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4.8: Funções Inversas


Uma função inversa desfaz a ação da função original. Em geral, uma função inversa obterá um valor (y ) da função original e retornará o valor (x ) que o produziu.

Podemos ver isso em um aplicativo. Dado um objeto com pouca ou nenhuma resistência do ar que cai de (100 mathrm {ft} ), a função que descreve sua altura em função do tempo seria:
[
H (t) = 100-16 t ^ {2}
]
Nesta função, (H (t) ) é a altura do objeto no tempo (t. ) Se quiséssemos virar isso para que descrevesse o tempo para uma dada altura, então quereríamos isolar a variável (t ). Neste exemplo, o gráfico da função mudaria de forma que a variável independente original - (t, ) se tornasse a variável dependente na função inversa.
[
begin {alinhado}
h & = 100-16 t ^ {2}
16 t ^ {2} & = 100-h
t ^ {2} & = frac {100-h} {16}
t & = sqrt { frac {100-h} {16}}
T (h) & = frac { sqrt {100-h}} {4}
end {alinhado}
]

Função original: (H (t) = 100-16 t ^ {2} )

Função inversa: (T (h) = frac { sqrt {100-h}} {4} )

Observe que o gráfico da função inversa é a função original refletida sobre a linha (y = x, ) porque uma função inversa troca as variáveis ​​independentes e dependentes.

Encontrar uma fórmula para uma função inversa pode ser mais confuso quando consideramos uma função padrão (y = f (x). ) Em nossa notação padrão, (x ) é sempre considerado a variável independente e (y ) é sempre considerada a variável dependente.

Observe no exemplo acima que quando representamos graficamente a função e sua inversa, o rótulo no eixo (x ) mudou de (t ) para (h. ) Em uma função padrão, o (x ) eixo será sempre o eixo (x ) e o eixo (y ) será sempre o eixo (y ). Para compensar isso, quando encontramos uma função inversa para uma função declarada em termos de (x ) e (y ), geralmente trocamos os termos (x ) e (y ) de modo que (x ) permanece a variável independente.
Em nosso exemplo, tivemos
[
H (t) = 100-16 t ^ {2}
]
e descobriu que o inverso é
[
T (h) = frac { sqrt {100-h}} {4}
]
Se a função original tivesse sido declarada em termos de (x ) e (y, ), o processo teria a seguinte aparência:
begin {alinhado}
f (x) & = 100-16 x ^ {2}
y & = 100-16 x ^ {2}
16 x ^ {2} & = 100-y
x ^ {2} & = frac {100-y} {16}
x & = sqrt { frac {100-y} {16}}
x & = frac { sqrt {100-y}} {4}
end {alinhado}

Em seguida, trocamos as variáveis ​​ (x ) e (y ) para manter (x ) como a variável independente:
[
y = f ^ {- 1} (x) = frac { sqrt {100-x}} {4}
]
( mathrm {So} )
[
f (x) = 100-16 x ^ {2}
]
e
[
f ^ {- 1} (x) = frac { sqrt {100-x}} {4}
]

Exercícios 4.8
Dada a função (f (x), ) encontre a função inversa (f ^ {- 1} (x) )
1) ( quad f (x) = 3 x )
2) ( quad f (x) = - 4 x )
3) ( quad f (x) = 4 x + 2 )
4) ( quad f (x) = 1-3 x )
5) ( quad f (x) = x ^ {3} -1 )
6) ( quad f (x) = x ^ {3} +1 )
7) ( quad f (x) = x ^ {2} +4 (x geq 4) )
8) ( quad f (x) = x ^ {2} +9 (x geq 9) )
9) ( quad f (x) = frac {4} {x} )
10) ( quad f (x) = - frac {3} {x} )
11) ( quad f (x) = frac {1} {x-2} )
12) ( quad f (x) = frac {4} {x + 2} )
13) ( quad f (x) = frac {2} {x + 3} )
14) ( quad f (x) = frac {4} {2-x} )
15) ( quad f (x) = frac {3 x} {x + 2} )
16) ( quad f (x) = - frac {2 x} {x-1} )
17) ( quad f (x) = frac {2 x} {3 x-1} )
18) ( quad f (x) = - frac {3 x + 1} {x} )
19) ( quad f (x) = frac {3 x + 4} {2 x-3} )
20) ( quad f (x) = frac {2 x-3} {x + 4} )
21) ( quad f (x) = frac {2 x + 3} {x + 2} )
22) ( quad f (x) = - frac {3 x + 4} {x-2} )
Encontre a função inversa para cada um dos seguintes aplicativos.
23) O volume de água deixado em um tanque de 1000 litros que drena em 40 minutos é modelado pela equação:
[
V (t) = 1000 left (1- frac {t} {40} right) ^ {2}
]
Find (T (v) ) - a função que informa há quanto tempo a água está drenando dado um determinado volume restante no tanque. O tempo é medido em minutos e o volume é medido em galões.
24) A velocidade de um veículo em milhas por hora que deixa marcas de derrapagem com (d ) pés de comprimento é modelada pela equação:
[
R (d) = 2 sqrt {5 d}
]
Find (D (r) ) - a função que informa a distância de parada de um veículo viajando (r ) milhas por hora.
25) O período de um pêndulo de comprimento ( ell ) pode ser expresso pela relação:
[
T ( ell) = 2 pi sqrt { frac { ell} {980}}
]
Encontre a função (L (t) ) que determina o comprimento de um pêndulo dado seu período. Aqui, o tempo é medido em segundos e o comprimento é medido em centímetros.
26) O volume de uma esfera de raio (r ) é dado pela fórmula:
[
V (r) = frac {4} {3} pi r ^ {3}
]
Encontre (R (v) ) - a função que determina o raio de uma esfera dado seu volume.


4.8: Funções Inversas

qual é o inverso de -3 4
-4 8?

O que você quer dizer com inverso?

O inverso é trocar o numerador e o denominador. Por exemplo, o inverso de 3/4 é 4/3.

Também pesquisei no Google a palavra-chave & quot inverso & quot para obter essas fontes possíveis:

No futuro, você poderá encontrar as informações que deseja com mais rapidez, se usar palavras-chave apropriadas para fazer sua própria pesquisa. Consulte também http://hanlib.sou.edu/searchtools/.

Eu espero que isso ajude. Obrigado por perguntar.


4.8: Funções Inversas

Esta folha de ajuda de janeiro de 2009 fornece informações sobre como obter:

  • Probabilidades e probabilidades inversas no Excel
  • Probabilidades de distribuição T e probabilidades inversas
  • Probabilidades de distribuição normal e probabilidades inversas
  • Distribuições Othrr
  • Random extrai de distribuições como a normal.

