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2.7: Teoremas e conjecturas envolvendo números primos - Matemática


Provamos que existem infinitos primos. A questão que surge naturalmente aqui é a seguinte: Podemos estimar quantos primos há menos do que um determinado número? O teorema que responde a esta pergunta é o teorema dos números primos. Denotamos por ( pi (x) ) o número de primos menores que um dado número positivo (x ). Muitos matemáticos trabalharam neste teorema e conjeturaram muitas estimativas antes de Chebyshev finalmente declarar que a estimativa é (x / log x ). O teorema dos números primos foi finalmente provado em 1896, quando Hadamard e Poussin produziram provas independentes. Antes de declarar o teorema dos números primos, declaramos e provamos um lema envolvendo números primos que será usado nos próximos capítulos.

Lema

Seja (p ) um primo e seja (m in mathbb {Z ^ +} ). Então a maior potência de (p ) dividindo (m! ) É [ sum_ {i = 1} ^ infty left [ frac {m} {p ^ i} right] ]

Entre todos os inteiros de 1 a (m ), existem exatamente ( left [ frac {m} {p} right] ) inteiros que são divisíveis por (p ). Estes são (p, 2p, ..., left [ frac {m} {p} right] p ). Da mesma forma, vemos que existem ( left [ frac {m} {p ^ i} right] ) inteiros que são divisíveis por (p ^ i ). Como resultado, a maior potência de (p ) dividindo (m! ) É

[ sum_ {i geq 1} i left { left [ frac {m} {p ^ i} right] - left [ frac {m} {p ^ {i + 1}} direita] direita } = sum_ {i geq 1} esquerda [ frac {m} {p ^ i} direita] ]

O Teorema do Número Primo

Seja (x> 0 ) então [ pi (x) sim x / log x ]

Portanto, este teorema diz que você não precisa encontrar todos os primos menores que (x ) para descobrir seu número, será suficiente avaliar (x / log x ) para grande (x ) para encontrar uma estimativa do número de primos. Observe que mencionei que (x ) deve ser grande o suficiente para poder usar essa estimativa.

Vários outros teoremas foram provados com relação aos números primos. muitos grandes matemáticos abordaram problemas relacionados aos primos. Ainda existem muitos problemas em aberto, dos quais iremos mencionar alguns.

Conjectura Twin Prime

Existem infinitos pares de números primos (p ) e (p + 2 ).

Conjectura de Goldbach

Cada número inteiro positivo par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois primos.

A conjectura (n ^ 2 + 1 )

Existem infinitos números primos da forma (n ^ 2 + 1 ), onde (n ) é um número inteiro positivo.

Conjectura de Polignac

Para cada número par (2n ), existem infinitos pares de primos consecutivos que diferem por (2n ).

Opperman Conjecture

Há sempre um primo entre (n ^ 2 ) e ((n + 1) ^ 2 )?


Lista de conjecturas primárias

Não há revisões aprovadas desta página, por isso pode não foram revisados.


Esta página foi criada para organizar todas as conjecturas e problemas não resolvidos envolvendo números primos, listados da maior à menor importância. Se novas conjecturas relevantes forem feitas, elas podem ser adicionadas a esta página. Se um dos problemas for resolvido e aceito pela comunidade matemática, eles podem ser removidos.

[R] Bernhard Riemann, "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", (1859) Monatsberichte der Berliner Akademie.
[T] E.C. Titchmarsh, "A teoria da função zeta de Riemann", Oxford. Univ Press
[P] G. Polya, "Bemerkung ueber die Integraldarstellung der Riemannsche zeta-Funktion", Acta Math. 48 (1926), 305-317.
[B] D. Bump, K.K. Choi, P. Kurlberg, J. Vaaler, "A Local Riemann Hypothesis, Matemática. Zeit. 233 (2000) p1-19.
[H] H. Hamburger, "Ueber die Riemannsche Funktionalgleichung der zeta-Funktion", Math. Zeit. 10 (1921), 240-254.
[V] A. Karatsuba, Voronin S., "The Riemann Zeta function, Exposição De Gruyter de Matemática, Transl. Neil Koeblitz (1975) p212.
[F] J. Faraut, A. Koranyi, "espaços de função e núcleos de reprodução em domínios simétricos limitados, J. Funct. Um. 88 (1990) p 64-89.

Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & amp Sons, Inc., 2005, p. 13

Westzynthius, E. (1931), "Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind", Commentationes Physico-Mathematicae Helingsfors 5: 1-37
Shanks, Daniel (1964), "On Maximal Gaps between Successive Primes", Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 18 (88): 646-651
Granville, Andrew (1995), "Harald Cramér e a distribuição dos números primos"
Bem, Thomas R. (1999), "New maximal prime gaps and first occurrences", Mathematics of Computation 68 (227): 1311–1315

Thomas R. Nicely. "O teste de primalidade Baillie-PSW."
R. K. Guy. "Pseudoprimes. Euler Pseudoprimes. Strong Pseudoprimes". §A12 em "Problemas não resolvidos na teoria dos números", 2ª ed. New York: Springer-Verlag, pp. 27-30, 1994.


