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3.4: A Regra da Cadeia


Cobrimos quase todas as regras derivadas que lidam com combinações de duas (ou mais) funções. uma função "dentro de" outra).

Um exemplo de composição de funções é (f (x) = cos (x ^ 2) ). Atualmente, não sabemos como calcular essa derivada. Se forçado a adivinhar, provavelmente adivinhará (f ^ prime (x) = - sin (2x) ), onde reconhecemos (- sin x ) como a derivada de ( cos x ) e (2x ) como a derivada de (x ^ 2 ). No entanto, este não é o caso; (f ^ prime (x) neq - sin (2x) ). No Exemplo 62, veremos a resposta correta, que emprega a nova regra que esta seção apresenta, a Regra da Cadeia.

Antes de definirmos essa nova regra, lembre-se da notação para composição de funções. Escrevemos ((f circ g) (x) ) ou (f (g (x)) ), lemos como " (f ) de (g ) de (x ), ' 'para denotar composição (f ) com (g ). Em resumo, simplesmente escrevemos (f circ g ) ou (f (g) ) e lemos como " (f ) de (g ). '' Antes de dar a regra de diferenciação correspondente, notamos que a regra se estende a composições múltiplas como (f (g (h (x)))) ) ou (f (g (h (j) x)))) ), etc.

Para motivar a regra, vamos examinar três derivadas que já podemos calcular.

Exemplo 59: Explorando derivados semelhantes

Encontre os derivados de

  1. (F_1 (x) = (1-x) ^ 2 ),
  2. (F_2 (x) = (1-x) ^ 3, ) e
  3. (F_3 (x) = (1-x) ^ 4. )

Veremos mais tarde porque estamos usando subscritos para funções diferentes e um (F ) maiúsculo.

Solução

Para usar as regras que já temos, devemos primeiro expandir cada função como

  1. (F_1 (x) = 1 - 2x + x ^ 2 ),
  2. (F_2 (x) = 1 - 3x + 3x ^ 2 - x ^ 3 ) e
  3. (F_3 (x) = 1 - 4x + 6x ^ 2 - 4x ^ 3 + x ^ 4 ).

Não é difícil ver que:

[ begin {align *} F_1 ^ prime (x) & = -2 + 2x [4pt] F_2 ^ prime (x) & = -3 + 6x - 3x ^ 2 [4pt] F_3 ^ prime (x) & = -4 + 12x - 12x ^ 2 + 4x ^ 3. end {align *} ]

Um fato interessante é que eles podem ser reescritos como

[F_1 ^ prime (x) = -2 (1-x), quad F_2 ^ prime (x) = -3 (1-x) ^ 2 text {e} F_3 ^ prime (x) = -4 (1-x) ^ 3. ]

Um padrão pode saltar para você. Reconheça que cada uma dessas funções é uma composição, permitindo (g (x) = 1-x ):

[ begin {eqnarray *} F_1 (x) = f_1 (g (x)), & text {onde} f_1 (x) = x ^ 2, F_2 (x) = f_2 (g (x)) , & text {onde} f_2 (x) = x ^ 3, F_3 (x) = f_3 (g (x)), & text {onde} f_3 (x) = x ^ 4. end {eqnarray *} ]

Voltaremos a este exemplo depois de fornecer as declarações formais da Regra da Cadeia; por enquanto, estamos apenas ilustrando um padrão.

Teorema 18: A Regra da Cadeia

Seja (y = f (u) ) uma função diferenciável de (u ) e seja (u = g (x) ) uma função diferenciável de (x ). Então (y = f (g (x)) ) é uma função diferenciável de (x ), e [y ^ prime = f ^ prime (g (x)) cdot g ^ prime ( x). ]

Para ajudar a entender a Regra da Cadeia, voltamos ao Exemplo 59.

Exemplo 60: Usando a regra da cadeia

Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas das funções a seguir, conforme mostrado no Exemplo 59.

Solução

O Exemplo 59 terminou com o reconhecimento de que cada uma das funções fornecidas era na verdade uma composição de funções. Para evitar confusão, ignoramos a maioria dos subscritos aqui.

(F_1 (x) = (1-x) ^ 2 ):

Descobrimos que [y = (1-x) ^ 2 = f (g (x)), text {onde} f (x) = x ^ 2 text {e} g (x) = 1- x. ]

Para encontrar (y ^ prime ), aplicamos a Regra da Cadeia. Precisamos de (f ^ prime (x) = 2x ) e (g ^ prime (x) = - 1. )

Parte da regra da cadeia usa (f ^ prime (g (x)) ). Isso significa substituir (g (x) ) por (x ) na equação por (f ^ prime (x) ). Ou seja, (f ^ prime (x) = 2 (1-x) ). Concluindo a Regra da Cadeia, temos [y ^ prime = f ^ prime (g (x)) cdot g ^ prime (x) = 2 (1-x) cdot (-1) = -2 ( 1-x) = 2x-2. ]

(F_2 (x) = (1-x) ^ 3 ):

Seja (y = (1-x) ^ 3 = f (g (x)) ), onde (f (x) = x ^ 3 ) e (g (x) = (1-x) ) Temos (f ^ prime (x) = 3x ^ 2 ), então (f ^ prime (g (x)) = 3 (1-x) ^ 2 ). A Regra da Cadeia então afirma [y ^ prime = f ^ prime (g (x)) cdot g ^ prime (x) = 3 (1-x) ^ 2 cdot (-1) = -3 ( 1-x) ^ 2. ]

(F_3 (x) = (1-x) ^ 4 ):

Finalmente, quando (y = (1-x) ^ 4 ), temos (f (x) = x ^ 4 ) e (g (x) = (1-x) ). Assim, (f ^ prime (x) = 4x ^ 3 ) e (f ^ prime (g (x)) = 4 (1-x) ^ 3 ). Assim, [y ^ prime = f ^ prime (g (x)) cdot g ^ prime (x) = 4 (1-x) ^ 3 cdot (-1) = -4 (1-x) ^ 3. ]

O Exemplo 60 demonstrou um padrão particular: quando (f (x) = x ^ n ), então (y ^ prime = n cdot (g (x)) ^ {n-1} cdot g ^ prime (x) ). Isso é chamado de Regra de energia generalizada.

Teorema 19: Regra de potência generalizada

Seja (g (x) ) uma função diferenciável e seja (n neq 0 ) um inteiro. Então [ dfrac {d} {dx} Big (g (x) ^ n Big) = n cdot big (g (x) big) ^ {n-1} cdot g ^ prime ( x). ]

Isso nos permite encontrar rapidamente a derivada de funções como (y = (3x ^ 2-5x + 7 + sin x) ^ {20} ). Embora possa parecer intimidante, a regra de potência generalizada afirma que [y ^ prime = 20 (3x ^ 2-5x + 7 + sin x) ^ {19} cdot (6x-5 + cos x). ]

Trate o processo de obtenção da derivada passo a passo. No exemplo dado, primeiro multiplique por 20 e, em seguida, reescreva o interior dos parênteses, elevando tudo à potência 19 (^ { text {th}} ). Em seguida, pense na derivada da expressão entre parênteses e multiplique por isso.

Agora consideramos mais exemplos que empregam a Regra da Cadeia.

