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3.7: Exclusividade e existência para equações diferenciais de segunda ordem


Lembre-se de que, para uma equação diferencial linear de primeira ordem

[y '+ p (t) y = g (t) ; ; ; y (t_0) = y_0 não numérico ]

se (p (t) ) e (g (t) ) são contínuos em ([a, b] ), então existe uma solução única no intervalo ([a, b] ).

Podemos fazer as mesmas perguntas de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Precisamos primeiro fazer alguns comentários. A primeira é que, para uma equação diferencial de segunda ordem, não é suficiente indicar a posição inicial. Uma forma de se convencer é que, uma vez que precisamos reverter dois derivados, dois constantes de integração serão introduzidas, portanto dois pedaços de informação devem ser encontrados para determinar as constantes.

Um segundo comentário é o da notação. Deixar

[y '' + p (t) y '+ q (t) y = g (t) não numérico ]

ser uma equação diferencial linear de segunda ordem. Então ligamos para a operadora

[L (y) = y '' + p (t) y '+ q (t) y não numérico ]

a correspondente operador linear. Assim, queremos encontrar soluções para a equação

[L (y) = g (t), ; ; ; y (t_0) = y_0, y '(t_0) = y'_0. enhum número ]

Declararemos o seguinte teorema sem prova. A prova está bem acima do nível deste curso.

Teorema: existência e singularidade

Sejam (p (t) ), (q (t) ) e (g (t) ) contínuos em ([a, b] ), então a equação diferencial

[y '' + p (t) y '+ q (t) y = g (t), ; ; ; y (t_0) = y_0, ; ; ; y '(t_0) = y'_0 rótulo {EE} ]

tem uma solução única definida para todos os (t ) em ([a, b] ).

Exemplo ( PageIndex {1} )

Encontre o maior intervalo onde

[(t ^ 2 -1) y '' + 3ty '+ cos t y = e ^ t, ; ; ; y (0) = 4, ; ; ; y '(0) = 5 não numérico ]

tem a garantia de ter uma solução única.

Solução

Primeiro, colocamos no formato padrão

[y '' + frac {3t} {t ^ 2 - 1} y '+ frac { cos t} {t ^ 2 -1} y = frac {e ^ t} {t ^ 2 -1 }, ; ; ; y (0) = 4, ; ; ; y '(0) = 5. não numérico ]

(p ), (q ) e (g ) são todos contínuos, exceto em (t = -1 ) e (t = 1 ). O teorema de existência e unicidade (Equação red {EE}) nos diz que existe uma solução única em ([- 1,1] ).

Equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem

A seguir, iremos investigar soluções para equações diferenciais homogêneas. Considere a equação diferencial linear homogênea

[L (y) = 0. nonumber ]

Nós temos o seguinte teorema

Teorema

Seja (L (y) = 0 ) uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem e seja (y_1 ) e (y_2 ) duas soluções. Então (c_1y_1 + c_2y_2 ) também é uma solução para qualquer par ou constante (c_1 ) e (c_2 ).

Usando a terminologia da álgebra linear, sabemos que (L ) é uma transformação linear do espaço vetorial de funções diferenciáveis ​​em si mesmo. O teorema nos lembra que o núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial.

Prova: o Wronskian

[ begin {align *} L (c_1y_1 + C_2y_2) & = (c_1y_1 + c_2y_2) '' + p (t) (c_1y_1 + c_2y_2) '+ q (t) (c_1y_1 + c_2y_2) [4pt] & = c_1y '' _ 1 + c_2y '' _ 2 + p (t) c_1y'_1 + p (t) c_2y'_2 + q (t) c_1y_1 + q (t) c_2y_2 [4pt] & = c_1y '' _ 1 + p (t) c_1y'_1 + q (t) c_1y_1 + q (t) c_2y '' _ 2 + p (t) c_2y'_2 + q (t) c_2y_2 [4pt] & = c_1 (y '' _ 1 + p (t) y'_1 + q (t) y_1) + c_2 (y '' _ 2 + p (t) y'_2 + q (t) y_2) [4pt] & = c_1L (y_1) + c_2L ( y_2) [4pt] & = 0 + 0 = 0. end {align *} nonumber ]

A seguir, investigamos as condições iniciais. Se encontrarmos uma solução geral para o sistema homogêneo, podemos escolher constantes tais que a solução satisfaça as condições iniciais? Ou seja, podemos encontrar (c_1 ) e (c_2 ) de modo que

