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8.3: Completando o Quadrado


Em Introdução à Notação Radical, mostramos como resolver equações como (x ^ 2 = 9 ) tanto algebricamente quanto graficamente.

[ begin {alinhados} x ^ {2} & = 9 x & = pm 3 end {alinhados} nonumber ]

Observe que, quando calculamos a raiz quadrada de ambos os lados dessa equação, há duas respostas, uma negativa e outra positiva.

Um quadrado perfeito é bom, mas não obrigatório. Na verdade, podemos até ter que fatorar um quadrado perfeito para colocar nossa resposta final de forma simples.

[ begin {alinhados} x ^ {2} & = 8 x & = pm sqrt {8} x & = pm sqrt {4} sqrt {2} x & = pm 2 sqrt {2} end {alinhado} nonumber ]

Os leitores devem usar suas calculadoras para verificar se (- 2 sqrt {2} approx -2,8284 ) e (2 sqrt {2} approx 2.8284 ).

Agora, vamos estender essa técnica de solução para uma classe mais ampla de equações.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Resolva para (x: (x-4) ^ {2} = 9 )

Solução

Muito parecido com as soluções de (x ^ 2 = 9 ) são (x = ± 3 ), usamos uma abordagem semelhante em ((x − 4) ^ 2 = 9 ) para obter:

[ begin {array} {rlrl} {(x-4) ^ {2}} & {= 9} & {} & color {Red} { text {Equação original. }} {x-4} & {= pm 3} & {} & color {Red} { text {Existem duas raízes quadradas. }} end {array} nonumber ]

Para completar a solução, adicione (4 ) a ambos os lados da equação.

[x = 4 pm 3 quad color {Vermelho} text {Adiciona} 3 text {a ambos os lados. } enhum número ]

Observe que isso significa que existem duas respostas, a saber:

[ begin {array} {l} {x = 4-3} {x = 1} end {array} nonumber ]

ou

[ begin {array} {l} {x = 4 + 3} {x = 7} end {array} nonumber ]

Verificar: Verifique cada solução substituindo-a na equação original.

Substitua (1 ) por (x ):

[ begin {alinhados} (x-4) ^ {2} & = 9 (1-4) ^ {2} & = 9 (- 3) ^ {2} & = 9 end {alinhados } enhum número ]

Substitua (7 ) por (x ):

[ begin {alinhado} (x-4) ^ {2} & = 9 (7-4) ^ {2} & = 9 (3) ^ {2} & = 9 end {alinhado} enhum número ]

Como a última afirmação em cada verificação é uma afirmação verdadeira, tanto (x = 1 ) e (x = 7 ) são soluções válidas de ((x − 4) ^ 2 = 9 ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Resolva para (x: (x + 6) ^ {2} = 10 )

Responder

(-2), (-10)

Em Exemplo ( PageIndex {1} ), o lado direito da equação ((x − 4) ^ 2 = 9 ) era um quadrado perfeito. No entanto, isso não é obrigatório, como mostrará o próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Resolva para (x: (x + 5) ^ {2} = 7 )

Solução

Usando a mesma técnica do Exemplo ( PageIndex {1} ), obtemos:

[ begin {array} {rlrl} {(x + 5) ^ {2}} & {= 7} & {} & color {Red} { text {Equação original. }} {x + 5} & {= pm sqrt {7}} & {} & color {Red} { text {Existem duas raízes quadradas. }} end {array} nonumber ]

Para completar a solução, subtraia 5 de ambos os lados da equação.

[x = -5 pm sqrt {7} quad color {Vermelho} text {Subtrair} 5 text {de ambos os lados.} nonumber ]

Observe que isso significa que existem duas respostas, a saber:

[x = -5- sqrt {7} quad text {ou} quad x = -5 + sqrt {7} nonumber ]

Verificar: Verifique cada solução substituindo-a na equação original.

