Artigos

P.2: Revisão - expoentes de números inteiros


Usando a regra de produto dos expoentes

Considere o produto (x ^ 3 vezes x ^ 4 ). Ambos os termos têm a mesma base, (x ), mas são elevados a expoentes diferentes. Expanda cada expressão e reescreva a expressão resultante.

[ begin {align *} x ^ 3 times x ^ 4 & = overbrace {x times x times x} ^ { text {3 fatores}} times overbrace {x times x times x vezes x} ^ { text {4 fatores}} [4pt] & = overbrace {x vezes x vezes x vezes x vezes x vezes x vezes x} ^ { text {7 fatores }} [4pt] & = x ^ 7 end {align *} ]

Observe que o expoente de um produto é a soma dos expoentes dos dois fatores. Em outras palavras, ao multiplicar expressões exponenciais com a mesma base, escrevemos o resultado com a base comum e adicionamos os expoentes. Esta é a regra de produto dos expoentes.

[x ^ 3 vezes x ^ 4 = x ^ {3 + 4} = x ^ 7 não numérico ]

Agora considere um exemplo com números reais.

(2 ^ 3 times2 ^ 4 = 2 ^ {3 + 4} = 2 ^ 7 )

Sempre podemos verificar se isso é verdade, simplificando cada expressão exponencial. Descobrimos que (2 ^ 3 ) é (8 ), (2 ^ 4 ) é (16 ) e (2 ^ 7 ) é (128 ). O produto (8 times16 ) é igual a (128 ), então a relação é verdadeira. Podemos usar a regra de produto de expoentes para simplificar expressões que são produto de dois números ou expressões com a mesma base, mas expoentes diferentes.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Usando a regra do produto

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique mais.

  1. (t ^ 5 vezes t ^ 3 )
  2. ((- 3) ^ 5 vezes (−3) )
  3. (x ^ 2 vezes x ^ 5 vezes x ^ 3 )

Solução

Use a regra do produto (Equação ref {prod}) para simplificar cada expressão.

  1. (t ^ 5 vezes t ^ 3 = t ^ {5 + 3} = t ^ 8 )
  2. ((- 3) ^ 5 times (−3) = (- 3) ^ 5 times (−3) ^ 1 = (- 3) ^ {5 + 1} = (- 3) ^ 6 )
  3. (x ^ 2 vezes x ^ 5 vezes x ^ 3 )

À primeira vista, pode parecer que não podemos simplificar um produto de três fatores. No entanto, usando a propriedade associativa da multiplicação, comece simplificando as duas primeiras.

[x ^ 2 vezes x ^ 5 vezes x ^ 3 = (x ^ 2 vezes x ^ 5) vezes x ^ 3 = (x ^ {2 + 5}) vezes x ^ 3 = x ^ 7 times x ^ 3 = x ^ {7 + 3} = x ^ {10} nonumber ]

Observe que obtemos o mesmo resultado adicionando os três expoentes em uma etapa.

[x ^ 2 vezes x ^ 5 vezes x ^ 3 = x ^ {2 + 5 + 3} = x ^ {10} não numérico ]

Experimente ( PageIndex {1} )

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique mais.

  1. (k ^ 6 vezes k ^ 9 )
  2. ( left ( dfrac {2} {y} right) ^ 4 times left ( dfrac {2} {y} right) )
  3. (t ^ 3 vezes t ^ 6 vezes t ^ 5 )
Respostas

uma. (k ^ {15} ) ( qquad ) b. ( left ( dfrac {2} {y} right) ^ 5 ) ( qquad ) c. (t ^ {14} )

Usando a regra de potência dos expoentes

Suponha que uma expressão exponencial seja elevada a alguma potência. Podemos simplificar o resultado? sim. Para fazer isso, usamos a regra de potência dos expoentes. Considere a expressão ((x ^ 2) ^ 3 ). A expressão entre parênteses é multiplicada duas vezes porque tem um expoente de (2 ). Em seguida, o resultado é multiplicado três vezes porque a expressão inteira tem um expoente de (3 ).

