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14.2: Limites e continuidade


objetivos de aprendizado

  • Calcule o limite de uma função de duas variáveis.
  • Aprenda como uma função de duas variáveis ​​pode aproximar valores diferentes em um ponto limite, dependendo do caminho de abordagem.
  • Enuncie as condições de continuidade de uma função de duas variáveis.
  • Verifique a continuidade de uma função de duas variáveis ​​em um ponto.
  • Calcule o limite de uma função de três ou mais variáveis ​​e verifique a continuidade da função em um ponto.

Agora examinamos as funções de mais de uma variável e vimos como representá-las graficamente. Nesta seção, vemos como calcular o limite de uma função de mais de uma variável e o que significa uma função de mais de uma variável ser contínua em um ponto de seu domínio. Acontece que esses conceitos têm aspectos que simplesmente não ocorrem com funções de uma variável.

Limite de uma função de duas variáveis

Lembre-se da Seção 2.5 que a definição de um limite de uma função de uma variável:

Seja (f (x) ) definido para todos (x ≠ a ) em um intervalo aberto contendo (a ). Seja (L ) um número real. Então

[ lim_ {x → a} f (x) = L ]

se para cada (ε> 0, ) existe um (δ> 0 ), de modo que se (0 <| x − a | <δ ) para todos (x ) no domínio de (f ), então

[| f (x) −L | <ε. ]

Antes de podermos adaptar esta definição para definir um limite de uma função de duas variáveis, primeiro precisamos ver como estender a ideia de um intervalo aberto em uma variável para um intervalo aberto em duas variáveis.

Definição: discos ( delta )

Considere um ponto ((a, b) ∈ mathbb {R} ^ 2. ) A (δ ) disco centrado no ponto ((a, b) ) é definido como um disco aberto de raio (δ ) centrado no ponto ((a, b) ) - isto é,

[ {(x, y) ∈ mathbb {R} ^ 2∣ (x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 <δ ^ 2 } ]

conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1} ).

A ideia de um disco (δ ) surge na definição do limite de uma função de duas variáveis. Se (δ ) for pequeno, então todos os pontos ((x, y) ) no disco (δ ) estão próximos de ((a, b) ). Isso é completamente análogo ax estando próximo de a na definição de um limite de uma função de uma variável. Em uma dimensão, expressamos essa restrição como

[a − δ

Em mais de uma dimensão, usamos um disco (δ ).

Definição: limite de uma função de duas variáveis

Seja (f ) uma função de duas variáveis, (x ) e (y ). O limite de (f (x, y) ) conforme ((x, y) ) se aproxima de ((a, b) ) é (L ), escrito

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = L ]

se para cada (ε> 0 ) existe um pequeno o suficiente (δ> 0 ) tal que para todos os pontos ((x, y) ) em um (δ ) disco ao redor de ((a, b) ), exceto possivelmente para o próprio ((a, b) ), o valor de (f (x, y) ) não é mais do que (ε ) de distância de (L ) (Figura ( PageIndex {2} )).

Usando símbolos, escrevemos o seguinte: Para qualquer (ε> 0 ), existe um número (δ> 0 ) tal que

[| f (x, y) −L | <ε ]

sempre que

[0 < sqrt {(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2} <δ. ]

Provar que existe um limite usando a definição de um limite de uma função de duas variáveis pode ser desafiador. Em vez disso, usamos o seguinte teorema, que nos fornece atalhos para encontrar limites. As fórmulas neste teorema são uma extensão das fórmulas do teorema das leis de limite em The Limit Laws.

Leis de limite para funções de duas variáveis

Sejam (f (x, y) ) e (g (x, y) ) definidos para todos ((x, y) ≠ (a, b) ) em uma vizinhança em torno de ((a, b) ), e assume que a vizinhança está contida completamente dentro do domínio de (f ). Suponha que (L ) e (M ) sejam números reais, tais que

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = L ]

e

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} g (x, y) = M, ]

e seja (c ) uma constante. Então, cada uma das seguintes afirmações se aplica:

Lei Constante:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} c = c ]

Leis de identidade:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} x = a ]

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} y = b ]

Lei da Soma:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} (f (x, y) + g (x, y)) = L + M ]

Lei das Diferenças:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} (f (x, y) −g (x, y)) = L − M ]

Lei da Múltipla Constante:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} (cf (x, y)) = cL ]

Lei do Produto:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} (f (x, y) g (x, y)) = LM ]

Lei do Quociente:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} dfrac {f (x, y)} {g (x, y)} = dfrac {L} {M} text {for} M ≠ 0 ]

Poder da lei:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} (f (x, y)) ^ n = L ^ n ]

para qualquer número inteiro positivo (n ).

Lei Raiz:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} sqrt [n] {f (x, y)} = sqrt [n] {L} ]

para todos (L ) se (n ) for ímpar e positivo, e para (L≥0 ) se n for par e positivo.

As provas dessas propriedades são semelhantes às dos limites das funções de uma variável. Podemos aplicar essas leis para encontrar limites de várias funções.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando o limite de uma função de duas variáveis

Encontre cada um dos seguintes limites:

  1. ( displaystyle lim _ {(x, y) → (2, −1)} (x ^ 2−2xy + 3y ^ 2−4x + 3y − 6) )
  2. ( displaystyle lim _ {(x, y) → (2, −1)} dfrac {2x + 3y} {4x − 3y} )

Solução

uma. Primeiro, use as leis de soma e diferença para separar os termos:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (2, −1)} (x ^ 2−2xy + 3y ^ 2−4x + 3y − 6) = left ( lim_ { (x, y) → (2, −1)} x ^ 2 right) - left ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} 2xy right) + left ( lim_ { (x, y) → (2, −1)} 3y ^ 2 right) - left ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} 4x right) + left ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} 3y right) - left ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} 6 right). end {align *} ]

Em seguida, use a lei do múltiplo constante no segundo, terceiro, quarto e quinto limites:

[ begin {align *} = ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x ^ 2) −2 ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} xy ) +3 ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} y ^ 2) −4 ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x) [4pt] +3 ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} y) - lim _ {(x, y) → (2, −1)} 6. end {alinhar *} ]

Agora, use a lei de potência no primeiro e terceiro limites, e a lei do produto no segundo limite:

[ begin {align *} left ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x right) ^ 2−2 left ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x right) left ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} y right) +3 left ( lim _ {(x, y) → (2, −1 )} y right) ^ 2 −4 left ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x right) +3 left ( lim _ {(x, y) → ( 2, −1)} y right) - lim _ {(x, y) → (2, −1)} 6. end {align *} ]

Por último, use as leis de identidade nos primeiros seis limites e a lei constante no último limite:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (2, −1)} (x ^ 2−2xy + 3y ^ 2−4x + 3y − 6) = (2) ^ 2−2 ( 2) (- 1) +3 (−1) ^ 2−4 (2) +3 (−1) −6 [4pt] = −6. end {align *} ]

b. Antes de aplicar a lei do quociente, precisamos verificar se o limite do denominador é diferente de zero. Usando a lei da diferença, lei múltipla constante e lei da identidade,

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (2, −1)} (4x − 3y) = lim _ {(x, y) → (2, −1)} 4x− lim_ {(x, y) → (2, −1)} 3y [4pt] = 4 ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x) −3 ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} y) [4pt] = 4 (2) −3 (−1) = 11. end {align *} ]

Como o limite do denominador é diferente de zero, a lei do quociente se aplica. Agora calculamos o limite do numerador usando a lei da diferença, a lei dos múltiplos constantes e a lei da identidade:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (2, −1)} (2x + 3y) = lim _ {(x, y) → (2, −1)} 2x + lim_ { (x, y) → (2, −1)} 3y [4pt] = 2 ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x) +3 ( lim _ {(x, y) ) → (2, −1)} y) [4pt] = 2 (2) +3 (−1) = 1. end {align *} ]

Portanto, de acordo com a lei do quociente, temos

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (2, −1)} dfrac {2x + 3y} {4x − 3y} = dfrac { displaystyle lim _ {(x, y) → (2, −1)} (2x + 3y)} { displaystyle lim _ {(x, y) → (2, −1)} (4x − 3y)} [4pt] = dfrac {1} {11} end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {1} ):

Avalie o seguinte limite:

[ lim _ {(x, y) → (5, −2)} sqrt [3] { dfrac {x ^ 2 − y} {y ^ 2 + x − 1}}. enhum número]

Dica

Use as leis de limite.

Responder

[ displaystyle lim _ {(x, y) → (5, −2)} sqrt [3] { dfrac {x ^ 2 − y} {y ^ 2 + x − 1}} = dfrac {3 } {2} nonumber ]

Uma vez que estamos tomando o limite de uma função de duas variáveis, o ponto ((a, b) ) está em ( mathbb {R} ^ 2 ), e é possível aproximar este ponto de um número infinito de direções. Às vezes, ao calcular um limite, a resposta varia dependendo do caminho percorrido em direção a ((a, b) ). Se for esse o caso, o limite deixa de existir. Em outras palavras, o limite deve ser único, independente do caminho percorrido.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Limites que falham em existir

Mostre que nenhum dos seguintes limites existe:

  1. ( displaystyle lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {2xy} {3x ^ 2 + y ^ 2} )
  2. ( displaystyle lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4xy ^ 2} {x ^ 2 + 3y ^ 4} )

Solução

uma. O domínio da função (f (x, y) = dfrac {2xy} {3x ^ 2 + y ^ 2} ) consiste em todos os pontos no plano (xy ) - exceto o ponto (( 0,0) ) (Figura ( PageIndex {3} )). Para mostrar que o limite não existe conforme ((x, y) ) se aproxima de ((0,0) ), notamos que é impossível satisfazer a definição de um limite de uma função de duas variáveis ​​por causa de o fato de que a função assume valores diferentes ao longo de linhas diferentes passando pelo ponto ((0,0) ). Primeiro, considere a linha (y = 0 ) no (plano xy. ) Substituindo (y = 0 ) em (f (x, y) ) resulta

[f (x, 0) = dfrac {2x (0)} {3x ^ 2 + 0 ^ 2} = 0 não numérico ]

para qualquer valor de (x ). Portanto, o valor de (f ) permanece constante para qualquer ponto no eixo (x ), e conforme (y ) se aproxima de zero, a função permanece fixa em zero.

A seguir, considere a linha (y = x ). Substituindo (y = x ) em (f (x, y) ) resulta

[f (x, x) = dfrac {2x (x)} {3x ^ 2 + x ^ 2} = dfrac {2x ^ 2} {4x ^ 2} = tfrac {1} {2}. enhum número]

Isso é verdadeiro para qualquer ponto da linha (y = x ). Se deixarmos (x ) se aproximar de zero enquanto permanecemos nesta linha, o valor da função permanece fixo em ( tfrac {1} {2} ), independentemente de quão pequeno é (x ).

Escolha um valor para ε que seja menor que (1/2 ) - digamos, (1/4 ). Então, não importa o quão pequeno um disco (δ ) desenhemos em torno de ((0,0) ), os valores de (f (x, y) ) para os pontos dentro desse disco (δ ) inclui (0 ) e ( tfrac {1} {2} ). Portanto, a definição de limite em um ponto nunca é satisfeita e o limite deixa de existir.

b. De maneira semelhante a a., Podemos nos aproximar da origem ao longo de qualquer linha reta que passe pela origem. Se tentarmos o eixo (x ) - (ou seja, (y = 0 )), a função permanecerá fixa em zero. O mesmo é verdade para o eixo (y ). Suponha que nos aproximemos da origem ao longo de uma linha reta de inclinação (k ). A equação desta linha é (y = kx ). Então o limite se torna

