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8.2: Princípios de adição e multiplicação


Lembre-se de que a cardinalidade de um conjunto finito (A ), denotado (| A | ), é o número de elementos que ele contém.

Exemplo ( PageIndex {1} label {eg: addmult-01} )

Se (A = {- 1,0,2 } ), então (| A | = 3 ). Além disso, [ begin {array} {rcl} | {2 } | & = & 1, | {2,5, -1, -3 } | & = & 4, | {x in mathbb {R} mid x ^ 2 = 1 } | & = & 2. end {array} nonumber ] Observe que (| emptyset | = 0 ), porque um conjunto vazio não contém nenhum elemento.

Torna-se mais interessante quando consideramos o cardinalidade de uma união ou interseção de dois ou mais conjuntos.

Exemplo ( PageIndex {2} label {eg: addmult-02} )

Determine (| A cup B | ) e (| A cap B | ) se (A = {2,5 } ) e (B = {7,9,10 } ).

Solução

Uma vez que (A xícara B = {2,5,7,9,10 } ), e (A cap B = conjunto vazio ), é claro que (| A xícara B | = 5 ) e (| A cap B | = 0 ).

Exemplo ( PageIndex {3} label {eg: addmult-03} )

Determine (| A cup B | ) e (| A cap B | ) se (A = {2,5 } ) e (B = {5,9,10 } ).

Solução

Como (A xícara B = {2,5,9,10 } ), e (A cap B = {5 } ), é claro que (| A xícara B | = 4 ) e (| A cap B | = 1 ).

exercício prático ( PageIndex {1} label {he: addmult-01} )

Seja (A = {n in mathbb {Z} mid -5 leq n leq3 } ), e (B = {n in mathbb {Z} mid -3 leq n leq5 } ). Avalie (| A cap B | ) e (| A cup B | ).

A diferença entre os dois últimos exemplos é se os dois conjuntos (A ) e (B ) têm uma interseção não vazia. Dois conjuntos (A ) e (B ) são disjuntar if (A cap B = emptyset ). Uma coleção de conjuntos (A_1, A_2, ldots, A_n ) é considerada disjunto aos pares if (A_i cap A_j = emptyset ) sempre que (i neq j ). Quando (A_1, A_2, ldots, A_n ) são disjuntos aos pares, sua união é chamada de união disjunta.

Exemplo ( PageIndex {4} label {eg: addmult-04} )

Seja (A = {1,0, -1 } ), (B = {- 2,0,2 } ), (C = {- 2,2 } ) e (D = {3,4,5 } ). Então (A ), (C ) e (D ) são disjuntos entre pares, assim como (B ) e (D ), mas (A ), (B ), e (C ) não são.

Teorema ( PageIndex {1} ): Princípio de Adição

Se os conjuntos finitos (A_1, A_2, dots, A_n ) são disjuntos aos pares, então [| A_1 cup A_2 cup cdots cup A_n | = | A_1 | + | A_2 | + cdots + | A_n |. enhum número]

Use o princípio da adição se pudermos dividir os problemas em estojose conte quantos itens ou opções temos em cada caso. A ideia é, em vez de contar um grande conjunto, nós o dividimos em vários subconjuntos menores e contamos o tamanho de cada um deles. A cardinalidade do conjunto original é a soma das cardinalidades dos subconjuntos menores. Essa abordagem de dividir e conquistar funciona perfeitamente apenas quando os conjuntos são separados por pares.

Exemplo ( PageIndex {5} label {eg: addmult-05} )

Para saber o número de alunos presentes em uma palestra, o professor conta quantos alunos há em cada linha e, em seguida, soma os números para obter a contagem total.

Quando os conjuntos não são disjuntos, o princípio da adição não nos dá a resposta certa porque os elementos pertencentes à interseção são contados mais de uma vez. Temos que compensar a contagem excessiva subtraindo o número de vezes que esses elementos são contados em excesso. O caso mais simples cobre dois conjuntos.

Teorema ( PageIndex {2} label {pie} ): Princípio de Inclusão-Exclusão (PIE)

Para quaisquer conjuntos finitos (A ) e (B ), temos [| A cup B | = | A | + | B | - | A cap B |. enhum número]

Prova

Observe que (A cup B ) é o união disjunta de três conjuntos [A xícara B = (A-B) xícara (A cap B) xícara (B-A). nonumber ] É claro que (| A-B | = | A | - | A cap B | ) e (| B-A | = | B | - | A cap B | ). Portanto, [ begin {array} {rcl} | A cup B | & = & | A-B | + | A cap B | + | B-A | & = & (| A | - | A cap B |) + | A cap B | + (| B | - | A cap B |) & = & | A | + | B | - | A cap B |, end {array} nonumber ] que é o que temos que provar.

O princípio de inclusão-exclusão também funciona se (A ) e (B ) são disjuntos, porque em tal evento, (| A cap B | = 0 ), reduzindo TORTA ao princípio de adição.

Exemplo ( PageIndex {6} label {eg: pie} )

Suponha que a matrícula atual em uma faculdade seja 4.689, com 60 alunos cursando o MATEMÁTICO 210, 42 cursando o CSIT 260 e 24 cursando os dois. Juntos, quantos alunos diferentes estão fazendo esses dois cursos? Em outras palavras, determine o número de alunos que estão fazendo o MATH 210 ou o CSIT 260.

Solução

Seja (A ) o conjunto de alunos fazendo a MATEMÁTICA 210 e (B ) o conjunto de alunos fazendo CSIT 260, então, (| A | = 60 ), (| B | = 42 ) , e (| A cap B | = 24 ). Queremos encontrar (| A cup B | ). De acordo com o PIE, [| A cup B | = | A | + | B | - | A cap B | = 60 + 42-24 = 78. não numérico ] Portanto, 78 alunos estão fazendo o MATH 210 ou o CSIT 260.

Exemplo ( PageIndex {7} label {por exemplo: addmult-07} )

Entre 4.689 alunos, 2.112 deles ganharam pelo menos 60 horas de crédito e 2.678 deles ganharam no máximo 60 horas de crédito. Quantos alunos há que acumularam exatamente 60 horas?

Solução

Seja (A ) o conjunto de alunos que ganharam pelo menos 60 horas de crédito e (B ) o conjunto de alunos que ganharam no máximo 60 horas de crédito. Queremos encontrar (| A cap B | ). De acordo com o PIE, [4689 = | A cup B | = | A | + | B | - | A cap B | = 2112 + 2678- | A cap B |. nonumber ] Portanto, [| A cap B | = (2112 + 2678) -4689 = 101. nonumber ] Existem 101 alunos que acumularam exatamente 60 horas de crédito.

exercício prático ( PageIndex {2} label {he: addmult-02} )

A assistência em dois jogos consecutivos de futebol universitário foi de 72397 e 69211, respectivamente. Se 45713 pessoas assistiram aos dois jogos, quantas pessoas diferentes assistiram aos jogos?

exercício prático ( PageIndex {3} label {he: addmult-03} )

A assistência em dois jogos consecutivos de futebol universitário foi de 72397 e 69211, respectivamente. Se 93478 indivíduos diferentes compareceram a esses dois jogos, quantos foram a ambos?

Às vezes, é fácil trabalhar com o complemento de um conjunto.

Lemma ( PageIndex {3} )

Para qualquer conjunto finito (S ), temos [| overline {S} | = | { cal U} | - | S |, nonumber ] Onde ({ cal U} ) é o conjunto universal contendo (S ).

Exemplo ( PageIndex {8} label {por exemplo: addmult-08} )

No Exemplo 8.2.6, uma vez que existem 78 alunos fazendo o MATEMÁTICO 210 ou o CSIT 260, o número de alunos fazendo nenhum dos dois é (4689-78 = 4611 ).

O princípio de inclusão-exclusão pode ser estendido a qualquer número de conjuntos. A situação é mais complicada, porque alguns elementos podem ser contados duas vezes, alguns contados três vezes, etc. Para lhe dar uma ideia do resultado geral, aqui está o princípio de inclusão-exclusão para três conjuntos.

