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4.0: Antidervativos e integração indefinida (revisitado)


Gastamos um tempo considerável considerando os derivados de uma função e suas aplicações. Nos próximos capítulos, começaremos a pensar "na outra direção". Ou seja, dada uma função (f (x) ), vamos considerar as funções (F (x) ) tais que (F '(x) = f (x) ). Existem vários motivos pelos quais isso será útil: essas funções nos ajudarão a calcular áreas, volumes, massa, força, pressão, trabalho e muito mais.

Dada uma função (y = f (x) ), uma equação diferencial é aquela que incorpora (y ), (x ) e as derivadas de (y ). Por exemplo, uma equação diferencial simples é:

[y '= 2x. ]

Resolver uma equação diferencial equivale a encontrar uma função (y ) que satisfaça a equação dada. Pare um momento e considere essa equação; você pode encontrar uma função (y ) tal que (y '= 2x )?

Você pode encontrar outro?

E ainda outro?

Esperançosamente, alguém conseguiu chegar a pelo menos uma solução: (y = x ^ 2 ). "Encontrar outro" pode ter parecido impossível até que se percebesse que uma função como (y = x ^ 2 + 1 ) também tem uma derivada de (2x ). Uma vez feita essa descoberta, encontrar "mais uma" não é difícil; a função (y = x ^ 2 + 123.456.789 ) também tem uma derivada de (2x ). A equação diferencial (y '= 2x ) tem muitas soluções. Isso nos leva a algumas definições.

Definição ( PageIndex {1} ): Antiderivados e Integrais Indefinidos

Seja dada uma função (f (x) ). A antiderivada de (f (x) ) é uma função (F (x) ) tal que (F '(x) = f (x) ).

O conjunto de todas as antiderivadas de (f (x) ) é o integral indefinida de (f ), denotado por

[ int f (x) dx. ]

Faça uma observação sobre a nossa definição: nos referimos a a antiderivada de (f ), em oposição a a antiderivada de (f ), uma vez que há sempre um número infinito deles. Freqüentemente, usamos letras maiúsculas para denotar antiderivadas.

Conhecer uma antiderivada de (f ) nos permite encontrar infinitamente mais, simplesmente adicionando uma constante. Isso não só nos dá mais antiderivadas, nos dá tudo deles.

Teorema ( PageIndex {1} ): Formas Antiderivadas

Sejam (F (x) ) e (G (x) ) antiderivadas de (f (x) ). Então existe uma constante (C ) tal que

[G (x) = F (x) + C. ]

Dada uma função (f ) e uma de suas antiderivadas (F ), sabemos tudo as antiderivadas de (f ) têm a forma (F (x) + C ) para alguma constante (C ). Usando Definition ( PageIndex {1} ), podemos dizer que

[ int f (x) dx = F (x) + C. ]

Vamos analisar essa notação integral indefinida.

A Figura ( PageIndex {1} ) mostra a notação típica da integral indefinida. O símbolo de integração, ( int ), é, na realidade, um "S alongado", representando "pegue a soma". Mais tarde veremos como somas e antiderivadas são relacionados.

A função da qual queremos encontrar uma antiderivada é chamada de integrando. Ele contém o diferencial da variável que estamos integrando em relação. O símbolo ( int ) e o diferencial (dx ) não são "suportes de livros" com uma função intercalada; em vez disso, o símbolo ( int ) significa "encontre todas as antiderivadas do que se segue" e as funções (f (x) ) e (dx ) são multiplicadas juntas; o (dx ) não "fica parado".

Vamos praticar o uso dessa notação.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Avaliando integrais indefinidos

Avalie ( displaystyle int sin x dx. )

Solução

Somos solicitados a encontrar todas as funções (F (x) ) tais que (F '(x) = sin x ). Algum pensamento nos levará a uma solução: (F (x) = - cos x ), porque ( frac {d} {dx} (- cos x) = sin x ).

A integral indefinida de ( sin x ) é, portanto, (- cos x ), mais uma constante de integração. Então:

[ int sin x dx = - cos x + C. ]

Uma pergunta comum é "O que aconteceu com o (dx )?" A resposta pouco esclarecida é "Não se preocupe com isso. Simplesmente vai embora". Um entendimento completo inclui o seguinte.

Este processo de antidiferenciação está realmente resolvendo um diferencial pergunta. O integral

[ int sin x dx ]

nos apresenta um diferencial, (dy = sin x dx ). Ele está perguntando: "O que é (y )?" Encontramos muitas soluções, todas da forma (y = - cos x + C ).

