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4.4: Diferenciais - Matemática


Na Seção 2.2, exploramos o significado e o uso da derivada. Esta seção começa revisitando algumas dessas idéias.

Lembre-se de que a derivada de uma função (f ) pode ser usada para encontrar as inclinações das retas tangentes ao gráfico de (f ). Em (x = c ), a linha tangente ao gráfico de (f ) tem a equação

$$ y = f '(c) (x-c) + f (c). ]

A linha tangente pode ser usada para encontrar boas aproximações de (f (x) ) para valores de (x ) próximos a (c ).

Por exemplo, podemos aproximar ( sin 1.1 ) usando a linha tangente ao gráfico de (f (x) = sin x ) em (x = pi / 3 approx 1.05. ) Lembre-se de que ( sin ( pi / 3) = sqrt {3} / 2 approx 0,866 ), e ( cos ( pi / 3) = 1/2 ). Assim, a linha tangente a (f (x) = sin x ) em (x = pi / 3 ) é:

$$ ell (x) = frac12 (x- pi / 3) +0,866. ]

Figura ( PageIndex {1} ): Representando graficamente (f (x) = sin x ) e sua linha tangente em (x = pi / 3 ) para estimar ( sin 1.1 ).

Na Figura ( PageIndex {1a} ), vemos um gráfico de (f (x) = sin x ) representado junto com sua linha tangente em (x = pi / 3 ). O pequeno retângulo mostra a região que é exibida na Figura ( PageIndex {1b} ). Nesta figura, vemos como estamos aproximando ( sin 1.1 ) da reta tangente, avaliada em (1.1 ). Juntas, as duas figuras mostram como esses valores estão próximos.

Usando esta linha para aproximar ( sin 1.1 ), temos:

[ begin {align} ell (1.1) & = frac12 (1.1- pi / 3) +0,866 & = frac12 (0,053) +0,866 = 0,8925. end {align} ]

(Deixamos para o leitor ver como essa aproximação é boa.)

Agora generalizamos esse conceito. Dado (f (x) ) e um (x ) - valor (c ), a reta tangente é ( ell (x) = f '(c) (xc) + f (c) ). Claramente, (f (c) = ell (c) ). Seja ( Delta x ) um número pequeno, representando uma pequena mudança no valor (x ). Afirmamos que:

$$ f (c + Delta x) approx ell (c + Delta x), ]

já que a linha tangente a uma função se aproxima bem dos valores dessa função próximo a (x = c ).

Conforme o valor (x ) muda de (c ) para (c + Delta x ), o valor (y ) de (f ) muda de (f (c) ) para (f (c + Delta x) ). Chamamos essa mudança de valor de (y ) ( Delta y ). Isso é:

$$ Delta y = f (c + Delta x) -f (c). ]

Substituindo (f (c + Delta x) ) com sua aproximação de linha tangente, temos

[ begin {align} Delta y & approx ell (c + Delta x) - f (c) notag & = f '(c) big ((c + Delta x) -c big ) + f (c) - f (c) notag & = f '(c) Delta x end {alinhar} ]

Esta equação final é importante; voltaremos a ele na Ideia-chave 7.

Introduzimos duas novas variáveis, (dx ) e (dy ) no contexto de uma definição formal.

Definição: Diferenciais de (x ) e (y ).

Seja (y = f (x) ) diferenciável. O diferencial de (x ), denotado como (dx ), é qualquer número real diferente de zero (geralmente considerado um número pequeno). O diferencial de (y ), denotado (dy ), é

[dy = f '(x) dx. ]

Podemos resolver para (f '(x) ) na equação acima: (f' (x) = dy / dx ). Isso afirma que a derivada de (f ) com respeito a (x ) é o diferencial de (y ) dividido pelo diferencial de (x ); isso é não a notação alternativa para a derivada, ( frac {dy} {dx} ). Esta última notação foi escolhida por causa das qualidades semelhantes à fração da derivada, mas, novamente, é um símbolo e não uma fração.

É útil organizar nossos novos conceitos e notações em um só lugar.

Ideia-chave 7: notação diferencial

Seja (y = f (x) ) uma função diferenciável.

  1. ( Delta x ) representa uma pequena mudança diferente de zero no valor (x ).
  2. (dx ) representa uma pequena mudança diferente de zero no valor (x ) (ou seja, ( Delta x = dx )).
  3. ( Delta y ) é a mudança no valor (y ) conforme (x ) muda em ( Delta x ); portanto, $$ Delta y = f (x + Delta x) -f (x). $$
  4. (dy = f '(x) dx ) que, pela Equação ( PageIndex {7} ), é um aproximação da mudança no valor (y ) conforme (x ) muda em ( Delta x ); (dy approx Delta y ).

Qual é o valor dos diferenciais? Como muitos conceitos matemáticos, os diferenciais fornecem benefícios práticos e teóricos. Nós exploramos ambos aqui.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando e usando diferenciais

Considere (f (x) = x ^ 2 ). Sabendo (f (3) = 9 ), aproximado (f (3.1) ).

Solução

O valor (x ) está mudando de (x = 3 ) para (x = 3,1 ); portanto, vemos que (dx = 0,1 ). Se soubermos quanto o valor de (y ) muda de (f (3) ) para (f (3.1) ) (ou seja, se soubermos ( Delta y )), saberemos exatamente o que (f (3.1) ) é (visto que já sabemos (f (3) )). Podemos aproximar Delta y com (dy ).

[ begin {align} Delta y & approx dy & = f '(3) dx & = 2 cdot 3 cdot 0.1 = 0.6. end {align} ]

Esperamos que o valor (y ) mude em cerca de (0,6 ), então aproximamos (f (3,1) aproximadamente 9,6. )

Deixamos para o leitor verificar isso, mas a discussão anterior liga o diferencial à reta tangente de (f (x) ) em (x = 3 ). Pode-se verificar que a reta tangente, avaliada em (x = 3,1 ), também dá (y = 9,6 ).

Claro, é fácil calcular a resposta real (à mão ou com uma calculadora): (3,1 ^ 2 = 9,61. ) (Antes de ficarmos muito cínicos e dizer "Então, por que se preocupar?", Observe que nossa aproximação é realmente Boa!)

Então, por que se preocupar?

Na "maioria" das situações da vida real, não sabemos a função que descreve um determinado comportamento. Em vez disso, podemos apenas fazer medições de como as coisas mudam - medições da derivada.

