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15.1: Integrais duplos sobre retângulos


objetivos de aprendizado

  • Reconhecer quando uma função de duas variáveis ​​é integrável em uma região retangular.
  • Reconhecer e usar algumas das propriedades dos integrais duplos.
  • Avalie uma integral dupla sobre uma região retangular, escrevendo-a como uma integral iterativa.
  • Use uma integral dupla para calcular a área de uma região, o volume sob uma superfície ou o valor médio de uma função em uma região plana.

Nesta seção, investigamos os integrais duplos e mostramos como podemos usá-los para encontrar o volume de um sólido sobre uma região retangular no plano xy. Muitas das propriedades de integrais duplos são semelhantes àquelas que já discutimos para integrais simples.

Volumes e Integrais Duplos

Começamos considerando o espaço acima de uma região retangular (R ). Considere uma função contínua (f (x, y) ≥0 ) de duas variáveis ​​definidas no retângulo fechado (R ):

[R = [a, b] times [c, d] = left {(x, y) ∈ mathbb {R} ^ 2 | , a ≤ x ≤ b, , c ≤ y ≤ d right } nonumber ]

Aqui ([a, b] times [c, d] ) denota o produto cartesiano dos dois intervalos fechados ([a, b] ) e ([c, d] ). Consiste em pares retangulares ((x, y) ) tais que (a≤x≤b ) e (c≤y≤d ). O gráfico de (f ) representa uma superfície acima do plano (xy ) com a equação (z = f (x, y) ) onde (z ) é a altura da superfície no ponto ((x, y) ). Seja (S ) o sólido que está acima de (R ) e sob o gráfico de (f ) (Figura ( PageIndex {1} )). A base do sólido é o retângulo (R ) no plano (xy ). Queremos encontrar o volume (V ) do sólido (S ).

Dividimos a região (R ) em pequenos retângulos (R_ {ij} ), cada um com área (ΔA ) e com lados (Δx ) e (Δy ) (Figura ( PageIndex { 2} )). Fazemos isso dividindo o intervalo ([a, b] ) em (m ) subintervalos e dividindo o intervalo ([c, d] ) em (n ) subintervalos. Portanto, ( Delta x = frac {b - a} {m} ), ( Delta y = frac {d - c} {n} ), e ( Delta A = Delta x Delta y ).

O volume de uma caixa retangular fina acima de (R_ {ij} ) é (f (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) , Delta A ), onde ( (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ * )) é um ponto de amostra arbitrário em cada (R_ {ij} ) como mostrado na figura a seguir, (f (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) ) é a altura da caixa retangular fina correspondente, e ( Delta A ) é a área de cada retângulo (R_ {ij} ).

Usando a mesma ideia para todos os sub-retângulos, obtemos um volume aproximado do sólido S como

[V approx sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n f (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) Delta A. nonumber ]

Esta soma é conhecida como soma de Riemann dupla e pode ser usado para aproximar o valor do volume do sólido. Aqui, a soma dupla significa que para cada sub-retângulo avaliamos a função no ponto escolhido, multiplicamos pela área de cada retângulo e, a seguir, somamos todos os resultados.

Como vimos no caso de variável única, obtemos uma melhor aproximação do volume real se (m ) e (n ) se tornarem maiores.

[V = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) Delta A nonumber ]

ou

[V = lim _ { Delta x, , Delta y rightarrow 0} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *, , y_ { ij} ^ *) Delta A. nonumber ]

Observe que a soma se aproxima de um limite em ambos os casos e o limite é o volume do sólido com a base (R ). Agora estamos prontos para definir a integral dupla.

Definição

A integral dupla da função (f (x, , y) ) sobre a região retangular (R ) no plano (xy ) - é definida como

[ iint_R f (x, , y) dA = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ * , , y_ {ij} ^ *) Delta A. ]

Se (f (x, y) geq 0 ), então o volume (V ) do sólido (S ), que se encontra acima de (R ) no plano (xy ) - e sob o gráfico de (f ), está a integral dupla da função (f (x, y) ) sobre o retângulo (R ). Se a função for negativa, então a integral dupla pode ser considerada um volume “com sinal” de uma maneira semelhante à forma como definimos a área com sinal líquido no Integral Definido.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Configurando um Integral Duplo e Aproximando-o por Somas Duplas

Considere a função (z = f (x, , y) = 3x ^ 2 - y ) sobre a região retangular (R = [0, 2] times [0, 2] ) (Figura ( PageIndex {4} )).

  1. Configure uma integral dupla para encontrar o valor do volume com sinal do sólido (S ) que está acima de (R ) e “sob” o gráfico de (f ).
  2. Divida (R ) em quatro quadrados com (m = n = 2 ) e escolha o ponto de amostra como o ponto do canto superior direito de cada quadrado (1,1), (2,1), (1,2 ), e (2,2) (Figura ( PageIndex {4} )) para aproximar o volume assinado do sólido (S ) que se encontra acima de (R ) e "sob" o gráfico de ( f ).
  3. Divida (R ) em quatro quadrados com (m = n = 2 ) e escolha o ponto de amostra como o ponto médio de cada quadrado: (1/2, 1/2), (3/2, 1/2 ), (1 / 2,3 / 2) e (3/2, 3/2) para aproximar o volume assinado.

Solução

  1. Como podemos ver, a função (z = f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) está acima do plano. Para encontrar o volume com sinal de (S ), precisamos dividir a região (R ) em pequenos retângulos (R_ {ij} ), cada um com área (ΔA ) e com lados (Δx ) e (Δy ), e escolha ((x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ) como pontos de amostra em cada (R_ {ij} ). Portanto, uma integral dupla é configurada como

    [V = iint_R (3x ^ 2 - y) dA = lim_ {m, n → ∞} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n [3 (x_ {ij} ^ *) ^ 2 - y_ {ij} ^ *] Delta A. nonumber ]

  2. Aproximando o volume com sinal usando uma soma de Riemann com (m = n = 2 ), temos ( Delta A = Delta x Delta y = 1 vezes 1 = 1 ). Além disso, os pontos de amostra são (1, 1), (2, 1), (1, 2) e (2, 2) conforme mostrado na figura a seguir.

Por isso,

[ begin {align *} V & approx sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A [4pt]
& = sum_ {i = 1} ^ 2 (f (x_ {i1} ^ *, y_ {i1} ^ *) + f (x_ {i2} ^ *, y_ {i2} ^ *)) Delta A [4pt]
& = f (x_ {11} ^ *, y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *, y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ * , y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *, y_ {22} ^ *) Delta A [4pt]
& = f (1,1) (1) + f (2,1) (1) + f (1,2) (1) + f (2,2) (1) [4pt]
& = (3 - 1) (1) + (12 - 1) (1) + (3 - 2) (1) + (12 - 2) (1) [4pt]
& = 2 + 11 + 1 + 10 = 24. end {alinhar *} ]

  1. Aproximando o volume com sinal usando uma soma de Riemann com (m = n = 2 ), temos ( Delta A = Delta x Delta y = 1 vezes 1 = 1 ). Neste caso, os pontos de amostra são (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) e (3/2, 3/2).
    Por isso,
    [ begin {align *} V & approx sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A [4pt]
    & = f (x_ {11} ^ *, y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *, y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ * , y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *, y_ {22} ^ *) Delta A [4pt]
    & = f (1 / 2,1 / 2) (1) + f (3 / 2,1 / 2) (1) + f (1 / 2,3 / 2) (1) + f (3/2, 3/2) (1) [4pt]
    & = left ( frac {3} {4} - frac {1} {4} right) (1) + left ( frac {27} {4} - frac {1} {2} direita) (1) + esquerda ( frac {3} {4} - frac {3} {2} direita) (1) + esquerda ( frac {27} {4} - frac {3} {2} direita) (1) [4pt]
    & = frac {2} {4} + frac {25} {4} + left (- frac {3} {4} right) + frac {21} {4} = frac {45} {4} = 11. end {align *} ]

Análise

Observe que as respostas aproximadas diferem devido às escolhas dos pontos da amostra. Em qualquer caso, estamos introduzindo algum erro porque estamos usando apenas alguns pontos de amostra. Portanto, precisamos investigar como podemos obter uma resposta precisa.

