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2.8: Resolva Desigualdades de Valor Absoluto - Matemática


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Resolva equações de valor absoluto
  • Resolva as desigualdades de valor absoluto com “menos que”
  • Resolva as desigualdades de valor absoluto com "maior que"
  • Resolva aplicações com valor absoluto

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Avalie: (- | 7 | ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].
  2. Preencha (<,>, <,>, ) ou (= ) para cada um dos seguintes pares de números.
    Ⓐ (| −8 | text {___} - | −8 | ) ⓑ (12 text {___} - | −12 | ) ⓒ (| −6 | text {___} - 6 ) Ⓓ (- (- 15) text {___} - | −15 | )
    Se você perdeu este problema, revise [link].
  3. Simplifique: (14−2 | 8−3 (4−1) | ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].

Resolva Equações de Valor Absoluto

À medida que nos preparamos para resolver as equações de valor absoluto, revisamos nossa definição de valor absoluto.

VALOR ABSOLUTO

O valor absoluto de um número é sua distância de zero na reta numérica.

O valor absoluto de um número n é escrito como (| n | ) e (| n | geq 0 ) para todos os números.

Os valores absolutos são sempre maiores ou iguais a zero.

Aprendemos que tanto um número quanto seu oposto estão à mesma distância de zero na reta numérica. Como eles têm a mesma distância de zero, eles têm o mesmo valor absoluto. Por exemplo:

  • (- 5 ) está a 5 unidades de 0, então (| −5 | = 5 ).
  • (5 ) está a 5 unidades de 0, então (| 5 | = 5 ).

A figura ( PageIndex {1} ) ilustra essa ideia.

Para a equação | x | = 5, | x | = 5, estamos procurando todos os números que tornam esta afirmação verdadeira. Estamos procurando os números cuja distância de zero é 5. Acabamos de ver que 5 e −5−5 são cinco unidades de zero na reta numérica. Eles são as soluções para a equação.

( begin {array} {ll} { text {If}} & {| x | = 5} { text {then}} & {x = −5 text {ou} x = 5} end {array} )

A solução pode ser simplificada em uma única instrução escrevendo (x = pm 5 ). Isto é lido, “x é igual a 5 ”positivo ou negativo.

Podemos generalizar isso para a seguinte propriedade para equações de valor absoluto.

EQUAÇÕES DE VALOR ABSOLUTO

Para qualquer expressão algébrica, você, e qualquer número real positivo, uma,

[ begin {array} {ll} { text {if}} & {| u | = a} { text {then}} & {u = −a text {ou} u = a} nonumber end {array} ]

Lembre-se de que um valor absoluto não pode ser um número negativo.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Resolver:

  1. (| x | = 8 )
  2. (| y | = −6 )
  3. (| z | = 0 )
Solução a

( begin {array} {ll} {} & {| x | = 8} { text {Escreva as equações equivalentes.}} & {x = −8 text {ou} x = 8} {} & {x = pm 8} end {array} )

Solução b

( begin {array} {ll} {} & {| y | = −6} {} & { text {Sem solução}} end {array} )
Como um valor absoluto é sempre positivo, não há soluções para essa equação.

Solução c

( begin {array} {ll} {} & {| z | = 0} { text {Escreva as equações equivalentes.}} & {z = −0 text {ou} z = 0} { text {Desde} −0 = 0,} & {z = 0} end {array} )
Ambas as equações nos dizem que z = 0z = 0 e, portanto, há apenas uma solução.

EXERCÍCIO ( PageIndex {2} )

Resolver:

  1. (| x | = 2 )
  2. (| y | = −4 )
  3. (| z | = 0 )
Responder a

( pm 2 )

Resposta b

nenhuma solução

Resposta c

0

EXERCÍCIO ( PageIndex {3} )

Resolver:

  1. (| x | = 11 )
  2. (| y | = −5 )
  3. (| z | = 0 )
Responder a

( pm 11 )

Resposta b

nenhuma solução

Resposta c

0

Para resolver um equação de valor absoluto, primeiro isolamos a expressão de valor absoluto usando os mesmos procedimentos que usamos para resolver equações lineares. Uma vez que isolamos a expressão de valor absoluto, nós a reescrevemos como as duas equações equivalentes.

