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2.2: Substituição trigonométrica - Matemática


Quando temos integrais que envolvem o termo raiz quadrada

[ sqrt {a ^ 2 + x ^ 2} ]

podemos ser capazes de substituição trigonométrica para resolver a integral.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Resolver

[ int sqrt {1-x ^ 2} dx ]

substituindo (x = sin theta ) e (dx = cos theta , d theta ).

O integrando então se torna

[ begin {align} sqrt {1-x ^ 2} & = sqrt {1- sin ^ 2 theta} & = sqrt { cos ^ 2 theta} & = cos theta end {alinhar} ]

Nós temos

[ begin {align} int sqrt {1-x ^ 2} ; dx & = int cos theta cos theta ; d theta & = int cos ^ 2 theta ; d theta & = int Grande ( dfrac {1} { 2} + dfrac {1} {2} cos 2 theta Big) ; d theta & = dfrac {1} {2} theta + dfrac {1} {4} sin 2 theta + C & = dfrac {1} {2} arcsin x + dfrac {1} {2} sin theta cos theta + C & = dfrac {1} {2} arcsin x + dfrac {1} {2} x sqrt {1-x ^ 2 } + C end {align} ]

Exercícios ( PageIndex {1} )

  1. [ int dfrac { sqrt {1-x ^ 2}} {x ^ 4} dx ]
  2. [ int dfrac {1} { sqrt {4-9x ^ 2}} dx ]

Duas Fórmulas Principais

Em Trigonometria, temos as duas fórmulas principais a seguir:

[ sec ^ 2 , x = 1 + tan ^ 2 , x ]

tão

[ sec x = sqrt {1+ tan ^ 2 x} ]

e

[ tan ^ 2 , x = sec ^ 2 , x - 1 ]

tão

[ tan x = sqrt { sec ^ 2 , x -1}. ]

Quando temos integrais que envolvem qualquer uma das raízes quadradas acima, podemos usar a substituição apropriada.

Exemplo ( PageIndex {2} )

[ begin {align} int dfrac {x ^ 3} { sqrt {1 + x ^ 2}} dx x = tan theta, ; dx = sec ^ 2 theta ; d theta sqrt {1 + x ^ 2} = sqrt {1+ tan ^ 2 theta} = sqrt { sec ^ 2 theta} = sec theta & = int dfrac { tan ^ 3 theta} { sec theta} sec ^ 2 theta ; d theta & = int tan ^ 3 theta sec theta ; d theta & = int tan ^ 2 theta tan theta sec theta ; d theta & = int ( sec ^ 2 theta-1) sec theta tan theta ; d theta u = sec theta, ; du = sec theta tan theta ; d theta & = int (u ^ 2-1) ; du & = dfrac {u ^ 3} {3} -u + C & = dfrac { sec ^ 3 theta} {3} - sec theta + C & = dfrac { (1 + x ^ 2) ^ { frac {3} {2}}} {3} - sqrt {1 + x ^ 2} + C end {alinhar} ]

Exercício ( PageIndex {1} )

  1. [ int dfrac {x ^ 3} { sqrt {x ^ 2-1}} ; dx ]
  2. [ int dfrac {x ^ 2} { sqrt {9 + 4x ^ 2}} ; dx ]
  3. [ int dfrac {1} { sqrt {x ^ 2 + 2x}} ; dx ]

Larry Green (Lake Tahoe Community College)

  • Integrado por Justin Marshall.


Substituição trigonométrica na integração

Como outras substituições em cálculo, as substituições trigonométricas fornecem um método para avaliar uma integral, reduzindo-a a um mais simples. Substituições trigonométricas tiram vantagem de padrões no integrando que se assemelham a relações trigonométricas comuns e são mais frequentemente úteis para integrais de funções radicais ou racionais que não podem ser avaliadas simplesmente por outros métodos. Essas substituições são frequentemente usadas em conjunto com as relações trigonométricas básicas e, ocasionalmente, identidades de produto para soma, bem como outras técnicas de integração, incluindo integração por partes e substituições.

Conteúdo


2.3 Substituições trigonométricas

Nesta lição, você aprenderá sobre a substituição trigonométrica.

Lições objetivas

  • Reconheça os binômios que se prestam a substituições trigonométricas.
  • Complete o quadrado para reescrever um polinômio quadrático na forma de um binômio de substituição trigonométrica.
  • Avalie integrais usando substituição trigonométrica.

Conteúdo da aula

Veja todos os vídeos de instrução a seguir. Isso o ajudará a dominar os objetivos deste módulo.

    Vídeos do YouTube: substituição trigonométrica
    Exemplo 1:
    & # 8211 Parte 1:

Substituições trigonométricas & # 8211 Mais exemplos (usando substituição trigonométrica para integrar radicais)

Leituras da lição

As seguintes leituras obrigatórias cobrem o conteúdo deste módulo. Ao passar por cada leitura, preste muita atenção ao conteúdo que o ajudará a aprender os objetivos deste módulo.

Exercícios / atividades de prática de lição

Percorra cada um dos exercícios práticos. É aqui que você pegará o que aprendeu com o conteúdo e as leituras da lição e aplicará resolvendo problemas práticos.

Recursos adicionais

Abaixo estão recursos adicionais que ajudam a reforçar o conteúdo deste módulo.