PROBABILIDADES E PROBABILIDADES INVERSAS

Consideramos a distribuição normal padrão como um exemplo.

Seja X uma variável aleatória, x um valor da variável aleatória ep uma probabilidade. Então:

  • Uma probabilidade como Pr (X & lt = x) é dada pela função de distribuição cumulativa.
    Portanto, o comando do Excel inclui "DIST"
    por exemplo. TDIST para a distribuição T
    por exemplo. NORMSDIST para a distribuição normal padrão
    por exemplo. DIST.NORM para a distribuição normal
  • Um valor de x tal que Pr (X & lt = x) = p para algum valor especificado de p é chamado de inverso da função de distribuição cumulativa.
    Portanto, o comando do Excel inclui "INV"
    por exemplo. TINV para a distribuição T
    por exemplo. NORMSINV para a distribuição normal padrão
    por exemplo. NORMINV para a distribuição normal

  • Essas funções são fornecidas na guia Fórmulas | Grupo de bibliotecas de funções | Mais funções | Estatística.

PROBABILIDADES DE DISTRIBUIÇÃO T E PROBABILIDADES DE INVERSÃO

Essas são as probabilidades mais comumente usadas em análises estatísticas de dados econômicos.
Eles usam as funções TDIST e TINV.

TDIST dá a probabilidade de estar na cauda direita, ou seja, Pr (X & gt x), ou de estar em ambas as caudas, ou seja, Pr (| X | & gt x).
TINV considera o inverso da probabilidade de estar em ambas as caudas.

1. Encontre Pr (X & lt = 1,9) quando x é t-distribuído com 9 graus de liberdade.

Este é 1 - Pr (X & gt 1.9) onde a função TDIST do Excel fornece Pr (X & gt 1.9).

Escolha a guia Fórmulas | Grupo de bibliotecas de funções | Mais funções | Estatística | TDIST.
Preencha a guia Argumentos da função:

Isso dá resultado que Pr (X & gt 1,9) = 0,0449.
Portanto, Pr (X & lt = 1,9) = 1 - 0,0449 = 0,9551.

Muito mais simples é digitar diretamente na célula = 1 - TDIST (1.9, 9, 2) e clicar em & ltenter & gt.


2.
Encontre o valor x * tal que Pr (X & lt = x *) = 0,9 quando x é t-distribuído com 9 graus de liberdade.

Este é o mesmo valor para o qual Pr (| X | & gt = x *) = 0,2.
(Uma vez que há probabilidade 0,1 na cauda direita e probabilidade 0,1 na cauda esquerda).

Escolha a guia Fórmulas | Grupo de bibliotecas de funções | Mais funções | Estatística | TINV.
Preencha a guia Argumentos da função:

Isso dá o resultado que Pr (| X | & gt 1,383) = 0,2.
Portanto, Pr (X & lt = 1,383) = 0,9.

Muito mais simples é digitar diretamente na célula = TINV (0,2, 9) e clicar em & ltenter & gt para obter Pr (| X | & gt 1,383) = 0,2.

PROBABILIDADES NORMAIS PADRÃO E PROBABILIDADES INVERSAS

Eles são menos usados ​​do que a distribuição t em análises estatísticas de dados econômicos.
Eles usam as funções DIST.NORM e INV.NORM.

IMPORTANTE: O formato e os resultados desses comandos diferem dos normais.
DIST.NORM fornece diretamente a função de distribuição cumulativa, ou seja, Pr (X & lt = x), enquanto que TDIST fornece a cauda direita, ou seja, Pr (X & gt x) !!
NORMINV considera o inverso da probabilidade de estar em ambas as caudas, semelhante a TINV.

1. Encontre Pr (X & lt = 1,9) quando x é normal padrão (ou seja, normal com média = 0 e variância = 1).

Escolha a guia Fórmulas | Grupo de bibliotecas de funções | Mais funções | Estatística | NORMDIST.
Preencha a Aba de Argumentos da Função com valor Z de 1,9.
Isso dá resultado que Pr (X & lt = 1,9) = 0,9713.

Muito mais simples é digitar diretamente na célula = NORMSDIST (1.9) e clicar em & ltenter & gt para obter Pr (X & lt = 1.9) = 0.9713.

2. Encontre o valor x * de modo que Pr (X & lt = x *) = 0,9 quando x é o normal padrão.

Escolha a guia Fórmulas | Grupo de bibliotecas de funções | Mais funções | Estatística | NORMDIST.
Preencha a guia Argumentos da função com o valor de probabilidade de 0,9.
Isso dá o resultado que x * = 1,2816, ou seja, Pr (X & lt = 1,2816) = 0,9.

Muito mais simples é digitar diretamente na célula = INV.NORMP (0,9) e clicar em & ltenter & gt para obter x * = 1,2816.

PROBABILIDADES NORMAIS E PROBABILIDADES INVERSAS

O normal padrão define a média como 0 e o desvio padrão como 1.
Aqui consideramos a distribuição normal com outros valores para a média & micro e desvio padrão & # 963.
AS funções usadas são DIST.NORM e INV.NORM.

1. Encontre Pr (X & lt = 9) quando x é normal com média & micro = 8 e variância 4,8.
Aqui, desvio padrão = & # 963 = sqrt (4,8) = 2,1909.

Escolha a guia Fórmulas | Grupo de bibliotecas de funções | Mais funções | Estatística | NORMDIST.
Preencha a Aba de Argumentos da Função

Isso dá o resultado que Pr (X & gt 9) = 0,67596 para X normalmente distribuído com média 8 e variância 4,8.

Muito mais simples é digitar diretamente na célula = DIST.NORM (9, 8, 2.1909, 1) e clicar em & ltenter & gt.

2. Encontre o valor x * de modo que Pr (X & lt = x *) = 0,9 quando x é normal com média & micro = 8 e variância 4,8, então o desvio padrão = & # 963 = sqrt (4,8) = 2,1909.

Escolha a guia Fórmulas | Grupo de bibliotecas de funções | Mais funções | Estatística | NORMINV.
Preencha a guia Argumentos da função:

probabilidade 0.9
mau 8
standard_dev 2.1909

Isso dá o resultado x * = 10,8077. isto é, Pr (X & lt 10,8077) = 0,9 quando x é normal com média & micro = 8 e variância 4,8.

Muito mais simples é digitar diretamente na célula = INV.NORM (0.9, 8, 2.1909) e clicar em & ltenter & gt.