[ begin {align *} (x ^ 2) ^ 3 & = (x ^ 2) times (x ^ 2) times (x ^ 2) & = x times x times x times x times x times x & = x ^ 6 end {alinhar *} ]

O expoente da resposta é o produto dos expoentes. Em outras palavras, ao elevar uma expressão exponencial a uma potência, escrevemos o resultado com a base comum e multiplicamos os expoentes.

[(x ^ 2) ^ 3 = x ^ {2⋅3} = x ^ 6 não numérico ]

Tenha o cuidado de distinguir entre os usos da regra do produto e da regra de potência. Ao usar a regra do produto, diferentes termos com as mesmas bases são elevados a expoentes. Nesse caso, você adiciona os expoentes. Ao usar a regra de potência, um termo em notação exponencial é elevado a uma potência. Nesse caso, você multiplica os expoentes.

Regra do produtoRegra de poder
(5 ^ 3 times5 ^ 4 = 5 ^ {3 + 4} = 5 ^ 7 ) ((5 ^ 3) ^ 4 = 5 ^ {3 times4} = 5 ^ {12} )
(x ^ 5 vezes x ^ 2 = x ^ {5 + 2} = x ^ 7 ) ((x ^ 5) ^ 2 = x ^ {5 times2} = x ^ {10} )
((3a) ^ 7 vezes (3a) ^ {10} = (3a) ^ {7 + 10} = (3a) ^ {17} ) (((3a) ^ 7) ^ {10} = (3a) ^ {7 times10} = (3a) ^ {70} )

Exemplo ( PageIndex {2} ): Usando a regra de potência

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique mais.

  1. ((x ^ 2) ^ 7 )
  2. (((2t) ^ 5) ^ 3 )
  3. (((−3)^5)^{11})

Solução

Use a regra de potência (Equação ref {potência}) para simplificar cada expressão.

  1. ((x ^ 2) ^ 7 = x ^ {2⋅7} = x ^ {14} )
  2. (((2t) ^ 5) ^ 3 = (2t) ^ {5⋅3} = (2t) ^ {15} )
  3. (((−3)^5)^{11}=(−3)^{5⋅11}=(−3)^{55})

Experimente ( PageIndex {2} )

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique mais.

  1. (((3y) ^ 8) ^ 3 )
  2. ((t ^ 5) ^ 7 )
  3. (((- g) ^ 4) ^ 4 )
Respostas

uma. ((3y) ^ {24} ) ( qquad ) b. (t ^ {35} ) ( qquad ) c. ((- g) ^ {16} )

Usando a regra do quociente dos expoentes

A regra de quociente de expoentes nos permite simplificar uma expressão que divide dois números com a mesma base, mas expoentes diferentes. De maneira semelhante à regra do produto, podemos simplificar uma expressão como ( dfrac {y ^ m} {y ^ n} ). Considere o exemplo ( dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} ). Realize a divisão cancelando fatores comuns.

[ begin {align *} dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} & = dfrac {y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y } {y cdot y cdot y cdot y cdot y} & = dfrac {y cdot y cdot y cdot y} {1} & = y ^ 4 end {alinhar *} ]

Observe que o expoente do quociente é a diferença entre os expoentes do divisor e do dividendo. Em outras palavras, ao dividir expressões exponenciais com a mesma base, escrevemos o resultado com a base comum e subtraímos os expoentes.

( dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} = y ^ {9−5} = y ^ 4 )

Exemplo ( PageIndex {3} ): Usando a Regra do Quociente

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique mais.

  1. ( dfrac {(- 2) ^ {14}} {(- 2) ^ {9}} )
  2. ( dfrac {t ^ {23}} {t ^ {15}} )
  3. ( dfrac {(z sqrt {2}) ^ 5} {z sqrt {2}} )

Solução

Use a regra de quociente (Equação ref {quot}) para simplificar cada expressão.

