Artigos

1: Revisão: Funções e gráficos


Cálculo é a matemática que descreve mudanças nas funções. Neste capítulo, revisamos todas as funções necessárias para estudar cálculo. Revisamos como avaliar essas funções e mostramos as propriedades de seus gráficos. Fornecemos exemplos de equações com termos envolvendo essas funções e ilustramos as técnicas algébricas necessárias para resolvê-los. Em suma, este capítulo fornece a base para o material que virá. É essencial estar familiarizado e confortável com essas idéias antes de proceder à introdução formal do cálculo no próximo capítulo.

Miniatura: O gráfico de (f (x) = e ^ x ) tem uma linha tangente com inclinação 1 em (x = 0 ).

Contribuidores

Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Redes neurais gráficas: uma revisão de métodos e aplicações

Muitas tarefas de aprendizagem requerem lidar com dados gráficos que contêm informações ricas de relação entre os elementos. A modelagem de sistemas físicos, o aprendizado de impressões digitais moleculares, a previsão da interface de proteínas e a classificação de doenças exigem um modelo para aprender a partir das entradas do gráfico. Em outros domínios, como a aprendizagem de dados não estruturais como textos e imagens, o raciocínio sobre estruturas extraídas (como as árvores de dependência de sentenças e os gráficos de cena de imagens) é um tópico de pesquisa importante que também precisa de modelos de raciocínio gráfico. Redes neurais de grafos (GNNs) são modelos neurais que capturam a dependência de grafos por meio da passagem de mensagens entre os nós dos grafos. Nos últimos anos, variantes de GNNs, como rede convolucional de grafos (GCN), rede de atenção de grafos (GAT), rede recorrente de grafos (GRN), demonstraram desempenhos inovadores em muitas tarefas de aprendizagem profunda. Nesta pesquisa, propomos um pipeline de design geral para modelos GNN e discutimos as variantes de cada componente, categorizamos sistematicamente os aplicativos e propomos quatro problemas abertos para pesquisas futuras.


Gráfico de perguntas práticas e # 8211 Teste 1

A área do círculo pode ser encontrada usando a fórmula, A =πr 2 Como o quadrado tem um diâmetro de 4, o círculo tem um raio de 2. Substituindo 2 por r, na fórmula acima, dá A = π (2) 2 ou A = 4π. Assim, a área do círculo é de aproximadamente 12,57 unidades quadradas.

A área do quadrado é igual a 7 2, ou 49, unidades quadradas. A área do círculo pode ser representada como π (3,5) 2, ou 12,25π, que é aproximadamente 38,48 unidades quadradas. A área da parte sombreada da figura é igual à diferença de 49 unidades quadradas e 38,48 unidades quadradas, ou 10,52 unidades quadradas.

O ponto representa o x-valor de 3 e o y-valor de -4, portanto, o par ordenado pode ser escrito como (3, -4).

A média pode ser escrita como (35 + 40 + 50 + 55) / 4, que é igual a 45.

Uma vez que cada chocalho representa o parto de 10 bebês, 5 chocalhos de 1/2 representam o parto de 55 bebês.

O parto de 85 bebês seria representado por 8 chocalhos inteiros e 1/2 de outro chocalho, desde 8 1/2. 10 = 85.

O número de SUVs vendidos é igual a 0,13 x 23.000, ou 2.990.

Se 7.650 caminhões são vendidos, o que constitui 17% do número total de veículos vendidos, o número total de veículos vendidos pode ser determinado resolvendo a equação, 7650 = 0,17x. Dividindo ambos os lados da equação por 0,17 dá 45.000.

O número total de veículos vendidos pode ser determinado resolvendo a seguinte equação para x: 0.25x = 3.750. Assim, foram vendidos 15.000 veículos. O número de carros de 4 portas é igual ao produto de 0,33 e 15.000, ou 4.950.

O peso aumentou de 8,5 libras para 9,25 libras, apresentando um aumento de 0,75 libras. O número de libras pode ser convertido em onças escrevendo e resolvendo a seguinte proporção: 0,75 /x= 1/16. Assim, a criança ganhou 12 onças durante o primeiro mês de vida.

O peso médio pode ser representado como a proporção (8,5 + 9,25 + 9,75 + 10,5 + 11 + 12 + 12,75) / 7, que é de aproximadamente 10,54 libras, ou 10 libras, 9 onças.

A criança ganhou 1 libra entre agosto e setembro, que foi o maior aumento.

Um movimento de 4 unidades para a esquerda e 5 unidades para cima, a partir do ponto, (10, 3) resulta em (6, 8), uma vez que 10 & # 8211 4 = 6 e 3 + 5 = 8.

O número de meninos que compareceram à convenção de 1995 pode ser representado como 0,50 (716), o que equivale a 358.

Em 1995, 50% dos participantes eram meninos e 50% eram meninas, portanto, o mesmo número de meninos e meninas compareceu à convenção.

O número de meninos presentes na convenção, de 1995 a 1998, pode ser representado pelas expressões 0,50 (716), 0,55 (1108), 0,60 (1520) e 0,35 (2244). Assim, os anos de 1995 e 1996 tiveram o menor número de meninos atendidos, com números de 358 e 610, respectivamente.


