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9.2E: Exercícios para séries infinitas


Nos exercícios 1 - 4, use a notação sigma para escrever cada expressão como uma série infinita.

1) (1+ frac {1} {2} + frac {1} {3} + frac {1} {4} + ⋯ )

Responder:
( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n} )

2) ( 1−1+1−1+⋯)

3) (1− frac {1} {2} + frac {1} {3} - frac {1} {4} + ... )

Responder:
( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {(- 1) ^ {n − 1}} {n} )

4) ( sin 1+ sin frac {1} {2} + sin frac {1} {3} + sin frac {1} {4} + ⋯ )

Nos exercícios 5 - 8, calcule as primeiras quatro somas parciais (S_1,…, S_4 ) para a série com (n ^ { text {th}} ) termo (a_n ) começando com (n = 1 ) da seguinte forma.

5) (a_n = n )

Responder:
( 1,3,6,10)

6) (a_n = 1 / n )

7) (a_n = sin frac {nπ} {2} )

Responder:
( 1,1,0,0)

8) (a_n = (- 1) ^ n )

Nos exercícios 9 - 12, calcule o termo geral (a_n ) da série com a soma parcial fornecida (S_n ). Se a seqüência de somas parciais converge, encontre seu limite (S ).

9) (S_n = 1− frac {1} {n}, quad n≥2 )

Responder:
(a_n = S_n − S_ {n − 1} = dfrac {1} {n − 1} - dfrac {1} {n}. ) Desde ( displaystyle S = lim_ {n to infty } S_n = lim_ {n to infty} left (1− frac {1} {n} right) = 1, ) a série converge para (S = 1. )

10) (S_n = dfrac {n (n + 1)} {2}, quad n≥1 )

11) (S_n = sqrt {n}, quad n≥2 )

Responder:
(a_n = S_n − S_ {n − 1} = sqrt {n} - sqrt {n − 1} = dfrac {1} { sqrt {n − 1} + sqrt {n}}. )
A série diverge porque as somas parciais são ilimitadas.
Ou seja, ( displaystyle lim_ {n to infty} S_n = lim_ {n to infty} sqrt {n} = infty. )

12) (S_n = 2− dfrac {n + 2} {2 ^ n}, quad n≥1 )

Para cada série nos exercícios 13 - 16, use a sequência de somas parciais para determinar se a série converge ou diverge.

13) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {n} {n + 2} )

Responder:
(S_1 = 1/3, )
(S_2 = 1/3 + 2/4> 1/3 + 1/3 = 2/3, )
(S_3 = 1/3 + 2/4 + 3/5> 3⋅ (1/3) = 1. )
Em geral (S_k> k / 3, ) então a série diverge.
Observe que o (n ^ { text {th}} ) Teste de termo para divergência também pode ser usado para provar que esta série diverge.

14) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ (1 - (- 1) ^ n)) )

15) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {(n + 1) (n + 2)} ) (Dica: Use uma decomposição de fração parcial como aquela para ( displaystyle soma_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n (n + 1)}.) )

Responder:

(S_1 = 1 / (2 cdot 3) = 1/6 = 2 / 3−1 / 2, )

(S_2 = 1 / (2 cdot 3) + 1 / (3 cdot 4) = 2/12 + 1/12 = 1/4 = 3 / 4−1 / 2, )

(S_3 = 1 / (2 cdot 3) + 1 / (3 cdot 4) + 1 / (4 cdot 5) = 10/60 + 5/60 + 3/60 = 3/10 = 4/5 -1/2, )

(S_4 = 1 / (2 cdot 3) + 1 / (3 cdot 4) + 1 / (4 cdot 5) + 1 / (5 cdot 6) = 10/60 + 5/60 + 3 / 60 + 2/60 = 1/3 = 5 / 6−1 / 2. )

O padrão é (S_k = dfrac {k + 1} {k + 2} - dfrac {1} {2}. )
Então ( displaystyle lim_ {n to infty} S_n = lim_ {n to infty} left ( dfrac {k + 1} {k + 2} - dfrac {1} {2} direita) = dfrac {1} {2}, ) então a série converge para (1/2. )

16) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {2n + 1} ) (Dica: Siga o raciocínio para ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac { 1} {n}.) )

Suponha que ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n = 1 ), que ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞b_n = −1 ), que (a_1 = 2 ) , e (b_1 = −3 ). Use esta informação para encontrar a soma das séries indicadas nos exercícios 17-20.

17) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ (a_n + b_n) )

Responder:
( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ (a_n + b_n) quad = quad sum_ {n = 1} ^ ∞ a_n + sum_ {n = 1} ^ ∞ b_n quad = quad 1 + (-1) quad = quad 0 )

18) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ (a_n − 2b_n) )

19) ( displaystyle sum_ {n = 2} ^ ∞ (a_n − b_n) )

Responder:
( displaystyle sum_ {n = 2} ^ ∞ (a_n − b_n) quad = quad sum_ {n = 2} ^ ∞ a_n - sum_ {n = 2} ^ ∞ b_n quad = quad esquerda ( sum_ {n = 1} ^ ∞ a_n - a_1 direita) - esquerda ( sum_ {n = 1} ^ ∞ b_n -b_1 direita) quad = quad (1 - 2) - (-1 - (-3)) = -1 - 2 quad = quad -3 )

20) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ (3a_ {n + 1} −4b_ {n + 1}) )

Nos exercícios 21 - 26, diga se a série dada converge ou diverge e explique por quê.

21) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n + 1000} ) (Dica: Reescreva usando uma mudança de índice.)

Responder:
A série diverge, ( displaystyle sum_ {n = 1001} ^ ∞ frac {1} {n} )

22) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n + 10 ^ {80}} ) (Dica: Reescreva usando uma mudança de índice.)

23) (1+ frac {1} {10} + frac {1} {100} + frac {1} {1000} + ⋯ )

Responder:
Esta é uma série geométrica convergente, uma vez que (r = frac {1} {10} <1 )

24) (1+ frac {e} {π} + frac {e ^ 2} {π ^ 2} + frac {e ^ 3} {π ^ 3} + ⋯ )

25) (1+ frac {π} {e ^ 2} + frac {π ^ 2} {e ^ 4} + frac {π ^ 3} {e ^ 6} + frac {π ^ 4} {e ^ 8} + ⋯ )

Responder:
Esta é uma série geométrica convergente, uma vez que (r = π / e ^ 2 <1 )

26) (1− sqrt { frac {π} {3}} + sqrt { frac {π ^ 2} {9}} - sqrt { frac {π ^ 3} {27}} + ⋯ )

Para cada (a_n ) nos exercícios 27 - 30, escreva sua soma como uma série geométrica da forma ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ar ^ n ). Indique se a série converge e, em caso afirmativo, encontre o valor exato de sua soma.

27) (a_1 = −1 ) e ( dfrac {a_n} {a_ {n + 1}} = - 5 ) para (n≥1. )

Responder:
( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞5⋅ (−1/5) ^ n ), converge para (−5/6 )

28) (a_1 = 2 ) e ( dfrac {a_n} {a_ {n + 1}} = 1/2 ) para (n≥1. )

29) (a_1 = 10 ) e ( dfrac {a_n} {a_ {n + 1}} = 10 ) para (n≥1 ).

Responder:
( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞100⋅ (1/10) ^ n, ) converge para ( frac {100} {9} )

30) (a_1 = frac {1} {10} ) e (a_n / a_ {n + 1} = - 10 ) para (n≥1 ).

Nos exercícios 31 - 34, use a identidade ( displaystyle frac {1} {1 − y} = sum_ {n = 0} ^ ∞y ^ n ) (que é verdadeiro para (| y | <1 )) para expressar cada função como uma série geométrica no termo indicado.

31) ( dfrac {x} {1 + x} ) em (x )

Responder:
( displaystyle x sum_ {n = 0} ^ ∞ (−x) ^ n = sum_ {n = 1} ^ ∞ (−1) ^ {n − 1} x ^ n )

32) ( dfrac { sqrt {x}} {1 − x ^ {3/2}} ) em ( sqrt {x} )

33) ( dfrac {1} {1+ sin ^ 2x} ) em ( sin x )

Responder:
( displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ n sin ^ {2n} (x) )

34) ( sec ^ 2 x ) em ( sin x )

Nos exercícios 35 - 38, avalie a série telescópica ou declare se a série diverge.

35) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞2 ^ {1 / n} −2 ^ {1 / (n + 1)} )

Responder:
(S_k = 2−2 ^ {1 / (k + 1)} → 1 ) como (k → ∞. )

36) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ {13}} - frac {1} {(n + 1) ^ {13}} )

37) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ ( sqrt {n} - sqrt {n + 1}) )

Responder:
(S_k = 1− sqrt {k + 1} ) diverge

38) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ ( sin n− sin (n + 1)) )

Expresse cada série nos exercícios 39-42 como uma soma telescópica e avalie sua (n ^ { text {th}} ) soma parcial.

39) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ ln left ( frac {n} {n + 1} right) )

Responder:
( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ [ ln n− ln (n + 1)], )
(S_k = - ln (k + 1) )

40) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {2n + 1} {(n ^ 2 + n) ^ 2} ) (Dica: Fatore o denominador e use frações parciais.)

41) ( displaystyle sum_ {n = 2} ^ ∞ frac { ln left (1+ frac {1} {n} right)} {( ln n) ln (n + 1) } )

Responder:
(a_n = frac {1} { ln n} - frac {1} { ln (n + 1)} ) e (S_k = frac {1} { ln (2)} - frac {1} { ln (k + 1)} → frac {1} { ln (2)} )

42) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {(n + 2)} {n (n + 1) 2 ^ {n + 1}} ) (Dica: Olhe para (1 / (n2 ^ n) ).

Uma série telescópica geral é aquela em que todos os termos, exceto os primeiros, se cancelam após somar um determinado número de termos sucessivos.

43) Seja (a_n = f (n) −2f (n + 1) + f (n + 2), ) em que (f (n) → 0 ) como (n → ∞. ) Encontre ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ).

Responder:
( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n = f (1) −f (2) )

44) (a_n = f (n) −f (n + 1) −f (n + 2) + f (n + 3), ) em que (f (n) → 0 ) como (n → ∞ ). Encontre ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ).

45) Suponha que (a_n = c_0f (n) + c_1f (n + 1) + c_2f (n + 2) + c_3f (n + 3) + c_4f (n + 4), ) onde (f (n) → 0 ) como (n → ∞ ). Encontre uma condição nos coeficientes (c_0,…, c_4 ) que tornam esta uma série telescópica geral.

Responder:
(c_0 + c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 0 )

46) Avalie ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n (n + 1) (n + 2)} ) (Dica: ( displaystyle frac {1} {n (n + 1) (n + 2)} = frac {1} {2n} - frac {1} {n + 1} + frac {1} {2 (n + 2)} ))

47) Avalie ( displaystyle sum_ {n = 2} ^ ∞ frac {2} {n ^ 3 − n}. )

Responder:
( displaystyle frac {2} {n ^ 3−1} = frac {1} {n − 1} - frac {2} {n} + frac {1} {n + 1}, )
(S_n = (1−1 + 1/3) + (1 / 2−2 / 3 + 1/4) + (1 / 3−2 / 4 + 1/5) + (1 / 4−2 / 5 +1/6) + ⋯ = 1/2 )

48) Encontre uma fórmula para ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ left ( frac {1} {n (n + N)} right) ) onde (N ) é um número inteiro positivo .

49) [T] Defina uma sequência ( displaystyle t_k = sum_ {n = 1} ^ {k − 1} (1 / k) - ln k ). Use o gráfico de (1 / x ) para verificar se (t_k ) está aumentando. Plote (t_k ) para (k = 1… 100 ) e indique se parece que a sequência converge.

Responder:

(t_k ) converge para (0,57721… t_k ) é a soma dos retângulos de altura (1 / k ) ao longo do intervalo ([k, k + 1] ) que se encontram acima do gráfico de ( 1 / x ).

50) [T] Suponha que (N ) blocos retangulares uniformes iguais sejam empilhados um em cima do outro, permitindo alguma saliência. A lei da alavanca de Arquimedes implica que a pilha de (N ) blocos é estável, desde que o centro de massa dos ((N − 1) ) blocos superiores esteja na borda do bloco inferior. Seja (x ) a posição da aresta do bloco inferior e pense em sua posição como em relação ao centro do bloco seguinte. Isso implica que ((N − 1) x = left ( frac {1} {2} −x right) ) ou (x = 1 / (2N) ). Use esta expressão para calcular a saliência máxima (a posição da borda do bloco superior sobre a borda do bloco inferior). Veja a figura a seguir.

Cada uma das seguintes séries infinitas converge para o dado múltiplo de (π ) ou (1 / π ).

Em cada caso, encontre o valor mínimo de (N ) de modo que a soma parcial (N ) da série se aproxime com precisão do lado esquerdo do número dado de casas decimais e forneça o valor aproximado desejado. Até (15 ) casas decimais, (π = 3,141592653589793 .... )

51) [T] ( displaystyle π = −3 + sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {n2 ^ nn! ^ 2} {(2n)!}, ) Erro (<0,0001 )

Responder:
(N = 22, )
(S_N = 6,1415 )

52) [T] ( displaystyle frac {π} {2} = sum_ {k = 0} ^ ∞ frac {k!} {(2k + 1) !!} = sum_ {k = 0} ^ ∞ frac {2 ^ kk! ^ 2} {(2k + 1)!}, ) Erro (<10 ^ {- 4} )