Exercício ( PageIndex {1} )

Use a mesma função (z = f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) sobre a região retangular (R = [0,2] × [0,2] ).

Divida (R ) nos mesmos quatro quadrados com (m = n = 2 ) e escolha os pontos de amostra como o ponto do canto superior esquerdo de cada quadrado (0,1), (1,1), (0 , 2), e (1,2) (Figura ( PageIndex {5} )) para aproximar o volume assinado do sólido (S ) que se encontra acima de (R ) e "sob" o gráfico de (f ).

Dica

Siga as etapas do exemplo anterior.

Responder

[V approx sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = 0 nonumber ]

Observe que desenvolvemos o conceito de integral dupla usando uma região retangular (R ). Este conceito pode ser estendido a qualquer região geral. No entanto, quando uma região não é retangular, os sub-retângulos podem não se encaixar perfeitamente em (R ), particularmente se a área de base for curva. Examinaremos essa situação com mais detalhes na próxima seção, onde estudamos regiões que nem sempre são retangulares e os sub-retângulos podem não se encaixar perfeitamente na região (R ). Além disso, as alturas podem não ser exatas se a superfície (z = f (x, y) ) for curva. No entanto, os erros nas laterais e na altura onde as peças podem não se encaixar perfeitamente dentro do sólido (S ) se aproximam de 0 conforme (m ) e (n ) se aproximam do infinito. Além disso, a integral dupla da função (z = f (x, y) ) existe desde que a função (f ) não seja muito descontínua. Se a função é limitada e contínua em (R ), exceto em um número finito de curvas suaves, então a integral dupla existe e dizemos que ff é integrável em (R ).

Como ( Delta A = Delta x Delta y = Delta y Delta x ), podemos expressar (dA ) como (dx , dy ) ou (dy , dx ). Isso significa que, quando estamos usando coordenadas retangulares, a integral dupla sobre uma região (R ) denotada por

[ iint_R f (x, y) , dA nonumber ]

pode ser escrito como

[ iint_R f (x, y) , dx , dy nonumber ]

ou

[ iint_R f (x, y) , dy , dx. enhum número]

Agora vamos listar algumas das propriedades que podem ser úteis para calcular integrais duplos.

Propriedades de Integrais Duplos

As propriedades dos integrais duplos são muito úteis ao computá-los ou trabalhar com eles. Listamos aqui seis propriedades de integrais duplos. As propriedades 1 e 2 são referidas como a linearidade da integral, a propriedade 3 é a aditividade da integral, a propriedade 4 é a monotonicidade da integral e a propriedade 5 é usada para encontrar os limites da integral. A propriedade 6 é usada se (f (x, y) ) é um produto de duas funções (g (x) ) e (h (y) ).

Teorema: PROPRIEDADES DOS DUPLOS INTEGRAIS

Assuma que as funções (f (x, y) ) e (g (x, y) ) são integráveis ​​sobre a região retangular (R ); (S ) e (T ) são sub-regiões de (R ); e assuma que (m ) e (M ) são números reais.

  1. A soma (f (x, y) + g (x, y) ) é integrável e

[ iint_R [f (x, y) + g (x, y)] , dA = iint_R f (x, y) , dA + iint_R g (x, y) , dA. enhum número]

  1. Se c é uma constante, então (cf (x, y) ) é integrável e

[ iint_R cf (x, y) , dA = c iint_R f (x, y) , dA. enhum número]

  1. Se (R = S∪T ) e (S∩T = ∅ ) exceto uma sobreposição nos limites, então

[ iint_R f (x, y) , dA = iint_S f (x, y) , dA + iint_T f (x, y) , dA. enhum número]

  1. Se (f (x, y) geq g (x, y) ) para ((x, y) ) em (R ), então

[ iint_R f (x, y) , dA geq iint_R g (x, y) , dA. enhum número]

  1. Se (m leq f (x, y) leq M ) e (A (R) = , text {a área de} , R ), então

[m cdot A (R) leq iint_R f (x, y) , dA leq M cdot A (R). enhum número]

  1. No caso em que (f (x, y) ) pode ser fatorado como um produto de uma função (g (x) ) de (x ) apenas e uma função (h (y) ) de (y ) apenas, então sobre a região (R = big {(x, y) , | , a leq x leq b, , c leq y leq d big } ), a integral dupla pode ser escrita como

[ iint_R f (x, y) , dA = left ( int_a ^ b g (x) , dx right) left ( int_c ^ d h (y) , dy right). enhum número]

Essas propriedades são usadas na avaliação de integrais duplos, como veremos mais adiante. Estaremos habilitados a usar essas propriedades assim que nos familiarizarmos com as ferramentas computacionais de integrais duplos. Então, vamos chegar a isso agora.

Integrais Iterados

Até agora, vimos como configurar uma integral dupla e como obter um valor aproximado para ela. Também podemos imaginar que avaliar integrais duplos usando a definição pode ser um processo muito demorado se escolhermos valores maiores para (m ) e (n ). Portanto, precisamos de uma técnica prática e conveniente para calcular integrais duplos. Em outras palavras, precisamos aprender a calcular integrais duplos sem empregar a definição que usa limites e somas duplas.

A ideia básica é que a avaliação se torna mais fácil se pudermos quebrar uma integral dupla em integrais simples, integrando primeiro em relação a uma variável e depois em relação à outra. A ferramenta principal de que precisamos é chamada de integral iterada.

Definições: integrais iterados

Suponha que (a ), (b ), (c ) e (d ) sejam números reais. Nós definimos um integral iterada para uma função (f (x, y) ) sobre a região retangular (R = [a, b] × [c, d] ) como

[ int_a ^ b int_c ^ d f (x, y) , dy , dx = int_a ^ b left [ int_c ^ d f (x, y) , dy right] dx ]

ou

[ int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) , dx , dy = int_c ^ d left [ int_a ^ b f (x, y) , dx right] dy. ]

A notação ( int_a ^ b left [ int_c ^ df (x, y) , dy right] dx ) significa que integramos (f (x, y) ) em relação a (y ) enquanto mantém (x ) constante. Da mesma forma, a notação ( int_c ^ d left [ int_a ^ bf (x, y) , dx right] dy ) significa que integramos (f (x, y) ) em relação a ( x ) enquanto mantém (y ) constante. O fato de que integrais duplos podem ser divididos em integrais iterados é expresso no teorema de Fubini. Pense neste teorema como uma ferramenta essencial para avaliar integrais duplos.