Exemplo 61: Usando a regra da cadeia

Encontre as derivadas das seguintes funções:

  1. (y = sin {2x} )
  2. (y = ln (4x ^ 3-2x ^ 2) )
  3. (y = e ^ {- x ^ 2} )

Solução

  1. Considere (y = sin 2x ). Reconheça que esta é uma composição de funções, onde (f (x) = sin x ) e (g (x) = 2x ). Assim, [y ^ prime = f ^ prime (g (x)) cdot g ^ prime (x) = cos (2x) cdot 2 = 2 cos 2x. ]
  2. Reconheça que (y = ln (4x ^ 3-2x ^ 2) ) é a composição de (f (x) = ln x ) e (g (x) = 4x ^ 3-2x ^ 2 ). Além disso, lembre-se de que [ dfrac {d} {dx} Big ( ln x Big) = dfrac {1} {x}. ] Isso nos leva a: [y ^ prime = dfrac { 1} {4x ^ 3-2x ^ 2} cdot (12x ^ 2-4x) = dfrac {12x ^ 2-4x} {4x ^ 3-2x ^ 2} = dfrac {4x (3x-1)} {2x (2x ^ 2-x)} = dfrac {2 (3x-1)} {2x ^ 2-x}. ]
  3. Reconheça que (y = e ^ {- x ^ 2} ) é a composição de (f (x) = e ^ x ) e (g (x) = -x ^ 2 ). Lembrando que (f ^ prime (x) = e ^ x ), temos [y ^ prime = e ^ {- x ^ 2} cdot (-2x) = (-2x) e ^ {- x ^ 2}. ]

Exemplo 62: Usando a regra da cadeia para encontrar uma linha tangente

Seja (f (x) = cos x ^ 2 ). Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de (f ) em (x = 1 ).

Solução

A reta tangente passa pelo ponto ((1, f (1)) approx (1,0.54) ) com inclinação (f ^ prime (1) ). Para encontrar (f ^ prime ), precisamos da Regra da Cadeia.

(f ^ prime (x) = - sin (x ^ 2) cdot (2x) = -2x sin x ^ 2 ). Avaliado em (x = 1 ), temos (f ^ prime (1) = -2 sin 1 aproximadamente -1,68 ). Assim, a equação da reta tangente é [y = -1,68 (x-1) +0,54. ]

A linha tangente é traçada junto com (f ) na Figura 2.17.

A Regra da Cadeia é freqüentemente usada para obter derivados. Por causa disso, é possível familiarizar-se com o processo básico e aprender padrões que facilitam a localização rápida de derivados. Por exemplo, [ dfrac {d} {dx} Big ( ln ( text {qualquer coisa}) Grande) = dfrac {1} { text {qualquer coisa}} cdot ( text {qualquer coisa}) ^ prime = dfrac {( text {qualquer coisa}) ^ prime} { text {qualquer coisa}}. ]

Um exemplo concreto disso é [ dfrac {d} {dx} Big ( ln (3x ^ {15} - cos x + e ^ x) Big) = dfrac {45x ^ {14} + sin x + e ^ x} {3x ^ {15} - cos x + e ^ x}. ] Embora a derivada possa parecer intimidante à primeira vista, procure o padrão. O denominador é o mesmo que estava dentro da função logarítmica natural; o numerador é simplesmente sua derivada.

Este processo de reconhecimento de padrões pode ser aplicado a várias funções. Em geral, em vez de escrever "qualquer coisa '', usamos (u ) como uma função genérica de (x ). Em seguida, dizemos [ dfrac {d} {dx} Big ( ln u Big ) = dfrac {u ^ prime} {u}. ]

A seguir está uma pequena lista de como a Regra da Cadeia pode ser aplicada rapidamente a funções familiares.

Claro, a regra da cadeia pode ser aplicada em conjunto com qualquer uma das outras regras que já aprendemos. Nós praticamos isso a seguir.

Exemplo 63: Usando o Produto, Quociente e Regras da Cadeia

Encontre as derivadas das seguintes funções.

  1. (f (x) = x ^ 5 sin {2x ^ 3} )
  2. (f (x) = dfrac {5x ^ 3} {e ^ {- x ^ 2}} ).

Solução

  1. Devemos usar as Regras do Produto e da Cadeia. Não pense que você deve ser capaz de "ver '' toda a resposta imediatamente; em vez disso, continue passo a passo. [F ^ prime (x) = x ^ 5 big (6x ^ 2 cos 2x ^ 3 grande) + 5x ^ 4 grande ( sin 2x ^ 3 grande) = 6x ^ 7 cos2x ^ 3 + 5x ^ 4 sin 2x ^ 3. ]
  2. Devemos empregar a Regra do Quociente junto com a Regra da Cadeia. Novamente, prossiga passo a passo. [ Begin {align *} f ^ prime (x) = dfrac {e ^ {- x ^ 2} big (15x ^ 2 big) - 5x ^ 3 big ((- 2x) e ^ {- x ^ 2} big)} { big (e ^ {- x ^ 2} big) ^ 2} & = dfrac {e ^ {- x ^ 2 } big (10x ^ 4 + 15x ^ 2 big)} {e ^ {- 2x ^ 2}} & = e ^ {x ^ 2} big (10x ^ 4 + 15x ^ 2 big). end {align *} ]

A chave para trabalhar corretamente esses problemas é dividi-los em partes menores e mais gerenciáveis. Por exemplo, ao usar as Regras do Produto e da Cadeia juntas, considere apenas a primeira parte da Regra do Produto: (f (x) g ^ prime (x) ). Apenas reescreva (f (x) ), então encontre (g ^ prime (x) ). Em seguida, vá para a parte (f ^ prime (x) g (x) ). Não tente descobrir as duas partes ao mesmo tempo.

Da mesma forma, usando a Regra do Quociente, aproxime o numerador em duas etapas e manuseie o denominador depois de completá-lo. Simplifique depois.

Também podemos empregar a própria regra da cadeia várias vezes, conforme mostrado no próximo exemplo.

Exemplo 64: usando a regra da cadeia várias vezes

Encontre a derivada de (y = tan ^ 5 (6x ^ 3-7x) ).

Solução

Reconheça que temos a função (g (x) = tan (6x ^ 3-7x) ) "dentro '' da função (f (x) = x ^ 5 ); isto é, temos ( y = big ( tan (6x ^ 3-7x) big) ^ 5 ). Começamos a usar a Regra de potência generalizada; nesta primeira etapa, não calculamos totalmente a derivada. Em vez disso, estamos nos aproximando desta etapa - a - passo.

[y ^ prime = 5 big ( tan (6x ^ 3-7x) big) ^ 4 cdot g ^ prime (x). ]

Agora encontramos (g ^ prime (x) ). Mais uma vez, precisamos da Regra da Cadeia; [g ^ prime (x) = sec ^ 2 (6x ^ 3-7x) cdot (18x ^ 2-7). ] Combine isso com o que encontramos acima para fornecer

[ begin {align *} y ^ prime & = 5 big ( tan (6x ^ 3-7x) big) ^ 4 cdot sec ^ 2 (6x ^ 3-7x) cdot (18x ^ 2-7) & = (90x ^ 2-35) sec ^ 2 (6x ^ 3-7x) tan ^ 4 (6x ^ 3-7x). end {align *} ]

Esta função é francamente ridícula, não possuindo nenhum valor prático real. É muito difícil representar graficamente, pois a função tangente tem muitas assíntotas verticais e (6x ^ 3-7x ) cresce muito rápido. O importante a aprender com isso é que a derivada pode ser encontrada. Na verdade, não é "difícil"; é preciso seguir várias etapas simples e ter o cuidado de controlar como aplicar cada uma dessas etapas.

É um exercício matemático tradicional encontrar as derivadas de funções arbitrariamente complicadas apenas para demonstrar que pode ser feito. Apenas divida tudo em pedaços menores.

Exemplo 65: Usando o Produto, Quociente e Regras da Cadeia

Encontre a derivada de (f (x) = dfrac {x cos (x ^ {- 2}) - sin ^ 2 (e ^ {4x})} { ln (x ^ 2 + 5x ^ 4) }. )

Solução

Esta função provavelmente não tem uso prático fora da demonstração de habilidades derivadas. A resposta é dada abaixo sem simplificação. Ele emprega a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia três vezes.

[f ^ prime (x) = dfrac { Big ( ln (x ^ 2 + 5x ^ 4) Big) cdot Big [ big (x cdot (- sin (x ^ {- 2})) cdot (-2x ^ {- 3}) + 1 cdot cos (x ^ {- 2}) big) -2 sin (e ^ {4x}) cdot cos (e ^ {4x}) cdot (4e ^ {4x}) Grande] - Grande (x cos (x ^ {- 2}) - sin ^ 2 (e ^ {4x}) Grande) cdot dfrac {2x + 20x ^ 3} {x ^ 2 + 5x ^ 4}} { big ( ln (x ^ 2 + 5x ^ 4) big) ^ 2}. ]

O leitor é altamente encorajado a examinar cada termo e reconhecer por que ele está lá. (Ou seja, a Regra do Quociente é usada; no numerador, identifique o termo "LOdHI '', etc.) Este exemplo demonstra que as derivadas podem ser calculadas sistematicamente, não importa o quão arbitrariamente complicada seja a função.