  1. ( dfrac {(- 2) ^ {14}} {(- 2) ^ {9}} = (- 2) ^ {14−9} = (- 2) ^ 5 )
  2. ( dfrac {t ^ {23}} {t ^ {15}} = t ^ {23−15} = t ^ 8 )
  3. ( dfrac {(z sqrt {2}) ^ 5} {z sqrt {2}} = (z sqrt {2}) ^ {5−1} = (z sqrt {2}) ^ 4 )

Experimente ( PageIndex {3} )

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique mais.

  1. ( dfrac {s ^ {75}} {s ^ {68}} )
  2. ( dfrac {(- 3) ^ 6} {- 3} )
  3. ( dfrac {(ef ^ 2) ^ 5} {(ef ^ 2) ^ 3} )
Respostas

uma. (s ^ 7 ) ( qquad ) b. ((- 3) ^ 5 ) ( qquad ) c. ((ef ^ 2) ^ 2 )

Usando a regra do expoente zero dos expoentes

O que aconteceria se a Regra do Quociente fosse usada e (m = n )? Considere o exemplo.

[ dfrac {t ^ 8} {t ^ 8} = 1 qquad text {porque um número dividido por si mesmo é 1} nonumber ]

Se tivéssemos que simplificar a expressão usando a regra de quociente, teríamos

[ dfrac {t ^ 8} {t ^ 8} = t ^ {8−8} = t ^ 0 não numérico ]

Se igualarmos as duas respostas, o resultado é (t ^ 0 = 1 ). Isso é verdadeiro para qualquer número real diferente de zero ou qualquer variável que represente um número real. A única exceção é a expressão (0 ^ 0 ), cujo valor é indefinido.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Usando a Regra do Expoente Zero

Simplifique cada expressão usando a regra do expoente zero dos expoentes.

  1. ( dfrac {c ^ 3} {c ^ 3} )
  2. ( dfrac {-3x ^ 5} {x ^ 5} )
  3. ( dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) vezes (j ^ 2k) ^ 3} )
  4. ( dfrac {5 (rs ^ 2) ^ 2} {(rs ^ 2) ^ 2} )

Solução

Use o expoente zero e outras regras para simplificar cada expressão.

uma. [ begin {align *} dfrac {c ^ 3} {c ^ 3} & = c ^ {3-3} & = c ^ 0 & = 1 end {align *} ]

b. [ begin {align *} dfrac {-3x ^ 5} {x ^ 5} & = -3 times dfrac {x ^ 5} {x ^ 5} & = -3 times x ^ { 5-5} & = -3 times x ^ 0 & = -3 times 1 & = -3 end {alinhar *} ]

c. [ begin {align *} dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) times (j ^ 2k) ^ 3} & = dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {( j ^ 2k) ^ {1 + 3}} && text {Use a regra do produto no denominador} & = dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) ^ 4} && text {Simplifique} & = (j ^ 2k) ^ {4-4} && text {Use a regra de quociente} & = (j ^ 2k) ^ 0 && text {Simplifique} & = 1 fim {alinhar *} ]

d. [ begin {align *} dfrac {5 (rs ^ 2) ^ 2} {(rs ^ 2) ^ 2} & = 5 (rs ^ 2) ^ {2-2} && text {Use o quociente regra} & = 5 (rs ^ 2) ^ 0 && text {Simplifique} & = 5 times1 && text {Use a regra do expoente zero} & = 5 && text {Simplifique} end {alinhar*}]

Experimente ( PageIndex {4} )

Simplifique cada expressão usando a regra do expoente zero dos expoentes.

