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10: Coordenadas polares, equações paramétricas (exercícios)


Estes são exercícios de casa para acompanhar o mapa de texto "Cálculo Geral" de David Guichard. Os exercícios de cálculo geral complementar podem ser encontrados em outros mapas de texto e podem ser acessados ​​aqui.

10.1: Coordenadas polares

10.1.1Trace esses pontos de coordenadas polares em um gráfico: $ (2, pi / 3) ), $ (- 3, pi / 2) ), $ (- 2, - pi / 4) ), $ ( 1/2, pi) ), $ (1,4 pi / 3) ), $ (0,3 pi / 2) $.

Encontre uma equação em coordenadas polares que tenha o mesmo gráfico da equação fornecida em coordenadas retangulares.

10.1.2 (y = 3x ) (responder)

10.1.3 (y = -4 ) (responder)

10.1.4 (xy ^ 2 = 1 ) (responder)

10.1.5 (x ^ 2 + y ^ 2 = 5 ) (responder)

10.1.6 (y = x ^ 3 ) (responder)

10.1.7 (y = sin x ) (responder)

10.1.8 (y = 5x + 2 ) (responder)

10.1.9 (x = 2 ) (responder)

10.1.10 (y = x ^ 2 + 1 ) (responder)

10.1.11 (y = 3x ^ 2-2x ) (responder)

10.1.12 (y = x ^ 2 + y ^ 2 ) (responder)

Esboce a curva.

10.1.13 (r = cos theta $

10.1.14 (r = sin ( theta + pi / 4) $

10.1.15 (r = - sec theta $

10.1.16 (r = theta / 2 ), $ theta ge0 )

10.1.17 (r = 1 + theta ^ 1 / pi ^ 2 )

10.1.18 (r = cot theta csc theta )

10.1.19 (r = {1 over sin theta + cos theta} )

10.1.20 (r ^ 2 = -2 seg theta csc theta )

Encontre uma equação em coordenadas retangulares que tenha o mesmo gráfico da equação fornecida em coordenadas polares.

10.1.21 (r = sin (3 theta) ) (responder)

10.1.22 (r = sin ^ 2 theta ) (responder)

10.1.23 (r = sec theta csc theta ) (responder)

10.1.24 (r = tan theta ) (responder)

10.2: Declives em coordenadas polares

Calcular (y '= dy / dx ) e (y' '= d ^ 2y / dx ^ 2 )

10.2.1 (r = theta ) (responder)

10.2.2 (r = 1 + sin theta ) (responder)

10.2.3 (r = cos theta ) (responder)

10.2.4 (r = sin theta ) (responder)

10.2.5 (r = sec theta ) (responder)

10.2.6 (r = sin (2 theta) ) (responder)

Esboce as curvas no intervalo ([0,2 pi] ), a menos que seja indicado o contrário.

10.2.7 (r = sin theta + cos theta )

10.2.8 (r = 2 + 2 sin theta )

10.2.9 (r = {3 over2} + sin theta )

10.2.10 (r = 2+ cos theta )

10.2.11 (r = {1 over2} + cos theta )

10.2.12 (r = cos ( theta / 2), 0 le theta le4 pi )

10.2.13 (r = sin ( theta / 3), 0 le theta le6 pi )

10.2.14 (r = sin ^ 2 theta )

10.2.15 (r = 1 + cos ^ 2 (2 theta) )

10.2.16 (r = sin ^ 2 (3 theta) )

10.2.17 (r = tan theta )

10.2.18 (r = sec ( theta / 2), 0 le theta le4 pi )

10.2.19 (r = 1 + sec theta )

10.2.20 (r = {1 over 1- cos theta} )

10.2.21 (r = {1 over 1+ sin theta} )

10.2.22 (r = cot (2 theta) )

10.2.23 (r = pi / theta, 0 le theta le infty )

10.2.24 (r = 1 + pi / theta, 0 le theta le infty )

10.2.25 (r = sqrt { pi / theta}, 0 le theta le infty )

10.3: Áreas em coordenadas polares

Encontre a área delimitada pela curva.

10.3.1 (r = sqrt { sin theta} ) (responder)

10.3.2 (r = 2 + cos theta ) (responder)

10.3.3 (r = sec theta, pi / 6 le theta le pi / 3 ) (responder)

10.3.4 (r = cos theta, 0 le theta le pi / 3 ) (responder)

10.3.5 (r = 2a cos theta, a> 0 ) (responder)

10.3.6 (r = 4 + 3 sin theta ) (responder)

10.3.7 Encontre a área dentro do loop formado por (r = tan ( theta / 2) $. (responder)

10.3.8 Encontre a área dentro de um loop de (r = cos (3 theta) $. (responder)

10.3.9 Encontre a área dentro de um loop de (r = sin ^ 2 theta $. (responder)

10.3.10 Encontre a área dentro do pequeno loop de (r = (1/2) + cos theta $. (responder)

10.3.11 Encontre a área dentro de (r = (1/2) + cos theta ), incluindo a área dentro do pequeno loop. (responder)

10.3.12 Encontre a área dentro de um loop de (r ^ 2 = cos (2 theta) $. (responder)

10.3.13 Encontre a área delimitada por $ r = tan theta $ e (r = { csc theta over sqrt2} $. (responder)

10.3.14 Encontre a área dentro de $ r = 2 cos theta $ e fora de $ r = 1 $. (responder)

10.3.15 Encontre a área dentro de $ r = 2 sin theta $ e acima da linha $ r = (3/2) csc theta $. (responder)

10.3.16 Encontre a área dentro de $ r = theta ), $ 0 le theta le2 pi $. (responder)

10.3.17 Encontre a área dentro de (r = sqrt { theta} ), $ 0 le theta le2 pi $. (responder)

10.3.18 Encontre a área dentro de (r = sqrt3 cos theta $ e $ r = sin theta $. (responder)

10.3.19 Encontre a área dentro de $ r = 1- cos theta $ e $ r = cos theta $. (responder)

10.3.20 O centro de um círculo de raio 1 está na circunferência de um círculo de raio 2. Encontre a área da região dentro de ambos os círculos. (responder)

10.3.21 Encontre a área sombreada na figura 10.3.4. A curva é $ r = theta ), $ 0 le theta le3 pi $. (responder)

Figura 10.3.4. Uma área delimitada pela espiral de Arquimedes.

10.4: Equações Paramétricas

10.4.1 Qual curva é descrita por (x = t ^ 2 ), (y = t ^ 4 )? Se (t ) for interpretado como tempo, descreva como o objeto se move na curva.

10.4.2 Qual curva é descrita por (x = 3 cos t ), (y = 3 sin t )? Se (t ) for interpretado como tempo, descreva como o objeto se move na curva.

10.4.3 Qual curva é descrita por (x = 3 cos t ), (y = 2 sin t )? Se (t ) for interpretado como tempo, descreva como o objeto se move na curva.

10.4.4 Qual curva é descrita por (x = 3 sin t ), (y = 3 cos t )? Se (t ) for interpretado como tempo, descreva como o objeto se move na curva.

10.4.5 Esboce a curva descrita por (x = t ^ 3-t ), (y = t ^ 2 ). Se (t ) for interpretado como tempo, descreva como o objeto se move na curva.

10.4.6 Uma roda de raio 1 rola ao longo de uma linha reta, digamos, o eixo (x ). Um ponto (P ) está localizado a meio caminho entre o centro da roda e o aro; assume que (P ) começa no ponto ((0,1 / 2) ). Conforme a roda gira, (P ) traça uma curva; encontre equações paramétricas para a curva. (responder)

10.4.7 Uma roda de raio 1 rola ao redor de um círculo de raio 3. Um ponto (P ) na borda da roda traça uma curva chamada de hiperciclóide, conforme indicado na figura 10.4.3. Supondo que (P ) comece no ponto (3,0) ), encontre as equações paramétricas para a curva. (responder)

Figura 10.4.3. Um hipociclóide e um hipociclóide.

10.4.8 Uma roda de raio 1 rola ao redor do interior de um círculo de raio 3. Um ponto (P ) no aro da roda traça uma curva chamada de hipociclóide, conforme indicado na figura 10.4.3. Supondo que (P ) comece no ponto (3,0) ), encontre as equações paramétricas para a curva. (responder)

10.4.9 A involuir de um círculo é formado da seguinte maneira: imagine que uma corda longa (isto é, infinita) é enrolada firmemente em torno de um círculo e que você agarra a ponta da corda e começa a desenrolá-la, mantendo a corda esticada. O final da string traça o involuto. Encontre equações paramétricas para esta curva, usando um círculo de raio 1, e assumindo que a corda se desenrola no sentido anti-horário e o final da corda está inicialmente em ((1,0) ). Figura 10.4.4 mostra parte da curva; as linhas pontilhadas representam a string em alguns momentos diferentes. (responder)

Figura 10.4.4. Um círculo envolvente.

