Artigos

11.2: Vetores tangentes como números complexos - Matemática


Nas aulas anteriores, você usou curvas parametrizadas ( gamma (t) = (x (t), y (t)) ) no plano (xy ). Considerado desta forma, o vetor tangente é apenas a derivada:

[ gamma '(t) = (x' (t), y '(t)). ]

Observe, como um vetor, ((x ', y') ) representa um deslocamento. Se o vetor começa na origem, o ponto final está em ((x ', y') ). Normalmente, desenhamos o vetor começando no ponto ( gamma (t) ).

Você também pode usar curvas parametrizadas anteriormente ( gamma (t) = x (t) + iy (t) ) no plano complexo. Considerado desta forma, o vetor tangente é apenas a derivada:

[ gamma '(t) = x' (t) + iy '(t). ]

Deve ficar claro que essas representações são equivalentes. O vetor ((x ', y') ) e o número complexo (x '+ iy' ) representam o mesmo deslocamento. Além disso, o comprimento de um vetor e o ângulo entre dois vetores são os mesmos em ambas as representações.

Pensar em vetores tangentes a curvas como números complexos nos permite reformular a conformalidade em termos de números complexos.

Teorema ( PageIndex {1} )

Se (f (z) ) é conforme em (z_0 ), então há um número complexo (c = ae ^ {i phi} ) tal que o mapa (f ) multiplica vetores tangentes em (z_0 ) por (c ). Por outro lado, se o mapa (f ) multiplica todos os vetores tangentes em (z_0 ) por (c = ae ^ {i phi} ) então (f ) é conforme em (z_0 ).

Prova

Por definição (f ) é conforme em (z_0 ) significa que existe um ângulo ( phi ) e um escalar (a> 0 ) tal que o mapa (f ) gira vetores tangentes em (z_0 ) por ( phi ) e dimensiona-os por (a ). Este é exatamente o efeito da multiplicação por (c = ae ^ {i phi} ).


Assista o vídeo: Números Complexos - Interpretação Geométrica (Novembro 2021).