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4xy ^ 2} {x ^ 2 + 3y ^ 4} = lim _ {(x, y) → ( 0,0)} dfrac {4x (kx) ^ 2} {x ^ 2 + 3 (kx) ^ 4} = lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4k ^ 2x ^ 3} {x ^ 2 + 3k ^ 4x ^ 4} = lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4k ^ 2x} {1 + 3k ^ 4x ^ 2} = dfrac { displaystyle lim _ {(x, y) → (0,0)} (4k ^ 2x)} { displaystyle lim _ {(x, y) → (0,0)} (1 + 3k ^ 4x ^ 2)} = 0. end {alinhar *} ]

independentemente do valor de (k ). Parece que o limite é igual a zero. E se escolhermos uma curva passando pela origem? Por exemplo, podemos considerar a parábola dada pela equação (x = y ^ 2 ). Substituindo (y ^ 2 ) no lugar de (x ) em (f (x, y) ) resulta

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4xy ^ 2} {x ^ 2 + 3y ^ 4} = lim _ {(x, y) → ( 0,0)} dfrac {4 (y ^ 2) y ^ 2} {(y ^ 2) ^ 2 + 3y ^ 4} = lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4y ^ 4} {y ^ 4 + 3y ^ 4} = lim _ {(x, y) → (0,0)} 1 = 1. end {alinhar *} ]

Pela mesma lógica na parte a, é impossível encontrar um disco δ em torno da origem que satisfaça a definição do limite para qualquer valor de (ε <1. ) Portanto,

[ displaystyle lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4xy ^ 2} {x ^ 2 + 3y ^ 4} nonumber ]

faz não existir.

Exercício ( PageIndex {2} ):

Mostra isso

[ lim _ {(x, y) → (2,1)} dfrac {(x − 2) (y − 1)} {(x − 2) ^ 2 + (y − 1) ^ 2} nonumber ]

não existe.

Dica

Escolha uma linha com inclinação (k ) passando pelo ponto ((2,1). )

Responder

Se (y = k (x − 2) +1, ) then ( lim _ {(x, y) → (2,1)} dfrac {(x − 2) (y − 1)} {( x − 2) ^ 2 + (y − 1) ^ 2} = dfrac {k} {1 + k ^ 2} ). Como a resposta depende de (k, ), o limite deixa de existir.

Pontos internos e pontos de limite

Para estudar a continuidade e a diferenciabilidade de uma função de duas ou mais variáveis, primeiro precisamos aprender uma nova terminologia.

Definição: pontos interiores e limites

Seja (S ) um subconjunto de ( mathbb {R} ^ 2 ) (Figura ( PageIndex {4} )).

  1. Um ponto (P_0 ) é chamado de ponto interior de (S ) se houver um disco (δ ) centralizado em torno de (P_0 ) contido completamente em (S ).
  2. Um ponto (P_0 ) é chamado de ponto de fronteira de (S ) se cada disco (δ ) centralizado em torno de (P_0 ) contiver pontos internos e externos (S ).

Definição: conjuntos abertos e fechados

Seja (S ) um subconjunto de ( mathbb {R} ^ 2 ) (Figura ( PageIndex {4} )).

  1. (S ) é chamado de conjunto aberto se cada ponto de (S ) for um ponto interno.
  2. (S ) é chamado de conjunto fechado se ele contém todos os seus pontos de fronteira.

Um exemplo de conjunto aberto é um disco (δ ). Se incluirmos o limite do disco, ele se tornará um conjunto fechado. Um conjunto que contém alguns, mas não todos, seus pontos de fronteira não é aberto nem fechado. Por exemplo, se incluirmos metade do limite de um disco (δ ), mas não a outra metade, então o conjunto não é aberto nem fechado.

Definição: conjuntos conectados e regiões

Seja (S ) um subconjunto de ( mathbb {R} ^ 2 ) (Figura ( PageIndex {4} )).

  1. Um conjunto aberto (S ) é um conjunto conectado se não puder ser representado como a união de dois ou mais subconjuntos abertos não vazios e separados.
  2. Um conjunto (S ) é um região se estiver aberto, conectado e não vazio.

A definição de um limite de uma função de duas variáveis ​​requer que o disco (δ ) esteja contido dentro do domínio da função. No entanto, se quisermos encontrar o limite de uma função em um ponto limite do domínio, o (δ ) disco não está contido dentro do domínio. Por definição, alguns dos pontos do (δ ) disco estão dentro do domínio e alguns estão fora. Portanto, precisamos apenas considerar os pontos que estão dentro do disco (δ ) e do domínio da função. Isso leva à definição do limite de uma função em um ponto de fronteira.

Definição

Seja (f ) uma função de duas variáveis, (x ) e (y ), e suponha que ((a, b) ) esteja no limite do domínio de (f ). Então, o limite de (f (x, y) ) conforme ((x, y) ) se aproxima de ((a, b) ) é (L ), escrito

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = L, ]

se para qualquer (ε> 0, ) existe um número (δ> 0 ) tal que para qualquer ponto ((x, y) ) dentro do domínio de (f ) e dentro de um pequeno distância positiva (δ ) de ((a, b), ) o valor de (f (x, y) ) não é mais do que (ε ) de (L ) (Figura ( PageIndex {2} )). Usando símbolos, podemos escrever: Para qualquer (ε> 0 ), existe um número (δ> 0 ) tal que

[| f (x, y) −L | <ε , text {sempre que} , 0 < sqrt {(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2} <δ. ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Limite de uma função em um ponto de fronteira

Provar

[ lim _ {(x, y) → (4,3)} sqrt {25 − x ^ 2 − y ^ 2} = 0. enhum número]

Solução

O domínio da função (f (x, y) = sqrt {25 − x ^ 2 − y ^ 2} ) é ( big {(x, y) ∈ mathbb {R} ^ 2∣ x ^ 2 + y ^ 2≤25 big } ), que é um círculo de raio (5 ) centrado na origem, junto com seu interior como mostrado na Figura ( PageIndex {5} ).