Teorema ( PageIndex {1} )

Para quaisquer três conjuntos finitos (A ), (B ) e (C ), [| A xícara B xícara B | = | A | + | B | + | C | - | A cap B | - | A cap C | - | B cap C | + | A cap B cap C |. enhum número]

Prova

A união (A xícara B xícara C ) é a união disjunta de sete subconjuntos: [ displaylines {A- (B xícara C), quad B- (C xícara A), quad C- (A cup B), quad (A cap B) - (A cap B cap C), cr (B cap C) - (A cap B cap C), quad (C cap A) - (A cap B cap C), quad mbox {e} quad A cap B cap C. cr} nonumber ] Podemos aplicar um argumento semelhante ao usado no união de dois conjuntos para completar a prova. Deixamos os detalhes como um exercício.

exercício prático ( PageIndex {4} label {he: addmult-04} )

Um grupo de alunos afirma que cada um deles viu pelo menos uma parte do De volta para o Futuro trilogia. Um rápido levantamento de mãos revela que

  • 47 assistiram à Parte I;
  • 43 assistiram à Parte II;
  • 32 assistiram à Parte III;
  • 33 assistiram às partes I e II;
  • 27 assistiram às partes I e III;
  • 25 assistiram às partes II e III;
  • 22 assistiram às três partes.

Quantos alunos há no grupo?

Outra técnica de contagem útil é o princípio da multiplicação.

Teorema ( PageIndex {5} ) (Princípio de multiplicação)

Para quaisquer conjuntos finitos (A ) e (B ), temos [| A vezes B | = | A | cdot | B |. enhum número]

Claramente, isso pode ser estendido a um produto cartesiano (n ) dobra.

Teorema ( PageIndex {6} )

Para quaisquer conjuntos finitos (A_1, A_2, ldots, A_n ), temos [| A_1 times A_2 times cdots times A_n | = | A_1 | cdot | A_2 | cdot cdots cdot | A_n |. enhum número]

Em muitos aplicativos, pode ser útil usar um formulário equivalente.

Teorema ( PageIndex {7} ) (Princípio de multiplicação: forma alternativa)

Se uma tarefa consiste em (k ) etapas, e se existem (n_i ) maneiras de terminar a etapa (i ), então todo o trabalho pode ser concluído em (n_1 n_2 ldots n_k ) maneiras diferentes .

Agora que temos duas técnicas de contagem, o princípio da adição e o princípio da multiplicação, qual devemos usar? A principal diferença entre eles é se

  • os trabalhos podem ser divididos em estojos, grupos, ou categorias; ou
  • cada trabalho pode ser dividido em degraus.

Na prática, ajuda a traçar uma imagem das configurações que estamos contando.

Exemplo ( PageIndex {9} label {eg: addmult-09} )

Quantas placas diferentes existem se uma placa padrão consistir em três letras seguidas de três dígitos?

Solução

Precisamos decidir quantas opções temos em cada posição. Faça um desenho para mostrar a configuração. Desenhe seis linhas para representar as seis posições. Acima de cada linha, descreva resumidamente os possíveis candidatos para aquela posição e, abaixo de cada linha, escreva o número de opções.

[ begin {array} {ccccccc} text {escolhas:} & text {qualquer letra} & text {qualquer letra} & text {qualquer letra} & text {qualquer dígito} & text {qualquer dígito } & text {qualquer dígito} & - & - & - & - & - & - text {# de opções:} & 26 & 26 & 26 & 10 & 10 & 10 end {array} nenhum número]

Esta configuração da esquerda para a direita sugere que o princípio da multiplicação deve ser usado. A resposta é (26 cdot 26 cdot 26 cdot 10 cdot 10 cdot 10 = 260 ^ 3 ).

À medida que você se torna mais experiente, pode argumentar diretamente, da seguinte maneira. Existem 26 opções para cada uma das três letras e 10 opções para cada dígito. Portanto, há (26 cdot 26 cdot 26 cdot 10 cdot 10 cdot 10 = 260 ^ 3 ) placas de carros diferentes.

Exemplo ( PageIndex {10} label {eg: addmult-10} )

Encontre o número de inteiros positivos que não excedem 999 que terminam em 7.

Solução 1

Os inteiros podem ter um, dois ou três dígitos, então temos que analisar três casos.

  • Caso 1. Existe apenas um inteiro com um dígito, a saber, o inteiro 7.
  • Caso 2. Se houver dois dígitos, o primeiro pode ser qualquer dígito entre 1 e 9, e o último dígito deve ser 7. [ begin {array} {ccc} text {escolhas:} & 1-9 & 7 & - & - text {# de escolhas:} & 9 & 1 end {array} nonumber ] Isso nos dá nove escolhas.
  • Caso 3. Se houver três dígitos, o primeiro dígito pode ser qualquer dígito entre 1 e 9, o segundo qualquer dígito entre 0 e 9, e o último dígito deve ser 7. [ begin {array} {cccc} text {escolhas: } & 1-9 & text {qualquer dígito} & 7 & - & - & - text {# de opções:} & 9 & 10 & 1 end {array} nonumber ] Portanto, há são 90 inteiros neste caso.

Combinando os três casos, temos um total de (1 + 9 + 90 = 100 ) inteiros que atendem aos requisitos.

Solução 2

Os inteiros podem ser escritos como inteiros de três dígitos se permitirmos 0 como os dígitos iniciais. Por exemplo, 7 pode ser escrito como (007 ) e (34 ) como (034 ). Sob este acordo, temos que preencher três posições onde a última é sempre ocupada pelo dígito 7. Os primeiros dois dígitos são (0, 1, 2, ldots, 8 ), ou 9, então há 10 opções para cada posição.

[ begin {array} {cccc} text {escolhas:} & text {qualquer dígito} & text {qualquer dígito} & 7 & - & - & - text {# de escolhas:} & 10 & 10 & 1 end {array} nonumber ]

Juntos, existem (10 ​​ cdot10 = 100 ) tais inteiros.

exercício prático ( PageIndex {5} label {he: addmult-05} )

Quantos números naturais menores que 1000000 existem que terminam com o dígito 3?

exercício prático ( PageIndex {6} label {he: addmult-06} )

Quantos números naturais menores que 10.000 existem que terminam com o dígito 0?

Exemplo ( PageIndex {11} label {eg: addmult-11} )

Determine o número de inteiros positivos de quatro dígitos sem dígitos repetidos.

Solução

Queremos determinar quantas opções existem para cada valor de posição. O primeiro dígito tem nove opções porque não pode ser 0. Depois que o primeiro dígito é escolhido, restam nove opções para o segundo dígito; e, em seguida, oito opções para o próximo dígito e sete opções para o último dígito. Juntos, temos (9 cdot 9 cdot 8 cdot 7 = 4536 ) inteiros positivos de quatro dígitos que não contêm nenhum dígito repetido. Pergunta: podemos começar a contar a partir do último dígito?

exercício prático ( PageIndex {7} label {he: addmult-07} )

Quantos números naturais de seis dígitos existem sem nenhum dígito repetido?

Exemplo ( PageIndex {12} label {eg: addmult-12} )

Determine (| wp (S) | ), onde (S ) é um conjunto de elementos (n ).

Solução

Queremos determinar o número de maneiras de formar um subconjunto. Sejam os elementos (n ) (s_1, s_2, ldots, s_n ). Para formar um subconjunto, percorremos cada elemento (s_i ) e decidimos se ele deve ser incluído no subconjunto, portanto, existem duas opções para cada elemento.

[ begin {array} {ccccc} text {element:} & s_1 & s_2 & & s_n text {options} & text {Y / N} & text {Y / N} & cdots & text {Y / N} & - & - & & - text {# de opções:} & 2 & 2 & & 2 end {array} nonumber ]

Temos ( underbrace {2 cdot2 cdot , cdots , cdot2} _ {n text {fatores}} = 2 ^ n ) maneiras de formar os subconjuntos. Assim, (| wp (S) | = 2 ^ n ).