Conteúdo

Deixar π(x) seja a função de contagem de primos que fornece o número de primos menor ou igual a x, para qualquer número real x. Por exemplo, π(10) = 4 porque há quatro números primos (2, 3, 5 e 7) menores ou iguais a 10. O teorema dos números primos afirma que x / registro x é uma boa aproximação de π(x) (onde log aqui significa o logaritmo natural), no sentido de que o limite do quociente das duas funções π(x) e x / registro x à medida que x aumenta sem limite é 1:

Conhecido como lei assintótica de distribuição de números primos. Usando a notação assintótica, este resultado pode ser reafirmado como

Esta notação (e o teorema) faz não diga qualquer coisa sobre o limite do diferença das duas funções à medida que x aumenta sem limites. Em vez disso, o teorema afirma que x / registro x aproxima π(x) no sentido de que o erro relativo dessa aproximação se aproxima de 0 à medida que x aumenta sem limite.

O teorema dos números primos é equivalente à afirmação de que o enésimo número primo pn satisfaz

a notação assintótica significa, novamente, que o erro relativo dessa aproximação se aproxima de 0 conforme n aumenta sem limite. Por exemplo, o 2 × 10 17º número primo é 8 512 677 386 048 191 063, [2] e (2 × 10 17) log (2 × 10 17) é arredondado para 7 967 418 752 291 744 388, um erro relativo de cerca de 6,4%.

Conforme descrito abaixo, o teorema dos números primos também é equivalente a

Com base nas tabelas de Anton Felkel e Jurij Vega, Adrien-Marie Legendre conjecturou em 1797 ou 1798 que π(uma) é aproximado pela função uma / (UMA registro uma + B), onde A e B são constantes não especificadas. Na segunda edição de seu livro sobre a teoria dos números (1808), ele então fez uma conjectura mais precisa, com UMA = 1 e B = -1,08366. Carl Friedrich Gauss considerou a mesma questão aos 15 ou 16 anos "no ano de 1792 ou 1793", de acordo com suas próprias lembranças em 1849. [3] Em 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet surgiu com sua própria função de aproximação, a integral logarítmica li (x) (sob a forma ligeiramente diferente de uma série, que ele comunicou a Gauss). As fórmulas de Legendre e de Dirichlet implicam na mesma equivalência assintótica conjecturada de π(x) e x / registro(x) afirmado acima, embora tenha se revelado que a aproximação de Dirichlet é consideravelmente melhor se considerarmos as diferenças em vez dos quocientes.

Em dois artigos de 1848 e 1850, o matemático russo Pafnuty Chebyshev tentou provar a lei assintótica da distribuição dos números primos. Seu trabalho se destaca pelo uso da função zeta ζ(s), para valores reais do argumento "s", como nas obras de Leonhard Euler, já em 1737. Os documentos de Chebyshev são anteriores às célebres memórias de Riemann de 1859, e ele conseguiu provar uma forma ligeiramente mais fraca da lei assintótica, a saber, que se o limite de x vai para o infinito de π(x) / (x / registro(x)) existe, então é necessariamente igual a um. [4] Ele foi capaz de provar incondicionalmente que essa razão é limitada acima e abaixo por duas constantes explicitamente dadas próximas a 1, para todo x suficientemente grande. [5] Embora o artigo de Chebyshev não tenha provado o Teorema dos Números Primos, suas estimativas para π(x) eram fortes o suficiente para provar o postulado de Bertrand de que existe um número primo entre n e 2n para qualquer inteiro n ≥ 2 .

Um artigo importante sobre a distribuição de números primos foi o livro de memórias de Riemann, de 1859, "Sobre o número de primos menores que uma magnitude dada", o único artigo que escreveu sobre o assunto. Riemann introduziu novas idéias no assunto, principalmente que a distribuição de números primos está intimamente conectada com os zeros da função zeta de Riemann analiticamente estendida de uma variável complexa. Em particular, é neste artigo que a ideia de aplicar métodos de análise complexa ao estudo da função real π(x) se origina. Estendendo as idéias de Riemann, duas provas da lei assintótica da distribuição dos números primos foram encontradas independentemente por Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée Poussin e apareceram no mesmo ano (1896). Ambas as provas utilizaram métodos de análise complexa, estabelecendo como principal etapa da prova que a função zeta de Riemann ζ(s) é diferente de zero para todos os valores complexos da variável s que têm a forma s = 1 + isto com t & gt 0. [6]

Durante o século 20, o teorema de Hadamard e de la Vallée Poussin também se tornou conhecido como o teorema dos números primos. Várias provas diferentes foram encontradas, incluindo as provas "elementares" de Atle Selberg e Paul Erdős (1949). As provas originais de Hadamard e de la Vallée Poussin são longas e elaboradas provas posteriores que introduziram várias simplificações através do uso de teoremas de Tauber, mas permaneceram difíceis de digerir. Uma pequena prova foi descoberta em 1980 pelo matemático americano Donald J. Newman. [7] [8] A prova de Newman é indiscutivelmente a prova conhecida mais simples do teorema, embora seja não elementar no sentido de que usa o teorema integral de Cauchy da análise complexa.

