Artigos

Polinômios de Taylor de funções de duas variáveis ​​- Matemática


No início deste semestre, vimos como aproximar uma função (f (x, y) ) por uma função linear, ou seja, por seu plano tangente. A equação do plano tangente é apenas o Polinômio de Taylor de (1 ^ { text {st}} ) - grau de Taylor de (f ) em ((x, y) ), já que a equação da linha tangente era o (1 ^ { text {st}} ) - grau de Taylor Polinômio de uma função (f (x) ).

Agora veremos como melhorar esta aproximação de (f (x, y) ) usando uma função quadrática: o polinômio de Taylor de (2 ^ { text {nd}} ) - grau para (f ) em ((x, y) ).

Revisão de polinômios de Taylor para uma função de uma variável

Você se lembra dos Polinômios de Taylor de Calculus II?

Definição: polinômios de Taylor para uma função de uma variável, (y = f (x) )

Se (f ) tem (n ) derivadas em (x = c ), então o polinômio,

[P_n (x) = f (c) + f '(c) (x - c) + frac {f' '(c)} {2!} (X - c) ^ 2 + cdots + frac {f ^ {(n)} (c)} {n!} (xc) ^ n ]

é chamado de (n ^ { text {th}} ) - Polinômio de Taylor de grau para (f ) em (c ).

Agora, uma função de uma variável (f (x) ) pode ser aproximada para (x ) perto de (c ) usando seu (1 ^ { text {st}} ) - grau Taylor Polinomial (ie , usando a equação de seu linha tangente no ponto ((c, f (c) )). Este polinômio de (1 ^ { text {st}} ) - grau Taylor também é chamado de aproximação linear de (f (x) ) para (x ) próximo a (c ).

Isso é:

[f (x) approx f (c) + f '(c) (x - c) ]

Observação

Lembre-se de que a primeira derivada deste (1 ^ { text {st}} ) - polinômio de Taylor de grau em (x = c ) é igual à primeira derivada de (f ) em (x = c ). Isso é:

Uma vez que (P_1 (x) = f (c) + f '(c) (x - c) ),

[P_1 '(c) = f' (c) não numérico ]

Uma melhor aproximação de (f (x) ) para (x ) próximo a (c ) é o aproximação quadrática (ou seja, o polinômio de Taylor de (2 ^ { text {nd}} ) - grau de Taylor de (f ) em (x = c )):

[f (x) approx f (c) + f '(c) (x - c) + frac {f' '(c)} {2} (x - c) ^ 2 ]

Observação

Lembre-se de que a primeira e a segunda derivadas do polinômio de Taylor de (2 ^ { text {nd}} ) - grau de Taylor de (f ) em (x = c ) são as mesmas de (f ) em (x = c ). Isso é:

Uma vez que (P_2 (x) = f (c) + f '(c) (x - c) + frac {f' '(c)} {2} (x - c) ^ 2 ),

[P_2 '(c) = f' (c) quad text {e} quad P_2 '' (c) = f '' (c) não numérico ]

Polinômios de Taylor de 1º e 2º graus para funções de duas variáveis

Polinômios de Taylor funcionam da mesma maneira para funções de duas variáveis. (Existem apenas mais de cada derivada!)

Definição: polinômio de Taylor de primeiro grau de uma função de duas variáveis, (f (x, y) )

Para uma função de duas variáveis ​​ (f (x, y) ) cujas primeiras parciais existem no ponto ((a, b) ), o (1 ^ { text {st}} ) - polinômio de Taylor de grau de (f ) para ((x, y) ) perto do ponto ((a, b) ) é:

[f (x, y) aprox L (x, y) = f (a, b) + f_x (a, b) (x - a) + f_y (a, b) (y - b) ]

(L (x, y) ) também é chamado de linear (ou plano tangente) aproximação de (f ) para ((x, y) ) próximo ao ponto ((a, b) ).

Observe que esta é realmente apenas a equação do plano tangente da função (f ).

Observe também que as primeiras derivadas parciais desta função polinomial são (f_x ) e (f_y )!

Podemos obter uma aproximação ainda melhor de (f ) para ((x, y) ) perto do ponto ((a, b) ) usando o aproximação quadrática de (f ) para ((x, y) ) próximo ao ponto ((a, b) ). Este é apenas outro nome para o polinômio de Taylor de (2 ^ { text {nd}} ) - graus de (f ).

Definição: Polinômio de Taylor de segundo grau de uma função de duas variáveis, (f (x, y) )

Para uma função de duas variáveis ​​ (f (x, y) ) cujas primeira e segunda parciais existem no ponto ((a, b) ), o (2 ^ { text {nd}} ) - polinômio de Taylor de grau de (f ) para ((x, y) ) perto do ponto ((a, b) ) é:

[f (x, y) aprox Q (x, y) = f (a, b) + f_x (a, b) (x - a) + f_y (a, b) (y - b) + frac {f_ {xx} (a, b)} {2} (xa) ^ 2 + f_ {xy} (a, b) (xa) (yb) + frac {f_ {yy} (a, b)} { 2} (yb) ^ 2 label {tp2} ]

Se já determinamos (L (x, y) ), podemos simplificar esta fórmula como:

[f (x, y) aprox Q (x, y) = L (x, y) + frac {f_ {xx} (a, b)} {2} (xa) ^ 2 + f_ {xy} (a, b) (xa) (yb) + frac {f_ {yy} (a, b)} {2} (yb) ^ 2 ]

Nota: Como os dois parciais mistos são iguais, eles se combinam para formar o termo do meio. Originalmente, havia quatro mandatos para as segundas parciais, todos divididos por 2.

Observe que a potência no fator ((x - a) ) corresponde ao número de vezes que a parcial é tomada em relação a (x ) e a potência no fator (y - b ) corresponde ao número de vezes que o parcial é obtido em relação a (y ). Por exemplo, no termo com (f_ {xx} (a, b) ), você tem o fator ((xa) ^ 2 ), uma vez que a parcial é tomada em relação a (x ) duas vezes, e no termo com (f_ {xy} (a, b) ), você tem os fatores ((xa) ) e ((yb) ) (ambos elevados à primeira potência), já que o é considerado em relação a (x ) uma vez e em relação a (y ) uma vez.

Observe também que a primeira e a segunda derivadas parciais desta função polinomial são as mesmas da função (f )!

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando Polinômios de Taylor de 1º e 2º grau

Determine as aproximações polinomiais de Taylor de (1 ^ { text {st}} ) - e (2 ^ { text {nd}} ) - graus de Taylor, (L (x, y) ) & (Q (x, y) ), para as seguintes funções de (x ) e (y ) perto do ponto dado.

uma. (f (x, y) = sin 2x + cos y ) para ((x, y) ) próximo ao ponto ((0, 0) )

b. (f (x, y) = xe ^ y + 1 ) para ((x, y) ) perto do ponto ((1, 0) )

Solução

uma. Para determinar a aproximação linear polinomial de Taylor de primeiro grau, (L (x, y) ), primeiro calculamos as derivadas parciais de (f ).