Seção 6.4 Substituição trigonométrica ¶ link permanente

Na Seção 5.2, definimos a integral definida como a "área sinalizada sob a curva". Nessa seção, ainda não havíamos aprendido o Teorema Fundamental do Cálculo, então avaliamos integrais definidas especiais que descreviam belas formas geométricas. Por exemplo, fomos capazes de avaliar começar int_ <-3> ^ 3 sqrt <9-x ^ 2> dx = frac <9 pi> <2> label tag <6.4.1> end como reconhecemos que (f (x) = sqrt <9-x ^ 2> ) descreveu a metade superior de um círculo com raio 3.

Desde então, aprendemos várias técnicas de integração, incluindo Substituição e Integração por Partes, mas ainda não somos capazes de avaliar a integral acima sem recorrer a uma interpretação geométrica. Esta seção apresenta a substituição trigonométrica, um método de integração que preenche essa lacuna em nossa habilidade de integração. Esta técnica funciona com o mesmo princípio da Substituição, conforme encontrada na Seção 6.1, embora possa parecer "retrógrada". Na Seção 6.1, definimos (u = f (x) text <,> ) para alguma função (f text <,> ) e substituímos (f (x) ) por (u text <.> ) Nesta seção, definiremos (x = f ( theta) text <,> ) onde (f ) é uma função trigonométrica e, em seguida, substituiremos (x ) por (f ( theta) text <.> )

Começamos demonstrando esse método na avaliação da integral em (6.4.1). Após o exemplo, generalizaremos o método e daremos mais exemplos.

Exemplo 6.4.1 Usando substituição trigonométrica

Avalie ( ds int_ <-3> ^ 3 sqrt <9-x ^ 2> dx text <.> )

Começamos observando que (9 left ( sin ^ 2 ( theta) + cos ^ 2 ( theta) right) = 9 text <,> ) e, portanto, (9 cos ^ 2 ( theta) = 9-9 sin ^ 2 ( theta) text <.> ) Se deixarmos (x = 3 sin ( theta) text <,> ) então (9-x ^ 2 = 9-9 sin ^ 2 ( theta) = 9 cos ^ 2 ( theta) text <.> )

Definir (x = 3 sin ( theta) ) dá (dx = 3 cos ( theta) d theta text <.> ) Estamos quase prontos para substituir. Também desejamos mudar nossos limites de integração. O limite (x = -3 ) corresponde a ( theta = - pi / 2 ) (para quando ( theta = - pi / 2 text <,> ) (x = 3 sin ( theta) = -3 )). Da mesma forma, o limite de (x = 3 ) é substituído pelo limite ( theta = pi / 2 text <.> ) Assim, begin int_ <-3> ^ 3 sqrt <9-x ^ 2> dx amp = int _ <- pi / 2> ^ < pi / 2> sqrt <9-9 sin ^ 2 ( theta)> (3 cos ( theta)) d theta amp = int _ <- pi / 2> ^ < pi / 2> 3 sqrt <9 cos ^ 2 ( theta )> cos ( theta) d theta amp = int _ <- pi / 2> ^ < pi / 2> 3 abs <3 cos ( theta)> cos ( theta) ) d theta. end On ([- pi / 2, pi / 2] text <,> ) ( cos ( theta) ) é sempre positivo, então podemos descartar as barras de valor absoluto e, em seguida, empregar um power- - fórmula de redução: begin amp = int _ <- pi / 2> ^ < pi / 2> 9 cos ^ 2 ( theta) d theta amp = int _ <- pi / 2> ^ < pi / 2> frac <9> <2> big (1+ cos (2 theta) big) d theta amp = frac92 big ( theta + frac12 sin (2 theta) big) Bigg | _ <- pi / 2> ^ < pi / 2> amp = frac92 pi text <.> end

Isso corresponde à nossa resposta de antes.

Descrevemos agora em detalhes a Substituição trigonométrica. Este método é excelente ao lidar com integrandos que contêm ( sqrt text <,> ) ( sqrt) e ( sqrt text <.> ) A seguinte ideia-chave descreve o procedimento para cada caso, seguido por mais exemplos. Cada triângulo retângulo atua como uma referência para nos ajudar a entender as relações entre (x ) e ( theta text <.> )

Ideia-chave 6.4.2 Substituição trigonométrica

Para integrandos contendo ( sqrt text <:> ) Seja (x = a sin ( theta) text <,> ) (dx = a cos ( theta) d theta text <.> ) Assim ( theta = sin ^ <-1> (x / a) text <,> ) para (- pi / 2 leq theta leq pi / 2 text <.> ) Neste intervalo, ( cos ( theta) geq 0 text <,> ) então ( sqrt = a cos ( theta) text <.> )

Para integrandos contendo ( sqrt text <:> ) Let (x = a tan ( theta) text <,> ) (dx = a sec ^ 2 ( theta) d theta text <.> ) Assim, ( theta = tan ^ <-1> (x / a) text <,> ) para (- pi / 2 lt theta lt pi / 2 text <.> ) Neste intervalo, ( sec ( theta) & gt 0 text <,> ) então ( sqrt = a sec ( theta) text <.> )

Para integrandos contendo ( sqrt text <:> ) Let (x = a sec ( theta) text <,> ) (dx = a sec ( theta) tan ( theta) d theta text < .> ) Assim, ( theta = sec ^ <-1> (x / a) text <.> ) Se (x / a geq 1 text <,> ) então (0 leq theta lt pi / 2 text <> ) se (x / a leq -1 text <,> ) então ( pi / 2 lt theta leq pi text < .> ) Restringimos nosso trabalho a onde (x geq a text <,> ) então (x / a geq 1 text <,> ) e (0 leq theta lt pi / 2 text <.> ) Neste intervalo, ( tan ( theta) geq 0 text <,> ) então ( sqrt = a tan ( theta) text <.> )

Agora aplicaremos a Ideia-Chave 3 a um tipo de problema que fomos capazes de resolver usando álgebra e substituição na Seção 6.1. O Exemplo 6.4.3 mostra uma maneira alternativa de abordar esses problemas.