Aqui está um esboço da prova mencionada em uma das palestras de Terence Tao. [9] Como a maioria das provas do PNT, ele começa reformulando o problema em termos de uma função de contagem de primos menos intuitiva, mas melhor comportada. A ideia é contar os primos (ou um conjunto relacionado, como o conjunto de potências primárias) com pesos para chegar a uma função com comportamento assintótico mais suave. A função de contagem generalizada mais comum é a função Chebyshev ψ(x) , definido por

Isso às vezes é escrito como

Onde Λ(n) é a função de von Mangoldt, a saber

Agora é relativamente fácil verificar se o PNT é equivalente à alegação de que

Na verdade, isso decorre de estimativas fáceis

e (usando a notação grande O) para qualquer ε & gt 0,

A próxima etapa é encontrar uma representação útil para ψ(x) Deixar ζ(s) seja a função zeta de Riemann. Pode-se mostrar que ζ(s) está relacionado à função de von Mangoldt Λ(n) e, portanto, para ψ(x), por meio da relação

Uma análise delicada desta equação e propriedades relacionadas da função zeta, usando a transformada de Mellin e a fórmula de Perron, mostra que para o não inteiro x a equação

mantém, onde a soma é sobre todos os zeros (triviais e não triviais) da função zeta. Esta fórmula notável é uma das chamadas fórmulas explícitas da teoria dos números, e já sugere o resultado que desejamos provar, uma vez que o termo x (afirmado ser a ordem assintótica correta de ψ(x)) aparece no lado direito, seguido por (presumivelmente) termos assintóticos de ordem inferior.

A próxima etapa da prova envolve um estudo dos zeros da função zeta. Os zeros triviais −2, −4, −6, −8,. pode ser tratado separadamente:

que desaparece por um grande x. Os zeros não triviais, ou seja, aqueles na faixa crítica 0 ≤ Re (s) ≤ 1, pode ser potencialmente de uma ordem assintótica comparável ao termo principal x se Re (ρ) = 1, então precisamos mostrar que todos os zeros têm parte real estritamente menor que 1.

Não desaparecendo em Re (s) = 1 edição

Para fazer isso, consideramos que ζ(s) é meromórfico no semiplano Re (s) & gt 0, e é analítico, exceto por um pólo simples em s = 1, e que existe uma fórmula de produto

para Re (s) & gt 1. Esta fórmula de produto segue da existência de fatoração única de números inteiros, e mostra que ζ(s) nunca é zero nesta região, de modo que seu logaritmo é definido lá e

Escreva s = x + iy então

para todos x & gt 1. Suponha agora que ζ(1 + iy) = 0. Certamente y não é zero, uma vez que ζ(s) tem um mastro simples em s = 1. Suponha que x & gt 1 e deixe x tender a 1 de cima para baixo. Uma vez que ζ (s) < displaystyle zeta (s)> tem um pólo simples em s = 1 e ζ(x + 2iy) permanece analítico, o lado esquerdo na desigualdade anterior tende a 0, uma contradição.

Por fim, podemos concluir que o PNT é heuristicamente verdadeiro. Para completar rigorosamente a prova, ainda há sérios tecnicismos a serem superados, devido ao fato de que a soma sobre zeta zeros na fórmula explícita para ψ(x) não converge absolutamente, mas apenas condicionalmente e em um sentido de "valor principal". Existem várias maneiras de contornar esse problema, mas muitas delas requerem estimativas analíticas complexas bastante delicadas. O livro de Edwards [10] fornece os detalhes. Outro método é usar o teorema de Tauber de Ikehara, embora este teorema seja bastante difícil de provar. D. J. Newman observou que a força total do teorema de Ikehara não é necessária para o teorema dos números primos, e pode-se escapar com um caso especial que é muito mais fácil de provar.

D. J. Newman dá uma demonstração rápida do teorema dos números primos (PNT). A prova é "não elementar" em virtude de se basear na análise complexa, mas a estimativa crítica usa apenas técnicas elementares de um primeiro curso no assunto: fórmula integral de Cauchy, teorema integral de Cauchy e estimativas de integrais complexos. Aqui está um breve esboço dessa prova:


Esse cara diz que resolveu o problema aberto mais controverso da matemática

Ele tem a prova (600 páginas). Mas outros matemáticos têm seus forcados.

  • Um jornal de matemática revisado por pares publicará finalmente uma prova controversa de uma grande ideia matemática. (Mas é o próprio diário do matemático.)
  • As provas matemáticas podem passar por muitas iterações e tentativas antes de estarem corretas.
  • A conjectura abc data da década de 1980 e é uma extensão do último teorema de Fermat.

Um dos principais problemas pendentes na teoria dos números foi finalmente resolvido? Ou é a prova de 600 páginas faltando uma peça chave? O veredicto ainda não foi aceito, mas a prova, pelo menos, finalmente aparecer em um jornal revisado por pares.

No entanto, há apenas um problema: o próprio matemático, Shinichi Mochizuki, é um dos editores mais antigos do jornal.

Para quem está fora da matemática acadêmica, é difícil explicar o quão estranhamente dramática esta situação tem sido e como enorme uma prova bem-sucedida da conjectura abc seria. Natureza compara com a prova de 1994 de Último teorema de Fermat e rsquos, que foi um marco gigantesco em matemática & mdashand, aos 26 anos, o mais recente no mesmo nível de desempenho.

Ambas as provas também envolvem uma categoria algébrica única conhecida como problemas diofantinos. Estas são equações para as quais as pessoas procuram encontrar soluções inteiras, como os casos especiais do teorema de Pitágoras chamado Triplos pitagóricos. Quando você estuda uma equação e você interessado em soluções que são números inteiros, este é um problema diofantino.

A conjectura abc tem alguns pontos em comum com o teorema de Pitágoras e outros problemas diofantinos, envolvendo uma relação entre um uma e b somados a um resultado c. Esses números podem ser levados a expoentes altos e ainda ter uma relação demonstrável? Isso é o que os matemáticos vêm tentando provar desde que os matemáticos o observaram pela primeira vez, em meados da década de 1980. E, de fato, a conjectura é uma extensão do último teorema de Fermat & rsquos.