[f_x (x, y) = 2 cos 2x quad text {e} quad f_y (x, y) = - sin y nonumber ]

Então avaliando essas parciais e a própria função no ponto ((0,0) ) temos:

[ begin {align *} f (0,0) & = sin 2 (0) + cos 0 = 1 f_x (0,0) & = 2 cos 2 (0) = 2 f_y (0,0) & = - sin 0 = 0 end {align *} nonumber ]

Agora,

[ begin {align *} L (x, y) & = f (0,0) + f_x (0,0) (x - 0) + f_y (0,0) (y - 0)
& = 1 + 2x end {align *} ]

Veja o gráfico desta função e sua aproximação linear (o polinômio de Taylor de (1 ^ { text {st}} ) - grau) na Figura ( PageIndex {1} ).

Figura ( PageIndex {1} ): Gráfico de (f (x, y) = sin 2x + cos y ) e seu (1 ^ { text {st}} ) - polinômio de Taylor de grau, (L (x, y) = 1 + 2x )

Para determinar a aproximação polinomial (quadrática) de Taylor de segundo grau, (Q (x, y) ), precisamos da segunda parcial de (f ):

[ begin {align *} f_ {xx} (x, y) & = -4 sin 2x f_ {xy} (x, y) & = 0 f_ {yy} (x, y) & = - cos y end {align *} ]

Avaliando essas 2ª parciais no ponto ((0,0) ):

[ begin {align *} f_ {xx} (0,0) & = -4 sin 2 (0) = 0 f_ {xy} (0,0) & = 0 f_ {yy} ( 0,0) & = - cos 0 = -1 end {align *} ]

Então,

[ begin {align *} Q (x, y) & = L (x, y) + frac {f_ {xx} (0,0)} {2} (x-0) ^ 2 + f_ {xy } (0,0) (x-0) (y-0) + frac {f_ {yy} (0,0)} {2} (y-0) ^ 2
& = 1 + 2x + frac {0} {2} x ^ 2 + (0) xy + frac {-1} {2} y ^ 2
& = 1 + 2x - frac {y ^ 2} {2} end {align *} ]

Veja o gráfico da função (f ) junto com sua aproximação quadrática (o polinômio de Taylor de (2 ^ { text {nd}} ) - graus) na Figura ( PageIndex {2} ).

Figura ( PageIndex {2} ): Gráfico de (f (x, y) = sin 2x + cos y ) e seu (2 ^ { text {nd}} ) - polinômio de Taylor de grau, (Q (x, y) = 1 + 2x - frac {y ^ 2} {2} )

b. Para determinar a aproximação linear polinomial de Taylor de primeiro grau, (L (x, y) ), primeiro calculamos as derivadas parciais de (f (x, y) = xe ^ y + 1 ).

[f_x (x, y) = e ^ y quad text {e} quad f_y (x, y) = xe ^ y nonumber ]

Em seguida, avaliando essas parciais e a própria função no ponto ((1,0) ) temos:

[ begin {align *} f (1,0) & = (1) e ^ 0 + 1 = 2 f_x (1,0) & = e ^ 0 = 1 f_y (1,0) & = (1) e ^ 0 = 1 end {align *} nonumber ]

Agora,

[ begin {align *} L (x, y) & = f (1,0) + f_x (1,0) (x - 1) + f_y (1,0) (y - 0)
& = 2 + 1 (x - 1) + 1y
& = 1 + x + y end {align *} ]

Veja o gráfico desta função e sua aproximação linear (o polinômio de Taylor de (1 ^ { text {st}} ) - grau) na Figura ( PageIndex {3} ).

Figura ( PageIndex {3} ): Gráfico de (f (x, y) = xe ^ y + 1 ) e seu (1 ^ { text {st}} ) - polinômio de Taylor de grau, (L (x, y) = 1 + x + y )

Para determinar a aproximação polinomial (quadrática) de Taylor de segundo grau, (Q (x, y) ), precisamos das segundas parciais de (f ):

[ begin {align *} f_ {xx} (x, y) & = 0 f_ {xy} (x, y) & = e ^ y f_ {yy} (x, y) & = xe ^ y end {align *} ]

Avaliando essas 2ª parciais no ponto ((1,0) ):

[ begin {align *} f_ {xx} (1,0) & = 0 f_ {xy} (1,0) & = e ^ 0 = 1 f_ {yy} (1,0) & = (1) e ^ 0 = 1 end {alinhar *} ]

Então,

[ begin {align *} Q (x, y) & = L (x, y) + frac {f_ {xx} (1,0)} {2} (x-1) ^ 2 + f_ {xy } (1,0) (x-1) (y-0) + frac {f_ {yy} (1,0)} {2} (y-0) ^ 2
& = 1 + x + y + frac {0} {2} (x-1) ^ 2 + (1) (x-1) y + frac {1} {2} y ^ 2
& = 1 + x + y + xy -y + frac {y ^ 2} {2}
& = 1 + x + xy + frac {y ^ 2} {2} end {align *} ]

Veja o gráfico da função (f ) junto com sua aproximação quadrática (o polinômio de Taylor de (2 ^ { text {nd}} ) - graus) na Figura ( PageIndex {4} ).

Figura ( PageIndex {4} ): Gráfico de (f (x, y) = xe ^ y + 1 ) e seu (2 ^ { text {nd}} ) - polinômio de Taylor de grau, (L (x, y) = 1 + x + xy + frac {y ^ 2} {2} )

Polinômios de Taylor de alto grau de uma função de duas variáveis

Para calcular o polinômio de Taylor de grau (n ) para funções de duas variáveis ​​além do segundo grau, precisamos trabalhar o padrão que permite que todas as parciais do polinômio sejam iguais às parciais da função sendo aproximada no ponto ((a, b) ), até o grau dado. Ou seja, para (P_3 (x, y) ) precisaremos de sua primeira, segunda e terceira parciais para corresponderem às de (f (x, y) ) no ponto ((a, b) ) Para (P_10 (x, y) ), precisaríamos de todas as suas parciais até as décimas parciais para que todas correspondam às de (f (x, y) ) no ponto ((a, b) ).

Se você trabalhar com este padrão, ele nos dará a seguinte fórmula interessante para o polinômio de Taylor de (n ^ { text {th}} ) - grau de Taylor de (f (x, y) ), assumindo que todas essas parciais existem .

Definição: (n ^ { text {th}} ) - Polinômio de Taylor de grau para uma função de duas variáveis

Para uma função de duas variáveis ​​ (f (x, y) ) cujas parciais existem todas para as (n ^ { text {th}} ) parciais no ponto ((a, b) ), o (n ^ { text {th}} ) - polinômio de Taylor de grau de (f ) para ((x, y) ) perto do ponto ((a, b) ) é:

[P_n (x, y) = sum_ {i = 0} ^ n sum_ {j = 0} ^ {n - i} frac { frac {d ^ {(i + j)} f} {∂ x ^ i∂y ^ {j}} (a, b)} {i! j!} (xa) ^ i (yb) ^ j label {tpn} ]

Vamos verificar esta fórmula para o polinômio de Taylor de segundo grau. (Deixaremos que você verifique para o polinômio de Taylor de primeiro grau.)

