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5.E: Funções trigonométricas (exercícios) - Matemática


5.1: Ângulos

Nesta seção, examinaremos as propriedades dos ângulos.

Verbal

1) Desenhe um ângulo na posição padrão. Identifique o vértice, o lado inicial e o lado terminal.

Responder

2) Explique por que existe um número infinito de ângulos que são coterminais a um determinado ângulo.

3) Indique o que significa um ângulo positivo ou negativo e explique como desenhar cada um.

Responder

Se o ângulo é positivo ou negativo determina a direção. Um ângulo positivo é desenhado no sentido anti-horário e um ângulo negativo é desenhado no sentido horário.

4) Como a medida em radianos de um ângulo se compara à medida em graus? Inclua uma explicação de (1 ) radiano em seu parágrafo.

5) Explique as diferenças entre a velocidade linear e a velocidade angular ao descrever o movimento ao longo de um caminho circular.

Responder

A velocidade linear é uma medida encontrada pelo cálculo da distância de um arco em relação ao tempo. A velocidade angular é uma medida encontrada pelo cálculo do ângulo de um arco em relação ao tempo.

Gráfico

Para os exercícios 6-21, desenhe um ângulo na posição padrão com a medida dada.

6) (30 ^ { circ} )

7) (300 ^ { circ} )

Responder

8) (- 80 ^ { circ} )

9) (135 ^ { circ} )

Responder

10) (- 150 ^ { circ} )

11) ( dfrac {2π} {3} )

Responder

12) ( dfrac {7π} {4} )

13) ( dfrac {5π} {6} )

Responder

14) ( dfrac {π} {2} )

15) (- dfrac {π} {10} )

Responder

16) (415 ^ { circ} )

17) (- 120 ^ { circ} )

Responder

(240 ^ { circ} )

18) (- 315 ^ { circ} )

19) ( dfrac {22π} {3} )

Responder

( dfrac {4π} {3} )

20) (- dfrac {π} {6} )

21) (- dfrac {4π} {3} )

Responder

( dfrac {2π} {3} )

Para os exercícios 22-23, consulte a Figura abaixo. Arredonde para duas casas decimais.

22) Encontre o comprimento do arco.

23) Encontre a área do setor.

Responder

( dfrac {27π} {2} ≈11,00 text {in} ^ 2 )

Para os exercícios 24-25, consulte a Figura abaixo. Arredonde para duas casas decimais.

24) Encontre o comprimento do arco.

25) Encontre a área do setor.

Responder

( dfrac {81π} {20} ≈12,72 text {cm} ^ 2 )

Algébrico

Para os exercícios 26-32, converta ângulos em radianos em graus.

26) ( dfrac {3π} {4} ) radianos

27) ( dfrac {π} {9} ) radianos

Responder

(20 ^ { circ} )

28) (- dfrac {5π} {4} ) radianos

29) ( dfrac {π} {3} ) radianos

Responder

(60 ^ { circ} )

30) (- dfrac {7π} {3} ) radianos

31) (- dfrac {5π} {12} ) radianos

Responder

(- 75 ^ { circ} )

32) ( dfrac {11π} {6} ) radianos

Para os exercícios 33-39, converta ângulos em graus em radianos.

33) (90 ^ { circ} )

Responder

( dfrac {π} {2} ) radianos

34) (100 ^ { circ} )

35) (- 540 ^ { circ} )

Responder

(- 3π ) radianos

36) (- 120 ^ { circ} )

37) (180 ^ { circ} )

Responder

(π ) radianos

38) (- 315 ^ { circ} )

39) (150 ^ { circ} )

Responder

( dfrac {5π} {6} ) radianos

Para os exercícios 40-45, use as informações fornecidas para encontrar o comprimento de um arco circular. Arredonde para duas casas decimais.

40) Encontre o comprimento do arco de um círculo de raio (12 ) polegadas subtendido por um ângulo central de ( dfrac {π} {4} ) radianos.

41) Encontre o comprimento do arco de um círculo de raio (5,02 ) milhas subtendido pelo ângulo central de ( dfrac {π} {3} ).

Responder

( dfrac {5,02π} {3} ≈5,26 ) milhas

42) Encontre o comprimento do arco de um círculo de diâmetro (14 ) metros subtendido pelo ângulo central de ( dfrac {5 pi} {6} ).

43) Encontre o comprimento do arco de um círculo de raio (10 ​​) centímetros subtendido pelo ângulo central de (50 ^ { circ} ).

Responder

( dfrac {25π} {9} ≈8,73 ) centímetros

44) Encontre o comprimento do arco de um círculo de raio (5 ) polegadas subtendido pelo ângulo central de (220 ^ {circ} ).

45) Encontre o comprimento do arco de um círculo de diâmetro (12 ) metros subtendido pelo ângulo central é (63 ^ {circ} ).

Responder

( dfrac {21π} {10} ≈6,60 ) metros

Para os exercícios 46-49, use as informações fornecidas para encontrar a área do setor. Arredonde para quatro casas decimais.

46) Um setor de um círculo tem um ângulo central de (45 ^ { circ} ) e um raio de (6 ) cm.

47) Um setor de um círculo tem um ângulo central de (30 ^ { circ} ) e um raio de (20 ) cm.

Responder

(104,7198 ; cm ^ 2 )

48) Um setor de um círculo com diâmetro de (10 ​​) pés e um ângulo de ( dfrac {π} {2} ) radianos.

49) Um setor de um círculo com raio de (0,7 ) polegadas e um ângulo de (π ) radianos.

Responder

(0,7697 ; em ^ 2 )

Para os exercícios 50-53, encontre o ângulo entre (0 ^ { circ} ) e (360 ^ { circ} ) que é coterminal ao ângulo dado.

50) (- 40 ^ { circ} )

51) (- 110 ^ { circ} )

Responder

(250 ^ { circ} )

52) (700 ^ { circ} )

53) (1400 ^ { circ} )

Responder

(320 ^ { circ} )

Para os exercícios 54-57, encontre o ângulo entre (0 ) e (2 pi ) em radianos que é coterminal ao ângulo dado.

54) (- dfrac {π} {9} )

55) ( dfrac {10π} {3} )

Responder

( dfrac {4π} {3} )

56) ( dfrac {13π} {6} )

57) ( dfrac {44π} {9} )

Responder

( dfrac {8π} {9} )

Aplicativos do mundo real

58) Um caminhão com rodas de (32 ) polegadas de diâmetro está viajando a (60 ) mi / h. Encontre a velocidade angular das rodas em rad / min. Quantas revoluções por minuto as rodas fazem?

59) Uma bicicleta com rodas de (24 ) polegadas de diâmetro está viajando a (15 ) mi / h. Quantas revoluções por minuto as rodas fazem?

Responder

(1320 ) rad (210,085 ) RPM

60) Uma roda de raio (8 ) polegadas está girando (15 ^ { circ} / s ). Qual é a velocidade linear (v ), a velocidade angular em RPM e a velocidade angular em rad / s?

61) Uma roda de raio (14 ) polegadas está girando (0,5 text {rad / s} ). Qual é a velocidade linear (v ), a velocidade angular em RPM e a velocidade angular em graus / s?