Representando Gráficos de Funções Lineares

A Equação 1B.5.3 é uma equação linear [y = mx + b nonumber ]

  • m é chamado de inclinação da linha, que é a razão entre a mudança em y (a elevação) e a mudança em x (a corrida). Como a linha é linear, a inclinação é a mesma entre quaisquer dois pontos ao longo da linha.
  • b é chamado de interceptação y, que é o valor de y quando x = 0.

Etapas para representar graficamente uma função linear

  1. Escolha seu intervalo e escala: ao representar graficamente uma função linear, o primeiro passo é identificar o intervalo e a escala de cada eixo. O intervalo é definido pelo valor mínimo e máximo ao longo de cada um dos eixos. A escala é definida pelos valores de cada linha na grade, que é usada para traçar os pontos de dados e, uma vez representados, para ler os valores do gráfico. Freqüentemente, são dadas marcas menores e maiores à grade, onde as marcas maiores mostram o valor numérico dessa posição.
  • Escolhendo o intervalo: Existem duas abordagens. A primeira é usar o valor de dados mais alto e mais baixo como o limite inferior e superior do intervalo, embora você possa querer que os limites reais sejam um número fácil de ler, como um múltiplo de dez. A segunda abordagem é olhar para os dados e ver se eles estão limitados por algum limite real. Por exemplo, nos dados acima, estamos observando a solubilidade de um sal em água líquida, portanto, a faixa de temperatura pode ser definida pela faixa de temperatura em que a água é líquida, mesmo se o ponto de dados mais alto não estiver em ebulição ponto, e seu ponto mais baixo não está no ponto de congelamento.
  • Escolha da escala: aqui você deseja que a linha da grade seja fácil de ler. Se possível, múltiplos de 10 são muito úteis, mas você precisa olhar os dados. O que você deseja evitar é onde cada marca é um valor difícil de ler.
  1. Dados do gráfico: marque cada ponto de dados no gráfico (como na figura 1B.5.1, mas não anote os valores das coordenadas x, y, apenas marque um ponto no gráfico para indicar onde há um valor de dados.
  2. Desenhe à mão uma linha de melhor ajuste que tenha uma distribuição uniforme de pontos em ambos os lados da linha. Se os dados forem realmente uma função linear, haverá uma distribuição aleatória de pontos ao longo da linha. A Figura 1b.5.3 mostra essa & quot melhor linha de ajuste & quot.

    Figura ( PageIndex <3>]): Linha de melhor ajuste que descreve os dados uniformemente. Não não ligamos os pontos, e alguns dos pontos não estão na linha.
  3. Escolha dois pontos para calcular a inclinação. Comece no lado esquerdo e encontre o ponto na linha com os menores valores onde a linha cruza as linhas da grade, aqui é o ponto (0,25,50), e então começando na extremidade direita escolha o ponto com os valores mais altos (96 , 39,00).
  • Observe que a precisão é definida pelos dados e pela escala nas linhas da grade.
    • Para o eixo y, a precisão é definida pelos dados e, embora tenhamos uma marca a cada 0,1 valores, então parece que poderíamos relatar a solubilidade para o valor 0,01, os dados originais eram conhecidos apenas para o valor 0,1 (tabela 1B .5.1). Portanto, embora a escala no gráfico seja mais precisa, só podemos usar essa precisão para ler a escala, e não relatar o valor. Isso é da escala que poderíamos ler para um valor de 35,30 e não 35,3, mas devemos usar 35,3 em nosso cálculo
    • Para o eixo x, os dados originais têm uma precisão de 0,1 dígito, ou seja, temos valores como 20,0 o C. Mas o menor valor no eixo da grade secundária é 4 o C, e por isso temos que & quot adivinhar & quot entre eles para relate a incerteza e, assim, escolha a precisão a ser para a posição de & quotones & quot.

    • Como o eixo x inclui zero, você pode simplesmente lê-lo no gráfico, b = 35,3 (gNaCl / 100g de água).
    • Se o seu gráfico não incluir o ponto zero, você pode extrapolar para trás a partir de um determinado valor.
      Nós sabemos isso:

    Se definirmos S20= solubilidade quando T = 20, e S0= solubilidade quando T = 0, então b = S0, e S20 vem do gráfico da figura 1B.5.3, onde, S20=36.1 (gNaCl / 100g água) .

    Onde ( Delta> ) significa o valor de ( Delta T ) = 20,

    resolver para b e incluir unidades no cálculo numérico dá:


    1: Revisão: Funções e gráficos

    O número e foi considerado um dos números mais importantes em toda a matemática. No entanto, é importante lembrar que e é apenas um número. Calculado com nove casas decimais,

    e pode ser estendido a inúmeras casas decimais e nenhum padrão jamais foi descoberto em seus dígitos. Nesse sentido, e é muito semelhante a pi.

    Olhe para esses dois gráficos. O primeiro é o gráfico de y = e ^ x e o segundo é y = e ^ -x

    Observe no primeiro gráfico, à esquerda do eixo y, e ^ x aumenta muito lentamente, ele cruza o eixo em y = 1, e à direita do eixo, ele cresce a uma taxa cada vez mais rápida.

    O segundo gráfico é exatamente o oposto. Para xs negativos, o gráfico decai em quantidades cada vez menores. Ele cruza o eixo y em y = 1 e, em seguida, decai em taxas cada vez mais lentas.

