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5.1: Prelúdio para funções polinomiais e racionais


A fotografia digital mudou drasticamente a natureza da fotografia. Em vez disso, quase todos os aspectos da gravação e manipulação de imagens agora são governados pela matemática. Uma imagem se torna uma série de números, representando as características da luz que atinge um sensor de imagem. Quando abrimos um arquivo de imagem, o software em uma câmera ou computador interpreta os números e os converte em uma imagem visual. O software de edição de fotos usa polinômios complexos para transformar imagens, permitindo-nos manipular a imagem para cortar detalhes, alterar a paleta de cores e adicionar efeitos especiais. As funções inversas possibilitam a conversão de um formato de arquivo para outro. Neste capítulo, aprenderemos sobre esses conceitos e descobriremos como a matemática pode ser usada em tais aplicações.



Figura ( PageIndex {1} ): O filme de 35 mm, que já foi o padrão para capturar imagens fotográficas, tornou-se amplamente obsoleto com a fotografia digital. (“filme” de crédito: modificação da obra de Horia Varlan; “cartões de memória” de crédito: modificação da obra de Paul Hudson)


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Polinômios Davenport – Zannier e Dessins d’Enfants

A expressão francesa & ldquodessins d'enfants & rdquo significa desenhos infantis. O termo foi cunhado pelo grande matemático francês Alexandre Grothendieck para denominar um método de representação pictórica de algumas classes altamente interessantes de polinômios e funções racionais. Os polinômios estudados neste livro têm sua origem na teoria dos números. Os autores mostram como, por meio de desenhos simples, pode-se provar algumas conjecturas antigas e formular outras novas. A teoria apresentada aqui aborda muitos campos diferentes da matemática.

A maior parte do livro é bastante elementar e é facilmente acessível a um aluno de graduação. As partes menos elementares, como a teoria de Galois ou representações de grupo e seus personagens, precisariam de um conhecimento mais profundo da matemática. O leitor pode tomar os fatos básicos dessas teorias como certos ou usar nosso livro como uma motivação e uma primeira abordagem para esses assuntos.

Leitores

Alunos de pós-graduação e pesquisadores interessados ​​em aprender sobre combinatória de polinômios como parte da nova teoria de dessins d'enfants.


Pré-cálculo: Uma Investigação de Funções (Inclui Trig) 2ª Ed

A primeira parte do livro é uma investigação de funções, explorando o comportamento gráfico, interpretação e soluções para problemas envolvendo funções lineares, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas. Uma ênfase é colocada na modelagem e interpretação, bem como nas características importantes necessárias no cálculo.

A segunda parte do livro apresenta a trigonometria. O Trig é introduzido por meio de uma abordagem integrada de círculo / triângulo. As identidades são apresentadas no primeiro capítulo e revisitadas ao longo. Da mesma forma, a resolução é introduzida no segundo capítulo e revisitada mais extensivamente no terceiro capítulo. Como na primeira parte do livro, a ênfase é colocada na motivação dos conceitos e na modelagem e interpretação.

Este livro tenta encontrar um equilíbrio entre uma abordagem moderna ao pré-cálculo, com foco em aplicativos, solução de problemas e conceitos, e uma abordagem tradicional, enfatizando as habilidades básicas necessárias para o cálculo.

A segunda edição adiciona seções sobre raízes reais e complexas de polinômios, produto escalar e um novo capítulo sobre cônicas.