Imagine a água fluindo por um canal sinuoso. É fácil medir a velocidade e direção (ou seja, o velocidade) de água em qualquer local. É muito difícil criar uma função que descreva o fluxo geral, portanto, é difícil prever onde um objeto flutuante colocado no início do canal irá terminar. No entanto, podemos aproximado o caminho de um objeto usando diferenciais. Em pequenos intervalos, o caminho percorrido por um objeto flutuante é essencialmente linear. Os diferenciais nos permitem aproximar o caminho verdadeiro juntando muitos caminhos curtos e lineares. Essa técnica é chamada de Método de Euler, estudada em cursos introdutórios de Equações Diferenciais.

Usamos diferenciais mais uma vez para aproximar o valor de uma função. Mesmo que as calculadoras sejam muito acessíveis, é legal ver como essas técnicas às vezes podem ser usadas para calcular facilmente algo que parece um tanto difícil.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Usando diferenciais para aproximar um valor de função

Aproximado ( sqrt {4.5} ).

Solução

Esperamos ( sqrt {4.5} approx 2 ), mas podemos fazer melhor. Seja (f (x) = sqrt {x} ) e seja (c = 4 ). Assim, (f (4) = 2 ). Podemos calcular (f '(x) = 1 / (2 sqrt {x}) ), então (f' (4) = 1/4 ).

Aproximamos a diferença entre (f (4.5) ) e (f (4) ) usando diferenciais, com (dx = 0,5 ):

$$ f (4,5) -f (4) = Delta y approx dy = f '(4) cdot dx = 1/4 cdot 1/2 = 1/8 = 0,125. ]

A mudança aproximada em (f ) de (x = 4 ) para (x = 4,5 ) é (0,125 ), portanto, aproximamos ( sqrt {4,5} aproximadamente 2,125. )

Os diferenciais são importantes quando discutimos integração. Quando estudamos esse tópico, usaremos notações como

$$ int f (x) dx ]

com bastante frequência. Embora não discutamos aqui o que toda essa notação significa, observe a existência do diferencial (dx ). Manuseio adequado de integrais vem com o manuseio adequado dos diferenciais.

Diante disso, praticamos encontrar diferenciais em geral.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Encontrando diferenciais

Em cada um dos seguintes, encontre o diferencial (dy ).

[y = sin x qquad quad 2. y = e ^ x (x ^ 2 + 2) quad qquad 3. y = sqrt {x ^ 2 + 3x-1} ]

Solução

  1. (y = sin x ): As (f (x) = sin x ), (f '(x) = cos x ). Assim, $$ dy = cos (x) dx. $$
  2. (y = e ^ x (x ^ 2 + 2) ): Seja (f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2) ). Precisamos de (f '(x) ), exigindo a Regra do Produto.
    Temos (f '(x) = e ^ x (x ^ 2 + 2) + 2xe ^ x ), então $$ dy = big (e ^ x (x ^ 2 + 2) + 2xe ^ x grande) dx. $$
  3. (y = sqrt {x ^ 2 + 3x-1} ): Let (f (x) = sqrt {x ^ 2 + 3x-1} ); precisamos de (f '(x) ), exigindo a Regra da Cadeia.
    Temos ( Delta s f '(x) = frac {1} {2} (x ^ 2 + 3x-1) ^ {- frac12} (2x + 3) = frac {2x + 3} { 2 sqrt {x ^ 2 + 3x-1}}. ) Assim, $$ dy = frac {(2x + 3) dx} {2 sqrt {x ^ 2 + 3x-1}}. $$

Encontrar a diferencial (dy ) de (y = f (x) ) não é realmente mais difícil do que encontrar a derivada de (f ); Nós apenas multiplicar (f '(x) ) por (dx ). É importante lembrar que não estamos simplesmente adicionando o símbolo " (dx )" no final.

Vimos um uso prático de diferenciais, pois eles oferecem um bom método de fazer certas aproximações. Outro uso é propagação de erro. Suponha que um comprimento seja medido como (x ), embora o valor real seja (x + Delta x ) (onde esperamos que Delta x seja pequeno). Esta medida de (x ) pode ser usada para calcular algum outro valor; podemos pensar nisso como (f (x) ) para alguma função (f ). Como o comprimento verdadeiro é (x + Delta x ), deve-se realmente ter calculado (f (x + Delta x) ). A diferença entre (f (x) ) e (f (x + Delta x) ) é o erro propagado.

A que distância estão (f (x) ) e (f (x + Delta x) )? Esta é uma diferença nos valores "y";

$$ f (x + Delta x) -f (x) = Delta y approx dy. ]

Podemos aproximar o erro propagado usando diferenciais.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Usando diferenciais para aproximar o erro propagado

Um rolamento de esferas de aço deve ser fabricado com um diâmetro de 2 cm. O processo de fabricação tem uma tolerância de ( pm 0,1 ) mm no diâmetro. Dado que a densidade do aço é cerca de 7,85g / cm (^ 3 ), estime o erro propagado na massa do rolamento de esferas.

Solução

A massa de um rolamento de esferas é encontrada usando a equação "massa = volume ( vezes ) densidade". Nesta situação, a função de massa é um produto do raio do rolamento de esferas, portanto, é (m = 7,85 frac43 pi r ^ 3 ). O diferencial da massa é

$$ dm = 31,4 pi r ^ 2 dr. ]

O raio deve ser de 1 cm; a tolerância de fabricação no raio é ( pm 0,05 ) mm ou ( pm 0,005 ) cm. O erro propagado é aproximadamente:

[ begin {align} Delta m & approx dm & = 31,4 pi (1) ^ 2 ( pm 0,005) & = pm 0,493 text {g} end {align} ]

Este erro é significativo? Certamente depende do aplicativo, mas podemos ter uma ideia computando o erro relativo. A razão entre a quantidade de erro e a massa total é

[ begin {align} frac {dm} {m} & = pm frac {0,493} {7,85 frac43 pi} & = pm frac {0,493} {32,88} & = pm 0,015, end {align} ]

ou ( pm 1,5 ).

Deixamos ao leitor confirmar isso, mas se o diâmetro da bola fosse suposto ser 10 cm, a mesma tolerância de fabricação daria um erro propagado em massa de ( pm12.33 ) g, que corresponde a um textit {erro percentual} de ( pm0.188 ) \%. Embora a quantidade de erro seja muito maior ($ 12,33> 0,493 $), o erro percentual é muito menor.

Aprendemos pela primeira vez sobre a derivada no contexto de taxas instantâneas de mudança e inclinações das linhas tangentes. Aprimoramos nossa compreensão do poder da derivada estudando como ela se relaciona com o gráfico de uma função (levando a idéias de aumento / diminuição e concavidade). Este capítulo colocou a derivada para ainda mais usos:

  • Resolução de equações (Método de Newton)
  • Taxas relacionadas (promovendo nosso uso da derivada para encontrar taxas instantâneas de mudança)
  • Otimização (valores extremos aplicados), e
  • Diferenciais (úteis para várias aproximações e para algo chamado integração).