Substitua (- 5- sqrt {7} ) por (x ):

[ begin {alinhados} (x + 5) ^ {2} & = 7 ((- 5- sqrt {7}) + 5) ^ {2} & = 7 (- sqrt {7 }) ^ {2} & = 7 end {alinhado} nonumber ]

Substitua (- 5+ sqrt {7} ) por (x ):

[ begin {alinhados} (x + 5) ^ {2} & = 7 ((- 5+ sqrt {7}) + 5) ^ {2} & = 7 ( sqrt {7} ) ^ {2} & = 7 end {alinhado} nonumber ]

Como a última declaração em cada verificação é uma declaração verdadeira, tanto (x = -5- sqrt {7} ) e (x = -5 + sqrt {7} ) são soluções válidas de ((x +5) ^ {2} = 7 ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Resolva para (x: (x-4) ^ {2} = 5 )

Responder

(4+ sqrt {5}, 4- sqrt {5} )

Às vezes, você terá que fatorar um quadrado perfeito para colocar sua resposta de forma simples.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolva para (x: (x + 4) ^ {2} = 20 )

Solução

Usando a mesma técnica do Exemplo ( PageIndex {1} ), obtemos:

[ begin {array} {rlrl} {(x + 4) ^ {2}} & {= 20} & {} & color {Red} { text {Equação original. }} {x + 4} & {= pm sqrt {20}} & {} & color {Vermelho} { text {Existem duas raízes quadradas. }} {x + 4} & {= pm sqrt {4} sqrt {5}} & {} & color {Vermelho} { text {Fatore um quadrado perfeito. }} {x + 4} & {= pm 2 sqrt {5}} & {} & color {Red} { text {Simplifique:} sqrt {4} = 2} end {array} enhum número ]

Para completar a solução, subtraia (4 ) de ambos os lados da equação.

[x = -4 pm 2 sqrt {5} quad color {Vermelho} text {Subtraia} 4 text {de ambos os lados. } enhum número ]

Observe que isso significa que existem duas respostas, a saber:

[x = -4-2 sqrt {5} quad text {ou} quad x = -4 + 2 sqrt {5} nonumber ]

Verificar: Embora seja possível verificar as respostas exatas, vamos usar nossa calculadora. Primeiro, armazene (- 4-2 sqrt {5} ) em ( mathbf {X} ). Em seguida, insira o lado esquerdo da equação ((x + 4) ^ 2 = 20 ) (veja a imagem à esquerda na Figura ( PageIndex {3} )). Observe que (x + 4) 2 simplifica para 20, mostrando que (- 4-2 sqrt {5} ) é uma solução de ((x + 4) ^ 2 = 20 ).

De maneira semelhante, a solução (- 4 + 2 sqrt {5} ) também verifica ((x + 4) ^ 2 = 20 ) (veja a imagem à direita na Figura ( PageIndex {3} )).

Exercício ( PageIndex {3} )

Resolva para (x: (x + 7) ^ {2} = 18 )

Responder

(- 7 + 3 sqrt {2}, - 7-3 sqrt {2} )

Trinômios do quadrado perfeito revisitados

Lembre-se do quadratura de um binômio atalho.

Quadrando um Binômio

Se (a ) e (b ) forem quaisquer números reais, então: [(a ± b) ^ 2 = a ^ 2 ± 2ab + b ^ 2 nonumber ] Ou seja, você eleva ao quadrado o primeiro termo , pegue o produto do primeiro e do segundo termos e dobre o resultado e, a seguir, eleve ao quadrado o terceiro termo.

Exemplos de lembretes:

[ begin {alinhado} (x + 3) ^ {2} & = x ^ {2} +2 (x) (3) + 3 ^ {2} & = x ^ {2} +6 x + 9 end {alinhado} nonumber ]

[ begin {alinhados} (x-8) ^ {2} & = x ^ {2} -2 (x) (8) + 8 ^ {2} & = x ^ {2} -16 x + 64 end {alinhado} nonumber ]

Porque fatorar é "desmultiplicar", é uma questão simples reverter o processo de multiplicação e fatorar estes trinômios quadrados perfeitos.

[x ^ {2} +6 x + 9 = (x + 3) ^ {2} não numérico ]

[x ^ {2} -16 x + 64 = (x-8) ^ {2} não numérico ]

Observe como, em cada caso, simplesmente obtemos a raiz quadrada do primeiro e do último termos.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Fatore cada um dos seguintes trinômios:

  1. (x ^ {2} -12 x + 36 )
  2. (x ^ {2} +10 x + 25 )
  3. (x ^ {2} -34 x + 289 )

Solução

Sempre que o primeiro e o último termos de um trinômio são quadrados perfeitos, devemos suspeitar que temos um trinômio quadrado perfeito.