Teorema: TEOREMA DE FUBINI

Suponha que (f (x, y) ) seja uma função de duas variáveis ​​contínuas em uma região retangular (R = big {(x, y) ∈ mathbb {R} ^ 2 | , a leq x leq b, , c leq y leq d big } ). Então, vemos na Figura ( PageIndex {6} ) que a integral dupla de (f ) sobre a região é igual a uma integral iterada,

[ iint_R f (x, y) , dA = iint_R f (x, y) , dx , dy = int_a ^ b int_c ^ df (x, y) , dy , dx = int_c ^ d int_a ^ bf (x, y) , dx , dy. ]

Mais geralmente, o teorema de Fubini é verdadeiro se (f ) é limitado em (R ) e (f ) é descontínuo apenas em um número finito de curvas contínuas. Em outras palavras, (f ) deve ser integrável sobre (R ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Usando o Teorema de Fubini

Use o teorema de Fubini para calcular a integral dupla ( displaystyle iint_R f (x, y) , dA ) onde (f (x, y) = x ) e (R = [0, 2] times [0, 1] ).

Solução

O teorema de Fubini oferece uma maneira mais fácil de avaliar a integral dupla pelo uso de uma integral iterada. Observe como os valores limite da região (R ) tornam-se os limites superior e inferior da integração.

[ begin {align *} iint_R f (x, y) , dA & = iint_R f (x, y) , dx , dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {x = 0} ^ {x = 2} x , dx , dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} left [ frac {x ^ 2} {2} bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} right] , dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} 2 , dy = 2y bigg | _ {y = 0} ^ {y = 1} = 2 end {align *} ]

A integração dupla neste exemplo é simples o suficiente para usar o teorema de Fubini diretamente, permitindo-nos converter uma integral dupla em uma integral iterada. Consequentemente, agora estamos prontos para converter todos os integrais duplos em integrais iterados e demonstrar como as propriedades listadas anteriormente podem nos ajudar a avaliar os integrais duplos quando a função (f (x, y) ) é mais complexa. Observe que a ordem de integração pode ser alterada (consulte o Exemplo 7).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Ilustrando as propriedades i e ii

Avalie a integral dupla [ iint_R (xy - 3xy ^ 2) , dA, , text {onde} , R = big {(x, y) , | , 0 leq x leq 2, , 1 leq y leq 2 big }. Nonumber ]

Solução

Esta função tem duas peças: uma peça é (xy ) e a outra é (3xy ^ 2 ). Além disso, a segunda peça tem uma constante 3. Observe como usamos as propriedades ie ii para ajudar a avaliar a integral dupla.

[ begin {align *} iint_R (xy - 3xy ^ 2) , dA & = iint_R xy , dA + iint_R (-3xy ^ 2) , dA & & text {Propriedade i: Integral de uma soma é a soma das integrais.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = 2} xy , dx , dy - int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = 2} 3xy ^ 2 , dx , dy & & text {Converter integrais duplos em integrais iterados.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} left ( frac {x ^ 2} {2} y right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} , dy - 3 int_ {y = 1} ^ {y = 2} left ( frac {x ^ 2} {2} y ^ 2 right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} , dy & & text {Integrar em relação a $ x $, mantendo $ y $ constante.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} 2y , dy - int_ {y = 1} ^ {y = 2} 6y ^ 2 dy & & text {Propriedade ii: Colocando a constante antes de integral.} [4pt]
& = 2 int_1 ^ 2 y , dy - 6 int_1 ^ 2 y ^ 2 , dy & & text {Integrar em relação a y.} [4pt]
& = 2 frac {y ^ 2} {2} bigg | _1 ^ 2 - 6 frac {y ^ 3} {3} bigg | _1 ^ 2 [4pt]
& = y ^ 2 bigg | _1 ^ 2 - 2y ^ 3 bigg | _1 ^ 2 [4pt]
& = (4−1) - 2 (8−1) = 3 - 2 (7) = 3 - 14 = −11. end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {4} ): Ilustrando a propriedade v.

Sobre a região (R = big {(x, y) , | , 1 leq x leq 3, , 1 leq y leq 2 big } ), temos (2 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 13 ). Encontre um limite inferior e um limite superior para o integral ( displaystyle iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) , dA. )

Solução

Para um limite inferior, integre a função constante 2 sobre a região (R ). Para um limite superior, integre a função constante 13 sobre a região (R ).

[ begin {align *} int_1 ^ 2 int_1 ^ 3 2 , dx , dy & = int_1 ^ 2 [2x bigg | _1 ^ 3] , dy = int_1 ^ 2 2 (2) dy = 4y bigg | _1 ^ 2 = 4 (2 - 1) = 4 [4pt] int_1 ^ 2 int_1 ^ 3 13dx , dy & = int_1 ^ 2 [13x bigg | _1 ^ 3] , dy = int_1 ^ 2 13 (2) , dy = 26y bigg | _1 ^ 2 = 26 (2 - 1) = 26. end {alinhar *} ]

Portanto, obtemos ( displaystyle 4 leq iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) , dA leq 26. )

Exemplo ( PageIndex {5} ): Ilustrando a propriedade vi

Avalie o integral ( displaystyle iint_R e ^ y cos x , dA ) sobre a região (R = big {(x, y) , | , 0 leq x leq frac { pi} {2}, , 0 leq y leq 1 big } ).

Solução

Este é um ótimo exemplo para a propriedade vi porque a função (f (x, y) ) é claramente o produto de duas funções de variável única (e ^ y ) e ( cos x ). Assim, podemos dividir a integral em duas partes e, em seguida, integrar cada uma como um problema de integração de variável única.

[ begin {align *} iint_R e ^ y cos x , dA & = int_0 ^ 1 int_0 ^ { pi / 2} e ^ y cos x , dx , dy [4pt ]
& = left ( int_0 ^ 1 e ^ y dy right) left ( int_0 ^ { pi / 2} cos x , dx right) [4pt]
& = (e ^ y bigg | _0 ^ 1) ( sin x bigg | _0 ^ { pi / 2}) [4pt]
& = e - 1. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

uma. Use as propriedades do integral duplo e o teorema de Fubini para avaliar o integral

[ int_0 ^ 1 int _ {- 1} ^ 3 (3 - x + 4y) , dy , dx. enhum número ]

b. Mostre que ( displaystyle 0 leq iint_R sin pi x , cos pi y , dA leq frac {1} {32} ) onde (R = left (0, frac {1} {4} right) left ( frac {1} {4}, frac {1} {2} right) ).

Dica

Use propriedades i. e ii. e avaliar a integral iterada, e então usar a propriedade v.

Responder

uma. (26 )

b. As respostas podem variar.

Como mencionamos antes, quando estamos usando coordenadas retangulares, a integral dupla sobre uma região (R ) denotada por ( iint_R f (x, y) , dA ) pode ser escrita como ( iint_R , f (x, y) , dx , dy ) ou ( iint_R , f (x, y) , dy , dx. ) O próximo exemplo mostra que os resultados são os mesmos, independentemente da ordem de integração que escolhemos.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Avaliando um Integral Iterado de Duas Maneiras

Vamos voltar à função (f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) do Exemplo 1, desta vez sobre a região retangular (R = [0,2] times [0,3] ). Use o teorema de Fubini para avaliar ( iint_R f (x, y) , dA ) de duas maneiras diferentes:

  1. Primeiro integre em relação a (y ) e, em seguida, em relação a (x );
  2. Primeiro integre em relação a (x ) e, em seguida, em relação a (y ).