A regra da cadeia também tem valor teórico. Ou seja, pode ser usado para encontrar as derivadas de funções que ainda não aprendemos, como fazemos no exemplo a seguir.

Exemplo 66: a regra da cadeia e funções exponenciais

Use a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de (y = a ^ x ) onde (a> 0 ), (a neq 1 ) é constante.

Solução

Só sabemos como encontrar a derivada de uma função exponencial: (y = e ^ x ); este problema está nos pedindo para encontrar a derivada de funções como (y = 2 ^ x ).

Isso pode ser feito reescrevendo (a ^ x ) em termos de (e ). Lembrando que (e ^ x ) e ( ln x ) são funções inversas, podemos escrever

[a = e ^ { ln a} quad text {e assim} quad y = a ^ x = e ^ { ln (a ^ x)}. enhum número]

Pela propriedade expoente dos logaritmos, podemos "reduzir" o poder de obter

[y = a ^ x = e ^ {x ( ln a)}. enhum número]

A função agora é a composição (y = f (g (x)) ), com (f (x) = e ^ x ) e (g (x) = x ( ln a) ). Como (f ^ prime (x) = e ^ x ) e (g ^ prime (x) = ln a ), a Regra da Cadeia fornece

[y ^ prime = e ^ {x ( ln a)} cdot ln a. enhum número]

Lembre-se de que o termo (e ^ {x ( ln a)} ) no lado direito é apenas (a ^ x ), nossa função original. Portanto, a derivada contém a própria função original. Nós temos

[y ^ prime = y cdot ln a = a ^ x cdot ln a. enhum número]

A regra da cadeia, juntamente com a regra da derivada de (e ^ x ), nos permite encontrar as derivadas de todas as funções exponenciais.

O exemplo anterior produziu um resultado digno de sua própria "caixa".

Teorema 20: Derivadas de funções exponenciais

Seja (f (x) = a ^ x ), para (a> 0, a neq 1 ). Então (f ) é diferenciável para todos os números reais e

[f ^ prime (x) = ln a cdot a ^ x. enhum número]

Notação de regra de cadeia alternativa

É instrutivo entender como a Regra da Cadeia "se parece '' usando" a notação ( dfrac {dy} {dx} ) '' em vez da notação (y ^ prime ). Suponha que (y = f (u) ) seja uma função de (u ), onde (u = g (x) ) é uma função de (x ), conforme estabelecido no Teorema 18. Então , por meio da composição (f circ g ), podemos pensar em (y ) como uma função de (x ), como (y = f (g (x)) ). Assim, a derivada de (y ) com respeito a (x ) faz sentido; podemos falar sobre ( dfrac {dy} {dx}. ) Isso leva a uma progressão interessante de notação:

[ begin {align *} y ^ prime & = f ^ prime (g (x)) cdot g ^ prime (x) dfrac {dy} {dx} & = y ^ prime ( u) cdot u ^ prime (x) quad text {(uma vez que (y = f (u) ) e (u = g (x) ))} dfrac {dy} {dx } & = dfrac {dy} {du} cdot dfrac {du} {dx} quad text {(usando notação "fracionária '' para a derivada)} end {align *} ]

Aqui, o aspecto "fracionário '' da notação derivada se destaca. No lado direito, parece que os termos" (du ) '' se cancelam, deixando [ dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {dx}. ]

É importante perceber que nós não são cancelar estes termos; a notação derivada de ( dfrac {dy} {dx} ) é um símbolo. É igualmente importante perceber que essa notação foi escolhida justamente por causa desse comportamento. Facilita a aplicação da regra da cadeia com várias variáveis. Por exemplo,

[ dfrac {dy} {dt} = dfrac {dy} {d bigcirc} cdot dfrac {d bigcirc} {d triângulo} cdot dfrac {d triângulo} {dt}. ]

onde ( bigcirc ) e ( triangle ) são quaisquer variáveis ​​que você gostaria de usar.

Uma das maneiras mais comuns de "visualizar" a Regra da Cadeia é considerar um conjunto de engrenagens, conforme mostrado na Figura 2.18. As engrenagens têm 36, 18 e 6 dentes, respectivamente. Isso significa que para cada revolução da engrenagem (x ), a engrenagem (u ) gira duas vezes. Ou seja, a taxa na qual a engrenagem (u ) faz uma revolução é duas vezes mais rápida que a taxa na qual a engrenagem (x ) faz uma revolução. Usando a terminologia do cálculo, a taxa de (u ) - mudança, com respeito a (x ), é ( dfrac {du} {dx} = 2 ).

Da mesma forma, cada revolução de (u ) causa 3 revoluções de (y ): ( dfrac {dy} {du} = 3 ). Como (y ) muda em relação a (x )? Para cada revolução de (x ), (y ) gira 6 vezes; ou seja, [ dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} cdot dfrac {du} {dx} = 2 cdot 3 = 6. ]

Podemos então estender a regra da cadeia com mais variáveis, adicionando mais engrenagens à imagem.

É difícil exagerar a importância da Regra da Cadeia. Freqüentemente, as funções com as quais lidamos são composições de duas ou mais funções, exigindo que usemos essa regra para calcular derivados. É frequentemente usado na prática quando as funções reais são desconhecidas. Em vez disso, por meio da medição, podemos calcular ( dfrac {dy} {du} ) e ( dfrac {du} {dx} ). Com nosso conhecimento da Regra da Cadeia, encontrar ( dfrac {dy} {dx} ) é simples.

Na próxima seção, usaremos a Regra da Cadeia para justificar outra técnica de diferenciação. Existem muitas curvas que podemos desenhar no plano que falham no "teste de linha vertical". Por exemplo, considere (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ), que descreve o círculo unitário. Ainda podemos estar interessados em encontrar inclinações de linhas tangentes ao círculo em vários pontos. A próxima seção mostra como podemos encontrar ( dfrac {dy} {dx} ) sem primeiro "resolver para (y ). '' Enquanto podemos neste caso, em muitos outros casos, é impossível resolver para (y ). Nessas situações, diferenciação implícita é indispensável.


Regra da corrente com função de posição, velocidade e aceleração

vamos supor que eu tenha uma função de posição em 1 dimensão com aceleração constante.

então sua primeira derivada é uma função de velocidade: $ frac

= v (t) = v_0 + em $

então sua segunda derivada é uma função de aceleração:

Portanto, em conclusão, se tivermos x (t) uma função de posição e fizermos uma primeira derivada, obteremos uma função de velocidade e se usarmos sua segunda derivada, obteremos uma função de aceleração. isso é o que todos sabem.

agora vejo um vídeo de aula que diz que:

se isso for verdade, então se eu calcular $ frac$ e multiplique por $ frac

$ i também obterá $ a (t) $, mas não sei como fazê-lo porque quando aplicamos a regra da cadeia, precisamos determinar o que é função interna e o que é função externa, mas aqui há apenas uma função que é x (t) como encontrar $ frac$?

alguém pode reescrever a função de posição na parte interna e na parte externa? ou qual é a forma válida de fazer o cálculo?