  1. ( dfrac {t ^ 7} {t ^ 7} )
  2. ( dfrac {(de ^ 2) ^ {11}} {2 (de ^ 2) ^ {11}} )
  3. ( dfrac {w ^ 4 vezes w ^ 2} {w ^ 6} )
  4. ( dfrac {t ^ 3 vezes t ^ 4} {t ^ 2 vezes t ^ 5} )
Respostas

uma. (1 ) ( qquad ) b. ( dfrac {1} {2} ) ( qquad ) c. (1 ) ( qquad ) d. (1 )

Usando a regra negativa dos expoentes

Considere a situação em que uma expressão exponencial é dividida por outra expressão exponencial com um expoente maior. Por exemplo, ( dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} ).

[ begin {align *} dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} & = dfrac {t times t times t} {t times t times t times t times t} & = dfrac {1} {t times t} & = dfrac {1} {t ^ 2} end {align *} ]

Se tivéssemos de simplificar a expressão original usando a regra de quociente, teríamos

[ begin {align *} dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} & = t ^ {3-5} & = t ^ {- 2} end {align *} ]

Juntando as respostas, temos (t ^ {- 2} = dfrac {1} {t ^ 2} ). Isso é verdadeiro para qualquer número real diferente de zero (t ).

Em geral, um fator com um expoente negativo torna-se o mesmo fator com um expoente positivo se for movido pela barra de fração - do numerador para o denominador ou vice-versa.

(a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} ) e (a ^ n = dfrac {1} {a ^ {- n}} )

Mostramos que a expressão exponencial (a ^ n ) é definida quando (n ) é um número natural, (0 ), ou o negativo de um número natural. Isso significa que (a ^ n ) é definido para qualquer inteiro (n ). Além disso, as regras de produto e quociente e todas as regras que veremos em breve valem para qualquer número inteiro (n ).

Exemplo ( PageIndex {5} ): Usando a regra do expoente negativo

Escreva cada um dos seguintes quocientes com uma única base. Não simplifique mais. Escreva respostas com expoentes positivos.

  1. ( dfrac { theta ^ 3} { theta ^ {10}} )
  2. ( dfrac {z ^ 2 times z} {z ^ 4} )
  3. ( dfrac {(- 5t ^ 3) ^ 4} {(- 5t ^ 3) ^ 8} )

Solução

  1. ( dfrac { theta ^ 3} { theta ^ {10}} = theta ^ {3-10} = theta ^ {- 7} = dfrac {1} { theta ^ 7} )
  2. ( dfrac {z ^ 2 times z} {z ^ 4} = dfrac {z ^ {2 + 1}} {z ^ 4} = dfrac {z ^ 3} {z ^ 4} = z ^ {3-4} = z ^ {- 1} = dfrac {1} {z} )
  3. ( dfrac {(- 5t ^ 3) ^ 4} {(- 5t ^ 3) ^ 8} = (- 5t ^ 3) ^ {4-8} = (- 5t ^ 3) ^ {- 4} = dfrac {1} {(- 5t ^ 3) ^ 4} )

Experimente ( PageIndex {5} )

Escreva cada um dos seguintes quocientes com uma única base. Escreva respostas com expoentes positivos.

  1. ( dfrac {(- 3t) ^ 2} {(- 3t) ^ 8} )
  2. ( dfrac {f ^ {47}} {f ^ {49} vezes f} )
  3. ( dfrac {2k ^ 4} {5k ^ 7} )
Respostas

uma. ( dfrac {1} {(- 3t) ^ 6} ) ( qquad ) b. ( dfrac {1} {f ^ 3} ) ( qquad ) c. ( dfrac {2} {5k ^ 3} )

Exemplo ( PageIndex {6} ): Usando o Produto e as Regras de Quociente

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Escreva respostas com expoentes positivos.

  1. (b ^ 2 vezes b ^ {- 8} )
  2. ((- x) ^ 5 vezes (-x) ^ {- 5} )
  3. ( dfrac {-7z} {(- 7z) ^ 5} )

Solução

  1. (b ^ 2 times b ^ {- 8} = b ^ {2 : + : -8} = b ^ {- 6} = dfrac {1} {b ^ 6} )
  2. ((- x) ^ 5 times (-x) ^ {- 5} = (- x) ^ {5 : + : - 5} = (- x) ^ 0 = 1 )
  3. ( dfrac {-7z} {(- 7z) ^ 5} = dfrac {(- 7z) ^ 1} {(- 7z) ^ 5} = (- 7z) ^ {1 : - : 5} = (- 7z) ^ {- 4} = dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} )

Experimente ( PageIndex {6} )

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Escreva respostas com expoentes positivos.

