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3.9: Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas


Até agora, aprendemos como diferenciar uma variedade de funções, incluindo funções trigonométricas, inversas e implícitas. Nesta seção, exploramos derivados de funções exponenciais e logarítmicas. Como discutimos em Introdução a funções e gráficos, as funções exponenciais desempenham um papel importante na modelagem do crescimento populacional e do declínio de materiais radioativos. As funções logarítmicas podem ajudar a redimensionar grandes quantidades e são particularmente úteis para reescrever expressões complicadas.

Derivada da função exponencial

Assim como quando encontramos as derivadas de outras funções, podemos encontrar as derivadas de funções exponenciais e logarítmicas usando fórmulas. À medida que desenvolvemos essas fórmulas, precisamos fazer certas suposições básicas. As provas que essas suposições possuem estão além do escopo deste curso.

Em primeiro lugar, partimos do pressuposto de que a função (B (x) = b ^ x, b> 0, ) é definida para todo número real e é contínua. Nos cursos anteriores, os valores das funções exponenciais para todos os números racionais foram definidos - começando com a definição de (b ^ n ), onde (n ) é um número inteiro positivo - como o produto de (b ) multiplicado por si só (n ) vezes. Posteriormente, definimos (b ^ 0 = 1, b ^ {- n} = frac {1} {b ^ n} ), para um inteiro positivo (n ), e (b ^ {s / t} = ( sqrt [t] {b}) ^ s ) para inteiros positivos (s ) e (t ). Essas definições deixam em aberto a questão do valor de br, onde r é um número real arbitrário. Ao assumir a continuidade de (B (x) = b ^ x, b> 0 ), podemos interpretar (b ^ r ) como (lim_ {x → r} b ^ x ) onde os valores de (x ) conforme consideramos o limite são racionais. Por exemplo, podemos ver (4 ^ π ) como o número que satisfaz

[4 ^ 3 <4 ^ π <4 ^ 4,4 ^ {3,1} <4 ^ π <4 ^ {3,2}, 4 ^ {3,14} <4 ^ π <4 ^ {3,15}, ]

[4 ^ {3.141} <4 ^ {π} <4 ^ {3.142}, 4 ^ {3.1415} <4 ^ {π} <4 ^ {3.1416},…. ]

Como vemos na tabela a seguir, (4 ^ π≈77,88. )

(x ) (4 ^ x ) (x ) (4 ^ x )
(4^3)64(4^{3.141593})77.8802710486
(4^{3.1})73.5166947198(4^{3.1416})77.8810268071
(4^{3.14})77.7084726013(4^{3.142})77.9242251944
(4^{3.141})77.8162741237(4^{3.15})78.7932424541
(4^{3.1415})77.8702309526(4^{3.2})84.4485062895
(4^{3.14159})77.8799471543(4^{4})256

Aproximando um valor de (4 ^ π )

Também assumimos que para (B (x) = b ^ x, b> 0 ), o valor (B ′ (0) ) da derivada existe. Nesta seção, mostramos que, fazendo essa suposição adicional, é possível provar que a função (B (x) ) é diferenciável em qualquer lugar.

Fazemos uma suposição final: que existe um valor único de (b> 0 ) para o qual (B ′ (0) = 1 ). Definimos e como este valor único, como fizemos na Introdução a Funções e Gráficos. A figura fornece gráficos das funções (y = 2 ^ x, y = 3 ^ x, y = 2,7 ^ x, ) e (y = 2,8 ^ x ). Uma estimativa visual das inclinações das retas tangentes a essas funções em 0 fornece evidências de que o valor de e está em algum lugar entre 2,7 e 2,8. A função (E (x) = e ^ x ) é chamada de função exponencial natural. Seu inverso, (L (x) = log_ex = lnx ) é chamado de função logarítmica natural.

Figura ( PageIndex {1} ): O gráfico de (E (x) = e ^ x ) está entre (y = 2 ^ x ) e (y = 3 ^ x ).

Para uma melhor estimativa de (e ), podemos construir uma tabela de estimativas de (B ′ (0) ) para funções da forma (B (x) = b ^ x ). Antes de fazer isso, lembre-se de que

(B ′ (0) = lim_ {x → 0} frac {b ^ x − b ^ 0} {x − 0} = lim_ {x → 0} frac {b ^ x − 1} {x} ≈ frac {b ^ x − 1} {x} )

para valores de (x ) muito próximos de zero. Para nossas estimativas, escolhemos (x = 0,00001 ) e (x = −0,00001 )

para obter a estimativa

( frac {b ^ {- 0,00001} −1} {- 0,00001}

Veja a tabela a seguir.

