasoning? Note that this is not the way to do the proof there are multiple possibilities, and this is certainly not the shortest way to do it, so you might want to try different ways to see if you can find a process that uses less than 12 steps!


Unlimited Questions

Once you have created an assignment, you can regenerate all of its questions with a single click. The new questions will conform to the same parameters as the original questions, but they will be completely new. This feature is at the heart of our software and is what makes it so powerful: you choose the properties of the questions, not the questions themselves. When a question is replaced, you get a new one that is similar to the original question. How it works. You can regenerate entire assignments, particular question groups, or individual questions.

Easy Spacing

Respace the entire assignment to the desired length with one click. Easily give your students enough room to show their work by increasing the spacing. Or you can save paper by decreasing the spacing.

Spacing can also be controlled manually.

Presentation Mode

Very useful as a teaching aid when used in combination with an LCD projector or other display system. One to four questions at a time are shown on the screen.

Use this feature while you teach. Prepare your examples with the software, and then use a projector to display the questions on the board. This saves time during planning and during the lesson, and it makes it very easy to present long questions or questions with graphs and diagrams. With one question displayed, you can:

  • Change the zoom level -- so students in the back can read it
  • Draw lines beside the question to help you organize your work if you solve the question
  • Jump to another question -- useful while reviewing homework
  • Reveal the answer
  • Show / hide the question number and the directions.

Multiple-Version Printing

Print multiple versions of an assignment. You control how each new version is created: scramble the choices, scramble the questions, or make completely new questions. You can also save each new version after it is created.

Scale Assignment

Proportionally increase or decrease the number of questions in the assignment. This is very useful when planning a lesson. You can create a few questions to use as examples, and then scale up the number of question to create a homework assignment. The questions on the homework will be completely new, yet follow precisely from the lesson--and you don't need to design the questions again.

Export Questions

Export questions as bitmap images and paste them into your favorite word processing software. Questions created with our products can be added to existing assignments you have created with other programs. Or you can freshen old assignments by replacing old questions with new ones.

All questions are available for export.

Good Multiple-Choice Questions

Every question you create can be toggled between free-response and multiple-choice format. Multiple-choice questions come with smart, potentially misleading choices. Some are based on common mistakes students make while others are just random but near the correct answer.

You control the number of choices each question has, from two to five.

Merge Assignments

Merge two or more assignments into one. Easily create quizzes, tests, and reviews by merging the assignments from the unit and then scaling the total to an appropriate length. The questions will be new while following exactly from what you taught.

Diagrams Drawn to Scale

Diagrams are all accurately drawn, except if the answer would be given away. If an angle is labeled as 30°, then it really is 30°. If a triangle's sides are labeled 3, 4, and 5, then its lengths truly are in a 3:4:5 ratio. Seeing accurate diagrams helps students gain an intuitive understanding of angles and measurements.

Answer Format

When you print an assignment, you choose how the answers are reported:

  • On an answer sheet
  • On an answer sheet with just the odds
  • In context (next to or within the question)
  • No answer sheet

Graphing and Graph Paper Utility

Supplement your lessons with high-quality graphs and graph paper of any size. Each graph can have zero to two functions graphed on it. Graphs can be of any logical and physical size. You can also tile graphs across the page to maximize your paper use.

Custom Directions and Custom Questions

Enter your own directions to create new types of problems. Shown on the left was a standard order of operations question that has been modified to be more analytical. You can alter the directions on any question type.

From time to time, you will need to enter your own question. That's what custom questions are for. They can be either free response or multiple-choice and can contain math formatted text (equations, expressions, etc).

Modify Automatically-Generated Questions

Most automatically-generated questions can be modified manually. If there is a choice you don't like, you can change it. If you wish a question was slightly different, you can change it.

Paper Size and Margins

Print assignments on any sized paper that your printer supports. If you decide to print an assignment on legal-sized paper, no problem. The questions will automatically be repositioned for you--no cutting and pasting the assignment back together just to use a different paper size. You also have control over the margins, page numbering, and paper orientation.


The substitution method is one among the algebraic methods that help you to solve the simultaneous equations. As the word substitution says that, the value of one variable from one equation is substituted in the other equation. So, a pair of linear equations gets transformed into one linear equation in one variable. Later, solve the obtained equation to get the solution.

Substitution Method for Solving System of Linear Equations

For instance, the simultaneous equations with two variables can be solved using the below mentioned detailed steps. Follow them and find the solution of a system of linear equations easily.

  • Simplify the given equations by expanding the paranthesis.
  • Find the value of one variable in terms of the second variable from any of the given equations.
  • Substitute this variable value in other equations.
  • Solve the equation and get the value of one of the variables.
  • Substitute that value in any one of the equations to find the value of another variable.

General Solution using the Substitution Method

Let us take two linear equations

Substitute the obtained value of y in equation (ii), we get

On simplifying this equation,

Putting the value of x in equation (i)

Therefore, solution set is x = (bf – ec) / (bd – ae), y = [bc(bd – ae) – (abf – ace)] / b.

Substitution Method Examples with Answers

Solve the equations 3x + 2y = 7, 5x – 3y = 37 by substitution method?

Given simultaneous equations are

From equation (i) 3x + 2y = 7, express y in terms of x

From equation (i) 3x + 2y = 7, we get

Substitute the obtained value of y in equation (ii),

By putting y = (7 – 3x) / 2 in equation (ii) 5x – 3y = 37, we get

Putting the value of x in equation (ii),

Subsutitute x = 5 in 5x – 3y = 37

Therefore, x= 5 and y = -4 is the solution for the system of linear equations 3x + 2y = 7, 5x – 3y = 37.

Solve the simultaneous equations 3x + y = 9, 5x + 4y = 22 using the substitution method?

Given system of linear equations are,

Substituting y = 9 – 3x in equation (ii), we get

Putting x = 2 in equation (i), we get

Therefore, x = 2, y = 3 is the solution for the linear equations 3x + y = 9, 5x + 4y = 22.

Solve the system of linear equations x – 2y = 8, x + y = 5 by the method of substitution?

Given simultaneous linear equations are

Substitute x = 8 + 2y in equation (ii)

Putting y = -1 in equation (i) we get

Therefore, x = 6, y = -1 is the solution for the linear equations x – 2y = 8, x + y = 5.

Solve the pair of equations 2x + 3y = 9, x = 3 + y using the substitution method?

Given system of linear equations are

Substitute x = 3 + y in the equation (i)

Therefore, x = 18/5, y = 3/5 is the solution for the equations 2x + 3y = 9, x = 3 + y.

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Meta Description: Use the Substitution Method for Solving the Simultaneous Linear Equations easily. Get Substitution Method Steps explained in detail with Example Problems.


Assista o vídeo: Wyznacz kąt α, α ϵ 0, 90, wiedząc, że: (Novembro 2021).