Solução

A Figura ( PageIndex {6} ) mostra como o cálculo funciona de duas maneiras diferentes.

  1. Primeiro integre em relação a (y ) e, em seguida, integre em relação a (x ):

[ begin {align *} iint_R f (x, y) , dA & = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = 3} (3x ^ 2 - y) , dy , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left ( int_ {y = 0} ^ {y = 3} (3x ^ 2 - y) , dy right) , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left [3x ^ 2y - frac {y ^ 2} {2} bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} right] , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left (9x ^ 2 - frac {9} {2} right) , dx = 3x ^ 3 - frac {9} {2} x bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} = 15. end {alinhar *} ]

  1. Primeiro integre em relação a (x ) e, em seguida, integre em relação a (y ):
    [ begin {align *} iint_R f (x, y) , dA & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = 2} (3x ^ 2 - y) , dx , dy [4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} left ( int_ {x = 0} ^ {x = 2} (3x ^ 2 - y) , dx right) , dy [ 4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} left [x ^ 3 - xy bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} right] dy [4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} (8 - 2y) , dy = 8y - y ^ 2 bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} = 15. end { alinhar*}]

Análise

Com qualquer uma das ordens de integração, a integral dupla nos dá uma resposta de (15 ). Podemos querer interpretar esta resposta como um volume em unidades cúbicas do sólido (S ) abaixo da função (f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) sobre a região (R = [0, 2] vezes [0,3] ). No entanto, lembre-se de que a interpretação de uma integral dupla como um volume (não assinado) funciona apenas quando o integrando (f ) é uma função não negativa sobre a região de base (R ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Avalie

[ int_ {y = -3} ^ {y = 2} int_ {x = 3} ^ {x = 5} (2 - 3x ^ 2 + y ^ 2) , dx , dy. enhum número]

Dica

Use o teorema de Fubini.

Responder

(- frac {1340} {3} )

No próximo exemplo, vemos que pode realmente ser benéfico mudar a ordem de integração para tornar o cálculo mais fácil. Voltaremos a essa ideia várias vezes neste capítulo.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Mudando a ordem de integração

Considere o integral duplo ( displaystyle iint_R x , sin (xy) , dA ) sobre a região (R = big {(x, y) , | , 0 leq x leq pi, , 1 leq y leq 2 big } ) (Figura ( PageIndex {7} )).

  1. Expresse a integral dupla de duas maneiras diferentes.
  2. Analise se avaliar a integral dupla de uma maneira é mais fácil do que de outra e por quê.
  3. Avalie a integral.
  1. Podemos expressar ( iint_R x , sin (xy) , dA ) das seguintes maneiras: primeiro integrando com respeito a (y ) e depois com respeito a (x ); segundo, integrando em relação a (x ) e, em seguida, em relação a (y ).
    [ iint_R x , sin (xy) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x , sin (xy ) , dy , dx nonumber ]
    Integre primeiro em relação a (y ).
    [= int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = pi} x , sin (xy) , dx , dy nonumber ]
    Integre primeiro em relação a (x ).
  2. Se quisermos integrar com respeito a y primeiro e depois integrar em relação a (x ), vemos que podemos usar a substituição (u = xy ), que dá (du = x , dy ). Portanto, a integral interna é simplesmente ( int sin u , du ) e podemos alterar os limites para serem funções de (x ),

[ iint_R x , sin (xy) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x , sin (xy ) , dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = pi} left [ int_ {u = x} ^ {u = 2x} sin (u) , du right] , dx. nonumber ]

No entanto, a integração em relação a (x ) primeiro e, em seguida, a integração em relação a (y ) requer integração por partes para a integral interna, com (u = x ) e (dv = sin (xy) dx )

Então (du = dx ) e (v = - frac { cos (xy)} {y} ), então

[ iint_R x sin (xy) , dA = int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = pi} x sin (xy) , dx , dy = int_ {y = 1} ^ {y = 2} left [- frac {x , cos (xy)} {y} bigg | _ {x = 0} ^ {x = pi} + frac {1} {y} int_ {x = 0} ^ {x = pi} cos (xy) , dx right] , dy. nonumber ]

Como a avaliação está ficando complicada, faremos apenas os cálculos mais fáceis de fazer, que é claramente o primeiro método.

  1. Avalie a integral dupla usando a maneira mais fácil.

[ begin {align *} iint_R x , sin (xy) , dA & = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x , sin (xy) , dy , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = pi} left [ int_ {u = x} ^ {u = 2x} sin (u) , du right] , dx = int_ { x = 0} ^ {x = pi} left [- cos u bigg | _ {u = x} ^ {u = 2x} right] , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = pi} (- cos 2x + cos x) , dx [4pt]
& = left (- frac {1} {2} sin 2x + sin x right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = pi} = 0. end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Avalie o integral ( displaystyle iint_R xe ^ {xy} , dA ) onde (R = [0,1] times [0, ln 5] ).

Dica

Integre em relação a (y ) primeiro.

Responder

( frac {4 - ln 5} { ln 5} )

Aplicações de Integrais Duplos

Integrais duplos são muito úteis para encontrar a área de uma região limitada por curvas de funções. Descreveremos essa situação com mais detalhes na próxima seção. No entanto, se a região tem uma forma retangular, podemos encontrar sua área integrando a função constante (f (x, y) = 1 ) sobre a região (R ).

Definição: área da região

A área da região (R ) é dada por [A (R) = iint_R 1 , dA. ]

Essa definição faz sentido porque usar (f (x, y) = 1 ) e avaliar a integral torna-a um produto de comprimento e largura. Vamos verificar esta fórmula com um exemplo e ver como isso funciona.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Encontrando uma área usando um duplo integral

Encontre a área da região (R = big {, (x, y) , | , 0 leq x leq 3, , 0 leq y leq 2 big } ) por usando uma integral dupla, isto é, integrando (1 ) sobre a região (R ).

Solução

A região é retangular com comprimento (3 ) e largura (2 ), então sabemos que a área é (6 ). Obtemos a mesma resposta quando usamos uma integral dupla:

[A (R) = int_0 ^ 2 int_0 ^ 3 1 , dx , dy = int_0 ^ 2 left [x big | _0 ^ 3 right] , dy = int_0 ^ 2 3 dy = 3 int_0 ^ 2 dy = 3y bigg | _0 ^ 2 = 3 (2) = 6 , text {unidades} ^ 2. Nonumber ]

Já vimos como os integrais duplos podem ser usados ​​para encontrar o volume de um sólido limitado acima por uma função (f (x, y) geq 0 ) sobre uma região (R ) fornecida (f (x, y) geq 0 ) para todos ((x, y) ) em (R ). Aqui está outro exemplo para ilustrar esse conceito.

Exemplo ( PageIndex {9} ): Volume de um parabolóide elíptico

Encontre o volume (V ) do sólido (S ) que é limitado pelo parabolóide elíptico (2x ^ 2 + y ^ 2 + z = 27 ), os planos (x = 3 ) e (y = 3 ) e os três planos de coordenadas.