Mochizuki publicou pela primeira vez uma prova do tamanho de um romance de Michener da conjectura abc em 2012, quando ele despejou 500 páginas online sem a menor cerimônia e disse que ele provou isso. Mas este não é o primeiro rodeio de ninguém. Demonstrou-se que tentativas públicas anteriores de provar a conjectura contêm erros. Isso não é incomum no processo de provar ideias complexas e marcantes, onde diferentes cientistas costumam iterar uma nova etapa por vez com base no que seus colegas estão fazendo.

Quando a prova de Mochizuki e rsquos apareceu pela primeira vez, outros matemáticos vacilaram tanto com a ideia de uma prova da conjectura abc quanto com a obscuridade desconcertante do próprio trabalho. Mochizuki tinha inventado um andaime fantasma de noções abstratas que sombreiam as idéias matemáticas reais e notações para pendurar sua prova muito longa naquele andaime. De certa forma, tentar decifrar a prova primeiro exigia aprender um sistema e notação inteiramente novos.

A data, ninguém compreendeu totalmente esta prova o suficiente para validá-la e comunicar sua estrutura e fluxo lógico a outros. O próprio Mochizuki é recluso e realmente não ajudou a iluminar seus mecanismos obscuros.

Alguns anos atrás, os matemáticos ficaram chateados ao saber que a prova seria publicada em um jornal revisado por pares e, em 2018, dois proeminentes colegas matemáticos disseram que tinham certeza a prova estava errada.

Os rumores de publicação eram falsos na época, ou talvez rescindidos após o clamor dos matemáticos. Mas agora, a prova realmente aparecerá em algum tipo de edição especial da Publicações do Instituto de Pesquisa para Ciências Matemáticas (RIMS), seguindo o que eles dizem é a mesma revisão rigorosa por pares que fariam para qualquer pessoa. Não é apenas a prova escandalosa em questão aqui & mdashit & rsquos o fato de que Mochizuki é AROSEditor chefe do & rsquos.

Talvez ter o gigante de 500 páginas impresso reavive o debate e traga quaisquer falhas à tona, de forma conclusiva, de uma vez por todas. É difícil dizer com certeza quando as próprias idéias matemáticas estão tão longe da norma a ponto de parecer matemática de fora. Qualquer pessoa que tenha enviado submissões para publicação técnica ou matemática recebeu documentos gigantescos e complicados, cujos autores insistem que eles comprovaram algo enorme.


MAT 112 Matemática Antiga e Contemporânea

Foi relativamente fácil provar que existem infinitos primos (Teorema 10.4.1). Para chegar a um novo resultado matemático, muitas vezes é necessário muito estudo, investigação e discernimento. Surgem ideias, passos em direção a uma prova são dados e, às vezes, essas ideias precisam ser ajustadas. Nesse processo, é possível desenvolver uma afirmação que se acredita ser verdadeira, mas não foi formalmente comprovada. Essa declaração é chamada de conjetura e é frequentemente conhecido na matemática como um problema aberto. Concluímos esta seção apresentando uma conjectura importante envolvendo primos. Embora a afirmação da conjectura seja fácil de entender e os experimentos de computador não tenham apresentado um contra-exemplo, não sabemos se é verdade.

Fornecemos uma visão geral da conjectura do primo gêmeo no vídeo da Figura 10.5.1. Mais detalhes são fornecidos a seguir.

Começamos com a definição de primos gêmeos.

Definição 10.5.2.
Exemplo 10.5.3. Primos gêmeos.

Os primeiros quatro pares primos gêmeos são

Problema 10.5.4. Reconhecer primos gêmeos.

Determine se (89 ) é ou não parte de um par primo gêmeo.

Problema 10.5.5. Reconhecer primos gêmeos.

Determine se (137 ) é ou não uma parte de um par primo gêmeo.

A conjectura do primo gêmeo é a afirmação de que existem infinitos pares primos gêmeos.

Conjectura 10.5.6. Conjectura Twin Prime.

Existem infinitos primos (p ) tais que (p + 2 ) também é primo.

Esta é a primeira (e única) conjectura que você encontrará neste curso. É importante distinguir conjecturas e teoremas. Tanto conjecturas quanto teoremas são afirmações. Embora os teoremas sejam afirmações verdadeiras, para uma conjectura ninguém ainda determinou se ela é verdadeira ou falsa. Assim que é determinado por uma prova de que uma conjectura é verdadeira, torna-se um teorema. Veja também o tratamento desse tópico no prefácio da Subseção 4.

Ponto de verificação 10.5.7. Essas são conjecturas, definições ou teoremas?

Está fora do escopo deste curso tentar provar a conjectura do primo gêmeo. No entanto, é interessante ver se os primos gêmeos existem (se não, a conjectura seria falsa e não teria muito interesse).

Problema 10.5.8. Conte os pares primos gêmeos.

Quantos pares primos gêmeos existem até (100 )?

Com a Tabela 10.2.4, obtemos que os pares primos gêmeos até (100 ) são:

Parece que há menos primos gêmeos do que primos. No Checkpoint 10.5.9, conte o número de primos e primos gêmeos até um determinado número natural.

Ponto de verificação 10.5.9. Conte os primos e os pares primos gêmeos.