Exemplo 6.4.3 Usando substituição trigonométrica

Usando o item 3 da ideia-chave 6.4.2, reconhecemos (a = 2 ) e definimos (x = 2 sec ( theta) ) para (0 leq theta lt pi / 2 text <.> ) Isso torna (dx = 2 sec ( theta) tan ( theta) d theta text <.> ) Usaremos a identidade pitagórica ( tan ^ 2 ( theta ) = sec ^ 2 ( theta) -1 ) e o fato de que ( tan ( theta) geq 0 ) no intervalo. Substituindo, temos: begin int frac <1> < sqrt> dx amp = int frac <1> < sqrt <4 sec ^ 2 ( theta) -4 >> cdot 2 sec ( theta) tan ( theta) d theta amp = 2 int frac <1> < sqrt <4 ( sec ^ 2 ( theta) -1) >> cdot sec ( theta) tan ( theta) d theta amp = 2 int frac <1> < sqrt <4 ( tan ^ 2 ( theta) >> cdot sec ( theta) tan ( theta) d theta amp = 2 int frac <1> <2 abs < tan ( theta) >> sec ( theta) tan ( theta) d theta amp = int sec ( theta) ) d theta amp = ln abs < sec ( theta) + tan ( theta)> end No entanto, nossa integral original envolvia (x text <.> )

Exemplo 6.4.4 Usando substituição trigonométrica

Usando o Item 2Key Idea 6.4.2, reconhecemos (a = sqrt <5> ) e definimos (x = sqrt <5> tan ( theta) text <.> ) Isso torna (dx = sqrt <5> sec ^ 2 ( theta) d theta text <.> ) Usaremos o fato de que ( sqrt <5 + x ^ 2> = sqrt <5 + 5 tan ^ 2 ( theta)> = sqrt <5 sec ^ 2 ( theta)> = sqrt <5> sec ( theta) text <.> ) Substituindo, temos: begin int frac <1> < sqrt <5 + x ^ 2 >> dx amp = int frac <1> < sqrt <5 + 5 tan ^ 2 ( theta) >> sqrt < 5> sec ^ 2 ( theta) d theta amp = int frac < sqrt <5> sec ^ 2 ( theta)> < sqrt <5> sec ( theta) > d theta amp = int sec ( theta) d theta amp = ln abs < sec ( theta) + tan ( theta)> + C. fim

Embora as etapas de integração tenham terminado, ainda não terminamos. O problema original foi declarado em termos de (x text <,> ) enquanto nossa resposta é dada em termos de ( theta text <.> ) Devemos converter de volta para (x text <.> )

O triângulo de referência dado na ideia-chave 6.4.2 (b) ajuda. Com (x = sqrt <5> tan ( theta) text <,> ) temos begin tan ( theta) = frac x < sqrt <5>> text sec ( theta) = frac < sqrt> < sqrt <5>>. fim

Podemos deixar essa resposta como está ou podemos usar uma identidade logarítmica para simplificá-la. Nota: begin ln abs < frac < sqrt> < sqrt <5>> + frac x < sqrt <5> >> + C amp = ln abs < frac <1> < sqrt <5>> big ( sqrt+ x big)> + C amp = ln abs < frac <1> < sqrt <5> >> + ln abs < sqrt+ x> + C amp = ln abs < sqrt+ x> + C, end onde o termo ( ln big (1 / sqrt <5> big) ) é absorvido pela constante (C text <.> ) (Na Seção 6.6, aprenderemos outra maneira de abordar este problema .)

Exemplo 6.4.5 Usando substituição trigonométrica

Avalie ( ds int sqrt <4x ^ 2-1> dx text <.> )

Começamos reescrevendo o integrando para que se pareça com ( sqrt) para algum valor de (a text <:> ) begin sqrt <4x ^ 2-1> amp = sqrt <4 left (x ^ 2- frac14 right)> amp = 2 sqrt. fim

Portanto, temos (a = 1/2 text <,> ) e seguindo a ideia-chave 6.4.2 (c), definimos (x = frac12 sec ( theta) text <,> ) e portanto, (dx = frac12 sec ( theta) tan ( theta) d theta text <.> ) Agora reescrevemos a integral com estas substituições: begin int sqrt <4x ^ 2-1> dx amp = int 2 sqrt dx amp = int 2 sqrt < frac14 sec ^ 2 ( theta) - frac14> left ( frac12 sec ( theta) tan ( theta) right) d theta amp = int sqrt < frac14 ( sec ^ 2 ( theta) -1)> Grande ( sec ( theta) tan ( theta) Grande) d theta amp = int sqrt < frac14 tan ^ 2 ( theta)> Grande ( sec ( theta) tan ( theta) Grande) d theta amp = int frac12 tan ^ 2 ( theta) sec ( theta) d theta amp = frac12 int Grande ( sec ^ 2 ( theta) -1 Grande) sec ( theta) d theta amp = frac12 int big ( sec ^ 3 ( theta) - sec ( theta) big) d theta. fim