Tabela: Estimando um valor de e
b ( frac {b ^ {- 0,00001} −1} {- 0,00001} b ( frac {b ^ {- 0,00001} −1} {- 0,00001}
2 (0,693145 2.718 (1.000002
2.7 (0,993247 2.719 (1,000259
2.71 (0,996944 2.72 (1,000627
2.718 (0,9999891 2.8 (1,029614
2.7182 (0,9999965 3 (1.098606

A evidência da tabela sugere que (2,7182

O gráfico de (E (x) = e ^ x ) junto com a linha (y = x + 1 ) são mostrados na Figura. Esta linha é tangente ao gráfico de (E (x) = e ^ x ) em (x = 0 ).

Figura ( PageIndex {2} ): A linha tangente a (E (x) = e ^ x ) em (x = 0 ) tem inclinação 1.

Agora que apresentamos nossas suposições básicas, começamos nossa investigação explorando a derivada de (B (x) = b ^ x, b> 0 ). Lembre-se de que assumimos que (B ′ (0) ) existe. Ao aplicar a definição de limite à derivada, concluímos que

(B ′ (0) = lim_ {h → 0} frac {b ^ {0 + h} −b ^ 0} {h} = lim_ {h → 0} frac {b ^ h − 1} {h } ).

Passando para (B ′ (x) ), obtemos o seguinte.

(B ′ (x) = lim_ {h → 0} frac {b ^ {x + h} −b ^ x} {h} ) Aplique a definição de limite da derivada.

(= lim_ {h → 0} frac {b ^ xb ^ h − b ^ x} {h} ) Observe quebx + h = bxbh.

(= lim_ {h → 0} frac {b ^ x (b ^ h − 1)} {h} ) Fator outbx.

(= b ^ xlim_ {h → 0} frac {b ^ h − 1} {h} ) Aplique uma propriedade de limites.

(= b ^ xB ′ (0) ) Use (B ′ (0) = lim_ {h → 0} frac {b ^ {0 + h} −b ^ 0} {h} = lim_ {h → 0} frac {b ^ h − 1} {h} ).

Vemos que com base na suposição de que (B (x) = b ^ x ) é diferenciável em (0, B (x) ) não só é diferenciável em todos os lugares, mas sua derivada é

(B ′ (x) = b ^ xB ′ (0). )

Para (E (x) = e ^ x, E ′ (0) = 1. ) Assim, temos (E ′ (x) = e ^ x ). (O valor de (B ′ (0) ) para uma função arbitrária da forma (B (x) = b ^ x, b> 0, ) será derivado mais tarde.)

Derivada da função exponencial natural

Seja (E (x) = e ^ x ) a função exponencial natural. Então

(E ′ (x) = e ^ x. )

Em geral,

( frac {d} {dx} (e ^ {g (x)}) = e ^ {g (x)} g ′ (x) ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Derivada de uma função exponencial

Encontre a derivada de (f (x) = e ^ {tan (2x)} ).

Solução:

Usando a fórmula derivada e a regra da cadeia,

(f ′ (x) = e ^ {tan (2x)} frac {d} {dx} (tan (2x)) = e ^ {tan (2x)} sec ^ 2 (2x) ⋅2 ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Combinando regras de diferenciação

Encontre a derivada de (y = frac {e ^ {x ^ 2}} {x} ).

Solução

Use a derivada da função exponencial natural, a regra de quociente e a regra da cadeia.

(y ′ = frac {(e ^ {x ^ 2} ⋅2) x⋅x − 1⋅e ^ {x ^ 2}} {x ^ 2} ) Aplique a regra de quociente.

(= frac {e ^ {x ^ 2} (2x ^ 2−1)} {x ^ 2} ) Simplifique.

Exercício ( PageIndex {1} )

Encontre a derivada de (h (x) = xe ^ {2x} ).

Dica

Não se esqueça de usar a regra do produto.

Responder

(h ′ (x) = e ^ {2x} + 2xe ^ {2x} )

Exemplo ( PageIndex {3} ): Aplicando a função exponencial natural

Uma colônia de mosquitos tem uma população inicial de 1000. Após (t ) dias, a população é dada por (A (t) = 1000e ^ {0,3t} ). Mostre que a razão da taxa de variação da população, (A ′ (t) ), para a população, (A (t) ) é constante.

Solução

Primeiro encontre (A ′ (t) ). Usando a regra da cadeia, temos (A ′ (t) = 300e ^ {0,3t}. ) Assim, a razão da taxa de variação da população para a população é dada por

(A ′ (t) = frac {300e ^ {0,3t}} {1000e ^ {0,3t}} = 0,3. )

A razão entre a taxa de variação da população e a população é a constante de 0,3.

Exercício ( PageIndex {2} )

Se (A (t) = 1000e ^ {0.3t} ) descreve a população de mosquitos após (t ) dias, como no exemplo anterior, qual é a taxa de mudança de (A (t) ) após 4 dias?

Dica

Encontre (A ′ (4) ).

