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3.1: Integrais Duplos


No cálculo de variável única, diferenciação e integração são consideradas operações inversas. Por exemplo, para integrar uma função (f (x) ) é necessário encontrar a antiderivada de (f ), ou seja, outra função (F (x) ) cuja derivada é (f (x ) ). Existe uma maneira semelhante de definir a integração de funções de valor real de duas ou mais variáveis? A resposta é sim, como veremos em breve. Lembre-se também que a integral definida de uma função não negativa (f (x) ge 0 ) representou a área “sob” a curva (y = f (x) ). Como veremos agora, a integral dupla de uma função de valor real não negativa (f (x, y) ge 0 ) representa o volume “sob” a superfície (z = f (x, y) ).

Seja (f (x, y) ) uma função contínua tal que (f (x, y) ge 0 text {para todos} (x, y) ) no retângulo (R = {( x, y): a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} ) em ( mathbb {R} ^ 2 ). Frequentemente escreveremos isso como (R = [a, b] times [c, d] ). Para qualquer número (x ∗ ) no intervalo ([a, b] ), corte a superfície (z = f (x, y) ) com o plano (x = x ∗ ) paralelo a o plano (yz ). Então, o traço da superfície nesse plano é o curva (f (x ∗, y) ), onde (x ∗ ) é fixo e apenas (y ) varia. A área (A ) sob essa curva (ou seja, a área da região entre a curva e o (xy ) - plano) como (y ) varia ao longo do intervalo ([c, d] ) então depende apenas do valor de (x ∗ ). Portanto, usando a variável (x ) em vez de (x ∗ ), seja (A (x) ) essa área (consulte a Figura 3.1.1).

Então (A (x) = int_c ^ d f (x, y) d y ) uma vez que estamos tratando (x ) como fixo, e apenas (y ) varia. Isso faz sentido, pois para um (x ) fixo a função (f (x, y) ) é uma função contínua de (y ) no intervalo ([c, d] ), então sabemos que a área sob a curva é a integral definida. A área (A (x) ) é uma função de (x ), então pelo "corte" ou método de seção transversal do cálculo de variável única sabemos que o volume (V ) do sólido sob a superfície (z = f (x, y) ) mas acima do (xy ) - plano sobre o retângulo (R ) é a integral sobre ([a, b] ) dessa cruz área seccional (A (x) ):

[V = int_a ^ b A (x) dx = int_a ^ b left [ int_c ^ d f (x, y) d y right] dx label {Eq3.1} ]

Sempre nos referiremos a este volume como “o volume sob a superfície”. A expressão acima usa o que é chamado integrais iterados. Primeiro, a função (f (x, y) ) é integrada como uma função de (y ), tratando a variável (x ) como uma constante (isso é chamado integrando com respeito a (y )). Isso é o que ocorre na integral “interna” entre os colchetes na Equação ref {Eq3.1}. Esta é a primeira integral iterada. Uma vez que a integração é realizada, o resultado é então uma expressão envolvendo apenas (x ), que pode então ser integrado com respeito a (x ). Isso é o que ocorre na integral “externa” acima (a segunda integral iterada). O resultado final é então um número (o volume). Este processo de passar por duas iterações de integrais é chamado dupla integração, e a última expressão na Equação ref {Eq3.1} é chamada de integral duplo.

Observe que integrar (f (x, y) ) com respeito a (y ) é a operação inversa de tirar a derivada parcial de (f (x, y) ) com respeito a (y ). Além disso, poderíamos facilmente ter obtido a área das seções transversais sob a superfície que eram paralelas ao plano (xz ) -, que então dependeria apenas da variável (y ), de modo que o volume (V ) seria

[V = int_c ^ d left [ int_a ^ b f (x, y) dx right] dy label {Eq3.2} ]

Acontece que, em geral, a ordem das integrais iteradas não importa. Além disso, geralmente descartamos os colchetes e simplesmente escrevemos

[V = int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) dx d y label {Eq3.3} ]

onde é entendido que o fato de que (dx ) é escrito antes de (dy ) significa que a função (f (x, y) ) é primeiro integrada em relação a (x ) usando o "interno ”Limites de integração (a text {e} b ), e então a função resultante é integrada com respeito ay usando os limites“ externos ”de integração (c text {e} d ). Esta ordem de integração pode ser alterada se for mais conveniente.