Integramos ( sec ^ 3 ( theta) ) no Exemplo 6.3.10, descobrindo que suas antiderivadas são begin int sec ^ 3 ( theta) d theta = frac12 Big ( sec ( theta) tan ( theta) + ln abs < sec ( theta) + tan ( theta )> Big) + C. fim

Assim começar int sqrt <4x ^ 2-1> dx amp = frac12 int big ( sec ^ 3 ( theta) - sec ( theta) big) d theta amp = frac12 left ( frac12 Big ( sec ( theta) tan ( theta) + ln abs < sec ( theta) + tan ( theta)> Big) - ln abs < sec ( theta) + tan ( theta)> right) + C amp = frac14 left ( sec ( theta) tan ( theta) - ln abs < sec ( theta) + tan ( theta)> right) + C. fim

Ainda não terminamos. Nossa integral original é dada em termos de (x text <,> ) enquanto nossa resposta final, conforme dada, é em termos de ( theta text <.> ) Precisamos reescrever nossa resposta em termos de (x text <.> ) Com (a = 1/2 text <,> ) e (x = frac12 sec ( theta) text <,> ) o triângulo de referência em Key A ideia 6.4.2 (c) mostra que começar tan ( theta) = sqrt Big / (1/2) = 2 sqrt text sec ( theta) = 2x. fim

A resposta final é dada na última linha acima, repetida aqui: begin int sqrt <4x ^ 2-1> dx = frac14 Big (4x sqrt - ln abs <2x + 2 sqrt> Big) + C. fim

Exemplo 6.4.6 Usando substituição trigonométrica

Usamos a ideia-chave 6.4.2 (a) com (a = 2 text <,> ) (x = 2 sin ( theta) text <,> ) (dx = 2 cos ( theta) ) e, portanto, ( sqrt <4-x ^ 2> = 2 cos ( theta) text <.> ) Isso dá begin int frac < sqrt <4-x ^ 2 >> dx amp = int frac <2 cos ( theta)> <4 sin ^ 2 ( theta)> (2 cos ( theta)) d theta amp = int cot ^ 2 ( theta) d theta amp = int ( csc ^ 2 ( theta) -1) d theta amp = - cot ( theta) - theta + C. end

Precisamos reescrever nossa resposta em termos de (x text <.> ) Usando o triângulo de referência encontrado na ideia-chave 6.4.2 (a), temos ( cot ( theta) = sqrt <4- x ^ 2> / x ) e ( theta = sin ^ <-1> (x / 2) text <.> ) Assim, begin int frac < sqrt <4-x ^ 2 >> dx = - frac < sqrt <4-x ^ 2 >> x- sin ^ <-1> left ( frac x2 right) + C. end

A substituição trigonométrica pode ser aplicada em muitas situações, mesmo aquelas que não são da forma ( sqrt text <,> ) ( sqrt) ou ( sqrt text <.> ) No exemplo a seguir, o aplicamos a uma integral que já sabemos como tratar.

Exemplo 6.4.7 Usando substituição trigonométrica

Avalie ( ds int frac1 dx text <.> )

Já sabemos a resposta como ( tan ^ <-1> (x) + C text <.> ) Aplicamos a substituição trigonométrica aqui para mostrar que obtemos a mesma resposta sem depender inerentemente do conhecimento da derivada do função arco tangente.

Usando a ideia-chave 6.4.2 (b), deixe (x = tan ( theta) text <,> ) (dx = sec ^ 2 ( theta) d theta ) e observe que (x ^ 2 + 1 = tan ^ 2 ( theta) +1 = sec ^ 2 ( theta) text <.> ) Assim, begin int frac1 dx amp = int frac <1> < sec ^ 2 ( theta)> sec ^ 2 ( theta) d theta amp = int 1 d theta amp = theta + C. end

Como (x = tan ( theta) text <,> ) ( theta = tan ^ <-1> (x) text <,> ) e concluímos que ( ds int frac1 dx = tan ^ <-1> (x) + C text <.> )

O próximo exemplo é semelhante ao anterior no sentido de que não envolve uma raiz quadrada. Mostra como várias técnicas e identidades podem ser combinadas para obter uma solução.