O progresso no sentido de provar a conjectura do primo gêmeo (Conjectura 10.5.6) foi feito recentemente. Em 2013, Yitang Zhang [10] fez um grande avanço ao provar que existem infinitos primos (p ) e (q ) tais que (p-q le 70.000.000 text <.> )

Logo após isso foi melhorado consideravelmente, de tal forma que agora se sabe que existem infinitos primos (p ) e (q ) tais que (pq le 246 text <.> ) Quando fica provado que existem infinitos primos (p ) e (q ) tais que (pq le 2 text <,> ) a conjectura dos primos gêmeos é comprovada.

Terminamos esta seção com uma canção sobre a conjectura do primo gêmeo na Figura 10.5.10.


Os matemáticos nunca vão parar de provar o teorema dos números primos

A quantidade de números primos, vistos como pontos amarelos nesta espiral hexagonal de inteiros positivos, diminui à medida que os números ficam maiores - uma relação descrita pelo teorema dos números primos e comprovada várias vezes.

Susan D & # x27Agostino

“Você não tem que acreditar em Deus, mas tem que acreditar em O livro”, Disse certa vez o matemático húngaro Paul Erdős. O livro, que só existe em teoria, contém as provas mais elegantes dos teoremas mais importantes. O mandato de Erdős sugere os motivos dos matemáticos que continuam a buscar novas provas de teoremas já provados. Um dos favoritos é o teorema dos números primos - uma afirmação que descreve a distribuição dos números primos, aqueles cujos únicos divisores são 1 e eles próprios. Embora os matemáticos nunca saibam se uma prova mereceria inclusão em O livro, dois contendores fortes são as primeiras provas independentes do teorema dos números primos em 1896 por Jacques Hadamard e Charles-Jean de la Vallée Poussin.

Então, o que esse teorema realmente diz?

O teorema dos números primos fornece uma maneira de aproximar o número de primos menor ou igual a um determinado número n. Este valor é denominado π (n), em que π é a "função de contagem principal". Por exemplo, π (10) = 4, pois há quatro primos menores ou iguais a 10 (2, 3, 5 e 7). Da mesma forma, π (100) = 25, visto que 25 dos primeiros 100 inteiros são primos. Entre os primeiros 1.000 inteiros, há 168 primos, então π (1.000) = 168 e assim por diante. Observe que, ao considerarmos os primeiros 10, 100 e 1.000 inteiros, a porcentagem de primos passou de 40% para 25% para 16,8%. Esses exemplos sugerem, e o teorema dos números primos confirma, que a densidade dos números primos em ou abaixo de um determinado número diminui à medida que o número aumenta.

Mas mesmo se você tivesse uma lista ordenada de inteiros positivos até, digamos, 1 trilhão, quem iria querer determinar π (1.000.000.000.000) por meio de uma contagem manual? O teorema dos números primos oferece um atalho.

O teorema nos diz que π (n) é "assintoticamente igual" a $ latex frac< ln (n)> $, onde em é o logaritmo natural. (Você pode pensar em uma igualdade assintótica como uma igualdade aproximada, embora seja tecnicamente mais do que isso.) Como exemplo, vamos estimar o número de primos até 1 trilhão. Em vez de contar primos individuais para determinar π (1.000.000.000.000), você poderia usar este teorema para aprender que existem aproximadamente $ latex frac <1.000.000.000.000> < ln (1.000.000.000.000)> $ deles, o que é igual. 36.191.206.825 quando arredondado para um número inteiro. Esse valor é apenas cerca de 4% inferior à resposta real, 37.607.912.018.

Com igualdade assintótica, a precisão melhora à medida que você insere números maiores na fórmula. Basicamente, conforme você se dirige para o infinito - que não é em si um número, mas algo maior do que qualquer número - a igualdade aproximada no teorema se aproxima de uma igualdade real. Isso apesar do fato de que o número real de primos sempre será igual a um inteiro, enquanto do outro lado da igualdade assintótica, a fração envolvendo a função de logaritmo natural pode ser igual a qualquer valor na reta do número real. Essa conexão entre inteiros e números reais é, na melhor das hipóteses, contra-intuitiva.

É uma coisa alucinante, mesmo entre os matemáticos. De forma enlouquecedora, a afirmação do teorema dos números primos não sugere por que nada disso é verdade.

“O teorema nunca foi sobre o teorema. Sempre se tratou da prova ”, disse Michael Bode, professor de matemática da Queensland University of Technology, na Austrália.

Por mais elegantes que fossem, as provas originais de Hadamard e de la Vallée Poussin baseavam-se na análise complexa - o estudo de funções com números imaginários - que alguns consideraram insatisfatória, pois a afirmação deste teorema não envolve números complexos. No entanto, G.H. Hardy, em 1921, apelidou a perspectiva de uma prova não analítica - conhecida como prova elementar - do teorema dos números primos de "extraordinariamente improvável" e afirmou que, se alguém encontrasse uma, seria necessário "reescrever a teoria".

O próprio Atle Selberg e o próprio Erdős aceitaram o desafio e, em 1948, cada um publicou novas provas elementares independentes do teorema dos números primos usando propriedades de logaritmos. Essas provas levaram outros matemáticos a considerar métodos semelhantes para conjecturas da teoria dos números anteriormente consideradas muito profundas para esses métodos aparentemente simples. Muitos resultados empolgantes se seguiram, incluindo a prova elementar de Helmut Maier de 1985 mostrando irregularidades inesperadas na distribuição dos primos.

“Tantas questões abertas se baseiam no teorema dos números primos”, disse Florian Richter, um matemático da Northwestern University que recentemente postou uma nova prova elementar dessa célebre declaração. Richter encontrou sua prova enquanto tentava provar uma extensão de longo alcance do teorema dos números primos.