  1. (t ^ {- 11} vezes t ^ 6 )
  2. ( dfrac {25 ^ {12}} {25 ^ {13}} )
Respostas

uma. (t ^ {- 5} = dfrac {1} {t ^ 5} ) ( qquad ) b. ( dfrac {1} {25} )

Encontrando o Poder de um Produto

Para simplificar a potência de um produto de duas expressões exponenciais, podemos usar a potência de uma regra de produto de expoentes, que divide a potência de um produto de fatores no produto das potências dos fatores. Por exemplo, considere ((pq) ^ 3 ). Começamos usando as propriedades associativas e comutativas da multiplicação para reagrupar os fatores.

[ begin {align *} (pq) ^ 3 & = (pq) times (pq) times (pq) & = p times q times p times q times p times q & = p ^ 3 vezes q ^ 3 end {alinhar *} ]

Em outras palavras, ((pq) ^ 3 = p ^ 3 vezes q ^ 3 ).

O PODER DE UMA REGRA DE EXPONENTES DO PRODUTO

[(ab) ^ n = a ^ nb ^ n ]

Exemplo ( PageIndex {7} ): Usando o poder de uma regra de produto

Simplifique cada um dos produtos a seguir tanto quanto possível usando o poder de uma regra de produto. Escreva respostas com expoentes positivos.

  1. ((ab ^ 2) ^ 3 )
  2. ((2t) ^ {15} )
  3. ((- 2w ^ 3) ^ 3 )
  4. ( dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} )
  5. ((e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 )

Solução

Use as regras de produto e quociente e as novas definições para simplificar cada expressão.

uma. ((ab ^ 2) ^ 3 = (a) ^ 3 times (b ^ 2) ^ 3 = a ^ {1 times3} times b ^ {2 times3} = a ^ 3b ^ 6 )

b. ((2t) ^ {15} = (2) ^ {15} vezes (t) ^ {15} = 2 ^ {15} t ^ {15} = 32.768t ^ {15} )

c. ((- 2w ^ 3) ^ 3 = (- 2) ^ 3 vezes (w ^ 3) ^ 3 = −8 vezes w ^ {3 times3} = - 8w ^ 9 )

d. ( dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} = dfrac {1} {(- 7) ^ 4 vezes (z) ^ 4} = dfrac {1} {2401z ^ 4} )

e. ((e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 = (e ^ {- 2}) ^ 7 vezes (f ^ 2) ^ 7 = e ^ {- 2 vezes7} vezes f ^ {2 times7} = e ^ {- 14} f ^ {14} = dfrac {f ^ {14}} {e ^ {14}} )

Experimente ( PageIndex {7} )

Simplifique cada um dos produtos a seguir tanto quanto possível usando o poder de uma regra de produto. Escreva respostas com expoentes positivos.

  1. ((g ^ 2h ^ 3) ^ 5 )
  2. ((5t) ^ 3 )
  3. ((- 3y ^ 5) ^ 3 )
  4. ( dfrac {1} {(a ^ 6b ^ 7) ^ 3} )
  5. ((r ^ 3s ^ {- 2}) ^ 4 )
Respostas

uma. (g ^ {10} h ^ {15} ) ( qquad ) b. (125t ^ 3 ) ( qquad ) c. (- 27y ^ {15} ) ( qquad ) d. ( dfrac {1} {a ^ {18} b ^ {21}} ) ( qquad ) e. ( dfrac {r ^ {12}} {s ^ 8} )

Encontrando o Poder de um Quociente

Para simplificar a potência de um quociente de duas expressões, considere a expressão abaixo.