10.5: Cálculo com Equações Paramétricas

10.5.1 Considere a curva do exercício 6 na seção 10.4. Encontre todos os valores de $ t $ para os quais a curva tem uma linha tangente horizontal. (responder)

10.5.2 Considere a curva do exercício 6 na seção 10.4. Encontre a área sob um arco da curva. (responder)

10.5.3 Considere a curva do exercício 6 na seção 10.4. Configure uma integral para o comprimento de um arco da curva. (responder)

10.5.4 Considere o hiperciclóide do exercício 7 na seção 10.4. Encontre todos os pontos nos quais a curva tem uma linha tangente horizontal. (responder)

10.5.5 Considere o hiperciclóide do exercício 7 na seção 10.4. Encontre a área entre o grande círculo e um arco da curva. (responder)

10.5.6 Considere o hiperciclóide do exercício 7 na seção 10.4. Encontre o comprimento de um arco da curva. (responder)

10.5.7 Considere o hipociclóide do exercício 8 na seção 10.4. Encontre a área dentro da curva. (responder)

10.5.8 Considere o hipociclóide do exercício 8 na seção 10.4. (responder)

10.5.9 Lembre-se da envolvência de um círculo a partir do exercício 9 na seção 10.4. Encontre o ponto no primeiro quadrante da figura 10.4.4 em que a linha tangente é vertical. (responder)

10.5.10 Lembre-se da envolvência de um círculo a partir do exercício 9 na seção 10.4. Em vez de uma string infinita, suponha que temos uma string de comprimento $ pi $ anexada ao círculo unitário em $ (- 1,0) ), e inicialmente colocada em torno do topo do círculo com sua extremidade em $ (1, 0) $. Se agarrarmos a ponta do barbante e começarmos a desenrolar, obtemos um pedaço do involuto, até que o barbante fique na vertical. Se mantivermos a corda esticada e continuarmos a girá-la no sentido anti-horário, a extremidade traça um semicírculo com o centro em $ (- 1,0) ), até que a corda fique novamente na vertical. Continuando, o final da corda traça a imagem espelhada da porção inicial da curva; Veja a figura 10.5.1. Encontre a área da região dentro desta curva e fora do círculo unitário. (responder)

10.5.11 Encontre o comprimento da curva do exercício anterior, mostrado na figura 10.5.1. (responder)

10.5.12 Encontre o comprimento da espiral de Arquimedes (figura 10.3.4) por $ 0 le theta le2 pi $. (responder)

Figura 10.5.1. Região formada pela ponta de um barbante.


Coordenadas retangulares são as coordenadas comuns ((x, y) ) com as quais você está acostumado.

As coordenadas polares representam o mesmo ponto, mas descrevem o ponto por sua distância da origem ((r) ) e seu ângulo no círculo unitário (( theta) ). Para traduzir para frente e para trás entre as coordenadas polares e retangulares, você deve usar as relações trigonométricas básicas:

( sin theta = frac rightarrow r cdot sin theta = y )

( cos theta = frac rightarrow r cdot cos theta = x )

( tan theta = frac rightarrow theta = tan ^ <-1> frac)

Você também pode expressar a relação entre (x, y ) e (r ) usando o Teorema de Pitágoras.

Observe que as coordenadas na forma polar não são únicas. Isso ocorre porque há um número infinito de ângulos coterminais que apontam para qualquer coordenada ((x, y) ) dada.

Por exemplo, o ponto (3,4) pode ser escrito em coordenadas polares de pelo menos três maneiras diferentes. Para encontrar ( theta ), use a terceira equação acima e para encontrar (r ) use o teorema de Pitágoras.

Três coordenadas polares equivalentes para o ponto (3,4) são:

Observe como a terceira coordenada aponta na direção oposta e tem um raio aparentemente negativo. Isso significa ir na direção oposta do ângulo.

Uma vez que você pode traduzir para frente e para trás entre os pontos, use as mesmas substituições para alterar as equações também. Uma equação polar é escrita com o raio em função do ângulo. Isso significa que uma equação na forma polar deve ser escrita na forma (r = ) ___.

Para escrever uma equação na forma polar, use as equações de conversão para substituí-la. Por exemplo, para converter (y = -x + 1 ) para a forma polar, faça substituições para (y ) e (x ). Então, resolva para (r ).

(começar r cdot sin theta & amp = -r cdot cos theta + 1 r cdot sin theta + r cdot cos theta & amp = 1 r ( sin theta + cos theta) & amp = 1 r & amp = frac <1> < sin theta + cos theta> end)


10 coordenadas polares, equações paramétricas

1 Coordenadas polares, equações paramétricas & frac12 & frac14 & ordm & frac12 & Egrave & Oacute & ETH & Ouml & Oacute & Oacute & Oacute & Ouml & Ograve & Oslash Os sistemas de coordenadas são ferramentas que nos permitem usar métodos algébricos para entender a geometria. em sistemas de coordenadas alternativos Um sistema de coordenadas é um esquema que nos permite identificar qualquer ponto no plano ou no espaço tridimensional por um conjunto de números. Em coordenadas retangulares, esses números são interpretados, grosso modo, como os comprimentos dos lados de um retângulo Em coordenadas polares, um ponto no plano é identificado por um par de números (r, & theta) O número & theta mede o ângulo entre o eixo x positivo e um raio que passa pelo ponto, como mostrado na figura, o número r mede a distância da origem ao ponto A Figura mostra o ponto com coordenadas retangulares (, 3) e coordenadas polares (2, & pi / 3), 2 unidades da origem e & pi / 3 radianos do eixo x positivo 3 (2, & pi / 3) Figura Coordenadas polares do ponto (, 3) 239

2 24 Capítulo Coordenadas polares, equações paramétricas Assim como descrevemos curvas no plano usando equações envolvendo xey, também podemos descrever curvas usando equações envolvendo re & theta. Mais comuns são as equações da forma r = f (& theta) EXEMPLO Represente graficamente o curva dada por r = 2 Todos os pontos com r = 2 estão a uma distância 2 da origem, então r = 2 descreve o círculo de raio 2 com centro na origem EXEMPLO 2 Represente graficamente a curva dada por r = + cos & teta Consideramos primeiro y = + cosx, como na figura 2 À medida que & theta passa pelos valores em [, 2 & pi], o valor de r rastreia o valor de y, formando a forma cardióide da figura 2 Por exemplo, quando & theta = & pi / 2, r = + cos (& pi / 2) =, então representamos graficamente o ponto a distância da origem ao longo do eixo y positivo, que está em um ângulo de & pi / 2 a partir do eixo x positivo Quando & theta = 7 & pi / 4, r = + cos (7 & pi / 4) = + 2/2 7, e o ponto correspondente aparece no quarto quadrante. Isso ilustra um dos benefícios potenciais do uso de coordenadas polares: o a equação para esta curva em coordenadas retangulares seria bastante complicada 2 & pi / 2 & pi 3 & pi / 2 2 & pi Figura 2 Um cardióide: y = + cosx à esquerda, r = + cos & theta à direita Cada ponto no plano está associado a exatamente um par de números no sistema de coordenadas retangulares, cada ponto está associado a um número infinito de pares em coordenadas polares. No exemplo cardióide, consideramos apenas o intervalo & theta 2 & pi, e já havia uma duplicata: (2,) e (2,2 & pi ) são o mesmo ponto De fato, cada valor de & theta fora do intervalo [, 2 & pi) duplica um ponto na curva r = + cos & theta quando & theta & lt 2 & pi Podemos até mesmo entender as coordenadas polares como (2, & pi / 4): go para a direção & pi / 4 e, em seguida, mova uma distância 2 na direção oposta, consulte a figura 3. Como de costume, um ângulo negativo & theta significa um ângulo medido no sentido horário a partir do eixo x positivo. O ponto na figura 3 também tem coordenadas (2, 5 e pi / 4) e (2, 3 e pi / 4) A relação entre as coordenadas retangulares e polares tes é bastante fácil de entender O ponto com coordenadas polares (r, & theta) tem coordenadas retangulares x = rcos & theta ey = rsin & theta isso segue imediatamente da definição das funções seno e cosseno Usando a figura 3 como exemplo, o ponto mostrado é retangular coordenadas

3 Coordenadas polares Figura 3 O ponto (2, & pi / 4) = (2, 5 & pi / 4) = (2, 3 & pi / 4) em coordenadas polares x = (2) cos (& pi / 4) = ey = (2 ) sin (& pi / 4) = 2 Isso torna muito fácil converter equações de coordenadas retangulares em polares EXEMPLO 3 Encontre a equação da reta y = 3x + 2 em coordenadas polares Nós 2 meramente substituímos: rsin & theta = 3rcos & theta + 2, ou r = sin & theta 3cos & theta EXEMPLO 4 Encontre a equação do círculo (x / 2) 2 + y 2 = / 4 em coordenadas polares Novamente substituindo: (rcos & theta / 2) 2 + r 2 sin 2 & theta = / 4 Um pouco de álgebra gira isto em r = cos (t) Você deve tentar traçar alguns valores (r, & theta) para se convencer de que isso faz sentido EXEMPLO 5 Represente graficamente a equação polar r = & theta Aqui a distância da origem corresponde exatamente ao ângulo, então um pouco do pensamento deixa claro que quando & theta obtemos a espiral de Arquimedes na figura 4 Quando & theta & lt, r também é negativo e, portanto, o gráfico completo é a imagem à direita na figura & pi / 4 (& pi / 2, & pi / 2 ) (,) (& pi, & pi) (2 & pi, 2 & pi) (& pi / 2, & pi / 2) (2 & pi, 2 & pi) (,) (& pi, & pi) Figura 4 A espiral de Arquimedes e o gráfico completo de r = & theta Converter equações polares em equações retangulares pode ser um pouco mais complicado , e representar graficamente equações polares diretamente também nem sempre é fácil

4 242 Capítulo Coordenadas polares, equações paramétricas EXEMPLO 6 Gráfico r = 2sin & theta Como o seno é periódico, sabemos que obteremos a curva inteira para os valores de & theta em [, 2 & pi) À medida que & theta vai de a & pi / 2, r aumenta de para 2 Então, à medida que & theta continua para & pi, r diminui novamente para Quando & theta vai de & pi para 2 & pi, r é negativo, e não é difícil ver que a primeira parte da curva é simplesmente traçada novamente, então, na verdade, obtemos a curva inteira para os valores de & theta em [, & pi) Assim, a curva se parece com a figura 5 Agora, isso sugere que a curva poderia ser um círculo e, se for, teria que ser o círculo x 2 + ( y) 2 = Tendo feito esta estimativa, podemos facilmente verificá-la Primeiro substituímos xey para obter (rcos & theta) 2 + (rsin & theta) 2 = expandir e simplificar realmente transforma isso em r = 2sin & theta Figura 5 Gráfico de r = Exercícios de 2sin e theta Plote esses pontos de coordenadas polares em um gráfico: (2, & pi / 3), (3, & pi / 2), (2, & pi / 4), (/ 2, & pi), (, 4 e pi / 3) , (, 3 & pi / 2) Encontre uma equação em coordenadas polares que tenha o mesmo gráfico que a equação dada em coordenadas retangulares 2 y = 3x 3 y = 4 4 xy 2 = 5 x 2 + y 2 = 5 6 y = x 3 7 y = sinx 8 y = 5x + 2 9 x = 2 y = x 2 + y = 3x 2 2x 2 y = x 2 + y 2 Esboce a curva 3 r = cos & teta