Como resolver equações de valor absoluto

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva (| 5x − 4 | −3 = 8 ).

Solução

EXERCÍCIO ( PageIndex {5} )

Resolva: (| 3x − 5 | −1 = 6 ).

Responder

(x = 4, space x = - frac {2} {3} )

EXERCÍCIO ( PageIndex {6} )

Resolva: (| 4x − 3 | −5 = 2 ).

Responder

(x = −1, space x = frac {5} {2} )

As etapas para resolver uma equação de valor absoluto são resumidas aqui.

RESOLVER EQUAÇÕES DE VALOR ABSOLUTO.

  1. Isole a expressão de valor absoluto.
  2. Escreva as equações equivalentes.
  3. Resolva cada equação.
  4. Verifique cada solução.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Resolva (2 | x − 7 | + 5 = 9 ).

Solução
(2 | x − 7 | + 5 = 9 )
Isole a expressão de valor absoluto. (2 | x − 7 | = 4 )
(| x − 7 | = 2 )
Escreva as equações equivalentes. (x − 7 = −2 ) ou (x − 7 = 2 )
Resolva cada equação. (x = 5 ) ou (x = 9 )
Verificar:

Exercício ( PageIndex {8} )

Resolva: (3 | x − 4 | −4 = 8 ).

Responder

(x = 8, espaço x = 0 )

Exercício ( PageIndex {9} )

Resolva: (2 | x − 5 | + 3 = 9 ).

Responder

(x = 8, espaço x = 2 )

Lembre-se de que um valor absoluto é sempre positivo!

Exemplo ( PageIndex {10} )

Resolva: (| frac {2} {3} x − 4 | + 11 = 3 ).

Solução

( begin {array} {ll} {} & {| frac {2} {3} x − 4 | = −8} { text {Isole o termo de valor absoluto.}} & {| frac {2} {3} x − 4 | = −8} { text {Um valor absoluto não pode ser negativo.}} & { Text {Sem solução}} end {array} )

Exercício ( PageIndex {11} )

Resolva: (| frac {3} {4} x − 5 | + 9 = 4 ).

Responder

Sem solução

Exercício ( PageIndex {12} )

Resolva: (| frac {5} {6} x + 3 | + 8 = 6 ).

Responder

Sem solução

Algumas de nossas equações de valor absoluto podem ser da forma (| u | = | v | ), onde você e v são expressões algébricas. Por exemplo, (| x − 3 | = | 2x + 1 | ).

Como os resolveríamos? Se duas expressões algébricas são iguais em valor absoluto, elas são iguais ou negativas. A propriedade para equações de valor absoluto diz que para qualquer expressão algébrica, você, e um número real positivo, uma, se (| u | = a ), então (u = −a ) ou (u = a ).

Isso nos diz que

( begin {array} {llll}
{ text {if}} & {| u | = | v |} & {} & {}
{ text {then}} & {| u | = v} & { text {or}} & {| u | = −v}
{ text {e assim}} & {u = v text {ou} u = −v} & { text {ou}} & {u = −v text {ou} u = - (- v )}
end {array} )

Isso nos leva à seguinte propriedade para equações com dois valores absolutos.

EQUAÇÕES COM DOIS VALORES ABSOLUTOS

Para quaisquer expressões algébricas, você e v,

[ begin {array} {ll} { text {if}} & {| u | = | v |} { text {then}} & {u = −v text {ou} u = v } nonumber end {array} ]

Quando tomamos o oposto de uma quantidade, devemos ter cuidado com os sinais e adicionar parênteses quando necessário.

Exemplo ( PageIndex {13} )

Resolva: (| 5x − 1 | = | 2x + 3 | ).

Solução

( begin {array} {ll} {} & {} & {| 5x − 1 | = | 2x + 3 |} & {} {} & {} & {} & {} { text {Escreva as equações equivalentes.}} & {5x − 1 = - (2x + 3)} & { text {ou}} & {5x − 1 = 2x + 3} {} & {5x − 1 = - 2x − 3} & { text {or}} & {3x − 1 = 3} { text {Resolva cada equação.}} & {7x − 1 = −3} & {} & {3x = 4} {} & {7x = −2} & {} & {x = 43} {} & {x = −27} & { text {ou}} & {x = 43} { text {Check.}} & {} & {} & {} { text {Deixamos a verificação para você.}} & {} & {} & {} end {array} )

Exercício ( PageIndex {14} )

Resolva: (| 7x − 3 | = | 3x + 7 | ).