Para (n = 2 ), temos:

[P_2 (x, y) = sum_ {i = 0} ^ 2 sum_ {j = 0} ^ {2 - i} frac { frac {d ^ {(i + j)} f} {∂ x ^ i∂y ^ {j}} (a, b)} {i! j!} (xa) ^ i (yb) ^ j ]

Uma vez que (i ) começará em (0 ) e continuará a aumentar até (2 ), enquanto o valor de (j ) começará em (0 ) e aumentará para (2- i ) para cada valor de (i ), veríamos os seguintes valores para (i ) e (j ):

[ begin {align *} i = 0, && j = 0 i = 0, && j = 1 i = 0, && j = 2 i = 1, && j = 0 i = 1, && j = 1 i = 2, && j = 0 end {align *} ]

Então, pela fórmula:

[ begin {align *} P_2 (x, y) & = frac {f (a, b)} {0! 0!} (xa) ^ 0 (yb) ^ 0 + frac {f_y (a, b)} {0! 1!} (xa) ^ 0 (yb) ^ 1 + frac {f_ {yy} (a, b)} {0! 2!} (xa) ^ 0 (yb) ^ 2 + frac {f_x (a, b)} {1! 0!} (xa) ^ 1 (yb) ^ 0 + frac {f_ {xy} (a, b)} {1! 1!} (xa) ^ 1 (yb) ^ 1 + frac {f_ {xx} (a, b)} {2! 0!} (Xa) ^ 2 (yb) ^ 0
& = f (a, b) + f_y (a, b) (yb) + frac {f_ {yy} (a, b)} {2} (yb) ^ 2 + f_x (a, b) (xa) + f_ {xy} (a, b) (xa) (yb) + frac {f_ {xx} (a, b)} {2} (xa) ^ 2
& = f (a, b) + f_x (a, b) (xa) + f_y (a, b) (yb) + frac {f_ {xx} (a, b)} {2} (xa) ^ 2 + f_ {xy} (a, b) (xa) (yb) + frac {f_ {yy} (a, b)} {2} (yb) ^ 2 end {alinhar *} ]

Esta equação é igual à Equação ref {tp2} acima.

Observe que (P_2 (x, y) ) é a notação mais formal para o polinômio de Taylor de segundo grau (Q (x, y) ).

Exercício ( PageIndex {1} ): Encontrar um polinômio de Taylor de terceiro grau para uma função de duas variáveis

Agora tente encontrar os novos termos que você precisaria encontrar (P_3 (x, y) ) e use esta nova fórmula para calcular o polinômio de Taylor de terceiro grau para uma das funções em Exemplo ( PageIndex {1} ) acima de. Verifique seu resultado usando um gráfico de função 3D como CalcPlot3D.

Responder

Como você acabou de descobrir, as únicas novas combinações de (i ) e (j ) seriam:

[ begin {align *} i = 0, && j = 3 i = 1, && j = 2 i = 2, && j = 1 i = 3, && j = 0 end {align *} ]

Observe que esses pares incluem todas as combinações possíveis de (i ) e (j ) que podem somar a (3 ). Ou seja, esses pares correspondem a todos os termos de terceiro grau possíveis que poderíamos ter para uma função de duas variáveis ​​ (x ) e (y ), lembrando que (i ) representa o grau de (x ) e (j ) representa o grau de (y ) em cada termo. Se o ponto ((a, b) ) fosse ((0,0) ), os fatores variáveis ​​desses termos seriam (y ^ 3 ), (xy ^ 2 ), (x ^ 2y ) e (x ^ 3 ), respectivamente.

Então, pela Equação ref {tpn}:

[P_3 (x, y) = P_2 (x, y) + frac {f_ {yyy} (a, b)} {0! 3!} (Xa) ^ 0 (yb) ^ 3 + frac {f_ {xyy} (a, b)} {1! 2!} (xa) ^ 1 (yb) ^ 2 + frac {f_ {xxy} (a, b)} {2! 1!} (xa) ^ 2 (yb) ^ 1 + frac {f_ {xxx} (a, b)} {3! 0!} (xa) ^ 3 (yb) ^ 0 ]

Simplificando, [P_3 (x, y) = P_2 (x, y) + frac {f_ {yyy} (a, b)} {6} (yb) ^ 3 + frac {f_ {xyy} (a, b)} {2} (xa) (yb) ^ 2 + frac {f_ {xxy} (a, b)} {2} (xa) ^ 2 (yb) + frac {f_ {xxx} (a, b)} {6} (xa) ^ 3 ]

Contribuidores

  • Paul Seeburger (Monroe Community College)

Exercícios:

13.7: Polinômios de Taylor de funções de duas variáveis

Nos exercícios 1 - 8, encontre a aproximação linear (L (x, y) ) e a aproximação quadrática (Q (x, y) ) de cada função no ponto indicado. Estes são os polinômios de Taylor de (1 ^ { text {st}} ) - e (2 ^ { text {nd}} ) - graus de Taylor dessas funções nestes pontos. Use um gráfico 3D como CalcPlot3D para verificar se cada aproximação linear é tangente à superfície dada em determinado ponto e que cada aproximação quadrática não é apenas tangente à superfície em determinado ponto, mas também compartilha a mesma concavidade que a superfície neste apontar.

1) (f (x, y) = x sqrt {y}, quad P (1,4) )

Responder:
(L (x, y) = 2x + frac {1} {4} y − 1 )
(Q (x, y) = -1 + 2x + frac {1} {4} y + frac {1} {4} (x-1) (y - 4) - frac {1} {64 } (y-4) ^ 2 )

2) (f (x, y) = e ^ x cos y; quad P (0,0) )

3) (f (x, y) = arctan (x + 2y), quad P (1,0) )

Responder:
(L (x, y) = frac {1} {4} π− frac {1} {2} + frac {1} {2} x + y )
(Q (x, y) = frac {1} {4} π− frac {3} {4} + x + 2y - frac {x ^ 2} {4} - xy - y ^ 2 )

4) (f (x, y) = sqrt {20 − x ^ 2−7y ^ 2}, quad P (2,1) )

5) (f (x, y) = x ^ 2y + y ^ 2, quad P (1,3) )

Responder:
(L (x, y) = 12 + 6 (x-1) + 7 (y - 3) = -15 + 6x + 7y )
(Q (x, y) = - 15 + 6x + 7y + 3 (x - 1) ^ 2 + 2 (x-1) (y - 3) + (y-3) ^ 2 )

6) (f (x, y) = cos x cos 3y, quad P (0,0) )

7) (f (x, y) = ln (x ^ 2 + y ^ 2 + 1), quad P (0,0) )

Responder:
(L (x, y) = 0 )
(Q (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 )

8) (f (x, y) = sqrt {2x - y}, quad P (1, -2) )

9) Verifique se a fórmula para polinômios de Taylor de grau superior funciona para o polinômio de Taylor de primeiro grau (L (x, y) = P_1 (x, y) ). Por conveniência, a fórmula é fornecida abaixo.
[P_n (x, y) = sum_ {i = 0} ^ n sum_ {j = 0} ^ {n - i} frac { frac {d ^ {(i + j)} f} {∂ x ^ i∂y ^ {j}} (a, b)} {i! j!} (xa) ^ i (yb) ^ j não numérico ]

10) Determine os novos termos que seriam adicionados a (P_3 (x, y) ) (que você encontrou no Exercício 13.7.1) para formar (P_4 (x, y) ) e determine o Taylor de quarto grau polinomial para uma das funções que consideramos e representá-lo graficamente junto com o gráfico de superfície da função correspondente em um gráfico 3D como CalcPlot3D para verificar se ele continua a se ajustar melhor à superfície.