Solução

Primeiro observe o gráfico da superfície (z = 27 - 2x ^ 2 - y ^ 2 ) na Figura ( PageIndex {8} ) (a) e acima da região quadrada (R_1 = [-3,3 ] times [-3,3] ). No entanto, precisamos do volume do sólido delimitado pelo parabolóide elíptico (2x ^ 2 + y ^ 2 + z = 27 ), os planos (x = 3 ) e (y = 3 ), e o três planos coordenados.

Agora vamos olhar o gráfico da superfície na Figura ( PageIndex {8} ) (b). Determinamos o volume (V ) avaliando o integral duplo sobre (R_2 ):

[ begin {align *} V & = iint_R z , dA = iint_R (27 - 2x ^ 2 - y ^ 2) , dA [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = 3} (27 - 2x ^ 2 - y ^ 2) , dx , dy & & text { Converta para integral literal.} [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} [27x - frac {2} {3} x ^ 3 - y ^ 2x] bigg | _ {x = 0} ^ {x = 3} , dy & & text {Integrar em relação a $ x $.} [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} (63 - 3y ^ 2) dy = 63 y - y ^ 3 bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} = 162. fim {alinhar*}]

Exercício ( PageIndex {5} )

Encontre o volume do sólido delimitado acima pelo gráfico de (f (x, y) = xy sin (x ^ 2y) ) e abaixo pelo plano (xy ) - na região retangular (R = [0,1] times [0, pi] ).

Dica

Represente graficamente a função, configure a integral e use uma integral iterada.

Responder

( frac { pi} {2} )

Lembre-se de que definimos o valor médio de uma função de uma variável em um intervalo ([a, b] ) como

[f_ {ave} = frac {1} {b - a} int_a ^ b f (x) , dx. ]

Da mesma forma, podemos definir o valor médio de uma função de duas variáveis ​​em uma região (R ). A principal diferença é que dividimos por uma área em vez da largura de um intervalo.

Definição: VALOR MÉDIO DE UMA FUNÇÃO

O valor médio de uma função de duas variáveis ​​em uma região (R ) é

[F_ {ave} = frac {1} { text {Área de} , R} iint_R f (x, y) , dx , dy. ]

No próximo exemplo, encontramos o valor médio de uma função em uma região retangular. Este é um bom exemplo de obtenção de informações úteis para uma integração fazendo medições individuais em uma grade, em vez de tentar encontrar uma expressão algébrica para uma função.

Exemplo ( PageIndex {10} ): Calculando a precipitação média de tempestade

O mapa do tempo na Figura ( PageIndex {9} ) mostra um sistema de tempestade excepcionalmente úmido associado aos remanescentes do furacão Karl, que despejou 4–8 polegadas (100–200 mm) de chuva em algumas partes do meio-oeste em setembro 22–23, 2010. A área de chuva media 300 milhas de leste a oeste e 250 milhas de norte a sul. Faça uma estimativa da precipitação média em toda a área nesses dois dias.

Solução

Coloque a origem no canto sudoeste do mapa para que todos os valores possam ser considerados como estando no primeiro quadrante e, portanto, todos sejam positivos. Agora divida o mapa inteiro em seis retângulos ((m = 2 ) e (n = 3) ), como mostrado na Figura ( PageIndex {9} ). Suponha que (f (x, y) ) denota a precipitação pluvial em polegadas em um ponto aproximadamente (x ) milhas a leste da origem e (y ) milhas ao norte da origem. Deixe (R ) representar toda a área de (250 vezes 300 = 75000 ) milhas quadradas. Então a área de cada sub-retângulo é

[ Delta A = frac {1} {6} (75000) = 12500. não número ]

Suponha que ((x_ {ij} *, y_ {ij} *) ) são aproximadamente os pontos médios de cada sub-retângulo (R_ {ij} ). Observe a região codificada por cores em cada um desses pontos e estime a precipitação. A precipitação em cada um desses pontos pode ser estimada como:

  • Em ( (x_ {11}, y_ {11} )), a precipitação é de 0,08.
  • Em ( (x_ {12}, y_ {12} )), a precipitação é de 0,08.
  • Em ( (x_ {13}, y_ {13} )), a precipitação é de 0,01.
  • Em ( (x_ {21}, y_ {21} )), a precipitação é de 1,70.
  • Em ( (x_ {22}, y_ {22} )), a precipitação é de 1,74.
  • Em ( (x_ {23}, y_ {23} )), a precipitação é de 3,00.

De acordo com nossa definição, a precipitação média de tempestades em toda a área durante aqueles dois dias foi

[ begin {align *} f_ {ave} = frac {1} {Area , R} iint_R & = f (x, y) , dx , dy = frac {1} {75000} iint_R f (x, y) , dx , dy [4pt]
& approx frac {1} {75000} sum_ {i = 1} ^ 3 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A [4pt]
& = frac {1} {75000} [f (x_ {11} ^ *, y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ *, y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {13} ^ *, y_ {13} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *, y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *, y_ {22} ^ *) Delta A + f (x_ {23} ^ *, y_ {23} ^ *) Delta A] [4pt]
& approx frac {1} {75000} [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] Delta A [4pt]
& = frac {1} {75000} [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] 12500 [4pt]
& = frac {1} {6} [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] [4pt] & aproximadamente 1,10 ; text {in}. end {align *} ]

De 22 a 23 de setembro de 2010, esta área teve uma precipitação média de tempestade de aproximadamente 1,10 polegadas.

Exercício ( PageIndex {6} )

Um mapa de contorno é mostrado para uma função (f (x, y) ) no retângulo (R = [-3,6] vezes [-1, 4] ).

uma. Use a regra do ponto médio com (m = 3 ) e (n = 2 ) para estimar o valor de ( displaystyle iint_R f (x, y) , dA. )

b. Estime o valor médio da função (f (x, y) ).

Dica

Divida a região em seis retângulos e use as curvas de nível para estimar os valores de (f (x, y) ).

Responder

Respostas para ambas as partes a. e B. pode variar.

Conceitos chave

  • Podemos usar uma soma de Riemann dupla para aproximar o volume de um sólido limitado acima por uma função de duas variáveis ​​em uma região retangular. Ao tomar o limite, isso se torna uma integral dupla que representa o volume do sólido.
  • As propriedades da integral dupla são úteis para simplificar a computação e encontrar limites em seus valores.
  • Podemos usar o teorema de Fubini para escrever e avaliar uma integral dupla como uma integral iterada.
  • Integrais duplos são usados ​​para calcular a área de uma região, o volume sob uma superfície e o valor médio de uma função de duas variáveis ​​em uma região retangular.