Nos próximos capítulos, consideraremos o problema "reverso" para calcular a derivada: dada uma função (f ), podemos encontrar uma função cuja derivada seja (f )? Ser capaz de fazer isso abre um mundo incrível de matemática e aplicações.


Uma equação diferencial linear é uma equação diferencial que é definida por um polinômio linear na função desconhecida e suas derivadas, que é uma equação da forma

Entre as equações diferenciais ordinárias, as equações diferenciais lineares desempenham um papel proeminente por várias razões. A maioria das funções elementares e especiais encontradas na física e na matemática aplicada são soluções de equações diferenciais lineares (consulte Função holonômica). Quando fenômenos físicos são modelados com equações não lineares, eles geralmente são aproximados por equações diferenciais lineares para uma solução mais fácil. Os poucos ODEs não lineares que podem ser resolvidos explicitamente são geralmente resolvidos transformando a equação em um ODE linear equivalente (ver, por exemplo, a equação de Riccati).

Alguns EDOs podem ser resolvidos explicitamente em termos de funções e integrais conhecidas. Quando isso não for possível, a equação para calcular a série de Taylor das soluções pode ser útil. Para problemas aplicados, os métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias podem fornecer uma aproximação da solução.

Equações diferenciais ordinárias (EDOs) surgem em muitos contextos da matemática e das ciências sociais e naturais. As descrições matemáticas de mudança usam diferenciais e derivados. Vários diferenciais, derivadas e funções tornam-se relacionados por meio de equações, de modo que uma equação diferencial é um resultado que descreve fenômenos, evolução e variação que mudam dinamicamente. Freqüentemente, as grandezas são definidas como a taxa de variação de outras grandezas (por exemplo, derivadas de deslocamento em relação ao tempo) ou gradientes de grandezas, que é como elas entram nas equações diferenciais.

Os campos matemáticos específicos incluem geometria e mecânica analítica. Os campos científicos incluem grande parte da física e astronomia (mecânica celeste), meteorologia (modelagem do clima), química (taxas de reação), [3] biologia (doenças infecciosas, variação genética), ecologia e modelagem populacional (competição populacional), economia (tendências de estoque , taxas de juros e variações dos preços de equilíbrio do mercado).

Muitos matemáticos estudaram equações diferenciais e contribuíram para o campo, incluindo Newton, Leibniz, a família Bernoulli, Riccati, Clairaut, d'Alembert e Euler.

Um exemplo simples é a segunda lei do movimento de Newton - a relação entre o deslocamento x e o tempo t de um objeto sob a força F, é dado pela equação diferencial

que restringe o movimento de uma partícula de massa constante m. Em geral, F é uma função da posição x(t) da partícula no momento t. A função desconhecida x(t) aparece em ambos os lados da equação diferencial e é indicado na notação F(x(t)). [4] [5] [6] [7]

Definição geral Editar

Dado F, uma função de x, y, e derivados de y. Em seguida, uma equação da forma

é chamado de explícito equação diferencial ordinária de pedido n. [8] [9]

Mais geralmente, um implícito equação diferencial ordinária de ordem n assume a forma: [10]

Existem outras classificações:

Uma equação diferencial que não depende de x é chamado Autônomo. Uma equação diferencial é considerada linear E se F pode ser escrito como uma combinação linear das derivadas de y: y (n) = ∑ i = 0 n - 1 a i (x) y (i) + r (x) < displaystyle y ^ <(n)> = sum _^uma_(x) y ^ <(i)> + r (x)> onde uma eu (x) e r (x) são funções contínuas de x. [8] [11] [12] A função r(x) é chamado de termo fonte, levando a duas outras classificações importantes: [11] [13] Se r(x) = 0 e, consequentemente, uma solução "automática" é a solução trivial, y = 0. A solução de uma equação linear homogênea é um função complementar, denotado aqui por yc. Se r(x) ≠ 0. A solução adicional para a função complementar é a integral particular, denotado aqui por yp.

A solução geral para uma equação linear pode ser escrita como y = yc + yp.

Uma equação diferencial que não pode ser escrita na forma de uma combinação linear.

Edição do Sistema de EDOs

Uma série de equações diferenciais acopladas formam um sistema de equações. Se y é um vetor cujos elementos são funções y(x) = [y1(x), y2(x). ym(x)], e F é uma função com valor vetorial de y e seus derivados, então

é um sistema explícito de equações diferenciais ordinárias de pedido n e dimensão m. Na forma de vetor de coluna:

Eles não são necessariamente lineares. O implícito analógico é:

Onde 0 = (0, 0, 0) é o vetor zero. Em forma de matriz

Para um sistema da forma F (x, y, y ′) = 0 < displaystyle mathbf left (x, mathbf , mathbf ' right) = < boldsymbol <0> >>, algumas fontes também exigem que a matriz Jacobiana ∂ F (x, u, v) ∂ v < displaystyle < frac < partial mathbf (x, mathbf , mathbf )> < partial mathbf >>> ser não singular para chamar isso de ODE implícito [sistema] um sistema ODE implícito que satisfaça esta condição de não singularidade Jacobiana pode ser transformado em um sistema ODE explícito. Nas mesmas fontes, os sistemas ODE implícitos com um Jacobiano singular são denominados equações algébricas diferenciais (DAEs). Essa distinção não é apenas uma das terminologias que os DAEs têm características fundamentalmente diferentes e geralmente são mais complicados para resolver do que os sistemas ODE (não singulares). [14] [15] [16] Presumivelmente para derivados adicionais, a matriz de Hessian e assim por diante também são considerados não singulares de acordo com este esquema, [ citação necessária ] embora observe que qualquer ODE de ordem maior do que um pode ser (e geralmente é) reescrito como sistema de EDOs de primeira ordem, [17] o que torna o critério de singularidade Jacobiano suficiente para que esta taxonomia seja abrangente em todas as ordens.

O comportamento de um sistema de EDOs pode ser visualizado por meio de um retrato de fase.

Editar Soluções

Dada uma equação diferencial

uma função você: euRR , Onde eu é um intervalo, é chamado de solução ou curva integral para F, E se você é n-vezes diferenciáveis ​​em eu, e

Dadas duas soluções você: JRR e v: euRR , você é chamado de extensão de v E se euJ e

Uma solução que não tem extensão é chamada de solução máxima. Uma solução definida em todos os R é chamado de solução global.