O Excel fornece probabilidades para as seguintes distribuições (na guia Fórmulas | Grupo de bibliotecas de funções | Mais funções | Estatística), apresentadas em ordem aproximada das mais comumente usadas na análise de dados econômicos:

  • Normal: DIST.NORM, INV.NORM
  • Padrão normal: NORMSDIST, NORMSINV
  • distribuição t: TDIST, TINV
  • Distribuição F: FDIST, FINV
  • Qui-quadrado: CHIDIST, CHIINV
  • Lognormal: LOGNORMDIST, LOGINV
  • Binomial: BINOMDIST, CRITBINOM
  • Hipergeométrico: HYPGEOMDIST
  • Beta: BETADIST, BETAINV
  • Gama: GAMMADIST, GAMMAINV
  • Exponencial: EXPONDIST
  • Weibull: WEIBULL
  • Poisson: POISSON
  • Binomial negativo: DIST.BIN.NEG

GERAÇÃO DE NÚMERO ALEATÓRIO

Pode ser útil gerar uma amostra aleatória de observações de uma distribuição especificada, como o normal padrão.

Use a guia de dados | Grupo de Análise | Análise de dados.
Isso permite a geração de

  • Normal
  • Uniforme
  • Bernoulli (0 ou 1)
  • Binomial
  • Poisson
  • Discreta (você fornece os valores e probabilidades para uma distribuição discreta com um número finito de valores possíveis)
  • Padronizado

Gere 1000 valores de x onde x é normal com média mu = 8 e variância 4,8, então o desvio padrão = sigma = sqrt (4,8) = 2,1909.

Escolha dados | Análise | Análise de dados | Geração de número aleatório.
Em seguida, na caixa de diálogo Geração de número aleatório, preencha:

Os 1.000 sorteios aleatórios têm média de amostra próxima a 8, variação de amostra próxima de 4,8 e histograma próximo a uma curva em forma de sino.


Funções Inversas

Considere a função que converte graus Fahrenheit em graus Celsius: C (x) = 5 9 (x - 32). Podemos usar esta função para converter 77 ° F em graus Celsius da seguinte maneira.

C (77) = 5 9 (77 - 32) = 5 9 (45) = 25

Portanto, 77 ° F é equivalente a 25 ° C. Se desejarmos converter 25 ° C de volta para graus Fahrenheit, usaríamos a fórmula: F (x) = 9 5 x + 32.

F (25) = 9 5 (25) + 32 = 45 + 32 = 77

Observe que as duas funções C e F revertem o efeito uma da outra.

Isso descreve uma relação inversa. Em geral, f e g estão funções inversas E se,

(f ○ g) (x) = f (g (x)) = x f o r a l x i n t h e d o m a i n o f g a n d (g ○ f) (x) = g (f (x)) = x f o r a l x i n t h e d o m a i n o f f.

C (F (25)) = C (77) = 25 F (C (77)) = F (25) = 77

Exemplo 4

Verifique algebricamente se as funções definidas por f (x) = 1 2 x - 5 e g (x) = 2 x + 10 são inversas.

Componha as funções dos dois modos e verifique se o resultado é x.

(f ○ g) (x) = f (g (x)) = f (2 x + 10) = 1 2 (2 x + 10) - 5 = x + 5 - 5 = x ✓

(g ○ f) (x) = g (f (x)) = g (1 2 x - 5) = 2 (1 2 x - 5) + 10 = x - 10 + 10 = x ✓

Resposta: Ambos (f ○ g) (x) = (g ○ f) (x) = x portanto, eles são inversos.

A seguir, exploramos a geometria associada às funções inversas. Os gráficos de ambas as funções no exemplo anterior são fornecidos no mesmo conjunto de eixos abaixo.

Observe que há simetria sobre a linha y = x os gráficos de f e g são imagens espelhadas sobre esta linha. Observe também que o ponto (20, 5) está no gráfico de f e que (5, 20) está no gráfico de g. Ambas as observações são verdadeiras em geral e temos as seguintes propriedades de funções inversas:

  1. Os gráficos das funções inversas são simétricos em relação à reta y = x.
  2. Se (a, b) está no gráfico de uma função, então (b, a) está no gráfico de sua inversa.

Além disso, se g é o inverso de f usamos a notação g = f - 1. Aqui f - 1 é lido, “f inverso ”, e não deve ser confundido com expoentes negativos. Em outras palavras, f - 1 (x) ≠ 1 f (x) e temos,

(f ○ f - 1) (x) = f (f - 1 (x)) = x e (f - 1 ○ f) (x) = f - 1 (f (x)) = x

Exemplo 5

Verifique algebricamente se as funções definidas por f (x) = 1 x - 2 ef - 1 (x) = 1 x + 2 são inversas.

Componha as funções de ambas as maneiras para verificar se o resultado é x.

(f ○ f - 1) (x) = f (f - 1 (x)) = f (1 x + 2) = 1 (1 x + 2) - 2 = x + 2 1 - 2 = x + 2 - 2 = x ✓

(f - 1 ○ f) (x) = f - 1 (f (x)) = f - 1 (1 x - 2) = 1 (1 x - 2) + 2 = 1 1 x = x ✓

Resposta: Como (f ○ f - 1) (x) = (f - 1 ○ f) (x) = x eles são inversos.

Lembre-se de que uma função é uma relação em que cada elemento do domínio corresponde a exatamente um elemento do intervalo. Usamos o teste de linha vertical para determinar se um gráfico representa uma função ou não. As funções podem ser classificadas posteriormente usando uma relação inversa. Funções um para um Funções em que cada valor no intervalo corresponde a exatamente um valor no domínio. são funções em que cada valor no intervalo corresponde a exatamente um elemento no domínio. O teste da linha horizontal Se uma linha horizontal cruza o gráfico de uma função mais de uma vez, então não é um para um. é usado para determinar se um gráfico representa ou não uma função um-para-um. Se uma linha horizontal cruza um gráfico mais de uma vez, ela não representa uma função um-para-um.

A linha horizontal representa um valor no intervalo e o número de interseções com o gráfico representa o número de valores aos quais corresponde no domínio. A função definida por f (x) = x 3 é injetora e a função definida por f (x) = | x | não é. Determinar se uma função é ou não um para um é importante porque uma função tem um inverso se e somente se for um para um. Em outras palavras, uma função tem um inverso se passar no teste da linha horizontal.

Observação: Neste texto, quando dizemos “uma função tem um inverso, ” queremos dizer que existe outra função, f - 1, tal que (f ○ f - 1) (x) = (f - 1 ○ f) (x) = x.

Exemplo 6

Determine se a função fornecida é individual ou não.

Resposta: A função fornecida passa no teste da linha horizontal e, portanto, é um-para-um.

Na verdade, qualquer função linear da forma f (x) = m x + b, onde m ≠ 0, é injetora e, portanto, tem uma inversa. As etapas para encontrar o inverso de uma função um-para-um são descritas no exemplo a seguir.

Exemplo 7

Encontre o inverso da função definida por f (x) = 3 2 x - 5.