    The Natural Log

    O log natural é o logaritmo cuja base é e. As duas funções, o log natural e o exponencial e, são inversas uma da outra. Em outras palavras, dizer y = Ln [x] é o mesmo que e ^ y = x.
    Observe o gráfico de y = Ln [x].


    O logaritmo cresce rápido no início, depois diminui gradualmente. Ele também cruza o eixo x em 1 e só pode ser encontrado para x> 0. Portanto, Log [1] = 0, Ln [0 y = a e ^ (b x)

    onde aeb são constantes. A curva que usamos para ajustar os conjuntos de dados está neste formato, portanto, é importante entender o que acontece quando aeb são alterados.

    Lembre-se de que qualquer número ou variável quando elevado à potência 0 é 1. Neste caso, se b ou x for 0, então, e ^ 0 = 1. Portanto, na interceptação de y ou x = 0, a função se torna y = a * 1 ou y = a. Portanto, a constante a é a interceptação y da curva.

    O outro parâmetro em nossa equação é b. Se b for muito pequeno e maior que 0, a função nivela. A curva aumenta a uma taxa mais lenta do que para b's grandes. Ao contrário, para b's grandes, a curva aumenta rapidamente.

    Olhe para esses dois enredos. O primeiro é para uma equação com um b grande e o segundo é para um b pequeno. Observe as escalas dos gráficos.

    Para, b é menor que 0, o mesmo ocorre, exceto os gráficos se parecem com o gráfico de e ^ -x de cima.

    Exercícios


    1.) Simplifique as seguintes expressões.


    3.) Esboce as seguintes curvas nos mesmos eixos. Identifique os domínios de cada equação em termos de x.


    Aplicação de exponenciais


    4.) Se você investir A dólares a uma taxa de juros anual fixa, r e os juros forem compostos continuamente em sua conta, a quantidade de dinheiro, Ao, que você terá ao final de t anos é,

    Composto continuamente significa que o dinheiro em sua conta está continuamente sendo acrescido de juros. Quase se pode dizer que os juros estão sendo adicionados a cada segundo, dia ou noite.

    a.) Você deposita $ 621 em uma conta que paga juros de 10%. Quanto dinheiro você terá após 8 anos? depois de 10 anos?

    b.) Quanto tempo você levará para dobrar seu dinheiro se investir $ 500 a uma taxa de juros de 6%?


    Como representar graficamente uma função

    Olá, bem-vindo a este vídeo sobre funções gráficas! Hoje, vou mostrar a você como representar graficamente uma função. Especificamente, vamos nos concentrar no conceito de inclinação, que determina como a função tomará forma quando a representarmos graficamente. Também discutiremos as relações entre as inclinações das retas perpendiculares e paralelas. Vamos começar!

    Primeiro, um rápido lembrete das funções lineares. Como você provavelmente pode adivinhar pelo nome, uma função linear representa graficamente como uma linha reta no plano cartesiano. A linha representa todos os pontos do plano que satisfazem a equação linear. Cada ponto pode ser expresso como um par ordenado, (x, y), que representa as unidades no eixo xe as unidades no eixo y. A inclinação da linha é determinada medindo a distância vertical entre os valores y de quaisquer dois pontos na linha e dividindo pela distância horizontal, conforme determinado pelos valores x desses pontos.

    Vamos dedicar um minuto para aplicar essas informações com alguns exemplos.

    Determine a inclinação da reta que passa pelos pontos (3,7) e (6,3).

    A distância vertical, às vezes referida como a "mudança em y" ou "aumento", é calculada subtraindo os valores de y desses dois pontos: 7-3 = 4

    A distância horizontal é conhecida como "mudança em x" ou "corrida" e é calculada subtraindo os valores x: 3-6 = -3

    Observe que a subtração deve ser consistente! Subtraímos ambas as coordenadas do ponto G das coordenadas do ponto F.

    A inclinação desta linha é, portanto, ( frac) ou ( frac <-4> <3> ). É importante notar que um inclinação negativa indica que a linha inclina para baixo, da esquerda para a direita.

    Vejamos outro exemplo.

    Calcule a inclinação da reta que passa pelos pontos (1,1) e (4,3):

    Etapa 1: Calcule a mudança em y

    Etapa 2: Calcule a mudança em x

    Etapa 3: calcule a inclinação dividindo a variação em y pela variação em x.

    (Inclinação = frac <2> <3> ). A linha com inclinação positiva se inclina para cima, da esquerda para a direita.

    A capacidade de analisar um gráfico e conhecer os atributos de inclinação são habilidades importantes.

    Existem dois tipos especiais de linhas que não seguem as regras mencionadas acima no que diz respeito à inclinação para cima ou para baixo, de acordo com o sinal de sua inclinação.

    Calcule a inclinação da reta que passa pelos pontos (5, 3) e (-2,3).

    Desta vez, quando determinamos a mudança vertical, ou a mudança em y, obtemos uma resposta de 3-3 = 0

    Intuitivamente, isso faz sentido porque não há mudança nas coordenadas y de um ponto a outro. Há uma mudança em x, no entanto, dividir 0 por qualquer valor resulta em 0.