Responder

(x = - frac {2} {5}, space x = frac {5} {2} )

Exercício ( PageIndex {15} )

Resolva: (| 6x − 5 | = | 3x + 4 | ).

Responder

(x = 3, x = 19 )

Resolva Desigualdades de Valor Absoluto com “Menor que”

Vejamos agora o que acontece quando temos um desigualdade de valor absoluto. Tudo o que aprendemos sobre como resolver as desigualdades ainda é válido, mas devemos considerar como o valor absoluto afeta nosso trabalho. Mais uma vez, examinaremos nossa definição de valor absoluto. O valor absoluto de um número é sua distância de zero na reta numérica. Para a equação (| x | = 5 ), vimos que 5 e (- 5 ) são cinco unidades de zero na reta numérica. Eles são as soluções para a equação.

[ begin {array} {lll} {} & {| x | = 5} & {} {x = −5} & { text {or}} & {x = 5} nonumber fim {array} ]

E quanto à desigualdade (| x | leq 5 )? Onde estão os números cuja distância é menor ou igual a 5? Sabemos que (- 5 ) e 5 são cinco unidades de zero. Todos os números entre (- 5 ) e 5 são menores que cinco unidades de zero (Figura ( PageIndex {2} )).

De uma forma mais geral, podemos ver que se (| u | leq a ), então (- a leq u leq a ) (Figura ( PageIndex {3} )).

Este resultado está resumido aqui.

DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO COM (<) OU ( leq )

Para qualquer expressão algébrica, você, e qualquer número real positivo, uma,

[ text {if} quad | u |

Depois de resolver uma desigualdade, geralmente é útil verificar alguns pontos para ver se a solução faz sentido. O gráfico da solução divide a reta numérica em três seções. Escolha um valor em cada seção e substitua-o na desigualdade original para ver se torna a desigualdade verdadeira ou não. Embora não seja uma verificação completa, geralmente ajuda a verificar a solução.

Exemplo ( PageIndex {16} )

Resolva (| x | <7 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Solução
Escreva a desigualdade equivalente.
Represente graficamente a solução.
Escreva a solução usando a notação de intervalo.

Verificar:

Para verificar, verifique um valor em cada seção da reta numérica que mostra a solução. Escolha números como −8, −8, 1 e 9.

EXERCÍCIO ( PageIndex {17} )

Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: (| x | <9 ).

Responder

EXERCÍCIO ( PageIndex {18} )

Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: (| x | <1 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {19} )

Resolva (| 5x − 6 | leq 4 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Solução
Passo 1. Isole a expressão de valor absoluto.
Ele está isolado.
(| 5x − 6 | leq 4 )
Passo 2. Escreva a desigualdade composta equivalente. (- 4 leq 5x − 6 leq 4 )
Etapa 3. Resolva a desigualdade composta. (2 leq 5x leq 10 )
( frac {2} {5} leq x leq 2 )
Passo 4. Represente graficamente a solução.
Etapa 5. Escreva a solução usando a notação de intervalo. ([ frac {2} {5}, 2] )
Verificar:
O cheque é deixado para você.

EXERCÍCIO ( PageIndex {20} )

Resolva (| 2x − 1 | leq 5 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo:

Responder

EXERCÍCIO ( PageIndex {21} )

Resolva (| 4x − 5 | leq 3 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo:

Responder

RESOLVER DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO COM (<) OU ( leq )

  1. Isole a expressão de valor absoluto.
  2. Escreva a desigualdade composta equivalente.

    [ begin {array} {lll} {| u |

  3. Resolva a desigualdade composta.
  4. Represente graficamente a solução
  5. Escreva a solução usando a notação de intervalo.

Resolva Desigualdades de Valor Absoluto com “Maior que”

O que acontece com as desigualdades de valor absoluto que têm “maior que”? Mais uma vez, examinaremos nossa definição de valor absoluto. O valor absoluto de um número é sua distância de zero na reta numérica.