Responder

(7 ) pol./s, (4,77 ) RPM, (28,65 ) graus / s

62) Um CD tem diâmetro de (120 ) milímetros. Ao reproduzir o áudio, a velocidade angular varia para manter a velocidade linear constante onde o disco está sendo lido. Ao ler ao longo da borda externa do disco, a velocidade angular é de cerca de (200 ) RPM (revoluções por minuto). Encontre a velocidade linear.

63) Ao ser gravado em uma unidade de CD-R gravável, a velocidade angular de um CD é frequentemente muito mais rápida do que durante a reprodução de áudio, mas a velocidade angular ainda varia para manter a velocidade linear constante onde o disco está sendo gravado. Ao escrever ao longo da borda externa do disco, a velocidade angular de uma unidade é de cerca de (4800 ) RPM (revoluções por minuto). Encontre a velocidade linear se o CD tiver diâmetro de (120 ) milímetros.

Responder

(1.809.557,37 text {mm / min} = 30,16 text {m / s} )

64) Uma pessoa está de pé no equador da Terra (raio (3960 ) milhas). Quais são suas velocidades lineares e angulares?

65) Encontre a distância ao longo de um arco na superfície da Terra que subtende um ângulo central de (5 ) minutos ((1 texto {minuto} = dfrac {1} {60} texto {grau}) ) O raio da Terra é de (3960 ) milhas.

Responder

(5,76 ) milhas

66) Encontre a distância ao longo de um arco na superfície da Terra que subtende um ângulo central de (7 ) minutos ((1 texto {minuto} = dfrac {1} {60} texto {grau}) ) O raio da Terra é de (3960 ) milhas.

67) Considere um relógio com ponteiro das horas e ponteiro dos minutos. Qual é a medida do ângulo que o ponteiro dos minutos traça em (20 ) minutos?

Responder

(120°)

Extensões

68) Duas cidades têm a mesma longitude. A latitude da cidade A é (9,00 ) graus norte e a latitude da cidade B é (30,00 ) graus norte. Suponha que o raio da Terra seja de (3960 ) milhas. Encontre a distância entre as duas cidades.

69) Uma cidade está localizada a (40 ) graus de latitude norte. Suponha que o raio da Terra seja de (3960 ) milhas e que a Terra gire uma vez a cada (24 ) horas. Encontre a velocidade linear de uma pessoa que reside nesta cidade.

Responder

(794 ) milhas por hora

70) Uma cidade está localizada a (75 ) graus de latitude norte. Encontre a velocidade linear de uma pessoa que reside nesta cidade.

71) Encontre a velocidade linear da lua se a distância média entre a terra e a lua for (239.000 ) milhas, assumindo que a órbita da lua é circular e requer cerca de (28 ) dias. Resposta expressa em milhas por hora.

Responder

(2.234 ) milhas por hora

72) Uma bicicleta tem rodas de (28 ) polegadas de diâmetro. Um tacômetro determina que as rodas estão girando a (180 ) RPM (rotações por minuto). Encontre a velocidade com que a bicicleta está viajando na estrada.

73) Um carro viaja (3 ) milhas. Seus pneus fazem (2640 ) rotações. Qual é o raio de um pneu em polegadas?

Responder

(11,5 ) polegadas

74) Uma roda em um trator tem um diâmetro de (24 ) polegadas. Quantas revoluções a roda faz se o trator viajar (4 ) milhas?

5.2: Círculo de Unidade - Funções Seno e Cosseno

Verbal

1) Descreva o círculo unitário.

Responder

O círculo unitário é um círculo de raio (1 ) centrado na origem.

2) O que as coordenadas (x ) - e (y ) - dos pontos no círculo unitário representam?

3) Discuta a diferença entre um ângulo coterminal e um ângulo de referência.

Responder

Os ângulos cooterminais são ângulos que compartilham o mesmo lado terminal. Um ângulo de referência é o tamanho do menor ângulo agudo, (t ), formado pelo lado terminal do ângulo (t ) e o eixo horizontal.

4) Explique como o cosseno de um ângulo no segundo quadrante difere do cosseno de seu ângulo de referência no círculo unitário.

5) Explique como o seno de um ângulo no segundo quadrante difere do seno de seu ângulo de referência no círculo unitário.

Responder

Os valores do seno são iguais.

Algébrico

Para os exercícios 6-9, use o sinal dado das funções seno e cosseno para encontrar o quadrante no qual está o ponto terminal determinado por (t ).

6) ( sin (t) <0 ) e ( cos (t) <0 )

7) ( sin (t)> 0 ) e ( cos (t)> 0 )

Responder

( textrm {I} )

8) ( sin (t)> 0 ) e ( cos (t) <0 )

9) ( sin (t) <0 ) e ( cos (t)> 0 )

Responder

( textrm {IV} )

Para os exercícios 10-22, encontre o valor exato de cada função trigonométrica.

10) ( sin dfrac {π} {2} )

11) ( sin dfrac {π} {3} )

Responder

( dfrac { sqrt {3}} {2} )

12) ( cos dfrac {π} {2} )

13) ( cos dfrac {π} {3} )

Responder

( dfrac {1} {2} )

14) ( sin dfrac {π} {4} )

15) ( cos dfrac {π} {4} )

Responder

( dfrac { sqrt {2}} {2} )

16) ( sin dfrac {π} {6} )

17) ( sin π )

Responder

(0)

18) ( sin dfrac {3π} {2} )

19) ( cos π )

Responder

(−1)

20) ( cos 0 )

21) (cos dfrac {π} {6} )

Responder

( dfrac { sqrt {3}} {2} )

22) ( sin 0 )

Numérico

Para os exercícios 23-33, defina o ângulo de referência para o ângulo dado.

23) (240°)

Responder

(60°)

24) (−170°)

25) (100°)

Responder

(80°)

26) (−315°)

27) (135°)

Responder

(45°)

28) ( dfrac {5π} {4} )

29) ( dfrac {2π} {3} )

Responder

( dfrac {π} {3} )

30) ( dfrac {5π} {6} )

31) (- dfrac {11π} {3} )

Responder

( dfrac {π} {3} )

32) ( dfrac {−7π} {4} )

33) ( dfrac {−π} {8} )

Responder

( dfrac {π} {8} )

Para os exercícios 34-49, encontre o ângulo de referência, o quadrante do lado terminal e o seno e cosseno de cada ângulo. Se o ângulo não for um dos ângulos do círculo unitário, use uma calculadora e arredonde para três casas decimais.