[c_1y_1 (t_0) + c_2y_2 (t_0) = y_0 não numérico ]

[c_1y'_1 (t_0) + c_2y'_2 (t_0) = y'_0. enhum número ]

Podemos colocar isso em uma equação matricial

[{ begin {pmatrix} y_1 (t_0) y_2 (t_0) y'_1 (t_0) y'_2 (t_0) end {pmatrix} begin {pmatrix} c_1 c_2 end {pmatrix} = begin {pmatrix} y_0 y'_0 end {pmatrix}} label {Wronskian} nonumber ]

Isso tem uma solução única se e somente se o determinante da matriz não for zero; este determinante é chamado de Wronskian.

Isso prova o seguinte teorema:

Teorema

Deixar

[L (y) = 0 ; ; ; y (t_0) = y_0 ; ; ; y '(t_0) = y'_0 não numérico ]

seja uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem e sejam (y_1 ) e (y_2 ) duas soluções gerais (sem valor inicial). Então, se o Wronskian

[y_1y'_2 - y'_1y_2 nonumber ]

é diferente de zero, existe uma solução para o problema do valor inicial do formulário

[y = c_1y_1 + c_2y_2. enhum número ]

Exemplo ( PageIndex {2} )

Considere a equação diferencial

[y '' + 2y '- 8y = 0 não numérico ]

É fácil verificar se a solução geral é dada por

[y = c_1e ^ {2t} + c_2e ^ {- 4t}. enhum número ]

O Wronskian de

[y_1 = e ^ {2t}, ; ; ; y_2 = e ^ {- 4t} não numérico ]

É dado por

[e ^ {2t} (- 4e ^ {- 4t}) - (2e ^ {2t}) e ^ {- 4t} = -4e ^ {- 2t} - 2e ^ {- 2t} = -6e ^ { -2t}. enhum número ]

Que nunca é zero. Podemos concluir que qualquer problema de valor inicial terá uma solução única da forma

[y = c_1e ^ {2t} + c_2e ^ {- 4t}. enhum número ]


Nos últimos anos, a definição de cálculo fracionário tem sido mais adequada para descrever processos de dependência histórica do que as definições de limite local de equações diferenciais ordinárias inteiras ou equações diferenciais parciais, e tem recebido cada vez mais atenção em muitos campos. As equações diferenciais de ordem fracionária são mais precisas do que as equações diferenciais de ordem integral na descrição das leis objetivas e da natureza das coisas. Em 1695, Leibnitz descobriu os derivados fracionários e, depois disso, mais e mais estudiosos se dedicaram ao estudo do cálculo fracionário. A definição de cálculo de Riemann-Liouville, a definição de diferencial de Caputo e a definição de diferencial de Grunwald-Letnikov são as definições de cálculo fracionário mais comumente usadas em pesquisa matemática básica e pesquisa de aplicação de engenharia [15]. Em 2011, uma nova integração fracionária foi proposta por Katugampola, que generalizou a integral de Riemann – Liouville e Hadamard em uma única forma. Quando um parâmetro foi fixado em valores diferentes, ele produziu as integrais acima como casos especiais [13]. Em 2014, Katugampola apresentou a representação da derivada generalizada denominada derivada de Katugampola [14]. Além disso, Oliveira propôs uma nova derivada fracionária, ou seja, a derivada fracionária de Hilfer-Katugampola [18].

Recentemente, análises fuzzy e equações diferenciais fuzzy foram propostas para resolver a incerteza causada por informações incompletas em alguns modelos matemáticos ou de computador que determinam fenômenos do mundo real [2, 4-8, 10, 17, 19-21]. Em [3] e [1], o conceito de diferenciabilidade de Riemann-Liouville do tipo fuzzy baseado na diferenciabilidade de Hukuhara foi apresentado e, usando a medida de não compactação de Hausdorff, os autores estudaram a existência de solução para algumas equações integrais fuzzy. Em [7], com base na diferenciabilidade de Hukuhara ou diferenciabilidade generalizada de Hukuhara, Bede e Stefanini introduziram e estudaram novos conceitos de diferenciabilidade generalizada para funções de valor difuso.

Em [11], Hoa, Lupulescu e O’Regan consideraram a seguinte equação diferencial fracionária difusa com ordem ( alpha in (0,1) ):

onde (f: [a, b] times E rightarrow E ) é uma função difusa e (x_ <0> in E ) é uma constante difusa não trivial. O artigo apresentou algumas observações sobre soluções de equação diferencial fuzzy fracionária e provou que uma equação diferencial fuzzy fracionária e uma equação integral fuzzy fracionária geralmente não são equivalentes. Foi dada uma condição apropriada para que esta equivalência seja válida.