Deixando (dy = sin x dx ), reescrever

[ int sin x dx quad text {as} quad int dy. ]

Isso é perguntar: "Quais funções têm um diferencial da forma (dy )?" A resposta é "Funções da forma (y + C ), onde (C ) é uma constante." O que é (y )? Temos muitas opções, todas diferindo por uma constante; a escolha mais simples é (y = - cos x ).

Compreender tudo isso é mais importante posteriormente, à medida que tentamos encontrar antiderivadas de funções mais complicadas. Nesta seção, vamos simplesmente explorar as regras de integração indefinida, e pode-se ter sucesso por enquanto respondendo "O que aconteceu com o (dx )?" com "Ele foi embora."

Vamos praticar mais uma vez antes de declarar as regras de integração.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Avaliando integrais indefinidos

Avalie ( int (3x ^ 2 + 4x + 5) dx ).

Solução

Procuramos uma função (F (x) ) cuja derivada é (3x ^ 2 + 4x + 5 ). Ao tomar derivadas, podemos considerar funções termo a termo, portanto, provavelmente podemos fazer isso aqui.

Quais funções têm uma derivada de (3x ^ 2 )? Algum pensamento nos levará a uma cúbica, especificamente (x ^ 3 + C_1 ), onde (C_1 ) é uma constante.

Quais funções têm uma derivada de (4x )? Aqui, o termo (x ) é elevado à primeira potência, então provavelmente buscamos um quadrático. Algum pensamento deve nos levar a (2x ^ 2 + C_2 ), onde (C_2 ) é uma constante.

Finalmente, quais funções têm uma derivada de (5 )? Funções da forma (5x + C_3 ), onde (C_3 ) é uma constante.

Nossa resposta parece ser

[ int (3x ^ 2 + 4x + 5) dx = x ^ 3 + C_1 + 2x ^ 2 + C_2 + 5x + C_3. ]

Não precisamos de três constantes separadas de integração; combiná-los como uma constante, dando a resposta final de

[ int (3x ^ 2 + 4x + 5) dx = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x + C. ]

É fácil verificar nossa resposta; tome a derivada de (x ^ 3 + 2x ^ 3 + 5x + C ) e veja que realmente obtemos (3x ^ 2 + 4x + 5 ).

Esta etapa final de "verificar nossa resposta" é importante prática e teoricamente. Em geral, tomar derivados é mais fácil do que encontrar antiderivadas, portanto, verificar nosso trabalho é fácil e vital à medida que aprendemos.

Também vemos que tirar a derivada de nossa resposta retorna a função no integrando. Assim, podemos dizer que:

[ frac {d} {dx} left ( int f (x) dx right) = f (x). ]

A diferenciação "desfaz" o trabalho feito pela antidiferenciação.

O Teorema 27 fornece uma lista das derivadas de funções comuns que aprendemos naquele ponto. Reafirmamos parte dessa lista aqui para enfatizar a relação entre derivados e antiderivadas. Esta lista também será útil como um glossário de antiderivadas comuns conforme aprendemos.

Teorema ( PageIndex {2} ): Derivados e Antiderivados

Regras Comuns de DiferenciaçãoRegras de integração indefinidas comuns
  1. ( frac {d} {dx} big (cf (x) big) = c cdot f '(x) )
  2. ( frac {d} {dx} big (f (x) pm g (x) big) = f '(x) pm g' (x) )
  3. ( frac {d} {dx} big (C big) = 0 )
  4. ( frac {d} {dx} big (x big) = 1 )
  5. ( frac {d} {dx} big (x ^ n big) = n cdot x ^ {n-1} )
  6. ( frac {d} {dx} big ( sin x big) = cos x )
  7. ( frac {d} {dx} big ( cos x big) = - sin x )
  8. ( frac {d} {dx} big ( tan x big) = sec ^ 2 x )
  9. ( frac {d} {dx} big ( csc x big) = - csc x cot x )
  10. ( frac {d} {dx} big ( sec x big) = sec x tan x )
  11. ( frac {d} {dx} big ( cot x big) = - csc ^ 2 x )
  12. ( frac {d} {dx} big (e ^ x big) = e ^ x )
  13. ( frac {d} {dx} big (a ^ x big) = ln a cdot a ^ x )
  14. ( frac {d} {dx} big ( ln x big) = frac1 x )
  1. ( int c cdot f (x) dx = c cdot int f (x) dx )
  2. ( int big (f (x) pm g (x) big) dx = int f (x) dx pm int g (x) dx )
  3. ( int 0 dx = C )
  4. ( int 1 dx = int dx = x + C )
  5. ( int x ^ n dx = frac {1} {n + 1} x ^ {n + 1} + C )
  6. ( int cos x dx = sin x + C )
  7. ( int sin x dx = - cos x + C )
  8. ( int sec ^ 2 x dx = tan x + C )
  9. ( int csc x cot x dx = - csc x + C )
  10. ( int sec x tan x dx = sec x + C )
  11. ( int csc ^ 2 x dx = - cot x + C )
  12. ( int e ^ x dx = e ^ x + C )
  13. ( int a ^ x dx = frac {1} { ln a} cdot a ^ x + C )
  14. ( int frac {1} x dx = ln | x | + C )