Contribuidores

  • Paul Seeburger (Monroe Community College)
  • Os exercícios 1-4 foram adaptados de problemas fornecidos na seção sobre planos tangentes e diferenciais do livro-texto OpenStax Calculus 3.

Polinômios de Taylor de funções de duas variáveis ​​- Matemática

As séries de Taylor são polinômios que aproximam funções.

Para funções de duas variáveis, a série de Taylor depende da primeira, segunda, etc. derivadas parciais em algum ponto (x0, y0).

Deixar P1(x, y) representam a aproximação de Taylor de primeira ordem para uma função de duas variáveis f (x, y). A equação para a aproximação de primeira ordem é P1(x, y) = f (x0, y0) + (x - x0) fx(x0, y0) + (y - y0) fy(x0, y0). Já estamos bastante familiarizados com esta equação, pois define um plano tangente.

Em geral, o naproximação de taylor da ordem para uma função f (x, y) é o polinômio que tem o mesmo nth e derivadas parciais inferiores como a função f (x, y) no ponto (x0, y0).

Esta é uma demonstração que mostra o parabolóide tangente a um ponto em uma superfície (x, y, f (x, y)), como uma ilustração da aproximação de Taylor de segunda ordem em duas dimensões. Nós expandimos f (x, y) como uma série de Taylor em torno do ponto de acesso C, e descartar todos os termos do pedido 3 ou mais alto. Para ver que isso é apenas uma aproximação da superfície, olhamos para as superfícies que são o gráfico de função de uma função f (x, y) com grau 3. Observe que para deg f = 2 ou menos, a aproximação de Taylor de segunda ordem é exata.

Todo o material é copyright & copy2004 de Thomas Banchoff. Todos os direitos reservados.


Matemática 8Cálculo em uma e várias variáveis

Este curso é uma sequência do Matemática 3 e fornece uma introdução à série de Taylor e funções de várias variáveis. O primeiro terço do curso é dedicado à aproximação de funções por polinômios de Taylor e representação de funções por séries de Taylor. O segundo terço do curso apresenta funções com valores vetoriais. Ele começa com o estudo da geometria vetorial, equações de linhas e planos e curvas espaciais. O último terço do curso é dedicado ao estudo do cálculo diferencial de funções de várias variáveis.

"Calculus", de James Stewart, 8ª edição, ISBN: 978-1-285-74062-1

Haverá dois exames intermediários e um exame final cumulativo. Os exames são agendados da seguinte forma:

Midterm I Quarta-feira, 19 de abril, das 4h30 às 18h30 Wilder 111
Midterm II Quinta-feira, 11 de maio, 4: 30-6: 30 Wilder 111
Exame final Quinta-feira, 1º de junho, 11h30 às 14h30 Moore B03

Se você tiver um conflito com um dos exames de meio de semestre por causa de uma prática religiosa, atividade extracurricular programada como um jogo ou apresentação [não prática], laboratório programado para outro curso ou compromisso semelhante, consulte seu instrutor o mais rápido possível.

Política de trabalhos de casa e ensp

1.) WeBWorK: As atribuições online do Webwork podem ser encontradas na página WeBWorK desta classe. As tarefas vencem a cada Segunda, quarta e sexta-feira às 10h a menos que seja anunciado de outra forma. O sistema WeBWorK não aceitará envios atrasados, a menos que você tenha combinado com seu instrutor. Seu instrutor pode ajustar seu prazo individual em uma tarefa específica em caso de doença ou emergência familiar. Exames etc. em outros cursos não são considerados um motivo válido para solicitar uma extensão. Por favor, planeje com antecedência.

2.) Trabalho de casa escrito: As tarefas de lição de casa escritas serão atribuídas semanalmente e publicadas na página de lição de casa. A lição de casa será atribuída todas as quartas-feiras e deve ser entregue a próxima quarta-feira na aula. Os trabalhos de casa atrasados ​​não serão aceitos, exceto em casos de doença prolongada. A nota mais baixa do dever de casa será descartada. Para o dever de casa, o Princípio de Honra abaixo se aplica.

Notas

A nota do curso será baseada nas notas do exame de meio do semestre, trabalhos de casa escritos e online e no exame final da seguinte forma:

Tutorial

Nossa assistente de ensino de graduação, Elizabeth Tripp, apresentará tutoriais Terça, quinta e domingo das 7h às 21h em 105 Kemeny, com foco em responder às suas perguntas sobre a lição de casa e o material da aula. Para obter o máximo benefício, recomendamos enfaticamente que você tente todos os problemas do dever de casa com antecedência e venha com suas perguntas ao tutorial. Os tutoriais estão abertos a todos os alunos do Math 8. Você não precisa de um compromisso.

Outra ajuda externa

  • Horário comercial: Sinta-se à vontade para nos encontrar durante o horário comercial (ou por agendamento) com perguntas sobre problemas de dever de casa ou qualquer outro aspecto do curso.
  • Tutoria por pares: O Tutor Clearinghouse do Academic Skills Center oferece tutoria individual entre pares. O grupo de estudo do Math 8 encontra o TBA.

O Princípio da Honra

A integridade acadêmica está no centro de nossa missão como matemáticos e educadores, e a levamos muito a sério.
A cooperação no dever de casa é permitida e incentivada, mas você deve escrever sua lição de casa com suas próprias palavras, refletindo sua própria compreensão. Agradece a todos os colaboradores no início de cada tarefa.
Nos exames, você não pode dar ou receber ajuda de ninguém. Os exames deste curso são em livro fechado e não são permitidas notas, calculadoras ou outros dispositivos eletrônicos.
Mais informações podem ser encontradas aqui: Princípio da Honra.

Observâncias religiosas

Alguns alunos podem querer participar de práticas religiosas que ocorrem durante este período acadêmico. Se você tem uma prática religiosa que conflita com sua participação no curso, por favor, reúna-se com seu instrutor antes do final da segunda semana do semestre para discutir as acomodações apropriadas.
Um calendário de feriados religiosos pode ser encontrado aqui: Feriados religiosos.

Deficiências

Os alunos com deficiência que podem precisar de ajustes acadêmicos relacionados à deficiência e serviços para este curso são incentivados a ver seu instrutor em particular o mais cedo possível. Os alunos que precisam de ajustes e serviços acadêmicos relacionados à deficiência devem consultar o escritório de Serviços de Acessibilidade do Aluno (Carson Hall, Suite 125, 646-9900). Uma vez que o SAS autorizou os serviços, os alunos devem mostrar o Formulário de Serviços e Consentimento SAS originalmente assinado e / ou uma carta em papel timbrado do SAS para seu professor. Como primeiro passo, se os alunos tiverem dúvidas sobre se eles se qualificam para receber ajustes acadêmicos e serviços, eles devem entrar em contato com o escritório da SAS. Todas as perguntas e discussões permanecerão confidenciais.
Para obter mais informações, consulte Serviços de acessibilidade do aluno.