Eu sou muito novo em cálculo e física, explique passo a passo e um exemplo simples e fácil


3.4: A Regra da Cadeia

Nesta seção, discutimos um dos conceitos mais fundamentais da teoria da probabilidade. Aqui está a pergunta: conforme você obtém informações adicionais, como você deve atualizar as probabilidades de eventos? Por exemplo, suponha que em uma determinada cidade $ 23 $ por cento dos dias sejam chuvosos. Assim, se você escolher um dia aleatório, a probabilidade de que chova naquele dia é de $ 23 $ por cento: $ P (R) = 0,23, textrm R textrm <é o evento em que chove no dia escolhido aleatoriamente.> $ Agora suponha que eu escolha um dia aleatório, mas também digo que está nublado no dia escolhido. Agora que você tem essa informação extra, como atualiza a chance de que chova naquele dia? Em outras palavras, qual é a probabilidade de que chova dado que está nublado? Se $ C $ é o evento que está nublado, então escrevemos isso como $ P (R | C) $, o probabilidade condicional de $ R $ dado que $ C $ ocorreu. É razoável supor que, neste exemplo, $ P (R | C) $ deve ser maior do que o $ P (R) $ original, que é chamado de probabilidade anterior de $ R $. Mas o que exatamente $ P (R | C) $ deve ser? Antes de fornecer uma fórmula geral, vejamos um exemplo simples.

Eu jogo um dado justo. Seja $ A $ o evento em que o resultado é um número ímpar, ou seja, $ A = <1,3,5 > $. Além disso, seja $ B $ o evento em que o resultado é menor ou igual a $ 3 $, ou seja, $ B = <1,2,3 > $. Qual é a probabilidade de $ A $, $ P (A) $? Qual é a probabilidade de $ A $ dado $ B $, $ P (A | B) $?

Este é um espaço de amostra finito, então $ P (A) = frac <| A |> <| S |> = frac <| <1,3,5 > |> <6> = frac <1 > <2>. $ Agora, vamos encontrar a probabilidade condicional de $ A $ dado que $ B $ ocorreu. Se sabemos que $ B $ ocorreu, o resultado deve estar entre $ <1,2,3 > $. Para que $ A $ também aconteça, o resultado deve estar em $ A cap B = <1,3 > $. Como todas as jogadas de dados são igualmente prováveis, argumentamos que $ P (A | B) $ deve ser igual a $ P (A | B) = frac <| A cap B |> <| B |> = frac < 2> <3>. $

Agora vamos ver como podemos generalizar o exemplo acima. Podemos reescrever o cálculo dividindo o numerador e o denominador por $ | S | $ da seguinte maneira $ P (A | B) = frac <| A cap B |> <| B |> = frac < frac <| A cap B |> <| S | >> < frac <| B |> <| S | >> = frac. $ Embora o cálculo acima tenha sido feito para um espaço de amostra finito com resultados igualmente prováveis, verifica-se que a fórmula resultante é bastante geral e pode ser aplicada em qualquer configuração. Abaixo, fornecemos formalmente a fórmula e, em seguida, explicamos a intuição por trás dela.

Se $ A $ e $ B $ são dois eventos em um espaço de amostra $ S $, então o probabilidade condicional de $ A $ dado $ B $ é definido como $ P (A | B) = frac, textrm P (B)> 0. $

Aqui está a intuição por trás da fórmula. Quando sabemos que $ B $ ocorreu, todo resultado fora de $ B $ deve ser descartado. Desse modo, nosso espaço de amostra é reduzido ao conjunto $ B $, Figura 1.21. Agora, a única maneira de $ A $ acontecer é quando o resultado pertencer ao conjunto $ A cap B $. Dividimos $ P (A cap B) $ por $ P (B) $, de modo que a probabilidade condicional do novo espaço amostral se torne $ 1 $, ou seja, $ P (B | B) = frac=1$.

Observe que a probabilidade condicional de $ P (A | B) $ é indefinida quando $ P (B) = 0 $. Isso está certo porque se $ P (B) = 0 $, significa que o evento $ B $ nunca ocorre, então não faz sentido falar sobre a probabilidade de $ A $ dado $ B $.

Fig. 1.21 - Diagrama de Venn para probabilidade condicional, $ P (A | B) $.

  • Axioma 1: Para qualquer evento $ A $, $ P (A | B) geq 0 $.
  • Axioma 2: probabilidade condicional de $ B $ dado $ B $ é $ 1 $, ou seja, $ P (B | B) = 1 $.
  • Axioma 3: Se $ A_1, A_2, A_3, cdots $ são eventos disjuntos, então $ P (A_1 cup A_2 cup A_3 cdots | B) = P (A_1 | B) + P (A_2 | B) + P (A_3 | B) + cdots. $
  • $ P (A ^ c | C) = 1-P (A | C) $
  • $ P ( emptyset | C) = 0 $
  • $ P (A | C) leq 1 $
  • $ P (A-B | C) = P (A | C) -P (A cap B | C) $
  • $ P (A xícara B | C) = P (A | C) + P (B | C) -P (A cap B | C) $
  • se $ A subconjunto B $ então $ P (A | C) leq P (B | C) $.

    Quando $ A $ e $ B $ são disjuntos: Neste caso $ A cap B = emptyset $, então

Eu jogo um dado justo duas vezes e obtenho dois números $ X_1 = $ resultado do primeiro lançamento e $ X_2 = $ resultado do segundo lançamento. Dado que sei $ X_1 + X_2 = 7 $, qual é a probabilidade de $ X_1 = 4 $ ou $ X_2 = 4 $?

Vejamos um famoso problema de probabilidade, denominado problema das duas crianças. Muitas versões desse problema foram discutidas [1] na literatura e revisaremos algumas delas neste capítulo. Sugerimos que você tente adivinhar as respostas antes de resolver o problema usando fórmulas de probabilidade.

  1. Qual é a probabilidade de que ambas as crianças sejam meninas, visto que o primeiro filho é uma menina?
  2. Perguntamos ao pai: "Você tem pelo menos uma filha?" Ele responde "Sim!" Dada essa informação extra, qual é a probabilidade de as duas crianças serem meninas? Em outras palavras, qual é a probabilidade de que ambas as crianças sejam meninas, dado que sabemos que pelo menos uma delas é menina?

    • Seja $ A $ o evento em que ambas as crianças são meninas, ou seja, $ A = <(G, G) > $. Seja $ B $ o evento em que o primeiro filho é uma menina, ou seja, $ B = <(G, G), (G, B) > $. Finalmente, seja $ C $ o evento em que pelo menos um dos filhos é uma menina, ou seja, $ C = <(G, G), (G, B), (B, G) > $. Como os resultados são igualmente prováveis, podemos escrever $ P (A) = frac <1> <4>, $ $ P (B) = frac <2> <4> = frac <1> <2>, $ $ P (C) = frac <3> <4>. $
      1. Qual é a probabilidade de que ambas as crianças sejam meninas, visto que o primeiro filho é uma menina? Este é $ P (A | B) $, portanto, podemos escrever

    Discussão: Solicitadas a adivinhar as respostas no exemplo acima, muitas pessoas suporiam que $ P (A | B) $ e $ P (A | C) $ deveriam ser $ 50 $ por cento. No entanto, como vemos $ P (A | B) $ é $ 50 $ por cento, enquanto $ P (A | C) $ é apenas $ 33 $ por cento. Este é um exemplo em que as respostas podem parecer contra-intuitivas. Para entender os resultados desse problema, é útil observar que o evento $ B $ é um subconjunto do evento $ C $. Na verdade, é estritamente menor: não inclui o elemento $ (B, G) $, enquanto $ C $ tem esse elemento. Assim, o conjunto $ C $ tem mais resultados que não estão em $ A $ do que $ B $, o que significa que $ P (A | C) $ deve ser menor do que $ P (A | B) $.

    Muitas vezes é útil pensar na probabilidade como porcentagens. Por exemplo, para entender melhor os resultados desse problema, vamos imaginar que existam famílias de $ 4000 $ com dois filhos. Como os resultados $ (G, G), (G, B), (B, G) $ e $ (B, B) $ são igualmente prováveis, teremos cerca de $ 1000 $ famílias associadas a cada resultado, conforme mostrado na Figura 1,22. Para encontrar a probabilidade $ P (A | C) $, estamos realizando o seguinte experimento: escolhemos uma família aleatória das famílias com pelo menos uma filha. Estas são as famílias mostradas na caixa. Destas famílias, existem famílias de $ 1000 $ com duas meninas e existem famílias de $ 2000 $ com exatamente uma menina. Assim, a probabilidade de escolher uma família com duas meninas é $ frac <1> <3> $.