Podemos usar as leis de limite, que se aplicam aos limites nas fronteiras dos domínios, bem como aos pontos internos:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (4,3)} sqrt {25 − x ^ 2 − y ^ 2} = sqrt { lim _ {(x, y) → ( 4,3)} (25 − x ^ 2 − y ^ 2)} = sqrt { lim _ {(x, y) → (4,3)} 25− lim _ {(x, y) → ( 4,3)} x ^ 2− lim _ {(x, y) → (4,3)} y ^ 2} = sqrt {25−4 ^ 2−3 ^ 2} = 0 end {alinhar*}]

Veja o gráfico a seguir.

Exercício ( PageIndex {3} )

Avalie o seguinte limite:

[ lim _ {(x, y) → (5, −2)} sqrt {29 − x ^ 2 − y ^ 2}. enhum número]

Dica

Determine o domínio de (f (x, y) = sqrt {29 − x ^ 2 − y ^ 2} ).

Responder

[ lim _ {(x, y) → (5, −2)} sqrt {29 − x ^ 2 − y ^ 2} nonumber ]

Continuidade de funções de duas variáveis

Em Continuidade, definimos a continuidade de uma função de uma variável e vimos como ela dependia do limite de uma função de uma variável. Em particular, três condições são necessárias para (f (x) ) ser contínuo no ponto (x = a )

  1. (f (a) ) existe.
  2. ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) existe.
  3. ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = f (a). )

Essas três condições são necessárias para a continuidade de uma função de duas variáveis ​​também.

Definição: Funções contínuas

Uma função (f (x, y) ) é contínua em um ponto ((a, b) ) em seu domínio se as seguintes condições forem satisfeitas:

  1. (f (a, b) ) existe.
  2. ( displaystyle lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) ) existe.
  3. ( displaystyle lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = f (a, b). )

Exemplo ( PageIndex {4} ): Demonstrando Continuidade para uma Função de Duas Variáveis

Mostre que a função

[f (x, y) = dfrac {3x + 2y} {x + y + 1} nonumber ]

é contínuo no ponto ((5, −3). )

Solução

Existem três condições a serem satisfeitas, de acordo com a definição de continuidade. Neste exemplo, (a = 5 ) e (b = −3. )

1. (f (a, b) ) existe. Isso é verdade porque o domínio da função f consiste naqueles pares ordenados para os quais o denominador é diferente de zero (ou seja, (x + y + 1 ≠ 0 )). O ponto ((5, −3) ) satisfaz esta condição. Além disso,

[f (a, b) = f (5, −3) = dfrac {3 (5) +2 (−3)} {5 + (- 3) +1} = dfrac {15−6} { 2 + 1} = 3. enhum número]

2. ( displaystyle lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) ) existe. Isso também é verdade:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = lim _ {(x, y) → (5, −3)} dfrac {3x + 2y} {x + y + 1} = dfrac { displaystyle lim _ {(x, y) → (5, −3)} (3x + 2y)} { displaystyle lim _ {(x, y) ) → (5, −3)} (x + y + 1)} = dfrac {15−6} {5−3 + 1} = 3. end {align *} nonumber ]

3. ( displaystyle lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = f (a, b). ) Isso é verdade porque acabamos de mostrar que ambos os lados disso equação igual a três.

Exercício ( PageIndex {4} )

Mostre que a função

[f (x, y) = sqrt {26−2x ^ 2 − y ^ 2} nonumber ]

é contínuo no ponto ((2, −3) ).

Dica

Use a definição de continuidade em três partes.

Responder
  1. O domínio de (f ) contém o par ordenado ((2, −3) ) porque (f (a, b) = f (2, −3) = sqrt {16−2 (2) ^ 2 - (- 3) ^ 2} = 3 )
  2. ( displaystyle lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = 3 )
  3. ( displaystyle lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = f (a, b) = 3 )

A continuidade de uma função de qualquer número de variáveis ​​também pode ser definida em termos de delta e épsilon. Uma função de duas variáveis ​​é contínua em um ponto ((x_0, y_0) ) em seu domínio se para cada (ε> 0 ) existe um (δ> 0 ) tal que, sempre que ( sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2} <δ ) é verdade, (| f (x, y) −f (a, b) | <ε. ) Esta definição pode ser combinada com a definição formal (ou seja, o definição épsilon-delta) de continuidade de uma função de uma variável para provar os seguintes teoremas:

A soma das funções contínuas é contínua

Se (f (x, y) ) for contínuo em ((x_0, y_0) ), e (g (x, y) ) for contínuo em ((x_0, y_0) ), então (f (x, y) + g (x, y) ) é contínuo em ((x_0, y_0) ).

O produto de funções contínuas é contínuo

Se (g (x) ) é contínuo em (x_0 ) e (h (y) ) é contínuo em (y_0 ), então (f (x, y) = g (x) h (y) ) é contínuo em ((x_0, y_0). )

A composição de funções contínuas é contínua

Seja (g ) uma função de duas variáveis ​​de um domínio (D⊆ mathbb {R} ^ 2 ) a um intervalo (R⊆R. ) Suponha que (g ) seja contínuo em algum ponto ((x_0, y_0) ∈D ) e defina (z_0 = g (x_0, y_0) ). Seja f uma função que mapeia (R ) para (R ) tal que (z_0 ) está no domínio de (f ). Por último, assuma que (f ) é contínuo em (z_0 ). Então (f∘g ) é contínuo em ((x_0, y_0) ) como mostrado na Figura ( PageIndex {7} ).

Vamos agora usar os teoremas anteriores para mostrar a continuidade das funções nos exemplos a seguir.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Mais exemplos de continuidade de uma função de duas variáveis

Mostre que as funções (f (x, y) = 4x ^ 3y ^ 2 ) e (g (x, y) = cos (4x ^ 3y ^ 2) ) são contínuas em todos os lugares.