Fórmula E 2020 Jacarta

Considere uma função de valor real suave de duas variáveis, digamos fx y, onde x e y são números reais, então f é uma função do plano à reta. Se a expansão for conhecida como série maclaurin.

Série Taylor para funções de duas variáveis

A série taylor ou mais geral de uma função sobre um ponto até a ordem pode ser encontrada usando a série f x e o ésimo termo de uma série de taylor de uma função pode ser calculada no volfrâmio.

Fórmula de expansão da série de Taylor para o exemplo de duas variáveis. Equilíbrio entre o objetivo e a variância de polarização por que desejamos conter dois componentes no objetivo. Mudanças difeomórficas de coordenadas na origem e no alvo. O espaço de todas essas funções suaves é influenciado pelo grupo de difeomorfismos do plano e os difeomorfismos da linha ie.

Se o resultado de nhst for significativo, a magnitude da diferença entre os dois grupos pode ser simplesmente expressa em termos da diferença entre as médias dos dois grupos. Ao comparar dois grupos independentes de uma variável contínua, geralmente é usado o teste t de alunos. Classificação em geometria diferencial.

Na teoria da probabilidade, uma distribuição é considerada estável se uma combinação linear de duas variáveis ​​aleatórias independentes com esta distribuição tem a mesma distribuição até os parâmetros de localização e escala. Tamanho do efeito de Cohens d para a diferença média. Uma variável aleatória é considerada estável se sua distribuição for estável.

A otimização da perda de treinamento incentiva os modelos preditivos que se encaixam bem nos dados de treinamento, pelo menos, você se aproxima dos dados de treinamento, o que provavelmente está próximo da distribuição subjacente. A família de distribuição estável também é algumas vezes referida como distribuição estável alfa de tributação após a tributação paul. O teorema de Taylor, na verdade, descoberto primeiro por Gregory, afirma que qualquer função que satisfaça certas condições pode ser expressa como uma série de Taylor.

Polinômios de Taylor de uma função de duas variáveis

Taylor Series Taylor S Series para duas variáveis ​​Exemplos da série Taylor

Série Taylor em 1 e 2 variáveis

Série Taylor em 1 e 2 variáveis

Funções de polinômios de Taylor de duas variáveis

Série Taylor em 1 e 2 variáveis

Teorema de Taylor para função de duas variáveis

Regra da cadeia de derivativos totais e parciais

Série Taylor em 1 e 2 variáveis

Teorema de Taylor S Wikipedia

Taylor Series O cara dos métodos numéricos

Como faço para encontrar o polinômio de Taylor da multivariável

Teorema de Taylor S Wikipedia

Estou fazendo uma expansão da série Taylor de uma função F X I

Estou fazendo uma expansão da série Taylor de uma função F X I

Série de Taylor de Wolfram Mathworld

Série Taylor em 1 e 2 variáveis

Teorema de Taylor S Wikipedia

Vídeo de exemplos de fórmulas de definição da série Maclaurin

Exemplos quadráticos de polinômios de Taylor

Vídeo de exemplos de fórmulas de definição da série Maclaurin

Exemplo trabalhado de função de reconhecimento da série Taylor

Polinômios de Taylor multivariáveis

Precisão da série de Taylor, o cara dos métodos numéricos

Taylor e Maclaurin Series Exemplo 2

Tutorial da série Taylor por Chris Tralie

Teorema de Taylor S Wikipedia

Taylor Maclaurin Series Formula Intro Video Khan Academy

Taylor e Maclaurin Series Exemplo 1

Série de Taylor de Wolfram Mathworld

Definição de Taylor Series Chegg Com

Teorema de Taylor S Wikipedia

Prova da Fórmula de Expansão da Série Taylor Maclaurin

Métodos de simulação de primeira ordem modificados

Introdução ao Teorema de Taylor para funções multivariáveis

Taylor Maclaurin Series Formula Intro Video Khan Academy

Expansões de funções exponenciais da série de Taylor

Método de Taylor S para resolver O D E S

Série Taylor em 1 e 2 variáveis

Wiki da ciência matemática brilhante de manipulação da série de Taylor

Taylor Series O cara dos métodos numéricos

Série Taylor em 1 e 2 variáveis

Encontrando uma Expansão da Série Maclaurin Outro Exemplo 1

Vídeo de exemplos de fórmulas de definição da série Maclaurin

Taylor Series em Python Python para engenheiros de graduação

Taylor Series O cara dos métodos numéricos

Visualizando as aproximações da série de Taylor em vídeo Khan Academy

Maclaurin Series For Ln 1 X How To Steps Video

Stpm Further Mathematics T 7 2 Série Taylor

Vídeo de exemplos de fórmulas de definição da série Maclaurin

Exemplo Trabalhado de Polinômio de Taylor de Função Derivada

Série Taylor Resolvendo Série Taylor com Análise Complexa de Série Geométrica 8

O que é a atualização Lagrange Error Bound 2017

Expansão da série de Taylor no cálculo de variações

Taylor Series O cara dos métodos numéricos

Tutorial da série Taylor por Chris Tralie

Série de código de expansão Taylor com Matlab

Visualizando Aproximações da Série Taylor

Taylor Mclaurin Series Engineering Mathematics Questions

Série de funções teóricas do professor de matemática

Definição de Maclaurin Series Chegg Com

Usando Web Frameworks para aplicações científicas

Taylor Series Matlab Simulink

Vídeo de exemplos de fórmulas de definição da série Taylor

Duas séries de Taylor variáveis ​​e exemplos

Vídeo de exemplos de fórmulas de definição da série Maclaurin

Taylor Series O cara dos métodos numéricos

Série de funções teóricas do professor de matemática

Método da série Pdf Taylor para resolver o Fredholm linear

Exemplo de coeficiente trabalhado em vídeo polinomial de Taylor

Tutorial 5 6 Otimização de Função Line Search Taylor

Ap Calculus Bc Review Erro de Lagrange Bound Magoosh High

Série de funções teóricas do professor de matemática

Exemplo trabalhado de estimativa de Eˣ usando limite de erro de Lagrange

Série de Fourier de Wolfram Mathworld

The Taylor Series Danilo Roccatano

Série Taylor em 1 e 2 variáveis

Métodos Numéricos Notas de aula Odes

Tutorial da série Taylor por Chris Tralie

Linearização de Equações Diferenciais Dinâmica e Controle

Série Taylor para funções de uma variável complexa


Polinômios de Taylor + funções de duas variáveis

Este é um tutorial básico sobre como calcular um polinômio de Taylor para uma função de duas variáveis. As idéias são aplicadas para aproximar uma raiz quadrada difícil. Esses conceitos são vistos na matemática universitária.

Aulas do curso
Tutorial de Derivados Parciais + PDEs

Este é um tutorial básico sobre como calcular derivadas parciais. As idéias são aplicadas para mostrar que certas funções satisfazem uma famosa equação diferencial parcial, conhecida como equação de onda. Essas ideias são vistas na matemática universitária.

Regra da Cadeia + Derivados Parciais

Este vídeo mostra como calcular derivadas parciais por meio da regra da cadeia. Essas ideias são vistas na universidade do primeiro ano.