6 244 Capítulo Coordenadas polares, equações paramétricas Esta fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero) O numerador é 2cos 2 & theta + cos & theta então pela fórmula quadrática cos & theta = & plusmn = ou Isto significa & theta é & pi ou & plusmn & pi / 3 No entanto, quando & theta = & pi, o denominador também é, então não podemos concluir que a linha tangente é horizontal Definindo o denominador para zero, obtemos & theta 2sin & thetacos & theta = sin & theta (+ 2cos & theta) =, então ou sin & theta = ou cos & theta = / 2 O primeiro é verdadeiro quando & theta é ou & pi, o segundo quando & theta é 2 & pi / 3 ou 4 & pi / 3 No entanto, como acima, quando & theta = & pi, o numerador também é, portanto não podemos concluir que a linha tangente é vertical. A Figura 2 mostra pontos correspondentes a & theta igual a, & plusmn & pi / 3, 2 & pi / 3 e 4 & pi / 3 no gráfico da função Observe que quando & theta = & pi a curva atinge a origem e não tem uma linha tangente 2 Figura 2 Pontos de vertical e horizontal tangência para r = + cos & theta We k agora que a segunda derivada f (x) é útil na descrição de funções, a saber, na descrição da concavidade Podemos calcular f (x) em termos de coordenadas polares também. Já sabemos como escrever dy / dx = y em termos de & theta, então d dy dx dx = dy dx = dy d & theta d & theta dx = dy / d & theta dx / d & theta EXEMPLO 22 Encontramos a segunda derivada para o cardióide r = + cos & theta: d cos & theta + cos 2 & theta sen 2 & theta d & theta dx / d & theta EXEMPLO 22 Encontramos a segunda derivada para o cardióide r = + cos & theta: d cos & theta + cos 2 & theta sen 2 & theta d & theta sin & theta 2sin & thetacos & theta = = = 3 (+ cos & theta) (sin & theta + 2sin & thetacos & theta) 2 3 (+ cos & theta) (sin & theta + 2sin & thetacos & theta) 3 (sin & theta + 2sin & thetacos & theta) A elipse aqui representa uma quantidade substancial de tangente horizontal. em & plusmn & pi / 3 substituindo esses valores no segundo

7 3 Áreas em coordenadas polares 245 derivada obtemos y (& pi / 3) = 3/2 ey (& pi / 3) = 3/2, indicando côncavo para baixo e côncavo para cima, respectivamente. Isso está de acordo com o gráfico da função Exercícios 2 Computar y = dy / dx ey = d 2 y / dx 2 r = & theta 2 r = + sin & theta 3 r = cos & theta 4 r = sin & theta 5 r = sec & theta 6 r = sin (2 & theta) Esboce as curvas ao longo do intervalo [, 2 & pi ] a menos que indicado de outra forma 7 r = sin & theta + cos & theta 8 r = 2 + 2sin & theta 9 r = 3 + sin & theta r = 2 + cos & theta 2 r = + cos & theta 2 r = cos (& theta / 2), & theta 4 & pi 2 3 r = sin ( & theta / 3), & theta 6 & pi 4 r = sin 2 & theta 5 r = + cos 2 (2 & theta) 6 r = sin 2 (3 & theta) 7 r = tan & theta 8 r = sec (& theta / 2), & theta 4 & pi 9 r = + sec & theta 2 r = cos & theta 2 r = + sin & theta 22 r = cot (2 & theta) 23 r = & pi / & theta, & theta 24 r = + & pi / & theta, & theta 25 r = & pi / & theta, & theta & frac12 & frac14 & ordm & Ouml & Osuml & Ograve & Ograve & Ograve & Ograve & Ograve Ograve & Ograve & Ograve & Ograve & Ograve & Ograve & Ograve & Oacute Oacute Oacute & Oacute & Oacute Oumlute & Ograve & OircuteOlumlum & Oircute & Oirlumlum & Oircute. Podemos usar a equação de uma curva em coordenadas polares para calcular algumas áreas b encontrada por tais curvas A abordagem básica é a mesma de qualquer aplicação de integração: encontre uma aproximação que se aproxime do valor verdadeiro Para áreas em coordenadas retangulares, aproximamos a região usando retângulos em coordenadas polares, usamos setores de círculos, conforme ilustrado em figura 3 Lembre-se de que a área de um setor de um círculo é & alphar 2/2, onde & alpha é o ângulo subtendido pelo setor Se a curva é dada por r = f (& theta), e o ângulo subtendido por um pequeno setor é & theta , a área é (& theta) (f (& theta)) 2/2 Assim, aproximamos a área total como ni = 2 f (& theta i) 2 & theta No limite, torna-se ba 2 f (& theta) 2 d & theta

8 246 Capítulo Coordenadas polares, equações paramétricas EXEMPLO 3 Encontramos a área dentro do cardióide r = + cos & theta 2 & pi 2 (+ cos & theta) 2 d & theta = 2 & pi 2 + 2cos & theta + cos 2 & theta d & theta = 2 (& theta + 2sin & theta + & theta 2 + sin2 & theta 4 ) 2 & pi = 3 & pi 2 Figura 3 Área de aproximação por setores de círculos EXEMPLO 32 Encontramos a área entre os círculos r = 2 e r = 4sin & theta, como mostrado na figura 32 As duas curvas se cruzam onde 2 = 4sin & theta, ou sin & theta = / 2, então & theta = & pi / 6 ou 5 & pi / 6 A área que queremos é 2 5 & pi / 6 & pi / 6 6sin 2 & theta 4 d & theta = 4 3 & pi +2 3 Figura 32 Uma área entre curvas Este exemplo faz com que o processo pareça mais simples do que é Como os pontos têm muitas representações diferentes em coordenadas polares, nem sempre é tão fácil identificar pontos de intersecção

9 3 Áreas em coordenadas polares 247 EXEMPLO 33 Encontramos a área sombreada no primeiro gráfico da figura 33 como a diferença das outras duas áreas sombreadas O cardióide é r = + sin & theta e o círculo é r = 3sin & theta Tentamos encontrar pontos de intersecção: + sin & theta = 3sin & theta = 2sin & theta / 2 = sin & theta Isso tem soluções & theta = & pi / 6 e 5 & pi / 6 & pi / 6 corresponde à interseção no primeiro quadrante de que precisamos Observe que nenhuma solução desta equação corresponde ao ponto de interseção na origem, mas felizmente esse é óbvio O cardióide passa pela origem quando & theta = & pi / 2 o círculo passa pela origem em múltiplos de & pi, começando com Agora a região maior tem área e a menor tem área, então a área nós search is & pi / 8 & pi / 6 (+ sin & theta) 2 d & theta = & pi 2 & pi / & pi / 6 (3sin & theta) 2 d & theta = 3 & pi Figura 33 Uma área entre curvas

10 248 Capítulo Coordenadas polares, equações paramétricas Exercícios 3 Encontre a área delimitada pela curva r = sin & theta 2 r = 2 + cos & theta 3 r = sec & theta, & pi / 6 & theta & pi / 3 4 r = cos & theta, & theta & pi / 3 5 r = 2acos & theta, a & gt 6 r = 4 + 3sin & theta 7 Encontre a área dentro do loop formado por r = tan (& theta / 2) 8 Encontre a área dentro de um loop de r = cos (3 & theta) 9 Encontre a área dentro de um loop de r = sin 2 & theta Encontre a área dentro do pequeno loop de r = (/ 2) + cos & theta Encontre a área dentro de r = (/ 2) + cos & theta, incluindo a área dentro do pequeno loop 2 Encontre a área dentro de um loop de r 2 = cos (2 & theta) 3 Encontre a área delimitada por r = tan & theta er = csc & theta 2 4 Encontre a área dentro de r = 2cos & theta e fora de r = 5 Encontre a área dentro de r = 2sin & theta e acima da linha r = (3/2) csc & theta 6 Encontre a área dentro de r = & theta, & theta 2 & pi 7 Encontre a área dentro de r = & theta, & theta 2 & pi 8 Encontre a área dentro de r = 3cos & theta e r = sin & theta 9 Encontre a área dentro de r = cos & theta e r = co s & theta 2 O centro de um círculo de raio está na circunferência de um círculo de raio 2 Encontre a área da região dentro de ambos os círculos 2 Encontre a área sombreada na figura 34 A curva é r = & theta, & theta 3 & pi Figura 34 Uma área limitada pela espiral de Arquimedes

