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4.7: Integrais de Superfície - Matemática


Até este ponto, estivemos integrando linhas unidimensionais, domínios bidimensionais e encontrando o volume de objetos tridimensionais. Nesta seção, estaremos integrando sobre superfícies, ou formas bidimensionais sentadas em um mundo tridimensional. Essas integrais podem ser aplicadas a situações do mundo real, como encontrar a força para cima em um paraquedas aberto.

Introdução

Na última seção, aprendemos como encontrar a área da superfície para superfícies paramétricas. Cortamos a região no plano UV em retângulos minúsculos e somamos a área dos minúsculos paralelogramos correspondentes no plano xy. A área desses paralelogramos era

[ Delta A = left | r_u times r_v right | Delta u Delta v ]

Se pensarmos na superfície como tendo densidade variável (f (x, y, z) ), então a massa deste paralelogramo será

[ Delta M = f (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) || r_u vezes r_v || Delta u Delta v ]

e somar todas essas massas e tomar o limite conforme os tamanhos do retângulo se aproximam de zero, dá a definição da integral de superfície.

Para calcular a integral de uma superfície, estendemos a ideia de uma integral de linha para integração em uma curva. Embora as superfícies possam flutuar para cima e para baixo em um plano, tomando a área de seções quadradas suficientemente pequenas, podemos essencialmente ignorar as flutuações e tratar o é como um retângulo plano. Com o tempo, a área da superfície pode ser calculada com sucesso tomando seções pequenas o suficiente, bem como o que você aprendeu com as somas de Reimann anteriormente. A integral da superfície pode ser calculada de uma das três maneiras, dependendo de como a superfície é definida. Todos os três são válidos e podem ser usados ​​alternadamente, mas dependendo de como as superfícies são descritas, uma integral será mais fácil de resolver do que as outras. As integrais dos métodos acima são normalmente impossíveis ou muito difíceis de resolver analiticamente, mas podem ser facilmente resolvidas numericamente.

Integral de superfície: definição paramétrica

Para uma superfície lisa (S ) definida parametricamente como (r (u, v) = f (u, v) hat { textbf {i}} + g (u, v) hat { textbf {j}} + h (u, v) hat { textbf {k}}, (u, v) in R ), e uma função contínua (G (x, y, z) ) definida em (S ), a integral de superfície de (G ) sobre (S ) é dado pela integral dupla sobre (R ):

[ iint_ {S} G (x, y, z) , d sigma = iint_ {R} G (f (u, v), g (u, v), h (u, v)) | r_ {u} vezes r_ {v} | , du , dv. ]

Superfície Integral: Definição implícita

Para uma superfície (S ) dada implicitamente por (F (x, y, z) = c ), onde (F ) é uma função continuamente diferenciável, com (S ) situado acima de sua região de sombra fechada e limitada (R ) na coordenada plano abaixo dele, a integral de superfície da função contínua (G ) sobre (S ) é dada pela integral dupla (R ),

[ iint_ {S} G (x, y, z) d sigma = iint_ {R} G (x, y, z) frac {| nabla F |} {| nabla F cdot p | } dA, ]

onde (p ) é um vetor unitário normal para (R ) e ( nabla F cdot p neq 0 ).

Superfície Integral: Definição explícita

Para uma superfície (S ) dada explicitamente como o gráfico de (z = f (x, y) ), onde (f ) é uma função continuamente diferenciável em uma região (R ) no plano (xy ), então a parametrização

[{ textbf {r}} (u, v) = u hat { textbf {i}} + v hat { textbf {j}} + f (u, v) hat { textbf {k }} ]

tem a propriedade que

[ left | textbf {r} _u times textbf {r} _v right | = sqrt {f_ {x} ^ {2} + f_ {y} ^ {2} + 1} ]

Portanto, a integral de superfície da função contínua (G ) sobre (S ) é dada pela integral dupla sobre (R ),

[ iint_ {S} G (x, y, z) , d sigma = iint_ {R} G (x, y, f (x, y)) sqrt {f_ {x} ^ {2} + f_ {y} ^ {2} + 1} , dx , dy ].

Chamamos de superfície lisa (S ) orientável ou dupla face se é possível definir um campo ( textbf {n} ) de vetores normais unitários em (S ) que varia continuamente com a posição. Todas as partes de uma superfície orientável são orientáveis. As esferas e outras superfícies fechadas lisas no espaço são orientáveis. Em geral, escolhemos ( textbf {n} ) em uma superfície fechada para apontar para fora.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Integre a função (H (x, y, z) = 2xy + z ) sobre o plano (x + y + z = 2 ).

Solução

Primeiro, vamos desenhar o plano.