Destacamos alguns pontos importantes do Teorema ( PageIndex {2} ):

  • A regra # 1 declara ( int c cdot f (x) dx = c cdot int f (x) dx ). Esta é a Regra do Múltiplo Constante: podemos ignorar temporariamente as constantes ao encontrar antiderivadas, assim como fizemos ao calcular as derivadas (ou seja, ( frac {d} {dx} big (3x ^ 2 big) ) é tão fácil de calcular como ( frac {d} {dx} big (x ^ 2 big) )). Um exemplo:

[ int 5 cos x dx = 5 cdot int cos x dx = 5 cdot ( sin x + C) = 5 sin x + C. [
No último passo, podemos considerar a constante como sendo também multiplicada por 5, mas "5 vezes uma constante" ainda é uma constante, então escrevemos apenas " (C ),".

  • A regra # 2 é a regra de soma / diferença: podemos separar os integrais quando o integrando contém termos que são adicionados / subtraídos, como fizemos no Exemplo ( PageIndex {2} ). Então:

[ begin {align} int (3x ^ 2 + 4x + 5) dx & = int 3x ^ 2 dx + int 4x dx + int 5 dx & = 3 int x ^ 2 dx + 4 int x dx + int 5 dx & = 3 cdot frac13x ^ 3 + 4 cdot frac12x ^ 2 + 5x + C & = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x + C end {align} ]
Na prática, geralmente não escrevemos todas essas etapas, mas as demonstramos aqui para ver se estão completas.

  • A regra # 5 é a regra de poder da integração indefinida. Há duas coisas importantes a se ter em mente:
    1. Observe a restrição de que (n neq -1 ). Isso é importante: ( int frac {1} {x} dx neq ) " ( frac {1} {0} x ^ 0 + C )"; em vez disso, consulte a Regra # 14.
    2. Estamos apresentando a antidiferenciação como a "operação inversa" da diferenciação. Aqui está uma citação útil para lembrar: "Operações inversas fazem coisas opostas na ordem oposta."
      Ao tomar uma derivada usando a Regra de Potência, nós primeiro multiplicar pelo poder, então segundo subtrair 1 do poder. Para encontrar a antiderivada, faça as coisas opostas na ordem oposta: primeiro adicionar um ao poder, então segundo dividir pelo poder.
  • Observe que a regra # 14 incorpora o valor absoluto de (x ). Os exercícios ajudarão o leitor a entender por que esse é o caso; por enquanto, saber que o valor absoluto é importante e não pode ser ignorado.

Problemas de valor inicial

Na Seção 2.3, vimos que a derivada de uma função de posição fornece uma função de velocidade, e a derivada de uma função de velocidade descreve a aceleração. Agora podemos ir "para o outro lado": a antiderivada de uma função de aceleração fornece uma função de velocidade etc. Embora haja apenas uma derivada de uma determinada função, existem infinitas antiderivadas. Portanto, não podemos perguntar "O que é a velocidade de um objeto cuja aceleração é (- 32 ) ft / s (^ 2 )? ", pois há mais de uma resposta.

Podemos encontrar a responda se fornecermos mais informações com a pergunta, como feito no exemplo a seguir. Freqüentemente, as informações adicionais vêm na forma de um valor inicial, um valor da função que se conhece de antemão.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Resolvendo problemas de valor inicial

A aceleração devido à gravidade de um objeto em queda é (- 32 ) ft / s (^ 2 ). No momento (t = 3 ), um objeto em queda tinha uma velocidade de (- 10 ) pés / s. Encontre a equação da velocidade do objeto.