34) (225°)

35) (300°)

Responder

(60 ° ), Quadrante IV, ( sin (300 °) = - dfrac { sqrt {3}} {2}, cos (300 °) = dfrac {1} {2} )

36) (320°)

37) (135°)

Responder

(45 ° ), Quadrante II, ( sin (135 °) = dfrac { sqrt {2}} {2}, cos (135 °) = - dfrac { sqrt {2}} { 2} )

38) (210°)

39) (120°)

Responder

(60 ° ), Quadrante II, ( sin (120 °) = dfrac { sqrt {3}} {2} ), ( cos (120 °) = - dfrac {1} { 2} )

40) (250°)

41) (150°)

Responder

(30 ° ), Quadrante II, ( sin (150 °) = frac {1} {2} ), ( cos (150 °) = - dfrac { sqrt {3}} { 2} )

42) ( dfrac {5π} {4} )

43) ( dfrac {7π} {6} )

Responder

( dfrac {π} {6} ), Quadrante III, ( sin left ( dfrac {7π} {6} right) = - dfrac {1} {2} ), ( cos left ( dfrac {7π} {6} right) = - dfrac { sqrt {3}} {2} )

44) ( dfrac {5π} {3} )

45) ( dfrac {3π} {4} )

Responder

( dfrac {π} {4} ), Quadrante II, ( sin left ( dfrac {3π} {4} right) = dfrac { sqrt {2}} {2} ), ( cos left ( dfrac {4π} {3} right) = - dfrac { sqrt {2}} {2} )

46) ( dfrac {4π} {3} )

47) ( dfrac {2π} {3} )

Responder

( dfrac {π} {3} ), Quadrante II, ( sin left ( dfrac {2π} {3} right) = dfrac { sqrt {3}} {2} ), ( cos left ( dfrac {2π} {3} right) = - dfrac {1} {2} )

48) ( dfrac {5π} {6} )

49) ( dfrac {7π} {4} )

Responder

( dfrac {π} {4} ), Quadrante IV, ( sin left ( dfrac {7π} {4} right) = - dfrac { sqrt {2}} {2} ) , ( cos left ( dfrac {7π} {4} right) = dfrac { sqrt {2}} {2} )

Para os exercícios 50-59, encontre o valor solicitado.

50) Se ( cos (t) = dfrac {1} {7} ) e (t ) estiver no quadrante (4 ^ {th} ), encontre ( sin (t) )

51) Se ( cos (t) = dfrac {2} {9} ) e (t ) estiver no quadrante (1 ^ {st} ), encontre ( sin (t) )

Responder

( dfrac { sqrt {77}} {9} )

52) Se ( sin (t) = dfrac {3} {8} ) e (t ) estiver no quadrante (2 ^ {nd} ), encontre ( cos (t) )

53) Se ( sin (t) = - dfrac {1} {4} ) e (t ) estiver no quadrante (3 ^ {rd} ), encontre ( cos (t) ).

Responder

(- dfrac { sqrt {15}} {4} )

54) Encontre as coordenadas do ponto em um círculo com raio (15 ) correspondendo a um ângulo de (220 ° ).

55) Encontre as coordenadas do ponto em um círculo com raio (20 ) correspondendo a um ângulo de (120 ° ).

Responder

((- 10,10 sqrt {3}) )

56) Encontre as coordenadas do ponto em um círculo com raio (8 ) correspondendo a um ângulo de ( dfrac {7π} {4} ).

57) Encontre as coordenadas do ponto em um círculo com raio (16 ) correspondendo a um ângulo de ( dfrac {5π} {9} ).

Responder

((–2.778,15.757))

58) Indique o domínio das funções seno e cosseno.

59) Indique o intervalo das funções seno e cosseno.

Responder

([–1,1])

Gráfico

Para os exercícios 60-79, use o ponto dado no círculo unitário para encontrar o valor do seno e cosseno de (t ).

60)

61)

Responder

( sin t = dfrac {1} {2}, cos t = - dfrac { sqrt {3}} {2} )

62)

63)

Responder

( sin t = - dfrac { sqrt {2}} {2}, cos t = - dfrac { sqrt {2}} {2} )

64)

65)

Responder

( sin t = dfrac { sqrt {3}} {2}, cos t = - dfrac {1} {2} )

66)

67)

Responder

( sin t = - dfrac { sqrt {2}} {2}, cos t = dfrac { sqrt {2}} {2} )

68)

69)

Responder

( sin t = 0, cos t = −1 )

70)

71)

Responder

( sin t = −0,596, cos t = 0,803 )

72)

73)

Responder

( sin t = dfrac {1} {2}, cos t = dfrac { sqrt {3}} {2} )

74)

75)

Responder

( sin t = - dfrac {1} {2}, cos t = dfrac { sqrt {3}} {2} )

76)

77)

Responder

( sin t = 0,761, cos t = −0,649 )

78)

79)

Responder

( sin t = 1, cos t = 0 )

Tecnologia

Para os exercícios 80-89, use uma calculadora gráfica para avaliar.

80) ( sin dfrac {5π} {9} )

81) (cos dfrac {5π} {9} )

Responder

(−0.1736)

82) ( sin dfrac {π} {10} )

83) ( cos dfrac {π} {10} )

Responder

(0.9511)

84) ( sin dfrac {3π} {4} )

85) ( cos dfrac {3π} {4} )

Responder

(−0.7071)

86) ( sin 98 ° )

87) ( cos 98 ° )

Responder

(−0.1392)

88) ( cos 310 ° )

89) ( sin 310 ° )

Responder

(−0.7660)

Extensões

Para os exercícios 90-99, avalie.

90) ( sin left ( dfrac {11π} {3} right) cos left ( dfrac {−5π} {6} right) )

91) ( sin left ( dfrac {3π} {4} right) cos left ( dfrac {5π} {3} right) )

Responder

( dfrac { sqrt {2}} {4} )

92) ( sin left (- dfrac {4π} {3} right) cos left ( dfrac {π} {2} right) )

93) ( sin left ( dfrac {−9π} {4} right) cos left ( dfrac {−π} {6} right) )

Responder

(- dfrac { sqrt {6}} {4} )

94) ( sin left ( dfrac {π} {6} right) cos left ( dfrac {−π} {3} right) )

95) ( sin left ( dfrac {7π} {4} right) cos left ( dfrac {−2π} {3} right) )

Responder

( dfrac { sqrt {2}} {4} )

96) ( cos left ( dfrac {5π} {6} right) cos left ( dfrac {2π} {3} right) )

97) ( cos left ( dfrac {−π} {3} right) cos left ( dfrac {π} {4} right) )

Responder

( dfrac { sqrt {2}} {4} )

98) ( sin left ( dfrac {−5π} {4} right) sin left ( dfrac {11π} {6} right) )

99) ( sin (π) sin left ( dfrac {π} {6} right) )

Responder

(0)

Aplicativos do mundo real

Para os exercícios 100-104, use este cenário: Uma criança entra em um carrossel que leva um minuto para girar uma vez. A criança entra no ponto ((0,1) ), ou seja, na devida posição norte. Suponha que o carrossel gire no sentido anti-horário.

100) Quais são as coordenadas da criança após (45 ) segundos?

101) Quais são as coordenadas da criança após (90 ) segundos?

Responder

((0,–1))

102) Quais são as coordenadas da criança após (125 ) segundos?

103) Quando a criança terá coordenadas ((0,707, –0,707) ) se a viagem durar (6 ) minutos? (Existem várias respostas.)

Responder

(37,5 ) segundos, (97,5 ) segundos, (157,5 ) segundos, (217,5 ) segundos, (277,5 ) segundos, (337,5 ) segundos

104) Quando a criança terá coordenadas ((- 0,866, −0,5) ) se a viagem durar (6 ) minutos?

5.3: As Outras Funções Trigonométricas

Verbal

1) Em um intervalo de ([0,2π) ), os valores de seno e cosseno de uma medida em radianos podem ser iguais? Se sim, onde?