A seguir, observe que a equação do plano pode ser manipulada. Assim, podemos colocá-lo na forma explícita (z = 2 - x - y ). Isso nos dá o integral

[ iint_ {S} H (x, y, z) , d sigma = iint_ {R} H (x, y, z) sqrt {f_ {x} ^ {2} + f_ {y} ^ {2} + 1} , dA. enhum número]

Pegue as derivadas parciais de (x ) e (y ) da superfície. Neste caso, (f_x = -1 ) e (f_y = -1 ). Substitua esses valores na integral junto com (H (x, y, z) ) com (z = 2 - x - y ) para obter a integral

[ iint_ {R} (2xy + 2 - x - y) sqrt {(-1) ^ {2} + (-1) ^ {2} + 1} , dA. enhum número]

Para determinar os limites da integral, precisamos comprimir a superfície em 2 dimensões ou olhar para sua "região de sombra". A ideia é imaginar olhando para o gráfico acima de cima, para baixo no eixo (z ). Assim, você estará olhando para o plano (xy ) e a superfície se parecerá com o triângulo delimitado pelo eixo (x ), eixo (y ) e a equação (y = 2 - x ). Isso produz o integral

[ int_ {0} ^ {2} int_ {0} ^ {2-x} (2xy + 2 - x - y) sqrt {(-1) ^ {2} + (-1) ^ {2 } + 1} , dy , dx. Nonumber ]

Agora podemos resolver esta integral como qualquer outra integral dupla

[ begin {align *} & sqrt {3} int_ {0} ^ {2} int_ {0} ^ {2-x} 2xy + 2 - x - y , dy , dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} left [xy ^ 2 + 2y - xy - frac {y ^ {2}} {2} right] _ {0} ^ {2 - x } dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} x (2-x) ^ 2 - x (2-x) - frac {(2-x) ^ {2}} { 2} dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} 4x - 4x ^ {2} + x ^ {3} - 2x + x ^ {2} - 2 + 2x - frac { x ^ {2}} {2} dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} x ^ {3} - frac {7x ^ {2}} {2} + 4x - 2 dx & = left. sqrt {3} left ( frac {x ^ 4} {4} - frac {7x ^ 3} {6} + 2x ^ 2 - 2x right) right | _0 ^ 2 & = sqrt {3} left (16 - frac {56} {6} right). end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {2} )

Achar

[ iint_S f (x, y, z) , dS nonumber ]

onde (S ) é a superfície

[r (u, v) = u hat { textbf {i}} + u2 hat { textbf {j}} + (u + v) hat { textbf {k}} nonumber ]

com (0 le u le 2 ) e (1 le v le 4 ) e (f (x, y, z) = x + 2z ).

Solução

Encontramos as derivadas parciais

[ textbf {r} _u = hat { textbf {i}} + (2u) hat { textbf {j}} + hat { textbf {k}} não numérico ]

[ textbf {r} _v = hat { textbf {k}} não numérico ]

e pegue o produto cruzado

[ begin {align *} || r_u times r_v || & = begin {vmatrix} hat { textbf {i}} & hat { textbf {j}} & hat { textbf {k}} [4pt] 1 & 2u & 1 [4pt] 0 & 0 & 1 end {vmatrix} [4pt] & = || 2u hat { textbf {i}} - hat { textbf {j}} || [4pt] & = sqrt {1 + 4u ^ 2}. end {align *} ]

Nós temos

[ begin {align *} f (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) & = x (u, v) + 2z (u, v) [4pt ] & = u +2 (u + v) [4pt] & = 3u + v. end {alinhar *} ]

Nós achamos

[ int_3 ^ 4 int_2 ^ 6 (3u + 2v) sqrt {1 + 4u ^ 2} , dv , du. nonumber ]

Embora essa integral seja possível, sua solução é bastante complexa. Você pode verificar se a integral da superfície é avaliada em ( aproximadamente 525,27 ).

Exemplo ( PageIndex {3} )

Achar

[ iint_S f (x, y, z) , dS nonumber ]

onde (S ) é a parte do parabolóide

[z = x ^ 2 + y ^ 2 nonumber ]

que fica dentro do cilindro

[x ^ 2 + y ^ 2 = 1 não numérico ]

e

[f (x, y, z) = z. nonumber ]

Solução

Nós temos

[ sqrt {1 + g_x ^ 2 + g_y ^ 2} = sqrt {1 + 4x ^ 2 + 4y ^ 2} nonumber ]

e

[f (x, y, z) = z = x ^ 2 + y ^ 2. enhum número]

Neste ponto, você deve estar pensando: "Isso parece um trabalho para coordenadas polares." E nós temos

[ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 r ^ 2 sqrt {1 + 4r ^ 2} , r , dr , d theta. nonumber ]

Deixar

(u = 1 + 4r ^ 2 ) e (du = 8r , dr ) com (r ^ 2 = dfrac {1} {4} u - dfrac {1} {4} )

e a substituição nos dá

[ dfrac {1} {32} int_0 ^ {2pi} int_0 ^ 5 (u-1) u ^ {1/2} , dr , d theta = dfrac {1} {32} int_0 ^ {2 pi} left [ dfrac {2} {5} u ^ {5/2} - dfrac {2} {3} u ^ {3/2} right] _1 ^ 5 , d theta aproximadamente 2,98 nonumber ]

Superfícies Orientadas

Vimos como uma região (R ) com curva limite (C ) pode ser orientada. Percorrendo (C ), olhamos para ver se a região está à direita ou à esquerda. Infelizmente, esta definição não vontade de trabalho para superfícies em três dimensões. A ideia de direita e esquerda não está bem definida. Na verdade, nem todas as superfícies podem ser orientadas. Dizemos que uma superfície é orientável se um vetor normal unitário puder ser definido na superfície de forma que varie continuamente sobre a superfície. Abaixo está um exemplo de uma superfície não orientável (chamada Faixa de Möbius). Você pode ver que não há frente ou verso dessa superfície.

Uma tira de Möbius feita com um pedaço de papel e fita adesiva. Se uma formiga rastejasse ao longo desta tira, ela voltaria ao seu ponto de partida tendo percorrido toda a extensão da tira (em ambos os lados do papel original) sem nunca cruzar uma borda. (CC-SA-BY; David Benbennick)


4.7: Integrais de Superfície - Matemática

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Nesta seção, usamos propriedades de integrais definidos para computá-los e interpretá-los.

Propriedades de Integrais Definidos

Começamos com algumas propriedades básicas de integrais definidas - muitas das quais são familiares de nosso estudo de derivadas e suas propriedades básicas.

Lembre-se de que, se em um intervalo, a integral definida,, fornece a área sob a curva e, se em um intervalo, a integral definida,, fornece -1 vezes a área acima da curva. Agora consideramos a situação em que o integrando muda de sinal no intervalo. A chave para lidar com essa situação é usar a seguinte propriedade.

Aplicamos essa proposição nos exemplos a seguir.

Por aditividade, podemos escrever Em seguida, podemos determinar as integrais definidas no lado direito da equação acima, relacionando-as à área. No intervalo e assim No intervalo e assim Agora, pela aditividade da integral definida,

Como a integral definida está relacionada à área, há situações em que o cálculo dessas integrais pode ser facilitado pela observação de um padrão de simetria em uma região. Para nos ajudar em nossa discussão, teremos que lembrar a ideia de funções pares e ímpares.

Este resultado é especialmente importante para funções ímpares, uma vez que o cálculo de integrais definidas, neste caso, torna-se trivial. Para funções pares, a vantagem desse resultado é menos significativa. Ele nos permite trabalhar com o número em vez do número negativo, simplificando assim qualquer aritmética associada ao Teorema Fundamental do Cálculo.

Observe que nos dois últimos exemplos, inserir o valor zero resultou em zero. Isto não é uma coincidência. Uma função par sempre tem uma anti-derivada ímpar e as funções ímpares devem passar pela origem.
Agora veremos alguns exemplos de funções estranhas.


Usando o teorema da divergência

O teorema da divergência só se aplica a fechado superfícies S. No entanto, às vezes podemos calcular uma integral de fluxo em uma superfície que não é fechada por ser um pouco furtivo. NOTE que essa nem sempre é uma maneira eficiente de proceder. No entanto, às vezes é, e este é um bom exemplo do teorema da divergência e da integral de fluxo, portanto, vamos examiná-lo como está.

Exemplo
Encontre o fluxo do campo vetorial F = x y eu + y z j + x z k através da superfície z = 4 - x 2 - y 2, para z & gt = 3.

Solução
A superfície é mostrada na figura à direita. Como esta não é uma superfície fechada, não podemos usar o teorema da divergência para avaliar a integral de fluxo. No entanto, se tivéssemos uma superfície fechada, por exemplo a segunda figura à direita (que inclui uma superfície inferior, a seção amarela de um avião), poderíamos. Vamos considerar isso a seguir.

O teorema da divergência diz

onde a superfície S é a superfície que desejamos mais a superfície inferior (amarela). Portanto, podemos encontrar a integral de fluxo que queremos encontrando o lado direito do teorema da divergência e, em seguida, subtraindo a integral de fluxo sobre a superfície inferior. Isso nos dá uma boa prática tanto para aplicar o teorema da divergência quanto para encontrar uma integral de superfície, então faremos isso.