Equações Chave

  • [ iint_R f (x, y) , dA = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ij *, y_ij *) , ΔA não numérico ]
  • [ int_a ^ b int_c ^ d f (x, y) , dx , dy = int_a ^ b left [ int_c ^ d f (x, y) , dy right] dx nonumber ] ou

    [ int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) , dx , dy = int_c ^ d left [ int_a ^ b f (x, y) , dx right] dy nonumber ]

  • [f_ {ave} = frac {1} { text {Área de} , R} iint_R f (x, y) , dx , dy nonumber ]

Glossário

integral duplo
da função (f (x, y) ) sobre a região (R ) no plano (xy ) - é definido como o limite de uma soma de Riemann dupla,
[ iint_R f (x, y) , dA = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ * , y_ {ij} ^ *) , Delta A. nonumber ]
soma de Riemann dupla
da função (f (x, y) ) sobre uma região retangular (R ) é
[ sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A, não numérico ]
onde (R ) é dividido em sub-retângulos menores (R_ {ij} ) e (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ) é um ponto arbitrário em (R_ {ij} )
Teorema de Fubini
if (f (x, y) ) é uma função de duas variáveis ​​contínuas em uma região retangular (R = big {(x, y) in mathbb {R} ^ 2 , | , a leq x leq b, , c leq y leq d big } ), então a integral dupla de (f ) sobre a região é igual a uma integral iterada,
[ displaystyle iint_R f (x, y) , dA = int_a ^ b int_c ^ df (x, y) , dx , dy = int_c ^ d int_a ^ bf (x, y) , dx , dy nonumber ]
integral iterada
para uma função (f (x, y) ) sobre a região (R ) é

uma. ( displaystyle int_a ^ b int_c ^ df (x, y) , dx , dy = int_a ^ b left [ int_c ^ df (x, y) , dy right] , dx, )

b. ( displaystyle int_c ^ d int_a ^ bf (x, y) , dx , dy = int_c ^ d left [ int_a ^ bf (x, y) , dx right] , dy, )

onde (a, b, c ) e (d ) são quaisquer números reais e (R = [a, b] vezes [c, d] )

Contribuintes e atribuições

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Métodos Numéricos com Programação

Suponha que escolhemos duas regras de integração: uma para o intervalo ([a, b] text <,> ) diga ( int_a ^ bg (x) , dx approx sum_i w_i g (x_i) text < ,> ) o outro para intervalo ([c, d] text <,> ) diga ( int_c ^ dg (y) , dy approx sum_j v_j g (y_j) text <.> ) A função (g ) aqui é um marcador de posição, a regra consiste na escolha dos pontos de avaliação e seus pesos. Observe que os pesos e pontos dependem do intervalo, portanto, provavelmente serão diferentes, mesmo se usarmos o mesmo método de integração para ambas as variáveis. Com esta configuração, a regra de integração bidimensional para este retângulo pode ser expressa como uma soma dupla:

Exemplo 18.1.1. Configure a regra de Simpson sobre um retângulo.

Escreva explicitamente a soma (18.1.1) para a integral da função (f ) sobre o retângulo (R = [-2,2] vezes [-1,1] ) usando a regra de Simpson simples em ambos variáveis.

Na direção (y ), os pontos de avaliação são (- 1, 0, 1 ) com os pesos (1/3, 4/3, 1/3 text <.> ) No ( x ) direção, os pontos de avaliação são (- 2, 0, 2 ) com os pesos (2/3, 8/3, 2/3 text <.> ) Portanto, a soma tem 9 termos:

Dado o grande número de termos em dupla soma (18.1.1), devemos tentar organizar tais cálculos de forma eficiente. A primeira coisa a fazer é avaliar a função em uma grade retangular formada por todos os pontos ((x_i, y_j) ). Um comando útil do Matlab é meshgrid, que é usado como

onde x, y são vetores com pontos de avaliação. A saída consiste em duas matrizes X, Y que representam a grade retangular: X tem as coordenadas x de todos os pontos da grade e Y tem suas coordenadas y. A razão pela qual isso é útil é que f (X, Y) agora pode ser usado para avaliar a função em toda a grade de uma vez (produzindo uma matriz de seus valores), desde que (f ) seja escrito para que possa lidar com a matriz entrada.

Tendo calculado V = f (X, Y), precisamos combiná-lo com pesos e obter um único número no final. Lembre-se de que em uma dimensão faríamos isso como f (x) * w, onde w é um vetor coluna de pesos x. Ainda devemos fazer isso, mas para também multiplicar e somar os pesos y, precisamos de v * f (X, Y) * w onde v é uma linha do vetor de pesos y.

Exemplo 18.1.2. Implemente a regra de Simpson sobre um retângulo.

Escreva um script Matlab para integrar a função (f (x) = sqrt <4 + xy + y ^ 3> ) sobre o retângulo no Exemplo 18.1.1, usando os pontos de integração e pesos desse exemplo.

As primeiras quatro linhas não envolvem a função que estão preparando. A função é avaliada na grade retangular e seus valores são convenientemente agregados usando multiplicação matriz-vetor. O resultado é 15,8859. WolframAlpha dá 15,9219.

O cálculo da grade retangular também pode ser usado para traçar rapidamente a função: surf (X, Y, f (X, Y)) faz isso.


1 resposta 1

Uma foto vai ajudar muito. Desenhe o retângulo que está sendo discutido, localizando seu canto inferior esquerdo na origem, seu canto inferior direito em $ (6,0) $, superior direito em $ (6,4) $ e superior esquerdo em $ (0 , 4) $.

De $ m = 3 $, $ n = 2 $, parece que você precisará desenhar $ 2 $ linhas verticais e $ 1 $ linha horizontal para dividir o retângulo em $ 6 $ partes iguais. Cada parte é $ 2 vezes 2 $ quadrados.

Comece com a camada inferior de $ 2 vezes 2 $ quadrados. O quadrado no canto inferior esquerdo tem canto superior direito apontar para $ (2,2) $. O próximo quadrado à direita tem o canto superior direito $ (4,2) $. E você pode escrever o próximo à direita depois disso.

Agora olhamos para a camada superior de $ 3 $ quadrados. O quadrado à esquerda tem o canto superior direito $ (2,4) $. E tenho certeza de que você pode encontrar os outros dois.