Exemplo ( PageIndex {13} label {eg: addmult-13} )

Quantos inteiros positivos de dois dígitos não têm 5s consecutivos?

Solução 1

Há três disjuntar casos:

  1. ambos os dígitos não são 5,
  2. apenas o primeiro dígito é 5, e
  3. apenas o último dígito é 5.

Existem (8 cdot9 + 9 + 8 = 89 ) inteiros que atendem ao requisito.

Solução 2

Uma solução mais fácil é considerar o complemento do problema. Existe apenas um inteiro com 5s consecutivos, a saber, o inteiro 55. Existem 90 inteiros de dois dígitos, portanto, (90-1 = 89 ) deles não têm 5s consecutivos.

exercício prático ( PageIndex {8} label {he: addmult-08} )

Quantos números naturais de três dígitos existem que não têm 4s consecutivos?

Exemplo ( PageIndex {14} label {eg: addmult-14} )

De quantas maneiras podemos tirar uma sequência de três cartas de um baralho padrão de 52 cartas?

Solução

Esta é uma pergunta capciosa! A resposta depende se podemos devolver uma carta comprada ao baralho. Com a substituição, a resposta é (52 ^ 3 ); sem substituição, é (52 cdot 51 cdot 50 ).

Exemplo ( PageIndex {15} label {eg: addmult-15} )

Uma placa padrão do estado de Nova York consiste em três letras seguidas de quatro dígitos. Determine o número de placas padrão do estado de Nova York com K como a primeira letra ou 8 como o primeiro dígito.

Solução

A palavra-chave “ou” sugere que estamos olhando para um sindicato, portanto, temos que aplicar o PIE. Precisamos analisar três possibilidades:

  • Existem placas de (26 ^ 2 cdot10 ^ 4 ) com K como a primeira letra.
  • Existem placas de (26 ^ 3 cdot10 ^ 3 ) com 8 como o primeiro dígito.
  • Existem placas de (26 ^ 2 cdot10 ^ 3 ) com K como a primeira letra e 8 como o primeiro dígito.

A resposta é (26 ^ 2 cdot10 ^ 4 + 26 ^ 3 cdot10 ^ 3-26 ^ 2 cdot10 ^ 3 ).

exercício prático ( PageIndex {9} label {he: addmult-09} )

Para acessar as informações da conta pessoal, um cliente pode fazer login no site do banco com um PIN que consiste em duas letras seguidas por

  1. exatamente quatro dígitos,
  2. no máximo seis dígitos,
  3. pelo menos dois, mas no máximo 6 dígitos.

Quantos PINs diferentes existem em cada caso?

Resumo e revisão

  • Use o princípio de adição se o problema puder ser dividido em casos. Certifique-se de que os casos não se sobreponham.
  • Se os casos se sobrepõem, o número de objetos pertencentes aos casos sobrepostos deve ser subtraído do total para obter a contagem correta.
  • Em particular, o princípio de inclusão-exclusão afirma que (| A cup B | = | A | + | B | - | A cap B | ).
  • Use o princípio da multiplicação se o problema puder ser resolvido em várias etapas.
  • Como podemos começar? Imagine que você queira listar todas as possibilidades. Qual é a maneira sistemática de fazer isso? Siga as etapas e conte com quantos objetos você acabaria.
  • Pode ser útil usar um diagrama esquemático. Desenhe uma linha para cada etapa. Acima das linhas, escreva as opções. Abaixo das linhas, escreva o número de opções. Aplique o princípio da multiplicação para finalizar o problema.
  • Se houver outros casos envolvidos, repita e adicione os resultados de todos os casos possíveis.

exercício ( PageIndex {1} label {ex: addmult-01} )

Uma professora entrevistou 98 alunos em sua classe para contar quantos deles haviam assistido a pelo menos um dos três filmes em O senhor dos Anéis trilogia. Isto é o que ela encontrou:

  • 74 assistiram à Parte I;
  • 57 assistiram à Parte II;
  • 66 assistiram à Parte III;
  • 52 assistiram às partes I e II;
  • 51 assistiram às partes I e III;
  • 45 assistiram às partes II e III;
  • 43 assistiram às três partes.

Quantos alunos não assistiram a nenhum desses três filmes?

exercício ( PageIndex {2} label {ex: addmult-02} )

Quarenta e seis alunos em uma aula de cinema disseram ao professor que tinham assistido a pelo menos um dos três filmes em O padrinho trilogia. Outras investigações levaram aos seguintes dados:

  • 41 assistiram à Parte I;
  • 37 assistiram à Parte II;
  • 33 assistiram à Parte III;
  • 33 assistiram às partes I e II;
  • 30 assistiram às partes I e III;
  • 29 assistiram às partes II e III.
  1. Quantos alunos assistiram aos três filmes?
  2. Quantos alunos assistiram apenas à Parte I?
  3. Quantos alunos assistiram apenas à Parte II?
  4. Quantos alunos assistiram apenas à Parte III?

exercício ( PageIndex {3} label {ex: addmult-03} )

Joe tem 10 camisas sociais e sete gravatas-borboleta. De quantas maneiras ele pode combinar as camisas com as gravatas-borboleta?

exercício ( PageIndex {4} label {ex: addmult-04} )

O número do seguro social é uma sequência de nove dígitos. Determine o número de números de previdência social que atendem às seguintes condições:

  1. Não há restrições.
  2. O dígito 8 nunca é usado.
  3. A sequência não começa nem termina com 8.
  4. Nenhum dígito é usado mais de uma vez.

exercício ( PageIndex {5} label {ex: addmult-05} )

Um professor tem sete livros sobre matemática discreta, cinco sobre teoria dos números e quatro sobre álgebra abstrata. De quantas maneiras um aluno pode pegar emprestado dois livros que não versem sobre o mesmo assunto?

Dica

Quais são as duas disciplinas que o aluno escolheria?

exercício ( PageIndex {6} label {ex: addmult-06} )

Quantas coleções diferentes de latas podem ser formadas a partir de cinco latas idênticas de Cola-Cola, quatro latas idênticas de Seven-Up e sete latas idênticas de Mountain Dew?

Dica

Quantas latas de Cola-Cola, Seven-Up e Mountain Dew você escolheria?

exercício ( PageIndex {7} label {ex: addmult-07} )

Quantas palavras de cinco letras (tecnicamente, devemos chamá-las de strings, porque não nos importamos se fazem sentido) podem ser formadas com as letras A, B, C e D, com repetições permitidas. Quantos deles não contêm a substring BAD?

Dica

Para a segunda pergunta, considere usar um complemento.

exercício ( PageIndex {8} label {ex: addmult-08} )

Quantos números inteiros de cinco dígitos diferentes podem ser formados usando os dígitos 1, 3, 3, 3, 5?