Exemplo 6.4.8 Usando substituição trigonométrica

Começamos completando o quadrado, então fazemos a substituição (u = x + 3 text <,> ) seguida pela substituição trigonométrica de (u = tan ( theta) text <:> ) begin int frac1 <(x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2> dx = int frac1 < big ((x + 3) ^ 2 + 1 big) ^ 2> dx amp = int frac1 <(u ^ 2 + 1) ^ 2> du. end Agora faça a substituição (u = tan ( theta) text <,> ) (du = sec ^ 2 ( theta) d theta text <:> ) begin amp = int frac1 <( tan ^ 2 ( theta) +1) ^ 2> sec ^ 2 ( theta) d theta amp = int frac 1 <( sec ^ 2 ( theta)) ^ 2> sec ^ 2 ( theta) d theta amp = int cos ^ 2 ( theta) d theta. end Aplicando uma fórmula de redução de energia, temos começar amp = int left ( frac12 + frac12 cos (2 theta) right) d theta amp = frac12 theta + frac14 sin (2 theta) + C. fim

Precisamos retornar à variável (x text <.> ) As (u = tan ( theta) text <,> ) ( theta = tan ^ <-1> (u) text <.> ) Usando a identidade ( sin (2 theta) = 2 sin ( theta) cos ( theta) ) e usando o triângulo de referência encontrado na ideia-chave 6.4.2 (b) , nós temos começar frac14 sin (2 theta) = frac12 frac u < sqrt> cdot frac 1 < sqrt> = frac12 frac u. fim

Finalmente, retornamos a (x ) com a substituição (u = x + 3 text <.> ) Começamos com a expressão na Equação & lt & ltUnresolved xref, referência "eq_extrigsub7", verifique a ortografia ou use o atributo "provisório" & gt & gt: começar frac12 theta + frac14 sin (2 theta) + C amp = frac12 tan ^ <-1> (u) + frac12 frac+ C amp = frac12 tan ^ <-1> (x + 3) + frac<2 (x ^ 2 + 6x + 10)> + C. fim

Declarando nosso resultado final em uma linha, begin int frac1 <(x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2> dx = frac12 tan ^ <-1> (x + 3) + frac<2 (x ^ 2 + 6x + 10)> + C. fim

Nosso último exemplo nos leva de volta às integrais definidas, como visto em nosso primeiro exemplo. Dada uma integral definida que pode ser avaliada usando Substituição trigonométrica, podemos primeiro avaliar a integral indefinida correspondente (mudando de uma integral em termos de (x ) para um em termos de ( theta text <,> ) então convertendo de volta para (x )) e então avalie usando os limites originais. É muito mais simples, porém, alterar os limites conforme substituímos.

Exemplo 6.4.9 Integração definitiva e substituição trigonométrica

Usando a ideia-chave 6.4.2 (b), definimos (x = 5 tan ( theta) text <,> ) (dx = 5 sec ^ 2 ( theta) d theta text < ,> ) e observe que ( sqrt = 5 sec ( theta) text <.> ) Conforme substituímos, também podemos alterar os limites da integração.

O limite inferior da integral original é (x = 0 text <.> ) Como (x = 5 tan ( theta) text <,> ) resolvemos para ( theta ) e encontramos ( theta = tan ^ <-1> (x / 5) text <.> ) Assim, o novo limite inferior é ( theta = tan ^ <-1> (0) = 0 text < .> ) O limite superior original é (x = 5 text <,> ), portanto, o novo limite superior é ( theta = tan ^ <-1> (5/5) = pi / 4 texto <.> )

Assim, temos começar int_0 ^ 5 frac< sqrt> dx amp = int_0 ^ < pi / 4> frac <25 tan ^ 2 ( theta)> <5 sec ( theta)> 5 sec ^ 2 ( theta) d theta amp = 25 int_0 ^ < pi / 4> tan ^ 2 ( theta) sec ( theta) d theta. fim

Encontramos essa integral indefinida no Exemplo 6.4.5, onde encontramos begin int tan ^ 2 ( theta) sec ( theta) d theta = frac12 big ( sec ( theta) tan ( theta) - ln abs < sec ( theta) + tan ( theta)> big). fim

Então comece 25 int_0 ^ < pi / 4> tan ^ 2 ( theta) sec ( theta) d theta amp = frac <25> 2 big ( sec ( theta) tan ( theta) - ln abs < sec ( theta) + tan ( theta)> big) Bigg | _0 ^ < pi / 4> amp = frac <25> 2 big ( sqrt2- ln ( sqrt2 + 1) big) amp aproximadamente 6,661. fim

As seguintes igualdades são muito úteis ao avaliar integrais usando substituição trigonométrica.

Ideia-chave 6.4.10 Igualdades úteis com substituição trigonométrica

( sin (2 theta) = 2 sin ( theta) cos ( theta) )

( cos (2 theta) = cos ^ 2 ( theta) - sin ^ 2 ( theta) = 2 cos ^ 2 ( theta) -1 = 1-2 sin ^ 2 ( theta) ) )

( ds int sec ^ 3 ( theta) d theta = frac12 Big ( sec ( theta) tan ( theta) + ln abs < sec ( theta) + tan ( theta)> Big) + C )

( ds int cos ^ 2 ( theta) d theta = int frac12 big (1+ cos (2 theta) big) d theta = frac12 big ( theta + sin ( theta) cos ( theta) big) + C text <.> )

A próxima seção apresenta a Decomposição de Fração Parcial, que é uma técnica algébrica que transforma frações “complicadas” em somas de frações “mais simples”, tornando a integração mais fácil.


3.3 Substituição trigonométrica

Neste ponto, podemos avaliar a integral utilizando as técnicas desenvolvidas para integração de potências e produtos de funções trigonométricas. Antes de completar este exemplo, vamos dar uma olhada na teoria geral por trás dessa ideia.

A parte essencial desta discussão está resumida na seguinte estratégia de resolução de problemas.