Polinômios de Taylor + funções de duas variáveis

Este é um tutorial básico sobre como calcular um polinômio de Taylor para uma função de duas variáveis. As idéias são aplicadas para aproximar uma raiz quadrada difícil. Esses conceitos são vistos na matemática universitária.

Derivados parciais + estimativa de erro

Explique o cálculo da estimativa de erro com derivadas parciais por meio de um exemplo simples. Essas ideias são vistas na matemática universitária.

Diferencie sob sinais integrais: Regra de Leibniz

Esta apresentação mostra como diferenciar sob sinais integrais via. Regra de Leibniz. Muitos exemplos são discutidos para ilustrar as idéias. Também é fornecida uma prova do caso mais básico da regra de Leibniz. Essas ideias são importantes em matemática e engenharia aplicadas, por exemplo, nas transformadas de Laplace.

Como Encontrar e Classificar Pontos Críticos de Funções

Este vídeo mostra como calcular e classificar os pontos críticos das funções de duas variáveis. As ideias envolvem derivadas de primeira e segunda ordem e são vistas na matemática universitária.

Encontrando Pontos Críticos de Funções

Este é um exemplo que ilustra como encontrar e classificar os pontos críticos das funções de duas variáveis. Essas ideias baseiam-se no teste da segunda derivada e são vistas na matemática universitária.

Método de multiplicadores de Lagrange

Discuto um exemplo básico de maximização / minimização de uma função sujeita a uma restrição. A abordagem envolve o método dos multiplicadores de Lagrange.

Multiplicadores de Lagrange: um exemplo

Um exemplo de revisão básica mostrando como usar os multiplicadores de Lagrange para maximizar / minimizar uma função que está sujeita a uma restrição.

Multiplicadores de Lagrange: 2 restrições

Este vídeo mostra como aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange a um problema de máx / mín. Essas ideias são vistas na matemática universitária.

Tutorial de funções vetoriais de uma variável

Uma introdução ao cálculo de funções vetoriais de uma variável. Alguns problemas simples são discutidos, incluindo diferenciação, integração e como determinar a curva associada a uma função (neste exemplo, uma hélice). Essas funções podem ser usadas para descrever curvas e movimento no espaço.

Gradiente de Função A

Um tutorial básico sobre o campo gradiente de uma função. Mostramos como calcular o gradiente, sua significância geométrica e como ele é usado ao calcular a derivada direcional. O gradiente é uma propriedade básica do cálculo vetorial.

Divergência de campos vetoriais

Uma aula básica discutindo a divergência de um campo vetorial. Mostro como calcular a divergência e apresento algumas explicações geométricas do que a divergência representa. Vários exemplos são discutidos. Essas idéias têm aplicações importantes no fluxo de fluidos e são vistas no cálculo vetorial.

Ondulação de campos vetoriais

Uma introdução básica ao curl de um campo vetorial. Discuto como calcular o curl e algumas interpretações geométricas. Essas idéias são importantes no fluxo de fluidos e são vistas no cálculo vetorial.

Integrais de linha

Uma introdução básica sobre como integrar curvas (integrais de linha). Vários exemplos são discutidos envolvendo funções escalares e campos de vetores. Essas idéias encontram aplicações importantes na engenharia e na física.

Exemplos de Div, Curl + Linha Integral

Exemplos básicos de integral de divergência, curvatura e linha de cálculo vetorial. Os exemplos são discutidos e resolvidos como uma questão do tipo revisão.

Fluxo No Plano. Integrais de linha

Uma introdução sobre como calcular o fluxo por meio de integrais de linha. Vários métodos são discutidos por meio de exemplos. Essas ideias têm aplicações importantes para o fluxo de fluidos e são vistas no cálculo vetorial.

Exemplos de Curl, Grad e Line Integral

Questão de revisão sobre integrais curl, grad e line. Eu provo que um dado campo vetorial é irrotação e então determino sua função potencial. As idéias são aplicadas para calcular uma integral de linha por meio do teorema fundamental de integrais de linha.

Integral Duplo Simples

Este vídeo mostra como integrar retângulos. The ideas use double integrals and are seen in university mathematics.

Tutorial - Double Integrals

A tutorial on the basics of setting up and evaluating double integrals. We show how to sketch regions of integration, their description, and how to reverse the order of integration.

Reverse The Order In Double Integrals

This video shows how to reverse the order of integration in double integrals. Such ideas can simplify the calculations and are seen in university mathematics.

Double Integrals + Area

This video shows how to use double integrals to compute areas of shapes and regions. Such ideas are seen in university mathematics.

Polar Coordinates and Double Integrals

How to apply polar coordinates in double integrals for those wanting to review their understanding.

Double Integrals & Polar Co-Ordinates

This video shows how to cast and evaluate double integrals in polar co-ordinates. Such ideas are seen in university mathematics.

Centroid and Double Integrals

A basic example of how to calculate the centroid of a region via double integrals. Such problems are seen in university mathematics.

Center of Mass + Double Integrals

A basic tutorial on how to determine the center of mass of a thin plate. The technique involves a double integral of the density function and is a common problem in applied mathematics, physics and engineering.

Linear, First-Order Differential Equations

A basic introduction on how to solve linear, first-order differential equations. The study of such equations is motivated by their applications to modelling.

Homogeneous First Order Ordinary Differential Equation

I discuss and solve a "homogeneous" first order ordinary differential equation. The method involves a substitution. Such an example is seen in 1st and 2nd year university mathematics.

How to Solve 2nd Order Differential Equations

A basic introduction / revision of how to solve 2nd order homogeneous ordinary differential equations with constant coefficients. Several examples are presented and some applications to vibrating systems are discussed.

Nonhomogeneous 2nd-Order Differential Equations

A basic lecture showing how to solve nonhomogeneous second-order ordinary differential equations with constant coefficients. The approach illustrated uses the method of undetermined coefficients. I present several examples and show why the method works.

Variation of Constants / Parameters

A basic illustration of how to apply the variation of constants / parameters method to solve second order differential equations.

Intro to Laplace Transform + How to Calculate Them

This is a basic introduction to the Laplace transform and how to calculate it. Such ideas are seen in university mathematics.

First Shifting Theorem of Laplace Transforms

This video shows how to apply the First shifting theorem of Laplace transforms. Several examples are presented to illustrate how to take the Laplace transform and inverse Laplace transform and are seen in university mathematics.

Second Shifting Theorem: Laplace Transforms

This video shows how to apply the second shifting theorem of Laplace transforms. Several examples are presented to illustrate how to use the concepts. Such ideas are seen in university mathematics.

Laplace Transforms + Differential Equations

How to solve differential equations by the method of Laplace transforms. Such ideas are seen in university mathematics.

Intro to Fourier Series & How to Calculate Them

This is a basic introduction to Fourier series and how to calculate them. An example is presented that illustrates the computations involved. Such ideas are seen in university mathematics.

Fourier Series: Odd & Even Functions

How to compute Fourier series of odd and even functions. Several examples are discussed to highlight the ideas.

Fourier Series Review

A review of Fourier series. Several examples are discussed to illustrate the ideas.

