Artigos

4.1E: Crescimento e Decadência (Exercícios) - Matemática


Q4.1.1

1. Encontre a quantidade (Q (t) ) da substância restante no tempo (t> 0 ) se (Q (0) = 20 ) g.

2. A meia-vida de uma substância radioativa é de 2 dias. Encontre o tempo necessário para que uma determinada quantidade de material se decomponha em 1/10 de sua massa original.

3. Um material radioativo perde 25% de sua massa em 10 minutos. Qual é a sua meia-vida?

4. Uma árvore contém uma porcentagem conhecida (p_0 ) de uma substância radioativa com meia-vida ( tau ). Quando a árvore morre, a substância se decompõe e não é substituída. Se a porcentagem da substância nos restos fossilizados de tal árvore for (p_1 ), há quanto tempo a árvore está morta?

5. Se (t_p ) e (t_q ) são os tempos necessários para um material radioativo decair para (1 / p ) e (1 / q ) vezes sua massa original (respectivamente), como são (t_p ) e (t_q ) relacionados?

6. Encontre a constante de decaimento (k ) para uma substância radioativa, dado que a massa da substância é (Q_1 ) no tempo (t_1 ) e (Q_2 ) no tempo (t_2 ).

7. Um processo cria uma substância radioativa à taxa de 2 g / hr e a substância decai a uma taxa proporcional à sua massa, com constante de proporcionalidade (k = .1 ( mbox {hr}) ^ {- 1} ). Se (Q (t) ) é a massa da substância no tempo (t ), encontre ( lim_ {t to infty} Q (t) ).

8. Um banco paga juros continuamente à taxa de 6%. Quanto tempo leva para um depósito de (Q_0 ) crescer em valor para (2Q_0 )?

9. Com que taxa de juros, composta continuamente, um depósito bancário dobrará de valor em 8 anos?

10. Uma conta de poupança paga 5% ao ano de juros compostos continuamente. O depósito inicial é de (Q_0 ) dólares. Suponha que não haja retiradas ou depósitos subsequentes.

  1. Quanto tempo leva para o valor da conta triplicar?
  2. O que é (Q_0 ) se o valor da conta após 10 anos for $ 100.000 dólares?

11. Um fabricante de doces ganha 500 libras de doces por semana, enquanto sua grande família come os doces a uma taxa igual a (Q (t) / 10 ) libras por semana, onde (Q (t) ) é a quantidade de doces presentes no momento (t ).

  1. Encontre (Q (t) ) para (t> 0 ) se o fabricante de doces tem 250 libras de doces em (t = 0 ).
  2. Encontre ( lim_ {t to infty} Q (t) ).

12. Suponha que uma substância se decomponha a uma taxa anual igual à metade do quadrado da massa da substância presente. Se começarmos com 50 g da substância, quanto tempo levará até que restem apenas 25 g?

13. Uma super massa de pão aumenta de volume a uma taxa proporcional ao volume (V ) presente. Se (V ) aumenta por um fator de 10 em 2 horas e (V (0) = V_0 ), encontre (V ) a qualquer momento (t ). Quanto tempo levará para (V ) aumentar para (100 V_0 )?

14. Uma substância radioativa decai a uma taxa proporcional à quantidade presente, e metade da quantidade original (Q_0 ) resta após 1500 anos. Em quantos anos o valor original seria reduzido para (3Q_0 / 4 )? Quanto vai sobrar depois de 2.000 anos?

15. Um mago cria ouro continuamente a uma taxa de 1 onça por hora, mas um assistente o rouba continuamente a uma taxa de 5% de quanto está lá por hora. Seja (W (t) ) o número de onças que o assistente possui no momento (t ). Encontre (W (t) ) e ( lim_ {t to infty} W (t) ) se (W (0) = 1 ).

16. Um processo cria uma substância radioativa à taxa de 1 g / h, e a substância se decompõe a uma taxa horária igual a 1/10 da massa presente (expressa em gramas). Supondo que haja inicialmente 20 g, encontre a massa (S (t) ) da substância presente no tempo (t ) e encontre ( lim_ {t to infty} S (t) ) .

17. Um tanque está vazio em (t = 0 ). A água é adicionada ao tanque a uma taxa de 10 gal / min, mas vaza a uma taxa (em galões por minuto) igual ao número de galões no tanque. Qual é a menor capacidade que o tanque pode ter se esse processo continuar para sempre?

18. Uma pessoa deposita $ 25.000 em um banco que paga juros de 5% ao ano, compostos continuamente. A pessoa retira continuamente da conta à taxa de $ 750 por ano. Encontre (V (t) ), o valor da conta no momento (t ) após o depósito inicial.

19. Uma pessoa tem uma fortuna que cresce a uma taxa proporcional à raiz quadrada de seu valor. Encontre o valor (W ) da fortuna em função de (t ) se fosse $ 1 milhão há 6 meses e hoje é $ 4 milhões.

20. Seja (p = p (t) ) a quantidade de um produto presente no tempo (t ). O produto é fabricado continuamente a uma taxa proporcional a (p ), com constante de proporcionalidade 1/2, e é consumido continuamente a uma taxa proporcional a (p ^ 2 ), com constante de proporcionalidade 1/8. Encontre (p (t) ) se (p (0) = 100 ).