Em [12], Hoa, Vu e Duc consideraram as equações diferenciais fracionárias de Caputo – Katugampola (CK) definidas fuzzy com a condição inicial:

onde (0 & lt a & lt t leq b ), (<> ^ D_^ < alpha, rho> ) é a derivada de Hukuhara generalizada fracionária de CK difusa, (f: [a, b] times E rightarrow E ) é uma função difusa. Uma ideia de aproximações sucessivas sob a condição de Lipschitz generalizada foi usada para provar a existência e unicidade da solução.

Em [9], Hoa estudou os resultados da existência de soluções extremas de equações integro-diferenciais funcionais fracionárias de intervalo usando a técnica iterativa monótona combinada com o método de soluções superiores e inferiores.

Inspirado pela discussão acima, neste artigo, iniciamos o estudo da existência e unicidade da solução para equação diferencial fracionária difusa com derivada fracionária de Hilfer-Katugampola e condição não local da seguinte maneira:

onde (x em mathbb), (0 & lt alpha & lt1 ), (0 leq beta leq 1 ), ( gamma = alpha + beta (1- alpha) ) e ( rho & gt0 ), (f: [a, b] vezes E a E ) é uma função difusa. Além disso, (<> ^ < rho> I_^ <1- gamma> ), (<> ^ < rho> D_^ < alpha, beta> ) são a integral fracionária de Hilfer – Katugampola e a derivada, que serão fornecidas na próxima seção. (t_) ( (i = 1, ldots, m )) satisfaz (a & lt t_ <1> leq t_ <2> leq cdots leq t_& lt b ) e (c_) é um número real, (x_ <0> in mathbb). Aqui, as condições não locais são mais eficazes do que as condições iniciais ((<> ^ < rho> I_^ <1- gamma> x) (0) = x_ <0> ) em termos de problemas físicos. x é considerada uma solução de (1.1).

O resto do artigo está organizado da seguinte forma. Na seção 2, fornecemos alguns fatos preliminares de que precisamos a seguir. Na seção 3, apresentamos nossos principais resultados sobre a existência e unicidade de solução usando o método de aproximação sucessiva. Um exemplo ilustrativo é dado para mostrar a utilidade prática dos resultados analíticos. A conclusão é dada na seção 4


As soluções para Midterm 1 estão aqui. As pontuações são postadas no SmartSite.

  • 1.1 e # 150 1.3: Modelagem por EDOs. Classificação de EDOs. Campos de direção e curvas integrais de EDOs de primeira ordem.
  • 2.1: Solução de EDOs lineares de primeira ordem pelo método do fator de integração.
  • 2.2: Solução de equações separáveis ​​de primeira ordem.
  • 2.3: Modelagem por EDOs de primeira ordem.
  • 2.4: Teoremas de existência-unicidade para EDOs lineares e não lineares de primeira ordem. Princípio de superposição para EDOs lineares.
  • 2.5: EDOs autônomas de primeira ordem. Linhas de fase, equilíbrio e estabilidade.

Aqui estão dois exemplos de exames de meio de semestre:

As soluções para os testes intermediários de amostra estão aqui. eu fortemente recomendamos que você tente os problemas sozinho antes de consultar as soluções.


Uma solução única do problema de valor limite iterativo para uma equação diferencial de segunda ordem abordada por resultados de ponto fixo ☆

A análise de equações diferenciais iterativas está frequentemente relacionada às várias aplicações do cálculo, que dão suporte a todas as ciências matemáticas. Essas equações são críticas quando se trata de interpretar os modelos de infecção. Além disso, a inclusão do auto-mapeamento aumenta a complexidade de determinar a existência de soluções para as equações diferenciais iterativas. Este artigo considera um tipo particular de equações diferenciais iterativas de segunda ordem e usa o teorema do ponto fixo de Banach para encontrar a existência e a unicidade da solução da equação diferencial proposta. Discutimos a estabilidade do tipo Hyers-Ulam e Hyers-Ulam-Rassias de uma solução para o problema de valor limite iterativo proposto e apresentamos três exemplos ilustrativos para apoiar nossos principais resultados.