    A inclinação desta linha é, portanto, ( frac <0> <-2-5> = frac <0> <-7> = 0 )

    Isso é verdade para qualquer linha horizontal que existe no plano de coordenadas. Essas equações são escritas na forma y = c, onde c é qualquer valor no eixo y. Consequentemente, a linha mostrada à direita é y = 3.

    Algumas pessoas acham útil visualizar uma linha horizontal com uma inclinação que não "sobe", mas "corre" para sempre.

    Com raciocínio semelhante, vamos explorar a natureza da inclinação para pontos que se encontram em uma linha vertical.

    Determine a inclinação da reta que passa pelos pontos (2,5) e (2, -1).

    Apenas olhando para esses pontos, vemos que não há mudança nos valores de x, portanto, o denominador do cálculo da inclinação será 0.

    A inclinação desta linha é calculada da seguinte forma: ( frac <-1-5> <2-2> = -60 ).

    Você deve se lembrar que dividir por zero é "indefinido". As linhas verticais são escritas na forma de x = c, onde c é qualquer valor no eixo x. Esta linha é escrita como x = 2.

    Observe que não há inclinação para linhas verticais, pois elas não “inclinam” em nenhuma direção. Essas linhas "sobem" para sempre, mas não "correm".

    Para os gráficos a seguir, indique se a inclinação da linha é positiva, negativa, zero ou indefinida.

    Resposta: inclinação positiva
    A linha se inclina para cima da esquerda para a direita.

    Resposta: A inclinação é "indefinida"
    Todas as linhas verticais têm inclinação indefinida.

    Resposta: a inclinação é igual a 0
    Todas as linhas horizontais têm inclinação = 0.

    Resposta: A inclinação é negativa.
    A linha desce da esquerda para a direita.

    Ao representar graficamente uma função linear, a inclinação é extremamente importante. Se tivermos um ponto e nossa inclinação, podemos encontrar todos os outros pontos da linha e ver como ela se parece. Acabamos de aprender que em nossa forma de declive-interceptação de nossa equação linear, y = mx + b, a letra m representa nossa inclinação. Lembre-se de que as letras xey representam a coordenada xey de qualquer ponto que satisfaça nossa equação. Agora, a única coisa que nos resta para falar em nossa equação é a letra b.
    B em nossa forma de interceptação de declive representa a interceptação de y da equação. A interceptação y é o ponto onde o gráfico atinge o eixo y, ou onde x = 0. Portanto, a interceptação y nos dá o ponto de que precisamos para descobrir nosso gráfico. O ponto será (0, b) para qualquer número que esteja na posição b.
    Vamos tentar um exemplo. Qual é a inclinação e a interceptação em y da equação y = ½ x + 7?
    Nossa inclinação é o nosso valor m, portanto, para esta equação, a inclinação é igual a ½.
    Determinamos nossa interceptação y olhando nosso valor b, que neste caso é 7. Lembre-se, este número nos dá nossa coordenada y para o nosso ponto onde x = 0. Portanto, a interceptação y desta equação é (0, 7).
    Agora que sabemos como identificar nossa inclinação e interceptação y, vamos ver como podemos usar essas duas coisas para representar graficamente nossa equação.
    Nossa primeira etapa é identificar a interceptação y. Para nossa equação acima, já fizemos isso. Nossa interceptação em y é (0, 7).
    A segunda etapa é plotar esse ponto em nosso gráfico. Então, vamos colocar um ponto em (0, 7).
    Em seguida, queremos olhar para nossa inclinação, que descobrimos anteriormente ser ½. Lembre-se de que a inclinação é a razão de nossa mudança em y sobre nossa mudança em x, ou nossa subida sobre o curso.
    Quarto, usaremos nossa inclinação para encontrar outro ponto na linha. Comece na interceptação y e mova para cima (ou suba) um e mova para a direita (ou corra) dois, e coloque outro ponto aqui.
    Como temos dois pontos, podemos fazer uma linha reta. Portanto, nossa etapa final é desenhar uma linha reta entre os dois pontos, certificando-se de colocar pontas de flechas em cada extremidade da linha para indicar que ela continua para sempre em qualquer direção.
    E é tão simples quanto isso! Vamos tentar outro exemplo seguindo as etapas que vimos acima.
    Represente graficamente a equação y = 2x -4.
    Etapa 1: Identifique a interceptação y. Nosso valor b nesta equação é negativo, então nossa interceptação y também será negativa. (0, -4).
    Etapa 2: trace a interceptação y no gráfico.
    Etapa 3: Identifique a inclinação. Lembre-se de que a inclinação é o nosso valor m, portanto, neste caso, é 2.
    Etapa 4: use a inclinação para plotar um segundo ponto. Quando recebemos um número inteiro, podemos transformá-lo em uma fração, colocando-o sobre 1. Isso não altera o valor do número porque qualquer número dividido por 1 é ele mesmo. Portanto, nossa inclinação agora parece 2/1. Isso significa que, a partir de nossa interceptação y, aumentaremos 2 valores e executaremos 1.
    Etapa 5: desenhe uma linha entre os dois pontos.
    Eu quero que você experimente mais um. Desta vez, tente fazer isso sem minha ajuda.
    Represente graficamente a linha y = -2 / 3x +1.
    [pausa]
    Acha que entendeu? Vamos examinar isso juntos.
    Nossa interceptação y está no ponto (0, 1), então vamos traçar isso primeiro.
    Agora olhamos para nossa inclinação, -2/3. Isso nos diz que vamos passar de 3 lugares e descer 2. Descemos em vez de subir porque nossa inclinação é negativa.
    Agora que temos nossos dois pontos, traçamos nossa linha através deles e adicionamos nossas pontas de flecha.
    Antes de prosseguirmos, gostaria de examinar mais algumas coisas sobre declive que são úteis para saber.