Exemplo 3.1

Encontre o volume (V ) sob o plano (z = 8x + 6y ) sobre o retângulo (R = [0,1] vezes [0,2] ).

Solução

Vemos que (f (x, y) = 8x + 6y ge 0 text {for} 0 le x le 1 text {e} 0 le y le 2 ), então:

[ nonumber begin {align} V & = int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (8x + 6y) dx , dy [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 left (4x ^ 2 + 6x y big | _ {x = 0} ^ {x = 1} right) dy [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 (4 + 6y) dy [4pt] nonumber & = 4y + 3y ^ 2 big | _0 ^ 2 [4pt] & = 20 end {alinhar} ]

Suponha que tenhamos mudado a ordem de integração. Podemos verificar que ainda obtemos a mesma resposta:

[ nonumber begin {align} V & = int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 (8x + 6y) dy , dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 left (8x y + 3y ^ 2 big | _ {y = 0} ^ {y = 2} right) dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 (16x + 12) dx [4pt] & = 8x ^ 2 + 12x big | _0 ^ 1 [4pt] nonumber & = 20 end {align} ]

Exemplo 3.2

Encontre o volume (V ) sob a superfície (z = e ^ {x + y} ) sobre o retângulo (R = [2,3] vezes [1,2] ).

Solução

Sabemos que (f (x, y) = e ^ {x + y}> 0 text {para todos} (x, y) ), então

[ nonumber begin {align} V & = int_1 ^ 2 int_2 ^ 3 e ^ {x + y} dx , dy [4pt] nonumber & = int_1 ^ 2 left (e ^ { x + y} big | _ {x = 2} ^ {x = 3} right) dy [4pt] nonumber & = int_1 ^ 2 (e ^ {y + 3} -e ^ {y + 2}) dy [4pt] nonumber & = e ^ {y + 3} -e ^ {y + 2} big | _1 ^ 2 [4pt] nonumber & = e ^ 5 - e ^ 4 - (e ^ 4 - e ^ 3) = e ^ 5 −2e ^ 4 + e ^ 3 end {alinhar} ]

Lembre-se de que para uma função geral (f (x) ), a integral ( int_a ^ bf (x) dx ) representa a diferença da área abaixo da curva (y = f (x) ), mas acima o eixo (x ) - quando (f (x) ge 0 ), e a área acima da curva, mas abaixo do eixo (x ) quando (f (x) le 0 ). Da mesma forma, a integral dupla de qualquer função contínua (f (x, y) ) representa a diferença do volume abaixo da superfície (z = f (x, y) ), mas acima do plano (xy ) quando (f (x, y) ge 0 ), e o volume acima da superfície, mas abaixo do plano (xy ) quando (f (x, y) le 0 ). Assim, nosso método de integração dupla por meio de integrais iterados pode ser usado para avaliar a integral dupla de algum função contínua sobre um retângulo, independentemente de (f (x, y) ge 0 ) ou não.

Exemplo 3.3

Avalie ( int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi} sin (x + y) dx , dy )

Solução

Observe que (f (x, y) = sin (x + y) ) é positivo e negativo sobre o retângulo ([0, pi] times [0,2 pi] ). Ainda podemos avaliar o integral duplo:

[ nonumber begin {align} int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi} sin (x + y) dx , dy & = int_0 ^ {2 pi} left (-cos ( x + y) big | _ {x = 0} ^ {x = pi} right) dy [4pt] nonumber & = int_0 ^ {2 pi} (-cos (y + pi) + cos {, y}) dy [4pt] nonumber & = - sin (y + pi) + sin {, y} big | _0 ^ {2 pi} = -sin {, 3 pi } + sin {, 2 pi} - (-sin {, pi} + sin {, 0}) [4pt] nonumber & = 0 end {align} ]


Assista o vídeo: Integrais Duplas. Região Retangular e Teorema de Fubini. Cálculo. Teoria (Dezembro 2021).