Solução

Queremos saber uma função de velocidade, (v (t) ). Sabemos duas coisas:

  1. A aceleração, ou seja, (v '(t) = -32 ), e
  2. a velocidade em um tempo específico, ou seja, (v (3) = -10 ).

Usando a primeira informação, sabemos que (v (t) ) é uma antiderivada de (v '(t) = - 32 ). Portanto, começamos encontrando a integral indefinida de (- 32 ):

[ int (-32) dt = -32t + C = v (t). ]

Agora usamos o fato de que (v (3) = - 10 ) para encontrar (C ):

[ begin {align} v (t) & = -32t + C v (3) & = -10 -32 (3) + C & = -10 C & = 86 end {align } ]

Assim, (v (t) = -32t + 86 ). Podemos usar esta equação para entender o movimento do objeto: quando (t = 0 ), o objeto tinha uma velocidade de $ v (0) = 86 $ ft / s. Como a velocidade é positiva, o objeto estava se movendo para cima.

Quando o objeto começou a se mover para baixo? Imediatamente após (v (t) = 0 ):

[- 32t + 86 = 0 quad Rightarrow quad t = frac {43} {16} approx 2.69 text {s}. ]

Reconheça que somos capazes de determinar bastante sobre o caminho do objeto sabendo apenas sua aceleração e sua velocidade em um único ponto no tempo.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Resolvendo problemas de valor inicial

Encontre (f (t) ), dado que (f '' (t) = cos t ), (f '(0) = 3 ) e (f (0) = 5 ).

Solução

Começamos por encontrar (f '(t) ), que é uma antiderivada de (f' '(t) ):

[ int f '' (t) dt = int cos t dt = sin t + C = f '(t). ]

Portanto, (f '(t) = sin t + C ) para o valor correto de (C ). Recebemos que (f '(0) = 3 ), então:

[f '(0) = 3 quad Rightarrow quad sin 0 + C = 3 quad Rightarrow quad C = 3. ]

Usando o valor inicial, encontramos (f '(t) = sin t + 3. )

Agora encontramos (f (t) ) integrando novamente.

[f (t) = int f '(t) dt = int ( sin t + 3) dt = - cos t + 3t + C. ]

Recebemos que (f (0) = 5 ), então

[ begin {align} - cos 0 + 3 (0) + C & = 5 -1 + C & = 5 C & = 6 end {align} ]

Assim, (f (t) = - cos t + 3t + 6 ).

Esta seção introduziu as antiderivadas e a integral indefinida. Descobrimos que eles são necessários ao encontrar uma função dada informação sobre sua (s) derivada (s). Por exemplo, encontramos uma função de posição dada uma função de velocidade.

Na próxima seção, veremos como a posição e a velocidade são inesperadamente relacionadas pelas áreas de certas regiões em um gráfico da função de velocidade. Em seguida, na Seção 5.4, veremos como as áreas e as antiderivadas estão intimamente ligadas.


Antiderivados e sua aplicação.

Na verdade, as antiderivadas são a reserva da derivada.

Se f (x) e F (x) são as funções de x tais que $ frac << rm>> <<< rm>>> $ (F ​​(x)) então a antiderivada de f (x) em relação ax é a função F (x) e é escrita como:

Ou $ mathop smallint nolimits < rm> left (< rm> right) $. dx = F (x)

Se c é uma quantidade constante e a derivada de uma quantidade constante é zero, então,

Portanto, $ mathop smallint nolimits < rm> left (< rm> right) $. dx = F (x) + c.

Visto que c é uma constante desconhecida e pode ser qualquer número real, há várias antiderivadas de uma função que são diferentes umas das outras por uma constante. Vejamos o seguinte exemplo:

Se y = x 2 for a função dada, então,

Ou $ frac << rm>> <<< rm>>> $ (x 2) = 2x, então $ mathop smallint nolimits 2 < rm>. $ dx = x 2

Se a for constante, $ frac << rm>> <<< rm>>> $ (x 2 + a) = 2x, então $ mathop smallint nolimits 2 < rm>. < rm> $ = x 2 + a e assim por diante.

Os exemplos acima mostram que há várias antiderivadas de 2x que são diferentes umas das outras por uma constante.