Antes de iniciar este processo, você deve verificar se a função é individual. Nesse caso, temos uma função linear onde m ≠ 0 e, portanto, é um-para-um.

Passo 1: Substitua a notação de função f (x) por y.

f (x) = 3 2 x - 5 y = 3 2 x - 5

Passo 2: Intercâmbio x e y. Usamos o fato de que se (x, y) é um ponto no gráfico de uma função, então (y, x) é um ponto no gráfico de sua inversa.

Etapa 3: Resolva para y.

x = 3 2 y - 5 x + 5 = 3 2 y 2 3 ⋅ (x + 5) = 2 3 ⋅ 3 2 y 2 3 x + 10 3 = y

Passo 4: A função resultante é o inverso de f. Substituir y com f - 1 (x).

Etapa 5: Verificar.

(f ○ f - 1) (x) = f (f - 1 (x)) = f (2 3 x + 10 3) = 3 2 (2 3 x + 10 3) - 5 = x + 5 - 5 = x ✓

(f - 1 ○ f) (x) = f - 1 (f (x)) = f - 1 (3 2 x - 5) = 2 3 (3 2 x - 5) + 10 3 = x - 10 3 + 10 3 = x ✓

Resposta: f - 1 (x) = 2 3 x + 10 3

Se uma função não for um-para-um, é comum que possamos restringir o domínio de tal forma que o gráfico resultante seja um-para-um. Por exemplo, considere a função de quadratura deslocada uma unidade para cima, g (x) = x 2 + 1. Observe que ele não passa no teste da linha horizontal e, portanto, não é um para um. No entanto, se restringirmos o domínio a valores não negativos, x ≥ 0, o gráfico passa no teste da linha horizontal.

No domínio restrito, g é um-para-um e podemos encontrar o seu inverso.

Exemplo 8

Encontre o inverso da função definida por g (x) = x 2 + 1 onde x ≥ 0.

Comece substituindo a notação da função g (x) por y.

g (x) = x 2 + 1 y = x 2 + 1 w h e r e x ≥ 0

x = y 2 + 1 x - 1 = y 2 ± x - 1 = y

Como y ≥ 0 consideramos apenas o resultado positivo.

Resposta: g - 1 (x) = x - 1. O cheque é deixado para o leitor.

Os gráficos no exemplo anterior são mostrados no mesmo conjunto de eixos abaixo. Observe a simetria sobre a linha y = x.

Exemplo 9

Encontre o inverso da função definida por f (x) = 2 x + 1 x - 3.

Use um recurso gráfico para verificar se esta função é individual. Comece substituindo a notação de função f (x) por y.

f (x) = 2 x + 1 x - 3 y = 2 x + 1 x - 3

x = 2 y + 1 y - 3 x (y - 3) = 2 y + 1 x y - 3 x = 2 y + 1

Obtenha todos os termos com a variável y de um lado da equação e tudo o mais do outro. Isso nos permitirá tratar y como GCF.

x y - 3 x = 2 y + 1 x y - 2 y = 3 x + 1 y (x - 2) = 3 x + 1 y = 3 x + 1 x - 2

Resposta: f - 1 (x) = 3 x + 1 x - 2. O cheque é deixado para o leitor.

Experimente isso! Encontre o inverso de f (x) = x + 1 3 - 3.

Resposta: f - 1 (x) = (x + 3) 3 - 1

Principais vantagens

  • O operador de composição (○) indica que devemos substituir uma função por outra. Em outras palavras, (f ○ g) (x) = f (g (x)) indica que substituímos g (x) em f (x).
  • Se duas funções forem inversas, cada uma reverterá o efeito da outra. Usando a notação, (f ○ g) (x) = f (g (x)) = x e (g ○ f) (x) = g (f (x)) = x.
  • As funções inversas têm notação especial. Se g é o inverso de f, podemos escrever g (x) = f - 1 (x). Essa notação é freqüentemente confundida com expoentes negativos e não é igual a um dividido por f (x).
  • Os gráficos de inversos são simétricos em relação à linha y = x. Se (a, b) é um ponto no gráfico de uma função, então (b, a) é um ponto no gráfico de sua inversa.
  • Se cada ponto no intervalo de uma função corresponder a exatamente um valor no domínio, a função é um para um. Use o teste de linha horizontal para determinar se uma função é individual ou não.
  • Uma função um-para-um tem um inverso, que muitas vezes pode ser encontrado trocando x e y, e resolvendo para y. Esta nova função é o inverso da função original.

Exercícios de tópico

Parte A: Composição de Funções

Dadas as funções definidas por f e g encontre (f ○ g) (x) e (g ○ f) (x).

f (x) = 4 x - 1, g (x) = 3 x

f (x) = - 2 x + 5, g (x) = 2 x

f (x) = 3 x - 5, g (x) = x - 4

f (x) = 5 x + 1, g (x) = 2 x - 3

f (x) = x 2 - x + 1, g (x) = 2 x - 1

f (x) = x 2 - 3 x - 2, g (x) = x - 2

f (x) = x 2 + 3, g (x) = x 2 - 5

f (x) = 2 x 2, g (x) = x 2 - x

f (x) = 8 x 3 + 5, g (x) = x - 5 3

f (x) = 27 x 3 - 1, g (x) = x + 1 3

f (x) = 1 x + 5, g (x) = 1 x

f (x) = 1 x - 3, g (x) = 3 x + 3

f (x) = 5 x, g (x) = 3 x - 2

f (x) = 2 x, g (x) = 4 x + 1

f (x) = 1 2 x, g (x) = x 2 + 8

f (x) = 2 x - 1, g (x) = 1 x + 1

f (x) = 1 - x 2 x, g (x) = 1 2 x + 1

f (x) = 2 x x + 1, g (x) = x + 1 x

Dadas as funções definidas por f (x) = 3 x 2 - 2, g (x) = 5 x + 1 eh (x) = x, calcule o seguinte.