Responder

Sim, quando o ângulo de referência é ( dfrac {π} {4} ) e o lado terminal do ângulo está nos quadrantes I e III. Assim, em (x = dfrac {π} {4}, dfrac {5π} {4} ), os valores de seno e cosseno são iguais.

2) Qual seria a estimativa do cosseno de ( pi ) graus? Explique seu raciocínio.

3) Para qualquer ângulo no quadrante II, se você conhecesse o seno do ângulo, como poderia determinar o cosseno do ângulo?

Responder

Substitua o seno do ângulo por (y ) no Teorema de Pitágoras (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ). Resolva para (x ) e tome a solução negativa.

4) Descreva a função secante.

5) Tangente e cotangente têm um período de (π ). O que isso nos diz sobre a saída dessas funções?

Responder

As saídas de tangente e cotangente se repetirão a cada (π ) unidades.

Algébrico

Para os exercícios 6-17, encontre o valor exato de cada expressão.

6) ( tan dfrac {π} {6} )

7) ( sec dfrac {π} {6} )

Responder

( dfrac {2 sqrt {3}} {3} )

8) ( csc dfrac {π} {6} )

9) ( cot dfrac {π} {6} )

Responder

( sqrt {3} )

10) ( tan dfrac {π} {4} )

11) ( sec dfrac {π} {4} )

Responder

( sqrt {2} )

12) ( csc dfrac {π} {4} )

13) ( cot dfrac {π} {4} )

Responder

(1)

14) ( tan dfrac {π} {3} )

15) ( sec dfrac {π} {3} )

Responder

(2)

16) ( csc dfrac {π} {3} )

17) ( cot dfrac {π} {3} )

Responder

( dfrac { sqrt {3}} {3} )

Para os exercícios 18-48, use ângulos de referência para avaliar a expressão.

18) ( tan dfrac {5π} {6} )

19) ( sec dfrac {7π} {6} )

Responder

(- dfrac {2 sqrt {3}} {3} )

20) ( csc dfrac {11π} {6} )

21) ( cot dfrac {13π} {6} )

Responder

( sqrt {3} )

22) ( tan dfrac {7π} {4} )

23) ( sec dfrac {3π} {4} )

Responder

(- sqrt {2} )

24) ( csc dfrac {5π} {4} )

25) ( cot dfrac {11π} {4} )

Responder

(−1)

26) ( tan dfrac {8π} {3} )

27) ( sec dfrac {4π} {3} )

Responder

(−2)

28) ( csc dfrac {2π} {3} )

29) ( cot dfrac {5π} {3} )

Responder

(- dfrac { sqrt {3}} {3} )

30) ( tan 225 ° )

31) ( seg 300 ° )

Responder

(2)

32) ( csc 150 ° )

33) ( cot 240 ° )

Responder

( dfrac { sqrt {3}} {3} )

34) ( tan 330 ° )

35) ( seg 120 ° )

Responder

(−2)

36) ( csc 210 ° )

37) ( cot 315 ° )

Responder

(−1)

38) Se ( sin t = dfrac {3} {4} ), e (t ) estiver no quadrante II, encontre ( cos t, sec t, csc t, tan t, cot t ).

39) Se ( cos t = - dfrac {1} {3}, ) e (t ) estiver no quadrante III, encontre ( sin t, sec t, csc t, tan t , cot t ).

Responder

Se ( sin t = - dfrac {2 sqrt {2}} {3}, sec t = −3, csc t = - csc t = - dfrac {3 sqrt {2}} { 4}, tan t = 2 sqrt {2}, cot t = dfrac { sqrt {2}} {4} )

40) Se ( tan t = dfrac {12} {5}, ) e (0≤t < dfrac {π} {2} ), encontre ( sin t, cos t, sec t, csc t, ) e ( cot t ).

41) Se ( sin t = dfrac { sqrt {3}} {2} ) e ( cos t = dfrac {1} {2}, ) encontre ( sec t, csc t, tan t, ) e ( cot t ).

Responder

( sec t = 2, csc t = csc t = dfrac {2 sqrt {3}} {3}, tan t = sqrt {3}, cot t = dfrac { sqrt { 3}} {3} )

42) If ( sin 40 ° ≈0,643 ; cos 40 ° ≈0,766 ; sec 40 °, csc 40 °, tan 40 °, text {e} cot 40 ° ).

43) Se ( sin t = dfrac { sqrt {2}} {2}, ) qual é o ( sin (−t) )?

Responder

(- dfrac { sqrt {2}} {2} )

44) Se ( cos t = dfrac {1} {2}, ) qual é o ( cos (−t) )?

45) Se ( sec t = 3.1, ) qual é o ( sec (−t) )?

Responder

(3.1)

46) Se ( csc t = 0,34, ) qual é o ( csc (−t) )?

47) Se ( tan t = −1,4, ) qual é o ( tan (−t) )?

Responder

(1.4)

48) Se ( cot t = 9,23, ) qual é o ( cot (−t) )?

Gráfico

Para os exercícios 49-51, use o ângulo no círculo unitário para encontrar o valor de cada uma das seis funções trigonométricas.

49)

Responder

( sin t = dfrac { sqrt {2}} {2}, cos t = dfrac { sqrt {2}} {2}, tan t = 1, cot t = 1, sec t = sqrt {2}, csc t = csc t = sqrt {2} )

50)

51)

Responder

( sin t = - dfrac { sqrt {3}} {2}, cos t = - dfrac {1} {2}, tan t = sqrt {3}, cot t = dfrac { sqrt {3}} {3}, sec t = −2, csc t = - csc t = - dfrac {2 sqrt {3}} {3} )

Tecnologia

Para os exercícios 52-61, use uma calculadora gráfica para avaliar.

52) ( csc dfrac {5π} {9} )

53) ( cot dfrac {4π} {7} )

Responder

(–0.228)

54) ( sec dfrac {π} {10} )

55) ( tan dfrac {5π} {8} )

Responder

(–2.414)

56) ( sec dfrac {3π} {4} )

57) ( csc dfrac {π} {4} )

Responder

(1.414)

58) ( tan 98 ° )

59) ( cot 33 ° )

Responder

(1.540)

60) ( cot 140 ° )

61) ( seg 310 ° )

Responder

(1.556)

Extensões

Para os exercícios 62-69, use identidades para avaliar a expressão.

62) Se ( tan (t) ≈2,7, ) e ( sin (t) ≈0,94, ) encontre ( cos (t) ).

63) Se ( tan (t) ≈1,3, ) e ( cos (t) ≈0,61 ), encontre ( sin (t) ).

Responder

( sin (t) ≈0,79 )

64) Se ( csc (t) ≈3,2, ) e ( csc (t) ≈3,2, ) e ( cos (t) ≈0,95, ) encontre ( tan (t) )

65) Se ( cot (t) ≈0,58, ) e ( cos (t) ≈0,5, ) encontre ( csc (t) ).

Responder

( csc (t) ≈1,16 )

66) Determine se a função (f (x) = 2 sin x cos x ) é par, ímpar ou nenhum.