Dica

Os três dígitos 3 são idênticos, então não podemos dizer a diferença entre eles. Conseqüentemente, o que realmente importa é onde colocamos os dígitos 1 e 5. Uma vez que colocamos os dígitos 1 e 5, as três posições restantes devem ser ocupadas pelos dígitos 3.

exercício ( PageIndex {9} label {ex: addmult-09} )

Quatro cartas são escolhidas aleatoriamente de um baralho padrão de 52 cartas de baralho, com substituição permitida. Isso significa que depois de escolher uma carta, ela é devolvida ao baralho e o baralho é embaralhado novamente antes que outra carta seja selecionada aleatoriamente. Determine o número dessas sequências de quatro cartas se

  1. Não há restrições.
  2. Nenhuma das cartas pode ser espadas.
  3. Todas as quatro cartas são do mesmo naipe.
  4. A primeira carta é um ás e a segunda não é um rei.
  5. Pelo menos uma das quatro cartas é um ás.

exercício ( PageIndex {10} label {ex: addmult-10} )

Três exames finais diferentes de matemática e dois exames finais diferentes de ciência da computação devem ser agendados durante um período de cinco dias. Determine o número de maneiras de agendar esses exames finais das 11h00 às 13h00, se

  1. Não há restrições.
  2. Não podem ser agendados dois exames no mesmo dia.
  3. Dois exames do mesmo departamento não podem ser agendados no mesmo dia.
  4. Cada exame de matemática deve ser o único exame do dia em que está programado.

exercício ( PageIndex {11} label {ex: addmult-11} )

Determine o número de inteiros positivos de quatro dígitos que satisfaçam as seguintes condições:

  1. Não há restrições.
  2. Nenhum número inteiro contém o dígito 8.
  3. Cada inteiro contém o dígito 8 pelo menos uma vez.
  4. Todo inteiro é um palíndromo (um inteiro positivo é um palíndromo se permanecer o mesmo quando lido para trás, por exemplo, 3773 e 47874).

exercício ( PageIndex {12} label {ex: addmult-12} )

Uma caixa contém 12 bolas de cores distintas (por exemplo, poderíamos rotulá-las como 1, 2, ..., 12 para distingui-las). Três deles são vermelhos, quatro são amarelos e cinco são verdes. Três bolas são selecionadas aleatoriamente da caixa, com reposição. Determine o número de sequências que satisfazem as seguintes condições:

  1. Não há restrições.
  2. A primeira bola é vermelha, a segunda é amarela e a terceira é verde.
  3. A primeira bola é vermelha e a segunda e a terceira bolas são verdes.
  4. Exatamente duas bolas são amarelas.
  5. Todas as três bolas são verdes.
  6. Todas as três bolas são da mesma cor.
  7. Pelo menos uma das três bolas é vermelha.

exercício ( PageIndex {13} label {ex: addmult-13} )

Seja (A = {a, b, c, d, e, f } ) e (B = {1,2,3,4,5,6,7,8 } ). Determine o número de funções (f: A a B ) que satisfazem as seguintes condições:

  1. Não há restrições.
  2. (f ) é um para um.
  3. (f ) está ligado.
  4. (f (x) ) é ímpar para pelo menos um (x ) em (A ).
  5. (f (a) = 3 ) ou (f (b) ) é ímpar.
  6. (f ^ {- 1} (4) = {a } ).

exercício ( PageIndex {14} label {ex: addmult-14} )

Quantas funções on existem de um conjunto de elementos (n ) (A ) a ( {a, b } )?


Princípios de contagem de adição e multiplicação de probabilidade - Apresentação PPT em PowerPoint

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2 respostas 2

Qual é o número de maneiras de escolher quatro cartas do mesmo naipe quando quatro cartas são selecionadas de um baralho padrão de $ 52 $?

Método 1: Para ter sucesso, devemos escolher quatro dos treze paus ou quatro dos treze ouros ou quatro das treze copas ou quatro das treze espadas, o que pode ser feito em $ binom <13> <4> + binom <13 > <4> + binom <13> <4> + binom <13> <4> = 4 binom <13> <4> $ maneiras.

O Princípio da Adição afirma que se houver $ m $ maneiras de realizar uma tarefa e $ n $ maneiras de realizar outra tarefa que não podem ser feitas ao mesmo tempo, então o número de maneiras de realizar uma das tarefas é $ m + n $.

Neste caso, podemos escolher quatro paus ou quatro ouros ou quatro copas ou quatro espadas. Como essas tarefas são mutuamente exclusivas (não podem ser realizadas ao mesmo tempo), adicionamos o número de maneiras pelas quais cada tarefa pode ser realizada.

A palavra ou é uma indicação de que você precisa adicionar.

Método 2: Para ter sucesso, devemos escolher um dos quatro naipes e quatro das treze cartas desse naipe em $ binom <4> <1> binom <13> <4> $ maneiras.

O Princípio da Multiplicação afirma que se uma tarefa pode ser executada de $ m $ maneiras e uma segunda tarefa pode ser executada independentemente da primeira de $ n $ maneiras, então há $ mn $ maneiras de realizar ambas as tarefas.

Neste caso, escolhemos um naipe e depois escolhemos quatro cartas desse naipe. Como o número de maneiras pelas quais podemos selecionar quatro cartas do naipe escolhido independe da escolha do naipe, multiplicamos o número de maneiras pelas quais cada tarefa pode ser realizada.

A palavra e é uma indicação de que você tem que multiplicar.

Qual é o número de maneiras de escolher quatro cartas de naipes diferentes quando quatro cartas são selecionadas de um baralho padrão de cartas de $ 52 $?

Devemos escolher um dos treze paus e um dos treze ouros e um dos treze copas e uma das treze espadas, o que pode ser feito em $ binom <13> <1> binom <13> <1> binom <13> <1> binom <13> <1> $ maneiras.

Observe que cada uma das quatro tarefas é realizada independentemente das outras, portanto, multiplicamos o número de maneiras pelas quais cada tarefa pode ser realizada.

Qual é o número de maneiras de escolher duas cartas vermelhas e duas pretas quando quatro cartas são selecionadas de um baralho padrão de $ 52 $?

Devemos selecionar duas das vinte e seis cartas vermelhas e duas das vinte e seis cartas pretas, o que pode ser feito em $ binom <26> <2> binom <26> <2> $ maneiras.

Observe que cada tarefa é realizada independentemente uma da outra, portanto, multiplicamos o número de maneiras pelas quais cada tarefa pode ser realizada.

Primeiro, você selecionou $ 26 $ das cartas de $ 52 $ no baralho, depois multiplicou pelo número de maneiras de selecionar duas dessas cartas de $ 26 $ de uma das cores. No entanto, $ binom <52> <26> $ é o número de maneiras de selecionar quaisquer cartas $ 26 $ no baralho (que não precisam ser todas da mesma cor). Em vez disso, você deve ter escolhido todos os $ 26 $ cartões daquela cor e, em seguida, escolhido dois cartões dessa cor para cada cor, o que pode ser feito em $ binom <26> <26> binom <26> <2> = binom <26> <2> $ maneiras.

Além disso, você tem que fazer isso para as cartas vermelhas e pretas, então você tem que multiplicar o número de maneiras de fazer isso para cada cor.


8.2: Princípios de adição e multiplicação

Se a_n é o número de widgets de tamanho n e A (q) = a_0 + a_1 q + a_2 q ^ 2 + a_3 q ^ 3 +. então chamamos A (q) de função geradora de widgets (de tamanho n).
Da mesma forma, se b_n = o número de rabiscos de tamanho n e B (q) = b_0 + b_1 q + b_2 q ^ 2 +. é uma função geradora de rabiscos (de tamanho n), então temos os seguintes resultados:

O princípio adicional de funções geradoras:
A (q) + B (q) é a função geradora para a união disjunta de widgets e doodles (de tamanho n).


O Princípio da Multiplicação de funções geradoras:
A (q) B (q) é uma função geradora para pares cujo primeiro elemento é um widget e o segundo elemento é um doodle e o tamanho de um par é a soma do tamanho do widget mais o tamanho do doodle.



Isso pode ser levado mais longe. Também podemos olhar para outras expressões de funções geradoras e dizer o que são em geral:

A (q) / (1-q) é uma função geradora para widgets de tamanho menor ou igual a n.

1 / (1-qA (q)) é uma função geradora para 'sequências de widgets' (ou k-tuplas de widgets), onde o tamanho de uma sequência de um widget é o número de widgets na sequência (ou k) mais a soma dos tamanhos de cada um dos widgets na sequência.


Desafio Matemático

Regra MDAS é na verdade uma regra a seguir quando vamos resolver uma série de operações, ou seja, as quatro operações fundamentais de números reais. A regra MDAS significa MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO.

Como vamos usar essa regra?