( left ( dfrac {2} {x} right) ^ 3 = dfrac {2} {x} cdot dfrac {2} {x} cdot dfrac {2} {x} = dfrac {2 cdot 2 cdot 2} {x cdot x cdot x} = dfrac {2 ^ 3} {x ^ 3} )

Assim, em geral, a potência de um quociente de fatores é o quociente das potências dos fatores.

[ left ( dfrac {a} {b} right) ^ n = dfrac {a ^ n} {b ^ n} ]

Exemplo ( PageIndex {8} ): Usando o Poder de uma Regra de Quociente

Simplifique cada um dos seguintes quocientes tanto quanto possível usando a potência de uma regra de quociente. Escreva respostas com expoentes positivos.

  1. ( left ( dfrac {4} {z ^ {11}} right) ^ 3 )
  2. ( left ( dfrac {p} {q ^ 3} right) ^ 6 )
  3. ( left ( dfrac {-1} {t ^ 2} right) ^ {27} )
  4. ((j ^ 3k ^ {- 2}) ^ 4 )
  5. ((m ^ {- 2} n ^ {- 2}) ^ 3 )

Solução

uma. ( left ( dfrac {4} {z ^ {11}} right) ^ 3 = dfrac {(4) ^ 3} {(z ^ {11}) ^ 3} = dfrac {64} { z ^ {11 times3}} = dfrac {64} {z ^ {33}} )

b. ( left ( dfrac {p} {q ^ 3} right) ^ 6 = dfrac {(p) ^ 6} {(q ^ 3) ^ 6} = dfrac {p ^ {1 times6} } {q ^ {3 times6}} = dfrac {p ^ 6} {q ^ {18}} )

c. ( left ( dfrac {-1} {t ^ 2} right) ^ {27} = dfrac {(- 1) ^ {27}} {(t ^ 2) ^ {27}} = dfrac {-1} {t ^ {2 times27}} = dfrac {-1} {t ^ {54}} = - dfrac {1} {t ^ {54}} )

d. ((j ^ 3k ^ {- 2}) ^ 4 = left ( dfrac {j ^ 3} {k ^ 2} right) ^ 4 = dfrac {(j ^ 3) ^ 4} {(k ^ 2) ^ 4} = dfrac {j ^ {3 times4}} {k ^ {2 times4}} = dfrac {j ^ {12}} {k ^ 8} )

e. ((m ^ {- 2} n ^ {- 2}) ^ 3 = left ( dfrac {1} {m ^ 2n ^ 2} right) ^ 3 = dfrac {(1) ^ 3} { (m ^ 2n ^ 2) ^ 3} = dfrac {1} {(m ^ 2) ^ 3 (n ^ 2) ^ 3} = dfrac {1} {m ^ {2 times3} n ^ {2 times3}} = dfrac {1} {m ^ 6n ^ 6} )

Experimente ( PageIndex {8} )

Simplifique cada um dos seguintes quocientes tanto quanto possível usando a potência de uma regra de quociente. Escreva respostas com expoentes positivos.

  1. ( left ( dfrac {b ^ 5} {c} right) ^ 3 )
  2. ( left ( dfrac {5} {u ^ 8} right) ^ 4 )
  3. ( left ( dfrac {-1} {w ^ 3} right) ^ {35} )
  4. ((p ^ {- 4} q ^ 3) ^ 8 )
  5. ((c ^ {- 5} d ^ {- 3}) ^ 4 )
Respostas

uma. ( dfrac {b ^ {15}} {c ^ 3} ) ( qquad ) b. ( dfrac {625} {u ^ {32}} ) ( qquad ) c. ( dfrac {-1} {w ^ {105}} ) ( qquad ) d. ( dfrac {q ^ {24}} {p ^ {32}} ) ( qquad ) e. ( dfrac {1} {c ^ {20} d ^ {12}} )

Simplificando Expressões Exponenciais

Lembre-se de que simplificar uma expressão significa reescrevê-la combinando termos ou expoentes; em outras palavras, para escrever a expressão de forma mais simples, com menos termos. As regras para expoentes podem ser combinadas para simplificar as expressões.