Responder

(996)

Derivada da função logarítmica

Agora que temos a derivada da função exponencial natural, podemos usar a diferenciação implícita para encontrar a derivada de sua inversa, a função logarítmica natural.

Definição: A Derivada da Função Logarítmica Natural

Se (x> 0 ) e (y = lnx ), então

( frac {dy} {dx} = frac {1} {x} ).

Mais geralmente, seja (g (x) ) uma função diferenciável. Para todos os valores de (x ) para os quais (g ′ (x)> 0 ), a derivada de (h (x) = ln (g (x)) ) é dada por

(h ′ (x) = frac {1} {g (x)} g ′ (x). )

Prova

Se (x> 0 ) e (y = lnx ), então (e ^ y = x. ) Diferenciar ambos os lados desta equação resulta na equação

(e ^ y frac {dy} {dx} = 1. )

Resolvendo para ( frac {dy} {dx} ) resulta

( frac {dy} {dx} = frac {1} {e ^ y} ).

Finalmente, substituímos (x = e ^ y ) para obter

( frac {dy} {dx} = frac {1} {x} ).

Também podemos derivar esse resultado aplicando o teorema da função inversa, como segue. Uma vez que (y = g (x) = lnx )

é o inverso de (f (x) = e ^ x ), aplicando o teorema da função inversa que temos

( frac {dy} {dx} = frac {1} {f ′ (g (x))} = frac {1} {e ^ {lnx}} = frac {1} {x} ) .

Usando este resultado e aplicando a regra da cadeia a (h (x) = ln (g (x)) ) produz

(h ′ (x) = frac {1} {g (x)} g ′ (x) ).

O gráfico de (y = lnx ) e sua derivada ( frac {dy} {dx} = frac {1} {x} ) são mostrados na Figura.

Figura ( PageIndex {3} ): A função (y = lnx ) está aumentando em ((0, + ∞) ). Sua derivada (y '= frac {1} {x} ) é maior que zero em ((0, + ∞) )

Exemplo ( PageIndex {4} ): Tirando uma Derivada de um Logaritmo Natural

Encontre a derivada de (f (x) = ln (x ^ 3 + 3x − 4) ).

Solução

Use a Equação diretamente.

(f ′ (x) = frac {1} {x ^ 3 + 3x − 4} ⋅ (3x ^ 2 + 3) ) Use (g (x) = x ^ 3 + 3x − 4 ) em (h ′ (x) = frac {1} {g (x)} g ′ (x) ).

(= frac {3x ^ 2 + 3} {x ^ 3 + 3x − 4} ) Reescrever.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Usando Propriedades de Logaritmos em um Derivado

Encontre a derivada de (f (x) = ln ( frac {x ^ 2sinx} {2x + 1}) ).

Solução

À primeira vista, tomar essa derivada parece bastante complicado. No entanto, usando as propriedades dos logaritmos antes de encontrar a derivada, podemos tornar o problema muito mais simples.

(f (x) = ln ( frac {x ^ 2sinx} {2x + 1}) = 2lnx + ln (sinx) −ln (2x + 1) ) Aplique as propriedades dos logaritmos.

(f ′ (x) = frac {2} {x} + cotx− frac {2} {2x + 1} ) Aplicar regra de soma e (h ′ (x) = frac {1} {g (x)} g ′ (x) ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Diferencie: (f (x) = ln (3x + 2) ^ 5 ).

Dica

Use uma propriedade de logaritmos para simplificar antes de tirar a derivada.

Responder

(f ′ (x) = frac {15} {3x + 2} )

Agora que podemos diferenciar a função logarítmica natural, podemos usar este resultado para encontrar as derivadas de (y = log_bx ) e (y = b ^ x ) para (b> 0, b ≠ 1 ).

Derivados de funções exponenciais e logarítmicas gerais

Seja (b> 0, b ≠ 1, ) e seja (g (x) ) uma função diferenciável.

eu. Se, (y = log_bx ), então

( frac {dy} {dx} = frac {1} {xlnb} ).

Mais geralmente, se (h (x) = log_b (g (x)) ), então para todos os valores de x para os quais (g (x)> 0 ),

(h ′ (x) = frac {g ′ (x)} {g (x) lnb} ).

ii. Se (y = b ^ x, ) então

( frac {dy} {dx} = b ^ xlnb ).

Mais geralmente, se (h (x) = b ^ {g (x)}, ) então

(h ′ (x) = b ^ {g (x)} g '' (x) lnb )

Prova

Se (y = log_bx, ) então (b ^ y = x. ) Segue-se que (ln (b ^ y) = lnx ). Assim, (ylnb = lnx ). Resolvendo para (y ), temos (y = frac {lnx} {lnb} ). Diferenciando e tendo em mente que (lnb ) é uma constante, vemos que

( frac {dy} {dx} = frac {1} {xlnb} ).

A derivada na Equação agora segue a regra da cadeia.