O teorema da divergência parte da integral: Aqui, div F = y + z + x. Observe que aqui estamos avaliando a divergência em todo o volume fechado, então não pode avalie-o na superfície. Fazendo a integral em coordenadas cilíndricas, obtemos

O fluxo através do limite inferior: Observe que aqui temos uma parametrização muito fácil da superfície, r = & ltx, y, 3 & gt. O vetor normal N = & lt0, 0, -1 & gt (porque queremos um exterior normal), e dS = dx tingir. Portanto, na superfície F = F = x y eu + y z j + 3 x k, e a integral de superfície torna-se

Juntar as peças: aqui, as coisas caíram bem. Usando o teorema da divergência, obtemos o valor do fluxo através da superfície superior e inferior juntos em 5 pi / 3, e o cálculo do fluxo para a superfície inferior dá zero, de modo que o fluxo apenas através da superfície superior também é 5 pi / 3.

(Como as figuras foram geradas aqui? No Maple, com esta planilha de bordo.)


4.7: Integrais de Superfície - Matemática

A tarefa aqui é semelhante à da última seção, mas agora o vetor C procurado é normal à superfície em vez de tangente a uma linha. Aqui, há uma maneira muito fácil de encontrar w a partir de uma equação e uma maneira um pouco mais complicada de encontrá-lo a partir de uma representação paramétrica da superfície.
Suponha que primeiro queremos escrever nossa integral como uma integral sobre as variáveis ​​x e y, isso acontece quando x e y são os parâmetros da superfície que é definida por z - g (x, y) = 0. É útil às vezes quando o superfície é definida por uma equação, digamos, h (x, y, z) = 0, em vez de por uma parametrização.
Nesse caso, o vetor w deve ser normal à superfície e seu componente z deve ter magnitude 1.
(Isso é obviamente verdade quando a superfície é paralela ao plano x - y quando alguém inclina a superfície, sua área em relação a dxdy aumenta precisamente com o comprimento desse vetor.) Se buscarmos a normal que aponta & quot para cima & quot, escolhemos z componente para ser 1, caso contrário, o tornamos -1.
Podemos encontrar o vetor normal apontando para cima C tomando o gradiente da equação de definição:

no caso mais geral, h (x, y, z) = 0, obtemos

Se parametrizarmos a superfície pelos parâmetros uev e escrevermos a integral da superfície como um dudv integral, então o componente z de w (orientado para cima) deve ser o Jacobiano da transformação bidimensional de x, y para u, v, a saber .

Da mesma forma (como segue pela simetria entre as coordenadas), a magnitude dos componentes x e y de C são jacobianos correspondentes. Para obter o sinal relativo dos coeficientes x e y, você deve permutar ciclicamente x y e z na formação dos objetos acima e usar os sinais relativos obtidos entre eles. O sinal geral de C depende de qual normal você deseja (para cima ou para baixo).


Isso não é verdade. Provavelmente, existem respostas mais curtas do que as seguintes. Seja $ K $ um campo e denote um fechamento separável por $ K ^ < text> $. Seja $ n & gt1 $ um número inteiro.

Definição. Uma variedade Severi-Brauer acima de $ K $ de dimensão relativa $ n-1 $ é um esquema $ K $ adequado e suave, cuja base muda para $ K ^ < text> $ é isomórfico ao espaço projetivo de dimensão $ n-1 $ sobre $ K ^ < text>$ .

Há uma bijeção natural entre o conjunto de classes de $ K $ -isomorfismo das variedades de Severi-Brauer acima de $ K $ de dimensão relativa $ n-1 $ e o subconjunto de $ text
(K) [n] $ daqueles ed. $ n $ - elementos de torção no grupo Brauer de $ K $ cuja ordem índice divide $ n $. Em particular, o elemento de identidade neste subconjunto corresponde à classe de isomorfismo do espaço projetivo, ou seja, a classe de isomorfismo de qualquer variedade Severi-Brauer acima de $ K $ de dimensão relativa $ n-1 $ que tem um ponto racional de $ K $ .

Para uma extensão de campo separável e finita $ L / K $ de grau $ d $, existem homomorfismos de grupo de restrição e correstrição, $ text
(K) para texto
(L), text
(L) para texto
(K), $ cuja composição é o mapa & quotmultiplicação por $ d $ & quot.

Finalmente, para cada extensão finita de $ mathbb_p $, a teoria do campo da classe local fornece um isomorfismo natural, $ text_K: text
(K) para mathbb/ mathbb, $ ed. e o índice de cada elemento é igual à ordem desse elemento.