Planilhas de funções inversas

O que são funções inversas? A palavra trigonometria é derivada das palavras gregas trigonon, que significa triângulo, e metron, que significa medida. É definido como o ramo da matemática que estabelece a relação entre os ângulos e os lados. A trigonometria não é usada apenas para resolver triângulos, mas muitas outras formas de lados retos são simplificadas em uma coleção de triângulos. Além disso, o estrangulamento também está relacionado a outros ramos da matemática, como séries infinitas, cálculo e números complexos. A trigonometria nos ajuda a encontrar os lados e ângulos que faltam usando as relações trigonométricas. Essas proporções são medidas principalmente em graus e radianos. As três funções inversas conhecidas e comumente usadas são seno, cosseno e tangente, que são abreviadas como sen, cos e tan, respectivamente. Além dessas três funções, a trigonometria também usa três outras funções, a saber, cosec, sec e cot. Essas três outras funções são as funções inversas das funções seno, cosseno e tangente. As seis Funções Inversas são definidas a seguir: Seno: É definido como a razão do lado oposto à hipotenusa do triângulo retângulo. Cosseno: é definido como a razão entre o lado adjacente e a hipotenusa do triângulo retângulo. Tangente: é definida como a proporção do lado oposto ao adjacente do triângulo retângulo. Cosec: é definida como a relação entre a hipotenusa e o lado oposto do triângulo retângulo. Sec: É definida como a relação entre a hipotenusa e o lado adjacente do triângulo retângulo. Cot: É definido como a relação entre o lado adjacente e o lado oposto do triângulo retângulo. A trigonometria é uma das áreas mais importantes no ramo matemático da geometria. Essas funções são usadas para descrever a função entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Existem seis funções trigonométricas básicas e incluem Seno, Cosseno, Tangente, Cossecante, Secante e Cotangente. Para definir essas funções, podemos usar um círculo unitário. Sabemos que o seno de um ângulo é a razão do oposto à hipotenusa. O cosseno de um ângulo é a razão entre o adjacente e a hipotenusa. A tangente de um ângulo é a proporção do oposto em relação ao adjacente. A cotangente de um ângulo é a razão entre o adjacente e o oposto. A secante de um ângulo é a razão entre a hipotenusa e a perna adjacente. A cossecante de um ângulo α é a razão entre a hipotenusa e o oposto. Depois, há as funções trigonométricas inversas - essas funções são opostas às funções trigonométricas regulares, como Seno inverso, representado por sin (-1) ⁡x, faz o oposto do seno. Cosseno inverso, representado por cos (-1) ⁡x faz o oposto do cosseno. A tangente inversa, representada por tan (-1) ⁡x, faz o oposto da tangente.

Aula Básica

Orienta os alunos a resolver equações que envolvem funções inversas. É <(4,8), (5,6)> o inverso da função <(8,4), (6,5)>? O inverso de uma função é o conjunto de pares ordenados obtidos pela troca do primeiro e do segundo elementos de cada par na função original. Na pergunta acima, o par é trocado, portanto, é o inverso da função.

Aula intermediária

Demonstra como resolver problemas mais difíceis. Usando a composição de funções, mostre que f (x) = 2x-1 e g (x) = 5x + 1 são funções inversas.

Prática Independente 1

Uma atividade realmente ótima para permitir que os alunos entendam o conceito de resolver funções inversas.

Prática Independente 2

Os alunos encontram o valor das Funções Inversas em vários problemas. As respostas podem ser encontradas abaixo.

Folha de trabalho de casa

Os alunos enfrentam problemas para alcançar os conceitos das Funções Inversas.

Questionário de Habilidades

Isso testa a capacidade dos alunos de avaliar as declarações matemáticas com as funções inversas.

Palavra chave

Respostas para planilhas de matemática, questionários, trabalhos de casa e lições.

A Palavra Eterna de Descartes.

"A matemática é um instrumento de conhecimento mais poderoso do que qualquer outro que nos foi legado pela ação humana."


4.8: Funções Inversas

Encontre os valores das funções inversas das tabelas

Aqui, veremos como encontrar os valores das funções inversas no gráfico.

Uma função & # xa0 & # xa0 é uma regra que diz que cada entrada & # xa0 (valor x) & # xa0 para exatamente uma saída & # xa0 (f (x) - & # xa0or & # valor xa0y).

Uma função & # xa0 é & # xa0invertível & # xa0se cada saída possível é produzida por exatamente uma entrada & # xa0. & # Xa0 Se & # xa0a função & # xa0f (x) & # xa0é invertível, seu inverso é escrito f -1 (x). & # Xa0

O inverso & # xa0f -1 (x) & # xa0 assume os valores de saída de & # xa0f (x) & # xa0 e produz os valores de entrada.

Use a tabela abaixo para encontrar o seguinte, se possível: & # xa0

a = & # xa0f & # xa0-1 (- 4) & # xa0 se e somente se - 4 = f (a)

Ao considerar a tabela, temos que verificar para qual valor de x, temos o valor -4 para f (x).

b = & # xa0f & # xa0-1 (6) & # xa0 se e somente se 6 = f (b)

Não encontramos o valor 6 na coluna f (x). Portanto, & # xa0 f & # xa0-1 (6) é indefinido.

c = & # xa0f & # xa0-1 (9) & # xa0 se e somente se 9 = f (c)

Na coluna f (x), temos 9 na primeira linha. O valor correspondente f (4) é 9

d = & # xa0f & # xa0-1 (10) & # xa0 se e somente se 10 = f (d)

Não encontramos o valor 6 na coluna f (x). Portanto, & # xa0 f & # xa0-1 (10) é indefinido.

Na coluna f (x), temos -10 na última linha. O valor correspondente f (8) é -10.

Depois de analisar as informações fornecidas acima, esperamos que os alunos tenham entendido "Encontrar valores de funções inversas de tabelas". & # Xa0

Além do material fornecido nesta seção, se você precisar de qualquer outro material em matemática, use nossa busca personalizada do google aqui.

Se você tiver algum comentário sobre nosso conteúdo de matemática, envie-nos um e-mail: & # xa0

Sempre apreciamos seus comentários. & # Xa0

Você também pode visitar as seguintes páginas da web sobre diferentes assuntos em matemática. & # Xa0


Principais etapas para encontrar o inverso de uma função linear

  1. Substitua f left (x right) por y.
  2. Troque os papéis de xey, em outras palavras, troque xey na equação.
  3. Resolva para y em termos de x.
  4. Substitua y por > left (x right) para obter a função inversa.
  5. Às vezes, é útil usar o domínio e o intervalo da função original para identificar a função inversa correta entre duas possibilidades. Isso acontece quando você obtém uma caixa & # 8220plus ou menos & # 8221 no final.

Exemplos de como encontrar o inverso de uma função linear

Exemplo 1: Encontre o inverso da função linear

Essa função se comporta bem porque o domínio e o intervalo são ambos números reais. Isso garante que seu inverso também seja uma função. Talvez você esteja familiarizado com o Teste de linha horizontal, que garante que haverá um inverso sempre que nenhuma linha horizontal interceptar ou cruzar o gráfico mais de uma vez.

Use as etapas principais acima como um guia para resolver a função inversa:

Exemplo 2: Encontre o inverso da função linear

Perto da parte final da solução, quero deixar o denominador positivo para que pareça & # 8220bom & # 8221. Fiz isso multiplicando o numerador e o denominador por -1.

Exemplo 3: Encontre o inverso da função linear

Alguns alunos podem considerar isso como uma função racional porque a equação contém algumas expressões racionais. Não se confunda com as frações aqui. Sim, possui frações, porém não há variáveis ​​no denominador. Isso a torna apenas uma função linear regular.