67) Determine se a função (f (x) = 3 sin ^ 2 x cos x + sec x ) é par, ímpar ou nenhum.

Responder

até

68) Determine se a função (f (x) = sin x −2 cos ^ 2 x ) é par, ímpar ou nenhum.

69) Determine se a função (f (x) = csc ^ 2 x + sec x ) é par, ímpar ou nenhum.

Responder

até

Para os exercícios 70-71, use identidades para simplificar a expressão.

70) ( csc t tan t )

71) ( dfrac { sec t} { csc t} )

Responder

( dfrac { sin t} { cos t} = tan t )

Aplicativos do mundo real

72) A quantidade de luz solar em uma determinada cidade pode ser modelada pela função (h = 15 cos left ( dfrac {1} {600} d right), ) onde (h ) representa as horas da luz solar, e (d ) é o dia do ano. Use a equação para descobrir quantas horas de luz do sol existem em 10 de fevereiro, o (42 ^ {nd} ) dia do ano. Indique o período da função.

73) A quantidade de luz solar em uma determinada cidade pode ser modelada pela função (h = 16 cos left ( dfrac {1} {500} d right) ), onde (h ) representa as horas da luz solar, e (d ) é o dia do ano. Use a equação para descobrir quantas horas de luz solar existem em 24 de setembro, o (267 ^ {th} ) dia do ano. Indique o período da função.

Responder

(13,77 ) horas, período: (1000π )

74) A equação (P = 20 sin (2πt) +100 ) modela a pressão sanguínea, (P ), onde (t ) representa o tempo em segundos.

  1. Encontre a pressão arterial após (15 ) segundos.
  2. Quais são as pressões sanguíneas máxima e mínima?

75) A altura de um pistão, (h ), em polegadas, pode ser modelada pela equação (y = 2 cos x + 6, ) onde (x ) representa o ângulo da manivela. Encontre a altura do pistão quando o ângulo da manivela é (55 ° ).

Responder

(7,73 ) polegadas

76) A altura de um pistão, (h ), em polegadas, pode ser modelada pela equação (y = 2 cos x + 5, ) onde (x ) representa o ângulo da manivela. Encontre a altura do pistão quando o ângulo da manivela é (55 ° ).

5.4: Trigonometria do Triângulo Direito

Verbal

1) Para o triângulo retângulo fornecido, identifique o lado adjacente, o lado oposto e a hipotenusa para o ângulo indicado.

Responder

2) Quando um triângulo retângulo com uma hipotenusa de (1 ) é colocado no círculo unitário, quais lados do triângulo correspondem às coordenadas (x ) - e (y ) -?

3) A tangente de um ângulo compara quais lados do triângulo retângulo?

Responder

A tangente de um ângulo é a relação entre o lado oposto e o lado adjacente.

4) Qual é a relação entre os dois ângulos agudos em um triângulo retângulo?

5) Explique a identidade da cofunção.

Responder

Por exemplo, o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complemento; o cosseno de um ângulo é igual ao seno de seu complemento.

Algébrico

Para os exercícios 6-9, use co-funções de ângulos complementares.

6) ( cos (34 °) = sin ( _ _ °) )

7) ( cos ( dfrac {π} {3}) = sin ( _ _ _) )

Responder

( dfrac {π} {6} )

8) ( csc (21 °) = sec ( _ _ _ °) )

9) ( tan ( dfrac {π} {4}) = cot ( _ _) )

Responder

( dfrac {π} {4} )

Para os exercícios 10-16, encontre os comprimentos dos lados ausentes se o lado (a ) for o ângulo oposto (A ), o lado (b ) for o ângulo oposto (B ) e o lado (c ) é a hipotenusa.

10) ( cos B = dfrac {4} {5}, a = 10 )

11) ( sin B = dfrac {1} {2}, a = 20 )

Responder

(b = dfrac {20 sqrt {3}} {3}, c = dfrac {40 sqrt {3}} {3} )

12) ( tan A = dfrac {5} {12}, b = 6 )

13) ( tan A = 100, b = 100 )

Responder

(a = 10.000, c = 10.000,5 )

14) ( sin B = dfrac {1} { sqrt {3}}, a = 2 )

15) (a = 5, ∡ A = 60 ^ ∘ )

Responder

(b = dfrac {5 sqrt {3}} {3}, c = dfrac {10 sqrt {3}} {3} )

16) (c = 12, ∡ A = 45 ^ ∘ )

Gráfico

Para os exercícios 17-22, use a Figura abaixo para avaliar cada função trigonométrica do ângulo (A ).

17) ( sin A )

Responder

( dfrac {5 sqrt {29}} {29} )

18) ( cos A )

19) ( tan A )

Responder

( dfrac {5} {2} )

20) ( csc A )

21) ( sec A )

Responder

( dfrac { sqrt {29}} {2} )

22) ( cot A )

Para os exercícios 23-, 28 use a Figura abaixo para avaliar cada função trigonométrica do ângulo (A ).

23) ( sin A )

Responder

( dfrac {5 sqrt {41}} {41} )

24) ( cos A )

25) ( tan A )

Responder

( dfrac {5} {4} )

26) ( csc A )

27) ( sec A )

Responder

( dfrac { sqrt {41}} {4} )

28) ( cot A )

Para os exercícios 29-31, resolva os lados desconhecidos do triângulo fornecido.

29)

Responder

(c = 14, b = 7 sqrt {3} )

30)

31)

Responder

(a = 15, b = 15 )

Tecnologia

Para os exercícios 32-41, use uma calculadora para encontrar o comprimento de cada lado com quatro casas decimais.

32)

33)

Responder

(b = 9,9970, c = 12,2041 )

34)

35)

Responder

(a = 2,0838, b = 11,8177 )

36)

37) (b = 15, ∡B = 15 ^ ∘ )

Responder

(a = 55,9808, c = 57,9555 )

38) (c = 200, ∡B = 5 ^ ∘ )

39) (c = 50, ∡B = 21 ^ ∘ )

Responder

(a = 46,6790, b = 17,9184 )

40) (a = 30, ∡A = 27 ^ ∘ )

41) (b = 3,5, ∡A = 78 ^ ∘ )

Responder

(a = 16,4662, c = 16,8341 )

Extensões

42) Encontre (x ).

43) Encontre (x ).

Responder

(188.3159)

44) Encontre (x ).

45) Encontre (x ).

Responder

(200.6737)

46) Uma torre de rádio está localizada a 400 metros de um edifício. De uma janela do edifício, uma pessoa determina que o ângulo de elevação até o topo da torre é (36 ° ) e que o ângulo de depressão até a base da torre é (23 ° ). Qual é a altura da torre?

47) Uma torre de rádio está localizada a (325 ) pés de um edifício. De uma janela do edifício, uma pessoa determina que o ângulo de elevação até o topo da torre é (43 ° ) e que o ângulo de depressão até a base da torre é (31 ° ). Qual é a altura da torre?

Responder

(498,3471 ) pés

48) Um monumento de 200 pés de altura está localizado à distância. De uma janela em um edifício, uma pessoa determina que o ângulo de elevação até o topo do monumento é (15 ° ) e que o ângulo de depressão até a base da torre é (2 ° ). A que distância a pessoa está do monumento?