    Fig.1.22 - Um exemplo para auxiliar no entendimento de $ P (A | C) $ no Exemplo 1.18.
    Regra da cadeia para probabilidade condicional:

    Vamos escrever a fórmula para probabilidade condicional no seguinte formato $ hspace <100pt> P (A cap B) = P (A) P (B | A) = P (B) P (A | B) hspace < 100pt> (1.5) $ Este formato é particularmente útil em situações em que sabemos a probabilidade condicional, mas estamos interessados ​​na probabilidade da interseção. Podemos interpretar essa fórmula usando um diagrama de árvore como o mostrado na Figura 1.23. Nesta figura, obtemos a probabilidade em cada ponto multiplicando as probabilidades nos ramos que levam a esse ponto. Este tipo de diagrama pode ser muito útil para alguns problemas.

    Fig.1.23 - Um diagrama em árvore.

    Agora podemos estender esta fórmula para três ou mais eventos: $ hspace <70pt> P (A cap B cap C) = P big (A cap (B cap C) big) = P (A) P (B cap C | A) hspace <70pt> (1.6) $ Da Equação 1.5, $ P (B cap C) = P (B) P (C | B). $ Condicionando ambos os lados em $ A $ , obtemos $ hspace <110pt> P (B cap C | A) = P (B | A) P (C | A, B) hspace <110pt> (1.7) $ Combinando a Equação 1.6 e 1.7 obtemos o seguinte regra da cadeia: $ P (A cap B cap C) = P (A) P (B | A) P (C | A, B). $ O ponto aqui é entender como você pode derivar essas fórmulas e tentar tenha intuição sobre eles em vez de memorizá-los. Você pode estender a árvore da Figura 1.22 para este caso. Aqui, a árvore terá oito folhas. Uma declaração geral da regra da cadeia para $ n $ events é a seguinte:

    Regra da cadeia para probabilidade condicional: $ P (A_1 cap A_2 cap cdots cap A_n) = P (A_1) P (A_2 | A_1) P (A_3 | A_2, A_1) cdots P (A_n | A_UMA_ cdots A_1) $

    Em uma fábrica, existem $ 100 $ unidades de um determinado produto, $ 5 $ dos quais estão com defeito. Escolhemos três unidades das unidades de $ 100 $ aleatoriamente. Qual é a probabilidade de nenhum deles estar com defeito?

    Vamos definir $ A_i $ como o evento em que $ i $ th unidade escolhida não está com defeito, para $ i = 1,2,3 $. Estamos interessados ​​em $ P (A_1 cap A_2 cap A_3) $. Observe que $ P (A_1) = frac <95> <100>. $ Dado que o primeiro item escolhido era bom, o segundo item será escolhido entre $ 94 $ unidades boas e $ 5 $ unidades defeituosas, portanto $ P (A_2 | A_1) = frac <94> <99>. $ Dado que o primeiro e o segundo itens escolhidos estavam corretos, o terceiro item será escolhido entre $ 93 $ unidades boas e $ 5 $ unidades defeituosas, portanto $ P (A_3 | A_2, A_1 ) = frac <93> <98>. $ Portanto, temos


    A regra da cadeia

    Lembre-se de que, na composição da função, obtemos a função $ (f circ g) (x) = f (g (x)) $ colocando $ g $ em cada valor de $ x $ em $ f (x) $ para obter $ f (g) $ e, em seguida, colocando a fórmula para $ g (x) $ em cada valor de $ g $ em $ f (g) $. E se quiséssemos determinar a derivada de $ (f circ g) (x) $?

    Encontrar $ (f circ g) '(x) $ foi difícil principalmente porque primeiro teríamos que encontrar $ (f circ g) (x) $. Mas e se pudéssemos encontrar $ (f circ g) '(x) $ sem realmente ter que encontrar $ (f circ g) (x) $ primeiro? É aqui que a regra da cadeia se torna útil. É melhor definir a regra da cadeia usando a notação de Leibniz:

    A regra da cadeia (Notação de Leibniz)
    [
    frac left [f circ g right] = frac cdot frac
    ]

    A notação de Leibniz é útil aqui porque fornece uma ferramenta fácil para lembrar a Regra da Cadeia. Vamos chamar $ e (x) = f (g (x)) = (f circ g) (x) $. Como $ e (x) = (f circ g) (x) $, a Regra da Cadeia é equivalente a encontrar $ de / dx $. Lembre-se de que qualquer coisa dividida por si mesma é $ 1 $. Então, vamos usar $ 1 = dg / dg $. Portanto,
    [
    frac= frac cdot 1 = frac cdot frac= frac cdot frac.
    ]
    Mas $ de / dg = df / dg $ porque $ e = f (g) $. Portanto,
    [
    frac= frac cdot frac.
    ]
    Novamente, isso não é uma prova, mas uma maneira simples de manter a regra em sua cabeça. (A prova real está aqui, caso você realmente precise saber.)

    Em nossa notação "primária", a Regra da Cadeia é:

    A regra da cadeia (notação primária)
    [(f circ g) '(x) = f' (g (x)) , g '(x) ]

    Agora vamos escrever procedimentos passo a passo e aplicá-los ao nosso exemplo acima:

    Etapa Exemplo
    Determine $ frac$ e $ frac$. [ frac= 3x ^ 2 mbox frac=1]
    Coloque $ g $ em para cada valor de $ x $ em $ frac$. Chame isso de $ frac$. [ frac= 3g ^ 2 ]
    Coloque a função $ g (x) $ em cada valor de $ g $ em $ frac$. Ainda chamamos isso de $ frac$. [ frac= 3 (x + 2) ^ 2 ]
    Multiplique $ frac$ vezes $ frac$. Este é $ frac left [f circ g right] $. [ frac cdot frac= left [3 (x + 2) ^ 2 right] cdot 1 ]
    Se necessário, agora faça um pouco de álgebra para simplificar o problema. [ frac cdot frac= 3x ^ 2 + 12x + 12 ]

    Portanto, em resumo, existem duas maneiras de encontrar a derivada de $ (f circ g) (x) $. Encontre $ (f circ g) (x) $ e determine sua derivada ou aplique a regra da cadeia conhecendo as derivadas de $ f (x) $ e $ g (x) $.

    Um dos locais mais importantes em que a Regra da Cadeia é utilizada é na solução de problemas da forma $ [f (x)] ^ n $. Nesta situação, podemos pensar nisso como uma composição de função e encontrar a derivada usando a Regra da Cadeia. Digamos que $ u (x) = x ^ n $. Então $ [f (x)] ^ n = u (f (x)) = (u circ f) (x) $ e, portanto, sabemos que

    Por exemplo, tente encontrar a derivada de $ (x ^ 2-1) ^ <100> $ expandindo-a diretamente e usando a regra da cadeia. Expandi-lo levará uma eternidade e então você ainda terá que calcular a derivada. Com a regra da cadeia, leva apenas alguns segundos. Problemas como esse fazem você apreciar a Regra da Cadeia!

    Finalmente, para um curso de cálculo inicial, você normalmente não precisa entender a prova da Regra da Cadeia. Nossa recomendação é que você não tente aprendê-lo, mas, em vez disso, entenda como ele é aplicado. No entanto, se ainda quiser ver a prova, pode encontrá-la aqui.


    Regra da Cadeia

    Saiba como usar a regra da cadeia para calcular derivados de composições de funções.

    Para os problemas de 1 a 16, calcule a derivada da função fornecida.

    Use a tabela fornecida para calcular cada uma das seguintes quantidades:

    Para os problemas 18-20, calcule ( frac) .

    Suponha que (f (x) ) seja uma função duas vezes diferenciável e defina (g (x) = x ^ 3f (2x) ). Calcule (g ^ < prime prime> (x) ) em termos de (f ), (f ^ < prime> ) e (f ^ < prime prime> )

    Seja (f (x) = frac <5> <(x ^ 2 + 1) ^ 3> ). Calcule uma equação da reta tangente ao gráfico de (f (x) ) em (x = 0 ).