21.

uma. Na situação do Exemplo 4.1.6 encontre o valor exato P (t) da conta da pessoa após t anos, onde t é um número inteiro. Suponha que cada ano tenha exatamente 52 semanas e inclua o depósito de final de ano no cálculo.

SUGESTÃO: No momento t, os $ 1000 iniciais estão em depósito há (t ) anos. Houve (52t ) depósitos de $ (50 ) cada. Os primeiros $ (50 ) foram depositados por (t - 1/52 ) anos, o segundo por (t - 2/52 ) anos ... em geral, o j th $ (50 ) está depositado há (t - j / 52 ) anos ( (1 ≤ j ≤ 52t )). Encontre o valor presente de cada depósito de $ (50 ) assumindo (6 )% de juros compostos continuamente e use a fórmula [1 + x + x ^ {2} +. + x ^ {n} = frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x} (x neq 1) ] para encontrar seu valor total.

b. Deixar

[p (t) = {Q (t) -P (t) sobre P (t)} ]

ser o erro relativo após (t ) anos. Achar

[p ( infty) = lim_ {t a infty} p (t). ]

22. Um comprador de casa toma emprestado (P_0 ) dólares a uma taxa de juros anual (r ), concordando em pagar o empréstimo com pagamentos mensais iguais de (M ) dólares por mês durante (N ) anos.

uma. Derive uma equação diferencial para o principal do empréstimo (valor que o comprador da casa deve) (P (t) ) no momento (t> 0 ), fazendo a suposição simplificadora de que o comprador da casa paga o empréstimo continuamente, em vez de em etapas discretas. (Veja o Exemplo 4.1.6.)

b. Resolva a equação derivada em (a).

c. Use o resultado de (b) para determinar um valor aproximado para (M ) assumindo que cada ano tem exatamente 12 meses de igual duração.

d. Pode ser mostrado que o valor exato de (M ) é dado por

[M = {rP_0 over 12} left (1- (1 + r / 12) ^ {- 12N} right) ^ {- 1}. ]

Compare o valor de (M ) obtido da resposta em (c) com o valor exato se (i) (P_0 = $ 50.000 ), (r = 7 {1 over2} )%, ( N = 20 ) (ii) (P_0 = $ 150.000 ), (r = 9,0 )%, (N = 30 ).

23. Suponha que o comprador de uma casa Exercício 4.1.22 decide pagar o empréstimo continuamente à taxa de ( alpha M ) dólares por mês, onde ( alpha ) é uma constante maior que 1. (Isso é chamado pagamento acelerado.)

  1. Determine a hora (T ( alpha) ) em que o empréstimo será pago e a quantia (S ( alpha) ) que o comprador economizará.
  2. Suponha que (P_0 = $ 50.000 ), (r = 8 )% e (N = 15 ). Calcule a economia realizada por pagamentos acelerados com ( alpha = 1,05,1,10 ) e (1,15 ).

24. Um benfeitor deseja estabelecer um fundo fiduciário para pagar o salário de um pesquisador por (T ) anos. O salário deve começar em (S_0 ) dólares por ano e aumentar a uma taxa fracionária de (a ) por ano. Encontre a quantidade de dinheiro (P_0 ) que o benfeitor deve depositar em um fundo fiduciário pagando juros a uma taxa (r ) ao ano. Suponha que o salário do pesquisador seja pago continuamente, os juros compostos continuamente e os aumentos salariais sejam concedidos continuamente.

25. Uma substância radioativa com constante de decaimento (k ) é produzida à taxa de

[{at over1 + btQ (t)} ]

unidades de massa por unidade de tempo, onde (a ) e (b ) são constantes positivas e (Q (t) ) é a massa da substância presente no tempo (t ); portanto, a taxa de produção é pequena no início e tende a diminuir quando (Q ) é grande.

  1. Configure uma equação diferencial para (Q ).
  2. Escolha seus próprios valores positivos para (a ), (b ), (k ) e (Q_0 = Q (0) ). Use um método numérico para descobrir o que acontece a (Q (t) ) como (t a infty ). (Seja preciso, expressando suas conclusões em termos de (a ), (b ), (k ). No entanto, nenhuma prova é necessária.)

26. Siga as instruções de Exercício 4.1.25, assumindo que a substância é produzida à taxa de (at / (1 + bt (Q (t)) ^ 2) ) unidades de massa por unidade de tempo.

27. Siga as instruções de Exercício 4.1.25, assumindo que a substância é produzida à taxa de (at / (1 + bt) ) unidades de massa por unidade de tempo.


Cálculo diferencial CLP-1

Uma equação diferencial é uma equação para uma função desconhecida que envolve a derivada da função desconhecida. Por exemplo, a lei de resfriamento de Newton diz:

A taxa de mudança de temperatura de um objeto é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e seu entorno.

