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2: Representação gráfica das funções trigonométricas


2: Representação gráfica das funções trigonométricas

Trigonometria

podemos resolver para (x ) e (y text <,> ) as coordenadas dos pontos no lado terminal do ângulo e obter os seguintes resultados.

Coordenadas.

Se o ponto (P ) está localizado a uma distância (r ) da origem na direção especificada pelo ângulo ( theta ) na posição padrão, então as coordenadas de (P ) são

Essas fórmulas fazem sentido quando pensamos no círculo unitário. Em um círculo unitário, as coordenadas de um ponto designado pelo ângulo ( theta ) são (( cos theta, sin theta text <,> ) conforme mostrado à direita. Em um círculo de raio (r text <,> ) o ângulo ( theta ) forma um triângulo semelhante cujas dimensões são aumentadas por um fator de (r text <.> ) Em particular, as pernas do novo triângulo são (r ) vezes maior que o triângulo original.

Exemplo 4.25.

O ponto (P ) está localizado a 6 centímetros da origem na direção de (292 degrees text <.> ) Encontre as coordenadas de (P text <,> ) arredondadas para centésimos.

A localização do ponto (P ) é mostrada à direita. Vemos que (r = 6 text <,> ) e podemos usar uma calculadora para avaliar ( cos 292 degree ) e ( sin 292 degree text <.> )

As coordenadas de (P ) são aproximadamente ((2.25, -5.56) text <.> )

Ponto de verificação 4.26.

Você encontra um mapa antigo que mostra um tesouro enterrado localizado a 500 metros do grande carvalho na direção (215 degree text <,> ) conforme mostrado à direita. Você não tem nada com você para medir ângulos, mas você tem sua calculadora.

  1. Encontre o cosseno de (215 degree text <.> ) A que distância a oeste você deve caminhar a partir do grande carvalho para estar diretamente ao norte do tesouro?
  2. Encontre a tangente de (215 degree text <.> ) A que distância ao sul você deve caminhar a partir de sua localização atual antes de começar a cavar?

Rolamentos da subseção

As direções de navegação para navios e aviões às vezes são dadas como, que são ângulos medidos no sentido horário a partir do norte. Por exemplo, um rumo de (110 graus ) é equivalente a um ângulo de (20 graus ) na posição padrão ou a seu ângulo coterminal (340 graus texto <,> ) como mostrado em certo.

A partir deste exemplo, vemos que para converter um rumo em um ângulo ( theta ) na posição padrão, podemos subtrair o rumo de (90 degrees text <,> ) ou

Exemplo 4.27.

Francine deixa o aeroporto em uma direção de (245 degree ) e voa 60 milhas. A que distância ao sul do aeroporto ela está naquele momento?

Um rumo de (245 degrees ) está na mesma direção que um ângulo de

na posição padrão, como mostrado à direita, ou como o ângulo coterminal

Gostaríamos da coordenada (y ) - da posição de Francine, então calculamos (y = r sin 205 degree text <.> )

Francine fica a cerca de 40 quilômetros ao sul do aeroporto.

Ponto de verificação 4.28.

Delbert deixa o aeroporto e voa 150 milhas em uma direção de (132 degree text <.> ) A que distância a leste do aeroporto ele está naquele momento?

Subseção A Função Periódica do Ângulo

Imagine que você está andando em uma roda-gigante. Conforme a roda gira, sua altura acima do solo aumenta e diminui novamente, repetindo o mesmo padrão cada vez que a roda-gigante faz uma rotação completa. Este padrão é um exemplo de a. Usamos funções periódicas para modelar fenômenos que exibem comportamento cíclico, como a altura das marés, padrões sazonais de crescimento em plantas e animais, ondas de rádio e movimento planetário.

Criaremos um para um passeio em uma roda-gigante. Nossa roda gigante tem um raio de 100 pés e gira no sentido anti-horário. Para representar graficamente a função da roda gigante, devemos primeiro especificar as variáveis ​​de entrada e saída e, em seguida, escolher um sistema de coordenadas para exibir seus valores.