    Onde a linha tangente a (y = (5x + 7) ^ 3 ) no ponto ((- 1,8) ) cruza o eixo (x )?

    Encontre todos os pontos no gráfico de (y = sin ^ 2) onde as linhas tangentes são paralelas à linha (y = x ).

    Qual é a centésima derivada de (y = sin <(2x)> )?

    Múltipla escolha: A derivada de (y = x ^ 2 cos < left ( frac <1> right)> ) é


    Cálculo ELI5: A Regra da Cadeia

    Não entendo a Regra da Cadeia em Cálculo. O exemplo I & # x27m dado é dy / dx f (g (x)) = f & # x27 (g (x) g & # x27 (x). I & # x27m tomando a derivada de g (x) g & # x27 (x) ? O que??

    Mamãe é uma função com uma função de bebê dentro. É assim que descobrimos onde estão suas saliências:

    A mamãe tem () 4, o bebê tem 3x 2 + x

    Diferencie a múmia: 4 () 3

    Mantenha o bebê dentro de casa: 4 (3x 2 + x) 3

    Diferencie o bebê: 6x + 1

    Tempos juntos: (6x + 1) * 4 (3x 2 + x)) 3 = (24x + 4) (3x 2 + x) 3

    * Editar: algumas palavras e números

    oh Deus, eu amo isso. Onde você estava quando decidi que & quot foda-se a matemática eu & # x27virei me tornar advogado & quot.

    Meu professor de cálculo explicou isso da maneira mais amigável possível para uma criança de cinco anos no ano passado.

    Digamos que você esteja tirando a derivada f (coisas). Você encontra f & # x27 (coisas) e multiplica por coisas & # x27. Isso funciona mesmo se o material for g (lixo). (ele tinha toda uma hierarquia de termos para usar) Apenas enxágue e repita.

    Não tenho ideia do que está acontecendo neste tópico.

    Tenho certeza de que alguém terá que dizer isso em algum momento, então vamos tirar isso do caminho: & #por que uma criança de cinco anos estaria fazendo cálculo? Hurrr-hur! & Quot

    De qualquer forma, a regra da cadeia diz que a derivada de uma função complexa é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna. Ou, como você disse, dy / dx f (g (x)) = f & # x27 (g (x)) * g & # x27 (x).

    Portanto, a derivada de f (g (x)) = f & # x27 (g (x)) * g & # x27 (x) = 2 * 2x = 4x.

    This is the same result as you get if you take the derivative dy/dx 2(x 2 ) = 4x.


    The Chain Rule

    Given $w=a y^<2>$ and $y=b x^<2>+c x,$ find $d w / d x$ by the chain rule.

    Subtleties of the Chain Rule Let $w=f(x, y, z)=2 x+3 y+4 z$ which is defined for all $(x, y, z)$ in $mathbb^<3>$. Suppose that we are interested in the partial derivative $w_$ on a subset of $mathbb^<3>$, such as the plane $P$ given by $z=4 x-2 y .$ The point to be made is that the result is not unique unless we specify which variables are considered independent.
    uma. We could proceed as follows. On the plane $P$, consider $x$ and $y$ as the independent variables, which means $z$ depends on $x$ and
    $y,$ so we write $w=f(x, y, z(x, y)) .$ Differentiate with respect
    to $x$ holding $y$ fixed to show that $left(frac ight)_=18,$ where the subscript $y$ indicates that $y$ is held fixed.
    b. Alternatively, on the plane $P$, we could consider $x$ and $z$ as the independent variables, which means $y$ depends on $x$ and $z,$ so we write $w=f(x, y(x, z), z)$ and differentiate with respect to
    $x$ holding $z$ fixed. Show that $left(frac ight)_=8,$ where the subscript
    $z$ indicates that $z$ is held fixed.
    c. Make a sketch of the plane $z=4 x-2 y$ and interpret the results of parts (a) and (b) geometrically.
    d. Repeat the arguments of parts (a) and (b) to find $left(frac ight)$ $left(frac ight)_,left(frac ight)_,$ and $left(frac ight)_$.

    Let $f(x, y)=0$ define $y$ as a twice differentiable function of $x$
    uma. Show that $y^(x)=-frac <>f_^<2>-2 f_ f_ f_+f_ f_^<2>><>^<3>>$.
    b. Verify part (a) using the function $f(x, y)=x y-1$.

    In the implicit relationship $F(x, y, z)=0,$ any two of the variables may be considered independent, which then determines the third variable. To avoid confusion, we use a subscript to indicate which variable is held fixed in a derivative calculation for example $left(frac ight)_$ means that $y$ is held fixed in taking the partial derivative of $z$ with respect to $x$ (In this context, the subscript does not mean a derivative.)
    uma. Differentiate $F(x, y, z)=0$ with respect to $x$ holding $y$ fixed
    to show that $left(frac ight)_= - frac<>><>>$.
    b. As in part (a), find $left(frac ight)_$ and $left(frac ight)_$.
    c. Show that $left(frac ight)_left(frac ight)_left(frac ight)_=-1$.
    d. Find the relationship analogous to part (c) for the case $F(w, x, y, z)=0$.

    Recall that Cartesian and polar coordinates are related through the transformation equations
    $
    left<egin
    x=r cos heta & ext < or >left<egin
    r^<2>=x^<2>+y^ <2>
    an heta=y / x
    fimdireito.
    fimdireito.
    $
    uma. Evaluate the partial derivatives $x_ y_ x_< heta>,$ and $y_< heta>$
    b. Evaluate the partial derivatives $r_, r_, heta_,$ and $ heta_$
    c. For a function $z=f(x, y),$ find $z_$ and $z_< heta>,$ where $x$ and $y$ are expressed in terms of $r$ and $ heta$
    d. For a function $z=g(r, heta),$ find $z_$ and $z_,$ where $r$ and $ heta$ are expressed in terms of $x$ and $y$
    e. Show that $left(frac ight)^<2>+left(frac ight)^<2>=left(frac ight)^<2>+frac<1>>left(frac ight)^<2>$.

    Suppose you follow the spiral path
    $C: x=cos t, y=sin t, z=t,$ for $t geq 0,$ through the domain of
    the function $w=f(x, y, z)=(x y z) /left(z^<2>+1 ight)$
    uma. Find $w^(t)$ along $C$
    b. Estimate the point $(x, y, z)$ on $C$ at which $w$ has its maximum value.

    The pressure, temperature, and volume of an ideal gas are related by $P V=k T$, where $k>0$ is a constant. Any two of the variables may be considered independent, which determines the third variable.
    uma. Use implicit differentiation to compute the partial derivatives $frac, frac,$ and $frac$
    b. Show that $frac frac frac=-1 .$ (See Exercise 67 for a
    generalization.)

    One of several empirical formulas that relates the surface area $S$ of a human body to the height $h$ and weight $w$ of the body is the Mosteller formula $S(h, w)=frac<1> <60>sqrt,$ where $h$ is measured in centimeters, $w$ is measured in kilograms, and
    $S$ is measured in square meters. Suppose that $h$ and $w$ are functions of $t$
    uma. Find $S^(t)$
    b. Show that the condition that the surface area remains constant
    as $h$ and $w$ change is $w h^(t)+h w^(t)=0$
    c. Show that part (b) implies that for constant surface area, $h$ and $w$ must be inversely related that is, $h=C / w,$ where $C$ is a constant.

    The volume of a solid torus (a bagel or doughnut) is given by $V=left(pi^ <2>/ 4 ight)(R+r)(R-r)^<2>,$ where $r$ and $R$ are the inner and outer radii and $R>r$ (see figure).
    CAN'T COPY THE FIGURE
    uma. If $R$ and $r$ increase at the same rate, does the volume of the torus increase, decrease, or remain constant?
    b. If $R$ and $r$ decrease at the same rate, does the volume of the torus increase, decrease, or remain constant?