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  • PDF. Um arquivo Portable Document Format (PDF) pode ser aberto usando o Acrobat Reader gratuito. Não é um formato editável.
  • Capítulo 1: Funções
    • 1.1: Funções e notação de função
    • 1.2 Domínio e intervalo
    • 1.3 Taxas de mudança e comportamento dos gráficos
    • 1.4 Composição de Funções
    • 1.5 Transformação de Funções
    • 1.6 Funções Inversas
    • 2.1 Funções Lineares
    • 2.2 Gráficos de funções lineares
    • 2.3 Modelagem com funções lineares
    • 2.4 Ajustando Modelos Lineares aos Dados
    • 2.5 Funções de valor absoluto
    • 3.1 Funções de potência e funções polinomiais amp
    • 3.2 Funções Quadráticas
    • 3.3 Gráficos de funções polinomiais
    • 3.4 Teorema de Fator e Restante
    • 3.5 Zeros reais de polinômios
    • 3.6 Zeros Complexos
    • 3.7 Funções Racionais
    • 3.8 Inversos e Funções Radicais
    • 4.1 Funções Exponenciais
    • 4.2 Gráficos de funções exponenciais
    • 4.3 Funções logarítmicas
    • 4.4 Propriedades Logarítmicas
    • 4.5 Gráficos de funções logarítmicas
    • 4.6 Modelos Exponenciais e Logarítmicos
    • 4.7 Ajustando Exponenciais aos Dados
    • 5.1 Círculos
    • 5,2 ângulos
    • 5.3 Pontos em Círculos usando Seno e Cosseno
    • 5.4 As Outras Funções Trigonométricas
    • 5.5 Trigonometria do Triângulo Direito
    • 6.1 Gráficos Senoidais
    • 6.2 Gráficos das Outras Funções Trig
    • 6.3 Funções Trig Inversas
    • 6.4 Resolvendo Equações Trig
    • 6.5 Modelagem com Equações Trigonométricas
    • 7.1 Resolvendo Equações Trigonométricas com Identidades
    • 7.2 Identidades de adição e subtração
    • 7.3 Identidades de ângulo duplo
    • 7.4 Modelagem de Mudança de Amplitude e Linha Média
    • 8.1 Triângulos não retos: Lei dos senos e cossenos
    • 8.2 Coordenadas polares
    • 8.3 Forma Polar de Números Complexos
    • 8.4 Vetores
    • Produto de ponto de 8,5
    • 8.6 Equações Paramétricas
    • 9.1 Elipses
    • 9.2 Hipérboles
    • 9.3 Parabóis e sistemas não lineares
    • 9.4 Cônicas em Coordenadas Polares

    • Trabalho de casa on-line do MyOpenMath / Lumen OHM. MyOpenMath é um sistema de lição de casa online gratuito, construído na plataforma de avaliação de código aberto IMathAS. Ele fornece tarefas de casa geradas por algoritmos e randomizados com classificação automatizada de respostas numéricas e algébricas, semelhante ao WebAssign e ao MyMathLab. Ele também fornece um sistema de gerenciamento de curso com diário de classe, postagem de arquivo, fóruns de discussão, etc. Conjuntos de avaliação foram criados para este livro, que pode estar disponível para auto-estudo pelos alunos ou pode ser copiado como um shell de curso inicial pelo corpo docente.


    5.1: Prelúdio para funções polinomiais e racionais

    UMA ponto máximo local em uma função está um ponto $ (x, y) $ no gráfico da função cuja coordenada $ y $ é maior do que todas as outras coordenadas $ y $ no gráfico nos pontos "próximos a '' $ (x, y) $ . Mais precisamente, $ (x, f (x)) $ é um máximo local se houver um intervalo $ (a, b) $ com $ a Figura 5.1.1. Alguns pontos máximos locais ($ A $) e pontos mínimos ($ B $).

    Se $ (x, f (x)) $ é um ponto onde $ f (x) $ atinge um máximo ou mínimo local, e se a derivada de $ f $ existe em $ x $, então o gráfico tem uma reta tangente e a linha tangente deve ser horizontal. Isso é importante o suficiente para ser declarado como um teorema, embora não o possamos provar.

    Teorema 5.1.1 (Teorema de Fermat) Se $ f (x) $ tem um extremo local em $ x = a $ e $ f $ é diferenciável em $ a $, então $ f '(a) = 0 $.

    Assim, os únicos pontos em que uma função pode ter um máximo ou mínimo local são os pontos em que a derivada é zero, como no gráfico à esquerda da figura 5.1.1, ou a derivada é indefinida, como no gráfico à direita. Qualquer valor de $ x $ para o qual $ f '(x) $ é zero ou indefinido é chamado de valor crítico por $ f $. Ao procurar pontos máximos e mínimos locais, é provável que você cometa dois tipos de erros: Você pode esquecer que um máximo ou mínimo pode ocorrer onde a derivada não existe e, portanto, esqueça de verificar se a derivada existe em todos os lugares. Você também pode assumir que qualquer lugar em que a derivada é zero é um ponto máximo ou mínimo local, mas isso não é verdade. Uma parte do gráfico de $ ds f (x) = x ^ 3 $ é mostrada na figura 5.1.2. A derivada de $ f $ é $ f '(x) = 3x ^ 2 $, e $ f' (0) = 0 $, mas não há máximo nem mínimo em $ (0,0) $.