Se (y = b ^ x ). então (lny = xlnb. ) Usando a diferenciação implícita, novamente tendo em mente que (lnb ) é constante, segue-se que ( frac {1} {y} frac {dy} {dx} = lnb ) Resolvendo para ( frac {dy} {dx} ) e substituindo (y = b ^ x ), vemos que

( frac {dy} {dx} = ylnb = b ^ xlnb ).

A derivada mais geral (Equação) segue a regra da cadeia.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Aplicando Fórmulas Derivadas

Encontre a derivada de (h (x) = frac {3 ^ x} {3 ^ x + 2} ).

Solução

Use a regra de quociente e nota.

(h ′ (x) = frac {3 ^ xln3 (3 ^ x + 2) −3 ^ xln3 (3 ^ x)} {(3 ^ x + 2) ^ 2} ) Aplique a regra de quociente.

(= frac {2⋅3 ^ xln3} {(3x + 2) ^ 2} ) Simplifique.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Encontrando a inclinação de uma linha tangente

Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de (y = log_2 (3x + 1) ) em (x = 1 ).

Solução

Para encontrar a inclinação, devemos avaliar ( frac {dy} {dx} ) em (x = 1 ). Usando a Equação, vemos que

( frac {dy} {dx} = frac {3} {ln2 (3x + 1)} ).

Ao avaliar a derivada em (x = 1 ), vemos que a reta tangente tem inclinação

( frac {dy} {dx} ∣_ {x = 1} = frac {3} {4ln2} = frac {3} {ln16} ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre a inclinação da reta tangente a (y = 3 ^ x ) em (x = 2. )

Dica

Avalie a derivada em (x = 2. )

Responder

(9ln (3) )

Diferenciação Logarítmica

Neste ponto, podemos obter derivados de funções da forma (y = (g (x)) ^ n ) para certos valores de (n ), bem como funções da forma (y = b ^ {g (x)} ), onde (b> 0 ) e (b ≠ 1 ). Infelizmente, ainda não sabemos as derivadas de funções como (y = x ^ x ) ou (y = x ^ π ). Essas funções requerem uma técnica chamada diferenciação logarítmica, o que nos permite diferenciar qualquer função da forma (h (x) = g (x) ^ {f (x)} ). Também pode ser usado para converter um problema de diferenciação muito complexo em um mais simples, como encontrar a derivada de (y = frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ xsin ^ 3x} ). Descrevemos essa técnica na seguinte estratégia de resolução de problemas.

Estratégia de resolução de problemas: usando diferenciação logarítmica

  1. Para diferenciar (y = h (x) ) usando a diferenciação logarítmica, tome o logaritmo natural de ambos os lados da equação para obter (lny = ln (h (x)). )
  2. Use propriedades de logaritmos para expandir (ln (h (x)) ) tanto quanto possível.
  3. Diferencie os dois lados da equação. À esquerda teremos ( frac {1} {y} frac {dy} {dx} ).
  4. Multiplique ambos os lados da equação por (y ) para resolver para ( frac {dy} {dx} ).
  5. Substitua (y ) por (h (x) ).

Exemplo ( PageIndex {8} ): Usando Diferenciação Logarítmica

Encontre a derivada de (y = (2x ^ 4 + 1) ^ {tanx} ).

Solução

Use a diferenciação logarítmica para encontrar esta derivada.

(lny = ln (2x ^ 4 + 1) ^ {tanx} ) Etapa 1. Calcule o logaritmo natural de ambos os lados.

(lny = tanxln (2x ^ 4 + 1) ) Etapa 2. Expanda usando propriedades de logaritmos.

( frac {1} {y} frac {dy} {dx} = sec ^ 2xln (2x ^ 4 + 1) + frac {8x ^ 3} {2x ^ 4 + 1} ⋅tanx ) Etapa 3 .Diferencie os dois lados. Use a regra do produto à direita.

( frac {dy} {dx} = y⋅ (sec ^ 2xln (2x4 + 1) + frac {8x ^ 3} {2x ^ 4 + 1} ⋅tanx) ) Etapa 4. Multiplique byyon em ambos os lados.

( frac {dy} {dx} = (2x ^ 4 + 1) ^ {tanx} (sec ^ 2xln (2x ^ 4 + 1) + frac {8x ^ 3} {2x ^ 4 + 1} ⋅tanx ) ) Etapa 5. Substitua (y = (2x ^ 4 + 1) ^ {tanx} ).

Exemplo ( PageIndex {9} ): Estendendo a regra de potência

Encontre a derivada de (y = frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ xsin ^ 3x} ).

Solução

Esse problema realmente faz uso das propriedades dos logaritmos e das regras de diferenciação fornecidas neste capítulo.