Se f (x) e F (x) são duas funções tais que $ frac << rm>> <<< rm>>> $ (F ​​(x)) = f (x) então $ frac << rm>> <<< rm>>> $ (F ​​(x) + c) = f (x) como a derivada de um termo constante é zero, então

Ou $ mathop smallint nolimits < rm> left (< rm> right) $. dx = F (x) + c

Onde, c é uma constante arbitrária. Como essa constante é a quantidade desconhecida, ela é conhecida como integral indefinida.

A integral de uma função independente de constante arbitrária é conhecida como integral definida.

= $ mathop smallint nolimits left (<2 < rm> + 3> direita) < esquerda (<6 < rm> + 8> right) ^ 5> $. Dx

= $ frac <1> <3> mathop smallint nolimits left (<6 < rm> + 9> direita) < esquerda (<6 < rm> + 8> right) ^ 5> $. Dx = $ frac <1> <3> mathop smallint nolimits left << left (<6 < rm> + 8> right) + 1> right > < left (<6 < rm> + 8> right) ^ 5> $. Dx


1. Função constante

O miniaplicativo mostra um gráfico à esquerda do integrando f ' (x) = 2, uma função constante. Abaixo está o gráfico da antiderivada: Pense no gráfico à esquerda (o integrando) como representando a inclinação do gráfico à direita (a antiderivada). Observe que, uma vez que o gráfico do lado esquerdo é constante, a inclinação do gráfico do lado direito também é constante, e obtemos uma reta com inclinação 2. Mova o C controle deslizante o que acontece com o gráfico? Se você trabalhar para trás, pensando que o gráfico da esquerda é a derivada do gráfico da direita, você verá por que mudar C não tem efeito no gráfico à esquerda.


Esta é, na verdade, uma boa pergunta e terrivelmente confusa, sem uma base adequada de análise.

A antiderivada de $ f (x) $ em um conjunto $ X $ é uma função $ F (x) $ tal que $ F '(x) = f (x) $ para todos $ x em X $. Observe que as antiderivadas certamente não são únicas, e é por isso que um C $ é adicionado (a derivada da constante é zero).

O primeiro teorema fundamental do cálculo diz que se $ f $ é integrável em $ [a, x] $ e uma antiderivada $ F (x) $ existe para todos $ x em [a, b] $, então $ int_a ^ xf = F (x) -F (a) $. Chamamos $ F (x) = F (a) + int_a ^ x f (y) , mathrmy $ an integral indefinida. Obviamente, $ F '(x) = f (x) $ pelo segundo teorema fundamental se $ f $ for contínuo em $ x $.

Onde as coisas ficam sutis é considerar $ F (x) $ em geral, quando $ f $ é integrável, mas não necessariamente contínuo. É uma função contínua e perfeitamente legítima. No entanto, não é necessariamente uma antiderivada de $ f $ se $ f $ não for contínua em $ x $.

Por exemplo, considere $ f (x) = begin1, & amp quad x in [0,1] 2, & amp quad x in (1,2] end$

Não há função antiderivada $ F (x) $ em $ [0,2] $. Pode-se suspeitar que $ F (x) = beginx, & amp quad x in [0,1] 2x, & amp quad x in (1,2] end $ funciona. No entanto, enquanto cada pedaço de $ F (x) $ serve como uma antiderivada em $ [0,1] $ e $ (1,2] $ respectivamente, esta função por partes não é uma antiderivada em $ [0,2] $, mesmo que $ F (x) = F (0) + int_0 ^ xf (y) , mathrmy $ é contínuo. Outra maneira de ver isso é como $ int_0 ^ 2 f = 1 + 2 = 3 $, que não é igual a $ F (2) -F (0) = 4-0 = 4 $, estaríamos contradizendo o fundamental teorema para reivindicar $ F $ é uma antiderivada.

Agora, considere quando $ f $ é contínuo. Então é sempre verdade que $ F (x) = C + int_a ^ x f (y) , mathrmy $ desempenha o papel de uma antiderivada. A razão pela qual essa notação é comum é porque ela é válida mesmo se a antiderivada não tiver uma forma elementar. Por exemplo, considere $ f (x) = e ^$, que é contínuo em qualquer $ [a, b] $. Então é verdade que $ F (x) = int_a ^ x e ^, mathrmy $ satisfaz $ F '(x) = f (x) $, mas a notação é mais instrutiva, pois não existe uma forma elementar.

Espero que isso ajude. O acima também ressalta o fato de que todas as funções diferenciáveis ​​são contínuas e que uma função pode ser diferenciável sem que a derivada seja contínua.