Agora seja $ K $ uma extensão finita de $ mathbb_p $, e seja $ X_K $ uma variedade Severi-Brauer sobre $ K $ de dimensão relativa $ n-1 $ cuja imagem em $ text
(K) [n] $ é um gerador para este grupo cíclico de ordem $ n $. Pelos homomorfismos de restrição-corestrição, para uma extensão de campo finita $ L / K $, a mudança de base de $ X_K $ sobre $ L $ tem um ponto $ L $ -racional apenas se o grau $ d $ da extensão de campo for divisível por $ n $.

Por outro lado, se $ X_K $ tem um modelo plano adequado sobre o anel de inteiros de $ K $, cuja fibra especial tem locus liso não vazio um componente irredutível que é geometricamente integral, então pelas estimativas de Lang-Weil juntamente com o Lema de Hensel, para cada número inteiro suficientemente grande $ d $, há uma extensão de campo não-gradativo $ L / K $ de grau $ d $ tal que a mudança de base tem um $ L $ -racional apontar. Portanto, não existe um modelo plano apropriado de $ X_K $ sobre o anel de inteiros de $ K $.

Em particular, para o inteiro $ n = 3 $, existe um esquema Severi-Brauer sobre $ mathbb_p $ de dimensão relativa $ n-1 = 2 $ que não tem um modelo plano adequado sobre $ mathbb_p $ (ed. . . . com um componente irredutível que é geometricamente integral!).


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Integrais Definidos

é uma partição de $ [a, b] $ com $ N $ subintervalos e os valores $ x_i ^ * in [x_, x_i] $ escolhido em cada subintervalo é arbitrário.

A fórmula na definição não é muito intuitiva e quase impossível de usar na prática, mas a ideia básica é simples:

O valor da integral definida representa a área (líquida) sob a curva do gráfico de $ y = f (x) $ no intervalo $ [a, b] $. O termo "líquido" significa que a área acima do eixo $ x $ é positiva e a área sob o eixo $ x $ conta como área negativa. Por exemplo, podemos visualizar o integral:

$ int _ < pi / 2> ^ <3 pi / 2> left ( sin (0.2 x) + sin (2x) + 1 right) dx $

Em nossos cursos introdutórios de cálculo, nos concentramos em integrais que podemos resolver exatamente pelo Teorema Fundamental do Cálculo, como

$ int_0 ^ < pi / 2> cos (x) , dx = sin ( pi / 2) - sin (0) = 1 $

No entanto, a maioria das integrais definidas são impossíveis de resolver exatamente. Por exemplo, a famosa função de erro em probabilidade

é uma integral definida para a qual não existe uma fórmula explícita.

A ideia por trás da integração numérica é usar formas geométricas simples para aproximar a área sob a curva $ y = f (x) $ para estimar integrais definidas. Nesta seção, exploramos os métodos mais simples de integração numérica: somas de Riemann, a regra do trapézio e a regra de Simpson.


Notas de aula em matemática

Editores-chefes: Morel, Jean-Michel, Teissier, Bernard
Editores da série: Baur, K., Brion, M., Figalli, UMA., Huber, UMA., Khoshnevisan, D., Kontoyiannis, EU., Kunoth, UMA., Szekelyhidi, EU., Mézard, UMA., Podolskij, M., Serfaty, S., Vezzosi, G., Wienhard, UMA.

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Esta série relata novos desenvolvimentos em todas as áreas da matemática e suas aplicações - de forma rápida, informal e em alto nível. Textos matemáticos que analisam novos desenvolvimentos em modelagem e simulação numérica são bem-vindos. O tipo de material considerado para publicação inclui:


1. Monografias de pesquisa
2. Palestras sobre um novo campo ou apresentações de um novo ângulo em um campo clássico
3. Escolas de verão e cursos intensivos sobre temas de pesquisa atual.

Textos esgotados, mas ainda em demanda, também podem ser considerados se se enquadrarem nessas categorias. A oportunidade de um manuscrito às vezes é mais importante do que sua forma, que pode ser preliminar ou provisória.

Os títulos desta série são indexados por Scopus, Web of Science, Mathematical Reviews e zbMATH.


4.7: Integrais de Superfície - Matemática

Seção 10: Integrais de superfície

A seguir, aprendemos como realizar integrais de superfície, nas quais você integra uma função sobre uma superfície tridimensional. . . . (para ler o restante deste artigo, faça login abaixo.)

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Assista o vídeo: Integral de superfície VETORIAL 19 DE 30 (Novembro 2021).