Estratégia de resolução de problemas

Estratégia de resolução de problemas: integrando expressões envolvendo a 2 - x 2 a 2 - x 2

  1. É uma boa ideia certificar-se de que a integral não pode ser avaliada facilmente de outra maneira. Por exemplo, embora este método possa ser aplicado a integrais da forma ∫ 1 a 2 - x 2 dx, ∫ 1 a 2 - x 2 dx, ∫ xa 2 - x 2 dx, ∫ xa 2 - x 2 dx e ∫ xa 2 - x 2 dx, ∫ xa 2 - x 2 dx, eles podem ser integrados diretamente por fórmula ou por um simples você-substituição.
  2. Faça a substituição x = a sen θ x = a sen θ e d x = a cos θ d θ. d x = a cos θ d θ. Observação: Esta substituição resulta em 2 - x 2 = a cos θ. a 2 - x 2 = a cos θ.
  3. Simplifique a expressão.
  4. Avalie a integral usando técnicas da seção sobre integrais trigonométricas.
  5. Use o triângulo de referência da Figura 3.4 para reescrever o resultado em termos de x. x. Você também pode precisar usar algumas identidades trigonométricas e a relação θ = sin −1 (x a). θ = sin −1 (x a).

O exemplo a seguir demonstra a aplicação dessa estratégia de solução de problemas.

Exemplo 3.21

Integrando uma Expressão Envolvendo 2 - x 2 a 2 - x 2

Solução

Exemplo 3.22

Integrando uma Expressão Envolvendo 2 - x 2 a 2 - x 2

Solução

No próximo exemplo, vemos que às vezes temos uma escolha de métodos.

Exemplo 3.23

Integrando uma Expressão Envolvendo 2 - x 2 a 2 - x 2 Duas Maneiras

Solução

Integrando Expressões Envolvendo 2 + x 2 a 2 + x 2

Estratégia de resolução de problemas

Estratégia de resolução de problemas: integrando expressões que envolvem um 2 + x 2 a 2 + x 2

  1. Verifique se a integral pode ser avaliada facilmente usando outro método. Em alguns casos, é mais conveniente usar um método alternativo.
  2. Substitua x = a tan θ x = a tan θ e d x = a seg 2 θ d θ. d x = a seg 2 θ d θ. Esta substituição produz
    a 2 + x 2 = a 2 + (a tan θ) 2 = a 2 (1 + tan 2 θ) = a 2 seg 2 θ = | a seg θ | = a seg θ. a 2 + x 2 = a 2 + (a tan θ) 2 = a 2 (1 + tan 2 θ) = a 2 seg 2 θ = | a seg θ | = a seg θ. (Como - π 2 & lt θ & lt π 2 - π 2 & lt θ & lt π 2 e sec θ & gt 0 sec θ & gt 0 neste intervalo, | a sec θ | = a sec θ.) a seg θ | = a seg θ. )
  3. Simplifique a expressão.
  4. Avalie a integral usando técnicas da seção sobre integrais trigonométricas.
  5. Use o triângulo de referência da Figura 3.7 para reescrever o resultado em termos de x. x. Você também pode precisar usar algumas identidades trigonométricas e a relação θ = tan −1 (x a). θ = tan −1 (x a). (Observação: O triângulo de referência é baseado na suposição de que x & gt 0 x & gt 0, entretanto, as razões trigonométricas produzidas a partir do triângulo de referência são as mesmas que as razões para as quais x ≤ 0.) x ≤ 0.)

Exemplo 3.24

Integrando uma Expressão Envolvendo 2 + x 2 a 2 + x 2

Solução

Para verificar a solução, diferencie:

Exemplo 3.25

Avaliando ∫ d x 1 + x 2 ∫ d x 1 + x 2 usando uma substituição diferente

Solução

Análise

Depois de multiplicar ambos os lados por 2 e y 2 e y e reescrever, esta equação se torna:

Use a equação quadrática para resolver para e y: e y:

Depois de fazermos a observação final que, uma vez que x + x 2 + 1 & gt 0, x + x 2 + 1 & gt 0,

vemos que os dois métodos diferentes produziram soluções equivalentes.

Exemplo 3.26

Encontrando um Comprimento de Arco

Encontre o comprimento da curva y = x 2 y = x 2 no intervalo [0, 1 2]. [0, 1 2].

Solução

Integrando Expressões Envolvendo x 2 - a 2 x 2 - a 2

Estratégia de resolução de problemas

Estratégia de resolução de problemas: Integrais envolvendo x 2 - a 2 x 2 - a 2

  1. Verifique se a integral não pode ser avaliada usando outro método. Nesse caso, podemos considerar a aplicação de uma técnica alternativa.
  2. Substitua x = a s θ x = a s θ e d x = a s θ tan θ d θ. d x = a seg θ tan θ d θ. Esta substituição produz

Exemplo 3.27

Encontrando a área de uma região

Encontre a área da região entre o gráfico de f (x) = x 2 - 9 f (x) = x 2 - 9 e o x-eixo sobre o intervalo [3, 5]. [3, 5].

Solução

Primeiro, esboce um gráfico aproximado da região descrita no problema, conforme mostrado na figura a seguir.

Seção 3.3 Exercícios

Simplifique as seguintes expressões escrevendo cada uma usando uma única função trigonométrica.

Use a técnica de completar o quadrado para expressar cada trinômio como o quadrado de um binômio ou o quadrado de um binômio mais uma constante.