3 respostas 3

$ F $ é não a antiderivada de $ f $ em todo o intervalo $ [0,2] $, porque sua derivada não existe em $ 1 $. Portanto, a hipótese do teorema fundamental $ 2 $ nd do cálculo integral não é satisfeita.

Usar a antiderivada para calcular uma integral é o (segundo) Teorema Fundamental do Cálculo. O referido teorema requer que a função $ f $ que você deseja integrar seja contínua em todo o intervalo (onde você deseja integrar). Seu $ f $ não é contínuo em $ [0,2] $ e, portanto, o teorema não funciona. Na verdade, $ f $ não pode ter uma antiderivada no ponto $ x = 1 $ porque $ f $ tem uma descontinuidade simples no ponto $ x = 1 $.

Podemos encontrar uma função $ G $ tal que $ G '= f $ em [0,1] (considerando as derivadas da mão esquerda em $ x = 1 $) e $ G' = f $ em [1,2] considerando a mão direita derivados em $ x = 1 $, e de modo que $ G $ calcula a área abaixo de $ f $ no intervalo $ [0, x] $

Ao considerar o segundo semestre $ [1,2] $, você não deve esquecer a área abaixo de $ f $ em $ [0,1] $. Com isso em mente, coloque:

$ G (x) = beginx quad quad text x in [0,1] 1 + 2 (x-1) texto x in [1,2] end$

De onde $ x-1 $ vem considerando o retângulo cuja base é o segmento $ [1, x] $ para $ x & gt1 $

Então $ G (2) -G (0) = 1 + 2 (2-1) -0 = 3 = int_ <0> ^ <2> f (x) dx $, conforme desejado.

Seu $ F $ não é realmente uma antiderivada, porque não temos $ F '(x) = f (x) $ em todos os lugares - de fato $ F' (1) $ não existe!

Pior ainda, $ F $ não é nem mesmo um integral indefinida, porque tem um salto de descontinuidade em $ 1 $.

Se você adicionar uma constante apropriada a um dos dois casos na definição de $ F $, você pode se livrar da descontinuidade do salto, e então será uma integral indefinida (mas ainda não uma antiderivada) - se definirmos "integral indefinida" significa uma função que nos permite calcular integrais definidas pela regra $ int_a ^ bf (x) , dx = F (b) -F (a) $. (Por outro lado, parece ser mais comum definir "integral indefinida" simplesmente como um sinônimo de "antiderivada", e então livrar-se do salto não produz um, é claro).

Na verdade $ f $ não pode tem qualquer antiderivada porque os derivados sempre satisfazem a propriedade de valor intermediário (pelo teorema de Darboux), mas $ f $ não faça isso.


Exemplo

Os pontos-e-vírgulas são para separar uma instrução da próxima e se tornam necessários agora que estamos fazendo programação real. A linha 1 deste programa define a variável n, que assumirá todos os valores de 1 a 100. A linha 2 diz que ainda não adicionamos nada, então nossa soma corrente é zero até agora. A linha 3 diz para continuar repetindo as instruções dentro dos colchetes até que n passe de 100. A linha 4 atualiza a soma parcial e a linha 5 atualiza o valor de n. Se você nunca fez nenhuma programação antes, uma afirmação como pode parecer um absurdo - como um número pode ser igual a si mesmo mais um? Mas é por isso que usamos o símbolo: = que diz que estamos redefinindo, não declarando uma equação. Se era anteriormente 37, então, depois que esta instrução for executada, n será redefinido como 38. Para executar o programa em um computador Linux, faça isso (supondo que você salvou o programa em um arquivo chamado):

Aqui, o símbolo% é o prompt do computador. O resultado é 5.050, como esperado. Uma maneira de declarar este resultado é
A letra grega maiúscula, sigma, é usada porque faz o som "s", e esse é o primeiro som na palavra "soma". O abaixo do sigma diz que a soma começa em 1, e o 100 no topo diz que termina em 100. Isso é o que é conhecido como uma variável fictícia: não tem significado fora do contexto da soma. A Figura 4.1 mostra a interpretação gráfica da soma: estamos somando as áreas de uma série de tiras retangulares. (Para maior clareza, a figura mostra apenas a soma subindo para 7, em vez de 100.)