  1. O primeiro e o terceiro termos de (x ^ {2} -12 x + 36 ) são quadrados perfeitos. Portanto, pegamos suas raízes quadradas e tentamos: [x ^ {2} -12 x + 36 = (x-6) ^ {2} nonumber ] Observe que (2 (x) (6) = 12 x ), que é o termo do meio à esquerda. A solução verifica.
  2. O primeiro e o terceiro termos de (x ^ {2} +10 x + 25 ) são quadrados perfeitos. Portanto, pegamos suas raízes quadradas e tentamos: [x ^ {2} +10 x + 25 = (x + 5) ^ {2} nonumber ] Observe que (2 (x) (5) = 10 x ), que é o termo do meio à esquerda. A solução verifica.
  3. O primeiro e o terceiro termos de (x ^ {2} -34 x + 289 ) são quadrados perfeitos. Portanto, pegamos suas raízes quadradas e tentamos: [x ^ {2} -34 x + 289 = (x-17) ^ {2} nonumber ] Observe que (2 (x) (17) = 34 x ), que é o termo do meio à esquerda. A solução verifica.

Exercício ( PageIndex {4} )

Fator: (x ^ 2 + 30x + 225 )

Responder

((x + 15) ^ {2} )

Completando o quadrado

Nesta seção, começamos com o binômio (x ^ 2 + bx ) e fazemos a pergunta "Qual valor constante devemos adicionar a (x ^ 2 + bx ) para que o trinômio resultante seja um trinômio quadrado perfeito?" A resposta está neste procedimento.

Completando o quadrado

Para calcular a constante necessária para fazer (x ^ 2 + bx ) um trinômio quadrado perfeito:

  1. Pegue a metade do coeficiente de (x: dfrac {b} {2} )
  2. Quadrado do resultado da etapa um: ( left ( dfrac {b} {2} right) ^ {2} = dfrac {b ^ {2}} {4} )
  3. Adicione o resultado da etapa dois a (x ^ {2} + b x: x ^ {2} + b x + dfrac {b ^ {2}} {4} )

Se você seguir este processo, o resultado será um trinômio quadrado perfeito que será fatorado da seguinte forma:

[x ^ {2} + b x + dfrac {b ^ {2}} {4} = left (x + dfrac {b} {2} right) ^ {2} nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {5} )

Dado (x ^ 2 + 12 x ), complete o quadrado para criar um trinômio quadrado perfeito.

Solução

Compare (x ^ 2 + 12x ) com (x ^ 2 + bx ) e observe que (b = 12 ).

  1. Pegue metade de (12: 6 )
  2. Quadrado do resultado da etapa um: (6 ^ 2 = 36 )
  3. Adicione o resultado da etapa dois a (x ^ 2 + 12x: x ^ 2 + 12x + 36 )

Verificar: Observe que o primeiro e o último termos de (x ^ 2 + 12x + 36 ) são quadrados perfeitos. Pegue as raízes quadradas do primeiro e do último termos e fatore da seguinte forma:

[x ^ {2} +12 x + 36 = (x + 6) ^ {2} não numérico ]

Observe que (2 (x) (6) = 12x ), portanto, o termo do meio é verificado.

Exercício ( PageIndex {5} )

Dado (x ^ 2 + 16x ), complete o quadrado para criar um trinômio quadrado perfeito.

Responder

(x ^ {2} +16 x + 64 = (x + 8) ^ {2} )

Exemplo ( PageIndex {6} )

Dado (x ^ 2−3x ), complete o quadrado para criar um trinômio quadrado perfeito.

Solução

Compare (x ^ 2 −3x ) com (x ^ 2 + bx ) e observe que (b = −3 ).