    Existem mais dois tipos de linhas muito importantes que têm relações de inclinação especiais. Considere os seguintes gráficos:

    Essas linhas têm a relação especial de serem equidistantes ou paralelas. Isso significa que eles estão à mesma distância para cada valor nos lados positivo e negativo do eixo x. Como discutimos, a inclinação determina a “inclinação” da linha e, claramente, as linhas equidistantes têm a mesma inclinação.

    Em outras palavras, as linhas paralelas têm a mesma inclinação.

    As equações na forma de inclinação-interceptação para essas linhas são: (y = frac <2> <3> x-1 ) e (y = frac <2> <3> x + 2 )
    A inclinação de 23 é claramente identificável em ambas as equações. Se forem dadas duas equações, as linhas serão paralelas se as inclinações forem iguais.

    Este gráfico mostra duas linhas que têm a característica especial de se cruzarem em um ângulo reto. Como resultado, essas linhas são consideradas perpendiculares.

    As equações para essas linhas são:

    Novamente, parece haver uma relação entre as inclinações, (m = 3 ) e (m = frac <-1> <3> ). Qualquer suposição?

    Bem, na verdade, existem duas diferenças distintas entre esses valores de inclinação.

    Os sinais são opostos: a inclinação de uma linha é positiva e a inclinação da outra é negativa.
    Os valores de inclinação são recíprocos, o que significa que o numerador e o denominador estão "invertidos".

    Se essas duas mudanças forem reconhecidas nas inclinações de duas equações lineares, então as linhas que elas representam são perpendiculares.

    Vamos aplicar essas informações com alguma prática. Veja se você consegue responder por conta própria:

    Qual é a inclinação de uma linha paralela a (y = frac <5> <7> x-2 )?

    Resposta: A inclinação desta linha paralela é igual a ( frac <5> <7> ). Lembre-se de que as linhas paralelas têm inclinação igual.

    Qual é a inclinação de uma linha perpendicular a (y = frac <2> <5> x + 1 )

    Resposta: A inclinação desta reta perpendicular é igual a ( frac <-5> <2> ). Lembre-se de que as linhas perpendiculares têm inclinações opostas.

    Indique se as linhas são paralelas, perpendiculares ou nenhuma:

    Resposta: Perpendicular. As inclinações são recíprocas opostas.

    Exemplo 4: tente o mesmo para as linhas aqui:

    As inclinações não são iguais e não são recíprocos opostos.
    Essas linhas se cruzam, mas NÃO em um ângulo reto.

    Resposta: Paralela. As inclinações são iguais a 1.

    Espero ter esclarecido qualquer confusão que você possa ter com relação à inclinação e ao gráfico de equações lineares. Como você pode ver, a inclinação é a força motriz na representação gráfica e é a chave para identificar relações especiais entre as linhas.

    Isso é tudo por esta revisão! Obrigado por assistir e feliz estudar!


    INTRODUÇÃO A GRÁFICOS

    Primeiro, uma co-ordenação. Uma co-ordenação é um número. Ele rotula um ponto em uma linha.

    As coordenadas 0, 1, 2, 3, etc. rotulam esses pontos. Eles são seus "endereços".

    Um eixo coordenado é uma linha com coordenado coordenado.

    Para rotular os pontos em um plano, precisaremos de mais de um eixo coordenado e os posicionaremos em ângulos retos. Conseqüentemente, eles são chamados de eixos co-ordenados retangulares. E as coordenadas neles são chamadas de coordenadas retangulares. Eles também são chamados de coordenadas cartesianas, em homenagem ao filósofo e matemático do século XVII Ren & eacute Descartes, pois ele foi um dos primeiros a explorar as possibilidades geométricas das coordenadas.

    Finalmente, as coordenadas retangulares de um ponto são um par ordenado, (x, y). (2, 3) rotula um ponto diferente de (3, 2). O x -co & oumlrdinate é sempre inserido primeiro e o y -co & oumlrdinate, em segundo lugar.

    Exemplo 1. O gráfico de uma função.

    Em qual gráfico os valores de y são uma função dos valores de x?

    Para ver a resposta, passe o mouse sobre a área colorida.
    Para cobrir a resposta novamente, clique em "Atualizar" ("Atualizar").

    No gráfico a). Para cada valor de x existe um e apenas um valor de y. Qualquer linha reta paralela ao eixo y cortará o gráfico apenas uma vez.

    Os pares coordenados de uma função

    Considere a função y = x 2. A variável y agora significa o y -co & oumlrdinate, e x, o x -co & oumlrdinate. Portanto, cada par coordenado no gráfico dessa função é

    Em outras palavras, o gráfico de uma função

    é aquela figura geométrica tal que cada par coordenado nela é

    então cada par coordenado em seu gráfico tem a forma

    Problema 1. Os pares coordenados no gráfico das seguintes funções têm que forma?