Solução

Os polinômios (g (x) = 4x ^ 3 ) e (h (y) = y ^ 2 ) são contínuos em todos os números reais e, portanto, pelo produto do teorema das funções contínuas, (f (x, y) = 4x ^ 3y ^ 2 ) é contínuo em todos os pontos ((x, y) ) no plano (xy ). Como (f (x, y) = 4x ^ 3y ^ 2 ) é contínuo em todos os pontos ((x, y) ) no plano (xy ) e (g (x) = cos x ) é contínuo em todos os números reais (x ), a continuidade da composição das funções nos diz que (g (x, y) = cos (4x ^ 3y ^ 2) ) é contínuo em todos os pontos ((x, y) ) no plano (xy ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Mostre que as funções (f (x, y) = 2x ^ 2y ^ 3 + 3 ) e (g (x, y) = (2x ^ 2y ^ 3 + 3) ^ 4 ) são contínuas em todos os lugares.

Dica

Use a continuidade da soma, produto e composição de duas funções.

Responder

Os polinômios (g (x) = 2x ^ 2 ) e (h (y) = y ^ 3 ) são contínuos em cada número real; portanto, pelo teorema do produto das funções contínuas, (f (x, y) = 2x ^ 2y ^ 3 ) é contínuo em todos os pontos ((x, y) ) no plano (xy ). Além disso, qualquer função constante é contínua em todos os lugares, então (g (x, y) = 3 ) é contínua em todos os pontos ((x, y) ) no plano (xy ). Portanto, (f (x, y) = 2x ^ 2y ^ 3 + 3 ) é contínuo em todos os pontos ((x, y) ) no plano (xy ). Por último, (h (x) = x ^ 4 ) é contínuo em todos os números reais (x ), portanto, pela continuidade do teorema das funções compostas (g (x, y) = (2x ^ 2y ^ 3 + 3) ^ 4 ) é contínuo em todos os pontos ((x, y) ) no plano (xy ).

Funções de três ou mais variáveis

O limite de uma função de três ou mais variáveis ​​ocorre prontamente em aplicativos. Por exemplo, suponha que temos uma função (f (x, y, z) ) que fornece a temperatura em um local físico ((x, y, z) ) em três dimensões. Ou talvez uma função (g (x, y, z, t) ) pode indicar a pressão do ar em um local ((x, y, z) ) no tempo (t ). Como podemos determinar um limite em um ponto em ( mathbb {R} ^ 3 )? O que significa ser contínuo em um ponto em quatro dimensões?

As respostas a essas perguntas dependem de estender o conceito de um disco (δ ) em mais de duas dimensões. Então, as idéias do limite de uma função de três ou mais variáveis ​​e da continuidade de uma função de três ou mais variáveis ​​são muito semelhantes às definições dadas anteriormente para uma função de duas variáveis.

Definição: (δ ) - bolas

Seja ((x_0, y_0, z_0) ) um ponto em ( mathbb {R} ^ 3 ). Então, uma (δ ) - bola em três dimensões consiste em todos os pontos em ( mathbb {R} ^ 3 ) situados a uma distância inferior a (δ ) de ((x_0, y_0, z_0 )) -isso é,

[ big {(x, y, z) ∈ mathbb {R} ^ 3∣ sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2 + (z − z_0) ^ 2} < δ big }. ]

Para definir uma bola (δ ) em dimensões superiores, adicione termos adicionais sob o radical para corresponder a cada dimensão adicional. Por exemplo, dado um ponto (P = (w_0, x_0, y_0, z_0) ) em ( mathbb {R} ^ 4 ), uma (δ ) bola ao redor de (P ) pode ser descrita de

[ big {(w, x, y, z) ∈ mathbb {R} ^ 4∣ sqrt {(w − w_0) ^ 2 + (x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2 + (z − z_0) ^ 2} <δ big }. ]

Para mostrar que existe um limite de uma função de três variáveis ​​em um ponto ((x_0, y_0, z_0) ), é suficiente mostrar que para qualquer ponto em uma bola (δ ) centrada em ((x_0, y_0, z_0) ), o valor da função naquele ponto é arbitrariamente próximo a um valor fixo (o valor limite). Todas as leis de limite para funções de duas variáveis ​​também são válidas para funções de mais de duas variáveis.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando o limite de uma função de três variáveis

Achar

[ lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} dfrac {x ^ 2y − 3z} {2x + 5y − z}. enhum número]

Solução

Antes de podermos aplicar a lei do quociente, precisamos verificar se o limite do denominador é diferente de zero. Usando a lei da diferença, a lei da identidade e a lei constante,

[ begin {align *} lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} (2x + 5y − z) = 2 ( lim _ {(x, y, z) → ( 4,1, −3)} x) +5 ( lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} y) - ( lim _ {(x, y, z) → (4 , 1, −3)} z) = 2 (4) +5 (1) - (- 3) = 16. end {alinhar *} ]

Como isso é diferente de zero, em seguida encontramos o limite do numerador. Usando a lei do produto, lei da potência, lei da diferença, lei múltipla constante e lei da identidade,

[ begin {align *} lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} (x ^ 2y − 3z) = ( lim _ {(x, y, z) → (4 , 1, −3)} x) ^ 2 ( lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} y) −3 lim _ {(x, y, z) → (4, 1, −3)} z = (4 ^ 2) (1) −3 (−3) = 16 + 9 = 25 end {alinhar *} ]

Por último, aplicando a lei do quociente:

[ lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} dfrac {x ^ 2y − 3z} {2x + 5y − z} = dfrac { displaystyle lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} (x ^ 2y − 3z)} { displaystyle lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} (2x + 5y− z)} = dfrac {25} {16} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {6} )

Achar

[ lim _ {(x, y, z) → (4, −1,3)} sqrt {13 − x ^ 2−2y ^ 2 + z ^ 2} nonumber ]

Dica

Use as leis de limite e a continuidade da composição de funções.

