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8.4: Resolvendo Equações Radicais - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Resolva Equações Radicais
    • Isole raízes quadradas em equações e resolva para uma variável
    • Identifique soluções estranhas para equações radicais
  • Raízes quadradas e completando o quadrado para resolver equações radicais
    • Use raízes quadradas para resolver equações quadráticas
    • Complete o quadrado para resolver uma equação quadrática
  • Usando a fórmula quadrática para resolver equações quadráticas
    • Escreva uma equação quadrática na forma padrão e identifique os valores de uma, b, e c em uma equação quadrática de forma padrão.
    • Use a Fórmula Quadrática para encontrar todas as soluções reais.
    • Resolva problemas de aplicação que requerem o uso da Fórmula Quadrática.

Uma estratégia básica para resolver equações radicais é isolar o termo radical primeiro e, em seguida, elevar ambos os lados da equação a uma potência de remover o radical. (O motivo para usar poderes ficará claro em um momento.) Este é o mesmo tipo de estratégia que você usou para resolver outras equações não radicais - reorganize a expressão para isolar a variável que você deseja saber e, em seguida, resolva a equação resultante .

Soluções para equações radicais

As soluções de (x ^ 2 = a ) são chamadas de raízes quadradas de a.

  • Quando a é positivo, a> 0, (+ sqrt {a}, - sqrt {a} ). (- sqrt {a} ) é a raiz quadrada negativa de a.
  • Quando a é negativo, a <0, (x ^ 2 = a ) não tem soluções.
  • Quando a é zero, a = 0, (x ^ 2 = a ) tem uma solução: a = 0

Apenas para enfatizar a importância do conceito de que quando a é negativo, a <0, (x ^ 2 = a ) não tem soluções, iremos reformulá-lo em palavras. Se você tiver um número negativo sob um sinal de raiz quadrada como neste exemplo,

( sqrt {-3} )

Não haverá soluções com números reais.

Existem duas idéias principais que você usará para resolver equações radicais. A primeira é que se (

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=

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). (Esta propriedade permite que você eleve o quadrado de ambos os lados de uma equação e tenha certeza de que os dois lados ainda são iguais.) A segunda é que se a raiz quadrada de qualquer número não negativo x é ao quadrado, então você obtém x: (

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= x ). (Esta propriedade permite que você "remova" os radicais de suas equações.)

Vamos começar com uma equação radical que você pode resolver em algumas etapas: ( sqrt {x} -3 = 5 ).

Exemplo

Resolver. ( sqrt {x} -3 = 5 )

[Revelar-resposta q = ”946356 ″] Mostrar Solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”946356 ″] Adicione 3 a ambos os lados para isolar o termo variável no lado esquerdo da equação.

( begin {array} {r} sqrt {x} -3 , , , = , , , 5 underline {+3 , , , , , , , + 3} end {array} )

Colete os termos semelhantes.

( sqrt {x} = 8 )

Quadrado de ambos os lados para remover o radical, uma vez que (

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= x ). Certifique-se de elevar o 8 ao quadrado também! Em seguida, simplifique.

( begin {array} {r}

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=

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x = 64 end {array} )

Responder

( sqrt {x} -3 = 5 )

[/ resposta oculta]

Para verificar sua solução, você pode substituir 64 por x na equação original. Faz (8−3 = 5 ).

Observe como você combinou termos semelhantes e, em seguida, elevou ao quadrado ambos lados da equação neste problema. Este é um método padrão para remover um radical de uma equação. É importante isolar um radical de um lado da equação e simplificar o máximo possível antes quadratura. Quanto menos termos houver antes da quadratura, menos termos adicionais serão gerados pelo processo de quadratura.

No exemplo acima, apenas a variável x estava por baixo do radical. Às vezes, você precisará resolver uma equação que contém vários termos sob um radical. Siga as mesmas etapas para resolvê-los, mas preste atenção a um ponto crítico - eleve os dois lados de uma equação, não individual termos. Observe como os próximos dois problemas são resolvidos.

Exemplo

Resolver. (x + 8 ). Faça o quadrado de ambos os lados para remover o radical.

(

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=

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)

(

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= x + 8 ). Agora simplifique a equação e resolva para x.

( begin {array} {r} x + 8 = 9 x = 1 end {array} )

Verifique sua resposta. Substituindo 1 por x na equação original produz uma afirmação verdadeira, então a solução está correta.