    Para ver a resposta, passe o mouse sobre a área colorida.
    Para cobrir a resposta novamente, clique em "Atualizar" ("Atualizar").

    a) y = 1 e menos x (x, 1 e menos x) b) y = ax + b (x, ax + b)
    c) y = 3 (x, 3) d) y = f (x) (x, f (x))

    Problema 2. Seja y = f (x). Escreva o segundo membro de cada par coordenado.

    a) (1,?) (1, f (1)) b) (& menos1,?) (& menos1, f (& menos1))
    c) (a,?) (a, f (a)) d) (t & menos 4,?) (t & menos 4, f (t & menos 4))

    Problema 3. Quais desses pontos estão no gráfico da função

    a) (1, 4) Não, porque 4 não é igual a 2 e middot 1 2.
    b) (& menos 1, 2) sim. c) (a, 2 a 2) sim. d) (b / 2, b 2/2) sim.

    a) O par de coordenadas (p, q) está no gráfico da função

    Qual é a relação entre as coordenadas p, q?

    b) O par coordenado (r, s) está no gráfico da função

    Qual é a relação entre as coordenadas r, s?

    Seja y = f (x). Então, as coordenadas de cada ponto em seu gráfico são
    (x, f (x)). (Observe o primeiro quadrante.)

    f (x) - ou y - é a altura do gráfico em x. É o comprimento dessa linha vertical.

    Agora, se f (& menos x) = f (x) - isto é, se a altura do gráfico em & menos x é igual à altura do gráfico em x - então esse ponto é mostrado em a).

    Enquanto se f (& menos x) = & menos f (x) - se a altura do gráfico em & menos x for o negativo da altura do gráfico em x - então esse ponto é mostrado em b).

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    Desmos

    Prós: Ferramenta gratuita e fácil de usar que oferece aos alunos uma maneira visual de entender as expressões e aos professores uma plataforma poderosa de instrução.

    Contras: Sem ajuda significativa, os alunos menos experientes podem ter dificuldades quando as coisas se complicam.

    Resultado: Calculadora de peças, ferramenta de simulação interativa em parte, Desmos é um exemplo notável de matemática orientada por investigação com suporte instrucional superinteligente.

    Como posso ensinar com esta ferramenta?

    Desmos pode ser usado de várias maneiras diferentes. Ele pode ser usado como uma calculadora gráfica gratuita, evitando que os alunos comprem uma calculadora de $ 100. Os professores podem usá-lo para fazer imagens de alta qualidade para avaliações e apresentações. Mas as atividades em sala de aula são onde a Desmos realmente se destaca. Os professores podem usar o Desmos para ajudar os alunos a conectar conceitos matemáticos a formas e imagens concretas do mundo real. Iniciar uma atividade com seus alunos é fácil: basta que as crianças digitem o código da atividade no site. Antes de atribuir uma atividade, experimente a visualização do aluno.

    Os movimentos do professor estão listados na parte inferior das atividades, apresentando maneiras específicas de treinar seus filhos enquanto trabalham. O progresso pode ser monitorado usando o painel do professor. Usando essas informações, os professores podem trabalhar especificamente com os alunos, um de cada vez, ou pausar a turma inteira se a maioria estiver no caminho errado. Desmos também pode ser uma ferramenta poderosa para liderar o discurso matemático. Use a ferramenta Instantâneo para capturar respostas específicas dos alunos e sequenciá-las na melhor ordem para conduzir a conversa da classe.

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    O que é?

    Desmos é uma ferramenta gratuita para gráficos e ensino de matemática disponível na web, bem como em iOS e Android. Além de plotar equações, atividades em sala de aula estão disponíveis para ajudar os alunos a aprender sobre uma variedade de conceitos matemáticos. Por exemplo, os alunos podem aprender como transformar funções periódicas tentando deslizar bolinhas de gude por pontos em um gráfico. Ou eles podem conectar sua própria equação e ver que tipo de gráfico aparece. Os controles deslizantes permitem que os alunos ajustem os valores e vejam o que acontece. Os usuários também podem clicar diretamente no gráfico para encontrar as coordenadas dos pontos de intersecção, máximos e mínimos.

    Desmos incentiva os alunos a praticar as habilidades matemáticas, bem como a brincar com a matemática para expressar sua criatividade. As crianças podem inserir um número ilimitado de expressões matemáticas e ver instantaneamente os resultados representados graficamente na página. Uma variedade de cores e recursos tornam possível transformar gráficos em desenhos complexos e realistas. Com uma conta gratuita do Desmos, alunos e professores podem salvar gráficos para revisitar mais tarde.

    É bom para aprender?

    Desmos adota uma abordagem de investigação para aprender matemática. Os alunos manipulam diferentes partes de uma equação para alterar a forma de um gráfico em um esforço para cumprir um objetivo, como deslizar uma bola de gude pelas estrelas. A perseverança é incentivada, pois as crianças podem se ajustar e tentar novamente se o gráfico não parecer muito correto. Outras ferramentas, como ExploreLearning Gizmos, também permitem que as crianças manipulem gráficos alterando a equação, mas o Desmos permite que os alunos colaborem uns com os outros. Os alunos podem fazer perguntas uns aos outros e experimentar desafios criados por seus colegas.