Responder

[ lim _ {(x, y, z) → (4, −1,3)} sqrt {13 − x ^ 2−2y ^ 2 + z ^ 2} = 2 não numérico ]

Conceitos chave

  • Para estudar os limites e a continuidade das funções de duas variáveis, usamos um disco (δ ) centrado em torno de um determinado ponto.
  • Uma função de várias variáveis ​​tem um limite se para qualquer ponto em uma bola (δ ) centrada em um ponto (P ), o valor da função naquele ponto é arbitrariamente próximo a um valor fixo (o valor limite) .
  • As leis de limite estabelecidas para uma função de uma variável têm extensões naturais para funções de mais de uma variável.
  • Uma função de duas variáveis ​​é contínua em um ponto se o limite existe naquele ponto, a função existe naquele ponto e o limite e a função são iguais naquele ponto.

Glossário

ponto de fronteira
um ponto (P_0 ) de (R ) é um ponto limite se cada disco (δ ) centrado em torno de (P_0 ) contém pontos internos e externos (R )
conjunto fechado
um conjunto (S ) que contém todos os seus pontos de fronteira
conjunto conectado
um conjunto aberto (S ) que não pode ser representado como a união de dois ou mais subconjuntos abertos não vazios e separados
(δ ) disco
um disco aberto de raio (δ ) centrado no ponto ((a, b) )
(δ ) bola
todos os pontos em ( mathbb {R} ^ 3 ) situados a uma distância inferior a (δ ) de ((x_0, y_0, z_0) )
ponto interior
um ponto (P_0 ) de ( mathbb {R} ) é um ponto limite se houver um (δ ) disco centrado em torno de (P_0 ) contido completamente em ( mathbb {R} )
conjunto aberto
um conjunto (S ) que não contém nenhum de seus pontos de fronteira
região
um subconjunto aberto, conectado e não vazio de ( mathbb {R} ^ 2 )

14.2: Limites e continuidade

Thomas Calculus, 11ª edição, páginas: 965-995

Capítulo 14 Derivados Parciais

As derivadas de funções de várias variáveis ​​são mais variadas e mais interessantes devido às diferentes maneiras como as variáveis ​​podem interagir. Suas integrais levam a uma variedade maior de aplicações. Os estudos de probabilidade, estatística, dinâmica de fluidos e eletricidade, para citar apenas alguns, todos conduzem de maneira natural a funções de mais de uma variável.

Seção 14.1 Função de várias variáveis

Ao estudar um fenômeno do mundo real, uma quantidade que está sendo investigada geralmente depende de duas ou mais variáveis ​​independentes. Portanto, precisamos estender as idéias básicas do cálculo de funções de uma única variável para funções de várias variáveis. Embora as regras de cálculo permaneçam essencialmente as mesmas, o cálculo é ainda mais rico.

Seção 14.2 Limites e continuidade em dimensões superiores

Esta seção trata de limites e continuidade para funções multivariáveis. A definição do limite de uma função de duas ou três variáveis ​​é semelhante à definição do limite de uma função de uma única variável, mas com uma diferença crucial.

Seção 14.3 Derivados Parciais

O cálculo de várias variáveis ​​é basicamente o cálculo de uma única variável aplicado a várias variáveis, uma de cada vez. Quando mantemos todas menos uma das variáveis ​​independentes de uma função constante e nos diferenciamos em relação a essa variável, obtemos uma derivada & ldquopartial & rdquo. Esta seção mostra como as derivadas parciais são definidas e interpretadas geometricamente e como calculá-las aplicando as regras para diferenciar funções de uma única variável.


Soluções para o Capítulo 14.2: LIMITES E CONTINUIDADE

Soluções para o Capítulo 14.2: LIMITES E CONTINUIDADE

  • 14.2.1: Suponha que. O que você pode dizer sobre o valor de? E se for con.
  • 14.2.2: Explique porque cada função é contínua ou descontínua. (a) O o.
  • 14.2.3: Use uma tabela de valores numéricos de para perto da origem para fazer um co.
  • 14.2.4: Use uma tabela de valores numéricos de para perto da origem para fazer um co.
  • 14.2.5: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.6: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.7: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.8: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.9: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.10: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.11: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.12: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.13: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.14: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.15: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.16: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.17: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.18: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.19: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.20: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.21: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.22: Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
  • 14.2.23: Use um gráfico de computador da função para explicar por que o limite o faz.
  • 14.2.24: Use um gráfico de computador da função para explicar por que o limite o faz.
  • 14.2.25: Encontre e o conjunto no qual é contínuo.
  • 14.2.26: Encontre e o conjunto no qual é contínuo.
  • 14.2.27: Represente graficamente a função e observe onde é descontínua. Então use.
  • 14.2.28: Represente graficamente a função e observe onde é descontínua. Então use.
  • 14.2.29: Determine o conjunto de pontos nos quais a função é contínua.
  • 14.2.30: Determine o conjunto de pontos nos quais a função é contínua.
  • 14.2.31: Determine o conjunto de pontos nos quais a função é contínua.
  • 14.2.32: Determine o conjunto de pontos nos quais a função é contínua.
  • 14.2.33: Determine o conjunto de pontos nos quais a função é contínua.
  • 14.2.34: Determine o conjunto de pontos nos quais a função é contínua.
  • 14.2.35: Determine o conjunto de pontos nos quais a função é contínua.
  • 14.2.36: Determine o conjunto de pontos nos quais a função é contínua.
  • 14.2.37: Determine o conjunto de pontos nos quais a função é contínua.
  • 14.2.38: Determine o conjunto de pontos nos quais a função é contínua.
  • 14.2.39: Use coordenadas polares para encontrar o limite. [Se são coordenadas polares.
  • 14.2.40: Use coordenadas polares para encontrar o limite. [Se são coordenadas polares.
  • 14.2.41: Use coordenadas polares para encontrar o limite. [Se são coordenadas polares.
  • 14.2.42: No início desta seção consideramos a função e gue.
  • 14.2.43: Represente graficamente e discuta a continuidade da função
  • 14.2.44: Seja (a) Mostre que como ao longo de qualquer caminho através do formulário com. (b).
  • 14.2.45: Mostre que a função dada por é contínua. [Dica: considere.]
  • 14.2.46: Se, mostre que a função f dada por é contínua ativada.
Livro: Cálculo multivariável,
Edição: 7
Autor: James Stewart
ISBN: 9780538497879