49) Um monumento de 400 pés de altura está localizado à distância. De uma janela em um edifício, uma pessoa determina que o ângulo de elevação até o topo do monumento é (18 ° ) e que o ângulo de depressão até a base do monumento é (3 ° ). A que distância a pessoa está do monumento?

Responder

(1060,09 ) pés

50) Há uma antena no topo de um edifício. De um local (300 ) pés da base do edifício, o ângulo de elevação até o topo do edifício é medido como sendo (40 ° ). Do mesmo local, o ângulo de elevação até o topo da antena é medido como sendo (43 ° ). Encontre a altura da antena.

51) Há um pára-raios no topo de um edifício. De uma localização de (500 ) pés da base do edifício, o ângulo de elevação até o topo do edifício é medido como sendo (36 ° ). Do mesmo local, o ângulo de elevação até o topo do pára-raios é medido como sendo (38 ° ). Encontre a altura do pára-raios.

Responder

(27,372 ) pés

Aplicativos do mundo real

52) Uma escada de (33 ) pés se inclina contra um prédio de forma que o ângulo entre o solo e a escada seja (80 ° ). A que altura a escada chega até a lateral do prédio?

53) Uma escada de (23 ) pés se inclina contra um prédio de forma que o ângulo entre o solo e a escada seja (80 ° ). A que altura a escada chega até a lateral do prédio?

Responder

(22,6506 ) pés

54) O ângulo de elevação até o topo de um edifício em Nova York é encontrado a (9 ) graus do solo a uma distância de (1 ) milha da base do edifício. Usando essas informações, encontre a altura do edifício.

55) O ângulo de elevação do topo de um edifício em Seattle é encontrado a (2 ) graus do solo a uma distância de (2 ) milhas da base do edifício. Usando essas informações, encontre a altura do edifício.

Responder

(368,7633 ) pés

56) Supondo que uma sequóia gigante de (370 ) pés de altura cresça verticalmente, se eu caminhar uma certa distância da árvore e medir o ângulo de elevação até o topo da árvore ser (60 ° ), quão longe da base da árvore sou eu?


5.E: Funções trigonométricas (exercícios) - Matemática

IDENTIDADES, EQUAÇÕES E DESIGUALDADES

Existem algumas identidades trigonométricas que você deve saber para o Teste de Matemática Nível 2.

Identidades Recíprocas reconhecer as relações de definição:

Identidades de cofunção foram discutidos anteriormente. Usando medida de radianos:

Identidades Pitagóricas

Fórmulas de ângulo duplo

1. Dado cos e , encontrar

Desde o pecado 2 = 2 (pecado ) (cos ), você precisa determinar o valor do pecado . Na figura abaixo, você pode ver que o pecado . Portanto, pecado .

2. Se cos 23 ° = z, encontre o valor de cos 46 ° em termos de z.

Como 46 = 2 (23), uma fórmula de ângulo duplo pode ser usada: cos 2UMA = 2 cos 2 UMA - 1. Substituindo 23 ° por UMA, cos 46 ° = cos 2 (23 °) = 2 cos 2 23 ° - 1 = 2 (cos 23 °) 2 - 1 = 2z 2 – 1.

3. Se pecar x = UMA, encontre cos 2x em termos de UMA.

Usando a identidade cos 2x = 1 - pecado 2 x, você ganha cos 2x = 1 – UMA 2 .

Pode-se esperar que você resolva equações trigonométricas no Teste de Matemática Nível 2, usando sua calculadora gráfica e obtendo respostas que são aproximações decimais. Para resolver qualquer equação, insira cada lado da equação em uma função (Yn), represente graficamente as duas funções e encontre o (s) ponto (s) de interseção no domínio indicado escolhendo uma janela apropriada.

4. Resolva 2 pecados x + cos 2x = 2 sen 2 x - 1 para 0 x 2.

Digite 2 pecado x + cos 2x em Y1 e 2 pecado 2 x - 1 em Y2. Defina Xmin = 0, Xmax = 2, Ymin = –4 e Ymax = 4. Soluções (x-coordenadas de pontos de interseção) são 1,57, 3,67 e 5,76.

5. Encontre valores de x no intervalo [0,] para qual cos x 2.62.

1. & emspIf pecado e cos , encontre o valor de pecado 2x.

& emsp & emsp (A) -

& emsp & emsp (B) -

& emsp & emsp (C)

& emsp & emsp (D)

& emsp & emsp (E)

3. & emspIf cos , encontre cos 2x.

4. & emspIf sin 37 ° = z, expressa o pecado 74 ° em termos de z.

& emsp & emsp (A)

& emsp & emsp (E)

5. & emspIf pecado x = –0,6427, o que é csc x?

6. & emspPara qual (is) valor (es) de x, 0 0.52

7. & emsp Qual é o intervalo da função f (x) = 5 - 6sin (x + 1)?

Se você é o detentor dos direitos autorais de qualquer material contido em nosso site e pretende removê-lo, entre em contato com o administrador do site para aprovação.


5.E: Funções trigonométricas (exercícios) - Matemática

Se o gráfico de qualquer função trigonométrica f (x) é refletido sobre a linha y = x, o gráfico do inverso (relação) dessa função trigonométrica é o resultado. Como todas as funções trigonométricas são periódicas, os gráficos de suas inversas não são gráficos de funções. O domínio de uma função trigonométrica precisa ser limitado a um período para que os valores do intervalo sejam alcançados exatamente uma vez. O inverso da função seno restrita é sen -1, o inverso da função cosseno restrita é cos -1 e assim por diante.

As funções trigonométricas inversas são usadas para representar ângulos com valores trigonométricos conhecidos. Se você sabe que a tangente de um ângulo é , mas você não sabe a medida de grau ou a medida de radianos do ângulo, tan -1 é uma expressão que representa o ângulo entre cuja tangente é .

Você pode usar sua calculadora gráfica para encontrar a medida de graus ou radianos de um valor trigonométrico inverso.

1. Avalie a medida em radianos de tan -1 .

Digite o segundo bronzeado com sua calculadora no modo radianos para obter 0,73 radianos.

2. Avalie a medida de grau de sin -1 0,8759.

Insira o segundo pecado (0,8759) com sua calculadora no modo de graus para obter 61,15 °.

3. Avalie a medida do grau de sec –1 3,4735.

Primeiro definir x = seg –1 3,4735. Se seg x = 3,4735, então cos . Portanto, insira o segundo cos com sua calculadora no modo de graus para obter 73,27 °.

Se “trig” for qualquer função trigonométrica, trig (trig -1 x) = x. No entanto, devido à restrição de intervalo nas funções trigonométricas inversas, trig -1 (trig x) precisar não igual x.

4. Avalie cos (cos –1 0,72).

5. Avalie sin -1 (sin 265 °).

Insira 2nd sin –1 (sin (265)) com sua calculadora no modo de graus para obter –85 °. Isso ocorre porque –85 ° está na faixa necessária [–90 °, 90 °] e –85 ° tem o mesmo ângulo de referência de 265 °.

6. Avalie o pecado .

Deixar . Então porque e x está no primeiro quadrante. Veja a figura abaixo.

Use a identidade pitagórica pecado 2 x + cos 2 x = 1 e o fato de que x está no primeiro quadrante para obter pecado .