UMA solução geral de um na equação de ordem é uma solução contendo n constantes independentes arbitrárias de integração. UMA solução particular é derivado da solução geral, definindo as constantes para valores particulares, muitas vezes escolhidos para cumprir as 'condições iniciais ou condições de contorno' definidas. [18] Uma solução singular é uma solução que não pode ser obtida atribuindo valores definidos às constantes arbitrárias na solução geral. [19]

No contexto da ODE linear, a terminologia solução particular também pode se referir a qualquer solução do ODE (não necessariamente satisfazendo as condições iniciais), que é então adicionado ao homogêneo solução (uma solução geral da ODE homogênea), que então forma uma solução geral da ODE original. Esta é a terminologia usada na seção de método de adivinhação neste artigo e é frequentemente usada ao discutir o método de coeficientes indeterminados e variação de parâmetros.

Soluções singulares Editar

A teoria das soluções singulares das equações diferenciais ordinárias e parciais foi objeto de pesquisa desde a época de Leibniz, mas somente a partir de meados do século XIX recebeu atenção especial. Uma obra valiosa, mas pouco conhecida, sobre o assunto é a de Houtain (1854). Darboux (a partir de 1873) foi um líder na teoria e na interpretação geométrica dessas soluções abriu um campo trabalhado por vários escritores, notadamente Casorati e Cayley. A este último se deve (1872) a teoria das soluções singulares de equações diferenciais de primeira ordem, aceita por volta de 1900.

Edição de redução para quadraturas

A tentativa primitiva de lidar com equações diferenciais visava uma redução a quadraturas. Como havia sido a esperança dos algebristas do século XVIII, encontrar um método para resolver a equação geral do ngrau, portanto, era a esperança dos analistas encontrar um método geral para integrar qualquer equação diferencial. Gauss (1799) mostrou, no entanto, que equações diferenciais complexas requerem números complexos. Assim, os analistas passaram a substituir o estudo das funções, abrindo assim um novo e fértil campo. Cauchy foi o primeiro a reconhecer a importância dessa visão. A partir daí, a verdadeira questão não era mais se uma solução é possível por meio de funções conhecidas ou suas integrais, mas se uma dada equação diferencial é suficiente para a definição de uma função da variável ou variáveis ​​independentes e, em caso afirmativo, quais são as propriedades características.

Teoria Fuchsiana Editar

Duas memórias de Fuchs [20] inspiraram uma nova abordagem, posteriormente elaborada por Thomé e Frobenius. Collet foi um contribuidor proeminente começando em 1869. Seu método para integrar um sistema não linear foi comunicado a Bertrand em 1868. Clebsch (1873) atacou a teoria ao longo de linhas paralelas àquelas em sua teoria das integrais de Abel. Como esta última pode ser classificada de acordo com as propriedades da curva fundamental que permanece inalterada sob uma transformação racional, Clebsch propôs classificar as funções transcendentes definidas por equações diferenciais de acordo com as propriedades invariáveis ​​das superfícies correspondentes. f = 0 sob transformações racionais um-para-um.

Teoria de Lie Editar

A partir de 1870, o trabalho de Sophus Lie colocou a teoria das equações diferenciais em uma base melhor. Ele mostrou que as teorias de integração dos matemáticos mais antigos podem, usando grupos de Lie, ser referidas a uma fonte comum, e que as equações diferenciais ordinárias que admitem as mesmas transformações infinitesimais apresentam dificuldades de integração comparáveis. Ele também enfatizou o tema das transformações do contato.

A teoria de grupo de equações diferenciais de Lie foi certificada, a saber: (1) que unifica os muitos métodos ad hoc conhecidos para resolver equações diferenciais, e (2) que fornece novas maneiras poderosas de encontrar soluções. A teoria tem aplicações tanto para equações diferenciais ordinárias quanto parciais. [21]

Uma abordagem de solução geral usa a propriedade de simetria de equações diferenciais, as transformações infinitesimais contínuas de soluções para soluções (teoria de Lie). Teoria de grupos contínuos, álgebras de Lie e geometria diferencial são usados ​​para entender a estrutura de equações diferenciais lineares e não lineares (parciais) para gerar equações integráveis, encontrar seus pares Lax, operadores de recursão, transformada de Bäcklund e, finalmente, encontrar soluções analíticas exatas para DE .

Métodos de simetria foram aplicados a equações diferenciais que surgem em matemática, física, engenharia e outras disciplinas.

Teoria de Sturm-Liouville Editar

A teoria de Sturm-Liouville é uma teoria de um tipo especial de equação diferencial ordinária linear de segunda ordem. Suas soluções são baseadas em autovalores e autofunções correspondentes de operadores lineares definidos por meio de equações lineares homogêneas de segunda ordem. Os problemas são identificados como Problemas de Sturm-Liouville (SLP) e têm o nome de J.C.F. Sturm e J. Liouville, que os estudou em meados do século XIX. SLPs têm um número infinito de autovalores e as autofunções correspondentes formam um conjunto ortogonal completo, o que torna as expansões ortogonais possíveis. Esta é uma ideia-chave em matemática aplicada, física e engenharia. [22] SLPs também são úteis na análise de certas equações diferenciais parciais.

Existem vários teoremas que estabelecem a existência e a singularidade de soluções para problemas de valor inicial envolvendo EDOs tanto local quanto globalmente. Os dois teoremas principais são

Teorema Suposição Conclusão
Teorema da existência de Peano F contínuo apenas existência local
Teorema de Picard-Lindelöf F Lipschitz contínuo existência local e singularidade

Em sua forma básica, ambos os teoremas apenas garantem resultados locais, embora o último possa ser estendido para dar um resultado global, por exemplo, se as condições da desigualdade de Grönwall forem satisfeitas.

Além disso, teoremas de exclusividade como o de Lipschitz acima não se aplicam a sistemas DAE, que podem ter várias soluções decorrentes de sua parte algébrica (não linear) sozinha. [23]

Teorema de existência local e unicidade simplificado Editar

O teorema pode ser declarado simplesmente como segue. [24] Para a equação e o problema do valor inicial:

E se F e ∂F/∂y são contínuos em um retângulo fechado

no x-y avião, onde uma e b são reais (simbolicamente: a, b ∈ ℝ) e × denota o produto cartesiano, colchetes denotam intervalos fechados, então há um intervalo

para alguns h ∈ ℝ onde a solução para a equação acima e o problema do valor inicial podem ser encontrados. Ou seja, existe uma solução e ela é única. Uma vez que não há restrição sobre F ser linear, isso se aplica a equações não lineares que assumem a forma F(x, y), e também pode ser aplicado a sistemas de equações.