Para resolver isso, devo me livrar do denominador. Farei isso multiplicando ambos os lados da equação por seu menor denominador comum (MDC).

Conforme mostrado acima, você pode escrever as respostas finais de duas maneiras. Um com um único denominador e o outro é decomposto em frações parciais.

Exemplo 4: Encontre o inverso da função linear abaixo e indique seu domínio e intervalo.

Esta é uma função linear & # 8220normal & # 8221, entretanto, com um domínio restrito. Os valores permitidos de x começam em x = 2 e vão até o infinito positivo. O intervalo pode ser determinado usando seu gráfico. Lembre-se de que o intervalo é o conjunto de todos os valores de y quando os valores aceitáveis ​​de x (domínio) são substituídos na função.

Preste atenção especial em como o domínio e o intervalo são determinados usando seu gráfico.

Encontrar o inverso desta função é muito fácil. Mas lembre-se de como descrever corretamente o domínio e o intervalo da função inversa. Examinamos esse conceito no início desta seção sobre a troca de domínio e intervalo.

Sempre verifique o domínio e o intervalo da função inversa usando o domínio e o intervalo do original. Eles são apenas trocados.

Exemplo 5: Encontre o inverso da função linear abaixo e indique seu domínio e intervalo.

A primeira etapa é plotar a função no eixo xy. Identifique claramente o domínio e o intervalo.

Círculo aberto (ponto não sombreado) significa que o número naquele ponto foi excluído. Se você precisa se atualizar neste tópico, verifique minha lição separada sobre como resolver desigualdades lineares.

Em segundo lugar, encontre o inverso algebricamente usando as etapas sugeridas. Certifique-se de escrever o domínio e o intervalo corretos da função inversa.

A variável x na equação original tem um coeficiente de -1. Acompanhe isso enquanto resolve o inverso.

Espero que você obtenha algumas idéias básicas sobre como encontrar o inverso de um Função linear. Eu recomendo que você pesquise as lições relacionadas sobre como encontrar inversos de outros tipos de funções.


4.8: Funções Inversas

f (a) = f (b)
4 x + 20 = 4 b + 20
4 a = 4 b
a = b

Portanto, y = 4 x + 20 é um 1-1 função.

Usando o Teste 2, se x = 10, então nós temos

Se x = & # 150 10, então nós temos

Uma vez que dois valores diferentes de x levam ao mesmo valor de y,
então, y = & # 150 & radic & # 160100 & # 150 x 2 & # 160 não é um 1-1 função.

y = 3 x 3 & # 150 6 & # 160 = 3 (x 3 & # 150 2)

f (a) = f (b)
3 (a 3 e # 150 2) = 3 (b 3 e # 150 2)
a 3 & # 150 2 = b 3 & # 150 2
a 3 = b 3
3 & radic & # 160a & # 160 = 3 & radic & # 160b & # 160
a = b

Portanto, y = 3 x 3 & # 150 6 é um 1-1 função.

4 (b & # 150 8) = 4 (a & # 150 8)
b & # 150 8 = a & # 150 8
b = a

Usando o Teste 2, se x = 4, então nós temos

f (4) = & # 150 3 (4 & # 150 6) 2 + 8 = & # 150 3 & # 183 4 + 8 = & # 150 12 + 8 = & # 150 4

e se x = 8, então nós temos

f (8) = & # 150 3 (8 & # 150 6) 2 + 8 = & # 150 3 & # 183 4 + 8 = & # 150 12 + 8 = & # 150 4

Uma vez que dois valores diferentes de x levam ao mesmo valor de y,
portanto, y = & # 150 3 (x & # 150 6) 2 + 8 não é um 1-1 função.

Portanto, y = 3 x 3 & # 150 6 é um 1-1 função.

g (x) = & # 160 1
––
3
& # 160x & # 150 3

(f & omicron g) (x) = 3 & # 160 ( 1
––
3
& # 160x & # 150 3 ) & # 160 + 9 = x & # 150 9 + 9 = x

(g & omicron f) (x) = & # 160 1
––
3
( 3 x + 9 ) & # 160 & # 150 3 = x + 3 & # 150 3 = x

Desde a (f & omicron g) (x) = x e (g & omicron f) (x) = x,
então essas funções são inversas.

g (x) = & # 150 & # 160 1
––
4
x & # 150 2

(f & omicron g) (x) = & # 150 4 & # 160 ( –  1
––
4
& # 160x & # 150 2 ) & # 160 + 2 = x + 8 + 2 = x + 10 & ne x

Desde a (f & omicron g) (x) & ne x,
então essas funções não são inversas.

Desde a (f & omicron g) (x) = x e (g & omicron f) (x) = x,
então essas funções são inversas.

Desde a (f & omicron g) (x) & ne x,
então essas funções não são inversas.

f (x) = & radic & # 160x + 8 & # 160 , Onde x & ge & # 150 8

g (x) = x 2 & # 150 8, Onde x e ge 3

(g & omicron d) (x) = (& radic & # 160x + 8 & # 160) 2 & # 150 8 = x + 8 & # 150 8 = x

Desde a (f & omicron g) (x) = x e (g & omicron f) (x) = x,
então essas funções são inversas.

Desde a f é 1-1, seu inverso é

Observe aquilo f (6) = & # 150 8 e f (0) = & # 150 8.
De forma similar, f (3) = & # 150 4 e f (5) = & # 150 4.

Desde a f is not 1-1, it has no inverse.

  1. write an equation for the inverse function
  2. gráfico f e f -1
  3. give the domain and range of f e f -1

    Inverse Function Equation

Using Test 1, we have

f (a) = f (b)
4 a – 5 = 4 b – 5
a = b

Therefore, f (x) = 4 x – 5 é 1-1 and has an inverse.

domain of f (x) = ( – &infin, &infin ) = range of f -1 (x)

range of f (x) = ( – &infin, &infin ) = domain of f -1 (x)

    Inverse Function Equation

Using Test 1, we have

f (a) = f (b)
– 6 a – 8 = – 6 b – 8
a = b

Therefore, f (x) = – 6 x – 8 é 1-1 and has an inverse.

domain of f (x) = ( – &infin, &infin ) = range of f -1 (x)

range of f (x) = ( – &infin, &infin ) = domain of f -1 (x)

    Inverse Function Equation

Using Test 1, we have

f (a) = f (b)
– a 3 – 2 = – b 3 – 2
a = b

Therefore, f (x) = – x 3 – 2 é 1-1 and has an inverse.

domain of f (x) = ( – &infin, &infin ) = range of f -1 (x)

range of f (x) = ( – &infin, &infin ) = domain of f -1 (x)

    Inverse Function Equation

Therefore, f (x) = – x 2 + 2 is not 1-1 and has no inverse.