    A projectile with mass $m$ is launched into the air on a parabolic trajectory. For $t geq 0,$ its horizontal and vertical coordinates are $x(t)=u_ <0>t$ and $y(t)=-frac<1> <2>g t^<2>+v_ <0>t$ respectively, where $u_<0>$ is the initial horizontal velocity, $v_<0>$ is the initial vertical velocity, and $g$ is the acceleration due to gravity. Recalling that $u(t)=x^(t)$ and $v(t)=y^(t)$ are the components of the velocity, the energy of the projectile (kinetic plus potential) is
    $E(t)=frac<1> <2>mleft(u^<2>+v^<2> ight)+m g y$
    Use the Chain Rule to compute $E^(t)$ and show that $E^(t)=0$ for all $t geq 0 .$ Interpret the result.

    Consider the following surfaces specified in the form $z=f(x, y)$ and the curve $C$ in the $x y$ -plane given parametrically in the form $x=g(t), y=h(t)$.
    uma. In each case, find $z^(t)$.
    b. Imagine that you are walking on the surface directly above the curve $C$ in the direction of increasing t. Find the values of t for which you are walking uphill (that is, z is increasing).
    $z=2 x^<2>+y^<2>+1, C: x=1+cos t, y=sin t 0 leq t leq 2 pi$


    Solutions for Chapter 3.4: The Chain Rule

    Solutions for Chapter 3.4: The Chain Rule

    • 3.4.1: Write the composite function in the form fs tsxdd. [Identify the in.
    • 3.4.2: Write the composite function in the form fs tsxdd. [Identify the in.
    • 3.4.3: Write the composite function in the form fs tsxdd. [Identify the in.
    • 3.4.4: Write the composite function in the form fs tsxdd. [Identify the in.
    • 3.4.5: Write the composite function in the form fs tsxdd. [Identify the in.
    • 3.4.6: Write the composite function in the form fs tsxdd. [Identify the in.
    • 3.4.7: Find the derivative of the function. Fsxd s5x 6 1 2x 3 d 4
    • 3.4.8: Find the derivative of the function. Fsxd s1 1 x 1 x 2 d 99
    • 3.4.9: Find the derivative of the function. fsxd s5x 1 1
    • 3.4.10: Find the derivative of the function. fsxd 1 s 3 x 2 2 1
    • 3.4.11: Find the derivative of the function. fsd coss2
    • 3.4.12: Find the derivative of the function. tsd cos2
    • 3.4.13: Find the derivative of the function. y x 2 e23x
    • 3.4.14: Find the derivative of the function. fstd t sin t
    • 3.4.15: Find the derivative of the function. fstd e at sin bt
    • 3.4.16: Find the derivative of the function. tsxd ex 22x
    • 3.4.17: Find the derivative of the function.fsxd s2x 2 3d 4 sx 2 1 x 1 1d 5
    • 3.4.18: Find the derivative of the function.tsxd sx 2 1 1d 3 sx 2 1 2d 6
    • 3.4.19: Find the derivative of the function.hstd st 1 1d 2y3 s2t 2 2 1d 3
    • 3.4.20: Find the derivative of the function. Fstd s3t 2 1d 4 s2t 1 1d 23
    • 3.4.21: Find the derivative of the function. y x x 1 1
    • 3.4.22: Find the derivative of the function. y Sx 1 1 x D 5
    • 3.4.23: Find the derivative of the function.y etan
    • 3.4.24: Find the derivative of the function.fstd 2t 3
    • 3.4.25: Find the derivative of the function.tsud S u3 2 1 u3 1 1 D
    • 3.4.26: Find the derivative of the function.sstd 1 1 sin t 1 1 cos t
    • 3.4.27: Find the derivative of the function.rstd 102st
    • 3.4.28: Find the derivative of the function.fszd ezysz21d
    • 3.4.29: Find the derivative of the function.Hsrd sr 2 2 1d 3 s2r 1 1d 5
    • 3.4.30: Find the derivative of the function.Jsd tan2 snd
    • 3.4.31: Find the derivative of the function.Fstd et sin 2t
    • 3.4.32: Find the derivative of the function.Fstd t 2 st 3 1 1
    • 3.4.33: Find the derivative of the function.Gsxd 4 Cy
    • 3.4.34: Find the derivative of the function.Us yd S y 4 1 1 y 2 1 1 D 5
    • 3.4.35: Find the derivative of the function. y cosS 1 2 e2x 1 1 e2x D
    • 3.4.36: Find the derivative of the function. y x 2 e21yx
    • 3.4.37: Find the derivative of the function. y cot2 ssin d
    • 3.4.38: Find the derivative of the function.y s1 1 xe22x
    • 3.4.39: Find the derivative of the function. fstd tanssecscos tdd
    • 3.4.40: Find the derivative of the function.y esin 2x 1 sinse 2x d
    • 3.4.41: Find the derivative of the function. fstd sin2 sesin2 t
    • 3.4.42: Find the derivative of the function. y sx 1 sx 1 sx
    • 3.4.43: Find the derivative of the function. tsxd s2rarx 1 nd p
    • 3.4.44: Find the derivative of the function.y 234x
    • 3.4.45: Find the derivative of the function. y cosssinstan x
    • 3.4.46: Find the derivative of the function.y fx 1 sx 1 sin2 xd 3 g 4
    • 3.4.47: Find y9 and y99. y cosssin 3d
    • 3.4.48: Find y9 and y99. y 1 s1 1 tan xd 2
    • 3.4.49: Find y9 and y99. y s1 2 sec t
    • 3.4.50: Find y9 and y99. y eex
    • 3.4.51: Find an equation of the tangent line to the curve at the given poin.
    • 3.4.52: Find an equation of the tangent line to the curve at the given poin.
    • 3.4.53: Find an equation of the tangent line to the curve at the given poin.
    • 3.4.54: Find an equation of the tangent line to the curve at the given poin.
    • 3.4.55: (a) Find an equation of the tangent line to the curve y 2ys1 1 e2x .
    • 3.4.56: (a) The curve y | x |ys2 2 x 2 is called a bullet-nose curve. Find .
    • 3.4.57: (a) If fsxd xs2 2 x 2 , find f9sxd. (b) Check to see that your answ.
    • 3.4.58: The function fsxd sinsx 1 sin 2xd, 0 < x < , arises in applications.
    • 3.4.59: Find all points on the graph of the function fsxd 2 sin x 1 sin2 x .
    • 3.4.60: At what point on the curve y s1 1 2x is the tangent line perpendicu.
    • 3.4.61: If Fsxd fstsxdd, where fs22d 8, f9s22d 4, f9s5d 3, ts5d 22, and t9s.
    • 3.4.62: If hsxd s4 1 3fsxd, where fs1d 7 and f9s1d 4, find h9s1d.
    • 3.4.63: A table of values for f, t, f9, and t9 is given. x fsxd tsxd f9sxd .
    • 3.4.64: Let f and t be the functions in Exercise 63. (a) If Fsxd fs fsxdd, .
    • 3.4.65: If f and t are the functions whose graphs are shown, let usxd fs ts.
    • 3.4.66: If f is the function whose graph is shown, let hsxd fs fsxdd and ts.
    • 3.4.67: If tsxd sfsxd, where the graph of f is shown, evaluate t9s3d.
    • 3.4.68: Suppose f is differentiable on R and is a real number. Let Fsxd fsx.
    • 3.4.69: Suppose f is differentiable on R. Let Fsxd fsex d and Gsxd e f sxd .
    • 3.4.70: Let tsxd ecx 1 fsxd and hsxd ekx fsxd, where fs0d 3, f9s0d 5, and f.
    • 3.4.71: Let rsxd fs tshsxddd, where hs1d 2, ts2d 3, h9s1d 4, t9s2d 5, and f.
    • 3.4.72: If t is a twice differentiable function and fsxd xtsx 2 d, find f99.
    • 3.4.73: . If Fsxd fs3fs4 fsxddd, where fs0d 0 and f9s0d 2, find F9s0d.
    • 3.4.74: If Fsxd fsx fsx fsxddd, where fs1d 2, fs2d 3, f9s1d 4, f9s2d 5, and.
    • 3.4.75: Show that the function y e 2x sA cos 3x 1 B sin 3xd satisfies the d.
    • 3.4.76: For what values of r does the function y erx satisfy the differenti.
    • 3.4.77: Find the 50th derivative of y cos 2x.
    • 3.4.78: Find the 1000th derivative of fsxd xe2x .
    • 3.4.79: The displacement of a particle on a vibrating string is given by th.
    • 3.4.80: If the equation of motion of a particle is given by s A cosst 1 d, .
    • 3.4.81: A Cepheid variable star is a star whose brightness alternately incr.
    • 3.4.82: In Example 1.3.4 we arrived at a model for the length of daylight (.
    • 3.4.83: The motion of a spring that is subject to a frictional force or a d.
    • 3.4.84: Under certain circumstances a rumor spreads according to the equati.
    • 3.4.85: The average blood alcohol concentration (BAC) of eight male subject.
    • 3.4.86: In Section 1.4 we modeled the world population from 1900 to 2010 wi.
    • 3.4.87: A particle moves along a straight line with displacement sstd, velo.
    • 3.4.88: Air is being pumped into a spherical weather balloon. At any time t.
    • 3.4.89: The flash unit on a camera operates by storing charge on a capacito.
    • 3.4.90: The table gives the US population from 1790 to 1860. Year Populatio.
    • 3.4.91: Computer algebra systems have commands that differentiate functions.
    • 3.4.92: (a) Use a CAS to differentiate the function fsxd x 4 2 x 1 1 x 4 1 .
    • 3.4.93: Use the Chain Rule to prove the following. (a) The derivative of an.
    • 3.4.94: Use the Chain Rule and the Product Rule to give an alternative proo.
    • 3.4.95: (a) If n is a positive integer, prove that d dx ssinn x cos nxd n s.
    • 3.4.96: Suppose y fsxd is a curve that always lies above the x-axis and nev.
    • 3.4.97: Use the Chain Rule to show that if is measured in degrees, then d d.
    • 3.4.98: (a) Write | x | sx 2 and use the Chain Rule to show that d dx | x |.
    • 3.4.99: If y fsud and u tsxd, where f and t are twice differentiable functi.
    • 3.4.100: If y fsud and u tsxd, where f and t possess third derivatives, find.
    Textbook: Single Variable Calculus: Early Transcendentals
    Edition: 8
    Author: James Stewart
    ISBN: 9781305270336