Exclusividade global e domínio máximo da solução Editar

Quando as hipóteses do teorema de Picard-Lindelöf são satisfeitas, então a existência local e a unicidade podem ser estendidas para um resultado global. Mais precisamente: [25]

Para cada condição inicial (x0, y0) existe um intervalo aberto máximo (possivelmente infinito) único

de forma que qualquer solução que satisfaça essa condição inicial é uma restrição da solução que satisfaz essa condição inicial com o domínio I max < displaystyle I _ < max >>.

onde Ω é o conjunto aberto no qual F é definido e ∂ Ω ¯ < displaystyle partial < bar < Omega >>> é seu limite.

Observe que o domínio máximo da solução

Isso significa que F(x, y) = y 2, que é C 1 e, portanto, localmente Lipschitz contínua, satisfazendo o teorema de Picard-Lindelöf.

Mesmo em uma configuração tão simples, o domínio máximo da solução não pode ser todo R < displaystyle mathbb > já que a solução é

que é um dos dois casos possíveis de acordo com o teorema acima.

As equações diferenciais geralmente podem ser resolvidas mais facilmente se a ordem da equação puder ser reduzida.

Redução a um sistema de primeira ordem Editar

Qualquer equação diferencial de ordem explícita n,

pode ser escrito como um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem, definindo uma nova família de funções desconhecidas

para eu = 1, 2. n. O nsistema dimensional de equações diferenciais acopladas de primeira ordem é então

mais compactamente em notação vetorial:

Algumas equações diferenciais têm soluções que podem ser escritas de forma exata e fechada. Várias classes importantes são dadas aqui.

Na tabela abaixo, P(x), Q(x), P(y), Q(y), e M(x,y), N(x,y) são quaisquer funções integráveis ​​de x, y, e b e c são reais dadas constantes, e C1, C2. são constantes arbitrárias (complexas em geral). As equações diferenciais estão em suas formas equivalentes e alternativas que levam à solução por meio da integração.

Nas soluções integrais, λ e ε são variáveis ​​dummy de integração (os análogos contínuos dos índices na soma), e a notação ∫ x F(λ) apenas significa integrar F(λ) em relação a λ, então após o substituto de integração λ = x, sem adicionar constantes (declarado explicitamente).


Cursos

Um programa sugerido está disponível. A seção do Dr. Sontag pode encontrar esse plano de estudos e o material do curso no site Sakai do curso!

Suplementos

Os suplementos disponíveis, em formato PDF uniforme, são coletados aqui.

  • N1 Introdução às equações de primeira ordem, com ênfase em modelagem.
  • RTB1 Método de Euler, incluindo estimativa de erro e aplicação à existência e singularidade de soluções.
  • N2 Alguns comentários sobre bifurcações.
  • N3 Algumas observações sobre planos de fase.
  • N4 Introdução às exponenciais de matriz.
  • RTB2 Uma fórmula facilmente lembrada para exponenciais de matrizes com autovalores complexos.
  • BW1 O método de variação de parâmetros para resolver sistemas não homogêneos.

Programa de Matemática 252 para a Terceira Edição de Blanchard, Devaney e Hall

Os alunos da Seção 2, Primavera 06, devem, em vez disso, usar o currículo vinculado a partir da página da web dessa seção
Este programa pretende ser um esboço geral do curso. Foi originalmente escrito por E. Sontag para a primeira edição do texto e adaptado para a segunda edição por R. Wheeden e para a terceira edição por E. Sontag (Jan 06). Os instrutores individuais podem alterar seu ritmo, atribuir tarefas de casa diferentes e adicionar ou excluir tópicos. Algumas variações serão descritas resumidamente nas notas que seguem o programa. Nota: A principal diferença entre a 2ª e a 3ª edições é que a antiga Seção 1.8 agora é "1.9" e uma nova seção 1.8 foi inserida. Além disso, muitos problemas de dever de casa foram renumerados e alguns novos problemas foram inseridos.

As atribuições geralmente se referem a seções do livro didático. Uma designação como N4 é um link para uma nota complementar.

# SeçõesassuntosatribuiçõesNotas
1 N1 Modelagem tudo ( respostas )
2 1.1 Modelagem (continuação) 3, 5, 15, 17, 19, 21.
1.2 Separação de Variáveis 1, 3, 7, 13
3 1.2 Separação de Vars (continuação) 25, 29, 31, 35.
4 1.3 Campos de Declive todos ímpares 1-13, 14, 15, 17. uma
5 1.4 Método de Euler 1, 13, 15.
1.5 Existência e singularidade 1, 3, 5, 7, 10. b
1.6 Equilíbrio e Linha de Fase 1, 3, 5, 7, 13, 15, 23, 25, 27, 31, 33, 37, 39, 43.
6 N2 Bifurcações (Sem exercícios em N2)
1.7 1, 3, 5, 9, 11, 17.
7 1.8 Equações diferenciais lineares todos ímpares 1-13, 21, 23.
1.9 Fatores Integrantes todos ímpares 1-11, 21, 23.
8 2.1 Modelagem por meio de sistemas 1, 2, 7, 8, 9, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 27, 29. c
9 2.2 Geometria de Sistemas todos ímpares 1-27. uma
10 2.3 Métodos Analíticos todos ímpares 1-11, 19. d
2.4 Método de Euler 1, 3, 5, 14, 15.
11 N3 Plano de Fase tudo ( respostas ) e
12 exame 1 Até 2.2 incluído
13 3.1 Sistemas Lineares todos ímpares 1-9, 13, 17, 19, 21, 27, 29, 33, 35. f
N4 Matrix Exponentials g
14 N4 Exponenciais da matriz (continuação) tudo ( respostas ) g
15 3.2 Soluções em linha reta todos ímpares 1-19
16 3.3 Plano de fase: autovalores reais todos ímpares 1-15.
17 3.4 Plano de fase: autovalores complexos todos ímpares 1-15, 19, 21, 23.
18 3.5 Valores próprios repetidos e zero todos ímpares 1-17.
19 3.7 O plano determinante do traço
(enfatizando famílias de um parâmetro)
partes "c" de: 3, 7, 11, 13. h
20 3.6 Linear de segunda ordem todos ímpares 13-29 36 (a, b). Oi
21 3.8 3-Dim Linear 4, 5, 6, 7.
22 4.1 Osciladores harmônicos forçados todos ímpares 1-41.
4.2 Forçante Sinusoidal ímpar 1-13, 17, 27.
23 exame 2 2.3 / 3.7 (aulas 10/20)
24 4.4 Curso estável Exercícios especiais. j
25 4.3 Ressonância todos ímpares 1-17, 21
26 5.1 Equilíbrio, Linearização todos ímpares 1-17, exceto 5. h
27 8.1 Sistemas Discretos todos ímpares 1-9, 15, 19, 23, 27, 31.
28 8.2 Pontos fixos / periódicos 1, 7, 9, 13, 15. k
29 exame final todo o material abordado durante o semestre