Exemplo ( PageIndex {9} ): Simplificando Expressões Exponenciais

Simplifique cada expressão e escreva a resposta apenas com expoentes positivos.

  1. ((6m ^ 2n ^ {- 1}) ^ 3 )
  2. (17 ^ 5 times17 ^ {- 4} times17 ^ {- 3} )
  3. ( left ( dfrac {u ^ {- 1} v} {v ^ {- 1}} right) ^ 2 )
  4. ((- 2a ^ 3b ^ {- 1}) (5a ^ {- 2} b ^ 2) )
  5. ((x ^ 2 sqrt {2}) ^ 4 (x ^ 2 sqrt {2}) ^ {- 4} )
  6. ( dfrac {(3w ^ 2) ^ 5} {(6w ^ {- 2}) ^ 2} )

Solução

uma. [ begin {align *} (6m ^ 2n ^ {- 1}) ^ 3 & = (6) ^ 3 (m ^ 2) ^ 3 (n ^ {- 1}) ^ 3 && text {O poder de uma regra de produto} & = 6 ^ 3m ^ {2 times3} n ^ {- 1 times3} && text {A regra de potência} & = 216m ^ 6n ^ {- 3} && text { A regra de potência} & = dfrac {216m ^ 6} {n ^ 3} && text {A regra do expoente negativo} end {align *} ]

b. [ begin {align *} 17 ^ 5 times17 ^ {- 4} times17 ^ {- 3} & = 17 ^ {5 + (- 4) + (- 3)} && text {A regra do produto} & = 17 ^ {- 2} && text {Simplifique} & = dfrac {1} {17 ^ 2} text {ou} dfrac {1} {289} && text {O expoente negativo regra} end {alinhar *} ]

Para evitar cometer erros ao subtrair números negativos, é mais fácil aplicar a Regra do Expoente Negativo antes da Regra do Quociente. Ambas as abordagens são ilustradas abaixo.

c. [ begin {align *} left ( dfrac {u ^ {- 1} v} {v ^ {- 1}} right) ^ 2
& = dfrac {(u ^ {- 1} v) ^ 2} {(v ^ {- 1}) ^ 2} && text {O poder de uma regra de quociente}
& = dfrac {u ^ {- 2} v ^ 2} {v ^ {- 2}} && text {O poder de uma regra de produto}
end {align *} ]

( begin {array} {ll | ll}
= u ^ {- 2} v ^ {2 - (- 2)} & text {Regra de quociente} & = dfrac {v ^ 2 { color {Cerúleo} {v ^ 2}}} { color {Cerúleo } {u ^ 2}} & text {Regra do expoente negativo}
= u ^ {- 2} v ^ 4 & text {Simplifique} & = dfrac {v ^ {2 + 2}} {u ^ 2} & text {Regra do produto}
= dfrac {v ^ 4} {u ^ 2} & text {Regra do expoente negativo} & = dfrac {v ^ 4} {u ^ 2} & text {Simplifique}
end {array} )

d. [ begin {align *} left (-2a ^ 3b ^ {- 1} right) left (5a ^ {- 2} b ^ 2 right)
& = -2 cdot a ^ 3 cdot b ^ {- 1} cdot 5 cdot a ^ {- 2} cdot b ^ 2 && text {Lei associativa da multiplicação}
& = -2 cdot 5 cdot a ^ 3 cdot a ^ {- 2} cdot b ^ {- 1} cdot b ^ 2 && text {Lei comutativa da multiplicação}
& = (-2 cdot 5) cdot (a ^ 3 cdot a ^ {- 2}) cdot (b ^ {- 1} cdot b ^ 2) && text {Lei associativa da multiplicação}
& = -10 vezes a ^ {3 + (- 2)} vezes b ^ {- 1 + 2} && text {A regra do produto}
& = -10ab && text {Simplificar} end {alinhar *} ]