2. A Formulação do Modelo

Esta seção descreve o modelo básico que analisaremos neste artigo. A população é dividida em três subclasses: suscetível, infectada e recuperada. Onde denotam as funções de densidade associadas a essas respectivas classes epidemiológicas estruturadas por idade. Seja a mortalidade específica por idade dos indivíduos suscetíveis, infecciosos e recuperados no momento, respectivamente. Presumimos que a doença afeta a taxa de mortalidade, então temos, e. Assumimos que todos os recém-nascidos são suscetíveis, cujo processo de nascimento é descrito por

onde está a taxa de natalidade. Também supomos que as distribuições iniciais de idades são dadas por, e. E a taxa de recuperação específica da idade, é independente do tempo. Então, a dinâmica conjunta do modelo epidemiológico estruturado por idade para a transmissão de SIR pode ser escrita como

Nós supomos e pertencemos a. Então, e, como. É lógico satisfazer o significado biológico. A transmissão horizontal da doença ocorre de acordo com a seguinte legislação:

onde é a taxa na qual um indivíduo infectante maior de idade entra em contato transmissor de uma doença com um indivíduo adulto suscetível. Somando as equações de (2.2), obtemos o seguinte problema para a densidade populacional.

Neste artigo, provamos a existência e unicidade de uma solução não negativa do modelo (2.2) em qualquer intervalo de tempo finito. Nossos resultados são baseados em um processo do problema dependente da idade para os suscetíveis, os infectados e os removidos, e então um método de ponto fixo. Para estudar a existência e a singularidade de uma solução para um modelo epidêmico com diferentes taxas de mortalidade, precisamos das seguintes hipóteses. Dado, denotamos e supomos que

(H1) para, é uma função mensurável não negativa de forma que o mapeamento pertence para quase todos. Além disso, existe uma constante tal que para todos,

Com a notação,, existe outra constante, tal que

(H2) é uma função mensurável não negativa que tem suporte compacto na variável e que para todos,

onde está outra constante que depende apenas de. Além disso, existe uma constante tal que para todos

(H3) tem um suporte compacto.

(H4) tem suporte compacto e é uma função não negativa. Montamos.

(H5) tem um suporte compacto e é uma função não negativa. Nós temos.


Existência e singularidade, Seção 1.2

A função é uma solução para IVP1, enquanto é uma solução para IVP2. Mas como sabemos se estes são os soluções para esses IVPs? Podemos usar o Teorema da Existência e da Unicidade (página 11 do seu livro) para mostrar que a solução para IVP1 é realmente única. No entanto, o teorema não se aplica a IVP2. Na verdade, usando a separação de variáveis, conseguimos encontrar outra solução para o IVP2: Existem de fato infinitamente muitos soluções para IVP2. Consulte o Projeto de Grupo G na página 85 do seu livro para obter mais detalhes.

Existem três mensagens para levar para casa do Teorema da Existência e da Unicidade.

  1. Com um cálculo simples, nós podemos provar que uma determinada solução para um problema de valor inicial é único.
  2. Só porque a solução existe, não temos a garantia de que ela será bem definida para todos os valores de. The & # 8220domínio de definição& # 8221 só pode ser determinado encontrando uma solução explícita.
  3. O Teorema da Existência e da Unicidade tem uma interpretação geométrica quando plotamos soluções. Ao traçar soluções para vários IVPs derivados da mesma equação diferencial, soluções não podem tocar umas às outras.

Problemas atribuídos para esta seção.

Problema Extra. Suponha que isso satisfaça o problema do valor inicial,
, .
Use o Teorema da Existência e da Unicidade para provar isso para todos.


Preliminares

Começamos esta seção com algumas definições básicas de cálculo fracionário [2]. Posteriormente, provamos um lema auxiliar, que desempenha um papel fundamental na definição de um problema de ponto fixo associado ao problema em questão.

Definição 1

A integral fracionária de Riemann – Liouville de ordem ( alpha & gt0 ) para uma função (f: [0, + infty) rightarrow R ) é definida como

desde que o lado direito da integral seja definido pontualmente em ((0, + infty) ) e Γ é a função gama.

Definição 2

O Caputo derivada de ordem ( alpha & gt0 ) para uma função (f: [0, + infty) rightarrow R ) é escrita como

onde (n = [ alpha] +1 ), ([ alpha] ) é uma parte integrante de α.

Lema 1

Deixar ( alpha & gt0 ). Então a equação diferencial (D_ <0 +> ^ < alpha> f (t) = 0 ) tem soluções

Onde (c_ in mathbb) e (i = 1,2, ldots ), (n = [ alpha] +1 ).