    Since 100 problems in chapter 3.4: The Chain Rule have been answered, more than 69121 students have viewed full step-by-step solutions from this chapter. This textbook survival guide was created for the textbook: Single Variable Calculus: Early Transcendentals, edition: 8. Single Variable Calculus: Early Transcendentals was written by and is associated to the ISBN: 9781305270336. This expansive textbook survival guide covers the following chapters and their solutions. Chapter 3.4: The Chain Rule includes 100 full step-by-step solutions.

    The case in which two sides and a nonincluded angle can determine two different triangles

    The length of an arc in a circle of radius r intercepted by a central angle of u radians is s = r u.

    a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c.

    An identity that relates the sine, secant, or tangent to the cosine, cosecant, or cotangent, respectively

    See Compounded k times per year.

    A sample that sacrifices randomness for convenience

    <u1, u2> - <v1, v2> = <u1 - v1, u2 - v2> or <u1, u2, u3> - <v1, v2, v3> = <u1 - v1, u2 - v2, u3 - v3>

    See Division algorithm for polynomials.

    An identity involving a trigonometric function of 2u

    The graph of a quadratic function, or the set of points in a plane that are equidistant from a fixed point (the focus) and a fixed line (the directrix).

    Geometric representation of vector addition using the parallelogram determined by the position vectors.

    See Polar coordinate system.

    A statistical measure that does not change much in response to outliers.

    For real numbers a and b, exactly one of the following is true: a < b, a = b , or a > b.

    The line through P0(x 0, y0, z0) in the direction of the nonzero vector V = <a, b, c> has vector equation r = r0 + tv , where r = <x,y,z>.


    Lesson Explainer: Combining the Product, Quotient, and Chain Rules Matemática

    In this explainer, we will learn how to find the first derivative of a function using combinations of the product, quotient, and chain rules.

    Many functions can be constructed from simpler functions by combining them in one or more of the following ways:

    Fortunately, we recall that there are rules for differentiating functions that are formed in these ways. For addition and subtraction, we can use the linearity of the derivative for multiplication and division, we have the product rule and quotient rule for composition, we can apply the chain rule. Let us review these rules.

    Rule: Rules of Differentiation

    For differentiable functions

    , we have the following rules:

    In addition to using these rules separately, it is also possible to use them in conjunction with each other, allowing us to differentiate any combination of elementary functions. However, we should be aware that this is often not a trivial exercise and it can be challenging to identify the correct rules to apply, the best order to apply them, and whether there are algebraic simplifications that will make the process easier. In this explainer, we will look at a number of examples that will highlight the skills we need to navigate this landscape.

    Let us consider an example of differentiating a complicated function combining many different operations together, and how we can tackle the differentiation by splitting it into separate parts. Suppose we have

    At first, this may seem impossible to deal with, but we can break it into parts. Generally, the best way to do this is to begin by considering the outermost layer first and working inward. If we do this, we can see that it is the sum of two functions:


    3.4: The Chain Rule

    Derivative of f(x) g(x) equals

    (f '(x) • g(x)) - (f(x) • g'(x)) g (x) -->

    First, we should discuss the concept of the composition of a function which actually means the function of another function. It is easier to discuss this concept in informal terms.
    ALL compositions of 2 functions consist of 2 parts:
    1) The function lado de dentro the parentheses and
    2) The function fora of the parentheses.

    As an example, let's analyze 4•(x +5)
    Speaking informally we could say the "inside function" is (x 3 +5) and
    the "outside function" is 4 • (inside) 2 .

    Antes using the chain rule, let's multiply this out and então take the derivative.
    4 • (x 3 +5) 2 = 4x 6 + 40 x 3 + 100
    derivative = 24x 5 + 120 x 2

    Agora, let's differentiate the same equation using the chain rule which states that the
    derivative of a composite function equals:
    (derivative of outside) • (inside) • (derivative of inside).
    Using the chain rule to differentiate 4 • (x 3 +5) 2 we obtain:

    derivative of outside = 4 • 2 = 8
    inside = x 3 + 5
    derivative of inside = 3x 2
    Now we multiply all 3 quantities to obtain:

    ANSWER = 8 • (x 3 +5) • (3x 2 )
    As a double check we multiply this out and obtain:
    8x 3 +40 • (3x 2 ) = 24 x 5 + 120 x 2 which is precisely the answer we obtained by using the "long way".


    By now you might be thinking that the problem poderia have been solved with or without the chain rule. However, let's take a more complex example:

    EXAMPLE:   What is the derivative of (4X 3 + 5X 2 -7X +10) 14   ?
    ANSWER:   14 • (4X 3 + 5X 2 -7X +10) 13 • (12X 2 + 10X -7)
    Yes, this problem poderia have been solved by raising (4X 3 + 5X 2 -7X +10) to the fourteenth power and então taking the derivative but you can see why the chain rule saves an incredible amount of time and labor.
    And yes, 14 • (4X 3 + 5X 2 -7X +10) 13 • (12X 2 + 10X -7) é an acceptable answer. After all, once we have determined a derivative, it is much more convenient to "plug in" values of x into a compact formula as opposed to using some multi-term monstrosity.

    The chain rule can also help us find other derivatives.
    For example, what is the derivative of the
    square root of (X 3 + 2X + 6)   OR   (X 3 + 2X + 6) ?
    ANSWER:  • (X 3 + 2X + 6) - • (3X 2 + 2)

    Another example will illustrate the versatility of the chain rule.
    Let's introduce a new derivative
    if f(x) = sin (x) then f '(x) = cos(x)
    Now we can solve problems such as this composite function:
    what is the derivative of sin(5x 3 + 2x) ?
    ANSWER: cos(5x 3 + 2x) • (15x 2 + 2)

    The chain rule is a powerful tool of calculus and it is important that you understand it thoroughly.


    Assista o vídeo: Seção - A regra da cadeia (Novembro 2021).