Uma vez que 46 problemas no capítulo 14.2: LIMITES E CONTINUIDADE foram respondidos, mais de 38365 alunos viram as soluções passo a passo completas deste capítulo. O Capítulo 14.2: LIMITES E CONTINUIDADE inclui 46 soluções passo a passo completas. Este extenso guia de sobrevivência de livro cobre os capítulos a seguir e suas soluções. Multivariable Calculus, foi escrito por e está associado ao ISBN: 9780538497879. Este guia de sobrevivência foi criado para o livro: Multivariable Calculus ,, edição: 7.

Medida do ângulo horário que a linha de viagem faz com o norte devido

O ponto central em um círculo, elipse, hipérbole ou esfera

Um ramo da matemática relacionado à determinação do número de elementos de um conjunto ou do número de maneiras pelas quais os objetos podem ser organizados ou combinados

Números complexos a + bi e a - bi

A medida de um ângulo em graus, minutos e segundos

Recíproco do período de uma sinusóide.

Veja Magnitude de um vetor.

A bissetriz perpendicular do eixo maior de uma elipse com pontos finais na elipse.


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Cálculo de ensino

My choices for the Good Question series are somewhat eclectic. Some are chosen because they are good, some because they are bad, some because I learned something from them, some because they can be extended, and some because they can illustrate some point of mathematics.

These posts contain a discussion of the questions and suggestions for using and adapting them. After writing about several questions, I hit upon the name “Good Question,” so while some have other names they are all interesting. The annotations give details and topics related to the question and the course description. They are in no particular order.

BEFORE CALCULUS

My Favorite Function (7-31-13) A pre-calculus question on finding roots and why calculators can’t do this one.

A Problem with 4 Solutions and 2 Morals. (6-6-2014). On simplifying an expression with radicals. Pre-calculus, calculator use.

LIMITS AND CONTINUITY

Good Question 5: 1998 AB 2 (7-29-2015) End behavior, limits at infinity, max-min, range, family of function. The correct use of infinity and DNE. Some students found a totally not expected way to do the last part without using calculus. A question I used in almost every presentation to teachers.

Dominance (8-8-2012) and Far Out (10-31-2012) A really fun limit to investigate after student know how to find extreme values , end behavior , e points of inflection

DERIVATIVES

At Just the Right Time (9-12-2013) A simple textbook question that I assigned before the class was ready for it with good results. slope, tangent line.

A Standard Problem? (5-14-2013) Find the closes point on a parabola. And then go from there. An investigation. Max-min . Also see The Marble and the Vase below for more on the same problem.

Mean Tables (9-16-2014) A discussion of 2003 AB 90 in which students which short table of values could be those for a function describes in the stem. Mean Value Theorem, Graph analysis.

The Marble and the Vase (10-23-2014) A further discussion of “A Standard Problem? ” – see above. Max-min, with graphs.

Related Rate Problems II (10-10-2012) Two problems you won’t find in textbooks

Good Question 1 2008 AB 6 (1-21-2015) Tangent lines, critical points, point of inflection and limit at infinity, relationship between f, f’ and f’’.

Good Question 3: 1995 BC 5 (7-8-2105) A questions designed for calculator solution for the first year graphing calculators were required on the exams. It a shame there were not more like this. Second derivative, concavity.

Good Question 7: 2009 AB 3 (10-5-2015) The “Mighty Cable Company” question, Accumulation (of money), how to determine meaning of a definite integral, max-min.

Determining the Indeterminate (12-6-2015) Implicit differentiation e analysis of a curve where the derivative is 0 and where it is an indeterminate form and what it all means.

Good Question 9 (2-14-2106) A related rate question that got me thinking. Max/min

Good Question 10: The Cone Problem (11-8-2016) Cutting a sector from a circle and making a cone of maximum volume. Domain of the model.

Good Question 11 – Riemann Reversed (11-29-2016) Given a Riemann sum find the associated function and its domain so you can find the integral. This is the reverse of the usual problem when one finds the Riemann sum first and is tornando-se a common question on the AP Calculus Exams. There are several examples and a discussion of the concern that the answer is Nunca unique, which makes it a poor question.

Good Question 4: 2008 AB 10 (7-15-2015) A multiple-choice question on comparing several Riemann sums: left-, right-, midpoint, and trapezoid sums. Lots of ways to extend and adapt for your class.

Most Triangles are Obtuse! (1-18-2013) Using the average value of a function concept a 10 th grade BC student proved this fact. Integração .

Challenge and Solution (3-29-2013 and 4-8-2013) Find when a vase is half-full. Two different methods with two very different correct solution. Por quê? Volume, washer method, shell method .

Variations on a Theme by ETS (6-14-2013) Adapting simple multiple-choice question (2008 AB 9) on accumulation e definite integration

Variations on a Theme – 2 (6-28-2013) Riemann sums and ideas on how to adapt this problem to get more out pf int. Also, discussed under Good Question 4: 2008 AB 10 below.

Lin McMullin’s Theorem (7-10-2013) A sighting of the Golden Ratio in the points of inflection of any quartic polynomial and More Gold (7-17-2013) another sighting of the Gold Ratio in cubic polynomials by David Tschappat

Half-full and Half-empty (1-16-2015) A quick thought experiment leading to the concept of the average value of a function.

Good Question 6: 2000 – AB 4 (8-25-2015) Another of my favorite questions for working with teachers and teaching accumulation. Finding the function from its derivative done two ways.

Good Question 8 or not? (1-5-2016) A textbook question that is not good, but from which you can learn a lot. Unit analysis, accumulation, CAS work, approximation (and not a good one), reading a Riemann sum and its units, periodic functions.