1. & emsp Encontre o número de graus em .


Integridade acadêmica

Todo o trabalho que você enviar deve ser seu. Você está convidado a colaborar com os colegas em sua lição de casa, mas as redações finais devem ser feitas individualmente. Você também pode usar recursos externos para ajudar com seus conjuntos de problemas, mas você deve citar todos os recursos usados. Lembre-se de que o propósito do dever de casa é ajudá-lo a praticar o material, portanto, usar referências adicionais para o seu dever de casa o colocará em desvantagem no curso e, de certa forma, prejudicará o propósito de fazer os exercícios. Copiar sem referenciar as fontes adequadamente resultará em um zero na atribuição e, possivelmente, em consequências mais sérias.

Desonestidade acadêmica de qualquer forma é inaceitável e será relatada ao Center for Student Conduct.


P: Uma torta sai do forno a 325 ° F e é colocada para esfriar em uma cozinha de 21 ° F. A temperatura do.

R: O método de substituição pode ser usado para obter o tempo necessário para esfriar. Portanto, substitua T = 11.

Q: Para determinar as dosagens dos medicamentos, os médicos estimam a área de superfície corporal (BSA) de uma pessoa (em metros quadrados) u.

A: Solução: BSA dado = hm60Para calcular a taxa de variação de BSA em relação à massa de uma pessoa.

A: a + b = c Onde a = soma, b = soma, c = soma ou total

P: PERGUNTA 12 Avalie a integral alterando a ordem de integração de maneira apropriada. x sin.

R: Clique para ver a resposta

Q: 4. Encontre a taxa média de mudança de f (x) = 3x - 5 de x = 0 a x = 4.

R: Clique para ver a resposta

P: Uma partícula é lançada verticalmente para cima no ar. A distância que cobre no tempo t é dada por s (t.

R: Estaremos usando o fato de que a taxa de variação da distância é chamada de velocidade. v (t) = dsdt

R: O domínio de uma função é um conjunto de valores para os quais a função é definida. Para uma função logarítmica.

Q: 50. A função dada por f (x) = 3x - 2 é contínua em x = 5? Por que ou por que não?

R: Para verificar: se a função fx = 3x-2 é contínua em x = 5. Conceito usado: se a função fx for con.


Prefácio ao Instrutor xv

Preface to the Student xxiii

Chapter 0 The Real Numbers 1

Construction of the Real Line 2

Is Every Real Number Rational? 3

0.2 Algebra of the Real Numbers 6

Commutativity and Associativity 6

The Order of Algebraic Operations 7

The Distributive Property 8

Additive Inverses and Subtraction 9

Multiplicative Inverses and the Algebra of Fractions 10

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 15

0.3 Inequalities, Intervals, and Absolute Value 20

Positive and Negative Numbers 20

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 29

Chapter Summary and Chapter Review Questions 35

Chapter 1 Functions and Their Graphs 37

Definition and Examples 38

The Domain of a Function 41

The Range of a Function 42

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 45

1.2 The Coordinate Plane and Graphs 50

The Graph of a Function 52

Determining the Domain and Range from a Graph 54

Which Sets are Graphs of Functions? 56

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 56

1.3 Function Transformations and Graphs 63

Vertical Transformations: Shifting, Stretching, and Flipping 63

Horizontal Transformations: Shifting, Stretching, Flipping 66

Combinations of Vertical Function Transformations 68

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 73

1.4 Composition of Functions 81

Combining Two Functions 81

Definition of Composition 82

Composing More than Two Functions 85

Function Transformations as Compositions 86

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 88

The Definition of an Inverse Function 95

The Domain and Range of an Inverse Function 97

The Composition of a Function and Its Inverse 98

Comments About Notation 99

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 101

1.6 A Graphical Approach to Inverse Functions 106

The Graph of an Inverse Function 106

Graphical Interpretation of One-to-One 107

Increasing and Decreasing Functions 108

Inverse Functions via Tables 110

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 111

Chapter Summary and Chapter Review Questions 115

Chapter 2 Linear, Quadratic, Polynomial, and Rational Functions 119


Calculus Lab - SDSU edition 1st edition

Your students have access to an online version of the textbook that might contain additional interactive features.

Access is contingent on use of this textbook in the instructor's classroom.

  • Chapter 0: Prerequisite Material
    • 0.P: Practice Problems (16)
    • 0.E: Exercises (4)
    • 1.P: Practice Problems (12)
    • 1.E: Exercises (10)
    • 2.P: Practice Problems (4)
    • 2.E: Exercises (6)
    • 3.P: Practice Problems (7)
    • 3.E: Exercises (20)
    • 4.P: Practice Problems (4)
    • 4.E: Exercises (7)
    • 5.P: Practice Problems (4)
    • 5.E: Exercises (36)
    • 6.P: Practice Problems (1)
    • 6.E: Exercises (4)
    • 7.P: Practice Problems (1)
    • 7.E: Exercises (8)
    • 8.P: Practice Problems (2)
    • 8.E: Exercises (7)
    • 9.P: Practice Problems (2)
    • 9.E: Exercises (4)
    • 10.P: Practice Problems (5)
    • 10.E: Exercises (12)
    • 11.P: Practice Problems (1)
    • 11.E: Exercises (6)
    • 12.P: Practice Problems (6)
    • 12.E: Exercises (10)

    The SDSU Calculus Lab manual is designed to help supplement any first semester calculus course. The goal of this lab is to help your students improve their algebra and trigonometry skills as needed to be better prepared for first semester calculus. Encourage your students to take this lab manual seriously in order to achieve the highest success in calculus. This means reading all lab materials, watching the videos, completing the practice problems, and completing other assigned problems, reminding them that the most important way to become better at mathematics is to practice.


    Chapter 1

    The degree is 6, the leading term is − x 6 , − x 6 , and the leading coefficient is −1. −1.

    3 x 4 −10 x 3 −8 x 2 + 21 x + 14 3 x 4 −10 x 3 −8 x 2 + 21 x + 14

    6 x 2 + 21 x y −29 x −7 y + 9 6 x 2 + 21 x y −29 x −7 y + 9

    1.5 Factoring Polynomials

    ( 6 a + b ) ( 36 a 2 −6 a b + b 2 ) ( 6 a + b ) ( 36 a 2 −6 a b + b 2 )

    ( 10 x − 1 ) ( 100 x 2 + 10 x + 1 ) ( 10 x − 1 ) ( 100 x 2 + 10 x + 1 )

    1.6 Rational Expressions

    ( x + 5 ) ( x + 6 ) ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 5 ) ( x + 6 ) ( x + 2 ) ( x + 4 )

    1.1 Section Exercises

    irrational number. The square root of two does not terminate, and it does not repeat a pattern. It cannot be written as a quotient of two integers, so it is irrational.

    The Associative Properties state that the sum or product of multiple numbers can be grouped differently without affecting the result. This is because the same operation is performed (either addition or subtraction), so the terms can be re-ordered.

    inverse property of addition

    1.2 Section Exercises

    No, the two expressions are not the same. An exponent tells how many times you multiply the base. So 2 3 2 3 is the same as 2 × 2 × 2 , 2 × 2 × 2 , which is 8. 3 2 3 2 is the same as 3 × 3 , 3 × 3 , which is 9.