Índice

0 PRELIMINARES

0,1 Números reais, lógica e estimativa

0,2 Desigualdades e valores absolutos

0.3 O Sistema de Coordenadas Retangulares

0,5 Funções e seus gráficos

0,6 Operações em funções

0.7 As funções trigonométricas

1.1 Introdução aos Limites

1.2 Estudo Rigoroso de Limites

1.4 Limites que envolvem funções trigonométricas

1.5 Limites no infinito, limites infinitos

1.6 Continuidade de Funções

2 O DERIVADO

2.1 Dois problemas com um tema

2.3 Regras para Encontrar Derivados

2.4 Derivadas de funções trigonométricas

2.6 Derivados de ordem superior

2.7 Diferenciação implícita

2.9 Diferenciais e aproximações

3 APLICAÇÕES DO DERIVADO

3.2 Monotonicidade e Concavidade

3.3 Extrema e Extrema local em intervalos abertos

3.4 Funções Gráficas Usando Cálculo

3.6 O Teorema do Valor Médio para Derivados

3.7 Resolvendo Equações Numericamente

3.9 Introdução às Equações Diferenciais

4 O INTEGRAL DEFINIDO

4.3 O 1º Teorema Fundamental do Cálculo

4.4 O 2º Teorema Fundamental do Cálculo

e o Método de Substituição

4.5 O Teorema do Valor Médio para Integrais e o Uso da Simetria

5 APLICAÇÕES DO INTEGRAL

5.1 A área de uma região plana

5.2 Volumes de Sólidos: Lajes, Discos, Arruelas

5.3 Volumes de Sólidos de Revolução: Cascas

5.4 Comprimento de uma curva plana

5.5 Trabalho e Pressão de Fluido

5,6 Momentos, Centro de Massa

5.7 Probabilidade e Variáveis ​​Aleatórias

6 FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS

6.1 A Função Logaritmo Natural

6.2 Funções inversas e seus derivados

6.3 A Função Exponencial Natural

6.4 Funções Exponenciais Gerais e Logarítmicas

6.5 Crescimento Exponencial e Decadência

6.6 Equações diferenciais lineares de primeira ordem

6.7 Aproximações para Equações Diferenciais

6.8 Funções de gatilho inverso e seus derivados

6.9 As funções hiperbólicas e seus inversos

7 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

7.1 Regras Básicas de Integração

7.3 Alguns Integrais Trigonométricos

7.4 Racionalizando Substituições

7.5 O Método das Frações Parciais

7.6 Estratégias de Integração

8 FORMAS INDETERMINADAS & amp INTEGRAIS INADEQUADOS

8.1 Formas Indeterminadas do Tipo 0/0

8.2 Outras formas indeterminadas

8.3 Integrais impróprios: limites infinitos de integração

8.4 Integrais impróprios: Integrandos infinitos

9 SÉRIE INFINITA

9.3 Série Positiva: O Teste Integral

9.4 Série Positiva: Outros Testes

9.5 Série Alternada, Convergência Absoluta,

e convergência condicional

9.7 Operações em séries de potência

9.8 Série Taylor e Maclaurin

9.9 A aproximação de Taylor para uma função

10 CÔNICAS E COORDENADAS POLARES

10.2 Elipses e hipérboles

10.3 Translação e rotação de eixos

10.4 Representação Paramétrica de Curvas

10.5 O sistema de coordenadas polares

10.6 Gráficos de equações polares

10.7 Cálculo em Coordenadas Polares

11 GEOMETRIA NO ESPAÇO, VETORES

11.1 Coordenadas cartesianas em três espaços

11.5 Funções com valor vetorial e movimento curvilíneo

11.7 Curvatura e componentes de aceleração

11.8 Superfícies em três espaços

11.9 Coordenadas cilíndricas e esféricas

12 DERIVADOS DE FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS


Instantâneos


Limite de soma

Um dos problemas resolvidos pela integração é encontrar a área sob a curva dentro de um determinado intervalo. Para resolver esse problema, o conceito de somas de Riemann foi cunhado. Vamos supor que o objetivo seja determinar a área sob a função limitado pelas linhas e . A figura abaixo demonstra a área alvo que deve ser calculada.

A área sob a curva pode ser aproximada quebrando o intervalo x entre e para dentro intervalos de largura igual e calculando a soma dos retângulos, que se cruzam com a função, conforme mostrado na figura abaixo.

Esta aproximação da área pode ser escrita como: . Para obter uma estimativa mais precisa da área sob a curva, é razoável aumentar , reduzindo, portanto, o tamanho dos intervalos.

Na forma geral, esta aproximação da área sob a curva é expressa usando a seguinte fórmula: , onde n é o número de intervalos, a é o início do intervalo e b é o final do intervalo, , e . Essa soma é denominada soma de Riemann. Como o valor de n aumenta, a aproximação da área sob a curva torna-se melhor. Supondo que n aumenta até o infinito, é possível definir a área sob a curva como o limite da soma de Riemann: .


Regra trapezoidal

O Regra trapezoidal aproxima a área, mas usa trapézios em vez de retângulos. Lembre-se de que um trapézio é um quadrilátero (figura de quatro lados) onde as bases são paralelas e os outros dois lados não.

Regra trapezoidal

A área de um trapézio é ( displaystyle A = frac <<<_<1>>+<_ <2> >>> <2> cdot h ).

Pense em multiplicar a altura pela “média” dos dois valores básicos, que são paralelos.

Aqui está o que usar a Regra Trapezoidal para estimar a área sob uma curva parece notar como os trapézios estão virados para os lados.

Queremos criar pequenos trapézios (com bases como valores (y )) sob a curva e acima do eixo (x ) - entre dois pontos (x ) e, em seguida, adicionar todas essas áreas. Quando fazemos isso, chegamos à definição da Regra Trapezoidal:

A regra trapezoidal:

Seja (f ) contínuo no intervalo ( left [ direito]). Podemos aproximar ( int limits_ ^<> , dx ) pela Regra Trapezoidal:

Isso ocorre porque cada trapézio está “de lado” e sua altura é ( displaystyle frac <>) e as bases são valores consecutivos ( displaystyle f left (x right) ). Quando somamos todas as "médias" das bases ( displaystyle frac <_ <1>> direita) + f esquerda ( _ <2>> direita) >> <2>, frac <_ <2>> direita) + f esquerda ( right) >> <2> ) e assim por diante, acabamos dividindo por 2 (portanto, o ( displaystyle frac <> <<2n>> ) do lado de fora) e tendo duas vezes todos os valores ( displaystyle f left (x right) ), exceto o primeiro e o último.

. Dividir 0 para 1 para dentro 4 intervalos, então (f left (x right) ) ’s será 0 , .25 , .5 , .75 , e 1 :

Divida ( displaystyle frac < pi> <2> ) em ( pi ) em 3 intervalos, então (f left (x right) ) 's será ( displaystyle frac < pi> <2>, , , frac << 4 pi >> <6>, , , frac << 5 pi >> <6>, ) e ( pi ).

(Para obtê-los, subtraia ( pi ) de ( displaystyle frac < pi> <2> ) para obter ( displaystyle frac < pi> <2> ) e, em seguida, divida por 3 para obter ( displaystyle frac < pi> <6> ). Em seguida, adicione ( displaystyle frac < pi> <6>, , , frac << 2 pi >> <6>, ) e ( displaystyle frac << 3 pi >> < 6> ) para o ponto inicial ( displaystyle frac < pi> <2> )).

Você pode receber a função real, ou pode receber valores em certos pontos, então você teria que “construir” os trapézios. Vamos resolver um problema em que não temos intervalos iguais:

Problema de regra trapezoidal

Um guarda florestal precisa saber o volume de um lago que está abastecendo com peixes. A profundidade média da lagoa é 25 pés, e a largura da lagoa em 100 os intervalos de pés são fornecidos na tabela abaixo. Use o regra trapezoidal com 5 intervalos para aproximar o volume desta lagoa.

Primeiro use o Área de um trapézio fórmula para somar a área de todos os trapézios. Para cada trapézio: ( displaystyle A = frac <<<_<1>>+<_ <2> >>> <2> cdot h ). As bases são as linhas paralelas acima, e a altura é a distância entre as bases.

Multiplique isso pela profundidade da lagoa ( (25 ) pés) para obter Volume (= 1,438,750) pés.


15.1: Integrais duplos sobre retângulos

O detector de objetos descrito abaixo foi inicialmente proposto por Paul Viola [223] e melhorado por Rainer Lienhart [132].

Primeiro, um classificador (ou seja, um cascata de classificadores otimizados trabalhando com recursos semelhantes a haar) é treinado com algumas centenas de visualizações de amostra de um objeto específico (ou seja, um rosto ou um carro), chamados de exemplos positivos, que são dimensionados para o mesmo tamanho (digamos, 20x20), e exemplos negativos - imagens arbitrárias do mesmo tamanho .