Podemos escrever isso mais matematicamente usando uma equação diferencial - uma equação para a função desconhecida (T (t) ) que também envolve sua derivada ( diff(t) text <.> ) Se denotarmos por (T (t) ) a temperatura do objeto no tempo (t ) e por (A ) a temperatura de seus arredores, a lei de Newton de resfriamento diz que há alguma constante de proporcionalidade, (K text <,> ) tal que

As equações diferenciais desempenham um papel central na modelagem de um grande número de fenômenos diferentes, incluindo o movimento de partículas, radiação eletromagnética, opções financeiras, populações de ecossistemas e potenciais de ação nervosa. A maioria das universidades oferece meia dúzia de diferentes cursos de graduação em vários aspectos das equações diferenciais. Nem vamos arranhar a superfície do assunto. Neste ponto, vamos nos restringir a algumas equações diferenciais muito simples para as quais podemos apenas adivinhar a solução. Em particular, aprenderemos como resolver sistemas que obedecem à lei de resfriamento de Newton na Seção 3.3.2, abaixo. Mas, primeiro, aqui está outro exemplo um pouco mais simples.


Revisão: Ocr core 3 - crescimento exponencial e decadência

Sequências geométricas (vistas no núcleo 2) são sequências que exibem crescimento exponencial ou decadência (dependendo da proporção comum). O valor pelo qual a sequência aumentará em um determinado estágio é proporcional ao valor da sequência. (Considere os juros compostos, um exemplo de sequência geométrica).

A razão pela qual este é um crescimento exponencial "discreto" é simplesmente que existem unidades de tempo precisas. Para o exemplo mencionado brevemente antes, um banco pagará juros anualmente, ou possivelmente com mais frequência, no entanto, não há um fluxo contínuo de juros para a conta. Ao contrário das sequências geométricas, muitas vezes é útil considerar o ponto inicial como "0", pois isso implica que nada aconteceu e, portanto, é uma forma mais natural de expressar o crescimento.

O crescimento exponencial ocorre se a razão comum for maior que 1, isso é relativamente fácil de entender, pois seria de se esperar que para qualquer número real (diferente de 0), haveria um aumento magnitudinal resultante de uma multiplicação por um número maior que 1

Por outro lado, uma proporção comum de é o decaimento exponencial.

Crescimento exponencial contínuo

Em muitas situações, o crescimento não ocorre em intervalos definidos e, portanto, a ideia apresentada anteriormente também não se ajusta às situações.

Essas situações se encaixam no seguinte:

Onde "t" é o tempo, "a" e "b" são constantes. O valor de "b" determina se há crescimento exponencial ou declínio; se for maior que 1, há crescimento exponencial e, se houver declínio exponencial.

Gráficos de crescimento exponencial

Os logaritmos podem ser usados ​​em conjunto com o crescimento exponencial e decadência. Considere que o gráfico de uma função exponencial terá um gradiente crescente exponencialmente e que pode ser expresso como:

A manipulação logarítmica produz:

Portanto, pode-se deduzir que, para uma função verdadeiramente exponencial, o gráfico de contra "t" seria uma linha reta. (É claro que, na realidade, muito provavelmente haverá alguns pequenos desvios [crescimento exponencial e decadência não são coisas exatas na vida real], no entanto, deve haver uma linha notável).

Não apenas a presença de um crescimento exponencial (ou decadência) pode ser vista, mas as constantes ("a" e "b") podem ser estimadas (como é o gradiente da linha reta e é a interceptação do eixo y) .

Transformações do gráfico de crescimento

Uma série de transformações pode ser aplicada a um gráfico de crescimento exponencial para mapeá-lo em outra seção (portanto, todo o gráfico pode ser "construído" a partir de uma única peça).

Traduzindo por "n" na direção x positiva:

Portanto, para se livrar do termo, aplique um alongamento, paralelo ao eixo y, fator de escala:


Contexto para uso

Pretendemos que este módulo seja usado em um período de aula de três a quatro horas que se reúne uma vez por semana (ou dois períodos mais curtos na mesma semana). Pode ser usado como parte deste curso de modelagem ou pode ser adaptado como um exercício de laboratório para um curso de paleoclimatologia ou em algum outro curso que lida com a criosfera. Partimos do princípio de que os alunos terão uma compreensão básica de matemática, que essencialmente fornece a receita para fazer este modelo - eles devem entender os conceitos de integração e equações diferenciais, mas não precisam resolver esses problemas por conta própria. Para este módulo, os alunos devem vir para a aula preparados para fazer um pequeno teste sobre a leitura atribuída. Depois disso, eles serão conduzidos por uma série de prompts projetados para ajudá-los a criar e experimentar uma série de modelos simples usando o software de modelagem de caixa iconográfica STELLA (consulte https://www.iseesystems.com/store/products/ para diferentes opções para compra de licenças de estudante ou de laboratório de informática da STELLA ou para baixar uma versão de teste). Os alunos também devem ter acesso ao Microsoft Excel ou software de planilha semelhante.

Para aqueles que estão aprendendo a usar STELLA, sugerimos os tutoriais & quotplay-along & quot online da isee systems. Você pode encontrá-los aqui: isee Systems Tutorials.


4.1E: Crescimento e Decadência (Exercícios) - Matemática

O objetivo deste laboratório é usar o Maple para estudar aplicações de funções exponenciais e logarítmicas. Eles são usados ​​para modelar muitos tipos de crescimento e declínio, bem como em muitas escalas, como as escalas de Richter e decibéis.