Integre usando o método de substituição trigonométrica. Expresse a resposta final em termos da variável.

Use a técnica de completar o quadrado para avaliar as seguintes integrais.

Avalie a integral sem usar cálculo: ∫ −3 3 9 - x 2 d x. ∫ −3 3 9 - x 2 d x.

Encontre a área delimitada pela elipse x 2 4 + y 2 9 = 1. x 2 4 + y 2 9 = 1.

Indique o método de integração que você usaria para avaliar a integral ∫ x x 2 + 1 d x. ∫ x x 2 + 1 d x. Por que você escolheu este método?

Indique o método de integração que você usaria para avaliar a integral ∫ x 2 x 2 - 1 d x. ∫ x 2 x 2 - 1 d x. Por que você escolheu este método?

Avalie ∫ −1 1 x d x x 2 + 1 ∫ −1 1 x d x x 2 + 1

Encontre o comprimento do arco da curva no intervalo especificado: y = ln x, [1, 5]. y = ln x, [1, 5]. Arredonde a resposta para três casas decimais.

Encontre a área de superfície do sólido gerado girando a região delimitada pelos gráficos de y = x 2, y = 0, x = 0 e x = 2 y = x 2, y = 0, x = 0 e x = 2 sobre o x-eixo. (Arredonde a resposta para três casas decimais).

Resolva o problema do valor inicial para y como a função de x.

(x 2 + 36) d y d x = 1, y (6) = 0 (x 2 + 36) d y d x = 1, y (6) = 0

(64 - x 2) d y d x = 1, y (0) = 3 (64 - x 2) d y d x = 1, y (0) = 3

Encontre a área limitada por y = 2 64 - 4 x 2, x = 0, y = 0 e x = 2. y = 2 64 - 4 x 2, x = 0, y = 0 e x = 2.

Um tanque de armazenamento de óleo pode ser descrito como o volume gerado girando a área delimitada por y = 16 64 + x 2, x = 0, y = 0, x = 2 y = 16 64 + x 2, x = 0, y = 0, x = 2 sobre o x-eixo. Encontre o volume do tanque (em metros cúbicos).

Encontre o comprimento da curva y = 16 - x 2 y = 16 - x 2 entre x = 0 x = 0 e x = 2. x = 2.

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    • Autores: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: Cálculo Volume 2
    • Data de publicação: 30 de março de 2016
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/3-3-trigonometric-substitution

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    2.2.1: O Teorema de Pitágoras e Trigonometria

    Usando funções trigonométricas ou o teorema de Pitágoras com base em informações fornecidas.

    Uma árvore de 12 metros de altura projeta uma sombra de 24 metros. Qual é o ângulo de elevação do final da sombra ao topo da árvore em relação ao solo?

    Problemas de aplicação

    Ao resolver problemas com palavras, é importante entender a terminologia usada para descrever ângulos. Em problemas trigonométricos, os termos ângulo de elevação e ângulo de depressão são comumente usados. Ambos os ângulos são sempre medidos a partir de uma linha horizontal, conforme mostrado nos diagramas abaixo.

    Figura ( PageIndex <1> )

    Vamos resolver os seguintes problemas.

    1. Um avião se aproximando de um aeroporto localiza a pista em um ângulo de depressão de (25 ^ < circ> ). Se o avião está 15.000 pés acima do solo, a que distância (distância do solo) o avião está da pista? Dê sua resposta com a aproximação de 30 metros.

    Faça um diagrama para ilustrar a situação descrita e, em seguida, use uma razão trigonométrica para resolvê-la. Lembre-se de que um ângulo de depressão está abaixo de uma linha horizontal de visão - neste caso, uma linha horizontal do piloto do avião paralela ao solo.

    Figura ( PageIndex <2> )

    Observe que o ângulo de depressão e o ângulo interno alternado serão congruentes, então o ângulo no triângulo também é (25 ^ < circ> ).

    Pela foto, podemos ver que devemos usar a razão da tangente para encontrar a distância do solo.

    1. Rachel avista um pássaro em uma árvore em um ângulo de elevação de (30 ^ < circ> ). Se Rachel está a 6 metros da base da árvore, a que altura da árvore está o pássaro? Dê sua resposta até o décimo de pé mais próximo.

    Faça um diagrama para ilustrar a situação. Lembre-se de que haverá um triângulo retângulo e que o ângulo reto é formado pelo solo e o tronco da árvore.

    Figura ( PageIndex <3> )

    Aqui podemos usar a razão da tangente para resolver a altura do pássaro

    1. Uma escada de 12 pés está apoiada em uma casa e chega a 10 pés na lateral da casa. No grau mais próximo, que ângulo a escada forma com o solo?

    Neste problema, precisaremos encontrar um ângulo. Fazendo um esboço do triângulo, podemos ver qual razão trigonométrica inversa usar.

    Figura ( PageIndex <4> )

    Anteriormente, você foi solicitado a encontrar o ângulo de elevação do final da sombra ao topo da árvore em relação ao solo.

    Se você desenhar esta situação, verá que estamos lidando com um triângulo retângulo. O lado oposto ao ângulo de elevação é 40. O lado adjacente ao ângulo é 80. Portanto, podemos usar a tangente para encontrar o ângulo de elevação.