    Como a derivada é zero ou indefinida nos pontos máximo e mínimo locais, precisamos encontrar uma maneira de determinar qual, se algum, realmente ocorre. A abordagem mais elementar, mas muitas vezes entediante ou difícil, é testar diretamente se as coordenadas $ y $ "próximas" do máximo ou mínimo potencial estão acima ou abaixo da coordenada $ y $ no ponto de interesse. , há muitos pontos "próximos" do ponto a testar, mas um pouco de reflexão mostra que precisamos apenas testar dois, desde que saibamos que $ f $ é contínuo (lembre-se de que isso significa que o gráfico de $ f $ não tem saltos ou lacunas).

    Suponha, por exemplo, que identificamos três pontos nos quais $ f '$ é zero ou inexistente: $ ds (x_1, y_1) $, $ ds (x_2, y_2) $, $ ds (x_3, y_3) $ e $ ds x_1 f (x_2) $? Não: se houvesse, o gráfico iria subir de $ (a, f (a)) $ para $ (b, f (b)) $ e então descer para $ ds (x_2, f (x_2)) $ e em algum lugar no meio teria um ponto máximo local. (Isso não é óbvio, é um resultado do Teorema do Valor Extremo, teorema 6.1.2.) Mas nesse ponto máximo local a derivada de $ f $ seria zero ou inexistente, mas já sabemos que a derivada é zero ou inexistente apenas em $ ds x_1 $, $ ds x_2 $ e $ ds x_3 $. O resultado é que um cálculo nos diz que $ ds (x_2, f (x_2)) $ tem a maior coordenada $ y $ de qualquer ponto no gráfico próximo a $ ds x_2 $ e à esquerda de $ ds x_2 $ . Podemos realizar o mesmo teste à direita. Se descobrirmos que em ambos os lados de $ ds x_2 $ os valores são menores, então deve haver um máximo local em $ ds (x_2, f (x_2)) $ se descobrirmos que em ambos os lados de $ ds x_2 $ os valores são maiores, então deve haver um mínimo local em $ ds (x_2, f (x_2)) $ se encontrarmos um de cada, então não há um máximo ou mínimo local em $ ds x_2 $.

    Nem sempre é fácil calcular o valor de uma função em um ponto específico. A tarefa é facilitada pela disponibilidade de calculadoras e computadores, mas eles têm suas próprias desvantagens & mdash; nem sempre nos permitem distinguir entre valores que estão muito próximos. No entanto, como esse método é conceitualmente simples e às vezes fácil de executar, você deve sempre considerá-lo.

    Exemplo 5.1.2 Encontre todos os pontos máximos e mínimos locais para a função $ ds f (x) = x ^ 3-x $. A derivada é $ ds f '(x) = 3x ^ 2-1 $. Isso é definido em todos os lugares e é zero em $ ds x = pm sqrt <3> / 3 $. Olhando primeiro para $ ds x = sqrt <3> / 3 $, vemos que $ ds f ( sqrt <3> / 3) = - 2 sqrt <3> / 9 $. Agora testamos dois pontos em cada lado de $ ds x = sqrt <3> / 3 $, certificando-nos de que nenhum deles está mais longe do que o valor crítico mais próximo desde $ ds sqrt <3> -2 sqrt <3 > / 9 $ e $ ds f (1) = 0> -2 sqrt <3> / 9 $, deve haver um mínimo local em $ ds x = sqrt <3> / 3 $. Para $ ds x = - sqrt <3> / 3 $, vemos que $ ds f (- sqrt <3> / 3) = 2 sqrt <3> / 9 $. Desta vez, podemos usar $ x = 0 $ e $ x = -1 $, e descobrimos que $ ds f (-1) = f (0) = 0 Exemplo 5.1.3 Encontre todos os pontos máximos e mínimos locais para $ f (x) = sin x + cos x $. A derivada é $ f '(x) = cos x- sin x $. Isso é sempre definido e é zero sempre que $ cos x = sin x $. Lembrando que $ cos x $ e $ sin x $ são as coordenadas $ x $ e $ y $ de pontos em um círculo unitário, vemos que $ cos x = sin x $ quando $ x $ é $ pi / 4 $, $ pi / 4 pm pi $, $ pi / 4 pm2 pi $, $ pi / 4 pm3 pi $, etc. Como o seno e o cosseno têm um período de $ 2 pi $, precisamos apenas determinar o status de $ x = pi / 4 $ e $ x = 5 pi / 4 $. Podemos usar $ e $ pi / 2 $ para testar o valor crítico $ x = pi / 4 $. Descobrimos que $ ds f ( pi / 4) = sqrt <2> $, $ ds f (0) = 1 - sqrt2 $, $ ds f (2 pi) = 1> - sqrt2 $, então há um mínimo local em $ x = 5 pi / 4 $, $ 5 pi / 4 pm2 pi $, $ 5 pi / 4 pm4 pi $, etc. Mais sucintamente, existem mínimos locais em $ 5 pi / 4 pm 2k pi $ para cada inteiro $ k $.