Colocaremos a origem no centro da roda gigante. Em seguida, a linha da origem até sua posição na roda forma um ângulo com a horizontal, como mostrado à direita. Este ângulo, ( theta text <,> ) será o para a função. Sua altura, (h text <,> ) também é uma variável e está relacionada à coordenada (y ) de sua posição, você pode verificar se (h = y + 100 text < ,> ) porque o centro da roda está 100 pés acima do solo.

Para simplificar o modelo, vamos primeiro representar graficamente (y ) como o, em vez de (h text <.> ) Conforme o ângulo ( theta ) aumenta de (0 grau ) para (90 degree text <,> ) sua coordenada (y ) aumenta de 0 a 100. Você está então no topo da roda. Então, conforme ( theta ) aumenta de (90 degrees ) para (180 degrees text <,> ) sua coordenada (y ) diminui de 100 de volta para 0.

Finalmente, conforme ( theta ) aumenta de (180 degrees ) para (360 degrees text <,> ) sua (y ) - coordenada diminui de 0 para (- 100 ) e em seguida, aumenta de (- 100 ) de volta para 0. Você fez uma rotação completa na roda gigante. Se você girar novamente, ( theta ) aumenta de (360 degree ) para (720 degree text <,> ) e o gráfico de sua coordenada (y ) - repetirá o padrão da primeira rotação. A figura acima mostra como sua coordenada (y ) - é plotada como uma função do ângulo ( theta text <.> )

Você deve ter notado que pode encontrar a coordenada (y ) - de sua posição na roda gigante usando as fórmulas de coordenadas do início desta seção. Como a roda-gigante tem raio de 30 metros, temos


Representação gráfica de funções trigonométricas com traduções e assíntotas

A amplitude é a distância da linha média ao máximo ou ao mínimo (são iguais). Por exemplo, #y = sin (x) # tem uma amplitude de 1 porque a linha média é # y = 0 # e o máximo é 1.

Isso pode ser encontrado encontrando o intervalo da função e dividindo por dois. (Veja se você consegue descobrir o porquê.)

# tanx #, # cotx #, # secx # e # cscx # têm assíntotas verticais.

Espero que isso tenha sido útil.

Alterando o "c" em sua equação trigonométrica básica.

A equação trigonométrica padrão para seno é # y = a * sin [b (x-cpi)] + d #. Neste, a variável # a # representa a amplitude. A variável # b # representa o período (# (2pi) / b # = período). Agora, a variável # c # representa o que é conhecido como deslocamento de fase - mais comumente conhecido como translação horizontal. Você desloca as unidades do gráfico # cpi # da função pai original, que neste caso é # y = sinx #. Se # c # for positivo, desloque o gráfico para a direita # cpi # une. Se # c # for negativo, desloque o gráfico para as unidades # cpi # à esquerda.

Se você está se perguntando, # d # representa a tradução vertical.

Espero que isso ajude e sugiro fortemente que você vá ao google e digite funções como # y = sin (x-2pi) # e compare-as com a função pai, # y = sinx #.


2: Representação gráfica das funções trigonométricas

Gráficos de funções trigonométricas

Nesta seção, exploraremos os gráficos das seis funções trigonométricas, começando com o gráfico da função cosseno.

Gráficos y = cos x

Para esboçar um gráfico de y = cos x podemos fazer uma tabela de valores que podemos calcular exatamente:

Podemos plotar esses pontos e esboçar uma curva suave passando por eles:

Como o domínio da função cosseno é composto de todos os números reais, colocamos setas no gráfico para indicar que o gráfico se repete exatamente nas duas direções. O fato de que a função cosseno se repete significa que ela é periódico. Em particular, y = cos x é periódico com período 2 & pi. Isso significa que se o ponto (x, y) encontra-se no gráfico, então o ponto (x+2k& pi, y) também estará no gráfico, onde k é qualquer número inteiro. Por exemplo, (x + 2 e pi, y) e (x & menos 2 & pi, y) ficarão ambos no gráfico.