Depois que um classificador é treinado, ele pode ser aplicado a uma região de interesse (do mesmo tamanho usado durante o treinamento) em uma imagem de entrada. O classificador produz um "1" se a região provavelmente mostrará o objeto (ou seja, rosto / carro) e "0" caso contrário. Para pesquisar o objeto em toda a imagem, pode-se mover a janela de pesquisa pela imagem e verificar todos os locais usando o classificador. O classificador é projetado de forma que possa ser facilmente "redimensionado" para poder localizar os objetos de interesse em diferentes tamanhos, o que é mais eficiente do que redimensionar a própria imagem. Portanto, para encontrar um objeto de tamanho desconhecido na imagem, o procedimento de digitalização deve ser feito várias vezes em diferentes escalas.

A palavra "cascata" no nome do classificador significa que o classificador resultante consiste em vários classificadores mais simples (estágios) que são aplicadas posteriormente a uma região de interesse até que em algum estágio o candidato seja rejeitado ou todas as etapas sejam aprovadas. A palavra "boosted" significa que os classificadores em cada estágio da cascata são complexos e são construídos a partir de classificadores básicos usando uma das quatro técnicas de boosting diferentes (votação ponderada). Atualmente, o Adaboost discreto, o Real Adaboost, o Gentle Adaboost e o Logitboost são suportados. Os classificadores básicos são classificadores de árvore de decisão com pelo menos 2 folhas. Recursos do tipo Haar são a entrada para os classificadores básicos e são calculados conforme descrito abaixo. O algoritmo atual usa os seguintes recursos do tipo Haar:

O recurso usado em um determinado classificador é especificado por sua forma (1a, 2b etc.), posição dentro da região de interesse e a escala (esta escala não é a mesma que a escala usada no estágio de detecção, embora essas duas escalas sejam multiplicado). Por exemplo, no caso do recurso de terceira linha (2c), a resposta é calculada como a diferença entre a soma dos pixels da imagem sob o retângulo cobrindo todo o recurso (incluindo as duas listras brancas e a listra preta no meio) e o soma dos pixels da imagem sob a faixa preta multiplicada por 3 para compensar as diferenças no tamanho das áreas. As somas dos valores dos pixels em regiões retangulares são calculadas rapidamente usando imagens integrais (veja abaixo e a descrição integral).

A referência a seguir é apenas para a parte de detecção. Existe um aplicativo separado chamado opencv_traincascade que pode treinar uma cascata de classificadores impulsionados a partir de um conjunto de amostras.


15.1: Integrais duplos sobre retângulos

O detector de objetos descrito abaixo foi inicialmente proposto por Paul Viola [248] e melhorado por Rainer Lienhart [142].

Primeiro, um classificador (ou seja, um cascata de classificadores otimizados trabalhando com recursos semelhantes a haar) é treinado com algumas centenas de visualizações de amostra de um objeto específico (ou seja, um rosto ou um carro), chamados de exemplos positivos, que são dimensionados para o mesmo tamanho (digamos, 20x20), e exemplos negativos - imagens arbitrárias do mesmo tamanho .

Depois que um classificador é treinado, ele pode ser aplicado a uma região de interesse (do mesmo tamanho usado durante o treinamento) em uma imagem de entrada. O classificador produz um "1" se a região provavelmente mostrará o objeto (ou seja, rosto / carro) e "0" caso contrário. Para pesquisar o objeto em toda a imagem, pode-se mover a janela de pesquisa pela imagem e verificar todos os locais usando o classificador. O classificador é projetado de forma que possa ser facilmente "redimensionado" para poder localizar os objetos de interesse em diferentes tamanhos, o que é mais eficiente do que redimensionar a própria imagem. Portanto, para encontrar um objeto de tamanho desconhecido na imagem, o procedimento de digitalização deve ser feito várias vezes em diferentes escalas.

A palavra "cascata" no nome do classificador significa que o classificador resultante consiste em vários classificadores mais simples (estágios) que são aplicadas posteriormente a uma região de interesse até que em algum estágio o candidato seja rejeitado ou todas as etapas sejam aprovadas. A palavra "boosted" significa que os classificadores em cada estágio da cascata são complexos e são construídos a partir de classificadores básicos usando uma das quatro técnicas de boosting diferentes (votação ponderada). Atualmente, o Adaboost discreto, o Real Adaboost, o Gentle Adaboost e o Logitboost são suportados. Os classificadores básicos são classificadores de árvore de decisão com pelo menos 2 folhas. Recursos do tipo Haar são a entrada para os classificadores básicos e são calculados conforme descrito abaixo. O algoritmo atual usa os seguintes recursos do tipo Haar:

O recurso usado em um determinado classificador é especificado por sua forma (1a, 2b etc.), posição dentro da região de interesse e a escala (esta escala não é a mesma que a escala usada no estágio de detecção, embora essas duas escalas sejam multiplicado). Por exemplo, no caso do recurso de terceira linha (2c), a resposta é calculada como a diferença entre a soma dos pixels da imagem sob o retângulo cobrindo todo o recurso (incluindo as duas listras brancas e a listra preta no meio) e o soma dos pixels da imagem sob a faixa preta multiplicada por 3 para compensar as diferenças no tamanho das áreas. As somas dos valores dos pixels em regiões retangulares são calculadas rapidamente usando imagens integrais (veja abaixo e a descrição integral).

A referência a seguir é apenas para a parte de detecção. Existe um aplicativo separado chamado opencv_traincascade que pode treinar uma cascata de classificadores impulsionados a partir de um conjunto de amostras.


Outros símbolos

Em muitos sistemas operacionais e alguns dispositivos gráficos, muitos outros símbolos estão disponíveis como parte da fonte de texto padrão e todos os símbolos na codificação de símbolos da Adobe estão, em princípio, disponíveis através da alterar a face da fonte ou (ver ‘Detalhes’) plotmath: veja a seção de exemplos de pontos para uma função para exibi-los. ('Em princípio' porque alguns dos glifos estão faltando em algumas implementações da fonte do símbolo.) Infelizmente, postscript e pdf têm suporte para pouco mais do que caracteres europeus (não gregos) e CJK e a codificação Adobe Symbol (e em alguns fontes, também caracteres cirílicos).

Em uma localidade UTF-8, qualquer caractere Unicode pode ser inserido, talvez como uma sequência de escape uxxxx ou Uxxxxxxxx, mas o problema é se o dispositivo gráfico é capaz de exibir o caractere. A mais ampla gama de caracteres provavelmente estará disponível no dispositivo X11 usando cairo: consulte sua página de ajuda para saber como a instalação de fontes adicionais pode ajudar. Isso geralmente pode ser usado para exibir grego letras em negrito ou itálico.

Em localidades não UTF-8, normalmente não há suporte para símbolos que não estejam nos idiomas para os quais a codificação atual foi planejada.

Qualquer caractere Unicode pode ser inserido em uma string de texto através da um escape uxxxx ou usado por número em uma chamada para pontos. A família de dispositivos do Windows pode exibir esses caracteres se eles estiverem disponíveis na fonte em uso. Isso geralmente pode ser usado para exibir grego letras em negrito ou itálico.

Uma boa maneira de descobrir quais caracteres estão disponíveis em uma fonte e determinar o número Unicode é usar o acessório ‘Mapa de caracteres’ (geralmente no menu ‘Iniciar’ em ‘Acessórios- & gtFerramentas do sistema’). Você também pode copiar e colar caracteres da janela ‘Mapa de caracteres’ para o console Rgui (mas não para Rterm).


Assista o vídeo: Aula 23 - Retângulos, Soma de Riemann, Partição e Integrais Duplas (Dezembro 2021).