Primeiro, temos que realizar todas as multiplicações e divisões antes de realizar as adições e subtrações.
Ao realizar todas as multiplicações e divisões, devemos resolver ou ler da esquerda para a direita. Não tente resolver nenhuma multiplicação ou divisão, pois é mais fácil ou conveniente para você resolver. Sempre resolva da esquerda para a direita o que vier primeiro.
Siga o mesmo processo para adições e subtrações, embora possamos aplicar a regra dos números com sinais ou também podemos usar a lei comutativa da adição.

1) 10 x 5/25 + 8 - 2 x 2 + 4 - 3
Para resolver isso, executamos os primeiros 10 x 5 juntamente com 2 x 2. Dando-nos
50/25 + 8 - 4 + 4 - 3
Então, temos que resolver 50/25 antes de realizar a adição e subtração. Então nós temos,
2 + 8 - 4 + 4 - 3 que é igual a
10 - 4 + 4 - 3. E a resposta final é
7.

Tente esse:


1) 15 + 35/5 x 8 + 12 - 7 x 4/2 - 6
2) 105/3 - 35 x 2 + 35 - 70/2 + 35
3) 50 x 3 + 50/2 - 25 + 25/5 x 10

129 (na) komento:

Penso que depois da multiplicação e divisão, é ADIÇÃO primeiro e depois SUBTRAÇÃO? Então deveria ter sido:

você não deve adicionar -4 + 4, pois 8 deve ser 0

parang (menos) 4 + 4 yun, hindi negativo 4 + 4

não, à vontade lang sinal de ang. parêntese tsaka wala namang.

MDAS como eu entendi hoje: na solução de tal problema, MDAS de fato ainda se aplica.

quando se trata de adição e subtração, a adição não é realmente necessária deve ser realizada primeiro então. Em vez disso, se os sinais de esquerda forem menos e mais, simplifique os fatores em sua sequência da esquerda para a direita.

-4+4=8?
KAHIT CGURO GRAU 1 ALAM YAN EH

10 - 4 + 4 - 3 eto ba sinasabe moh? wala nman parênteses saka sabi sa artigo é da esquerda para a direita .. d mo ba obtém.

TAMA UNG SAGOT WAG KAYO MAG INASO

sempre aplique as regras .. eu não sou bom em matemática, mas estou ciente disso ..

tenha sempre em mente que existe uma inteligência múltipla que cada indivíduo possui.

MDAS pwede ring DMSA. depende da posição dos números. Mas é muito fácil lembrar o MDAS quando você começa a usar e, em seguida, pode ter uma explicação:

Como vamos usar essa regra?

Primeiro, temos que realizar todas as multiplicações e divisões antes de realizar as adições e subtrações.
Ao realizar todas as multiplicações e divisões, devemos resolver ou ler da esquerda para a direita. Não tente resolver nenhuma multiplicação ou divisão, pois é mais fácil ou conveniente para você resolver. Sempre resolva da esquerda para a direita o que vier primeiro.
Siga o mesmo processo para adições e subtrações, embora possamos aplicar a regra dos números com sinais ou também podemos usar a lei comutativa da adição.

wew hahaha alam nyu ang M e D mesmo lvl yan tsaka A e S kaya pwedi yan gani para ohhh DMSA wag kung san kayo mas gusto sumagot ginawa lang yang MDAS kasi madaling makabisado e mabasa

hnd ibg sbhn de MDAS eh sunud sunod na. mas ok cguro na MD / AS.
Multiplicação e divisão sempre vêm em primeiro lugar. seguido de adição e subtração. mas se MD ou AS for deixado na operação, deve ser da esquerda para a direita

1 + 1 + 2x3 = alin po una? multiplicação po ba?

Inteiros não são aplicados nessa regra

Um vendedor compra abacaxi às 11,50. Ele vende por 15,00. Quanto seria seu ganho se conseguisse vender 25

ganito po yung comp nya.
10x5 / 25 + 8-2
x2 + 4-3 = 7
Sol.
unahin a multiplicação
50/25+8-4+4-3
então divisão
2+8-4+4-3
uma vez que may rege uma adição e subtração magiging ganito po sya.
Adição
10-4 + 4-3 eu resolvo lng po yung nasa lado esquerdo
6+4-3
10-3
= 7 comentário kung mali po yung akin tnx.

CAS também conhecido como LaniXs IT-IIA .. hehe!

obrigado por este post informativo mam ..

JBB AKA. JEFFREY B. BAQUERO.
EU VOU OBEDECER AS REGRAS PRINCIPAIS DE STI.

GOSTO DA MANEIRA QUE VOCÊ NOS ENSINA MAAM ... OBRIGADO

PRINCESA STEFANI BAQUERO- IT 11A.
IM SUA SENHORA MONSTRO.

ung Tanong com o número 1 é impossível
kasi tignan nyo
15 + 35/5 x 8 + 12 - 7 x 4/2 - 6
15 + 35 / 40 + 12 - 28 / 2 - 6
15 + + 12 - 14 - 6
pano nyo ddivide ung 35/40?
hahaha LMAO
xDD

você pode intercambiar multiplicação com divisão. por isso, realmente não importa se você está sozinho. já está claro?

unahin din kasi yong divisão. Wag kang tumalon na multiplicação. Paz.
elrica

& quotAo realizar todas as multiplicações e divisões, devemos resolver ou ler da esquerda para a direita. Não tente resolver nenhuma multiplicação ou divisão, pois é mais fácil ou conveniente para você resolver. Sempre resolva da esquerda para a direita o que vier primeiro. & Quot

15 + 35/5 x 8 + 12 - 7 x 4/2 - 6
15 + 7 x 8 + 12 - 28/2 - 6
15 + 56 + 12 - 14 - 6
63

na regra MDAS a regra deve ser seguida de acordo de Multiplicação para Divisão, Adição e Subtração de amp? se sim, então acho que o problema 1 não se aplica à regra. Se não, então a regra MDAS também pode ser a regra DMAS para permitir a resolução do problema 1. Corrija-me se eu estiver errado. Obrigado.

é verdade que o uso da multiplicação MDAS deve vir primeiro antes da divisão. Mas isso nem sempre é o caso. se a multiplicação e a divisão forem operações adjacentes, a operação deve ser executada da esquerda para a direita. ou seja, a operação que vem primeiro deve ser executada. mesmo que adição e subtração.

15 + 35/5 x 8 + 12 - 7 x 4 / 2 - 6
15 + 7 x 8 + 12 - 28 / 2 - 6
15 + 56 + 12 - 14 - 6
63

In performing all multiplications and divisions, we should solve or read it from left to right. Do not try to solve any multiplication or division since it is easier or convenient to you to solve. Always solve from left to right whatever that comes first.

always solve from left to right in solving problems involving multiplication and divisions? ang bobo mo naman . we can always start solving which is easier first especially if you know that it will save u time and effort . it will always give u the same answer.

ANG ANG MAUUNA PO KASI ISOLVE EH PAG MUMULTIPLY PO O DI KAYA PAG DIVIDE DEPEDENDE PO KUNG ANU NAUNA LEFT TO RYT GANUN DIN PO SA PAG ADD AND SUBTRACT KUNG ANU NAUNG OPERATION LEFT TO RYT

UNAHIN PO NATIN UNG PAG MULTIPLY O PAG DIVIDE DEPENDE SA NAUNA SA ORDER NA LEFT TO RYT

15 + 35 / 5 X 8 + 12 - 7 X 4 / 2 - 6
15 + 7 X 8 + 12 - 28 / 2 -6
15 + 56 + 12 - 14 - 6

NGAYON PO ADD AND SUBTRACT DEPENDE SA NAUNA SA LEF TO RYT ORDER

15 + 56 + 12 - 14 - 6
71 + 12 - 14 - 6
83 - 14 - 6
69 - 6
63

na totrololol tlqa utak sa MDAS . >.<

na totrololol tlqa utak ko sa MDAS . >.<

panu pag addition left to right parin ba?
kasi di ba pag addition right to left ang pag add,tama po ba?
sa MDAS alin po ang major operation sa kanila..bakit kailanga multiplication ung nauuna?