Gráficos y = pecado x

Para esboçar um gráfico de y = pecado x podemos fazer uma tabela de valores que podemos calcular exatamente:

Podemos plotar esses pontos e esboçar uma curva suave passando por eles:

Como o domínio da função seno é composto de todos os números reais, colocamos setas no gráfico para indicar que o gráfico se repete exatamente nas duas direções. Como a função cosseno, a função seno também é 2 & pi periódica.

Gráficos y = bronzeado x

Para esboçar um gráfico de y = bronzeado x podemos fazer uma tabela de valores que podemos calcular exatamente:

Observe que agora temos alguns valores funcionais indefinidos graficamente, eles correspondem a assíntotas verticais. Podemos esboçar y = bronzeado x do seguinte modo:

No gráfico acima, as linhas tracejadas indicam assíntotas verticais. Colocamos setas no gráfico para indicar que a função aumenta para & infin. Por exemplo, bronzeado x & rarr & infin as x & rarr (& pi / 2) - (ou seja, como x aproxima-se de & pi / 2 da esquerda) e tan x & rarr & minus & infin as x & rarr (& pi / 2) - (ou seja, como x aproxima-se de & pi / 2 da direita). Ao contrário das funções seno e cosseno, a função tangente é & pi periódica. Ou seja, se o ponto (x, y) encontra-se no gráfico de y = bronzeado x assim será o ponto (x + k& pi, y) Onde k é qualquer número inteiro.

Lembre-se de que as funções secante, cossecante e cotangente são os recíprocos das funções cosseno, seno e tangente, respectivamente. É menos provável que você encontre esses gráficos em seus estudos de ciências da vida. Estamos incluindo esses gráficos para completar.

Transformando y = cos x e y = pecado x

Vamos agora olhar para as transformações gráficas de y = cos x e y = pecado x. Podemos escrever uma função cosseno e seno transformada da seguinte maneira,

Nós ligamos |uma| a amplitude da função. A amplitude é a distância do valor funcional mínimo ao valor funcional máximo dividido por 2. O período das funções acima é 2 & pi /b (observe quando b = 1, o período é 2 & pi). Ao modelar uma determinada quantidade ou fenômeno usando uma função seno ou cosseno, a amplitude e o período são duas características importantes que definem o comportamento. Você pode consultar a seção de transformações para examinar as outras transformações mais de perto.


Cossecante Gráfica

  • Como as funções seno e cossecante estão relacionadas? Os alunos lembram que são recíprocos.
  • Como essa relação aparecerá em um gráfico? Posso colocar como os alunos para encontrar o valor de sin pi / 6 e csc pi / 6 para ajudar os alunos a ver a relação.
  • Quando o seno é 0, qual é o valor da cossecante? Como mostramos isso no gráfico?
  • Quando x está entre 0 e pi seno é um número positivo entre 0 e 1. Quais serão os valores da cossecante entre 0 e pi? Quero que os alunos entendam que os valores serão 1 ou maior.
  • Quais serão os valores da cossecante quando x estiver entre pi e 2pi?
  • Você usou o seno para ajudá-lo a representar graficamente?
  • Como você localizou as assíntotas?
  • Como você sabia onde o gráfico era positivo? Negativo?

Respostas a perguntas sobre gráficos de funções trigonométricas

As respostas às perguntas em Gráficos de funções trigonométricas - perguntas são apresentadas.

Questão 1: Identifique o gráfico da função cosseno f.

Questão 2: Identifique o gráfico da função cotangente f.

Questão 3: Identifique o gráfico da função cosseno f.