Começamos com a desigualdade (| x | leq 5 ). Vimos que os números cuja distância é menor ou igual a cinco de zero na reta numérica foram (- 5 ) e 5 e todos os números entre (- 5 ) e 5 (Figura ( PageIndex {4 } )).

Agora queremos olhar para a desigualdade (| x | geq 5 ). Onde estão os números cuja distância de zero é maior ou igual a cinco?

Novamente, ambos (- 5 ) e 5 são cinco unidades de zero e, portanto, estão incluídos na solução. Números cuja distância de zero é maior que cinco unidades seriam menores que (- 5 ) e maiores que 5 na reta numérica (Figura ( PageIndex {5} )).

De uma forma mais geral, podemos ver que se (| u | geq a ), então (u leq −a ) ou (u leq a ). Ver Figura.

Este resultado está resumido aqui.

DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO COM (> ) OU ( geq )

Para qualquer expressão algébrica, você, e qualquer número real positivo, uma,

[ begin {array} {lll} { text {if}} & { quad | u |> a,} & { quad text {then} u <−a text {ou} u> a} { text {if}} & { quad | u | geq a,} & { quad text {then} u leq −a text {ou} u geq a} nonumber fim {array} ]

Exemplo ( PageIndex {22} )

Resolva (| x |> 4 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Solução
(| x |> 4 )
Escreva a desigualdade equivalente. (x <−4 ) ou (x> 4 )
Represente graficamente a solução.
Escreva a solução usando a notação de intervalo. ((- inf, −4) cup (4, inf) )
Verificar:

Para verificar, verifique um valor em cada seção da reta numérica que mostra a solução. Escolha números como −6, −6, 0 e 7.

EXERCÍCIO ( PageIndex {23} )

Resolva (| x |> 2 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Responder

EXERCÍCIO ( PageIndex {24} )

Resolva (| x |> 1 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Responder

Exemplo ( PageIndex {25} )

Resolva (| 2x − 3 | geq 5 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Solução
(| 2x − 3 | geq 5 )
Passo 1. Isole a expressão de valor absoluto. Ele está isolado.
Passo 2. Escreva a desigualdade composta equivalente. (2x − 3 leq −5 ) ou (2x − 3 geq 5 )
Etapa 3. Resolva a desigualdade composta. (2x leq −2 ) ou (2x geq 8 )
(x leq −1 ) ou (x geq 4 )
Passo 4. Represente graficamente a solução.
Etapa 5. Escreva a solução usando a notação de intervalo. ((- inf, −1] cup [4, inf) )
Verificar:
O cheque é deixado para você.

EXERCÍCIO ( PageIndex {26} )

Resolva (| 4x − 3 | geq 5 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Responder

EXERCÍCIO ( PageIndex {27} )

Resolva (| 3x − 4 | geq 2 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Responder

RESOLVER DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO COM (> ) OU ( geq ).

  1. Isole a expressão de valor absoluto.
  2. Escreva a desigualdade composta equivalente.

    [ begin {array} {lll}
    {| u | > a} & { quad text {é equivalente a}} & {u <−a quad text {ou} quad u> a}
    {| u | geq a} & { quad text {é equivalente a}} & {u leq −a quad text {ou} quad u geq a}
    {| u | > a} & { quad text {é equivalente a}} & {u <−a quad text {ou} quad u> a}
    {| u | geq a} & { quad text {é equivalente a}} & {u leq −a quad text {ou} quad u geq a}
    nonumber end {array} ]

  3. Resolva a desigualdade composta.
  4. Represente graficamente a solução
  5. Escreva a solução usando a notação de intervalo.

Resolva aplicativos com valor absoluto

Desigualdades de valor absoluto são freqüentemente usadas no processo de manufatura. Um item deve ser feito com especificações quase perfeitas. Normalmente há um certo tolerância da diferença das especificações permitidas. Se a diferença das especificações exceder a tolerância, o item é rejeitado.

[| text {real-ideal} | leq text {tolerância} nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {28} )

O diâmetro ideal de uma haste necessária para uma máquina é 60 mm. O diâmetro real pode variar do diâmetro ideal em (0,075 ) mm. Qual faixa de diâmetros será aceitável para o cliente sem causar a rejeição da haste?