Separando as variáveis ​​e integrando (ver seção 4.4 do texto), temos

No caso de crescimento exponencial, podemos deixar de lado os sinais de valor absoluto, pois sempre será uma quantidade positiva. Resolvendo para, obtemos

que podemos escrever na forma, onde é uma constante positiva arbitrária.

onde é uma constante. Esta é a mesma equação do crescimento exponencial, exceto que substitui. A solução é

onde é uma constante positiva. Fisicamente, é a quantidade de material presente em.

A radioatividade é freqüentemente expressa em termos de meia-vida de um elemento. Por exemplo, a meia-vida do carbono-14 é 5730 anos. Essa afirmação significa que para qualquer amostra de, após 5730 anos, metade dela terá sofrido decomposição. Então, se a meia-vida é de um elemento Z é anos, deve ser isso, para que e.

onde está a constante de proporcionalidade e é a temperatura do ambiente. Usando uma técnica chamada separação de variáveis, não é difícil derivar a solução

onde está a temperatura do objeto.

Um problema que os médicos enfrentam é o fato de que, para a maioria dos medicamentos, existe uma concentração, abaixo da qual o medicamento é ineficaz e uma concentração, acima da qual o medicamento é perigoso. Assim, o médico gostaria que a concentração satisfizesse

Isso significa que a dose inicial não deve produzir uma concentração maior do que e que outra dose deverá ser administrada antes que a concentração seja atingida.

As funções principais de que você precisa são o logaritmo exponencial natural e o logaritmo natural. Os comandos do Maple para essas funções são exp e ln. Aqui estão alguns exemplos.


O assume = real é necessário no comando acima, porque o Maple normalmente trabalha com variáveis ​​complexas.

Às vezes, você precisa usar dados experimentais para determinar o valor das constantes nos modelos. Por exemplo, suponha que para um determinado medicamento, os seguintes dados foram obtidos. Logo após a injeção do medicamento, a concentração é de 1,5 mg / ml (miligramas por mililitro). Após quatro horas, a concentração caiu para 0,25 mg / ml. A partir desses dados, podemos determinar os valores de e como segue. O valor de é a concentração inicial, então temos

Para encontrar o valor de, precisamos resolver a equação

que obtemos ao conectar e usar os dados. Os comandos do Maple para resolver, definir e plotar a função são mostrados abaixo.

  1. Em 1935, Charles F. Richter, da Cal Tech, desenvolveu uma escala para medir a magnitude dos terremotos. A fórmula da escala de Richter é dada por

  1. Quando a amplitude de um terremoto é triplicada, em quanto a magnitude aumenta?
  2. Em 1989, a área da Baía de São Francisco sofreu graves danos por um terremoto de magnitude 7,1. No entanto, o dano não foi tão extenso quanto o causado pelo grande terremoto de 1906, que foi estimado em 8,3. Qual é a proporção da amplitude do terremoto de 1906 para o terremoto de 1989?


Rendimento percentual anual

Então, se 12% uma vez não é o mesmo que 1% 12 vezes, qual porcentagem
é o percentual pago ao longo de um ano por 1% pago 12 vezes? Para encontrar a porcentagem de $ 112,68 do valor original, dividimos:

Isso significa que o crescimento geral foi de 12,68%, percentual maior que 12. Lembre-se que a taxa de 12% é chamada de taxa nominal anual. A taxa que você
na realidade obter após a composição ser levada em consideração é chamado de rendimento percentual anual (APY).

Apresentamos uma maneira formal de calcular isso:

Já que o APY tem mais de um ano (
anual rendimento percentual), tomamos a fórmula de juros compostos ao longo de apenas 1 ano e nos preocupamos apenas com um investimento de $ 1 (uma vez que 1 = 100%). Subtraia 1 do resultado, de modo que contabilizemos apenas o crescimento, não o original 100%.

Alternativas para a fórmula?

Absolutamente! Se o valor investido for diferente de $ 1, calcule como ele se tornará em um ano. Pegue o valor do final do ano, divida pelo original e subtraia 1.

Exemplo 5

Digamos que você invista $ 325 a 10% compostos semestralmente (duas vezes por ano) durante 5 anos. Qual é o APY?

Solução

Já que queremos o
anual porcentagem de rendimento, não precisamos nos preocupar com a duração do investimento. Vamos calcular a resposta usando a fórmula e de forma intuitiva:

Fórmula APY Intuitivamente
[latex] displaystyle < left (<1> + frac <<. 1 >> <<2>> right)> ^ <<2>> - <1> = <1.1025> - <1> [/ látex] Usando o TVM Solver, $ 325 serão $ 358,3125 em um ano. Encontre a proporção do novo para o antigo.
[latex] displaystyle = <. 1025> [/ latex] [latex] displaystyle frac << ne>><<>> = frac << 358.3125 >> <<325>> = <1.1025> [/ latex]
[latex] displaystyle = <10,25>% [/ latex] Isso significa que o crescimento é de 10,25%. O lugar uns nos diz que o novo é 100% do antigo, e mais um pouco.

