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7.2E: Exercícios para Integrais Trigonométricos - Matemática


Preencha o espaço em branco para fazer uma declaração verdadeira.

1) ( sin ^ 2x + ) _______ (= 1 )

Responder:
( cos ^ 2x )

2) ( sec ^ 2x − 1 = ) _______

Responder:
( tan ^ 2x )

Use uma identidade para reduzir a potência da função trigonométrica a uma função trigonométrica elevada à primeira potência.

3) ( sin ^ 2x = ) _______

Responder:
( dfrac {1− cos (2x)} {2} )

4) ( cos ^ 2x = ) _______

Responder:
( dfrac {1+ cos (2x)} {2} )

Avalie cada um dos seguintes integrais por (u ) - substituição.

5) ( displaystyle ∫ sin ^ 3x cos x , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ sin ^ 3x cos x , dx quad = quad frac { sin ^ 4x} {4} + C )

6) ( displaystyle ∫ sqrt { cos x} sin x , dx )

7) ( displaystyle ∫ tan ^ 5 (2x) sec ^ 2 (2x) , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ tan ^ 5 (2x) sec ^ 2 (2x) , dx quad = quad tfrac {1} {12} tan ^ 6 (2x) + C )

8) ( displaystyle ∫ sin ^ 7 (2x) cos (2x) , dx )

9) ( displaystyle ∫ tan ( frac {x} {2}) sec ^ 2 ( frac {x} {2}) , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ tan ( frac {x} {2}) sec ^ 2 ( frac {x} {2}) , dx quad = quad tan ^ 2 ( frac {x} { 2}) + C )

10) ( displaystyle ∫ tan ^ 2x sec ^ 2x , dx )

Calcule os seguintes integrais usando as diretrizes para integrar poderes de funções trigonométricas. Use um CAS para verificar as soluções. (Observação: Alguns dos problemas podem ser resolvidos usando técnicas de integração aprendidas anteriormente.)

11) ( displaystyle ∫ sin ^ 3x , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ sin ^ 3x , dx quad = quad - frac {3 cos x} {4} + tfrac {1} {12} cos (3x) + C = - cos x + frac { cos ^ 3x} {3} + C )

12) ( displaystyle ∫ cos ^ 3x , dx )

13) ( displaystyle ∫ sin x cos x , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ sin x cos x , dx quad = quad - tfrac {1} {2} cos ^ 2x + C )

14) ( displaystyle ∫ cos ^ 5x , dx )

15) ( displaystyle ∫ sin ^ 5x cos ^ 2x , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ sin ^ 5x cos ^ 2x , dx quad = quad - frac {5 cos x} {64} - tfrac {1} {192} cos (3x) + tfrac {3} {320} cos (5x) - tfrac {1} {448} cos (7x) + C )

16) ( displaystyle ∫ sin ^ 3x cos ^ 3x , dx )

17) ( displaystyle ∫ sqrt { sin x} cos x , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ sqrt { sin x} cos x , dx quad = quad tfrac {2} {3} ( sin x) ^ {3/2} + C )

18) ( displaystyle ∫ sqrt { sin x} cos ^ 3x , dx )

19) ( displaystyle ∫ sec x tan x , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ sec x tan x , dx quad = quad sec x + C )

20) ( displaystyle ∫ tan (5x) , dx )

21) ( displaystyle ∫ tan ^ 2x sec x , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ tan ^ 2x sec x , dx quad = quad tfrac {1} {2} sec x tan x− tfrac {1} {2} ln ( sec x + tan x) + C )

22) ( displaystyle ∫ tan x sec ^ 3x , dx )

23) ( displaystyle ∫ sec ^ 4x , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ sec ^ 4x , dx quad = quad frac {2 tan x} {3} + tfrac {1} {3} sec ^ 2 x tan x = tan x + frac { tan ^ 3x} {3} + C )

24) ( displaystyle ∫ cot x , dx )

25) ( displaystyle ∫ csc x , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ csc x , dx quad = quad - ln | cot x + csc x | + C )

26) ( displaystyle ∫ frac { tan ^ 3x} { sqrt { sec x}} , dx )

Para os exercícios 27 - 28, encontre uma fórmula geral para os integrais.

27) ( displaystyle ∫ sin ^ 2ax cos ax , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ sin ^ 2ax cos ax , dx quad = quad frac { sin ^ 3 (ax)} {3a} + C )

28) ( displaystyle ∫ sin ax cos ax , dx. )

Use as fórmulas de ângulo duplo para avaliar as integrais nos exercícios 29 - 34.

29) ( displaystyle ∫ ^ π_0 sin ^ 2x , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ ^ π_0 sin ^ 2x , dx quad = quad frac {π} {2} )

30) ( displaystyle ∫ ^ π_0 sin ^ 4 x , dx )

31) ( displaystyle ∫ cos ^ 2 3x , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ cos ^ 2 3x , dx quad = quad frac {x} {2} + tfrac {1} {12} sin (6x) + C )

32) ( displaystyle ∫ sin ^ 2x cos ^ 2x , dx )

33) ( displaystyle ∫ sin ^ 2x , dx + ∫ cos ^ 2x , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ sin ^ 2x , dx + ∫ cos ^ 2x , dx quad = quad x + C )

34) ( displaystyle ∫ sin ^ 2 x cos ^ 2 (2x) , dx )

Para os exercícios 35 - 43, avalie as integrais definidas. Expresse as respostas na forma exata sempre que possível.