Com o tempo, os teóricos dos números ajudaram a estabelecer uma cultura na qual os matemáticos trabalharam em provar e reaprovar teoremas não apenas para verificar afirmações, mas também para melhorar suas habilidades em provar teoremas e sua compreensão da matemática envolvida.

Isso vai além do teorema dos números primos. Paulo Ribenboim catalogou pelo menos 7 provas da infinitude dos primos. Steven Kifowit e Terra Stamps identificaram 20 provas demonstrando que a série harmônica, 1+ $ latex frac <1> <2> $ + $ latex frac <1> <3> $ + $ latex frac <1> <4> $ + $ latex frac <1> <5> $ + $ latex frac <1> <6> $ + $ latex frac <1> <7> $ +…, não é igual a um número finito, e Kifowit depois seguido por mais 28. Bruce Ratner cita mais de 371 provas diferentes do teorema de Pitágoras, incluindo algumas joias fornecidas por Euclides, Leonardo da Vinci e o presidente dos Estados Unidos, James Garfield, que era membro do Congresso de Ohio na época.

Esse hábito de provar coisas agora está tão arraigado que os matemáticos podem literalmente contar com ele. Tom Edgar e Yajun An notaram que houve 246 provas de uma afirmação conhecida como lei de reciprocidade quadrática seguindo a prova original de Gauss em 1796. Traçando o número de provas ao longo do tempo, eles extrapolaram que poderíamos esperar a 300ª prova desse teorema por volta de o ano de 2050.

“Adoro novas provas de velhos teoremas pela mesma razão que adoro novos caminhos e atalhos para lugares que já visitei”, disse Sophia Restad, uma estudante de pós-graduação da Universidade Estadual do Kansas Esses novos caminhos fornecem aos matemáticos um sentido figurativo de lugar para a atividade intelectual.

Os matemáticos podem nunca parar de procurar caminhos novos e mais esclarecedores para o teorema dos números primos e outros
amados teoremas. Com sorte, alguns deles vão até merecer
inclusão em O livro.


Primeiras conjecturas e perguntas abertas

Conjectura de Goldbach: todos os pares n & gt 2 é a soma de dois primos. Goldbach escreveu uma carta a Euler em 1742 sugerindo que todo número inteiro n & gt 5 é a soma de três primos. Euler respondeu que isso é equivalente a todo par n & gt 2 é a soma de dois primos- isso agora é conhecido como conjectura de Goldbach. Schnizel mostrou que a conjectura de Goldbach é equivalente a cada número inteiro n & gt 17 é a soma de três distinto primos.
Foi provado que todo inteiro par é a soma de no máximo seis primos [Ramar & eacute95] (a conjectura de Goldbach sugere dois) e em 1966 Chen provou que todo inteiro par suficientemente grande é a soma de um primo mais um número com não mais do que dois primos fatores (a P2) Em 1993, Sinisalo verificou a conjectura de Goldbach para todos os inteiros menores que 4. 10 11 [Sinisalo93]. Mais recentemente, Jean-Marc Deshouillers, Yannick Saouter e Herman te Riele verificaram isso até 10 14 com a ajuda de um Cray C90 e várias estações de trabalho. Em julho de 1998, Joerg Richstein concluiu uma verificação para 4. 10 14 e colocou uma lista de campeões online. Um trabalho mais recente de Oliveira e Silva estendeu esse número para pelo menos 4. 10 17. Consulte [Ribenboim95] e [Wang84] para obter mais informações.

O Problema Odd Goldbach: Cada ímpar n & gt 5 é a soma de três primos. Houve um progresso substancial nisso, o caso mais fácil da conjectura de Goldbach. Em 1937, Vinogradov provou que isso é verdade para inteiros ímpares suficientemente grandes n. Em 1956, Borodzkin mostrou n & gt 3 14348907 é suficiente (o expoente é 3 15). Em 1989, Chen e Wang reduziram esse limite para 10 43.000. O expoente ainda deve ser reduzido drasticamente antes que possamos usar os computadores para cuidar de todos os pequenos casos.

Cada número par é a diferença de dois primos. O trabalho de Chen mencionado na discussão da conjectura de Goldbach também mostrou que todo número par é a diferença entre um primo e um P2.

Para cada número par 2n existem infinitos pares de consecutivo primos que diferem por 2n. Conjecturado por Polignac 1849. Quando n= 1 esta é a conjectura do primo gêmeo. É fácil mostrar que para cada número inteiro positivo m há um número par 2n de modo que há mais do que m pares de primos consecutivos com diferença 2n.

Conjectura do primo gêmeo: Existem infinitos primos gêmeos. Em 1919, Brun provou que a soma dos recíprocos dos primos gêmeos converge, de modo que a soma B = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13 ) + (1/17 + 1/19) +. é Constante de Brun. B = 1.902160577783278. Veja a entrada do Glossário Principal sobre a conjectura do primo gêmeo.

Existem infinitos primos da forma n 2 +1? Existem infinitas formas n 2 +m 2 e n 2 +m 2 +1. Uma forma mais geral desta conjectura é se a, b, c são relativamente primos, a é positivo, a + b e c não são pares e b 2 -4ac não é um quadrado perfeito, então há infinitos primos an 2 + bn + c [HW79, p19].