(lny = ln frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ xsin ^ 3x} )Etapa 1. Obtenha o logaritmo natural de ambos os lados.
(lny = lnx + frac {1} {2} ln (2x + 1) −xlne − 3lnsinx )Etapa 2. Expanda usando propriedades de logaritmos.
( frac {1} {y} frac {dy} {dx} = frac {1} {x} + frac {1} {2x + 1} −1−3 frac {cosx} {sinx} )Etapa 3. Diferencie os dois lados.
( frac {dy} {dx} = y ( frac {1} {x} + frac {1} {2x + 1} −1−3cotx) )Etapa 4. Multiplique por (y ) em ambos os lados.
( frac {dy} {dx} = frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ xsin ^ 3x} ( frac {1} {x} + frac {1} {2x + 1} -1-3cotx) )Etapa 5. Substitua (y = frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ xsin ^ 3x}. )

Exercício ( PageIndex {5} )

Use a diferenciação logarítmica para encontrar a derivada de (y = x ^ x ).

Dica

Siga a estratégia de resolução de problemas.

Responder

Solução: ( frac {dy} {dx} = x ^ x (1 + lnx) )

Exercício ( PageIndex {6} )

Encontre a derivada de (y = (tanx) ^ π ).

Dica

Use o resultado do Exemplo.

Responder

(y ′ = π (tanx) ^ {π − 1} seg ^ 2x )

Conceitos chave

  • Com base na suposição de que a função exponencial (y = b ^ x, b> 0 ) é contínua em todos os lugares e diferenciável em 0, essa função é diferenciável em todos os lugares e há uma fórmula para sua derivada.
  • Podemos usar uma fórmula para encontrar a derivada de (y = lnx ), e a relação (log_bx = frac {lnx} {lnb} ) nos permite estender nossas fórmulas de diferenciação para incluir logaritmos com bases arbitrárias.
  • A diferenciação logarítmica nos permite diferenciar funções da forma (y = g (x) ^ {f (x)} ) ou funções muito complexas tomando o logaritmo natural de ambos os lados e explorando as propriedades dos logaritmos antes da diferenciação.

Equações-chave

  • Derivada da função exponencial natural

( frac {d} {dx} (e ^ {g (x)}) = e ^ {g (x)} g ′ (x) )

  • Derivada da função logarítmica natural

( frac {d} {dx} (lng (x)) = frac {1} {g (x)} g ′ (x) )

  • Derivada da função exponencial geral

( frac {d} {dx} (b ^ {g (x)}) = b ^ {g (x)} g ′ (x) lnb )

  • Derivada da função logarítmica geral

( frac {d} {dx} (log_bg (x)) = frac {g ′ (x)} {g (x) lnb} )

Glossário

diferenciação logarítmica
é uma técnica que nos permite diferenciar uma função tomando primeiro o logaritmo natural de ambos os lados de uma equação, aplicando propriedades de logaritmos para simplificar a equação e diferenciando implicitamente

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


3.9: Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

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Editor de Expressão Matemática

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas calculadas.

A derivada do logaritmo natural

Ainda não temos uma fórmula de atalho para a derivada do logaritmo natural, então vamos começar pela definição. Definir .

Ou seja, o limite dentro do logaritmo está um pouco além do que podemos lidar agora, então, a menos que possamos chegar a uma estratégia diferente, estaremos presos.

O que sabemos sobre esse logaritmo? Sabemos que a função de logaritmo natural é o inverso da função exponencial. Ou seja, como estamos tentando encontrar a derivada de, isso significa que estamos tentando encontrar. Em vez de trabalhar com a versão logarítmica de, vamos tentar trabalhar com sua versão exponencial. Começaremos tirando a derivada de ambos os lados. O lado direito é fácil, mas e o lado esquerdo? Se pensarmos em apenas uma função de, então o lado esquerdo é o exponencial com o substituído por uma função. É um problema de Chain Rule, quando pensamos em ter uma função externa e uma função interna. Pela regra da cadeia,. Vamos colocar tudo isso junto.

Notamos mais uma vez isso, então. Isso dá nossa fórmula derivada.

A derivada de exponenciais e logaritmos com outras bases

Encontramos fórmulas derivadas para a função exponencial natural e a função logaritmo natural, mas ainda não exploramos outras bases. Esse será o nosso foco para o resto da seção.

Para exponenciais, lembramos que qualquer número pode ser escrito na forma de algum valor específico de. Para determinar o, resolvemos a equação assim. Isso é, .

Para encontrar, estamos encontrando, o que conhecemos pela Regra da Cadeia.

Reescrevendo à medida que encontramos nossa fórmula derivada.

Para lidar com logaritmos de outras bases, contamos com a mudança da fórmula de base:

Esta fórmula nos permite substituir um logaritmo por uma base por um logaritmo por qualquer base que quisermos. Existe uma base de que gostamos mais do que o resto, base. Isso significa .