Seja (C ([0, T] mathbb ) ) denotam o espaço de Banach de todas as funções contínuas de ([0, T] ) a ( mathbb) equipado com o sup-norm ( Vert x Vert _ < infty> = sup < vert x (t) vert: 0 leq t leq T > ). Por conveniência computacional, no que se segue usamos as seguintes notações:

Lema 2

Deixar ( rho, gamma _ <1>, gamma _ <2> in C ([0, T] mathbb ) ) . Então, o seguinte problema de valor limite

é equivalente à equação integral fracionária

Prova

Aplicando (I ^ < alpha -1> ) a ambos os lados de (2.2) e usando (2.1), obtemos

Resolvemos a equação diferencial ordinária linear acima:

A primeira condição de limite implica que

A segunda condição de contorno com (2.5) implica que

Resolvendo o sistema de equações acima para (c_ <0> ) e (c_ <1> ), obtemos

Inserindo (c_ <0> ) e (c_ <1> ) em (2.4), obtemos a fórmula desejada (2.3).

Por outro lado, assuma que você satisfaz (2.3). Por um cálculo direto, segue-se que a solução dada por (2.3) satisfaz (2.2). □

Lema 3

Para qualquer (g, h in C ([0, T] mathbb ) ), ( gamma & gt0 ), temos

Prova


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Exemplo

Exemplo 4.1

Considere o seguinte problema de valor limite para a equação diferencial fracionária do tipo Hilfer-Hadamard:

Aqui, ( alpha = 3/2 ), ( beta = 1/2 ), ( gamma = 7/4 ), ( nu _ <1> = 1/2 ), ( nu _ <2> = -3 / 4 ), ( sigma _ <1> = 2/3 ), ( sigma _ <2> = 4/3 ), ( zeta _ <1> = 3/2 ), ( zeta _ <2> = 7/4 ), ( epsilon = 0,3 ), (1+ epsilon = 1,3 ) e

Portanto, ( (Q_ <1> )) é satisfeito com (C = frac <3> <64e> ). Podemos mostrar que

Portanto, pelo Teorema 3.2, o problema do valor de contorno (4.1) tem uma solução única em J.

Exemplo 4.2

Considere o seguinte problema de valor limite para a equação diferencial fracionária do tipo Hilfer-Hadamard:

Aqui, ( alpha = 3/2 ), ( beta = 2/3 ), ( gamma = 11/6 ), ( nu _ <1> = 2 ), ( nu _ <2> = -1 / 2 ), ( nu _ <3> = 5/3 ), ( sigma _ <1> = -1 ), ( sigma _ <2 > = 3 ), ( sigma _ <3> = -11 / 3 ), ( zeta _ <1> = 4/3 ), ( zeta _ <2> = 2 ), ( zeta _ <2> = 9/7 ), ( epsilon = 0,5 ), (1+ epsilon = 1,5 ) e

Escolhemos (q (t) = 1 + log t ) e ( vartheta (| x |) = (| x (t) | +1) / 12 ). Então, podemos mostrar que

Portanto, (L & gt1.320578171 ). Portanto, pelo Teorema 3.5, o problema do valor de contorno (4.2) tem pelo menos uma solução em J.


Exemplo 1

Usando o Teorema 1, determine o maior intervalo contendo uma solução única para o problema de valor inicial $ t (t - 4) frac

+ y = 0 $ com a condição inicial $ y (2) = 1 $.

Primeiro reescrevemos nossa equação diferencial dividindo por $ t (t-4) $ para obter:

Então nós temos aquele $ frac

= f (t, y) = - frac <1>$. Esta função é contínua para $ t neq 0 $ e $ t neq 4 $. Além disso, $ frac < partial f> < partial y> = 0 $ que é contínuo em todos os lugares. Portanto, os intervalos possíveis para a solução única $ phi (t) $ para o problema de valor inicial dado são $ (- infty, 0) $, $ (0, 4) $ ou $ (4, infty) $.

A condição inicial $ y (2) = 1 $ espécie que $ 2 $ deve estar contida no intervalo e, portanto, $ (0, 4) $ é o maior intervalo contendo a solução única para este problema de valor inicial.


Assista o vídeo: Equações Diferenciais Ordinárias - Aula 7: Wronskiano e soluções fundamentais de uma EDO de 2ª Ordem (Novembro 2021).