  1. Pegue a metade de (- 3: - dfrac {3} {2} )
  2. Quadrado do resultado da etapa um: ( left (- dfrac {3} {2} right) ^ {2} = dfrac {9} {4} )
  3. Adicione o resultado da etapa dois a (x ^ {2} -3 x: x ^ {2} -3 x + dfrac {9} {4} )

Verificar: Observe que o primeiro e o último termos de (x ^ {2} -3 x + dfrac {9} {4} ) são quadrados perfeitos. Pegue as raízes quadradas do primeiro e do último termos e fatore da seguinte forma:

[x ^ {2} -3 x + dfrac {9} {4} = left (x- dfrac {3} {2} right) ^ {2} nonumber ]

Observe que (2 (x) left ( dfrac {3} {2} right) = 3 x ), então o termo do meio é verificado.

Exercício ( PageIndex {6} )

Dado (x ^ 2 −5x ), complete o quadrado para criar um trinômio quadrado perfeito.

Responder

(x ^ {2} -5 x + dfrac {10} {4} = left (x- dfrac {5} {2} right) ^ {2} )

Resolvendo Equações Completando o Quadrado

Considere a seguinte equação não linear.

[x ^ 2 = 2x +2 não numérico ]

A abordagem padrão é fazer um lado zero e fator. [X ^ 2 −2x − 2 = 0 nonumber ] No entanto, percebe-se rapidamente que não há nenhum par inteiro cujo produto é (ac = −2 ) e cuja soma é (b = −2 ). Então, o que fazer nesta situação? A resposta é “Complete o quadrado”.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Use o preenchimento do quadrado para ajudar a resolver (x ^ 2 = 2x + 2 ).

Solução

Primeiro, mova (2x ) para o lado esquerdo da equação, mantendo a constante (2 ) no lado direito da equação. [X ^ 2 −2x = 2 nonumber ] On à esquerda, pegue a metade do coeficiente de (x: left ( dfrac {1} {2} right) (- 2) = - 1 ). Quadrado do resultado: ((- 1) ^ {2} = 1 ). Adicione este resultado a ambos os lados da equação.

[ begin {array} {l} {x ^ {2} -2 x + 1 = 2 + 1} {x ^ {2} -2 x + 1 = 3} end {array} nonumber ]

Podemos agora fatorar o lado esquerdo como um trinômio quadrado perfeito.

[(x-1) ^ {2} = 3 não numérico ]

Agora, como nos exemplos ( PageIndex {1} ), ( PageIndex {2} ) e ( PageIndex {3} ), podemos obter a raiz quadrada de ambos os lados da equação. Lembre-se de que existem duas raízes quadradas.

[x-1 = pm sqrt {3} nonumber ]

Finalmente, adicione (1 ) a ambos os lados da equação.

[x = 1 pm sqrt {3} nonumber ]

Assim, a equação (x ^ 2 = 2x + 2 ) tem duas respostas, (x = 1- sqrt {3} ) e (x = 1 + sqrt {3} ).

Verificar: Vamos usar a calculadora para verificar as soluções. Primeiro, armazene (1- sqrt {3} ) em ( mathbf {X} ) (veja a imagem à esquerda na Figura ( PageIndex {4} )). Em seguida, insira os lados esquerdo e direito da equação (x ^ 2 = 2 x + 2 ) e compare os resultados (veja a imagem à esquerda na Figura ( PageIndex {4} )). De maneira semelhante, verifique a segunda resposta (1+ sqrt {3} ) (veja a imagem à direita na Figura ( PageIndex {4} )).

Em ambos os casos, observe que os lados esquerdo e direito de (x ^ 2 = 2x + 2 ) produzem o mesmo resultado. Portanto, ambos (1- sqrt {3} ) e (1+ sqrt {3} ) são soluções válidas de (x ^ 2 = 2x + 2 ).

Exercício ( PageIndex {7} )

Use o preenchimento do quadrado para ajudar a resolver (x ^ 2 = 3−6x ).

Responder

(- 3 + 2 sqrt {3}, - 3-2 sqrt {3} )

Exemplo ( PageIndex {8} )

Resolva a equação (x ^ 2 −8x − 12 = 0 ), tanto algebricamente quanto graficamente. Compare sua resposta de cada método.

Solução

Primeiro, mova a constante (12 ) para o lado direito da equação.

[ begin {alinhado} x ^ {2} -8 x-12 = 0 & quad color {Vermelho} text {Equação original. } x ^ {2} -8 x = 12 & quad color {Vermelho} text {Adicionar} 12 text {para ambos os lados. } end {alinhado} nonumber ]

Pegue a metade do coeficiente de (x: (1/2) (- 8) = - 4 ). Quadrado: ((- 4) ^ {2} = 16 ). Agora adicione (16 ) a ambos os lados da equação.