hahahaha klaro naman usapan sa MDAS laverne..
hiniwalay ang (multiplication at division)sa (additon at subtraction). so depende lang kong sino nauna(multiplication or division vise versa) basta left to right ang pag solve. ganon din sa addition at subtraction. in every rule, there is an exemption so ito na yon sa MDAS 35/5 X 8 = 7 X 8 = 56 kasi nauna ang division kaysa multiplication. clear?

wla poh bang matinung example kailangan koh poh kcing ma tutunan tung mdas kc poh. bobo aqou sa math ehh pro kung tutulungan nyo poh ako baka sakaling mag pursige poh ako upang ma tutu.

nais qou lng nman poh na mag bigay kau ng paraan kung pano ang teknect sa pag so solve. thnk you poh..

pag verbal exam po ba nasusunod pa ang mdas rule

pag verbal exam po ba nasusunod pa ang mdas rule

PROBLEM 1:
15 + 35 / 5 x 8 + 12 – 7 x 4 / 2 – 6 = ?
15 + (35 / 5) x 8 + 12 – (7 x 4) / 2 – 6 = ?
15 + 7 x 8 + 12 – 28 / 2 – 6 = ?
15 + (7 x 8) + 12 – (28 / 2) – 6 = ?
15 + 56 + 12 – 14 – 6 = ?
(15 + 56 + 12) – 14 – 6 = ?
83 – 14 – 6 = 63
ANS. 63

PROBLEM 2:
105 / 3 – 35 x 2 + 35 – 70 / 2 + 35 = ?
(105 / 3) – (35 x 2) + 35 – (70 / 2) + 35 = ?
35 – 70 + 35 – 35 + 35 = ?
(35 – 70) + 35 – 35 + 35 = ?
- 35 + 35 – 35 + 35 = ?
(- 35 + 35) – 35 + 35 = ?
0 – 35 + 35 = ?
- 35 + 35 = 0
ANS. 0

PROBLEM 3:
50 x 3 + 50 / 2 – 25 + 25 / 5 x 10 = ?
(50 x 3) + (50 / 2) – 25 + (25 / 5) x 10 = ?
150 + 25 – 25 + 5 x 10 = ?
150 + 25 – 25 + (5 x 10) = ?
150 + 25 – 25 + 50 = ?
(150 + 25) – 25 + 50 = ?
175 – 25 + 50 = ?
(175 – 25) + 50 = ?
150 + 50 = 200
ANS. 200

1) 15 + 35/5 x 8 + 12 - 7 x 4 / 2 - 6
= 15 + 7 x 8 + 12 - 28 / 2 - 6
= 15 + 56 + 12 - 14 - 6
= 71 + 12 - 14 - 6
= 83 - 14 - 6
= 69 - 6
= 63
ou
= 15 + 7 x 8 + 12 - 28 / 2 - 6
= 15 + 56 + 12 - 14 - 6
= (15 + 56 + 12 ) - (14 + 6)
= 83 - 20
= 63
2) 105 / 3 - 35 x 2 + 35 - 70/2 + 35
= 35 - 70 + 35 - 35 + 35
= -35 + 35 - 35 + 35
= 0 - 35 + 35
= -35 + 35
= 0
ou
= 35 - 70 + 35 - 35 + 35
= (35 + 35 + 35 ) - (70 + 35)
= 105 - 105
= 0
3) 50 x 3 + 50/2 - 25 + 25/5 x 10
= 150 + 25 - 25 + 5 x 10
= 150 + 25 - 25 + 50
= 175 - 25 + 50
= 150 + 50
= 200
ou
= 150 + 25 - 25 + 5 x 10
= 150 + 25 - 25 + 50
= (150 + 25 + 50) - 25
= 225 - 25
= 200

what if kung addition and subtraction lang yung nakalagay parang ganto

That will be computed in this way:
2+4+7-5-4
=13-9
=4

if addition and subtraction are adjacent operations, the operation must be performed from left to right. meaning, the operation which comes first must be performed. same as multiplication and division

you should combine the similar terms then proceed to the operation ..

1) 10 x 5 / 25 + 8 - 2 x 2 + 4 - 3
In solving this we perform first 10 x 5 together with 2 x 2. Giving us
50/25 + 8 - 4 + 4 - 3
Then we have to solve 50/25 before performing the addition and subtraction. So we have,
2 + 8 - 4 + 4 - 3 which is equal to
10 - 4 + 4 - 3. And the final answer is
7.

correct if im wrong.
10 x 5 / 25 + 8 - 2 x 2 + 4 - 3
50 / 25 + 8 - 4 + 4 -3
2 + 8 - 4 + 4 - 3
10 - 8 -3
2 - 3
= -1

following the MDAS rule the answer is -1

that is: do the addition first, then use the negative (minus) sign and proceed to the next step. that should be written as - (4+4) which becomes -8. always consider the whole equation in performing the MDAS rule.

when you enclose the operation in parenthesis, the sign should be included inside. just like this:

2 + 8 - 4 + 4 - 3
(+2) + (+8) + (-4) + (+4) + (-3)
2 + 8 + (-4+4) + (-3)

Consider the expression Y subtracted by Z. We can write Y-Z as Y+(-Z)

correct if im wrong.
10 x 5 / 25 + 8 - 2 x 2 + 4 - 3
50 / 25 + 8 - 4 + 4 -3
2 + 8 - 4 + 4 - 3
10 - 8 -3
2 - 3
= -1

you're wrong
MDAS rule perform addition first before subtraction
so to be easy write this way
2+8+4-4-3=7
CLEAR?

kahit gamitan ng + and - deduction o kahit illustrate through drawing or kahit i rumble ang numbers without changing their signs. 7 pa rin ang sagot. sample:
combine + and - sign is = to 0
2=++
8=++++++++
4=++++
-4=----
-3=---
all + are 14 and all - are 7 +14-7= 7
kahit i drawing nyo pa :)

Para masigurado ang sagot, i-copy paste sa microsoft excel, maunang isulat ang = sign saka i-paste yung equation. palitan din ng * yunng x, saka i-enter. Sinusunod niyan ang MDAS rule.

ka ki kriya pahle karo ta piche do bhag guna karo dhan jor do rin ko do ghatay

HINDI MATHS
Raman Prakash Mishra
Patna

15 +35x8/5 (which is: 280/5) +12 -7x4/2 (which is: 28/2) -6

1) 10 x 5 / 25 + 8 - 2 x 2 + 4 - 3
In solving this we perform first 10 x 5 together with 2 x 2. Giving us
50/25 + 8 - 4 + 4 - 3
Then we have to solve 50/25 before performing the addition and subtraction. So we have,
2 + 8 - 4 + 4 - 3 which is equal to
10 - 4 + 4 - 3. And the final answer is
7.
NOTE: if we are going to follow the MDAS rule, the answer is -1.

MDAS: you should always consider the signs used in the equation. and remember the rules in performing the operations with LIKE SIGNS (i.e: +positive, +positive or -negative, -negative) - the answer is always +positive. with UNLIKE SIGNS (i.e: +positive, negative or vice versa) - the answer should always be in a negative sign.

=(10x5)/25+8- (2x2) +4-3 (here, do the MULTIPLICATION first, then proceed to the next step
=50/25+8-4+4-3 -DIVISION
=2+8-4+4-3 -ADDITION
=(2+8)- (4+4) -3 -Group together those with the same signs using a parenthesis and take note of the sign outside. then the last step -SUBTRACTION
=10-(8)-3 (thus, it becomes)
=10-8(unlike sign)-3
=2-3 (in determining what sign to be used, remember the rules in adding unlike signs. you should always use the sign of the larger number in determining the sign to be used in your final answer.
= -1

10x5/25+8-2x2+4-3
i may group it by parenthesis

[10x5]/25 + [8] - [2x2] + [4] - [3]
50/25 + [8] - [ 4 ] + [4] - [3]

bear in mind that inside the parenthesis are positive digits
[4] or [+4] // [3] or [+3], if outside the parenthesis is negative sign, the entire sign inside the parenthesis will change as well.
so it goes like this :


Choosing the Committee with 2 Women and 2 Men

Choosing the Committee with 3 Women and 1 Man

Choosing the Committee with 4 Women and 0 Men

EA1, EA2 and EA3 are Mutually Exclusive Events.