e. [ begin {align *} left (x ^ 2 sqrt {2}) ^ 4 (x ^ 2 sqrt {2} right) ^ {- 4} & = left (x ^ 2 sqrt { 2} right) ^ {4-4} && text {A regra do produto} & = left (x ^ 2 sqrt {2} right) ^ 0 && text {Simplifique} & = 1 && text {A regra do expoente zero} end {alinhar *} ]

f. [ begin {align *} dfrac {(3w ^ 2) ^ 5} {(6w ^ {- 2}) ^ 2}
& = dfrac {(3) ^ 5 times (w ^ 2) ^ 5} {(6) ^ 2 times (w ^ {- 2}) ^ 2} && text {O poder de uma regra de produto}
& = dfrac {3 ^ 5w ^ {2 times5}} {6 ^ 2w ^ {- 2 times2}} && text {A regra de potência}
& = dfrac {243w ^ {10}} {36w ^ {- 4}} && text {Simplifique}
& = dfrac {243w ^ {10} w ^ 4} {36} && text {Regra do expoente negativo}
& = dfrac {243w ^ {10 + 4}} {36} && text {A regra do produto}
& = dfrac {27w ^ {14}} {4} && text {Reduzir fração} end {alinhar *} ]

Experimente ( PageIndex {9x} )

Simplifique cada uma das seguintes expressões exponenciais. Escreva respostas com expoentes positivos.

  1. ((2uv ^ {- 2}) ^ {- 3} )
  2. (x ^ 8 cdot c ^ {- 12} cdot x )
  3. ( Grande ( dfrac {e ^ 2f ^ {- 3}} {f ^ {- 1}} Grande) ^ 2 )
  4. ((9r ^ {- 5} s ^ 3) (3r ^ 6s ^ {- 4}) )
  5. (( frac {4} {9} tw ^ {- 2}) ^ {- 3} ( frac {4} {9} tw ^ {- 2}) ^ 3 )
  6. ( dfrac {(2h ^ 2k) ^ 4} {(7h ^ {- 1} k ^ 2) ^ 2} )
Respostas

uma. ( dfrac {v ^ 6} {8u ^ 3} ) ( qquad ) b. ( dfrac {x ^ 9} {c ^ 12} ) ( qquad ) c. ( dfrac {e ^ 4} {f ^ 4} ) ( qquad ) d. ( dfrac {27r} {s} ) ( qquad ) e. (1 ) ( qquad ) f. ( dfrac {8h ^ {16}} {49} )

Equações Chave

Regras de expoentes Para números reais diferentes de zero aeb e inteiros m e n
Regra do produto (a ^ m⋅a ^ n = a ^ {m + n} )
Regra do quociente ( dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n} )
Regra de poder ((a ^ m) ^ n = a ^ {m⋅n} )
Regra de expoente zero (a ^ 0 = 1 )
Regra negativa (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} )
Poder de uma regra de produto ((a⋅b) ^ n = a ^ n⋅b ^ n )
Poder de uma regra de quociente ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ n = dfrac {a ^ n} {b ^ n} )

Conceitos chave

  • Produtos de expressões exponenciais com a mesma base podem ser simplificados adicionando expoentes.
  • Quocientes de expressões exponenciais com a mesma base podem ser simplificados subtraindo expoentes.
  • Potências de expressões exponenciais com a mesma base podem ser simplificadas multiplicando expoentes.
  • Uma expressão com expoente zero é definida como 1.
  • Uma expressão com expoente negativo é definida como recíproca.
  • A potência de um produto de fatores é igual ao produto das potências dos mesmos fatores.
  • A potência de um quociente de fatores é igual ao quociente das potências dos mesmos fatores.
  • As regras para expressões exponenciais podem ser combinadas para simplificar expressões mais complicadas.