35) ( displaystyle ∫ ^ {2π} _0 cos x sin 2x , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ ^ {2π} _0 cos x sin 2x , dx quad = quad 0 )

36) ( displaystyle ∫ ^ π_0 sin 3x sin 5x , dx )

37) ( displaystyle ∫ ^ π_0 cos (99x) sin (101x) , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ ^ π_0 cos (99x) sin (101x) , dx quad = quad 0 )

38) ( displaystyle ∫ ^ π _ {- π} cos ^ 2 (3x) , dx )

39) ( displaystyle ∫ ^ {2π} _0 sin x sin (2x) sin (3x) , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ ^ {2π} _0 sin x sin (2x) sin (3x) , dx quad = quad 0 )

40) ( displaystyle ∫ ^ {4π} _0 cos (x / 2) sin (x / 2) , dx )

41) ( displaystyle ∫ ^ {π / 3} _ {π / 6} frac { cos ^ 3x} { sqrt { sin x}} , dx ) (Arredonde esta resposta para três casas decimais. )

Responder:
( displaystyle ∫ ^ {π / 3} _ {π / 6} frac { cos ^ 3x} { sqrt { sin x}} , dx quad approx quad 0,239 )

42) ( displaystyle ∫ ^ {π / 3} _ {- π / 3} sqrt { sec ^ 2x − 1} , dx )

43) ( displaystyle ∫ ^ {π / 2} _0 sqrt {1− cos (2x)} , dx )

Responder:
( displaystyle ∫ ^ {π / 2} _0 sqrt {1− cos (2x)} , dx quad = quad sqrt {2} )

44) Encontre a área da região limitada pelos gráficos das equações (y = sin x, , y = sin ^ 3x, , x = 0, ) e (x = frac {π} {2}. )

45) Encontre a área da região limitada pelos gráficos das equações (y = cos ^ 2x, , y = sin ^ 2x, , x = - frac {π} {4}, ) e (x = frac {π} {4}. )

Responder:
(A = 1 , text {unidade} ^ 2 )

46) Uma partícula se move em linha reta com a função de velocidade (v (t) = sin (ωt) cos ^ 2 (ωt). ) Encontre sua função de posição (x = f (t) ) se (f (0) = 0. )

47) Encontre o valor médio da função (f (x) = sin ^ 2x cos ^ 3x ) no intervalo ([- π, π]. )

Responder:
(0)

Para os exercícios 48 - 49, resolva as equações diferenciais.

48) ( dfrac {dy} {, dx} = sin ^ 2x. ) A curva passa pelo ponto ((0,0). )

49) ( dfrac {dy} {dθ} = sin ^ 4 (πθ) )

Responder:
(f (x) = dfrac {3θ} {8} - tfrac {1} {4π} sin (2πθ) + tfrac {1} {32π} sin (4πθ) + C )

50) Encontre o comprimento da curva (y = ln ( csc x), , text {para} , tfrac {π} {4} ≤x≤ tfrac {π} {2}. )

51) Encontre o comprimento da curva (y = ln ( sin x), , text {para} , tfrac {π} {3} ≤x≤ tfrac {π} {2}. )

Responder:
(s = ln ( sqrt {3}) )

52) Encontre o volume gerado girando a curva (y = cos (3x) ) sobre o eixo (x ), para (0≤x≤ tfrac {π} {36}. )

Para os exercícios 53 - 54, use esta informação: O produto interno de duas funções (f ) e (g ) sobre ([a, b] ) é definido por ( displaystyle f (x) ⋅g (x) = ⟨f, g⟩ = ∫ ^ b_af⋅g , dx. ) Duas funções distintas (f ) e (g ) são ditas ortogonais se (⟨f, g⟩ = 0 . )

53) Mostre que ({ sin (2x), , cos (3x)} ) são ortogonais ao longo do intervalo ([- π, , π] ).

Responder:
( displaystyle ∫ ^ π _ {- π} sin (2x) cos (3x) , dx = 0 )

54) Avalie ( displaystyle ∫ ^ π _ {- π} sin (mx) cos (nx) , dx. )

55) Integrar (y ′ = sqrt { tan x} sec ^ 4x. )

Responder:
( displaystyle y = int sqrt { tan x} sec ^ 4x , dx quad = quad tfrac {2} {3} left ( tan x right) ^ {3/2} + tfrac {2} {7} left ( tan x right) ^ {7/2} + C = tfrac {2} {21} left ( tan x right) ^ {3/2} left [7 + 3 tan ^ 2 x right] + C )

Para cada par de integrais nos exercícios 56 - 57, determine qual é mais difícil de avaliar. Explique seu raciocínio.

56) ( displaystyle ∫ sin ^ {456} x cos x , dx ) ou ( displaystyle ∫ sin ^ 2x cos ^ 2x , dx )

57) ( displaystyle ∫ tan ^ {350} x sec ^ 2x , dx ) ou ( displaystyle ∫ tan ^ {350} x sec x , dx )

Responder:
A segunda integral é mais difícil porque a primeira integral é simplesmente um tipo de substituição (u ).

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.