    It is a method of writing very small and very large numbers.

    1.3 Section Exercises

    When there is no index, it is assumed to be 2 or the square root. The expression would only be equal to the radicand if the index were 1.

    The principal square root is the nonnegative root of the number.

    1.4 Section Exercises

    The statement is true. In standard form, the polynomial with the highest value exponent is placed first and is the leading term. The degree of a polynomial is the value of the highest exponent, which in standard form is also the exponent of the leading term.

    Use the distributive property, multiply, combine like terms, and simplify.

    11 b 4 −9 b 3 + 12 b 2 −7 b + 8 11 b 4 −9 b 3 + 12 b 2 −7 b + 8

    16 t 4 + 4 t 3 −32 t 2 − t + 7 16 t 4 + 4 t 3 −32 t 2 − t + 7

    32 t 3 − 100 t 2 + 40 t + 38 32 t 3 − 100 t 2 + 40 t + 38

    a 4 + 4 a 3 c −16 a c 3 −16 c 4 a 4 + 4 a 3 c −16 a c 3 −16 c 4

    1.5 Section Exercises

    The terms of a polynomial do not have to have a common factor for the entire polynomial to be factorable. For example, 4 x 2 4 x 2 and −9 y 2 −9 y 2 don’t have a common factor, but the whole polynomial is still factorable: 4 x 2 −9 y 2 = ( 2 x + 3 y ) ( 2 x −3 y ) . 4 x 2 −9 y 2 = ( 2 x + 3 y ) ( 2 x −3 y ) .

    ( 5 a + 7 ) ( 25 a 2 − 35 a + 49 ) ( 5 a + 7 ) ( 25 a 2 − 35 a + 49 )

    ( 4 x − 5 ) ( 16 x 2 + 20 x + 25 ) ( 4 x − 5 ) ( 16 x 2 + 20 x + 25 )

    ( 5 r + 12 s ) ( 25 r 2 − 60 r s + 144 s 2 ) ( 5 r + 12 s ) ( 25 r 2 − 60 r s + 144 s 2 )

    ( 4 z 2 + 49 a 2 ) ( 2 z + 7 a ) ( 2 z − 7 a ) ( 4 z 2 + 49 a 2 ) ( 2 z + 7 a ) ( 2 z − 7 a )

    1 ( 4 x + 9 ) ( 4 x −9 ) ( 2 x + 3 ) 1 ( 4 x + 9 ) ( 4 x −9 ) ( 2 x + 3 )

    1.6 Section Exercises

    You can factor the numerator and denominator to see if any of the terms can cancel one another out.

    Verdadeiro. Multiplication and division do not require finding the LCD because the denominators can be combined through those operations, whereas addition and subtraction require like terms.

    3 c 2 + 3 c − 2 2 c 2 + 5 c + 2 3 c 2 + 3 c − 2 2 c 2 + 5 c + 2

    Review Exercises

    ( 4 q − 3 p ) ( 16 q 2 + 12 p q + 9 p 2 ) ( 4 q − 3 p ) ( 16 q 2 + 12 p q + 9 p 2 )

    Practice Test

    ( 3 c − 11 ) ( 9 c 2 + 33 c + 121 ) ( 3 c − 11 ) ( 9 c 2 + 33 c + 121 )

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      • Authors: Jay Abramson
      • Publisher/website: OpenStax
      • Book title: Algebra and Trigonometry
      • Publication date: Feb 13, 2015
      • Location: Houston, Texas
      • Book URL: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/1-introduction-to-prerequisites
      • Section URL: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/chapter-1

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      Q: sketch the graph of the function. Indicate the transition points and asymptotes

      A: Click to see the answer

      Q: 16. Gasoline in a tank A gasoline tank is in the shape of a right circular cylinder (lying on its si.

      A: Given information: The length of the right circular cylinder tank is 10 ft. The radius of the right .

      Q: State whether f (2) and f (4) are local minima or local maxima, assuming that Figure 14 is the graph.

      A: To identify whether f(2) and f(4) are local maxima or local minima.

      Q: 115. Suppose that f(x) dx = 3. Find f(x) dx if a. f is odd, b. f is even. you

      A: Click to see the answer

      A: There is typo mistake in the question. Consider that the gravel is being dumped from a conveyor belt.

      Q: Tutorial Exercise Use the given transformation to evaluate the given integral, where R is the triang.

      A: To determine the Jacobian of the transformation.

      Q: Find the equation of the tangent line to the graph of the function f (x) = v 4,4 + 12 at the point (.

      Q: 51. The functions y = e* and y = x³e do not have elementary anti- derivatives, but y = (1 + 3x)e" do.

      A: Click to see the answer

      Q: help pls and thanks. find the equation of the line tangent to. f(x)= (2x^2-x)/x at point (1,3)


      With Videos

      Explanatory Answer

      How to compute HCF by Prime Factorisation Method?

      HCF of two numbers is the product of LOWEST power of COMMON primes found in the numbers.

      How to find LCM by Prime Factorisation Method?

      LCM of two numbers is the product of HIGHEST power of TUDO primes found in the numbers.

      (i)LCM and HCF of 2 5 × 5 4 × 7 2 × 13 6 and 2 3 × 5 6 × 7 × 17 3

      Notice that the two numbers are already prime factorized. That makes life really easy.
      Let us compute HCF first.
      The common primes in the two numbers are 2, 5, and 7.
      The lowest power of 2, 5, and 7 are respectively 2 3 , 5 4 , and 7 1
      ∴ HCF of 2 5 × 5 4 × 7 2 × 13 6 and 2 3 × 5 6 × 7 × 17 3 is 2 3 × 5 4 × 7

      Let us compute LCM next.
      The primes found in the two numbers are 2, 5, 7, 13, and 17.
      The highest power of 2, 5, 7, 13, and 17 are 2 5 , 5 6 , 7 2 , 13 6 , and 17 3 respectively.
      ∴ LCM of 2 5 × 5 4 × 7 2 × 13 6 and 2 3 × 5 6 × 7 × 17 3 is 2 5 × 5 6 × 7 2 × 13 6 × 17 3

      (ii) Find the LCM and HCF of a 5 × b 2 × c 2 × d 5 and a 7 × b 3 × e × f 3

      Dado: a, b, c, d, e, and f are prime numbers.
      Let us compute HCF first.
      The common primes in the two numbers are a and b.
      The lowest power of a and b in the two numbers are a 5 and b 2 respectively.
      ∴ HCF of a 5 × b 2 × c 2 × d 5 and a 7 × b 3 × e × f 3 is a 5 × b 2

      Let us compute LCM next.
      The primes found in the two numbers are a, b, c, d, e, and f.
      The highest power of a, b, c, d, e, and f are a 7 , b 3 , c 2 , d 5 , e 1 , and f 3 respectively.
      ∴ LCM of a 5 × b 2 × c 2 × d 5 and a 7 × b 3 × e × f 3 is a 7 × b 3 × c 2 × d 5 × e × f 3


      Assista o vídeo: Geogebra og trigonometriske funksjoner (Novembro 2021).