    Vários recursos tornam o Desmos uma opção de gráfico de destaque para alunos com habilidades matemáticas variadas. Iniciantes se beneficiam da capacidade de usar controles deslizantes como substitutos para variáveis ​​indefinidas. Dessa forma, as crianças podem realmente observar o movimento do gráfico e alterar a forma conforme clicam e arrastam a variável para cima e para baixo. Um recurso que pode atrair usuários mais avançados é a capacidade de representar graficamente tabelas e desigualdades. As tabelas podem ser pré-preenchidas com expressões ou inseridas manualmente, e permitem que os alunos representem graficamente grupos de números ao mesmo tempo.

    Avaliação de Aprendizagem

    Avaliação geral
    Noivado

    Os alunos irão se divertir transformando sua compreensão das expressões em imagens e gráficos dinâmicos e coloridos. A interface fácil de usar permite que as crianças entrem imediatamente.

    Pedagogia

    Os alunos aprendem fazendo e veem instantaneamente as alterações em seus gráficos à medida que manipulam valores. As atividades permitem que os alunos brinquem e os ajudam a descobrir como as funções são representadas graficamente.

    Apoiar

    Orientações e dicas claras são fornecidas ao longo do caminho, às vezes em vários idiomas. Os professores podem rastrear os gráficos individuais dos alunos enquanto trabalham e, em seguida, usar a ferramenta Instantâneo para usar exemplos de trabalho dos alunos para ensinar conceitos.

    Principais padrões suportados

    Aritmética com polinômios e expressões racionais

    Entenda que os polinômios formam um sistema análogo aos inteiros, a saber, eles são fechados sob as operações de adição, subtração e multiplicação, soma, subtrai e multiplica polinômios.

    Prove identidades polinomiais e use-as para descrever relacionamentos numéricos. Por exemplo, a identidade polinomial (x2 + y2) 2 = (x2 - y2) 2 + (2xy) 2 pode ser usada para gerar triplas pitagóricas.

    (+) Conheça e aplique o Teorema Binomial para a expansão de (x + y) n em potências de xey para um inteiro positivo n, onde xey são quaisquer números, com coeficientes determinados, por exemplo, pelo Triângulo de Pascal.1

    Funções de construção

    Escreva uma função que descreva uma relação entre duas quantidades.

    Determine uma expressão explícita, um processo recursivo ou etapas para cálculo de um contexto.

    Combine os tipos de função padrão usando operações aritméticas. Por exemplo, crie uma função que modele a temperatura de um corpo em resfriamento adicionando uma função constante a um exponencial decadente e relacione essas funções ao modelo.

    (+) Funções de composição. Por exemplo, se T (y) é a temperatura na atmosfera em função da altura e h (t) é a altura de um balão meteorológico em função do tempo, então T (h (t)) é a temperatura em a localização do balão meteorológico em função do tempo.

    Escreva sequências aritméticas e geométricas recursivamente e com uma fórmula explícita, use-as para modelar situações e traduza entre as duas formas.

    Identifique o efeito no gráfico de substituir f (x) por f (x) + k, kf (x), f (kx) e f (x + k) para valores específicos de k (tanto positivo quanto negativo) encontre o valor de k dados os gráficos. Faça experiências com casos e ilustre uma explicação dos efeitos no gráfico usando a tecnologia. Inclui o reconhecimento de funções pares e ímpares de seus gráficos e expressões algébricas para eles.

    Resolva uma equação da forma f (x) = c para uma função simples f que tem uma inversa e escreva uma expressão para a inversa. Por exemplo, f (x) = 2 x3 ou f (x) = (x + 1) / (x – 1) para x ≠ 1.

    (+) Verifique por composição que uma função é o inverso de outra.

    (+) Lê os valores de uma função inversa de um gráfico ou tabela, dado que a função tem uma inversa.

    (+) Produz uma função invertível a partir de uma função não invertível restringindo o domínio.

    (+) Compreender a relação inversa entre expoentes e logaritmos e usar esta relação para resolver problemas envolvendo logaritmos e expoentes.

    Probabilidade condicional e as regras de probabilidade

    Describe events as subsets of a sample space (the set of outcomes) using characteristics (or categories) of the outcomes, or as unions, intersections, or complements of other events (“or,” “and,” “not”).

    Understand that two events A and B are independent if the probability of A and B occurring together is the product of their probabilities, and use this characterization to determine if they are independent.

    Understand the conditional probability of A given B as P(A and B)/P(B), and interpret independence of A and B as saying that the conditional probability of A given B is the same as the probability of A, and the conditional probability of B given A is the same as the probability of B.

    Construct and interpret two-way frequency tables of data when two categories are associated with each object being classified. Use the two-way table as a sample space to decide if events are independent and to approximate conditional probabilities. For example, collect data from a random sample of students in your school on their favorite subject among math, science, and English. Estimate the probability that a randomly selected student from your school will favor science given that the student is in tenth grade. Do the same for other subjects and compare the results.

    Recognize and explain the concepts of conditional probability and independence in everyday language and everyday situations. For example, compare the chance of having lung cancer if you are a smoker with the chance of being a smoker if you have lung cancer.