53) [T] ( displaystyle frac {9801} {2π} = frac {4} {9801} sum_ {k = 0} ^ ∞ frac {(4k)! (1103 + 26390k)} {( k!) ^ 4396 ^ {4k}}, ) erro (<10 ^ {- 12} )

Responder:
(N = 3, )
(S_N = 1.559877597243667 ... )

54) [T] ( displaystyle frac {1} {12π} = sum_ {k = 0} ^ ∞ frac {(- 1) ^ k (6k)! (13591409 + 545140134k)} {(3k) ! (k!) ^ 3640320 ^ {3k + 3/2}} ), erro (<10 ^ {- 15} )

55) [T] Uma moeda justa é aquela que tem probabilidade (1/2 ) de dar cara quando jogada.

uma. Qual é a probabilidade de que uma moeda justa saia coroa (n ) vezes seguidas?

b. Encontre a probabilidade de que uma moeda dê cara pela primeira vez após um número par de lançamentos de moeda.

Responder:
uma. A probabilidade de qualquer sequência ordenada de resultados para (n ) lançamentos de moeda é (1/2 ^ n ).
b. A probabilidade de dar cara pela primeira vez no (n ) o lance é a probabilidade da sequência (TT ... TH ) que é (1/2 ^ n ). A probabilidade de dar cara pela primeira vez em uma jogada par é ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞1 / 2 ^ {2n} ) ou (1/3 ).

56) [T] Encontre a probabilidade de que uma moeda justa seja lançada um múltiplo de três vezes antes de dar cara.

57) [T] Encontre a probabilidade de que uma moeda justa dê cara pela segunda vez após um número par de lançamentos.

Responder:
(5/9)

58) [T] Encontre uma série que expressa a probabilidade de que uma moeda justa dê cara pela segunda vez em um múltiplo de três lançamentos.

59) [T] O número esperado de vezes que uma moeda justa dará cara é definido como a soma de (n = 1,2, ... ) de (n ) vezes a probabilidade de que a moeda dê cara cabe exatamente (n ) vezes seguidas, ou ( dfrac {n} {2 ^ {n + 1}} ). Calcule o número esperado de vezes consecutivas que uma moeda justa dará cara.

Responder:
( displaystyle E = sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {n} {2 ^ {n + 1}} = 1, ) como pode ser mostrado usando a soma por partes

60) [T] Uma pessoa deposita ($ 10 ) no início de cada trimestre em uma conta bancária que rende (4% ) juros anuais compostos trimestralmente (quatro vezes por ano).

uma. Mostre que os juros acumulados após (n ) trimestres é ($ 10 ( frac {1.01 ^ {n + 1} −1} {0,01} −n). )

b. Encontre os primeiros oito termos da sequência.

c. Quantos juros foram acumulados após (2 ) anos?

61) [T] Suponha que a quantidade de uma droga no sistema de um paciente diminua por um fator multiplicativo (r <1 ) a cada hora. Suponha que uma nova dose seja administrada a cada (N ) horas. Encontre uma expressão que forneça a quantidade (A (n) ) no sistema do paciente após (n ) horas para cada (n ) em termos de dosagem (d ) e a proporção (r ) (Dica: Escreva (n = mN + k ), onde (0≤k

Responder:
A parte da primeira dose após (n ) horas é (dr ^ n ), a parte da segunda dose é (dr ^ {n − N} ) e, em geral, a parte restante de a dose (m ^ { text {th}} ) é (dr ^ {n − mN} ), então ( displaystyle A (n) = sum_ {l = 0} ^ mdr ^ {n −lN} = sum_ {l = 0} ^ mdr ^ {k + (m − l) N} = sum_ {q = 0} ^ mdr ^ {k + qN} = dr ^ k sum_ {q = 0} ^ mr ^ {Nq} = dr ^ k frac {1 − r ^ {(m + 1) N}} {1 − r ^ N}, ; text {onde} , n = k + mN. )

62) [T] Um determinado medicamento é eficaz para um paciente médio apenas se houver pelo menos (1 ) mg por kg no sistema do paciente, embora seja seguro apenas se houver no máximo (2 ) mg por kg no sistema de um paciente médio. Suponha que a quantidade no sistema de um paciente diminua por um fator multiplicativo de (0,9 ) a cada hora após a administração de uma dose. Encontre o intervalo máximo (N ) de horas entre as doses e o intervalo de dose correspondente (d ) (em mg / kg) para este (N ) que permitirá que o uso do medicamento seja seguro e eficaz em a longo prazo.