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O Centro de Excelência em Educação STEM

Objetivos

  • Encontre a derivada das funções logarítmicas.
  • Use a diferenciação logarítmica para determinar a derivada de uma função.

Resumo

Estabelecemos uma regra para derivadas de funções exponenciais no mesmo espírito que a regra para funções de potência: para qualquer número real positivo (a text <,> ) se (f (x) = a ^ x text < ,> ) então (f '(x) = a ^ x ln (a) text <.> )

Para uma função exponencial (f (x) = a ^ x ) ((a gt 1) text <,> ) o gráfico de (f '(x) ) parece ser uma versão em escala de a função original. Em particular, uma análise cuidadosa do gráfico de (f (x) = 2 ^ x text <,> ) sugere que ( frac[2 ^ x] = 2 ^ x ln (2) text <,> ) que é um caso especial da regra que declaramos na Seção 2.1.

A seguir, encontramos uma fórmula para a derivada de (g (x) = ln (x) text <.> ) Para fazer isso, aproveitamos o fato de que conhecemos a derivada da exponencial natural função, o inverso de (g text <.> ) Em particular, sabemos que escrever (g (x) = ln (x) ) é equivalente a escrever (e ^ = x text <.> ) Agora diferenciamos os dois lados desta equação e observamos que

O lado direito é simplesmente (1 text <> ) aplicando a regra da corrente ao lado esquerdo, descobrimos que

Em seguida, resolvemos (g '(x) text <,> ) para obter

Finalmente, lembramos que (g (x) = ln (x) text <,> ) então (e ^ = e ^ < ln (x)> = x text <,> ) e assim

Para todos os números reais positivos (x text <,> ) ( frac[ ln (x)] = frac <1> text <.> )


3.9: Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

Até agora, aprendemos como diferenciar uma variedade de funções, incluindo funções trigonométricas, inversas e implícitas. Nesta seção, exploramos derivados de funções exponenciais e logarítmicas. Como discutimos em Introdução a funções e gráficos, as funções exponenciais desempenham um papel importante na modelagem do crescimento populacional e do declínio de materiais radioativos. As funções logarítmicas podem ajudar a redimensionar grandes quantidades e são particularmente úteis para reescrever expressões complicadas.

Derivada da função exponencial

Assim como quando encontramos as derivadas de outras funções, podemos encontrar as derivadas de funções exponenciais e logarítmicas usando fórmulas. À medida que desenvolvemos essas fórmulas, precisamos fazer certas suposições básicas. As provas que essas suposições possuem estão além do escopo deste curso.

Em primeiro lugar, partimos do pressuposto de que a função é definido para cada número real e é contínuo. Em cursos anteriores, os valores das funções exponenciais para todos os números racionais foram definidos - começando com a definição de Onde é um número inteiro positivo - como o produto de multiplicado por si mesmo vezes. Mais tarde, definimos para um número inteiro positivo e para inteiros positivos e Essas definições deixam em aberto a questão do valor de Onde é um número real arbitrário. Ao assumir o continuidade de nós podemos interpretar como onde os valores de quando tomamos o limite são racionais. Por exemplo, podemos ver como o número satisfazendo

Como vemos na tabela a seguir,

Aproximando um valor de
64 77.8802710486
73.5166947198 77.8810268071
77.7084726013 77.9242251944
77.8162741237 78.7932424541
77.8702309526 84.4485062895
77.8799471543 256

Também assumimos que para O valor que da derivada existe. Nesta seção, mostramos que, fazendo essa suposição adicional, é possível provar que a função é diferenciável em todos os lugares.

Fazemos uma suposição final: que existe um valor único de para qual Nós definimos para ser esse valor único, como fizemos em Introdução a funções e gráficos. (Figura) fornece gráficos das funções e Uma estimativa visual das inclinações das linhas tangentes a essas funções em 0 fornece evidências de que o valor de e encontra-se em algum lugar entre 2,7 e 2,8. A função é chamada de função exponencial natural. Seu inverso, é chamada de função logarítmica natural.

O gráfico de está entre e

Para uma melhor estimativa de podemos construir uma tabela de estimativas de para funções do formulário Antes de fazer isso, lembre-se de que

para valores de muito perto de zero. Para nossas estimativas, escolhemos e para obter a estimativa

Estimando um valor de

A evidência da tabela sugere que

O gráfico de junto com a linha são mostrados na (Figura). Esta linha é tangente ao gráfico de no

A linha tangente para no tem inclinação 1.

Agora que estabelecemos nossas suposições básicas, começamos nossa investigação explorando a derivada de Lembre-se de que assumimos que existe. Ao aplicar a definição de limite à derivada, concluímos que

Virando-se para obtemos o seguinte.

Vemos isso com base no pressuposto de que é diferenciável em não é apenas diferenciável em todos os lugares, mas seu derivado é

Para Assim, temos (O valor de para uma função arbitrária da forma será derivado mais tarde.)