11 4 Equações paramétricas 249 & frac12 & frac14 & ordm & Egrave & Ouml & Ntilde & Oslash & Ouml & Otilde & Ugrave & Oslash & Oacute & Ograve Quando calculamos a derivada dy / dx usando coordenadas polares, usamos as expressões x = f (& theta) completamente duas equações cós & theta e y = f (& theta). especifique a curva, embora a forma r = f (& theta) seja mais simples A forma expandida tem a virtude de poder ser facilmente generalizada para descrever uma gama mais ampla de curvas do que pode ser especificada em coordenadas retangulares ou polares. Suponha que f (t) e g (t) são funções Então as equações x = f (t) ey = g (t) descrevem uma curva no plano. No caso das equações de coordenadas polares, a variável t é substituída por & theta que tem uma interpretação geométrica natural Mas t em geral é simplesmente uma variável arbitrária, muitas vezes chamada neste caso de parâmetro, e este método de especificar uma curva é conhecido como equações paramétricas Uma interpretação importante de t é o tempo Nesta interpretação, as equações x = f (t ) ey = g (t) fornecem a posição de um objeto no tempo t EXEMPLO 4 Descreva o caminho de um objeto que se move de modo que sua posição no tempo t seja dada por x = custo, y = cos 2 t Vemos imediatamente que y = x 2, então o caminho está nesta parábola. O caminho não é a parábola inteira, no entanto, uma vez que x = custo está sempre entre e Agora é fácil ver que o objeto oscila para frente e para trás na parábola entre os pontos finais ( ,) e (,), e está no ponto (,) no tempo t = Às vezes é muito fácil descrever um caminho complicado em equações paramétricas quando as expressões de coordenadas retangulares e polares são difíceis ou impossíveis de conceber EXEMPLO 42 Uma roda de rolos de raio ao longo de uma linha reta, digamos que o eixo x Um ponto no aro da roda traçará uma curva, chamada de ciclóide. Suponha que o ponto comece na origem encontre equações paramétricas para a curva A Figura 4 ilustra a geração da curva (clique no link AP para ver uma animação) A roda é mostrada em seu ponto inicial, um d novamente após ter rolado cerca de 49 graus. Tomamos como nosso parâmetro t o ângulo através do qual a roda girou, medido conforme mostrado no sentido horário a partir da linha que conecta o centro da roda ao solo Porque o raio é, o centro do roda tem coordenadas (t,) Procuramos escrever as coordenadas do ponto no aro como (t + x, + y), onde xey são como mostrado na figura 42 Esses valores são quase o seno e cosseno do ângulo t, da definição do círculo unitário de seno e cosseno. No entanto, alguns cuidados são necessários porque estamos medindo t a partir de uma linha de partida não padronizada e em uma direção horária, em oposição à direção anti-horária usual. Um pouco de pensamento revela que x = sint e y = custo Assim, as equações paramétricas para o ciclóide são x = t sint, y = custo

12 25 Capítulo Coordenadas polares, equações paramétricas t Figura 4 Um ciclóide (AP) y x Figura 42 A roda Exercícios 4 Que curva é descrita por x = t 2, y = t 4? Se t for interpretado como tempo, descreva como o objeto se move na curva 2 Que curva é descrita por x = 3custo, y = 3sint? Se t for interpretado como tempo, descreva como o objeto se move na curva 3 Que curva é descrita por x = 3cost, y = 2sint? Se t for interpretado como tempo, descreva como o objeto se move na curva 4 Que curva é descrita por x = 3sint, y = 3custo? Se t for interpretado como tempo, descreva como o objeto se move na curva 5 Esboce a curva descrita por x = t 3 t, y = t 2 Se t for interpretado como tempo, descreva como o objeto se move na curva 6 Uma roda de raio rola ao longo de uma linha reta, digamos que o eixo x A ponto P está localizado a meio caminho entre o centro da roda e o aro, suponha que P comece no ponto (, / 2) Conforme a roda rola, P traça uma curva e encontre equações paramétricas para a curva 7 Uma roda de raio rola ao redor do lado externo de um círculo de raio 3 Um ponto P no aro da roda traça uma curva chamada hiperciclóide, conforme indicado na figura 43 Supondo que P comece no ponto (3,) , encontre equações paramétricas para a curva 8 Uma roda de raio rola ao redor do interior de um círculo de raio 3 Um ponto P na borda da roda traça uma curva chamada hipociclóide, conforme indicado na figura 43 Supondo que P comece no ponto (3,), encontre equações paramétricas para a curva 9 Um involuto de um círculo é formado da seguinte forma: Imagine que um corda longa (isto é, infinita) é enrolada firmemente em torno de um círculo, e que você agarra a ponta da corda e começa a desenrolá-la, mantendo a corda esticada. A ponta da corda traça o involuto Encontre equações paramétricas para esta curva, usando um círculo de raio e assumindo que a corda se desenrola no sentido anti-horário e o final da corda está inicialmente em (,) A Figura 44 mostra parte da curva, as linhas pontilhadas representam a corda em alguns momentos diferentes

13 5 Cálculo com Equações Paramétricas 25 Figura 43 Um hiperciclóide e um hipociclóide Figura 44 Um involuto de um círculo & frac12 & frac14 & ordm & ETH & Ugrave & ETH & Ugrave & Ucirc & Oslash & Egrave & Ouml & Ntilde & Oslash & Ouml & Otilde & Uggrave como já vimos a equação e Otil e Otilrave & Uggrave como já vimos os cálculos da curva inclinações calculadas em coordenadas polares EXEMPLO 5 Encontre a inclinação do ciclóide x = t sen, y = custo Calculamos x = custo, y = sen, então dy dx = sen cost Observe que quando t é um múltiplo ímpar de & pi, como & pi ou 3 & pi, isto é (/ 2) =, então há uma linha tangente horizontal, de acordo com a figura 4 Em múltiplos pares de & pi, a fração é /, que é indefinida A figura mostra que não há linha tangente em tais pontos

14 252 Capítulo Coordenadas polares, equações paramétricas Áreas podem ser um pouco mais complicadas com equações paramétricas, dependendo da curva e da área desejada. Podemos calcular áreas potencialmente entre a curva e o eixo x facilmente EXEMPLO 52 Encontre a área sob onearchofthecycloidx = t sint, y = custo Gostaríamos de calcular 2 & pi y dx, mas não sabemos y em termos de x No entanto, as equações paramétricas nos permitem fazer uma substituição: use y = custo para substituir y e calcule dx = (custo) dt Então a integral torna-se 2 & pi (custo) (custo) dt = 3 & pi Observe que precisamos converter os limites x originais em limites t usando x = t sint Quando x =, t = sint, o que acontece apenas quando t = Da mesma forma, quando x = 2 & pi, t 2 & pi = sint e t = 2 & pi Alternativamente, porque entendemos como a ciclóide é produzida, podemos ver diretamente que um arco é gerado por t 2 & pi Em geral, é claro, os limites t serão diferentes dos limites x. técnica nos permitirá calcular algumas áreas bastante interessantes, como illu estratificado pelos exercícios Como um exemplo final, vemos como calcular o comprimento de uma curva dada por equações paramétricas A seção 99 investiga o comprimento do arco para funções dadas como y em termos de x, e desenvolve a fórmula para o comprimento: ba + () 2 dy dx dx Usando algumas propriedades de derivados, incluindo a regra da cadeia, podemos converter isso para usar equações paramétricas x = f (t), y = g (t): ba + () 2 dy b dx = dx a = = vuvu (dx) 2 + dt (dx) 2 + dt (dx dt) 2 () 2 dy dt dx dx dx () 2 dy dt dt (f (t)) 2 + (g (t)) 2 dt Aqui u e v são os limites t correspondentes aos limites x a e b

15 5 Cálculo com Equações Paramétricas 253 EXEMPLO 53 Encontre o comprimento de um arco do ciclóide De x = t sint, y = custo, obtemos as derivadas f = custo e g = sint, então o comprimento é 2 & pi 2 & pi (custo) 2 + sin 2 t dt = 2 2custo dt Agora usamos a fórmula sin 2 (t / 2) = (cos (t)) / 2 ou 4sin 2 (t / 2) = 2 2custo para obter 2 & pi 4sin 2 (t / 2 ) dt Uma vez que t 2 & pi, sin (t / 2), podemos reescrever isso como 2 & pi 2sin (t / 2) dt = 8 Exercícios 5 Considere a curva do exercício 6 na seção 4 Encontre todos os valores de t para os quais a curva tem uma linha tangente horizontal 2 Considere a curva do exercício 6 na seção 4 Encontre a área sob um arco da curva 3 Considere a curva do exercício 6 na seção 4 Configure uma integral para o comprimento de um arco da curva 4 Considere o hiperciclóide do exercício 7 na seção 4 Encontre todos os pontos em que a curva tem uma linha tangente horizontal 5 Considere o hiperciclóide do exercício 7 na seção 4 Encontre a área entre o grande círculo e um arco da curva 6 Considere o hipercicloi d do exercício 7 na seção 4 Encontre o comprimento de um arco da curva 7 Considere o hipociclóide do exercício 8 na seção 4 Encontre a área dentro da curva 8 Considere o hipociclóide do exercício 8 na seção 4 Encontre o comprimento de um arco do curva 9 Lembre-se do involuto de um círculo do exercício 9 na seção 4 Encontre o ponto no primeiro quadrante na figura 44 no qual a linha tangente é vertical Lembre-se do involuto de um círculo do exercício 9 na seção 4 Em vez de uma corda infinita, suponha temos uma corda de comprimento & pi presa ao círculo unitário em (,), e inicialmente colocada em torno do topo do círculo com sua extremidade em (,). Se agarrarmos a ponta da corda e começarmos a desenrolá-la, obteremos um pedaço do involuto, até que a corda fique na vertical Se mantivermos a corda esticada e continuarmos a girá-la no sentido anti-horário, a extremidade traça um semicírculo com o centro em (,), até que a corda fique na vertical novamente. final da corda traça a imagem espelhada do poro inicial ção da curva ver figura 5 Encontre a área da região dentro desta curva e fora do círculo unitário

16 254 Capítulo Coordenadas polares, equações paramétricas Figura 5 Uma região formada pelo final de uma corda Encontre o comprimento da curva do exercício anterior, mostrado na figura 5 2 Encontre o comprimento da espiral de Arquimedes (figura 34) para & theta 2 & pi


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Soluções para o Capítulo 10: EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

Soluções para o Capítulo 10: EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