Na minha opinião, é muito mais fácil entender e lembrar a abordagem intuitiva à direita. Desnecessário dizer que você receberá a mesma resposta.


Por que matemática?

De acordo com uma pesquisa recente da Raytheon, 44% dos alunos do ensino médio preferem levar o lixo para fora do que fazer o dever de matemática. No Programa de Avaliação Internacional de Alunos de 2012, os alunos americanos do ensino médio ficaram em 27º lugar entre seus colegas da OCDE, demonstrando uma falta preocupante de habilidades de pensamento crítico e resolução de problemas. Apenas 11,6 por cento dos formados no ensino médio expressam interesse em estudar STEM na faculdade. Destes, pouco mais da metade atende o benchmark ACT de prontidão para faculdade em matemática.

Para muitos alunos, matemática é um monte de habilidades aleatórias para memorizar e regurgitar, uma série de etapas sem significado ou relevância para suas vidas. Por gerações, uma ênfase na instrução mecânica - faça isso, então faça aquilo - deixou os alunos se perguntando: "O que isso significa?" e "Quando vou usá-lo?"

O que os alunos estão realmente perguntando, é claro, é: "Por que matemática?" É uma boa pergunta. Você está prestes a entrar na sala de aula. Antes de fazer isso, pergunte-se: por que você deseja que os alunos aprendam matemática? Por que você quer ensinar isso?

Uma pesquisa da MetLife de 2012 descobriu que a satisfação no trabalho dos professores é a mais baixa em mais de 20 anos. Imagino que isso seja particularmente verdadeiro para professores de matemática que, junto com seus colegas de ELA, operam sob o espectro de testes anuais de alto risco. Nesse ambiente, uma meta-reflexão como "por quê?" pode parecer exageradamente luxuoso, como contemplar a natureza da felicidade em um furacão.

Mas vamos nos permitir silenciar por um momento a cacofonia que construímos em torno da educação e considerar: por que matemática?

Por que matemática? As respostas típicas

A resposta óbvia é: "Porque os alunos um dia precisarão disso." Isso é verdade. Muitos alunos também precisarão de lentes bifocais um dia, mas isso provavelmente não é o suficiente para convencer uma menina de 12 anos a começar a economizar sua mesada. "Um dia" é muito abstrato e, honestamente, um tanto ousado quando usado para justificar: "Faça a página 17, 1-73, ímpar."

Outra resposta: "Porque a matemática ajuda os alunos a resolver problemas." Isso também é verdade. Há uma tarefa clássica em que os alunos são apresentados a dois cenários:

  1. Eles podem escolher um pagamento único de $ 1 milhão.
  2. Eles podem receber um centavo no primeiro dia, dois centavos no segundo dia, quatro centavos no terceiro e assim por diante, por um mês.

Os alunos trabalham em grupos para determinar qual opção é melhor. Alguns fazem desenhos. Outros criam tabelas. Ao longo da tarefa, os alunos descobrem que, no décimo dia, a opção de centavo renderia apenas 512 centavos. Mas, no trigésimo dia, renderia 2 29, ou cerca de 1 bilhão de centavos: mais de US $ 11 milhões.

Embora seja uma resposta surpreendente, o objetivo da tarefa é menos a solução e mais o ato de descobrir. Os alunos têm a oportunidade de se tornarem mais flexíveis em seu pensamento e também de revelar alguma estrutura matemática subjacente (neste caso, crescimento exponencial). Isso é importante. Na verdade, é crucial.

Mas não é o suficiente. Pois algum aluno inevitavelmente perguntará: "Mas ninguém me ofereceu US $ 1 milhão. Isso é estúpido. Por que eu deveria me importar?" E quando o fizer, como devemos responder?

Por que matemática? Uma Possível Resposta

Por que matemática? Por que crescimento exponencial?

Porque o crescimento exponencial nos permite determinar a rapidez com que a população humana está crescendo e discutir suas implicações para a produção global de alimentos e energia limpa. O crescimento exponencial nos permite explorar como os consoles de videogame mudaram e prever se estamos construindo a Matriz.

Na sexta série, os alunos aprendem a converter de frações em porcentagens. Por que percentagens? Porque eles nos permitem determinar se Roda da fortuna é manipulado e debate a maneira mais justa de dar gorjeta em um restaurante. Os alunos aprendem a diferença entre mediana e média e como desenhar um gráfico de caixa. E essas ferramentas nos permitem analisar como a riqueza é distribuída nos EUA e considerar o que significa viver em uma sociedade justa.

  • Taxas unitárias? Quanto tempo leva para queimar um Big Mac e o McDonald's deve reescrever seu menu em termos de exercícios?
  • Índices? Como a mídia que consumimos afeta nossa felicidade?
  • Permutações? Quantos sapatos você pode criar no NIKEiD e em que ponto isso causa paralisia por análise?
  • Funções lineares? A faculdade vale o custo?

Por que matemática? Porque a matemática nos ajuda a ser mais saudáveis. Isso nos desafia a ser mais gentis. Isso nos motiva a ser mais curiosos.