Deixar ser a função exponencial natural. Então

Encontre a derivada de

Usando a fórmula derivada e a regra da cadeia,

Encontre a derivada de

Use a derivada da função exponencial natural, a regra de quociente e a regra da cadeia.

Encontre a derivada de

Não se esqueça de usar a regra do produto.

Uma colônia de mosquitos tem uma população inicial de 1000. Depois dias, a população é dada por Mostre que a proporção da taxa de variação da população, para a população, é constante.

Primeiro achado Usando a regra da cadeia, temos Assim, a proporção da taxa de variação da população em relação à população é dada por

A proporção da taxa de variação da população em relação à população é a constante de 0,3.

Se descreve a população de mosquitos após dias, como no exemplo anterior, qual é a taxa de variação de após 4 dias?

Achar

Derivada da função logarítmica

Agora que temos a derivada da função exponencial natural, podemos usar a diferenciação implícita para encontrar a derivada de sua inversa, a função logarítmica natural.

Se e então

Mais geralmente, vamos ser uma função diferenciável. Para todos os valores de para qual a derivada de É dado por

Prova

Se e então Diferenciar os dois lados desta equação resulta na equação

Resolvendo para rendimentos

Finalmente, substituímos obter

Também podemos derivar esse resultado aplicando o teorema da função inversa, como segue. Desde a é o inverso de aplicando o teorema da função inversa, temos

Usando este resultado e aplicando a regra da cadeia a rendimentos

O gráfico de e seu derivado são mostrados na (Figura).

está aumentando Seu derivado é maior que zero em

Encontre a derivada de

Encontre a derivada de

À primeira vista, tomar essa derivada parece bastante complicado. No entanto, usando as propriedades dos logaritmos antes de encontrar a derivada, podemos tornar o problema muito mais simples.

Distinguir:

Use uma propriedade de logaritmos para simplificar antes de tirar a derivada.

Agora que podemos diferenciar a função logarítmica natural, podemos usar este resultado para encontrar as derivadas de e para

Deixar e deixar ser uma função diferenciável.

    Se, então

Mais geralmente, se então, para todos os valores de x para qual

Mais geralmente, se então

Prova

Se então Segue que Desse modo Resolvendo para temos Diferenciando e tendo em mente que é uma constante, vemos que

A derivada em (Figura) agora segue a regra da cadeia.

Se então Usando a diferenciação implícita, novamente tendo em mente que é constante, segue-se que Resolvendo para e substituindo nós vemos que

A derivada mais geral ((Figura)) segue a regra da cadeia.

Encontre a derivada de

Use a regra de quociente e (Figura).

Encontre a inclinação da linha tangente ao gráfico de no

Para encontrar a inclinação, devemos avaliar no Usando (Figura), vemos que

Avaliando a derivada em vemos que a linha tangente tem inclinação

Encontre a inclinação da linha tangente a no

Avalie a derivada em

Diferenciação Logarítmica

Neste ponto, podemos obter derivados de funções da forma para certos valores de bem como funções do formulário Onde e Infelizmente, ainda não sabemos os derivados de funções como ou Essas funções requerem uma técnica chamada diferenciação logarítmica, que nos permite diferenciar qualquer função da forma Também pode ser usado para converter um problema de diferenciação muito complexo em um mais simples, como encontrar a derivada de Descrevemos essa técnica na seguinte estratégia de resolução de problemas.

  1. Diferenciar usando a diferenciação logarítmica, pegue o logaritmo natural de ambos os lados da equação para obter
  2. Use propriedades de logaritmos para expandir tanto quanto possível.
  3. Diferencie os dois lados da equação. Na esquerda teremos
  4. Multiplique ambos os lados da equação por resolver para
  5. Substituir de

Encontre a derivada de

Use a diferenciação logarítmica para encontrar esta derivada.

Encontre a derivada de

Esse problema realmente faz uso das propriedades dos logaritmos e das regras de diferenciação fornecidas neste capítulo.

Encontre a derivada de Onde é um número real arbitrário.

O processo é igual ao da (Figura), embora com menos complicações.

Use a diferenciação logarítmica para encontrar a derivada de

Siga a estratégia de resolução de problemas.

Encontre a derivada de

Conceitos chave

  • Com base na suposição de que a função exponencial é contínua em todos os lugares e diferenciável em 0, esta função é diferenciável em todos os lugares e há uma fórmula para sua derivada.
  • Podemos usar uma fórmula para encontrar a derivada de e o relacionamento nos permite estender nossas fórmulas de diferenciação para incluir logaritmos com bases arbitrárias.
  • A diferenciação logarítmica nos permite diferenciar funções da forma ou funções muito complexas, tomando o logaritmo natural de ambos os lados e explorando as propriedades dos logaritmos antes da diferenciação.