Notas:
uma. Para atribuições numéricas, existe um pacote disponível no CD ROM que acompanha o livro. Uma alternativa fortemente sugerida é o Java Applet, JOde, que roda em qualquer navegador habilitado para Java, incluindo aqueles nos laboratórios de informática da Universidade. As tarefas usando o JOde serão publicadas na seção 2, página da Web da Primavera 06

b. O teorema de existência e unicidade pode ser aplicado em regiões adjacentes com continuidade através da fronteira para permitir funções de forçamento contínuas por partes. Projetos explorando isso foram usados ​​no curso.

c. As seções 2.1 / 2.2 não são realmente diferentes e devem ser estudadas (e possivelmente lecionadas) simultaneamente. Mesmo 2.3 e 2.4 não são muito diferentes, na verdade.

d. O material no oscilador harmônico amortecido não se encaixa bem com o tópico da seção 2.3, e pode ser adiado até que o tópico seja considerado em mais detalhes no capítulo 4.

e. Em vez da ênfase em trajetórias exatas em N3 e suplementos relacionados, os instrutores podem introduzir isóclinas neste ponto, para ajudar a adivinhar retratos do plano de fase em casos simples como pontos de sela. O objetivo deve ser complementar o estudo das soluções de linha reta que aparecem na seção 3.2, em vez de inserir toda a seção 5.2 no programa neste ponto.

f. Nota para os alunos: certifique-se de revisar os valores e vetores próprios de suas notas de álgebra linear (que você manteve desde quando fez o curso!)

g. Alguns instrutores podem querer pular as notas N4. A matriz exponencial, embora seja um tópico útil (desenvolvido posteriormente em notas elaboradas no caso de autovalores complexos), pode ser omitida. O tempo economizado pode ser usado para introduzir variação de parâmetros.

h. Os instrutores podem desejar apresentar parte ou toda a seção 5.1 ao discutir as seções 3.6 e 3.7. Os alunos devem notar que os planos de fase para sistemas lineares ajudam a prever aqueles não lineares. A seção 5.1 é uma parte importante do curso, se não for introduzida em conexão com as seções 3.6 e 3.7, os instrutores devem se certificar de fornecer uma cobertura adequada posteriormente.

eu. Vale a pena examinar o problema 36 (c) - o projeto de sistemas ativos de suspensão de automóveis é uma área de muita pesquisa atual (em lugares como a Ford, por exemplo) - esta questão pode ser considerada em aberto - seja criativo e talvez introduzir amortecimento não linear e molas não lineares!

j. Os exercícios para 4.4 são para escrever a solução de estado estacionário dos problemas ímpares 1-9 da seção 4.2 na forma UMA cos(wt + f).

k. Os instrutores que enfatizam as bifurcações devem ter como objetivo dar mais tempo para o capítulo 8, a fim de incluir as seções 8.3 e, possivelmente, também 8.4.


Exame e soluções de meio de semestre de 2013 (este é mais fácil, então você pode fazer isso primeiro).

O semestre foi em aula na quarta-feira, 9 de março de 2016.


Lição de casa # 6 (entrega na quarta-feira, 23 de março de 2016)
Print out your midterm exam and submit solutions to each problem, beautifully written. Obviously you could just copy the answer key. Please do not do this. I want you to truly understand the solutions. Go through the solutions, spending the time to understand them carefully, and then write up your version of the solutions as you understand them, in your own words. Use this as an opportunity to solidify your knowledge of the first half of the course.


Homework #7 (due Wednesday, March 30, 2016)
4.4.1
4.4.2
4.4.3
5.1.1
5.1.3
5.1.4
5.1.9
5.1.10 (Assume the curvature of the geodesic is never zero.)
5.1.11
5.1.12
5.1.13
5.2.1
5.2.2
5.2.4
5.2.10
5.4.2 (Conformal to the xy plane, so that E = 1/f^2 = G and F = 0.)
5.4.4
5.4.6
5.4.8
5.4.10


Homework #9 (due Wednesday, April 13, 2016)
6.3.6
6.3.7
6.3.9
6.3.10
6.3.11
6.3.12
6.3.13
6.5.1
6.5.2
6.5.5
6.5.10
6.6.5
6.6.6
6.6.7


Homework #10 (due Wednesday, April 20, 2016)
Complete the practice final exam from 2013 and turn in your solutions to be graded, mostly for completion. The solutions are listed below - only look at them as needed after you've given each problem a good try.


Mathematics 3210 Manifolds and Differential Forms

All problems are taken from the exercises in the lecture notes at the end of each chapter or appendix. For instance, "B.1" refers to problem 1 at the end of Appendix B. You can turn the homework in in class or at my office before 03:00&thinsppm on the due date.

Our expectations regarding homework

Solutions will be graded for exposition as well as for correctness. Getting the right answers should be your first concern, but recording them in a comprehensible manner is important too. Not only do we expect your papers to be neat and legible (and please staple the pages together to minimize the risk of loss!), but we also wish for you to develop a habit of writing your solutions in complete English sentences with adequate explanatory detail. A good guideline is to write solutions the way you would like to see them written a textbook.

We encourage discussing homework problems with your classmates, either in person or via the piazza homework page. Copying other people's solutions is not allowed however and will be penalized by the grader.

Due dateHomework
03 Sep1.1, 1.2*), 1.3**), 1.5, B.1
10 Sep1.4, 1.6, 2.2, 2.3, B.4, B.5&dagger)
17 Sep2.1, 2.4, 2.5, 2.6, 2.8, 2.9
24 Sep2.10, 2.11, 2.12, B.6, B.7&thinsp&Dagger), extra problems
01 OctNo homework (exam on Friday)
08 Oct2.7, 2.13, 2.14, 3.3, 3.4, 3.14
15 Oct2.16, 3.11, 4.1, 4.3
22 Oct4.4, 4.5, 4.6, 4.8, 4.9, 5.1, 5.3
29 Oct4.12, 4.13, 5.2&thinsp¶), 5.4, extra problem, 6.1
05 NovNo homework (exam on Friday)
12 Nov5.6, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6
19 Nov6.7, 6.11, 6.12, 7.1, 7.2, 7.3
26 NovNo homework (Thanksgiving recess)
05 Dec7.6, 7.7§), 8.1¥), 8.3, 8.4, 8.6, 9.1, 9.2

*)&thinspHere $a$ denotes a nonzero constant.