O número de primos de Fermat é finito. Hardy e Wright apresentam um argumento para essa conjectura em sua conhecida nota de rodapé [HW79, p15], que é mais ou menos como segue. Pelo teorema dos números primos, a probabilidade de que um número aleatório n é primo é no máximo uma/registro(n) para alguma escolha de uma. Portanto, o número esperado de primos de Fermat é no máximo a soma de uma/ log () & lt uma/2 n , mas essa soma é uma. No entanto, como observam Hardy e Wright, os números de Fermat não se comportam "aleatoriamente" porque são pares relativamente primos.

Sempre há um primo entre n 2 e (n+1) 2 ? Em 1882, Opperman declarou pi (n 2 +n) & gt pi (n 2) & gt pi (n 2 -n) (n& gt1), o que também parece muito provável, mas permanece não comprovado [Ribenboim95, p248]. Ambas as conjecturas se seguiriam se pudéssemos provar a conjectura de que a lacuna do primo seguindo um primo p é limitado por um tempo constante (log p) 2 .


Conjectura de Goldbach e # 8217s

Aqui está um famoso problema não resolvido: cada número par maior que 2 é a soma de 2 primos?

O Conjectura de Goldbach, dating from 1742, says that the answer is yes.

Some simple examples:
4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7, …, 100=53+47, …

What is known so far:
Schnirelmann(1930): There is some N such that every number from some point onwards can be written as the sum of at most N primes.
Vinogradov(1937): Every odd number from some point onwards can be written as the sum of 3 primes.
Chen(1966): Every sufficiently large even integer is the sum of a prime and an “almost prime” (a number with at most 2 prime factors).

See the reference for more details.

Presentation Suggestions:
Have students suggest answers for the first few even numbers.

The Math Behind the Fact:
This conjecture has been numerically verified for all even numbers up to several million. But that doesn’t make it true for all N… see Large Counterexample for an example of a conjecture whose first counterexample occurs for very large N.

How to Cite this Page:
Su, Francis E., et al. “Goldbach’s Conjecture.” Math Fun Facts. <https://www.math.hmc.edu/funfacts>.

References:
Paulo Ribenboim, The Little Book of Big Primes, Springer-Verlag, 1991, pp.154-155.


Nature of Mathematics

Let us begin with a few facts about the prime numbers.

There are an infinite number of prime numbers. Remember we saw a proof of this by Euclid.

Every positive integer can be factored (uniquely) into a product of prime numbers. Here are some examples

5601319004198125000 = 2³ x 5^7 x 13^5 x 17^6

Euler’s theorem: If you have had some calculus before you can prove that 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +…. = ∞. Euler showed that 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17+… (the sum of the reciprocals of the primes) is also equal to ∞.

Mersenne primes : Numbers of the form M_p = 2^p – 1 are called Mersenne numbers. Not all of them are prime. However, if M_p is prime then p must be prime. The converse is not true. Can you find a counterexample? However, Mersenne primes are good candidates for large prime numbers. For example, 2^(43112609) – 1 is prime (and has 12978189 digits). Mersenne primes even have their own homepage. In fact, when you click on that page, you can participate in the great Mersenne prime search (GIMPS). More often than not, when you hear in the popular press that mathematicians have discovered a new largest prime, it is usually a Mersenne prime.

Fermat primes : Numbers of the form F_n = 2^(2^n) + 1 are called Fermat numbers. Notice that

and these numbers are prime! However, not every Fermat number is prime. Por exemplo

F_5 = 4294967297 = 641 x 6700417

F_6 = 18446744073709551617 = 274177 x 67280421310721

One can prove that if F^k + 1 is prime then k = 2^n.

Open question: Are F_0, F_1, F_2. F_3. F_4 the Fermat primes? If you are thinking of getting out your computer and checking to see if F_7, F_8, F_9, etc are prime, don’t bother. As far as any computer can compute, these numbers are all not prime. But you never know, there might be some very very very large n out there such that F_n is a new Fermat prime. If you discover, such an n, you will definitely be famous.

Open question: Are there an infinite number of Fermat primes? Answer this question and you will be really really famous.

Why are the Fermat primes important? Well, they bring us back to straightedge and compass constructions we talked about earlier.

Theorem (Gauss, Wantzel): A regular n-gon is constructible using only a straightedge and compass if and only if n = 2^k (p_1 p_2….p_s), where p_1, p_2,…are distinct Fermat primes.

For example: A regular 17-gon is constructible (since 17 is a Fermat prime) as is a regular 34-gon (since 34 = 2 x 17). However a regular 18-gon is not constructible.

So, those are a few facts about primes. There are many many interesting others. The focus here is the prime number theorem. A question that has been around for many years is “How many primes are less than or equal to x?”. Let us denote π(x) to be the number of primes less than or equal to x.

π(2) = 1 (since 2 is the only prime less than or equal to 2)

π(3) = 2 (since both 2 and 3 are primes less than or equal to 2)

Here is a plot of the first several values of π(x)

Notice how the graph is constant and jumps up when you reach a new prime number (Why?)

There is no precise formula for π(x). We can only understand it through its behavior as x goes to infinity. Gauss made large tables of π(x) and had the idea to compare it to x/ln(x), where ln(x) is the natural log function. Here are some graphs of π(x) and x/ln(x) on the same axis.

From looking at these graphs, one might conjecture, as Gauss did, that π(x)/(x ln(x)) goes to one as x goes to infinity. Here are a few graphs of π(x)/(x ln(x))

So it certainly seems like π(x)/(x ln(x)) goes to one as x goes to infinity. Maybe it is better to say π(x)

Theorem (The prime number theorem): π(x)

This theorem took a long time to prove and was done in several steps which are too technical to get into here. The final result was proved independently by J. Hadamard and C. de la Valle Poussin in 1896. Their proofs were long but fortunately others after them were able to come up with shorter proofs.