  • 10.10.1: Esboce e identifique a curva definida pelas equações paramétricas x.
  • 10.10.2: Qual curva é representada pelas seguintes equações paramétricas? X c.
  • 10.10.3: Qual curva é representada pelas equações paramétricas fornecidas? X sen 2.
  • 10.10.4: Encontre equações paramétricas para o círculo com centro e raio r
  • 10.10.5: Esboce a curva com equações paramétricas x sin t, y sin 2 t
  • 10.10.6: Use um dispositivo gráfico para representar graficamente a curva x y 4 3y 2
  • 10.10.7: A curva traçada por um ponto na circunferência de um círculo como.
  • 10.10.8: Investigar a família de curvas com equações paramétricas O que fazer.
  • 10.10.9: esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar x 1 3t p.
  • 10.10.10: Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar x 1 3t p.
  • 10.10.11: Esboce a curva usando as equações paramétricas para traçar x 1 3t p.
  • 10.10.12: Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar x 1 3t p.
  • 10.10.13: Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os pontos. .
  • 10.10.14: Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os pontos. .
  • 10.10.15: Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os pontos. .
  • 10.10.16: Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os pontos. .
  • 10.10.17: Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os pontos. .
  • 10.10.18: Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os pontos. .
  • 10.10.19: a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana do curv.
  • 10.10.20: a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curv.
  • 10.10.21: a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curv.
  • 10.10.22: a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana do curv.
  • 10.10.23: a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana do curv.
  • 10.10.24: a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana do curv.
  • 10.10.25: a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curv.
  • 10.10.26: a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana do curv.
  • 10.10.27: Descreva o movimento de uma partícula com a posição variando no gi.
  • 10.10.28: Descreva o movimento de uma partícula com a posição variando no gi.
  • 10.10.29: Descreva o movimento de uma partícula com a posição variando no gi.
  • 10.10.30: Descreva o movimento de uma partícula com a posição que varia no gi.
  • 10.10.31: Suponha que uma curva seja dada pelas equações paramétricas,, onde o.
  • 10.10.32: Combine os gráficos das equações paramétricas e em (a) (d) com o.
  • 10.10.33: Use os gráficos de e para esboçar a curva paramétrica,. Indique w.
  • 10.10.34: Use os gráficos de e para esboçar a curva paramétrica,. Indique w.
  • 10.10.35: Use os gráficos de e para esboçar a curva paramétrica,. Indique w.
  • 10.10.36: Combine as equações paramétricas com os gráficos rotulados I-VI. Dê r.
  • 10.10.37: Represente graficamente a curva x y 3y 3 y 5 x
  • 10.10.38: Represente graficamente as curvas e encontre seus pontos de intersecção corretos.
  • 10.10.39: (a) Mostre que as equações paramétricas 41. ba onde, descrevem o.
  • 10.10.40: Use um dispositivo gráfico e o resultado do Exercício 31 (a) para desenhar o.
  • 10.10.41: Encontre equações paramétricas para o caminho de uma partícula que se move alo.
  • 10.10.42: (a) Encontre equações paramétricas para a elipse. [Dica: Modifique o e.
  • 10.10.43: Use uma calculadora gráfica ou computador para reproduzir a imagem.
  • 10.10.44: Compare as curvas representadas pelas equações paramétricas. Como .
  • 10.10.45: Compare as curvas representadas pelas equações paramétricas. Como .
  • 10.10.46: Derive as Equações 1 para o caso 2
  • 10.10.47: Seja um ponto a uma distância do centro de um círculo de raio.
  • 10.10.48: Se e forem números fixos, encontre as equações paramétricas para a curva t.
  • 10.10.49: Se e forem números fixos, encontre equações paramétricas para a curva t.
  • 10.10.50: Uma curva, chamada de bruxa de Maria Agnesi, consiste em todas as pág.
  • 10.10.51: a) Encontre equações paramétricas para o conjunto de todos os pontos como mostrado em.
  • 10.10.52: Suponha que a posição de uma partícula por vez seja dada por e t.
  • 10.10.53: Se um projétil for disparado com uma velocidade inicial de metros por segundo.
  • 10.10.54: Investigue a família de curvas definidas pela equação paramétrica.
  • 10.10.55: As curvas de catástrofe da cauda de andorinha são definidas pela eq paramétrica.
  • 10.10.56: As curvas com equações são chamadas de figuras de Lissajous. Investiga.
  • 10.10.57: Investigue a família de curvas definidas pela equação paramétrica.
  • 10.10.58: Uma curva é definida pelas equações paramétricas, (a) Mostre que tem.
  • 10.10.59: (a) Encontre a tangente ao ciclóide, no ponto onde. (Veja Exa.
  • 10.10.60: Encontre a área sob um arco do ciclóide x rsin y r1 cos V ou
  • 10.10.61: Se usarmos a representação do círculo unitário dado no Exemplo 2.
  • 10.10.62: Encontre o comprimento de um arco da ciclóide
  • 10.10.63: Mostre que a área de superfície de uma esfera de raio é 4 r 2
  • 10.10.64: ​​Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente.
  • 10.10.65: Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente.
  • 10.10.66: Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente.
  • 10.10.67: Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente.
  • 10.10.68: Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por.
  • 10.10.69: Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por.
  • 10.10.70: Encontre uma equação da (s) tangente (s) à curva no ponto dado.
  • 10.10.71: Encontre uma equação da (s) tangente (s) à curva no ponto dado.
  • 10.10.72: Encontre e. Para quais valores de a curva é côncava para cima?
  • 10.10.73: Encontre e. Para quais valores de a curva é côncava para cima?
  • 10.10.74: Encontre e. Para quais valores de a curva é côncava para cima?
  • 10.10.75: Encontre e. Para quais valores de a curva é côncava para cima?
  • 10.10.76: Encontre e. Para quais valores de é a curva côncava para cima?
  • 10.10.77: Encontre e. Para quais valores de a curva é côncava para cima?
  • 10.10.78: Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical.
  • 10.10.79: Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou ver.
  • 10.10.80: Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical.
  • 10.10.81: Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical.
  • 10.10.82: Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto mais à direita em t.
  • 10.10.83: Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto mais baixo e o.
  • 10.10.84: Represente graficamente a curva em um retângulo de visualização que exibe todas as importações.
  • 10.10.85: Represente graficamente a curva em um retângulo de visualização que exibe todas as importações.
  • 10.10.86: Mostre que a curva tem duas tangentes em e encontre suas equações.
  • 10.10.87: Faça um gráfico da curva, para descobrir onde ela se cruza. Em seguida, encontre a eq.
  • 10.10.88: a) Encontre a inclinação da linha tangente ao trocóide, em termos de.
  • 10.10.89: a) Encontre a inclinação da tangente ao astroide, em termos de. (Como.
  • 10.10.90: Em quais pontos da curva a reta tangente tem inclinação?
  • 10.10.91: Encontre as equações das tangentes à curva, que passam pelo.
  • 10.10.92: Use as equações paramétricas de uma elipse,, y b sin, 0 2, para finalizar.
  • 10.10.93: Encontre a área delimitada pela curva, en 6 o eixo y
  • 10.10.94: Encontre a área delimitada pelo e pela curva
  • 10.10.95: Encontre a área da região delimitada pelo astroide,. (Astroids a.
  • 10.10.96: Encontre a área sob um arco do trocóide do Exercício 40 na Seção
  • 10.10.97: Let Ser a região delimitada pelo loop da curva no Exemplo 1. (.
  • 10.10.98: Configure uma integral que representa o comprimento da curva. Então nós.
  • 10.10.99: Configure uma integral que represente o comprimento da curva. Então nós.
  • 10.10.100: Configure uma integral que representa o comprimento da curva. Então nós.
  • 10.10.101: Configure uma integral que representa o comprimento da curva. Então nós.
  • 10.10.102: Encontre o comprimento exato da curva
  • 10.10.103: Encontre o comprimento exato da curva
  • 10.10.104: Encontre o comprimento exato da curva
  • 10.10.105: Encontre o comprimento exato da curva
  • 10.10.106: Represente graficamente a curva e encontre seu comprimento.
  • 10.10.107: Represente graficamente a curva e encontre seu comprimento.
  • 10.10.108: Represente graficamente a curva e encontre seu comprimento.
  • 10.10.109: Encontre o comprimento do loop da curva, y 3t.
  • 10.10.110: Use a Regra dos Simpsons com para estimar o comprimento da curva y t e 6.
  • 10.10.111: No Exercício 43 da Seção 10.1, foi solicitado que você derivasse o parâmetro.
  • 10.10.112: Encontre a distância percorrida por uma partícula com a posição variando em.
  • 10.10.113: Encontre a distância percorrida por uma partícula com a posição variando em.
  • 10.10.114: Mostre que o comprimento total da elipse (e ca, é onde c sa2 b2.
  • 10.10.115: Encontre o comprimento total do astroide, onde a & gt0
  • 10.10.116: (a) Represente graficamente o epitrocoide com as equações que intervalo de parâmetro gi.
  • 10.10.117: Uma curva chamada espiral Cornus é definida pelas equações paramétricas.
  • 10.10.118: Configure uma integral que represente a área da superfície obtida.
  • 10.10.119: Configure uma integral que represente a área da superfície obtida.
  • 10.10.120: Encontre a área exata da superfície obtida girando y fx gi.
  • 10.10.121: Encontre a área exata da superfície obtida girando y fx gi.
  • 10.10.122: Encontre a área exata da superfície obtida girando y fx gi.
  • 10.10.123: Represente graficamente a curva Se esta curva for girada sobre o eixo-, encontre o.
  • 10.10.124: Se a curva for girada sobre o eixo-, use sua calculadora para estimar.
  • 10.10.125: Se o arco da curva no Exercício 50 for girado em torno do eixo -e,.
  • 10.10.126: Encontre a área de superfície gerada girando a curva dada em torno de t.
  • 10.10.127: Encontre a área de superfície gerada girando a curva dada em torno de t.
  • 10.10.128: Se for contínuo e for, mostre que a curva paramétrica,,, pode.
  • 10.10.129: Use a Fórmula 2 para derivar a Fórmula 7 da Fórmula 8.2.5 para o caso i.
  • 10.10.130: A curvatura em um ponto de uma curva é definida como onde está o ângulo.
  • 10.10.131: a) Use a fórmula do Exercício 69 (b) para encontrar a curvatura do p.
  • 10.10.132: Use a fórmula do Exercício 69 (a) para encontrar a curvatura do ciclo.
  • 10.10.133: a) Mostre que a curvatura em cada ponto de uma linha reta é. (b.
  • 10.10.134: Um barbante é enrolado em um círculo e depois desenrolado enquanto é segurado.
  • 10.10.135: Uma vaca é amarrada a um silo com raio por uma corda longa o suficiente para r.
  • 10.10.136: Plote os pontos cujas coordenadas polares são fornecidas. (a) (b) (c) (d)
  • 10.10.137: Converta o ponto de coordenadas polares em cartesianas.
  • 10.10.138: Representa o ponto com coordenadas cartesianas em termos de co polar.
  • 10.10.139: Qual curva é representada pela equação polar r = 2?
  • 10.10.140: Esboce a curva polar 0 = 1
  • 10.10.141: (a) Esboce a curva com a equação polar. (b) Encontre uma equação cartesiana.
  • 10.10.142: Esboce a curva r 1 sin
  • 10.10.143: Esboce a curva r cos 2
  • 10.10.144: a) Para o cardióide do Exemplo 7, encontre a inclinação da tangente lin.
  • 10.10.145: Represente graficamente a curva r sin85 t
  • 10.10.146: Investigue a família de curvas polares dada por. Como funciona o shap.
  • 10.10.147: Trace o ponto cujas coordenadas polares são fornecidas. Em seguida, encontre (s2, 5.
  • 10.10.148: Trace o ponto cujas coordenadas polares são fornecidas. Em seguida, encontre (s2, 5.
  • 10.10.149: Trace o ponto cujas coordenadas polares são fornecidas. Em seguida, encontre o carro.
  • 10.10.150: Plote o ponto cujas coordenadas polares são fornecidas. Em seguida, encontre o carro.
  • 10.10.151: As coordenadas cartesianas de um ponto são fornecidas. (i) Encontre a cor polar.
  • 10.10.152: As coordenadas cartesianas de um ponto são fornecidas. (i) Encontre a cor polar.
  • 10.10.153: esboce a região no plano consistindo de pontos cujo coo polar.
  • 10.10.154: esboce a região no plano consistindo de pontos cujo coo polar.
  • 10.10.155: Esboce a região no plano consistindo de pontos cujo coo polar.