Em 2009, nós, como país, nos separamos em nosso debate sobre a reforma da saúde. Gritamos um com o outro nas reuniões da prefeitura e chamamos aqueles que discordavam de nós de traidores e não americanos. E, no entanto, não há nada inerentemente divisor no seguro saúde. É apenas um valor esperado: a probabilidade de você ficar doente multiplicada pelo custo para tratá-lo.

A matemática nos permite discutir questões importantes de uma forma significativa e construtiva. Por que matemática? Porque nos permite ser melhores cidadãos.

Matemática: uma lente para o mundo

Os Padrões Estaduais de Núcleo Comum definem "rigor" como uma ênfase igual em três áreas:

Os alunos precisam desenvolver habilidades básicas para resolver uma proporção. Os alunos também devem desenvolver uma compreensão dos conceitos, eles devem entender o que significa proporcionalidade.

E ainda enquanto a matemática é um objeto de inquérito, é também um objeto para investigação. Galileu passou muitas horas estudando e refinando seus telescópios, mas sua principal motivação não era o dispositivo em si, mas o que ele podia Faz com ele: olhe para o cosmos. Por gerações, apresentamos aos alunos uma versão da matemática caracterizada em grande parte por procedimentos mecânicos e quebra-cabeças conceituais. Uma aula de matemática sem aplicativos autênticos é como uma aula de astronomia em que os alunos passam o ano calibrando um telescópio, mas nunca realmente olham para as estrelas. A matemática nos permite compreender melhor o mundo e viver nele de maneira mais significativa.

  • Como as temperaturas flutuam ao longo do ano e você vê evidências de mudanças climáticas de longo prazo? (Funções Trig)
  • Qual é a probabilidade de encontrar vida em outros planetas? (Multiplicação de frações)
  • Como sua memória se deteriora com o tempo. . . e quanto você pode realmente confiar nisso? (Decaimento exponencial)

Por que matemática? Por que aula de matemática? Porque a aula de matemática pode ser o lugar onde os alunos discutem as questões mais importantes e instigantes que enfrentamos como espécie.

Seu legado como professor

Você está prestes a entrar no ensino. Em algum momento deste outono, você abrirá a porta da sua sala de aula pela primeira vez. É um grande momento. Parabéns. Um dia, porém, você deixará o ensino e fechará a porta pela última vez. Entre esses momentos, o que você deseja realizar? Existe toda uma estrutura para ajudar a decidir isso por você: padrões e testes, intervenções e currículos. No entanto, mesmo nas circunstâncias mais rígidas, as decisões mais importantes, em última análise, recaem sobre você.

Quando você fecha essa porta pela última vez, quais conversas você gostaria de ter tido? Para todos os seus ex-alunos - milhares de adultos agora em todo o mundo - que lições você gostaria de ter ensinado? Que pensamentos você deseja inspirar? E como você deseja que a vida deles seja melhor para o tempo que passam na sua sala de aula?


Calculando Massa a partir de Força e Peso

Então, deixe-me repetir a equação claramente:

A partir da equação, podemos concluir que o peso é um resultado direto da massa vezes a gravidade.

Exemplo 1: Apple

Isaac Newton está se divertindo pacificamente sob a macieira. Ele estava prestes a cair no sono quando de repente * bata * uma maçã caiu em sua cabeça e o acordou de seu meio-sono. Ao acordar, o Sr. Newton imediatamente pesa a maçã, e ela pesa 250 gramas.

Ajude o Sr. Newton a encontrar a massa de sua maçã.

A partir desse problema, podemos concluir que:

Então, substituímos esses dados na equação e obteremos:

Voilà! A massa da maçã é 250,17 gramas.

Exemplo 2: Maçã, mas na Lua

Neil Armstrong acaba de pousar na lua com sua nave espacial. Para comemorar, Neil gostaria de comer uma maçã. Antes de comer, Neil tem que pesar a maçã para medir sua ingestão diária. A balança diz que a maçã pesa 41,3 gramas. A gravidade na lua é 1,62 m / s2.

A partir desse problema, podemos concluir que:

Então, substituímos esses dados na equação e obteremos:

  • W = m x g
  • 0,4052 = m x 1,62
  • m = 0,4052 / 1,62
  • m = 0,25017 quilograma = 250,17 gramas

A partir dessa equação, a massa da maçã é 250,17 gramas. Essa é a mesma massa das maçãs do Sr. Newton na Terra! Que coincidência.


Seção 8A

A população de MeadowView está aumentando a uma taxa de 3% ao ano. Se a população é de 100.000 hoje, qual será em três anos?

Isso é exponencial crescimento: a população aumenta em uma certa porcentagem a cada ano.

Um ano depois, a população torna-se (100.000 vezes (1 + 0,03) = 100.000 vezes 1,03 ).

Dois anos depois, torna-se (100000 vezes 1,03 vezes (1 + 0,03) = 100000 vezes 1,03 ^ 2 )

Três anos depois, torna-se (100000 vezes 1,03 ^ 2 vezes (1 + 0,03) = 100000 vezes 1,03 ^ 3 = 109273 )

Exercício linear ou exponencial 10. contínuo

O padrão (n ) anos depois, a população é (100.000 vezes 1,03 ^ n )

Por exemplo, 30 anos depois, a população se torna

Exercício Linear ou Exponencial 12

O preço do galão de gasolina está aumentando 4 centavos por semana. Se o preço for ( $ 3,10 ) por galão hoje, quanto será em dez semanas?