Derivados de funções exponenciais e logarítmicas, problemas de prática Pdf

Publicado no sábado, 29 de maio de 2021, 08:31:15. Planilha. Por Andrea Rose.

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3.9: Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

Logarítmico e Exponencial

Problema: Deixe e

(eu)

(ii)

(iii)

(4)

Vamos explorar os gráficos de nossas novas funções e explorar as mudanças nos domínios e intervalos.

Primeiro, consideramos os gráficos de e .

Nós vemos imediatamente, que e .

Nós notamos que parece permanecer à direita do eixo y, e parece permanecer acima do eixo x.

Um pouco de reflexão revela que, de fato, deve ser assim, pois para todos , Isso se deve ao fato de que , e então qualquer poder de também deve ser maior que zero.

Para agora , devemos primeiro observar como e são relacionados. Quando falamos sobre , estamos apenas perguntando qual poder de é igual a . Ou seja, quando

, o que é ?

Por exemplo, Desde a implica que Isso explica porque está sempre à direita do eixo y, uma vez que para todos . Por isso, não está definido para .

Dizemos que o domínio de , denotado e o alcance de , denotado

De forma similar, e .

Agora, , Como , está sempre à direita do eixo y.

Bem, obviamente E se , Desde a não está definido para .

Por isso, e .

Nós também não isso encontra-se entre os gráficos de e , mas isso faz sentido porque estamos simplesmente adicionando as duas funções respectivas para formar .

Agora considere .

Novamente vemos que e .

Mas desta vez o crescimento de eventualmente ultrapassa . Basta pensar um pouco para entender por que isso deve ser assim, uma vez que para todos , e E se .

A respeito

Bem, como esperado e .

O que podemos adivinhar sobre e , Onde .

Desta vez e .

Perceber: parece ser muito semelhante ao gráfico . Bem, precisamos apenas observar que , e entao , a função de identidade.

Neste caso, dizemos que e , e entao .

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Randolph H.S. AP Calculus AB '09

Ch 5 Sect 1 45-69 probabilidades (soluções no e-book)

Vídeo: Ch5 seção 1 45-49 ímpar
Vídeo: Ch5 Seção 1 49 (continuação) -51 ímpar
Vídeo: Ch5 Sect 1 53-57 odd
Vídeo: Ch5 Seção 1 57 (continuação) -59 ímpar

Ch 5 Sect 4 39-61 odds (soluções no e-book)

Vídeo: Ch5 Sect 4 39-45 odd
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Ch 5 Sect 8 41-59 odds (soluções no e-book)


Apêndice: Derivados Parciais

Digamos que nossa função dependa de duas entradas:

A derivada de f pode ser vista do ponto de vista de x (como f muda com x?) Ou do ponto de vista de y (como f muda com y?). É a mesma ideia: temos duas perspectivas "independentes" que combinamos para o comportamento geral (é como combinar o ponto de vista de dois solipsistas, que pensam que são as únicas pessoas "reais" no universo).

Se xey dependem da mesma variável (como t, tempo), podemos escrever o seguinte:

É um pouco da regra da cadeia - estamos combinando duas perspectivas e, para cada perspectiva, mergulhamos em sua causa raiz (tempo).

Se x e y forem independentes de outra forma, representamos a derivada ao longo de cada eixo em um vetor:

Este é o gradiente, uma forma de representar "A partir deste ponto, se você viajar na direção x ou y, é assim que você vai mudar". Combinamos nossos "pontos de vista" unidimensionais para obter uma compreensão de todo o sistema 2D. Uau.


Observação: Para obter um exemplo complexo de expansão de uma expressão logarítmica usando as leis dos logaritmos, consulte a pergunta nº 1 na seção Exemplos adicionais na parte inferior da página. Para obter um exemplo de solução de uma expressão logarítmica, consulte a pergunta nº 2 na seção Exemplos adicionais.

UMA Logaritmo natural, denotado por ln em vez de log, é um logaritmo com base e. The irrational number e is equal to 2.718281828459. This number has important applications in calculus and the true meaning of it will be explained in the Derivatives of Logarithmic Functions section. For now, it can be taken as a special number that is approximately equal to 2.718.

The notation for natural logarithms is a bit different than the notation for regular logarithms. The natural logarithm is equal to the logarithm with the base e.

One special property of natural logarithms is that ln e = 1. This property is easily seen, since the logarithmic form of ln e is loge e, which is always equal to 1 for any variable.

The definition of natural logarithms follows from the definition of regular logarithms, where

The cancellation equations for natural logarithms also follow from the property for regular logarithms.

The laws of logarithms can also be applied to natural logarithms by letting the base a equal e. The laws of natural logarithms are shown below. For any x,y > 0 and any real number r,


Assista o vídeo: Derivada da Função Exponencial Aula 12 (Novembro 2021).