Agora, que tal uma integral? A Figura 4.2 mostra a interpretação gráfica do que estamos tentando fazer: encontrar a área do triângulo sombreado. Este é um exemplo que sabemos fazer simbolicamente, então podemos fazê-lo numericamente também, e comparar as respostas umas com as outras. Simbolicamente, a área é dada pela integral. Para integrar a função, sabemos que precisamos de alguma função com um, pois queremos algo cuja derivada seja, e a diferenciação reduz a potência em um. A derivada de seria em vez de, então o que queremos é. Vamos calcular a área do triângulo que se estende ao longo do eixo de 0 a 100:.

A Figura 4.3 mostra como realizar a mesma coisa numericamente. Nós dividimos a área em um monte de retângulos muito finos. Idealmente, gostaríamos de fazer com que a largura de cada retângulo fosse um número infinitesimal, de modo que estaríamos somando um número infinito de áreas infinitesimais. Na realidade, um computador não pode fazer isso, então dividimos o intervalo de a em retângulos, cada um com largura finita. Em vez de tornar H infinito, o tornamos o maior número possível, sem fazer com que o computador demore muito para somar as áreas dos retângulos.


Encontre os seguintes integrais:

Simplifique raízes quadradas em expoentes fracionários e aplique regras de adição para integrais.

Mover constantes fora das integrais

Integre usando regra de energia para integração e não se esqueça do CONSTANTE

Para poderes mais complexos, você pode usar uma substituição antes de aplicar a regra de poder.

[ int (x ^ 2 -x) left (x ^ 3 - frac <3> <2> x ^ 2) ^ 8 right) dx ]

Substitua os valores dentro do colchete e encontre a derivada da substituição


4.0: Antidervativos e integração indefinida (revisitado)

    U2C [aL2E7bqfE-bo! HY /: ZD- "f ^ 9G4.0: Antidervatives and Indefinite Integration (Revisited), [nobr] [H1toH2]

    Cálculo revisitado # 11: Integração por substituição

    Bem-vindo à Parte 11 de nossa jornada Calculus Revisited em 21 partes! Hoje estamos continuando com integrais - e iniciando a primeira das quatro entradas do blog sobre técnicas de integração. Vou tentar o meu melhor para explicar cada um, mas acho que a melhor maneira de demonstrar essas técnicas é com o exemplo.

    Integração por Substituição

    Temos o integral & # 8747 f (x) dx.

    Encontre uma função u (x) tal que

    & # 8747 f (u) * du é mais fácil de integrar do que & # 8747 f (x) dx.

    Para o integral definido

    e a integral é reescrita como

    Vamos aos problemas resolvidos para demonstrar esta técnica.

    Problemas
    Integrais indefinidos

    Seja u (x) = 4 + 5x
    Então du = 5 dx

    Observe que & # 8730u = & # 8730 (4 + 5x)
    e dx = du / 5

    & # 8747 & # 8730 (4 + 5x) dx
    = & # 8747 & # 8730u * 1/5 du
    = 1/5 * & # 8747 & # 8730u du
    = 1/5 * (u ^ (3/2)) / (3/2) + C
    = 1/5 * 2/3 * u ^ (3/2) + C
    = 2/15 * u ^ (3/2) + C
    Quando for feita substituição, não se esqueça de colocar a resposta na variável original, neste caso, x. u = 4 + 5x
    = 2/15 * (4 + 5x) ^ (3/2) + C

    Seja u = 1 + 2 cos x
    Então du = - 2 sin x dx

    Nota - du / 2 = sin x dx (que corresponde ao numerador)

    Reescrevendo o integral:
    & # 8747 sin x / & # 8730 (1 + 2 cos x) dx
    = & # 8747 1 / & # 8730u * -1/2 du
    = -1/2 * & # 8747 u ^ (- 1/2) du
    = -1/2 * u ^ (1/2) * 2 + C
    = -u ^ (1/2) + C
    = - & # 8730u + C
    Lembrar. a resposta deve conter a variável original!
    = - & # 8730 (1 + 2 cos x) + C

    As substituições certas tornam a integração muito mais fácil. Os próximos dois problemas ilustram isso.

    Seja u = sin x
    Então du = cos dx (observe o cos x na integral)

    & # 8747 sin ^ 4 x * cos x dx
    = & # 8747 u ^ 4 du
    = u ^ 5/5 + C
    = sin ^ 5 x / 5 + C

    Seja u = e ^ x
    Então du = e ^ x dx (corresponde ao numerador)

    & # 8747 e ^ x / (e ^ (2x) + 1) dx
    = & # 8747 du / (u ^ 2 + 1)
    = atan u + C
    = atan (e ^ (2x)) + C

    Se você usar a técnica de substituição com integrais indefinidos, NÃO se esqueça de levar em consideração os limites! Para integrais definidos, você recalculará os limites para contabilizar a substituição. Os próximos dois problemas ilustram esse ponto.