[ begin {alinhados} x ^ {2} -8 x + 16 & = 12 + 16 quad color {Red} text {Add} 16 text {para ambos os lados. } (x-4) ^ {2} & = 28 quad color {Vermelho} text {Fator do lado esquerdo. } x-4 & = pm sqrt {28} quad color {Vermelho} text {Existem duas raízes quadradas. } end {alinhado} nonumber ]
Observe que a resposta não está na forma radical simples.

[ begin {array} {rlrl} {x-4} & {= pm sqrt {4} sqrt {7}} & {} & color {Red} { text {Fatore um quadrado perfeito. }} {x-4} & {= pm 2 sqrt {7}} & {} & color {Vermelho} { text {Simplifique:} sqrt {4} = 2} {x} & {= 4 pm 2 sqrt {7}} & {} & color {Red} { text {Adicionar} 4 text {a ambos os lados. }} end {array} nonumber ]

Solução gráfica: Insira a equação (y = x ^ 2 - 8x - 12 ) em ( mathbf {Y1} ) do Y = menu (veja a primeira imagem na Figura ( PageIndex {5} )). Após alguma experimentação, decidimos no JANELA parâmetros mostrados na imagem do meio da Figura ( PageIndex {5} ). Depois de inserir esses JANELA parâmetros, empurre o GRÁFICO botão para produzir a imagem mais à direita na Figura ( PageIndex {5} ).

Estamos procurando soluções de (x ^ 2 −8x − 12 = 0 ), então precisamos localizar onde o gráfico de (y = x ^ 2 −8x − 12 ) intercepta o (x ) -eixo. Ou seja, precisamos encontrar os zeros de (y = x ^ 2 −8x − 12 ). Selecione 2: zero de CALC menu, mova o cursor ligeiramente para a esquerda do primeiro (x ) - interceptar e pressione ENTRAR em resposta a "Limite esquerdo". Mova o cursor ligeiramente para a direita do primeiro (x ) - intercepte e pressione ENTRAR em resposta a "Limite correto". Deixe o cursor onde está e pressione ENTRAR em resposta a “Adivinhar”. A calculadora responde encontrando a coordenada (x ) - da interceptação (x ), como mostrado na primeira imagem na Figura ( PageIndex {6} ).

Repita o processo para encontrar o segundo (x ) - interceptação de (y = x ^ 2−8x − 12 ) mostrado na segunda imagem na Figura ( PageIndex {6} ).

Relatando a solução em sua lição de casa: Duplique a imagem na janela de visualização da calculadora na página de dever de casa. Use uma régua para desenhar todas as linhas, mas todas as curvas à mão livre.

  • Rotule os eixos horizontal e vertical com (x ) e (y ), respectivamente (consulte a Figura ( PageIndex {7} )).
  • Coloque o seu JANELA parâmetros no final de cada eixo (ver Figura ( PageIndex {7} )).
  • Rotule o gráfico com sua equação (consulte a Figura ( PageIndex {7} )).
  • Solte linhas verticais tracejadas em cada (x ) - interceptação. Sombreie e rotule os valores (x ) dos pontos onde a linha vertical tracejada cruza o eixo (x ). Estas são as soluções da equação (x ^ 2−8x − 12 = 0 ) (veja a Figura ( PageIndex {7} )).

Assim, a calculadora gráfica relata que as soluções de (x ^ 2 −8x − 12 = 0 ) são (x approx-1.291503 ) e (x approx 9.2915026 ).

Comparando aproximações exatas e calculadoras: Quão bem as soluções da calculadora gráfica se comparam com as soluções exatas, (x = 4-2 sqrt {7} ) e (x = 4 + 2 sqrt {7} )? Depois de inserir cada um na calculadora (veja a Figura ( PageIndex {8} )), a comparação é excelente!

Exercício ( PageIndex {8} )

Resolva a equação (x ^ 2 + 6x + 3 = 0 ) tanto algebricamente quanto graficamente, depois compare suas respostas.

Responder

(- 3- sqrt {6}, - 3+ sqrt {6} )