63) Suponha que (a_n≥0 ) seja uma sequência de números. Explique por que a sequência de somas parciais de (a_n ) está aumentando.

Responder:
(S_ {N + 1} = a_ {N + 1} + S_N≥S_N )

64) [T] Suponha que (a_n ) seja uma seqüência de números positivos e que a seqüência (S_n ) de somas parciais de (a_n ) seja limitada acima. Explique por que ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) converge. A conclusão permanece verdadeira se removermos a hipótese (a_n≥0 )?

65) [T] Suponha que (a_1 = S_1 = 1 ) e que, para números dados (S> 1 ) e (0

Responder:
Desde (S> 1, a_2> 0, ) e desde (k <1, S_2 = 1 + a_2 <1+ (S − 1) = S ). Se (S_n> S ) para algum (n ), então há um menor (n ). Para isso (n, S> S_ {n − 1} ), então (S_n = S_ {n − 1} + k (S − S_ {n − 1}) = kS + (1 − k) S_ {n -1} 0 ) para todos (n ), então (S_n ) é crescente e limitado por (S ). Seja ( displaystyle S _ ∗ = lim S_n ). Se (S _ ∗ 0 ), mas podemos encontrar n tal que (S _ ∗ - S_n <δ / 2 ), o que implica que (S_ {n + 1} = S_n + k (S − S_n)> S _ ∗ + δ / 2 ), contradizendo que Sn está aumentando para (S _ ∗ ). Assim, (S_n → S. )

66) [T] Uma versão de crescimento de von Bertalanffy pode ser usado para estimar a idade de um indivíduo em uma espécie homogênea de seu comprimento se o aumento anual no ano (n + 1 ) satisfaz (a_ {n + 1} = k (S − S_n) ), com (S_n ) como o comprimento no ano (n, S ) como um comprimento limite e (k ) como uma constante de crescimento relativo. Se (S_1 = 3, S = 9, ) e (k = 1/2, ) estime numericamente o menor valor de n tal que (S_n≥8 ). Observe que (S_ {n + 1} = S_n + a_ {n + 1}. ) Encontre o (n ) correspondente quando (k = 1/4. )

67) [T] Suponha que ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) é uma série convergente de termos positivos. Explique por que ( displaystyle lim_ {N → ∞} sum_ {n = N + 1} ^ ∞a_n = 0. )

Responder:
Seja ( displaystyle S_k = sum_ {n = 1} ^ ka_n ) e (S_k → L ). Então (S_k ) eventualmente se torna arbitrariamente próximo de (L ), o que significa que ( displaystyle L − S_N = sum_ {n = N + 1} ^ ∞a_n ) torna-se arbitrariamente pequeno quando (N → ∞. )

68) [T] Encontre o comprimento do caminho em zigue-zague tracejado na figura a seguir.

69) [T] Encontre o comprimento total do caminho tracejado na figura a seguir.

Responder:
( displaystyle L = left (1+ frac {1} {2} right) sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {2 ^ n} = frac {3} {2} ).

70) [T] O Triângulo de Sierpinski é obtido a partir de um triângulo, excluindo o quarto do meio, conforme indicado na primeira etapa, excluindo os quartos do meio dos três triângulos congruentes restantes na segunda etapa e, em geral, excluindo os quartos do meio dos triângulos restantes em cada etapa sucessiva. Assumindo que o triângulo original é mostrado na figura, encontre as áreas das partes restantes do triângulo original após (N ) etapas e encontre o comprimento total de todos os triângulos de fronteira após (N ) etapas.

71) [T] A junta de Sierpinski é obtida dividindo o quadrado da unidade em nove sub-quadrados iguais, removendo o quadrado do meio e fazendo o mesmo em cada estágio para os sub-quadrados restantes. A figura mostra o conjunto restante após quatro iterações. Calcule a área total removida após (N ) estágios e calcule o comprimento do perímetro total do conjunto restante após (N ) estágios.

Responder:
No estágio um, um quadrado de área (1/9 ) é removido, no estágio (2 ) um remove (8 ) quadrados de área (1/9 ^ 2 ), no estágio três um remove (8 ^ 2 ) quadrados de área (1/9 ^ 3 ) e assim por diante. A área total removida após (N ) estágios é ( displaystyle sum_ {n = 0} ^ {N − 1} frac {8 ^ N} {9 ^ {N + 1}} = frac {1 } {8} cdot frac {1− (8/9) ^ N} {1−8 / 9} → 1 ) as (N → ∞. ) O perímetro total é ( displaystyle 4 + 4 sum_ {n = 0} ^ ∞ frac {8 ^ N} {3 ^ {N + 1}} → ∞. )

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


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