    Inverse Function Equation

Using Test 1, we have

f (a) = f (b)

Therefore,  f (x) =  4
––
x
 is 1-1 and has an inverse.

x = 0  is a vertical asymptote.

Since the numerator has degree less than the degree of the denominator,

y = 0  is a horizontal asymptote.

Since the degree of the numerator is not one more than the degree of the denominator,
then there is no oblique asymptote.

There is no y-intercept because the y-axis if a vertical asymptote.

There is no x-intercept because the x-axis is a horizontal asymptote.

Therefore, the graph does not intersect the horizontal asymptote.

Domain intervals are ( – &infin, 0 ) ( 0, &infin ).

Intervals Teste
Pontos
Value
de
f (x)
Sign
de
f (x)
Gráfico
above
below
eixo x
( – &infin, 0 ) – 1 0 – 4 0 below
(0, & infin) 1 0 4 0 + above

f (x) =  4
––
x

f (– 1) =  4
–––
– 1
 = – 4

f (1) =  4
––
1
 = 4

domain of f (x) = ( – &infin, 0 ) &cup ( 0, &infin ) = range of f -1 (x)

range of f (x) = ( – &infin, 0 ) &cup ( 0, &infin ) = domain of f -1 (x)

    Inverse Function Equation

Using Test 1, we have

f (a) = f (b)

Therefore,  f (x) =  1
–––––
x + 2
 is 1-1 and has an inverse.

x ( y + 2 ) = 1
xy + 2x = 1
xy = – 2x + 1

domain of f (x) = ( – &infin, – 2 ) &cup ( – 2, &infin ) = range of f -1 (x)

range of f (x) = ( – &infin, 0 ) &cup ( 0, &infin ) = domain of f -1 (x)

    Inverse Function Equation

Using Test 1, we have

f (a) = f (b)

Therefore,  f (x) =  x + 2
–––––
x – 1
 is 1-1 and has an inverse.

x ( y – 1 ) = y + 2
xy – x = y + 2
xy – y = x + 2
y ( x – 1 ) = x + 2

x – 1 = 0
x = 1
is a vertical asymptote.

y = 1 is a horizontal asymptote.

Since the degree of the numerator is not one more than the degree of the denominator,
then there is no oblique asymptote.

f (0) =  0 + 2
–––––
0 – 1
 = – 2   is a y-intercept.

0 = x + 2
x = – 2 
 is an x-intercept.

x – 1 = x + 2
x – x = 1 + 2
0 &ne 3

Therefore, the graph does not intersect the horizontal asymptote.

Domain intervals are ( – &infin, – 2 ) ( – 2, 1 ) ( 1, &infin ).

Intervals Teste
Pontos
Value
de
f (x)
Sign
de
f (x)
Gráfico
above
below
eixo x
( – &infin, – 2 ) – 3 0 0.25 + above
( – 2, 1 ) – 1 0 – 0.5 0 below
( 1, &infin ) 2 0 4 .00 + above

f (x) =  x + 2
–––––
x – 1

f (– 3) =  – 3 + 2
–––––
– 3 – 1
 =   – 1
–––
– 4
 =   1
––
4

f (– 1) =  – 1 + 2
––––––
– 1 – 1
 = –  1
––
2

f (2) =  2 + 2
–––––
2 – 1
 =  4
––
1
 = 4

domain of f (x) = ( – &infin, 1 ) &cup ( 1, &infin ) = range of f -1 (x)

range of f (x) = ( – &infin, 1 ) &cup ( 1, &infin ) = domain of f -1 (x)

    Inverse Function Equation

Using Test 1, we have

f (a) = f (b)

– 3 a + 12
––––––––
a – 6
 =  – 3 b + 12
–––––––––
b – 6

Therefore,  f (x) =  – 3 x + 12
–––––––––
x – 6
 is 1-1 and has an inverse.

x ( y – 6 ) = – 3 y + 12
xy – 6 x = – 3 y + 12
xy + 3 y = 6 x + 12
y ( x + 3 ) = 6 x + 12

x – 6 = 0
x = 6 
  is a vertical asymptote.

Since the numerator and denominator have the same degree,
y = – 3  is a horizontal asymptote.

Since the degree of the numerator is not one more than the degree of the denominator,
then there is no oblique asymptote.

f (0) =  – 3 · 0 + 12
––––––––––
0 – 6
 =  12
–––
– 6
 = – 2   is a y-intercept.

0 = – 3 x + 12
3 x = 12
x = 4 
 is an x-intercept.

– 3 ( x – 6 ) = – 3 x + 12
– 3 x + 18 = – 3 x + 12
– 3 x + 3 x = 12 – 18
0 &ne – 6

Therefore, the graph does not intersect the horizontal asymptote.

Domain intervals are ( – &infin, 4 ) ( 4, 6 ) ( 6, &infin ).

Intervals Teste
Pontos
Value
de
f (x)
Sign
de
f (x)
Gráfico
above
below
eixo x
( – &infin, 4 ) 3 0 – 1 below
( 4, 6 ) 5 0 3 + above
( 6, &infin ) 7 0 – 9 below

f (x) =  – 3 x + 12
–––––––––
x – 6

f (3) =  – 3 · 3 + 12
––––––––––
3 – 6
 =  – 9 + 12
–––––––
– 3
 =  3
––––
– 3
 = – 1

f (5) =  – 3 · 5 + 12
––––––––––
5 – 6
 =  – 15 + 12
––––––––
– 1
 = 3

f (7) =  – 3 · 7 + 12
––––––––––
7 – 6
 =  – 21 + 12
––––––––
1
 = – 9

x + 3 = 0
x = – 3 
 is a vertical asymptote.

Since the numerator and denominator have the same degree,
y = 6  is a horizontal asymptote.

Since the degree of the numerator is not one more than the degree of the denominator,
then there is no oblique asymptote.

f -1 (0) =  6 · 0 + 12
––––––––
0 + 3
 =  12
–––
3
 = 4  is a y-intercept.

0 = 6 x + 12
6 x = – 12
x = – 2 
 is an x-intercept.

6 ( x + 3 ) = 6 x + 12
6 x + 18 = 6 x + 12
6 x – 6 x = 12 – 18
0 &ne – 6

Therefore, the graph does not intersect the horizontal asymptote.

Domain intervals are ( – &infin, – 3 ) ( – 3, – 2 ) ( – 2, &infin ).