Good Question 12 – Parts with a Constant (12-13-2016) You’re always telling students, “Don’t forget the + C, the constant of integration.” So now we do integration by parts and don’t worry about the + C. Por quê?

Good Question 13 (12-12-2017) An antiderivative 4 ways: u-substitution, integration by parts, a different você-substitution and adding zero in a convenient form. All are correct, but the answers are not the same, or are they?

Good Question 15: 2018 BC 2(a) (5-23-2018) A accumulation question with rather strange units. Making sense of the units. A BC question suitable for AB.

DIFFERENTIAL EQUATIONS

Good Question 2: 2002 BC 2 (2-17-2015) Differential equations: Suitable for AB: slope field, particular solutions, max-min, second derivative test, a clever solution, and for BC only: Euler’s Method. Continued in A Family of Functions next below.

A Family of Functions (2-21-2015) Jumping off from Good Question 2: 2002 BC 2 immediately above, a look at all the solutions. End behavior, maximum points, graphing.

Euler’s Method for Making Money (2-25-2015) Relating exponential growth e compound interest para Euler’s Method.

Good Question 16: 2018 BC 2(b) (5-29-2018) A density problem. Using units to find the solution. A BC question suitable for AB.

Summer Fun (6-12-18) links to an exploration on a question similar to 2018 AB 6. Finding the general solution of the differential equation by separating the variables, c hecking the solution by substitution, u sing a graphing utility to explore the solutions for all values of the constant of integration, C, finding the solutions’ horizontal and vertical asymptotes, finding several particular solutions, finding the domains of the particular solutions, f inding the extreme value of all solutions in terms of C, f inding the second derivative (implicit differentiation), c onsidering concavity, i nvestigating a special case or two. The exploration is here and the solutions are here.

SEQUENCES AND SERIES

Good Question 14 (2-23-2018) The Integral Test for convergence or divergence of an infinite series. Why it works. (Similar to 2016 BC 92)


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SAP BO/BI CMS Server Installation

  • Login to CMS server (azwinbocms1) as administrator.
  • Setup ODBC connection with Azure SQL DB
    • Download ODBC driver version 13.1 and install on CMS server.

      • Goto to Control Panel -> Administrative Tools -> ODBC Datasource (64-bit) -> System DSN. Click on ‘Add’ to create connection for CMS database.

      Enter the name of the Azure SQL server

      Enter the server admin user and password.

      Select the database name from the drop-down list.

      Test the connection and click on ‘Finish’.

        • Repeat the above steps to create connection for AUDIT database.
        • Install CMS Server
          • Run setup.exe.
          • Select the Language Package. Default is English.
          • Select Custom/Expand Option to choose the application to be installed.
          • Choose the location of the installation. Installing it on I drive.
          • In the ‘Select Feature’ screen, Uncheck the ‘Web Tier’ and ‘Sybase SQL Anywhere DB’.
          • Choose the Option, Start a New SAP BO/BI platform deployment.
          • Select DB type for CMS Repository: MS SQL Server using ODBC.
          • Select DB type for Audit DB: MS SQL Server using ODBC.
          • Continue with Installation/configuration parametes.
          • In the screen to enter Configuration details for CMS & Audit DBs. Check the DB server & DB name. Enter the DB username & password.
          • In next screen, continue with entering other configuration details and CMS Installation.

          14.10 Track Warrant in Effect

          A track warrant is in effect until a crew member reports the train has cleared the limits, or the track warrant is made void. The crew member must inform the train dispatcher when the train has cleared the limits.

          Time Limit Shown

          If the track warrant shows a time limit, the train must clear the limits by the time specified, unless another track warrant is obtained. If the crew members cannot contact the train dispatcher and time limits expire, authority is extended until the train dispatcher can be contacted.


          Definition of 'Graph Theory'

          Definição: Graph is a mathematical representation of a network and it describes the relationship between lines and points. A graph consists of some points and lines between them. The length of the lines and position of the points do not matter. Each object in a graph is called a node.

          Descrição: A graph ‘G’ is a set of vertex, called nodes ‘v’ which are connected by edges, called links ‘e'. Thus G= (v , e).
          Vertex (Node): A node v is an intersection point of a graph. It denotes a location such as a city, a road intersection, or a transport terminal (stations, harbours, and airports).

          Edge (Link): An edge e is a link between two nodes. A link denotes movements between nodes. It has a direction that is generally represented as an arrow. If an arrow is not used, it means the link is bi-directional.

          Transport geography can be defined by a graph. Most networks, namely road, transit, and rail networks, are defined more by their links than by nodes. But it is not true for all transportation networks. For instance, air networks are defined more by their nodes than by their links since links are mostly not clearly defined. A telecommunication system can also be represented as a network. Mobile telephone networks or the internet is the considered the most complex graph. However, cell phones and antennas can be represented as nodes whereas links could be individual phone calls. The core of the internet or servers can also be represented as nodes while the physical infrastructure between them, like fiber optic cables, can act as links. This suggests that all transport networks can be represented by graph theory in some way.


          Patient Counseling Information

          Precedex is indicated for short-term intravenous sedation. Dosage must be individualized and titrated to the desired clinical effect. Blood pressure, heart rate and oxygen levels will be monitored both continuously during the infusion of Precedex and as clinically appropriate after discontinuation.

          • When Precedex is infused for more than 6 hours, patients should be informed to report nervousness, agitation, and headaches that may occur for up to 48 hours.
          • Additionally, patients should be informed to report symptoms that may occur within 48 hours after the administration of Precedex such as: weakness, confusion, excessive sweating, weight loss, abdominal pain, salt cravings, diarrhea, constipation, dizziness or light-headedness.

          Distributed by Hospira, Inc. Lake Forest, IL 60045


          Assista o vídeo: Obliczanie granic ciągów liczbowych postaci wielomianowej (Dezembro 2021).