( begin {array} {r} sqrt {1 + 8} = 3 sqrt {9} = 3 3 = 3 end {array} )

Responder

( sqrt {x + 8} = 3 ).

[/ resposta oculta]

No vídeo a seguir, mostramos como resolver equações radicais simples.

Um elemento do YouTube foi excluído desta versão do texto. Você pode visualizá-lo online aqui: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Exemplo

Resolver. (1+ sqrt {2x + 3} = 6 )

[revelar-resposta q = ”479262 ″] Mostrar solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”479262 ″] Comece subtraindo 1 de ambos os lados para isolar o termo radical. Em seguida, eleve ao quadrado ambos os lados para remover o binômio do radical.

( begin {array} {r} 1+ sqrt {2x + 3} -1 = 6-1 sqrt {2x + 3} = 5 , , , , , , , , , ,

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=

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, , , end {array} )

Simplifique a equação e resolva para x.

( begin {array} {r} 2x + 3 = 25 2x = 22 x = 11 end {array} )

Verifique sua resposta. Substituindo 11 por x na equação original produz uma afirmação verdadeira, então a solução está correta.

( begin {array} {r} 1+ sqrt {2 (11) +3} = 6 1+ sqrt {22 + 3} = 6 1+ sqrt {25} = 6 1 + 5 = 6 6 = 6 end {matriz} )

Responder

(1+ sqrt {2x + 3} = 6 ).

[/ resposta oculta]

Resolvendo Equações Radicais

Siga as quatro etapas a seguir para resolver equações radicais.

  1. Isole a expressão do radical.
  2. Quadrado ambos os lados da equação: If (x ^ {2} = y ^ {2} ).
  3. Assim que o radical for removido, resolva o desconhecido.
  4. Verifique todas as respostas.

Identificar soluções estranhas

Seguir as regras é importante, mas também prestar atenção à matemática à sua frente - especialmente ao resolver equações radicais. Dê uma olhada neste próximo problema que demonstra uma armadilha potencial de quadratura de ambos os lados para remover o radical.

Exemplo

Resolver. ( sqrt {a-5} = - 2 )

[revelar-resposta q = ”798652 ″] Mostrar solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”798652 ″] Quadrado de ambos os lados para remover o termo (a – 5 ) do radical.

(

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=

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)

Escreva a equação simplificada e resolva para uma.

( begin {array} {r} a-5 = 4 a = 9 end {array} )

Agora verifique a solução substituindo (a = 9 ) na equação original.

Não confere!

( begin {array} {r} sqrt {9-5} = - 2 sqrt {4} = - 2 2 ne -2 end {array} )

Responder

Sem solução.

[/ resposta-oculta]

Veja só - a resposta (a = 9 ) não produz uma afirmação verdadeira quando substituída de volta na equação original. O que aconteceu?

Verifique o problema original: (- 2 ) e lembre-se de que a raiz quadrada principal de um número só pode ser positivo. Isso significa que nenhum valor para uma resultará em uma expressão radical cuja raiz quadrada positiva é (- 2 )! Você deve ter percebido isso imediatamente e concluído que não havia soluções para uma.

Os valores incorretos da variável, como aqueles que são introduzidos como resultado do processo de quadratura, são chamados soluções estranhas. Soluções estranhas podem parecer a solução real, mas você pode identificá-las porque não criarão uma afirmação verdadeira quando substituídas de volta na equação original. Esta é uma das razões pelas quais verificar seu trabalho é tão importante - se você não verificar suas respostas substituindo-as de volta na equação original, você pode estar introduzindo soluções estranhas para o problema.
No próximo exemplo de vídeo, resolvemos equações mais radicais que podem ter soluções estranhas.

Um elemento do YouTube foi excluído desta versão do texto. Você pode visualizá-lo online aqui: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Dê uma olhada no seguinte problema. Observe como o problema original é (

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+ 8x + 16 = x + 10 ). A quadratura de ambos os lados pode ter introduzido uma solução estranha.

Exemplo

Resolver. (x + 4 = sqrt {x + 10} )

[revelar-resposta q = ”705028 ″] Mostrar solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”705028 ″] Quadrado de ambos os lados para remover o termo (x + 10 ) do radical.

(

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=

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)

Agora simplifique e resolva a equação. Combine os termos semelhantes e depois fator.