Occurrence of one of these events prevents the occurrence of the others. If the committee is chosen in one of these ways we can say that it was not chosen in the other ways.

Choosing 2 men from the total 5

Choosing 2 women from the total 6

By the fundamental counting theorem of multiplication

Number of ways in which the committee can be chosen with 2 women and 2 men

= (Number of ways in which the 1 st sub event of choosing the 2 men from a total 5 can be accomplished) × (Number of ways in which the 2 nd sub event of choosing the 2 women from a total 6 can be accomplished)

Choosing 1 man from the total 5

Choosing 3 women from the total 6

By the fundamental counting theorem of multiplication

Number of ways in which the committee can be chosen with 3 women and 1 man

= (Number of ways in which the 1 st sub event of choosing the 1 man from a total 5 can be accomplished) × (Number of ways in which the 2 nd sub event of choosing the 3 women from a total 6 can be accomplished)

Choosing 0 men from the total 5

Choosing 4 women from the total 6

By the fundamental counting theorem of multiplication

Number of ways in which the committee can be chosen with 4 women and 0 men

= (Number of ways in which the 1 st sub event of choosing 0 men from a total 5 can be accomplished) × (Number of ways in which the 2 nd sub event of choosing the 4 women from a total 6 can be accomplished)

By the fundamental counting theorem of addition,

The number of ways in which the committee of 4 members be chosen such that it consists of at least 2 women

= (Number of ways in which the 1 st alternative event of choosing the 2 men and 2 women can be accomplished) + (Number of ways in which the 2 nd alternative event of choosing the 1 man and 3 women can be accomplished) + (Number of ways in which the 3 rd alternative event of choosing the 0 men and 4 women can be accomplished)


8.2: Addition and Multiplication Principles

General Multiplication & Division:

  • Multiplication is Commutative (Margaret Carr)
  • Multiplication (Arrays) (LT)
  • Multiplication and Division Rules (Nicola Edwards)
  • T1 U9 Multiplication (David Arthur)
  • Division - Repeated Subtraction (Andrew Woodcock)
  • Division Snap (Nadine Turner) PDF
  • Gingerbread Multiplication (Sheena Florey) PDF
  • Toes Multiplication (Sheena Florey) PDF
  • Divisor Spiders Sheet 1 (Larissa Hughes) PDF Sheet 2 PDF
  • Arrays (Hamish Hobkinson) PDF
  • Function Machines (Mark Stallwood) PDF
  • Division (Amy Hedges) Bottom PDF - Middle PDF - Top PDF
  • Division Problems (Elaine Smith) DOC
  • Dividing Money by 4 & 5 (Joanne Gordon) DOC
  • Division Dominoes Game (Ashley Staniforth) Rules DOC - Dominoes DOC - Small DOC
  • Mental Methods Revision (Louise Pickering) DOC
  • Sums Square Multiplication Bingo (Campbell Airlie)
  • Inverse and Division (C. Williams) DOC
  • Division Dominoes (Joanne Nalton) DOC
  • Division Machines (Vicky Dowding) PDF
  • Choose the Product Games (Vicki Foy) PDF
  • Commutative Multiplication (Peter Smith) DOC
  • Division (by 2, 3, 5, 10) (Mark Wilson) DOC
  • Straight Division (Michelle Culliford) PDF
  • Straight Division 2 (Michelle Culliford) PDF
  • Using Known Facts ( BlkA U2) (Brenda Vaughan) DOC
  • Multiplication and Division Investigation (Kate Lowndes) DOC
  • Exploring Patterns in Linked Division Calculations (Louise Forster)
  • Exploring Patterns in Linked Division Calculations (Louise Forster) DOC
  • Multiplication Grids Starter (Paula Alty)
  • Division Grids Starter (Paula Alty)
  • Division Grids with Remainders Starter (Paula Alty)
  • Cooking Multiplication (Robert Bentall) DOC
  • Division Picture (Victoria Adams) DOC
  • Division Triangle Jigsaw (Peter Barnett) PDF
  • Division Hexagon Jigsaw (Peter Barnett) PDF
  • Missing Numbers: Multiplication & Division (Dhipa Begum) DOC
  • Multiplication Word problems (x2, x5, x10) (Cindy Shanks) DOC
  • Division Duck (4x) (Sarah Dickens)
  • Mental Multiplication Using Factors (Gemma Finbow)
  • Quick Multiplication Question Generator (R. Lovelock)
  • Multiplication "Jeopardy" Game (Helen Newton)
  • Multiplication Problems (Sheila Black) PDF
  • Multiplying two digits (Sheila Black) PDF
  • Multiplication (Ian Mason) Sheet 1 PDF - Sheet 2 PDF
  • Multiplication (Ian Mason) Sheet 3 PDF - Sheet 4 PDF
  • Factor Spiders (Larissa Hughes) Sheet 1 PDF Sheet 2 PDF
  • Division (Kevin Kerr) PDF
  • Division Spiders (Gareth Rein) DOC
  • Bear Multiplication (Judith Brayshaw) DOC
  • Multiplying and Dividing by 4 (Jon Fordham) DOC
  • Multiplication & Division Term 1 Unit 2 (Fred Daynes) Day 1 Day 2 Day 4 Day 5
  • Multiplication Worksheet Generator (Campbell Airlie)
  • Simple Multiplication Problems (C. Williams) DOC
  • Multiplication (Lots of) (Liz Hazelden) DOC
  • Multiplication & Division Relationship (Rich Robinson)
  • Multiplying by 4, 5 and 20 (Richard Queripel) DOC
  • Multiplication Games (Vicki Foy) PDF
  • Multiplication Questions (Anne Richard) DOC
  • Multiplication & Division Methods Poster (Ali McNamara) DOC
  • Y3 Division Test (Sharon Richard) DOC
  • Division Splat (Jim Usher) DOC
  • Associative Multiplication (Andrew Woodcock) XLS
  • Division Sheets (Linda Cook) DOC
  • Multiplying Measures (Michelle Culliford) PDF
  • Trio Triangles (Caroline Stares) DOC
  • Dividing 2 digit by 1 digit Numbers Mentally (Louise Forster) DOC
  • Pick and Match Calculations (Known Facts) (Louise Forster) DOC
  • Using Known Facts (Louise Forster) DOC
  • Animal Multiplication (Mez Miles) DOC
  • Octopus Multiples (Mez Miles) DOC
  • Using Multiplication Facts to Solve Division Questions (Paula Alty) DOC
  • Missing Numbers Division (Joanne Pooley)
  • Multiplication & Division Arrays (Emma Bagley) DOC
  • Linked Division (Louise Forster)
  • Multiple Monsters (Joanna Cayley)

Repeated Addition / Repeated Subtraction:

  • Repeated Addition as Multiplication (Katherine Gronert)
  • Repeated Addition & Multiplication (Raj Barard)
  • Multiplication as Repeated Addition (Amy Sheppard)
  • Multiplication Arrays (Julie Stead)
  • Division Using a Numberline (Toni Boucher)
  • Repeated Addition (Valerie Ryan)
  • Multiplication Build Up (Gill O'Neil) PDF
  • Changing Adding to Multiplication (Carol Wright) DOC
  • Division by Repeated Subtraction (Richard Queripel) DOC
  • Counter Array (Andy Cork) DOC
  • Groups of (Early Multiplication) (Shirley Lehmann)
  • Repeated Addition (Lesley Bratton)
  • Number Line for Repeated Addition (Morag Watson)
  • Division as Repeated Subtraction using a Number Line (Paula Alty) DOC
  • Multiplication & Division Arrays (Robert Jinkerson)
  • Division Using a Numberline (Kate Major)
  • Division by Repeated Subtraction (Chris Kirwan)
  • Multiplication (Repeated Addition and Arrays) (Andrea Harrison)
  • Division by Sharing (Avani Chotski)
  • Introduction to Multiplication (Jude Kuscher)
  • Introduction to Multiplication (Dawn Atkin) DOC
  • Division using repeated subtraction (Chez Owen) DOC
  • Patterns of Three (Tamsin Hall) PDF
  • Multiplying Sets (Carol Wright) DOC
  • Multiplication & Division on a Numberline (Ali McNamara) DOC
  • Dividing on a Numberline (Robert Jinkerson)
  • Division by Repeated Subtraction (with a numberline) (Richard Queripel) DOC
  • Multiplication Arrays (M A Crook) DOC
  • Counting in Groups (Lucy Hall) DOC

  • Division by Sharing (Claire Robinson)
  • Dividing and Sharing (3 levels) (Naomi Hass) DOC
  • Division by 3 (Rachael Durneen)
  • Sharing Counters (Liz Hazelden) DOC
  • Sharing Equally (Shirley Lehmann)
  • Smarties Share (Andy Cork) DOC
  • Simple Division Questions (Helen Bell) DOC
  • Division 'Rounding Remainders' (Michelle Rundle)
  • Sharing Sweets (1) - (2) - (3)
  • Sharing Zoo (Lesley Bratton)
  • Sharing Zoo (Lesley Bratton) DOC
  • Making Groups (Paul Smith)
  • Division as Sharing 1 (Carly Pitman)
  • Division as Sharing 2 (Carly Pitman)

  • Dividing Using Groups (Tim Pool)
  • Dividing by Grouping (Zoe Mayston) DOC
  • Division by Grouping with Remainders (Matt Lovegrove)
  • Division by Grouping (Vicky Frampton) DOC

Division with Remainders:

  • Division Word Problems with Remainders (Shazia Hussain) DOC
  • Division Picture PDF
  • Remainders as Fractions and Decimals (Richard Queripel) DOC
  • Rounding Up and Down After Division (David Peynado) DOC
  • Simple Divisions with Remainders (R. Lovelock)
  • Weetabix Division with Remainders (Heidi Morris-Duffin) DOC
  • Division with Remainders (Jenny Synnott)
  • Multiplication & Division (T3 Unit 2) (Joanne Robson) Day 1 Day 2
  • Simple Division with Remainders (C. Williams) DOC
  • Rounding Up After Division (Fiona Bell) DOC
  • Remainders Game (J. Balmer) DOC
  • Division Problems with Rounding (Helen Langford) DOC
  • Division with Remainders (Victoria Adams) DOC
  • Word Problems with Remainders (Steve Abey)

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Disciplemaking: Addition vs. Multiplication

Walter Henrichsen in Disciples Are Made Not Born suggests a hypothetical situation that clearly illustrates the process of multiplication. Suppose a father offers his two sons the choice of taking either one dollar a week for 52 weeks or one cent the first week and an amount each week for the next 51 one week’s that is double the previous week’s amount.

Which one would you choose?

The first choice would just be adding one dollar each week – that’s linear growth. At the end of 52 weeks – he’d have $52.

The second choice is multiplication – that’s exponential growth. If one of the sons chooses this, at the end of the year he will have an unbelievable amount of money. In fact, his allowance in the last week (not the total amount accumulated over 52 weeks) would be $22,517,998,136,852.48. Initially the multiplication is slow, but don’t let that deceive you. In the long run, addition never keeps pace with multiplication. Multiplication is explosive.

Another example: Suppose you start with a checkerboard of 64 squares. On the first square you place one grain of wheat. On the second square you place two grains, and on the third square you place four grains. How much wheat would you have to place on the last square if you continue doubling each succeeding square?

It would take enough wheat to cover India to a depth of fifty feet. The multiplication process is indeed explosive.

A disciplemaking ministry is built on exponential growth – the principle of multiplication. Consider a comparison of disciplemaking to mass evangelism:

Suppose you are a really great evangelist and you lead 1,000 people to faith in Christ every day. At the end of the first year there would be 365,000 new believers! That’s the principle of addition – 1,000 added every day.

Suppose another person in one year led one person to Christ and spent that year building his faith, teaching God’s truth, and training that individual to grow to maturity and to spiritually reproduce themselves in someone else. At the end of the first year there would be 2 disciplemakers.

If you continue to lead 1,000 people everyday to faith in Christ, at the end of the second year you’d have led 730,000 people to follow Jesus. The disciplemakers at the end of the second year will have invested themselves in two more individuals so that at the end of the year they are able to spiritually reproduce themselves. So after two years – there would be 4 disciplemakers.

If this process were to continue and you kept leading 1,000 people to Christ every day (adding 365,000 believers every year), at the end of 10 years you would have reached 3,650,000 people and at the end of 25 years that number would be 9,125,000.

The disciplemakers keep on investing in one new person every year who does the same thing, he invests in one new person every year. The numbers simply multiply and at the end of 10 years there are 1,024 disciplemakers and at the end of 25 years, there would be 33,554,432 disciplemakers (over 3x more than the addition process).


It’s easy to see that the process of multiplication is slower than the process of addition. It takes 19 years for the number of disciplemakers to exceed the number of the first year alone. However, when the disciplemaking process reaches year 26, they would reach 67,108,864, a number you couldn’t reach by addition for another 158 years.

The big difference in disciplemaking isn’t just the numbers. It’s the growth and maturity that happen in the disciplemaking process! When you focus on disciplemaking, you develop men and women who are mature in their faith and able to spiritually reproduce themselves in others.

Today’s Missional Challenge

Don’t just add new believers. Multiply disciplemakers. Make disciples who make disciples who make disciples who make disciples…


8.2: Addition and Multiplication Principles

We often speak of `` the field " instead of `` the field ".

The right side of (2.51) is ambiguous. There are five sensible ways to interpret it:

  1. Multiplication and division have equal precedence.
  2. Addition and subtraction have equal precedence.
  3. Multiplication has higher precedence than addition.

you first read (2.52) from left to right and perform all the multipliations and divisions as you come to them, getting

Then read (2.53) from left to right performing all additions and subtractions as you come to them, getting

When I was in high school, multiplication had higher precedence than division, so

In 1713, addition often had higher precedence than multiplication. Jacob Bernoulli [8, p180] wrote expressions like

is a field. (See definition 2.42 for the definitions.) We showed in section 2.2 that satisfies all the field axioms except possibly the distributive law. In appendix B, it is shown that the distributive property holds for for all , . (The proof assumes that the distributive law holds in .)

For a general , , the only field axiom that can possibly fail to hold in is the existence of multiplicative inverses, so to determine whether is a field, it is just necessary to determine whether every non-zero element in is invertible for .


Multi-Digit Multiplication

On this page you have a large selection of 2-digit by 1-digit multiplication worksheets to choose from. (example: 32x5)

On these PDF files, students can find the products of 3-digit numbers and 1-digit numbers. (example: 371x3)

Review 4-digit by 1-digit multiplication problems with these worksheets and task cards. (example: 3,812x7)

Here's a link to a set of worksheets with 2-digit by 2-digit multiplication problems on them. Includes math riddles, a Scoot game, task cards, and more. (example: 43x19)

On these printables, your pupils will be multiplying 3-digit numbers by 2-digit numbers. (example: 778x2)

This collection features worksheets that require students to multiply by 3-digit numbers. (example: 235x129)

This page has lots of worksheets on finding the products of pairs of decimal numbers. (example: 1.3x5.6)

These worksheets will have students multiplying money amounts. (example: $5.67x3)


Assista o vídeo: Mnożenie ułamków dziesiętnych przez liczby naturalne - Matematyka Szkoła Podstawowa i Gimnazjum (Dezembro 2021).