**)&thinspPlease parametrize the curve in Cartesian coordinates.

&dagger)&thinspIn part (ii) also make the following assumptions: $f$ is homogeneous of degree $p$ and $f(<f0>) e0$.


4.4: Differentials - Mathematics

The notation of dy/dx has been regarded as a single symbol for a derivative in previous sections. It looks like a fraction but is not one. In this section, dy and dx, named differential, are given a meaning so that their quotient is the derivative of the function.

Let y = f(x) and is differentiable. If the differential dx is an independent variable, then the differential dy is defined in terms of dx as dy = f ' (x)dx. Thus

Let A(x, f(x)) and D((x + &Deltax), f(x + &Deltax)) be points on function y. Let dx = &Deltax. Then the change &Deltay equals f(x + &Deltax) - f(x).

The slope of the tangent line AB is the derivative of function y, that is

In this equation dy is the amount of changes in y axis along the tangent line to the curve at point A, and dx is the changes in x axis which is &Deltax.

The definition of derivative gives

when &Deltax approaches 0. In this equation dx = &Deltax, so

Differential can calculate the approximate value of another poiont nearby. In the diagram, the coordinate of point B is (a + &Deltax, f(a + &Deltax)). The value of its y coordinate is

When &Deltax is small dy &asymp &Deltay and f(a + &Deltax) &asymp f(a) + dy . This formula is commonly used to calculate approximate values of functions.

This concept can be understood by calculating the the value of &Deltay and dy when the value of x changes from 2.02 to 2.03 for the function of y = x 3 - 2x 2 + 4.

Substitute a = 2.02 into y = y = x 3 - 2x 2 + 4,

f(a) = f(2.02) = 2.02 3 - 2(2.02) 2 + 4 = 4.081608

f(a) = f(2.03) = 2.03 3 - 2(2.03) 2 + 4 = 4.123627

This gives point B(2.03, 4.123627)

y ' = (x 3 - 2x 2 + 4) ' = 3x 2 - 6

According to differential definition,

In this example, dx = &Deltax = 2.03 -2.02 = 0.01. Substituting dx = 0.01 and x = 2.02 into equation dy gives


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1. Differentiation 1
2. Differentiation 2
3. Integration
4. Further differentiation
5. Algebra 1
6. Binomial theorem
7. Algebra 2
8. Series
9. Trigonometry 1
10. Trigonometry 2

11. Further Integration 1
12. Exponential and Log functions
13. Partial fractions
14. Further Integration 2
15. Coordinate geometry 1
16. Curve sketching
17. Coordinate geometry 2
18. Differential equations
19. Complex numbers
20. Vectors in 3-dimensions


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ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

13.12 Systems and higher order equations

is a set of k real valued functions of k+1 variables which are defined for umaxb and all real z1, …, zk. The simultaneous equations

where x ∈ [a, b], are called a system of ordinary differential equations . Any set of k differentiable functions †

satisfying (13.118) is called a solution.

In general, the solution of (13.118) , if it exists, will not be unique unless we are given k extra conditions. These usually take the form

where the sj are known and x0 ∈ [a, b], We are thus given the values of the yj(x) at the point x = x0. The problem of solving (13.118) subject to (13.119) is again known as an initial value problem.

We write (13.118) and (13.119) in the form

where y(x), y′(x), f(x, y) e s estão k-dimensional vectors, whose ith components are y i ( x ) , y i ′ ( x ) , f i ( x , y 1 ( x ) , … , y k ( x ) ) and si respectivamente. The problem has a unique solution if f satisfies a Lipschitz condition of the form: there exists eu ≥ 0 such that, for all real vectors y e z of dimension k and all x ∈ [a, b],

The norm is defined in § 10.2 .

Numerical methods analogous to those for one equation may be derived in an identical manner. For the Taylor series method, we determine f (r) (x, y) such that

(cf. (13.28) ), where Rp+ 1 is a remainder term. For example,

where the ith component of ∂ f/∂ yj is ∂ fi/∂ yj. The formulas for f (r) are very lengthy for r ≥ 2. The Taylor series method of order 2 is thus

We may derive Runge–Kutta methods by using Taylor series in several variables. Analogous to (13.39) , we have the classical method

Predictor-corrector methods are also identical to those for single equations.

Global truncation error bounds for all methods are very similar to those for a single equation. We replace the quantity | yny(xn) | by ‖ yny(xn) ‖.

Example 13.20

Consider the initial value problem

The Taylor series method of order 2 is

The Adams–Moulton predictor-corrector method of order 2 (cf. (13.83) ) is as follows.

where f j , n + 1 ( i ) = f j ( x n + 1 , y 1 , n + 1 ( i ) , y 2 , n + 1 ( i ) ) .

(The superscript i in the above is to distinguish different iterates and does not denote differentiation.) □

If the real valued function

is a differential equation of order m. If the solution y(x) is to be unique we need m extra conditions. If these take the form

where x0 ∈ [a, b] and the tr are given, we again say that we have an initial value problem. You will notice that we are given the values of y and its first m−1 derivatives at one point x = x0. In Chapter 14 we will discuss problems with conditions involving more than one value of x

We make the substitutions

and thus rewrite the single Equation (13.124) as the system of first order equations

The conditions (13.125) become

and we have an initial value problem of the type considered at the beginning of this section.

Example 13.21

For this example, we obtain

There are also some special methods for higher order differential equations, particularly second order equations. See Henrici (1962) and Lambert (1991) .

We have already seen in § 13.11 that for Euler's method applied to y′ = − Ay com UMA > 0, we obtain yn → 0 as n → ∞ with h fixed, only if h < 2/UMA. If we have a linear system of the form

where UMA é um m × m matrix, then one component of the general solution vector has the form

where λ1, λ2, …, λm are the eigenvalues of UMA. If λr > 0, r = 1, 2, …, m, the solution shown in (13.127) will satisfy y(x) → 0 as x → ∞. It can be shown that with Euler's method we need to choose

if the solution of the difference equation is to decrease towards zero as the number of steps increases. If 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ … ≤ λm (13.127) then, for c1 ≠0, the first term will be the dominant term for large x. The inequalities (13.128) may impose a very severe restriction on h if λm is very much larger than λ1. We illustrate this by the following example.