    Find the conditional probability of A given B as the fraction of B’s outcomes that also belong to A, and interpret the answer in terms of the model.

    Apply the Addition Rule, P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B), and interpret the answer in terms of the model.

    (+) Apply the general Multiplication Rule in a uniform probability model, P(A and B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), and interpret the answer in terms of the model.

    (+) Use permutations and combinations to compute probabilities of compound events and solve problems.

    Expressions And Equations

    Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents.

    Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers.

    Write expressions that record operations with numbers and with letters standing for numbers. For example, express the calculation “Subtract y from 5” as 5 – y.

    Identify parts of an expression using mathematical terms (sum, term, product, factor, quotient, coefficient) view one or more parts of an expression as a single entity. For example, describe the expression 2 (8 + 7) as a product of two factors view (8 + 7) as both a single entity and a sum of two terms.

    Evaluate expressions at specific values of their variables. Include expressions that arise from formulas used in real-world problems. Perform arithmetic operations, including those involving whole- number exponents, in the conventional order when there are no parentheses to specify a particular order (Order of Operations). For example, use the formulas V = s3 and A = 6 s2 to find the volume and surface area of a cube with sides of length s = 1/2.

    Apply the properties of operations to generate equivalent expressions.

    Identify when two expressions are equivalent (i.e., when the two expressions name the same number regardless of which value is substituted into them). For example, the expressions y + y + y and 3y are equivalent because they name the same number regardless of which number y stands for.

    Understand solving an equation or inequality as a process of answering a question: which values from a specified set, if any, make the equation or inequality true? Use substitution to determine whether a given number in a specified set makes an equation or inequality true.

    Use variables to represent numbers and write expressions when solving a real-world or mathematical problem understand that a variable can represent an unknown number, or, depending on the purpose at hand, any number in a specified set.

    Solve real-world and mathematical problems by writing and solving equations of the form x + p = q and px = q for cases in which p, q and x are all nonnegative rational numbers.


    1: Review: Functions and Graphs

    WZGrapher is an easy-to-use and small-footprinted Function Graphing and Calculation Program written in C language, with capabilities to plot both cartesian and polar functions. WZGrapher can also be used to graph numerical solution curves of integrals, to solve numerically and graph ordinary differential equations up to the fifth order, and to calculate value tables (also of ODEs) including the first derivative values.

    You may simply enter expressions such as x^3 - 2 x^2 , ln(sin(x-Pi/2)) or pi*sin(2t + sin(t)) , the latter being designated as polarfunction by 't' used as independent variable. Differential equations (ODE) may be typed in like y'' = -xy' + 3y , for example.

    WZGrapher comes with various built-in helperfunctions such as all 12 trigonometric and hyperbolic functions, e.g. tanh <512 * [2 - cosh(sin(x))^3]>,
    their inverses, e.g. acosh(x) (inverse hyperbolic cosine),
    logarithms with specifiable bases, e.g. logn(x, 15.4) ,
    Exponential Function exp(x) ,
    roots with specifiable index, e.g. root(2.5x, 5) ,
    the Gamma Function,
    complete as well as incomplete elliptic integrals,
    and several more.

    Differential Equation Screen Shot
    Solution curve of a differential equation (ODE) of the second order


    SOLUTION: Graph the function y = |x+1|

    You can put this solution on YOUR website!
    plot points
    :
    say x=1 then y=abs(x+1) =abs(2)=2
    (1,2)
    :
    say x=-3 then y=abs(x+1)=abs(-2)=2
    :
    (-3,2)
    :
    you can plot as many points as you think it takes to get a picture of what the graph will look like
    :
    hope that helps

    You can put this solution on YOUR website!
    Hi, Hope I can help,
    .
    Graph the function y = |x+1|
    .
    Absolute value is how far the number is on the number line. Absolute value makes any number inside them positive.
    .

    .
    We know that "y" will always be positive, since "y" equals an absolute value
    .
    All absolute value graphs look like a "V", the very point that the two lines meet will always be where "y" equals "0" ( since "0" is neither positive or negative, it doesn't have absolute value ), the "V" goes out from this point
    .
    Let us graph a few points
    .

    .
    First we replace "x" with any number
    .
    We will replace "x" with (-1)
    .
    = = ,
    .

    .
    Points are given as (x,y)
    .
    Our point is ( -1,0 )
    .

    .
    We need to find at least two more points to make the graph, we need a point with "x" as a positive number, and one with "x" as a negative number
    .
    We will replace "x" with "5"
    .
    = =
    .

    .
    We will now replace "x" with a negative number
    .
    We will replace "x" with
    .
    = =
    .
    ( since absolute value makes all negatives positive )
    .

    .
    We could now draw the equation, by drawing a line from ( -1,0 ) to ( -12, 11 ) then keep drawing the line after ( -12 , 11 ), then we would draw a line from (-1,0) to (5,6) and beyond
    .
    We could find more points if we wanted to,
    .
    "x" as (-7), = =
    .
    ( absolute value )
    .

    .
    (for some reason graph doesn't make a complete "V" for some reason, don't worry )
    .
    Hope I helped, Levi


    Assista o vídeo: Funksjoner og grafer 1 (Novembro 2021).