  • 10.10.156: esboce a região no plano consistindo de pontos cujo coo polar.
  • 10.10.157: esboce a região no plano consistindo de pontos cujo coo polar.
  • 10.10.158: Esboce a região no plano consistindo de pontos cujo coo polar.
  • 10.10.159: Encontre a distância entre os pontos com coordenadas polares e
  • 10.10.160: Encontre uma fórmula para a distância entre os pontos com coord polar.
  • 10.10.161: Identifique a curva encontrando uma equação cartesiana para a curva 2
  • 10.10.162: Identifique a curva encontrando uma equação cartesiana para a curva c.
  • 10.10.163: Identifique a curva encontrando uma equação cartesiana para a curva 3.
  • 10.10.164: Identifique a curva encontrando uma equação cartesiana para a curva 2.
  • 10.10.165: Identifique a curva encontrando uma equação cartesiana para a curva c.
  • 10.10.166: Identifique a curva encontrando uma equação cartesiana para a curva t.
  • 10.10.167: Encontre uma equação polar para a curva representada pelos Cartes fornecidos.
  • 10.10.168: Encontre uma equação polar para a curva representada pelos Cartes dados.
  • 10.10.169: Encontre uma equação polar para a curva representada pelos Cartes dados.
  • 10.10.170: Encontre uma equação polar para a curva representada pelos Cartes fornecidos.
  • 10.10.171: Encontre uma equação polar para a curva representada pelos Cartes dados.
  • 10.10.172: Encontre uma equação polar para a curva representada pelos Cartes dados.
  • 10.10.173: Para cada uma das curvas descritas, decida se a curva seria maior.
  • 10.10.174: Para cada uma das curvas descritas, decida se a curva seria maior.
  • 10.10.175: Esboce a curva com a equação polar fornecida 6 2
  • 10.10.176: Esboce a curva com a equação polar dada r 6 2 3r 2 0 2,
  • 10.10.177: Esboce a curva com a equação polar fornecida sen r
  • 10.10.178: Esboce a curva com a equação polar dada r 3 cos
  • 10.10.179: Esboce a curva com a equação polar dada r 21 sen 0 r 1
  • 10.10.180: Esboce a curva com a equação polar fornecida r 1 3 cos
  • 10.10.181: Esboce a curva com a equação polar dada r 0 r
  • 10.10.182: Esboce a curva com a equação polar dada ln 1 r
  • 10.10.183: Esboce a curva com a equação polar dada r 4 sen 3r
  • 10.10.184: Esboce a curva com a equação polar dada r cos 5
  • 10.10.185: Esboce a curva com a equação polar dada r 2 cos 4r
  • 10.10.186: Esboce a curva com a equação polar dada r 3 cos 6
  • 10.10.187: Esboce a curva com a equação polar dada r 1 2 sen 4
  • 10.10.188: Esboce a curva com a equação polar fornecida 2 sen
  • 10.10.189: Esboce a curva com a equação polar fornecida
  • 10.10.190: Esboce a curva com a equação polar fornecida
  • 10.10.191: Esboce a curva com a equação polar fornecida
  • 10.10.192: Esboce a curva com a equação polar fornecida
  • 10.10.193: Esboce a curva com a equação polar fornecida
  • 10.10.194: Esboce a curva com a equação polar fornecida
  • 10.10.195: A figura mostra o gráfico de em função de em coordenadas cartesianas.
  • 10.10.196: A figura mostra o gráfico de em função de em coordenadas cartesianas.
  • 10.10.197: Mostre que a curva polar (chamada de concoide) tem a reta como uma ver.
  • 10.10.198: Mostre que a curva (também uma concóide) tem a linha como uma horizontal.
  • 10.10.199: Mostre que a curva (chamada de cissoide de Diocles) tem a linha como a.
  • 10.10.200: Esboce a curva x 2 y 2 3 4x 2 y 2
  • 10.10.201: a) No Exemplo 11, os gráficos sugerem que o limaon tem um lo interno.
  • 10.10.202: Combine as equações polares com os gráficos rotulados IVI. Dê razões.
  • 10.10.203: Encontre a inclinação da linha tangente à curva polar fornecida no.
  • 10.10.204: Encontre a inclinação da linha tangente à curva polar dada no.
  • 10.10.205: Encontre a inclinação da linha tangente à curva polar dada no.
  • 10.10.206: Encontre a inclinação da linha tangente à curva polar dada no.
  • 10.10.207: Encontre a inclinação da linha tangente à curva polar dada no.
  • 10.10.208: Encontre a inclinação da linha tangente à curva polar dada no.
  • 10.10.209: Encontre os pontos na curva dada onde a linha tangente é o horizo.
  • 10.10.210: Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é o horizo.
  • 10.10.211: Encontre os pontos na curva dada onde a linha tangente é o horizo.
  • 10.10.212: Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é o horizo.
  • 10.10.213: Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é o horizo.
  • 10.10.214: Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é o horizo.
  • 10.10.215: Mostre que a equação polar, onde, representa um círculo e aleta.
  • 10.10.216: Mostre que as curvas e se cruzam em ângulos retos.
  • 10.10.217: Use um dispositivo gráfico para representar graficamente a curva polar. Escolha o parâmetro.
  • 10.10.218: Use um dispositivo gráfico para representar graficamente a curva polar. Escolha o parâmetro.
  • 10.10.219: Use um dispositivo gráfico para representar graficamente a curva polar. Escolha o parâmetro.
  • 10.10.220: Use um dispositivo gráfico para representar graficamente a curva polar. Escolha o parâmetro.
  • 10.10.221: Use um dispositivo gráfico para representar graficamente a curva polar. Escolha o parâmetro.
  • 10.10.222: Use um dispositivo gráfico para representar graficamente a curva polar. Escolha o parâmetro.
  • 10.10.223: Como são os gráficos de e relacionados com o gráfico de? Em geral, como.
  • 10.10.224: Use um gráfico para estimar a -coordenada dos pontos mais altos no.
  • 10.10.225: (a) Investigue a família de curvas definidas pelas equações polares.
  • 10.10.226: Uma família de curvas é dada pelas equações, onde é um numb real.
  • 10.10.227: Uma família de curvas tem equações polares Investigue como o gráfico ch.
  • 10.10.228: O astrônomo Giovanni Cassini (16251712) estudou a família dos cu.
  • 10.10.229: Let Ser qualquer ponto (exceto a origem) na curva. Se é o ângulo.
  • 10.10.230: a) Use o Exercício 83 para mostrar o ângulo entre a linha tangente.
  • 10.10.231: Encontre a área da região que é limitada pela curva dada r 3.
  • 10.10.232: Encontre a área da região que é limitada pela curva r 3 dada.
  • 10.10.233: Encontre a área da região que é limitada pela curva r 3 dada.
  • 10.10.234: Encontre a área da região que é limitada pela curva dada r 3.
  • 10.10.235: Encontre a área da região sombreada
  • 10.10.236: Encontre a área da região sombreada
  • 10.10.237: Encontre a área da região sombreada
  • 10.10.238: Encontre a área da região sombreada
  • 10.10.239: Esboce a curva e encontre a área que ela envolve.r 3 cos r
  • 10.10.240: Esboce a curva e encontre a área que ela envolve.r 3 cos r
  • 10.10.241: Esboce a curva e encontre a área que ela envolve.r r 2 sen 11. 2.
  • 10.10.242: Esboce a curva e encontre a área que ela envolve.r r 2 sen 11. 2.
  • 10.10.243: Esboce a curva e encontre a área que ela envolve.r 2 cos 3r
  • 10.10.244: Esboce a curva e encontre a área que ela envolve.r 2 cos 2
  • 10.10.245: Represente graficamente a curva e encontre a área que ela envolve
  • 10.10.246: Represente graficamente a curva e encontre a área que ela envolve
  • 10.10.247: Encontre a área da região delimitada por um loop da curva r sin.
  • 10.10.248: Encontre a área da região delimitada por um loop da curva r 4 s.
  • 10.10.249: Encontre a área da região delimitada por um loop da curva r 3 c.
  • 10.10.250: Encontre a área da região delimitada por um loop da curva r 2 s.
  • 10.10.251: Encontre a área da região delimitada por um loop da curva r 1 2.
  • 10.10.252: Encontre a área delimitada pela alça do estrofóide r 2 cos seg 2
  • 10.10.253: Encontre a área da região que se encontra dentro da primeira curva e ou.
  • 10.10.254: Encontre a área da região que se encontra dentro da primeira curva e ou.
  • 10.10.255: Encontre a área da região que se encontra dentro da primeira curva e ou.
  • 10.10.256: Encontre a área da região que se encontra dentro da primeira curva e ou.
  • 10.10.257: Encontre a área da região que se encontra dentro da primeira curva e ou.
  • 10.10.258: Encontre a área da região que se encontra dentro da primeira curva e ou.
  • 10.10.259: Encontre a área da região que se encontra dentro de ambas as curvas.
  • 10.10.260: Encontre a área da região que se encontra dentro de ambas as curvas.
  • 10.10.261: Encontre a área da região que se encontra dentro de ambas as curvas.
  • 10.10.262: Encontre a área da região que se encontra dentro de ambas as curvas.
  • 10.10.263: Encontre a área da região que se encontra dentro de ambas as curvas.
  • 10.10.264: Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.r a sen r.
  • 10.10.265: Encontre a área dentro do loop maior e fora do loop menor o.
  • 10.10.266: Encontre a área entre um grande laço e o pequeno laço fechado de t.
  • 10.10.267: Encontre todos os pontos de interseção das curvas fornecidas.
  • 10.10.268: Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.
  • 10.10.269: Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.
  • 10.10.270: Encontre todos os pontos de intersecção das curvas fornecidas.
  • 10.10.271: Encontre todos os pontos de intersecção das curvas dadas.
  • 10.10.272: Encontre todos os pontos de intersecção das curvas dadas.
  • 10.10.273: Os pontos de intersecção do cardióide e do loop espiral,,.
  • 10.10.274: Ao gravar apresentações ao vivo, os engenheiros de som costumam usar um micro.
  • 10.10.275: Encontre o comprimento exato da curva polar.
  • 10.10.276: Encontre o comprimento exato da curva polar.
  • 10.10.277: Encontre o comprimento exato da curva polar.
  • 10.10.278: Encontre o comprimento exato da curva polar.
  • 10.10.279: Use uma calculadora para encontrar o comprimento da curva correto para quatro de.
  • 10.10.280: Use uma calculadora para encontrar o comprimento da curva correto para quatro de.
  • 10.10.281: Use uma calculadora para encontrar o comprimento da curva correto para quatro de.
  • 10.10.282: Use uma calculadora para encontrar o comprimento da curva correto para quatro de.
  • 10.10.283: Represente graficamente a curva e encontre seu comprimento
  • 10.10.284: Represente graficamente a curva e encontre seu comprimento
  • 10.10.285: a) Use a Fórmula 10.2.7 para mostrar que a área da superfície é gerada.
  • 10.10.286: (a) Encontre uma fórmula para a área da superfície gerada pela rotatina.
  • 10.10.287: Encontre o foco e a diretriz da parábola e esboce o gráfico
  • 10.10.288: Esboce o gráfico e localize os focos.
  • 10.10.289: Encontre uma equação da elipse com focos e vértices 0, 3
  • 10.10.290: Encontre os focos e assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico
  • 10.10.291: Encontre os focos e a equação da hipérbole com vértices e assimp.
  • 10.10.292: Encontre uma equação da elipse com focos e vértices 1, 25, 2 2,
  • 10.10.293: Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce-o.
  • 10.10.294: Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce-o.
  • 10.10.295: Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce-o.
  • 10.10.296: Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce-o.
  • 10.10.297: Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce-o.
  • 10.10.298: Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce-o.
  • 10.10.299: Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce-o.
  • 10.10.300: Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce-o.
  • 10.10.301: Encontre uma equação da parábola. Em seguida, encontre o foco e a diretriz
  • 10.10.302: Encontre uma equação da parábola. Em seguida, encontre o foco e a diretriz
  • 10.10.303: Encontre os vértices e focos da elipse e esboce seu grafox 2 9.
  • 10.10.304: Encontre os vértices e focos da elipse e esboce seu grafox 2 6.
  • 10.10.305: Encontre os vértices e focos da elipse e esboce seu gráfico 4x 2.
  • 10.10.306: Encontre os vértices e focos da elipse e esboce seu gráfico 4x 2.
  • 10.10.307: Encontre os vértices e focos da elipse e esboce seu gráfico 9x 2.
  • 10.10.308: Encontre os vértices e focos da elipse e esboce seu grafox 2 3.
  • 10.10.309: Encontre uma equação da elipse. Em seguida, encontre seus focos
  • 10.10.310: Encontre uma equação da elipse. Em seguida, encontre seus focos
  • 10.10.311: Encontre os vértices, focos e assíntotas da hipérbole e do esboço.
  • 10.10.312: Encontre os vértices, focos e assíntotas da hipérbole e do esboço.
  • 10.10.313: Encontre os vértices, focos e assíntotas da hipérbole e do esboço.