Isso é linear crescimento: o preço aumenta em uma certa quantia (4 centavos) todas as semanas, independentemente do que era.

Durante dez semanas, o preço aumentará em
(4 vezes 10 = 40 ),
e se tornará (3,10 + 40 = $ 3,50 )

Aqui, o padrão é: $ n $ semanas depois, o preço é
(310 + 4 vezes n ) (centavos).

Exercício Linear ou Exponencial 14

O valor do seu carro está diminuindo 10% ao ano. Se o carro vale ( $ 12.000 ) hoje, quanto valerá em dois anos?

Isso é exponencial decadência: o valor diminui em uma determinada porcentagem (10%) a cada ano.

Daqui a um ano o carro vale a pena
(12.000 - 12.000 vezes 0,1 = 12.000 vezes (1-0,1) = 12.000 vezes 0,9 = $ 10800 )

Daqui a dois anos o carro vale a pena
(10800 - 10800 vezes 0,1 = 10800-1080 = $ 9720 )

Exercício linear ou exponencial 14. variação. (n ) anos

Daqui a um ano o carro vale a pena
(12.000 - 12.000 vezes 0,1 = 12.000 vezes (1-0,1) = 12.000 vezes 0,9 = $ 10800 )

Daqui a dois anos o carro vale a pena
((12000 vezes (1-0,1)) vezes (1-0,1) = 12000 vezes (1-0,1) ^ 2 )

Daqui a três anos o carro vale a pena
((12000 vezes (1-0,1) ^ 2) vezes (1-0,1) = 12000 vezes (1-0,1) ^ 3 )

Agora o padrão fica claro: daqui a $ n $ anos o carro vale a pena
(12.000 vezes (1-0,1) ^ n = 12.000 vezes 0,9 ^ n )

Por exemplo, $ 20 $ anos a partir de agora, o carro vale a pena
(12.000 vezes 0,9 ^ <20> aprox $ 1.459 )

Parábola do tabuleiro de xadrez, Exercício 18

Quantos grãos de trigo devem ser colocados na casa 32 do tabuleiro de xadrez?

Solução. Lembre-se de que há 1 grão no primeiro quadrado.

há (2 = 2 ^ 1 ) no segundo quadrado, (4 = 2 ^ 2 ) no terceiro quadrado, (8 = 2 ^ 3 ) no quarto e assim por diante.

O padrão é claro: o número do quadrado (n ) tem (2 ^) grãos.

Em particular, o quadrado 32 tem
(2 ^ <31> = 2147483648 aproximadamente 2,1 vezes 10 ^ 9 ) grãos.

Parábola do tabuleiro de xadrez, Exercício 18. contínuo

Encontre o número total de grãos e seu peso neste ponto, supondo que um grão de trigo pesa 1/7000 libra.

O padrão para o número total de grãos a bordo é apenas um pouco mais complicado e é fornecido na página 475 do livro didático.

Depois que o quadrado (n ) estiver cheio, haverá (2 ^ n-1 ) grãos no tabuleiro.

Para (n = 32 ), é (2 ^ <32> -1 = 4.294.967.295 aproximadamente 4,2 vezes 10 ^ 9 )

O peso em questão é
(4294967295 vezes 1/7000 aproximadamente 613.567 ) libras.

Exercício 24 da Parábola da Penny Mágica

Suponha que você possa continuar fazendo uma única pilha de moedas de um centavo. Depois de quantos dias a pilha seria longa o suficiente para chegar à estrela mais próxima (além do Sol), que está a (4 vezes 10 ^ <13> ) km de distância?

Existem (2 ^ t ) centavos após (t ) dias.

Precisamos da espessura de um centavo, vamos tentar descobrir

Depois de algumas tentativas e erros, descobrimos que
(2 ^ <65> aproximadamente 3,7 vezes 10 ^ <19> ) então 65 dias devem ser suficientes.

Bactérias em uma garrafa Parábola - Exercício 26

Quantas bactérias há na garrafa às 11h15?

Solução. Lembre-se de que (t ) minutos após as 11:00, há (2 ^ t ) bactérias na garrafa.

Portanto, há (2 ^ <15> ) deles às 11:15.

Exercício 26. contínuo

Que fração da garrafa está cheia naquele momento?

A garrafa está cheia ao meio-dia com (2 ^ <60> ) bactérias.

Às 11:15, (2 ^ <15> ) bactérias constituem
( frac <2 ^ <15>> <2 ^ <60>> = frac <1> <2 ^ <45>> = 2 ^ <-45> aproximadamente 2,8 vezes 10 ^ <-14> )


Cálculo e equações diferenciais para Ciências da Vida

Os cursos de cálculo são ministrados em universidades de todo o mundo há centenas de anos. The teaching materials for calculus, from traditional textbooks to modern computer software, have been reinvented and refined over the years and have become classical and standard. Thus, the most challenging question for this project is: why do we need to develop a new calculus course? The straightforward answer is that although the basic concepts and techniques of calculus have not changed, many fields where mathematics is applied have developed and advanced, especially in the biological sciences, and most importantly the students have changed. All these changes have increased concerns over science, technology, engineering and mathematics (STEM) education [see Project Kaleidoscope (2006)]. The reforms in STEM education demand a redesign of foundation courses in mathematics, among which calculus is the key to quantitative analysis in sciences.