Questão 4: Identifique o gráfico da função cosseno f.

f (x) = cos (x - Pi / 4)

Questão 5: Identifique o gráfico da função cossecante f.

f (x) = -csc (x + Pi / 4)

Questão 6: Identifique o gráfico da função cosseno f.

f (x) = -cos (x - Pi / 4)

Questão 7: Identifique o gráfico da função tangente f.

f (x) = -2 tan x

Questão 8: Identifique o gráfico da função seno f.

f (x) = -sin (-x - Pi / 4)

Questão 9: Identifique o gráfico da função secante f.


Qualquer objeto se movendo com velocidade angular constante ou movendo-se para cima e para baixo com um movimento regular pode ser descrito em termos de MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES.

O deslocamento, d, de um objeto em movimento com SHM, é dado por:

onde R é o raio do objeto em rotação e `& omega` é a velocidade angular do objeto.

Para uma animação deste conceito, volte para: animação pecado.

NOTA: Podemos precisar usar um dos seguintes, dependendo da situação:

Precisa de papel milimetrado?

Exemplo 1

Um ponto em um came está a `8,30 & quotcm & quot` do centro de rotação. Esboce 2 ciclos de d como a função de t, dado que d = 0 cm quando t = 0 s e &ómega = 3,20 rad / s.


Capítulo 6 Pt 2 Lição 2 Características dos gráficos de y = sin x e y = cos x

Olá e bem-vindo! Ontem começamos a Parte 2 de nosso Capítulo 6 sobre gráficos de funções trigonométricas. Hoje vamos expandir este tópico e discutir a transformação das funções seno e cosseno. Aprendemos sobre as transformações no capítulo anterior, incluindo alongamento vertical / compressão alongamento horizontal / compressão reflexão horizontal e vertical e translação horizontal e vertical. Iremos conectar as transformações com as características das funções seno e cosseno, incluindo amplitude, período, máximo, mínimo, interceptos xey, domínio e intervalo.

Aqui está nossa chave de transmissão ao vivo de hoje: https://youtu.be/pzLjHGf5TQU

Observação: o último dia de aula é 12 de junho. Estamos quase lá! Continue com o ótimo trabalho!


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2: Representação gráfica das funções trigonométricas

Não há muito nesta seção. Ele está aqui apenas para lembrá-lo dos gráficos das seis funções trigonométricas, bem como de algumas propriedades interessantes sobre as funções trigonométricas.

Antes de entrar nos problemas, lembre-se que vimos na seção Avaliação da função trigonométrica que as funções trigonométricas são exemplos de periódico funções. Isso significa que tudo o que realmente precisamos fazer é representar graficamente a função para a duração de um período de valores e, em seguida, repetir o gráfico.

Represente graficamente a seguinte função. Mostrar todas as soluções Ocultar todas as soluções

    (y = cos left (x right) )
    Mostrar Solução

Realmente não há muito nisso além de traçar alguns pontos entre 0 e (2 pi ) e, em seguida, repetir. Lembre-se de que o cosseno tem um período de (2 pi ) (consulte o Problema 5 em Avaliação da Função Trig).

Aqui está o gráfico para (- 4 pi le x le 4 pi ).

Observe que o gráfico se repete 4 vezes neste intervalo de (x ) 's como deveria.

Notemos também aqui que podemos colocar todos os valores de (x ) em cosseno (o que não será o caso para a maioria das funções trigonométricas) e também observemos que

[- 1 le cos left (x right) le 1 ]

É importante notar que o cosseno nunca será maior que 1 ou menor que -1. Isso será útil ocasionalmente em uma aula de cálculo.

Precisamos ter um pouco de cuidado com este gráfico. ( cos left (x right) ) tem um período de (2 pi ), mas não estamos lidando com ( cos left (x right) ) aqui. Estamos lidando com ( cos left (<2x> right) ). Neste caso, observe que se conectarmos (x = pi ), obteremos

[ cos left (<2 left ( pi right)> right) = cos left (<2 pi> right) = cos left (0 right) = 1 ]

Neste caso, a função começa a se repetir após ( pi ) ao invés de (2 pi )! Portanto, esta função tem um período de ( pi ). Portanto, podemos esperar que o gráfico se repita 8 vezes no intervalo (- 4 pi le x le 4 pi ). Aqui está aquele gráfico.