    The z-Transform

    5.3.1 Expansão de Fração Parcial e Tabela de Consulta

    Para simples z-transformar funções, podemos encontrar diretamente o inverso z-transformar usando a Tabela 5.1. A ideia principal da expansão da fração parcial é que se X(z ) é uma função racional adequada de z, podemos expandi-lo para uma soma dos fatores de primeira ordem ou fatores de ordem superior usando a expansão da fração parcial que poderia ser invertida inspecionando o z-transformar mesa. O inverso z-transform usando a tabela de transformação z é primeiro ilustrado por meio do exemplo a seguir.

    Exemplo 5.9

    Encontre o inverso z-transformar para cada uma das seguintes funções: (a)

    X z = 2 + 4 z z - 1 - z z - 0,5

    X z = 5 z z - 1 2 - 2 z z - 0,5 2

    X z = z - 4 z - 1 + z - 6 + z - 3 z + 0,5

    Solução:

    x n = 2 Z - 1 1 + 4 Z - 1 z z - 1 - Z - 1 z z - 0,5.

    x n = Z - 1 5 z z - 1 2 - Z - 1 2 z z - 0,5 2 = 5 Z - 1 z z - 1 2 - 2 0,5 Z - 1 0,5 z z - 0,5 2.

    Dado que X z = 10 z z 2 - z + 1 = 10 sen a sen a z z 2 - 2 z cos a + 1,

    Por correspondência de coeficiente, temos

    Portanto, cos (uma) = 0,5, e uma = 60 °. Substituindo uma = 60 ° na função seno leva a

    Como x n = Z - 1 z - 5 z z - 1 + Z - 1 z - 6 × 1 + Z - 1 z - 4 z z + 0,5,

    Usando a Tabela 5.1 e a propriedade shift, obtemos

    Agora, estamos prontos para lidar com o inverso z-transformar usando a expansão de fração parcial e a tabela de consulta. O procedimento geral é o seguinte:

    Elimine os poderes negativos de z para o z-transformar função X(z).

    Determine a função racional X(z)/z (assumindo que é adequado), e aplicar a expansão da fração parcial para a função racional determinada X(z)/z usando a fórmula na Tabela 5.3.

    Tabela 5.3. Frações parciais e fórmulas para constantes

    Fração parcial com o pólo real de primeira ordem:
    R z - p, R = z - p X z z z = p
    Fração parcial com os pólos complexos de primeira ordem:
    Az z - P + A ∗ z z - P ∗, A = z - P X z z z = P
    P ∗ = conjugado complexo de P,
    UMA ∗ = conjugado complexo de UMA
    Fração parcial com mpólos reais da ordem:
    R m z - p + R m - 1 z - p 2 + ⋯ + R 1 z - p m, R k = 1 k - 1! d k - 1 dz k - 1 z - p m X z z z = p

    Multiplique a função expandida X(z)/z de z em ambos os lados da equação para obter X(z).

    Aplique o inverso z-transformar usando a Tabela 5.1.

    O formato da fração parcial e as fórmulas para calcular as constantes estão listados na Tabela 5.3.

    O Exemplo 5.10 considera a situação do z-transformar função com pólos de primeira ordem.

    Exemplo 5.10

    Encontre o inverso do seguinte z-transformar:

    Solução:

    Eliminando o poder negativo de z multiplicando o numerador e denominador por z 2 rendimentos

    Dividindo os dois lados por z leva a

    Então UMA e B são constantes encontradas usando a fórmula na Tabela 5.3, ou seja,

    Multiplicando ambos os lados por z

    Usando a Tabela 5.1 do z-transformar pares, segue-se que

    Tabulando esta solução em termos de valores inteiros de n, obtemos os resultados na Tabela 5.4.