  • 10.10.314: Encontre os vértices, focos e assíntotas da hipérbole e do esboço.
  • 10.10.315: Encontre os vértices, focos e assíntotas da hipérbole e do esboço.
  • 10.10.316: Encontre os vértices, focos e assíntotas da hipérbole e do esboço.
  • 10.10.317: Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre.
  • 10.10.318: Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre.
  • 10.10.319: Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre.
  • 10.10.320: Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre.
  • 10.10.321: Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre.
  • 10.10.322: Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre.
  • 10.10.323: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.324: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.325: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.326: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.327: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.328: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.329: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.330: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.331: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.332: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.333: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.334: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.335: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.336: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.337: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.338: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.339: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.340: Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.
  • 10.10.341: O ponto em uma órbita lunar mais próximo da superfície da lua é calle.
  • 10.10.342: Uma seção transversal de um refletor parabólico é mostrada na figura. º.
  • 10.10.343: No sistema de radionavegação LORAN (LOng RAnge Navigation), dois r.
  • 10.10.344: Use a definição de uma hipérbole para derivar a Equação 6 para uma hipérbole.
  • 10.10.345: Mostre que a função definida pelo ramo superior da hipérbole.
  • 10.10.346: Encontre uma equação para a elipse com os focos e o eixo principal do arquivo.
  • 10.10.347: Determine o tipo de curva representada pela equação em cada uma.
  • 10.10.348: (a) Mostre que a equação da reta tangente à parábola em t.
  • 10.10.349: Mostre que as linhas tangentes à parábola traçadas a partir de qualquer ponto.
  • 10.10.350: Mostre que se uma elipse e uma hipérbole têm os mesmos focos, então th.
  • 10.10.351: Use a regra dos Simpsons com para estimar o comprimento da elipse x 2 4y.
  • 10.10.352: O planeta Plutão viaja em uma órbita elíptica ao redor do sol (em
  • 10.10.353: Encontre a área da região delimitada pela hipérbole e o verti.
  • 10.10.354: (a) Se uma elipse for girada em torno de seu eixo principal, encontre o volume.
  • 10.10.355: Let Ser um ponto na elipse com focos ee deixe e ser o ângulo.
  • 10.10.356: Let Ser um ponto na hipérbole com focos and and let and be the an.
  • 10.10.357: Encontre uma equação polar para uma parábola que tem seu foco na origem.
  • 10.10.358: Uma cônica é dada pela equação polar Encontre a excentricidade, ident.
  • 10.10.359: Esboce a cônica r 12 2 4 sin
  • 10.10.360: Se a elipse do Exemplo 2 for girada em um ângulo em torno de o.
  • 10.10.361: a) Encontre uma equação polar aproximada para a órbita elíptica de t.
  • 10.10.362: Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e.
  • 10.10.363: Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e.
  • 10.10.364: Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e.
  • 10.10.365: Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e.
  • 10.10.366: Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e.
  • 10.10.367: Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e.
  • 10.10.368: Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e.
  • 10.10.369: Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e.
  • 10.10.370: a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) forneça um equat.
  • 10.10.371: a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) forneça um equat.
  • 10.10.372: a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) forneça um equat.
  • 10.10.373: a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) forneça um equat.
  • 10.10.374: a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) forneça um equat.
  • 10.10.375: a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) forneça um equat.
  • 10.10.376: a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) forneça um equat.
  • 10.10.377: a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) forneça um equat.
  • 10.10.378: (a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica e represente graficamente a.
  • 10.10.379: Represente graficamente a cônica e sua diretriz. Também represente graficamente a cônica obtida por.
  • 10.10.380: Represente graficamente as cônicas com,, e em uma tela comum. Como o va.
  • 10.10.381: (a) Represente graficamente as cônicas para e vários valores de. Como funciona o valor.
  • 10.10.382: Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e direção.
  • 10.10.383: Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e direção.
  • 10.10.384: Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e direção.
  • 10.10.385: Mostre que as parábolas e se cruzam em ângulos retos.
  • 10.10.386: A órbita de Marte em torno do Sol é uma elipse com excentricidade e.
  • 10.10.387: A órbita de Júpiter tem excentricidade e o comprimento do eixo maior é.
  • 10.10.388: A órbita do cometa Halleys, visto pela última vez em 1986 e deve retornar em
  • 10.10.389: O cometa Hale-Bopp, descoberto em 1995, tem uma órbita elíptica wi.
  • 10.10.390: O planeta Mercúrio viaja em uma órbita elíptica com excentricidade.
  • 10.10.391: A distância do planeta Plutão ao sol é km no periélio a.
  • 10.10.392: Usando os dados do Exercício 29, encontre a distância percorrida pelo.
  • 10.10.393: a) O que é curva paramétrica? (b) Como você esboça um c paramétrico.
  • 10.10.394: a) Como você encontra a inclinação de uma tangente a uma curva paramétrica? (b.
  • 10.10.395: Escreva uma expressão para cada um dos seguintes: (a) O comprimento de a.
  • 10.10.396: a) Use um diagrama para explicar o significado das coordenadas polares de.
  • 10.10.397: (a) Como você encontra a inclinação de uma linha tangente a uma curva polar? (
  • 10.10.398: (a) Dê uma definição geométrica de uma parábola. (b) Escreva uma equação.
  • 10.10.399: (a) Dê uma definição de uma elipse em termos de focos. (b) Escreva um.
  • 10.10.400: a) Dê uma definição de uma hipérbole em termos de focos. (b) Escreva um.
  • 10.10.401: a) Qual é a excentricidade de uma seção cônica? (b) O que você pode fazer.
  • 10.10.402: Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdade, ex.
  • 10.10.403: Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdade, ex.
  • 10.10.404: Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdade, ex.
  • 10.10.405: Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdade, ex.
  • 10.10.406: Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdade, ex.
  • 10.10.407: Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdade, ex.
  • 10.10.408: Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdade, ex.
  • 10.10.409: Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdade, ex.
  • 10.10.410: Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdade, ex.
  • 10.10.411: Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdade, ex.
  • 10.10.412: Esboce a curva paramétrica e elimine o parâmetro para encontrar o.
  • 10.10.413: Esboce a curva paramétrica e elimine o parâmetro para encontrar o.
  • 10.10.414: Esboce a curva paramétrica e elimine o parâmetro para encontrar o.
  • 10.10.415: Esboce a curva paramétrica e elimine o parâmetro para encontrar o.
  • 10.10.416: Escreva três conjuntos diferentes de equações paramétricas para a curva y sx
  • 10.10.417: Use os gráficos de e para esboçar a curva paramétrica,. Indique w.
  • 10.10.418: a) Trace o ponto com coordenadas polares. Em seguida, encontre seu cartesiano.
  • 10.10.419: Esboce a região consistindo de pontos cujas coordenadas polares sati.
  • 10.10.420: Esboce a curva polar 1 cos r
  • 10.10.421: Esboce a curva polar] r sen 4
  • 10.10.422: Esboce a curva polar cos 3 r
  • 10.10.423: Esboce a curva polar 3 cos 3
  • 10.10.424: Esboce a curva polar 1 cos 2 r
  • 10.10.425: Esboce a curva polar 2 cos 2 r
  • 10.10.426: Esboce a curva polar 3 1 2 sin
  • 10.10.427: Esboce a curva polar 3 2 2 cos r
  • 10.10.428: Encontre uma equação polar para a curva representada pelos Cartes fornecidos.
  • 10.10.429: Encontre uma equação polar para a curva representada pelos Cartes fornecidos.
  • 10.10.430: A curva com equação polar é chamada de cocleóide. Use um gráfico de.
  • 10.10.431: Represente graficamente a elipse e sua diretriz. Também represente graficamente a elipse obtida.
  • 10.10.432: Encontre a inclinação da linha tangente à curva dada no ponto.
  • 10.10.433: Encontre a inclinação da linha tangente à curva dada no ponto.
  • 10.10.434: Encontre a inclinação da linha tangente à curva dada no ponto.
  • 10.10.435: Encontre a inclinação da linha tangente à curva dada no ponto.
  • 10.10.436: Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto mais baixo do.
  • 10.10.437: Encontre a área delimitada pelo loop da curva no Exercício 27.
  • 10.10.438: Em quais pontos a curva tem tangentes verticais ou horizontais.
  • 10.10.439: Encontre a área delimitada pela curva no Exercício 29
  • 10.10.440: Encontre a área delimitada pela curva r 2 9 cos 5
  • 10.10.441: Encontre a área delimitada pelo loop interno da curva r 1 3 sin
  • 10.10.442: Encontre os pontos de interseção das curvas er 4 cos
  • 10.10.443: Encontre os pontos de intersecção das curvas r 2 cos r
  • 10.10.444: Encontre a área da região que está dentro de ambos os círculos r.
  • 10.10.445: Encontre a área da região que fica dentro da curva, mas fora.
  • 10.10.446: Encontre o comprimento da curva.y 2t 0 t 2 3 x
  • 10.10.447: Encontre o comprimento da curva. x 2 3t y cosh 3t 0 t 1y
  • 10.10.448: Encontre o comprimento da curva. r 12
  • 10.10.449: Encontre o comprimento da curva. r sin, 0 3
  • 10.10.450: Encontre a área da superfície obtida girando o dado 3, 2cur.
  • 10.10.451: Encontre a área da superfície obtida girando o dado 3, 2cur.
  • 10.10.452: As curvas definidas pelas equações paramétricas são chamadas de estrofóide.
  • 10.10.453: As curvas definidas pelas equações paramétricas são chamadas de estrofóide.
  • 10.10.454: Uma família de curvas possui equações polares onde é um número positivo. .
  • 10.10.455: Encontre os focos e vértices e esboce o gráfico.2 9 y 2 8 1
  • 10.10.456: Encontre os focos e vértices e esboce o gráfico.4x 2 y 2 16 x
  • 10.10.457: Encontre os focos e vértices e esboce o gráfico.6y 2 x 36y 55 0 4x
  • 10.10.458: Encontre os focos e vértices e esboce o gráfico.25x 2 4y 2 50x 16y.
  • 10.10.459: Encontre uma equação da elipse com focos e vértices
  • 10.10.460: Encontre uma equação da parábola com foco e diretriz.
  • 10.10.461: Encontre uma equação da parábola com foco e diretriz.
  • 10.10.462: Encontre uma equação da elipse com focos e eixo maior com comprimento.
  • 10.10.463: Encontre uma equação para a elipse que compartilhe um vértice e um foco w.
  • 10.10.464: Mostre que se for qualquer número real, então há exatamente duas linhas o.
  • 10.10.465: Encontre uma equação pplar para a elipse com foco na origem, ecce.
  • 10.10.466: Mostre que os ângulos entre o eixo polar e as assíntotas de t.
  • 10.10.467: Na figura, o círculo do raio é estacionário e, para cada, t.
  • 10.10.468: Uma curva é definida pelas equações paramétricas Encontre o comprimento de t.
  • 10.10.469: (a) Encontre os pontos mais alto e mais baixo da curva. (b) Esboce th.
  • 10.10.470: Qual é o menor retângulo de visualização que contém cada membro o.
  • 10.10.471: Quatro bugs são colocados nos quatro cantos de um quadrado com comprimento lateral.
  • 10.10.472: Uma curva chamada folium de Descartes é definida pelo paramétrico.
  • 10.10.473: Um círculo de raio tem seu centro na origem. Um círculo de raio.
Livro: cálculo: primeiros transcendentais
Edição: 6
Autor: James Stewart
ISBN: 9780495011668