A little more history here. Actually, Gauss used the Li(x) function which is the integral from 2 to x of 1/ln(x) as an estimator of x/ln(x).

In this case the prime number theorem becomes

Various mathematicians came up with estimates towards the prime number theorem. A nice link for this is from the Wolfram page.

Here is a nice consequence of the prime number theorem.

Corollary: If p_n in the n-th prime number, then p_n

n ln(n), i.e., p_n/(n ln(n)) goes to one as n goes to infinity.

We will give a proof of this in class. Let’s try this out. Here is a graph of p_n/(n ln(n))

Notice how this graph approaches one as n gets bigger and bigger.

G. H. Hardy (we will read about his life later) was able to improve this estimate.

Theorem (Hardy) : p_n

Here is a graph of p_n/(n ln(n) + n ln(ln(n)) – n) below. Notice how this graph approaches one faster than the previous graph.

Final comment about the prime number theorem:

You will notice that the graph of li(x) lies on top of π(x). In other words li(x) > π – at least for the values we can see (in this case up to x equal to one million). We know that π(x)

x/ln(x) so these graphs get closer and closer but do we always have li(x) > π(x)? The answer is no. What is amazing is that the graphs of π(x) and li(x) do indeed switch places infinitely often but only after some really BIG number called Skewes number.

We can’t leave our study of the prime number theorem without mentioning that there is a closely related problem which poses to get a finer estimate on π(x). It is called the Riemann Hypothesis and is considered one of the most difficult and important unsolved problems in mathematics. In fact, it is so important to solve that the Clay Mathematics Institute has put up the money for a one million dollar prize for the person who can solve this problem. We won’t get into an explanation of the Riemann hypothesis now since it is a bit technical for an introductory course. But as you learn more mathematics, do look this problem up. It is definitely important and related to a lot of different types of mathematics. In fact many things are logically equivalent to the Riemann Hypothesis. So solve the Riemann Hypothesis and you solve a bunch of other problems too!


First proof that prime numbers pair up into infinity

Mathematician announces breakthrough towards solving centuries-old problem.

It is a result only a mathematician could love. Researchers hoping to get ‘2’ as the answer to a long-sought proof involving pairs of prime numbers are celebrating the fact that a mathematician has wrestled the value down from infinity to 70 million.

“That’s only 35 million away” from the target, quips Dan Goldston, an analytical number theorist at San Jose State University in California who was not involved in the work. A factor of 35 million, that is. “Every step down is a step towards the ultimate answer,” he adds.

That goal is the proof of a conjecture concerning prime numbers: whole numbers that are divisible only by one and by themselves. Primes abound among smaller numbers, but become less and less frequent as numbers grow larger. In fact, on average, the gap between each prime number and the next becomes larger and larger. But there are exceptions: the ‘twin primes’, which are pairs of prime numbers that differ in value by just 2. Examples of known twin primes are 3 and 5, 17 and 19, and 2,003,663,613 × 2 195,000 − 1 and 2,003,663,613 × 2 195,000 + 1.

The 'twin prime conjecture' holds that there is an infinite number of such twin pairs. Some attribute the conjecture to the Greek mathematician Euclid of Alexandria if true that would make it one of the oldest open problems in mathematics.

So far, the problem has eluded all attempts to find a solution. A major milestone was reached in 2005, when Goldston and two colleagues showed that there is an infinite number of prime pairs that differ by no more than 16 (ref. 1). But there was a catch. “They were assuming a conjecture that no one knows how to prove,” says Dorian Goldfeld, a number theorist at Columbia University in New York.

The new result, from Yitang Zhang at the University of New Hampshire in Durham, finds that there are an infinite number of pairs of primes that are less than 70 million units apart without relying on unproven conjectures. And although 70 million might seem like a very large number, the existence of any finite boundary, no matter how large, means that that the gaps between consecutive numbers don’t keep growing forever. The jump from 2 to 70 million is nothing compared with the jump from 70 million to infinity. “If this is right, I’m absolutely astounded,” says Goldfeld.

Zhang presented his research on 13 May to an audience of a few dozen at Harvard University in Cambridge, Massachusetts, and the fact that the work seems to use standard mathematical techniques led some to question whether Zhang could really have succeeded where others have failed.

But a referee report from the Annals of Mathematics, to which Zhang submitted his paper, suggests he has. “The main results are of the first rank,” states the report, a copy of which Zhang provided to Natureza. “The author has succeeded to prove a landmark theorem in the distribution of prime numbers … we are very happy to strongly recommend acceptance of the paper for publication in the Annals.”

Goldston, who was sent a copy of the paper, says that he and the other researchers who have seen it “are feeling pretty good” about it. “Nothing is obviously wrong,” he says.

For his part, Zhang, who has been working on the paper since a key moment of insight last July, expects that the paper’s mathematical machinery will allow for the value of 70 million to be pushed downwards. “We may reduce it,” he says.

Goldston does not think the value can be reduced all the way to 2 to prove the twin prime conjecture. But he says the very fact that there is a number at all is a huge breakthrough. “I was doubtful I would ever live to see this result,” he says.

Zhang will resubmit the paper, with a few minor tweaks, this week.


Assista o vídeo: Matematikk fellesfag: Faktorisering og primtall (Dezembro 2021).