    Tabela 5.4. Sequência Determinada no Exemplo 5.10

    O exemplo a seguir considera o caso em que X(z) tem pólos complexos de primeira ordem.

    Exemplo 5.11

    Achar y(n) se Y z = z 2 z + 1 z - 1 z 2 - z + 0,5.

    Solução:

    Aplicar a expansão da fração parcial leva a

    Observe que UMA e UMA ∗ são um par conjugado complexo. Nós determinamos UMA do seguinte modo:

    Usando a forma polar, obtemos

    Suponha que um pólo complexo de primeira ordem tenha forma

    Aplicando o inverso z-transformar da Linha 15 na Tabela 5.1 leva a

    Usando a fórmula anterior, a inversão e a simplificação subsequente resultam

    A situação dos pólos repetidos reais é apresentada a seguir.

    Exemplo 5.12

    Achar x(n) se X z = z 2 z - 1 z - 0,5 2.

    Solução:

    Dividindo os dois lados do anterior z-transformar por z rendimentos

    onde A = z - 1 X z z z = 1 = z z - 0,5 2 z = 1 = 4.

    Usando as fórmulas para mpólos reais de ordem na Tabela 5.3, onde m = 2 e p = 0,5, para determinar B e C rendimentos

    O inverso z- a transformação para cada termo do lado direito da equação acima pode ser alcançada pelo resultado listado na Tabela 5.1, ou seja,

    A partir desses resultados, segue-se que


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    As assíntotas horizontais são conhecidas como linhas horizontais. Aqui, a horizontal se refere ao grau do eixo x, onde o denominador será maior do que o numerador. Use a calculadora de geometria analítica online abaixo, que é usada para encontrar o ponto de assíntota horizontal inserindo suas expressões / funções racionais. Ao enviar seus valores você poderá ver o resultado junto com o gráfico.

    Fórmula:

    A linha y = L é chamada de assíntota horizontal da curva y = f (x) se

    Para a função racional, f (x)

    Na equação de Assíntotas Horizontais,
    1. Se o grau de x no numerador for menor que o grau de x no denominador, então y = 0 é a assíntota horizontal. 2. Se o grau de x no numerador for igual ao grau de x no denominador, então y = c, onde c é obtido pela divisão dos coeficientes líderes.

    Exemplo:

    Considere uma equação polinomial: 2x ^ 2 + 4x + 1 / x ^ 2-16

    Passo 1 :

    O polinômio de grau mais alto do numerador é 2 e o polinômio de grau mais alto do denominador é 2. Tanto o denominador quanto o numerador têm os mesmos polinômios de grau mais alto, dividimos os coeficientes dos polinômios de grau mais alto.
    = 2 / 1
    y = 2 é a assíntota horizontal.


    Análise perturbativa do polinômio de Alexander colorido e do soliton KP τ-funções

    Neste artigo estudamos as estruturas teóricas de grupo de polinômios HOMFLY coloridos em um limite específico. As estruturas de grupo surgem na expansão perturbativa de loops S U (N) Chern-Simons Wilson, enquanto o limite é N → 0. O resultado do artigo é duplo. Primeiro, explicamos o surgimento de Kadomsev-Petviashvily (KP) τ-funções. Este resultado é uma extensão do que fizemos em [1], onde uma correspondência simbólica entre as equações KP e os fatores de grupo foi estabelecida. Neste artigo, provamos que a integrabilidade do polinômio de Alexander colorido é devido à sua relação com o soliton τ-funções. Principalmente, o polinômio de Alexander colorido está embutido na ação da função geradora de KP no soliton τ-função. Em segundo lugar, usamos esta correspondência para fornecer uma descrição combinatória bastante simples dos fatores de grupo em termos de diagramas de Young, que são descritos em termos de diagramas de acordes, onde nenhuma descrição simples é conhecida. Este é um primeiro passo fornecendo uma descrição explícita dos dados teóricos de grupo de loops de Wilson, o que efetivamente os reduziria a uma quantidade puramente topológica, principalmente a uma coleção de invariantes de Vassiliev.


    Assista o vídeo: POLINÔMIOS INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO, COEFICIENTES E GRAU 112 (Dezembro 2021).