Com certeza, há o dobro de ciclos neste gráfico.

Em geral, podemos obter o período de ( cos left (< omega , x> right) ) usando o seguinte.

Se ( omega & gt 1 ) podemos esperar um período menor que (2 pi ) e assim o gráfico irá oscilar mais rápido. Da mesma forma, se ( omega & lt 1 ) podemos esperar um período maior que (2 pi ) e assim o gráfico irá oscilar mais lentamente.

Observe que o período não afeta o tamanho do cosseno. Nós ainda temos

Neste caso, adicionei um 5 na frente do cosseno. Tudo o que isso fará é aumentar o tamanho do cosseno. O número na frente do cosseno ou seno é chamado de amplitude. Aqui está o gráfico desta função.

Observe a escala no eixo (y ) para este problema e não o confunda com o gráfico anterior. As escalas do eixo (y ) são diferentes!

[- R le R cos left (< omega , x> right) le R ]

Tal como acontece com o primeiro problema nesta seção, realmente não há muito a fazer além de representá-lo graficamente. Aqui está o gráfico no intervalo (- 4 pi le x le 4 pi ).

Neste gráfico, podemos ver que o seno tem o mesmo intervalo que o cosseno. Em geral

[- R le R sin left (< omega , x> right) le R ]

Tal como acontece com o cosseno, o próprio seno nunca será maior que 1 e nunca menor que -1.

Então, neste caso, não temos apenas um (x ) entre parênteses. Assim como no caso do cosseno, podemos obter o período de ( sin left (< omega , x> right) ) usando

Neste caso, a curva se repetirá a cada (6 pi ). Portanto, para este gráfico, alterarei o intervalo para (- 6 pi le x le 6 pi ) para que possamos obter pelo menos dois traços da curva exibida. Aqui está o gráfico.

No caso da tangente, devemos ter cuidado ao conectar (x ) 's, uma vez que a tangente não existe onde o cosseno é zero (lembre-se de que ( tan x = frac << sin x >> < < cos x >> )). Tangente não existirá em

e o gráfico terá assíntotas nesses pontos. Aqui está o gráfico da tangente no intervalo (- frac << 5 pi >> <2> & lt x & lt frac << 5 pi >> <2> ).

Finalmente, algumas propriedades rápidas sobre (R tan left (< omega , x> right) ).

Para o período, lembre-se que ( tan left (x right) ) tem um período de ( pi ) ao contrário de seno e cosseno e isso é responsável pela ausência de 2 no numerador que estava lá para seno e cosseno.

Tal como acontece com a tangente, teremos que evitar (x ) ’s para o qual cosseno é zero (lembre-se de que ( sec x = frac <1> << cos x >> )). A secante não existirá em

e o gráfico terá assíntotas nesses pontos. Aqui está o gráfico da secante no intervalo (- frac << 5 pi >> <2> & lt x & lt frac << 5 pi >> <2> ).

Observe que o gráfico é sempre maior que 1 ou menor que -1. Isso não deveria ser muito surpreendente. Lembre-se de que (- 1 le cos left (x right) le 1 ). Portanto, 1 dividido por algo menor que 1 será maior que 1. Além disso, (<1> / < pm 1> = pm 1 ) e assim obtemos os seguintes intervalos de secante.

Para este gráfico, teremos que evitar (x ) ’s onde seno é zero ( left (< csc x = frac <1> << sin x >>> right) ). Então, o gráfico da cossecante não existirá para


Assista o vídeo: Wykresy funkcji trygonometrycznych i okresowość (Novembro 2021).