Solução

( begin {array} {ll} {} & { text {Let} x = text {a medida atual}} { text {Use uma desigualdade de valor absoluto para expressar esta situação.}} & {| text {real-ideal} | leq text {tolerância}} {} & {| x − 60 | leq 0,075} { text {Reescrever como uma desigualdade composta.}} & {- 0,075 leq x − 60 leq 0,075} { text {Resolva a desigualdade.}} & {59,925 leq x leq 60,075} { text {Responda a pergunta.}} & { text {O diâmetro de a haste pode estar entre}} {} e {59,925 mm text {e} 60,075 mm.} end {array} )

ExERCISE ( PageIndex {29} )

O diâmetro ideal de uma haste necessária para uma máquina é de 80 mm. O diâmetro real pode variar do diâmetro ideal em 0,009 mm. Qual faixa de diâmetros será aceitável para o cliente sem causar a rejeição da haste?

Responder

O diâmetro da haste pode ser entre 79,991 e 80,009 mm.

ExERCISE ( PageIndex {30} )

O diâmetro ideal de uma haste necessária para uma máquina é de 75 mm. O diâmetro real pode variar do diâmetro ideal em 0,05 mm. Qual faixa de diâmetros será aceitável para o cliente sem causar a rejeição da haste?

Responder

O diâmetro da haste pode ser entre 74,95 e 75,05 mm.

Acesse este recurso online para obter instruções e práticas adicionais com a solução de equações e desigualdades de valor absoluto linear.

  • Resolvendo Desigualdades e Equações de Valor Absoluto Linear

Conceitos chave

  • Valor absoluto
    O valor absoluto de um número é sua distância de 0 na reta numérica.
    O valor absoluto de um número n é escrito como (| n | ) e (| n | geq 0 ) para todos os números.
    Os valores absolutos são sempre maiores ou iguais a zero.
  • Equações de valor absoluto
    Para qualquer expressão algébrica, você, e qualquer número real positivo, uma,
    ( begin {array} {ll} { text {if}} & { quad | u | = a} { text {then}} & { quad u = −a text {ou} u = a} end {array} )
    Lembre-se de que um valor absoluto não pode ser um número negativo.
  • Como resolver equações de valor absoluto
    1. Isole a expressão de valor absoluto.
    2. Escreva as equações equivalentes.
    3. Resolva cada equação.
    4. Verifique cada solução.
  • Equações com dois valores absolutos
    Para quaisquer expressões algébricas, você e v,
    ( begin {array} {ll} { text {if}} & { quad | u | = | v |} { text {then}} & { quad u = −v text {ou } u = v} end {array} )
  • Desigualdades de valor absoluto com (<) ou ( leq )
    Para qualquer expressão algébrica, você, e qualquer número real positivo, uma,
    ( begin {array} {llll} { text {if}} & { quad | u | = a} & { quad text {then}} & {- a
  • Como resolver desigualdades de valor absoluto com (<) ou ( leq )
    1. Isole a expressão de valor absoluto.
    2. Escreva a desigualdade composta equivalente.
      ( begin {array} {lll} {| u |
    3. Resolva a desigualdade composta.
    4. Represente graficamente a solução
    5. Escreva a solução usando a notação de intervalo
  • Desigualdades de valor absoluto com (> ) ou ( geq )
    Para qualquer expressão algébrica, você, e qualquer número real positivo, uma,
    ( begin {array} {lll} { text {if}} & { quad | u |> a,} & { text {then} u <−a text {ou} u> a} { text {if}} & { quad | u | geq a,} & { text {then} u leq −a text {ou} u geq a} end {array} )
  • Como resolver desigualdades de valor absoluto com (> ) ou ( geq )
    1. Isole a expressão de valor absoluto.
    2. Escreva a desigualdade composta equivalente.
      ( begin {array} {lll} {| u |> a} & { quad text {é equivalente a}} & { quad u <−a text {ou} u> a} {| u | geq a} & { quad text {é equivalente a}} & { quad u leq −a text {ou} u geq a} end {array} )
    3. Resolva a desigualdade composta.
    4. Represente graficamente a solução
    5. Escreva a solução usando a notação de intervalo