Intervals Teste
Pontos
Value
de
f (x)
Sign
de
f (x)
Gráfico
above
below
eixo x
( – &infin, – 3 ) – 4 .0 12 0 + above
( – 3, – 2 ) – 2.5 – 6 0 below
(& # 150 2, & infin) – 1 .0 3 0 + above

f -1 (x) =  6 x + 12
–––––––
x + 3

f -1 (– 4) =  6 ( – 4 ) + 12
–––––––––––
– 4 + 3
 =  – 24 + 12
––––––––
– 1
 = 12

f -1 (– 2.5) =  6 ( – 2.5 ) + 12
––––––––––––
– 2.5 + 3
 =  – 15 + 12
––––––––
0.5
 = – 6

f -1 (– 1) =  6 ( – 1 ) + 12
–––––––––––
– 1 + 3
 =  – 6 + 12
–––––––
2
 = 3

domain of f (x) = ( – &infin, 6 ) &cup ( 6, &infin ) = range of f -1 (x)

range of f (x) = ( – &infin, – 3 ) &cup ( – 3, &infin ) = domain of f -1 (x)

    Inverse Function Equation

Using Test 1, we have

f (a) = f (b)

Therefore, f (x) = – &radic  x 2 – 16  é 1-1 and has an inverse.

x 2 = ( – &radic  y 2 – 16  ) 2
x 2 = y 2 – 16
y 2 = x 2 + 16
y = &radic  x 2 + 16 

domain of f (x) = [ 4, &infin ) = range of f -1 (x)

range of f (x) = ( – &infin, 0 ] = domain of f -1 (x)

A função f (x) = 2 x – 9 was used to encode a message as

Find the inverse function and determine the message.

using the 1-1 função f (x) = ( x + 1 ) 3 .
Give the inverse function that the decoder will need when the message is received.

f (19) = ( 19 + 1 ) 3 = 20 3 = 8000

f (1) = ( 1 + 1 ) 3 = 2 3 = 8

f (9) = ( 9 + 1 ) 3 = 10 3 = 1000

f (12) = ( 12 + 1 ) 3 = 13 3 = 2197

f (15) = ( 15 + 1 ) 3 = 16 3 = 4096

f (18) = ( 18 + 1 ) 3 = 19 3 = 6859

f (2) = ( 2 + 1 ) 3 = 3 3 = 27

f (5) = ( 5 + 1 ) 3 = 6 3 = 216

f (23) = ( 23 + 1 ) 3 = 24 3 = 13,824

Mensagem S UMA eu L O R   B E C UMA R E
X 19 1 9 12 15 18 2 5 23 1 18 5
Código 8000 8 1000 2197 4096 6859 27 216 13824 8 6859 216

Source of exercise problems for the examples:   College Algebra and Trigonometry by Lial, Hornsey, Schneider, Daniels, Fifth Edition, Section 4.1, pp. 393-397


4.8: Inverse Functions

Inverse Functions: Definition of "Inverse" /
Drawing the Inverse from a Graph
(page 1 of 7)

Your textbook's coverage of inverse functions probably came in two parts. The first part had lots of curly-braces and lists of points the second part has lots of " y= " or " f(x)= " functions that you have to find the inverses for, if possible. The first part will show up in your homework and maybe on a test the second part will definitely show up on your test, and you might even use it in later classes.

The inverse of a function has all the same points as the original function, except that the x 's and y 's have been reversed. This is what they were trying to explain with their sets of points. For instance, supposing your function is made up of these points: < (1, 0), ( 3, 5), (0, 4) >. Then the inverse is given by this set of point: < (0, 1), (5, 3), (4, 0) >. (Note that the order of the points doesn't matter you can rearrange the points so the x 's are "in order", or not. It's your choice.)

Once you've found the inverse of a function, the question then becomes: "Is this inverse also a function?" Using the set of points from above, the function above graphs like this:

You know that this is a function (and you can check quickly by using the Vertical Line Test ): you don't have two different points that share the same x -value. The inverse graph is the blue dots below:

Since the blue dots (the points of the inverse) don't have any two points sharing an x -value, this inverse is also a function.

Finding the inverse from a graph

Your textbook probably went on at length about how the inverse is "a reflection in the line y = x & quot. What it was trying to say was that you could take your function, draw the line y = x (which is the bottom-left to top-right diagonal), put a two-sided mirror on this line, and you could "see" the inverse reflected in the mirror. Practically speaking, this "reflection" property can help you draw the inverse:

Draw the points and the reflection line:

Reflect the points across the line:

You can see on this last picture that there is a definite graphical relationship between the points of the function and the points of the inverse. You can use this relationship if you're given a random graph and are told to graph the inverse. Copyright Elizabeth Stapel 2000-2011 All Rights Reserved

Suppose you are given this graph:

Note that I have NOT told you what the function is!

Now draw the reflection line:

(It would be a good idea to use a ruler for this you'll want to be neat!).

Now eyeball the graph, and draw the diagonals from known points on the graph to their "reflections" on the other side of the line:

Note that the points actually ON the line y = x don't move that is, where the function crosses the diagonal, the inverse will cross, too.

Now draw in some plot-points:

Without ever knowing what the function was, you can draw the inverse (the purple line).


Finding and Evaluating Inverse Functions

Once we have a one-to-one function, we can evaluate its inverse at specific inverse function inputs or construct a complete representation of the inverse function in many cases.

Inverting Tabular Functions

Suppose we want to find the inverse of a function represented in table form. Remember that the domain of a function is the range of the inverse and the range of the function is the domain of the inverse. So we need to interchange the domain and range.

Each row (or column) of inputs becomes the row (or column) of outputs for the inverse function. Similarly, each row (or column) of outputs becomes the row (or column) of inputs for the inverse function.

Exemplo 5

Problema 1
Interpreting the Inverse of a Tabular Function

A function f ( t ) f ( t ) is given in Table 4 , showing distance in miles that a car has traveled in t t minutes. Find and interpret f − 1 ( 70 ) . f − 1 ( 70 ) .

Solução

The inverse function takes an output of f f and returns an input for f . f . So in the expression f − 1 ( 70 ) , f − 1 ( 70 ) , 70 is an output value of the original function, representing 70 miles. The inverse will return the corresponding input of the original function f , f , 90 minutes, so f − 1 ( 70 ) = 90. f − 1 ( 70 ) = 90. The interpretation of this is that, to drive 70 miles, it took 90 minutes.

Alternatively, recall that the definition of the inverse was that if f ( a ) = b , f ( a ) = b , then f − 1 ( b ) = a . f − 1 ( b ) = a . By this definition, if we are given f − 1 ( 70 ) = a , f − 1 ( 70 ) = a , then we are looking for a value a a so that f ( a ) = 70. f ( a ) = 70. In this case, we are looking for a t t so that f ( t ) = 70 , f ( t ) = 70 , which is when t = 90. t = 90.


Assista o vídeo: Składanie funkcji - funkcje odwrotne - sprawdzanie przez złożenie (Dezembro 2021).