( begin {array} {r} left (x + 4 right) left (x + 4 right) = x + 10

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+ 8x + 16 = x + 10

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+ 8x-x + 16-10 = 0 , , , , , , , , , , , , , , ,

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+ 7x + 6 = 0 , , , , , , , , , , , , , , esquerda (x + 6 direita) esquerda (x + 1 direita) = 0 , , , , , , , , , , , , , , end {array} )

Defina cada fator igual a zero e resolva para x.

( begin {array} {c} left (x + 6 right) = 0 , , text {ou} , , left (x + 1 right) = 0 x = - 6 text {ou} x = -1 end {array} )

Agora verifique ambas as soluções, substituindo-as na equação original.

Visto que (x = −6 ) produz uma afirmação falsa, é uma solução estranha.

( begin {array} {l} -6 + 4 = sqrt {-6 + 10} , , , , , , , , - 2 = sqrt {4} , , , , , , , , - 2 = 2 texto {FALSO!} \ - 1 + 4 = sqrt {-1 + 10} , , , , , , , , , , , , , , , , , 3 = sqrt {9} , , , , , , , , , , , , , , , 3 = 3 texto {VERDADEIRO!} End {array} )

Responder

(x = −1 ) é a única solução

[/ resposta oculta]

Exemplo

Resolver. (4+ sqrt {x + 2} = x )

[revelar-resposta q = ”568479 ″] Mostrar solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”568479 ″] Isole o termo radical.

( sqrt {x + 2} = x-4 )

Quadrado ambos os lados para remover o termo (x + 2 ) do radical.

(

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=

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)

Agora simplifique e resolva a equação. Combine os termos semelhantes e depois fator.

( begin {array} {l} x + 2 =

ParseError: EOF esperado (clique para obter detalhes)

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-8x + 16 , , , , , , , , , , , 0 =

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-8x-x + 16-2 , , , , , , , , , , , 0 =

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-9x + 14 , , , , , , , , , , , 0 = left (x-7 right) left (x-2 right) end {variedade})

Defina cada fator igual a zero e resolva para x.

( begin {array} {c} left (x-7 right) = 0 text {ou} left (x-2 right) = 0 x = 7 text {ou} x = 2 end {array} )

Agora verifique ambas as soluções, substituindo-as na equação original.

Uma vez que (x = 2 ) produz uma afirmação falsa, é uma solução estranha.

( begin {array} {r} 4+ sqrt {7 + 2} = 7 4+ sqrt {9} = 7 4 + 3 = 7 7 = 7 texto {VERDADEIRO !} 4+ sqrt {2 + 2} = 2 4+ sqrt {4} = 2 4 + 2 = 2 6 = 2 texto {FALSO!} Fim {variedade})

Responder

(x = 7 ) é a única solução.

[/ resposta-oculta]

No último exemplo de vídeo, resolvemos uma equação radical com um termo binomial de um lado.

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Raízes quadradas e completando o quadrado

As equações quadráticas podem ser resolvidas de várias maneiras. Na seção anterior, introduzimos a ideia de que soluções para equações radicais em geral podem ser encontradas usando estes fatos:

Soluções para equações quadráticas

As soluções de (x ^ 2 = a ) são chamadas de raízes quadradas de a.

  • Quando a é positivo, a> 0, (+ sqrt {a}, - sqrt {a} ). (- sqrt {a} ) é a raiz quadrada negativa de a.
  • Quando a é negativo, a <0, (x ^ 2 = a ) não tem soluções.
  • Quando a é zero, a = 0, (x ^ 2 = a ) tem uma solução: a = 0

Uma forma de atalho para escrever (- sqrt {a} ) é ( pm ) é freqüentemente lida como “positiva ou negativa”. Se for usado como uma operação (adição ou subtração), é lido como "mais ou menos".

Exemplo

Resolva usando a propriedade de raiz quadrada. (x ^ {2} = 9 )

[Revelar-resposta q = ”793132 ″] Mostrar Solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”793132 ″] Como um lado é simplesmente (x ^ {2} ), você pode obter a raiz quadrada de ambos os lados para obter x de um lado. Não se esqueça de usar raízes quadradas positivas e negativas!

( begin {array} {l} x ^ {2} = 9 , , , x = pm sqrt {9} , , , x = pm3 end {array } )

Responder

(x = 3 ) ou (- 3 ))

[/ resposta oculta]

Observe que há uma diferença aqui na resolução de ( sqrt {9} ). Para ( sqrt {9} ), você só quer o diretor (não negativo) raiz quadrada. O negativo da raiz quadrada principal é ( pm sqrt {9} ). A menos que haja um símbolo na frente do signo radical, apenas o valor não negativo é desejado!