Fourier Series & Differential Equations

This video shows how to solve differential equations via Fourier series. A simple example is presented illustrating the ideas, which are seen in university mathematics.

Heat Equation Derivation

Derive the heat equation in one dimension. This famous PDE is one of the basic equations from applied mathematics, physics and engineering. This presentation is an introduction to the heat equation.

Heat Equation: Separation of Variables

How solve the heat equation via separation of variables. Such ideas are seen in university mathematics, physics and engineering courses.

Heat Equation + Fourier Series

How to solve the heat equation via separation of variables and Fourier series.

Wave Equation + Fourier Series + Separation of Variables

How to solve the wave equation via Fourier series and separation of variables. Such ideas are have important applications in science, engineering and physics.


Taylor's Series of a Polynomial

Baixe o vídeo do iTunes U ou do Internet Archive.

PROFESSOR: Welcome back to recitation. In this video what I'd like us to do is practice Taylor series. So I want us to write the Taylor series for the following function, f of x equals 3 x cubed plus 4 x squared minus 2x plus 1. So why don't you pause the video, take some time to work on that, and then I'll come back and show you what I get.

All right, welcome back. Well, we want to find the Taylor series for this polynomial f of x equals 3 x cubed plus 4 x squared minus 2x plus 1. So what I'm going to do is I'm just going to write down Taylor's-- or the expression we have for the sum, for the Taylor series in general and then I'm going to start computing what I need and I'm going to see what I get. So what do I need to remember? Well let's remind ourselves what the formula is. We should get f of x is equal to the sum from n equals 0 to infinity of the nth derivative of f at 0 over n factorial times x to the n. So that's what we want.

So what I obviously need to start doing is figuring out derivatives of f at 0. And so what I'm going to do is I'm just going to make myself a little table. So let's see, we're going to say f 0 at 0, f 1 at 0, f 2 at 0, f 3 at 0, f 4 at 0. And I'm getting tired of writing, so I'm going to stop there. OK, so let's take the function-- the zeroth derivative of f is just the function itself, so let's come back here. What is the function if I evaluate it at x equals 0? 0, 0, 0, 1. I get 1.

Tudo bem. What is the first derivative? So I'm going to write out the first derivative and then I'm going to say I'm evaluating it at x equals 0. So the first derivative looks like it's 9 x squared plus 8 x minus 2. So I'm gonna write this down. 9 x squared plus 8 x minus 2. Evaluate it at x equals 0. 0, 0. I get negative 2.

All right, well, let me take the second derivative. OK let's see what I get here. I get 18x plus 8. And I'm going to evaluate that at x equals 0. This is just a way to write, I'm going to evaluate what's here at x equal this number, so if you haven't seen that before. So I get 8. OK and then the third derivative is 18, oh just 18. Evaluate it at x equals 0. I get 18. And then the fourth derivative. What's the derivative of a constant function? It's 0. What do you think the fifth derivative is evaluated at 0? Looks like it'll be 0. You take the sixth derivative. Looks like everything bigger than 3-- so the nth derivative at 0 is equal to 0 for n bigger than 3.

So it looks like we should only have 4 terms in this. So that maybe seems a little weird, but let's keep going and see what happens. Let's start plugging things in. So again, let's remember the formula. I'm going to walk over here to the right and I'm going to start using that formula and using these numbers that I have and writing it out. So the first term is going to be the function evaluated at 0 divided by 0 factorial times 1. 0 factorial is 1, so it's just going to be the function evaluated at 0 times 1. The function evaluated at 0, we said was 1, so that's the first term in the Taylor series.

OK what's the next term? The next term, remember, is the first derivative evaluated at 0 divided by 1 factorial, which is still 1, times x. So the first derivative, if I come back over here, evaluated at 0, I get negative 2. So I'm going to get minus 2x. The next term, so I had zeroth derivative, first derivative, now I'm at the second derivative. Now it's getting confusing. I'm going to start writing the things above. The second derivative evaluated at 0 divided by 2 factorial times x squared. That's what I should have here.

Let's come over here. Second derivative evaluated at 0 was 8. So it's going to be 8 over 2, 'cause 2 factorial is 2, x squared. So it's going to be plus 4 x squared. And then I have to have the third derivative evaluated at 0 divided by 3 factorial times x cubed. What's 3 factorial? 3 factorial is 6. What was the third derivative evaluated at 0? It was 18. 18 divided by 6 is 3. So I get plus 3 x cubed. And all the other terms were 0, so I'll just stop writing them.

OK now if you watched the video all the way through here, at some point maybe you said "Christine, this is madness." Well why is it madness? Because what is this? Well this is the function again, right? It's exactly what we started with. The order is opposite of what it was before 'cause now the powers go up instead of down, but it's the same polynomial.

OK we talked about this briefly, I think, when we were doing some quadratic approximations. And I mentioned way back that quadratic approximations of polynomials at x equals 0 are just the polynomials again. This is the exact same kind of thing happening. Because what is the Taylor series? It's just better and better approximations as n gets larger and larger. So if I wanted to have a fourth order approximation of this function f of x at x equals 0, I would get the same function back.

That's really the idea of what's happening here. So maybe you saw the sort of trick in this question, and when you saw this problem you laughed at me and you said, "Well I'm just going to write down the function again and I'll be done." Maybe you didn't see that right away, and if you didn't see that right away that's OK. I bet you're in good company. And it's totally fine because now you've seen this. You've seen how it works out. And you know, hey, now any time I see a polynomial and I want to do the Taylor series for this polynomial, I just have to write down the polynomial again.

So that was the main goal of this video. It took us a long time to get there, but I think we got it. So the answer to the ultimate answer to the question of write the Taylor series of this function, it's just this function again. All right, that's where I'll stop.


Taylor Polynomials of Functions of Two Variables - Mathematics

Indeterminate Quotient Form

May be the most natural indeterminate form is the quotient of two small numbers or . Equivalently another natural indeterminate form is the quotient of two large numbers or . In both cases, it is very easy to convince oneself that nothing can be said, in other words we have no conclusion. It is very common to see students claiming . We hope this page will convince some that it is not the case.

Hôpital's Rule: Though this rule was named after Hôpital, it is Bernoulli who did discover it in the early 1690s. This rule answers partially the problem stated above. Indeed, let f ( x ) and g ( x ) be two functions defined around the point a such that

Next we take the ratio function . Do any needed algebra and then find its limit. Hôpital's rule states that if

then you can use Hôpital's rule for the ratio function , by looking for

In other words, there is no limit where to stop.

Clearly we are in full swing to use Hôpital's rule. Nós temos

Hence we can use Hôpital's rule. Since and , we have

So it is clear that we need to use Hôpital's rule another time. But since we proved in the example above

Remark. The above examples have a wonderful implication. Indeed, the first example implies that when then . The second example implies that when then .

Answer. Set and . We have f (0) = g (0) = 0. So we have all assumptions satisfied to use Hôpital's rule. Nós temos

So we use Hôpital's rule again. Set and . Then we have

In fact another use of Hôpital's rule makes the functions involved even more complicated. So what do we do in this case? A partial answer is given but the use of Taylor Polynomials.