Although we can teach and learn calculus from the pure and abstract mathematical point of view, the general consensus is that the most efficient way to study/teach Calculus is connecting the mathematical concepts with their applications. Classical applications for teaching Calculus include: moving objects, free fall problems, optimization problems involving area or volume and interest rate problems. These examples have been proved to be very efficient for engineering students but not for the life science majors. We have developed a set of application examples for Calculus, which are more biology oriented. These include: growth/decay problems in any organism population, gene regulation and dynamical changes in biological events such as monitoring the change of patients’ temperature along with the medications. By using these examples, the students would feel the connection between mathematics and their major subjects. Consequently, they are more motivated to study Calculus.

Traditionally, the first Calculus course does not include exponential functions and logarithm functions. Because of the applications as mentioned above, it is essential for us to discuss these two functions in our first Calculus course. With careful planning, this is not difficult to do. In fact, this course could be more efficient than the traditional Calculus I.

The objective of the first semester calculus is to train the students in the basic concepts and techniques of calculus: limit, continuity, differentiation and integration. This course is important because it transitions from high school mathematics to higher mathematical thinking with analytical rigor. It is also important because of its wide applicability in many fields, from science and engineering to economics and social science, allowing students to broaden their horizons of investigation and career options. We believe that most of the students would learn calculus well if they were motivated by the prospective usefulness of calculus in their future studies and careers. They would also appreciate mathematics more if they felt that they were connected with the applications as well as the theories. However, the traditional first-semester calculus focuses on applications in mechanics and physics. Although calculus textbooks nowadays contain some problems in economics and business, chemistry and biology applications are rare and instructors usually do not mention them at all in class, being somewhat unfamiliar with those fields. We will design a new first-semester calculus course which would break this tradition and contain a balanced set of application examples in biology, chemistry, economics and physics. This will then serve as a gateway course for students from all fields so that they can have a broader view about calculus.

Figure 1. Plot of a Michaelis-Menten function. This function is always increasing and concave down. It has a horizontal asymptote, y=4.

For this part, we will cover all the theories and techniques that are covered in the traditional calculus-I course. Unlike in the traditional calculus-I course where most of application problems taught are physics problems, we will carefully choose a mixed set of examples and homework problems to demonstrate the importance of calculus in biology, chemistry and physics, but emphasizing the biology applications.

Exemplo 1. Traditionally, the first application discussed in Calculus I is the distance/velocity/acceleration problem for moving objects including the free-fall problem. For our Bio-enriched Calculus I, we will consider the Michaelis-Menten kinetics function [4][9]:

This function has many applications in biological fields. For example, it can be used for modeling in enzyme reaction or population growth. Aqui n could be the nutrient concentration and f be the growth rate function for bacteria Kmax e Kn are positive constant parameters standing for maximum growth rate and the nutrient density at which the bacteria growth rate reaches Kmax /2. This example can be used to introduce the dependence on nutrient as the first derivative and the acceleration (deceleration) of it as the second derivative. In the later discussions of related rates, we can revisit this example for the relationship of two time dependent functions, u(t) e n(t):

where u(t) e n(t) are bacteria density and nutrient concentration as functions of time, t.
Graphing of the Michaelis-Menten kinetics function can be one stone for two birds: using graphing techniques with derivatives and showing the biological significance of the two parameters Kmax e Kn (Figure 1).

Exemplo 2. (Example given in [2] adapted from [1]) Ichthyosaurs are a group of marine reptiles that were fish-shaped and comparable in size to dolphins. They became extinct during the Cretaceous. Based on a study of 20 fossil skeletons, it was found that the skull length (in cm) and backbone length (in cm) of an individual were related through the allometric equation:

where S(x) is the skull length and B(x) is the backbone length at age x. After differentiation on both sides of the equation and a couple of manipulation steps, we end up with the equation:

The first equation gives the relationship between S(x) e B(x). However, it is the second equation that clearly shows that the backbone grows faster than the skull. This example contains several basic calculus concepts and techniques, derivative, power chain rule, relative growth rates and related growth rates. Plus it stirs the students’ curiosity with questions like why babies always seem to have big heads.

Although all application examples of calculus are interesting in some way, examples from microbiology and paleontology as given above are certainly more fascinating to the students in life sciences. Throughout the course, we will carefully integrate the application examples with the calculus concepts and techniques. By the end of the semester, we have two missions to complete: a solid introduction to calculus with rigorous standards of understanding and mastery, and building a real bridge between mathematics and life sciences.

Referências:
[1] Benton, M. J. and Harper, D (1997), Basic Paleomtology. Addison Wesley and Longman.

[2] Neuhauser, C. (2004), Calculus for Biology and Medicine, 2nd edition, Pearson Education, Inc..