    Uma rampa forma um ângulo (20 ^ < circ> ) com o solo. Se a porta para a qual a rampa leva está 2 pés acima do solo, qual é o comprimento da rampa? Dê sua resposta até o décimo de pé mais próximo.

    Charlie solta 90 pés da linha da pipa. Se o ângulo de elevação da corda é 70 ^ < circ>, qual é a altura aproximada da pipa? Dê sua resposta ao pé mais próximo.

    Um sonar ship & rsquos localiza um destroço em um ângulo de depressão de 32 ^ < circ>. Se a profundidade do oceano for de cerca de 250 pés, qual a distância dos destroços (medidos ao longo da superfície da água) do navio, até o pé mais próximo.


    2.2: Substituição trigonométrica - Matemática

    `Kl0PdY *: $ au ^ lB,] * Td3oIbS]? 64Z @ h '? Idr" -MoRJjZWdo.lS-1UGdTseE4LL0.' = KXu`DN> E '@! U * u = 5rJ'n 2Ye3_ "m + 89hNM8 / Oh: RY] -SnK%! 4 (tg + ZlmkjE! I?% Db (p8mlA, `W? ^ Pt] # & 6" mu79. [SOQUhcKkH (] & oUI $ * 0 + R (I8MJ @! X # 1B] f +, NQiud72? PZ *, # _ `7 & ESL6 c! # 51! B: pU] 07bU", _ & # j / O uFp5CK7GB-Ahmi9_jft W03. ^ 9 = 4RNW $ 1KLB r # odB =) C ? Q / MDK: 1FT + EDX (h # I? TK & Pl% K "G, Q! CFZS2tQLnRX @ IZ WKCL) -Z? ODaLL $ SLP '

      U2C [aL2E7bqfE-bo! HY /: ZD- "f ^ 9G2.2: Substituição Trigonométrica - Matemática, [nobr] [H1toH2]

      2.2.7: Funções Trig Inversas usando Álgebra

      & quotDesfaça & quot uma função alternando os valores (x ) e (y ) e resolvendo para (y ).

      Se você recebeu uma função, como (f (x) = dfrac <2x>), você pode dizer se a função tem um inverso? Existe uma maneira de encontrar seu inverso por meio da manipulação algébrica?

      Encontrando o Inverso de uma Função

      Um & quotinverso & quot é algo que desfaz uma função, devolvendo o argumento original. Por exemplo, uma função como (y = dfrac <1> <3> x ) tem uma função inversa de (y = 3x ), uma vez que qualquer valor colocado na primeira função será retornado como o que originalmente era se fosse inserido na segunda função. Neste caso, é fácil ver que para & quotundo & quot multiplicação por ( dfrac <1> <3> ), você deve multiplicar por 3. No entanto, em muitos casos pode não ser fácil inferir examinando o que é o inverso de uma função é.

      Para começar, vamos examinar o que é necessário para que uma função tenha um inverso. É importante lembrar que cada função tem uma relação inversa e que essa relação inversa é uma função apenas se a função original for um-para-um. Uma função é um-para-um quando seu gráfico passa tanto pela vertical quanto pela teste de linha horizontal. Isso significa que todas as linhas verticais e horizontais cruzarão o gráfico exatamente em um lugar.

      Figura ( PageIndex <1> )

      Este é o gráfico de (f (x) = dfrac). O gráfico sugere que (f ) é um-para-um porque passa nos testes de linha vertical e horizontal. Para encontrar o inverso de (f ), mude a (x ) e (y ) e resolver para (y ).

      Em seguida, multiplique ambos os lados por ((y + 1) ).

      Then, apply the distributive property and put all the y terms on one side so you can pull out the y.

      Divide by ((x&minus1)) to get (y) by itself.

      Finally, multiply the right side by (dfrac<&minus1><&minus1>).

      Therefore the inverse of f is (f^<&minus1>(x)=dfrac<1&minusx>).

      The symbol (f^<&minus1>) is read &ldquof inverse&rdquo and is not the reciprocal of f.

      Finding the Inverse of a Function

      1. Find the inverse of (f(x)=dfrac<1>) algebraically.

      To find the inverse algebraically, switch (f(x)) to (y) and then switch (x) and (y).

      3. Find the inverse of the trigonometric function (f(x)=4 an^ <&minus1>(3x+4))

      Earlier, you were asked to find the inverse of a function.

      Since the original function is:

      You can first switch all of the "(x)" and "(y)" values:

      You can then rearrange the equation and isolate "y":

      The inverse function is written as (f^<&minus1>(x)=dfrac<&minus7x>)


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      Concept Check Solutions

      2. If the following triangle has an area of (12 cm^2), find the length of side (AC).

      Now we use the cosine rule to find the length of side (AC):

      3. Let (C) be the position of the child and (P) be the position of the plane.

      4. We start with the sketch below ((D) and (F) are not part of the information given we have labelled them just to make it easier to refer to angles in the sketch).

      Since (AD) and (BF) are parallel, (∠ABF=∠BAD=20°) . Notice that

      We can find (AC) using the cosine rule:

      Before finding the bearing of Town (C) from Town (A), we need to find angle (BAC). Applying the cosine rule again gives

      so the bearing of Town (C ) from Town (A) is (N75°E).


      Assista o vídeo: Jak łatwo i szybko nauczyć się funkcji trygonometrycznych (Dezembro 2021).