Taylor Polynomial's Technique. First recall the assumptions of the original problem: let f ( x ) and g ( x ) be two functions defined around the point a such that

Using Taylor Polynomials, we get around a (that is )

where n and m are natural numbers. Since f ( a ) = g ( a ) =0, we get

But we may have the next derivatives also equal to 0 at a . Hence we are sure that there exist two natural numbers N and M such that

when . This clearly implies

So the job is over. Indeed, it is now clear that the limit

is not a problem and depends on the natural numbers N and M .

Before we do any example showing the power behind this technique, recall that one may use all the properties of Taylor Polynomials.

Answer. First we consider the basic functions which generate the functions involved in this limit, that is and . Next we write the Taylor Polynomials of these functions

Note that if more terms are needed, we will come back and put the next terms. Using properties of Taylor Polynomials, we get

One should appreciate the beauty and power behind this technique in comparing the above calculations with the ones done under Hôpital's rule.

Summary. If you go back to the above example, the calculations suggest the following steps to follow when using Taylor Polynomials 1 write down the basic functions involved in the limit 2 write down Taylor Polynomials of the basic functions 3 make the appropriate substitutions into the Taylor Polynomials as well as any needed algebraic manipulations 4 put the stuff together and make any necessary algebraic canceling.

So we can use Hôpital's rule but we will use Taylor polynomial's technique instead. The basic functions involved are and . Taylor Polynomials of these functions are


COMPLEX VARIABLES

Time: Monday and Thursday, 2:00 to 3:50 PM.
Room: Carnegie 113
Instructor: Gregor Kovacic
Office: 420 Amos Eaton
Phone: 276-6908
E-mail: kovacg at rpi dot edu
Office Hours: Click here.

Topics

--> Complex Number System: Complex numbers, addition, multiplication, division, geometric interpretation in the complex plane, complex conjugate, absolute value, polar representation, de Moivre fromula, roots of unity, triangle inequality, geometric progression.

Analytic Functions: Derivatives of functions of a complex variable, analytic functions, Cauchy-Riemann equations, conjugate harmonic functions, power series, elementary analytic functions, exponential and trigonometric functions, complex logarithm, general complex power function, branches of multi-valued functions.

Complex Integration: Line integrals along curves in the complex plane, Cauchy's theorem, Cauchy's integral formula, derivatives of analytic functions, Morera's theorem, Liouville's theorem on bounded analytic functions, fundamental theorem of algebra, maximum modulus theorem.

Series Expansions: Taylor series of a function analytic in a circle, uniqueness theorem, Laurent series of a function analytic in an annulus, uniform convergence, integration of uniformly-convergent series, multiplication and division of power series, isolated singular points of analytic functions, poles and residues, essential singularities.

Evaluation of Definite Integrals Using Residues: Improper integrals of rational functions, rational function times a trigonometric function, Jordan's lemma, rational expressions of trigonomeric functions, integrals with indentations, Cauchy principal value, integrands containing general powers, keyhole contours.

Partial Fraction and Infinite Product Expansions: Meromorphic functions, partial fraction expansion via residue theory, expansion of the tangent and cotangent, entire functions, infinite product, expansion of the sine and cosine.

Fourier and Laplace Transforms: Fourier transform and its inverse, exponential decay and analyticity region of the Fourier transform, Laplace transform and its inverse, canlculation of Fourier and Laplace transforms and their inverses using residues, applications to differential and difference equations.

Solution of Differential Equation Using Power Series: Taylor series solutions around ordinary points, regular singular points, indicial equation, logarithmic solutions.

Conformal Mappings: Preservations of angles by analytic functions, mapping by elementary functions, linear fractional transformations, mappings by the sine function, mappings by the square roots of polynomials, conformal transformations of harmonic functions and their boundary values, applications to two-dimensional temperature distributions, electrostatics, and fluid flow, velocity potential and stream function, flows around cylinders and airfoils, Schwarz-Christoffel transformations and applications in fluids and electrostatics.


Derivatives of Polynomials

Polynomials are some of the simplest functions we use. We need to know the derivatives of polynomials such as x 4 +3 x , 8 x 2 +3 x +6, and 2. Let's start with the easiest of these, the function y = f ( x )= c , where c is any constant, such as 2, 15.4, or one million and four (10 6 +4). It turns out that the derivative of any constant function is zero. This makes sense if you think about the derivative as the slope of a tangent line. To use the definition of a derivative, with f ( x )= c ,

For completeness, now consider y = f ( x )= x . This is the equation of a straight line with slope 1, and we expect to find this from the definition of the derivative. We are not disappointed:

  • It may be tempting to ``cancel'' the term `` dx '' in the intermediate step. This is valid, but only in this simple case.
  • It will never be as easy as this again, although it won't be much harder.

Before going to the most general case, consider y = f ( x )= x 2 . This is the most basic parabola, as shown. The derivative of f ( x ) may still be found from basic algebra:

This tells us exactly what we expect the derivative is zero at x =0, has the same sign as x , and becomes steeper (more negative or positive) as x becomes more negative or positive.

An interesting result of finding this derivative is that the slope of the secant line is the slope of the function at the midpoint of the interval. Specifically,

(In the figure shown, x = -1 and h = 3, so ( x + h /2) = +1/2.
Please note that parabolic functions are the functions (aside from linear or constant functions) for which this is always true.

From here, we can and should consider y = f ( x )= x n for any positive integer n . There are many ways to do this, with varying degrees of formality.

To start, consider that for n a positive integer, the binomial theorem allows us to express f ( x + h ) as

(In the above, there will always be no more than n +1 nonzero terms.) Then, algebra again gives us

This very convenient form is seen to reproduce the above results for n =1, n =2 and even n =0, which is the case c =1.
The above result could be found from an inductive process, using the product rule, but the inductive step is similar to that which allows extension of the binomial theorem to all positive integers, and adds little to this presentation.

The extension from f ( x )= x n to arbitrary polynomials (only finite order will be considered here) needs only two straightforward, perhaps even obvious results:

  • The derivative of the sum of two function is the sum of the derivatives.
  • The derivative of a function multiplied by a constant is the derivative of the fuctnion multiplied by the same constant.

In symbols, these results are

In the above, c is a constant, and differentiability of the functions at the desired points is assumed.

Combining all of these results, we can see that for the coefficients ak all constants,


Recursos da Web da Wolfram

A ferramenta nº 1 para a criação de demonstrações e qualquer coisa técnica.

Explore qualquer coisa com o primeiro mecanismo de conhecimento computacional.

Explore milhares de aplicativos gratuitos em ciências, matemática, engenharia, tecnologia, negócios, arte, finanças, ciências sociais e muito mais.

Junte-se à iniciativa de modernização do ensino de matemática.

Resolva integrais com Wolfram | Alpha.

Analise os problemas do dever de casa passo a passo, do começo ao fim. As dicas ajudam você a tentar a próxima etapa por conta própria.

Problemas de prática aleatória ilimitada e respostas com soluções passo a passo integradas. Pratique online ou faça uma folha de estudo para impressão.

Coleção de ferramentas de ensino e aprendizagem criadas por especialistas em educação da Wolfram: livro didático dinâmico, planos de aula, widgets, demonstrações interativas e muito mais.