Example 13.22

com y(0) = 1 and z(0) = 8, the solution is

The equations (13.129) are of the form (13.126) where UMA has eigenvalues λ1 = 1 and λ2 = 50. For large x > 0 the dominant term in this solution is 2e −x but we must choose h < 0.04 if Euler's method is to produce a decreasing solution. □

Equations such as those of Example 13.22 are called stiff equations. There are similar difficulties with all the methods we have discussed except the Adams–Moulton method of order 2 which, as we saw in § 13.11 , is always absolutely stable. The restrictions on h given in Problem 13.40 for the Runge–Kutta method and in § 13.11 for the second order Adams–Bashforth method must be satisfied for each λr in (13.127) . Lambert (1991) gives a full discussion of the solution of stiff equations.


4.4: Differentials - Mathematics

Differential equations 11th edition Dennis Zill [PDF]

A First Course Differential Equations with Modeling Applications (11E) by Dennis G. Zill

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A First Course Differential Equations with Modeling Applications (11E) escrito por Dennis G. Zill .
Authors of books live with the hope that someone actually reads them. Contrary to what you might believe, almost everything in a typical college-level mathematics text is written for you and not the instructor. True, the topics covered in the text are chosen to appeal to instructors because they make the decision on whether to use it in their classes, but everything written in it is aimed directly at you the student. So I want to encourage you—no, actually I want to tell you—to read this textbook! But do not read this text as you would a novel you should not read it fast and you should not skip anything. Think of it as a workbook. By this I mean that mathematics should always be read with pencil and paper at the ready because, most likely, you will have to work your way through the examples and the discussion. Before attempting any problems in the section exercise sets, work through all the examples in that section. The examples are constructed to illustrate what I consider the most important aspects of the section, and therefore, re ect the procedures necessary to work most of the problems. When reading an example, copy it down on a piece of paper and do not look at the solution in the book. Try working it, then compare your results against the solution given, and, if necessary resolve any differences. I have tried to include most of the important steps in each example, but if something is not clear you should always try—and here is where the pencil and paper come in again—to ll in the details or missing steps. This may not be easy, but it is part of the learning process. The accumulation of facts followed by the slow assimilation of understanding simply cannot be achieved without a struggle.
(Dennis G. Zill)

Book Detail :-
Title: A First Course Differential Equations with Modeling Applications
Edition: 11th
Author(s): Dennis G. Zill
Publisher: Jones & Bartlett
Series:
Year: 2012
Pages: 944
Type: PDF
Language: inglês
ISBN: 1449691722,9781449691721
Country: US
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About Author :-
Author Dennis G. Zill is Professor of Mathematics from Loyola Marymount University, Los Angeles, CA, United States

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A First Course Differential Equations with Modeling Applications (11E) escrito por Dennis G. Zill cover the following topics. 1. INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS
Preface
1.1 Definitions and Terminology
1.2 Initial-Value Problems
1.3 Differential Equations as Mathematical Models
CHAPTER 1 IN REVIEW
2. FIRST-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS
2.1 Solution Curves Without a Solution
2.1.1 Direction Fields
2.1.2 Autonomous First-Order DEs
2.2 Separable Variables
2.3 Linear Equations
2.4 Exact Equations
2.5 Solutions by Substitutions
2.6 A Numerical Method
CHAPTER 2 IN REVIEW
3. MODELING WITH FIRST-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS
3.1 Linear Models
3.2 Nonlinear Models
3.3 Modeling with Systems of First-Order DEs
CHAPTER 3 IN REVIEW
4. HIGHER-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS
4.1 Preliminary Theory—Linear Equations
4.1.1 Initial-Value and Boundary-Value Problems
4.1.2 Homogeneous Equations
4.1.3 Nonhomogeneous Equations
4.2 Reduction of Order
4.3 Homogeneous Linear Equations with Constant Coefficients
4.4 Undetermined Coefficients—Superposition Approach
4.5 Undetermined Coefficients—Annihilator Approach
4.6 Variation of Parameters
4.7 Cauchy-Euler Equation
4.8 Solving Systems of Linear DEs by Elimination
4.9 Nonlinear Differential Equations
CHAPTER 4 IN REVIEW
5. MODELING WITH HIGHER-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS
5.1 Linear Models: Initial-Value Problems
5.1.1 Spring/Mass Systems: Free Undamped Motion
5.1.2 Spring/Mass Systems: Free Damped Motion
5.1.3 Spring/Mass Systems: Driven Motion
5.1.4 Series Circuit Analogue
5.2 Linear Models: Boundary-Value Problems
5.3 Nonlinear Models
CHAPTER 5 IN REVIEW
6. SERIES SOLUTIONS OF LINEAR EQUATIONS
6.1 Solutions About Ordinary Points
6.1.1 Review of Power Series
6.1.2 Power Series Solutions
6.2 Solutions About Singular Points
6.3 Special Functions
6.3.1 Bessel’s Equation
6.3.2 Legendre’s Equation
CHAPTER 6 IN REVIEW
7. THE LAPLACE TRANSFORM
7.1 Definition of the Laplace Transform
7.2 Inverse Transforms and Transforms of Derivatives
7.2.1 Inverse Transforms
7.2.2 Transforms of Derivatives
7.3 Operational Properties I
7.3.1 Translation on the s-Axis
7.3.2 Translation on the t-Axis
7.4 Operational Properties II
7.4.1 Derivatives of a Transform
7.4.2 Transforms of Integrals
7.4.3 Transform of a Periodic Function 287
7.5 The Dirac Delta Function
7.6 Systems of Linear Differential Equations
CHAPTER 7 IN REVIEW
8. SYSTEMS OF LINEAR FIRST-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS
8.1 Preliminary Theory—Linear Systems
8.2 Homogeneous Linear Systems
8.2.1 Distinct Real Eigenvalues
8.2.2 Repeated Eigenvalues
8.2.3 Complex Eigenvalues
8.3 Nonhomogeneous Linear Systems
8.3.1 Undetermined Coefficients
8.3.2 Variation of Parameters
8.4 Matrix Exponential
CHAPTER 8 IN REVIEW
9. NUMERICAL SOLUTIONS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
9.1 Euler Methods and Error Analysis
9.2 Runge-Kutta Methods
9.3 Multistep Methods
9.4 Higher-Order Equations and Systems
9.5 Second-Order Boundary-Value Problems
CHAPTER 9 IN REVIEW
APPENDICES
I Gamma Function APP-1
II Matrices APP-3
III Laplace Transforms APP-21
Answers for Selected Odd-Numbered Problems ANS
Index I

We are not the owner of this book/notes. We provide it which is already avialable on the internet. For any further querries please contact us. We never SUPPORT PIRACY. This copy was provided for students who are financially troubled but want studeing to learn. If You Think This Materials Is Useful, Please get it legally from the PUBLISHERS. Obrigada.


Assista o vídeo: EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE BERNOULLI EXEMPLO 1 (Dezembro 2021).