Este guia de sobrevivência de livro didático foi criado para o livro: Cálculo: Primeiros Transcendentais, edição: 6. Este guia de sobrevivência de livro extenso cobre os capítulos a seguir e suas soluções. Calculus: Early Transcendentals foi escrito por e está associado ao ISBN: 9780495011668. Desde que 473 problemas no capítulo 10: EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES foram respondidos, mais de 70595 alunos viram as soluções passo a passo completas deste capítulo. Capítulo 10: EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES inclui 473 soluções passo a passo completas.

Uma expressão a + bi, onde a (a parte real) e b (a parte imaginária) são números reais

A probabilidade de um evento A, dado que um evento B já ocorreu

Uma sequência ou série diverge se não convergir

O conjunto de todos os pontos no plano de coordenadas correspondendo aos pares (x, ƒ (x)) para x no domínio de ƒ.

A quantidade de tempo necessária para a decomposição de metade de uma substância radioativa.

Um modelo de crescimento populacional: ƒ1x2 = c 1 + a # bx ou ƒ1x2 = c1 + ae-kx, onde a, b, c e k são positivos com b & lt 1. c é o limite para o crescimento

Qualquer um dos números reais em uma matriz

As oito regiões do espaço determinadas pelos planos de coordenadas.

A ordem de uma matriz m x n é m x n.

Itens de dados mais de 1,5 vezes o IQR abaixo do primeiro quartil ou acima do terceiro quartil.

O gráfico de uma função quadrática, ou o conjunto de pontos em um plano que são equidistantes de um ponto fixo (o foco) e uma linha fixa (a diretriz).

Uma função ƒ para a qual existe um número positivo c tal que para cada valor t no domínio de ƒ. O menor desses números c é o período da função.

Uma função polinomial de grau 4.

Consulte o algoritmo de divisão para polinômios.

Consulte Operações elementares de linha.

Metade da soma dos comprimentos dos lados de um triângulo.

A função que associa pontos no círculo unitário com pontos na reta de número real


Assista o vídeo: Capítulo 10 - Seção Curvas definidas por equações paramétricas (Novembro 2021).