    Nota du / 2 = dx (tente fazer com que o termo com o dx corresponda a alguma parte da integral)

    Contabilizando os limites:
    Novo Limite Superior = 2 * 1 = 2
    Novo Limite Inferior = 2 * -1 = -2

    = 1/2 * (sin (2) + sin (2)) = sin (2) & # 8776 0,90930

    Encontrar a substituição certa pode ser complicado às vezes. A manipulação algébrica pode ser necessária. Aqui está um problema mais difícil.

    Seja u = & # 8730t - 1
    Então du = 1 / (2 & # 8730t) dt

    Para ajudar a combinar a integral, (2 & # 8730t) du = dt

    Observe que 2 & # 8730t = 2 (u + 1) = 2u + 2 (observe a substituição e resolva para & # 8730t).

    Não podemos esquecer os limites, já que estamos trabalhando com uma integral definida.
    u = & # 8730t - 1

    Novo limite superior: & # 87309 - 1 = 4 - 1 = 3
    Novo limite inferior: & # 87304 - 1 = 2 - 1 = 2

    A antiderivada é u ^ 2 + 4u + 2 ln u

    = ((2) ^ 2 + 4 (2) + 2 ln (2)) - ((1) ^ 2 + 4 (1) + 2 ln (1))

    = (4 + 8 + 2 ln 2) - (1 + 4 + 2 * 0)

    A melhor coisa a fazer se você está em um curso de cálculo é praticar, praticar, praticar!

    Espero que esses seis exemplos de problemas lhe dêem uma compreensão da técnica de substituição. O domínio desta técnica virá com o tempo e a prática - e irá acelerar a avaliação integral.

    Da próxima vez, veremos a famosa (ou talvez infame) técnica de Integração por Partes.


    Cálculo

    1) Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta por diferenciação. Use C para a constante da antiderivada. Lembre-se de usar ln | u | quando apropriado.) F (x) = (1/5) - (3 / x) -----> ( x / 5) -3lnx + C

    Trigonometria

    1) qual é a mudança de fase de f (x) = -2sin (3x-pi) +1 2) Qual é o período de f (x) = -2sin (3x-pi) +1

    Preciso de ajuda para cálculo, por favor, senhor Steve

    se y = 3e ^ (2x) cos (2x-3) verifique se d ^ 2y / dx ^ 2-4dy / dx + 8y = 0 plz ajude-me, tentei de tudo, mas ficou muito complicado para mim aqui, defina u = 3e ^ (2x) v = cos (2x-3) du / dx = 6e ^ (2x) i usei a regra da cadeia dv / dx = -2sin (2x-3)

    Cálculo

    Encontre o comprimento da curva correto com quatro casas decimais. (Use uma calculadora para aproximar a integral). r (t) = (cos π t, 2t, sen 2πt), de (1, 0, 0) a (1, 4, 0) Foi o que eu fiz. r '(t) = - πsin (πt), 2,2πcos (2πt)

    (1 ponto) Encontre a antiderivada particular que satisfaça as seguintes condições: p '(x) = -20 / x ^ 2 p (6) = 4

    Pré-cálculo

    Resolva a equação no intervalo [0,2pi). 2sin ^ 2x-3sinx + 1 = 0 (2sinx + 1) (sinx + 1) Não acho que fiz a fatoração corretamente. Quando eu multiplico para verificar novamente, obtenho 2sin ^ 2x + 3sinx + 1

    Encontre a antiderivada particular que satisfaça as seguintes condições dy / dx = 7x ^ [- 2] + 8x ^ [- 1] −6y (1) = 2.

    Cálculo

    Suponha que f (x) seja uma função contínua. Então, uma função F (x) tal que F '(x) = f (x) é chamada: A.) a integral indefinida de f B.) a antiderivada de f C.) uma antiderivada de f D.) uma integral definida de f E.) Todos os

    Cálculo

    Encontre a antiderivada de e ^ (2lnx) + e ^ (2x)

    Cálculo

    Q: Encontre a antiderivada F de f (x) = 4−3 (1 + x ^ 2) ^ - 1 que satisfaz F (1) = - 9. Eu tenho 4x-3arctan (x), mas ainda parece estar incorreto, e o hw não se importa com constantes (como + C no final). Estou esquecendo de algo?