No exemplo acima, você pode obter a raiz quadrada de ambos os lados facilmente porque há apenas um termo em cada lado. Em algumas equações, pode ser necessário algum trabalho para obter a equação desta forma. Você descobrirá que isso envolve isolar (x ^ {2} ).

Exemplo

Resolver. (10x ^ {2} + 5 = 85 )

[revelar-resposta q = ”637209 ″] Mostrar solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”637209 ″] Se você tentar tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação original, terá (x ^ {2} ) o termo sozinho.

(10x ^ {2} + 5 = 85 )

Você agora poderia obter a raiz quadrada de ambos os lados, mas teria ( sqrt {10} ) como um coeficiente e precisaria dividir por esse coeficiente. Dividir por 10 antes de obter a raiz quadrada será um pouco mais fácil.

(10x ^ {2} = 80 )

Agora você tem apenas (x ^ {2} ) à esquerda, então você pode usar a propriedade de raiz quadrada facilmente.

Certifique-se de simplificar o radical, se possível.

( begin {array} {l}

ParseError: EOF esperado (clique para obter detalhes)

Callstack: em (Cursos / Lumen_Learning / Livro: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), / content / body / div [7] / div [3] / p [8] / span, linha 1, coluna 2

= 8 , , , x = pm sqrt {8} , , , , , , = pm sqrt {(4) (2)} , , , , , , = pm sqrt {4} sqrt {2} , , , , , , = pm 2 sqrt {2} end {array } )

Responder

(x = pm 2 sqrt {2} )

[/ resposta-oculta]

No vídeo a seguir, mostramos mais exemplos de resolução de equações quadráticas simples usando raízes quadradas.

Um elemento do YouTube foi excluído desta versão do texto. Você pode visualizá-lo online aqui: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Às vezes, mais do que apenas o x está sendo elevado ao quadrado:

Exemplo

Resolver. ( left (x – 2 right) ^ {2} –50 = 0 )

[revelar-resposta q = ”347487 ″] Mostrar solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”347487 ″] Mais uma vez, tirar a raiz quadrada de ambos os lados neste estágio deixará algo com o qual você não pode trabalhar à esquerda. Comece adicionando 50 a ambos os lados.

( left (x-2 right) ^ {2} -50 = 0 )

Como ( left (x – 2 right) ^ {2} ) é uma quantidade quadrada, você pode obter a raiz quadrada de ambos os lados.

( begin {array} {r} left (x-2 right) ^ {2} = 50 , , , , , , , , , , , x-2 = pm sqrt {50} end {array} )

Isolar x à esquerda, você precisa adicionar 2 a ambos os lados.

Certifique-se de simplificar o radical, se possível.

( begin {array} {l} x = 2 pm sqrt {50} , , , , = 2 pm sqrt {(25) (2)} , , , , = 2 pm sqrt {25} sqrt {2} , , , , = 2 pm 5 sqrt {2} end {array} )

Responder

(x = 2 pm 5 sqrt {2} )

[/ resposta oculta]

Neste exemplo de vídeo, você verá mais exemplos de resolução de equações quadráticas usando raízes quadradas.

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Completando o quadrado para resolver uma equação quadrática

Claro, as equações quadráticas geralmente não virão no formato dos exemplos acima. A maioria deles terá x termos. No entanto, você pode ser capaz de fatorar a expressão em um binômio ao quadrado - e se não, você ainda pode usar os binômios ao quadrado para ajudá-lo.

Alguns dos exemplos acima têm binômios quadrados: ( left (x – 2 right) ^ {2} ) são binômios quadrados. Se você os expandir, obterá um trinômio quadrado perfeito.

Os trinômios quadrados perfeitos têm a forma ( left (x + s right) ^ {2} ), ou têm a forma ( left (x – s right) ^ {2} ). Vamos fatorar um trinômio quadrado perfeito em um binômio quadrado.

Exemplo

Fator (9x ^ {2} –24x + 16 ).

[revelar-resposta q = ”844629 ″] Mostrar solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”844629 ″] Primeiro observe que o termo (x ^ {2} ) e o termo constante são quadrados perfeitos.

( begin {array} {l} 9x ^ {2} = left (3x right) ^ {2} , , , 16 = 4 ^ {2} end {array} )

Em seguida, observe que o termo do meio (ignorando o sinal) é duas vezes o produto das raízes quadradas dos outros termos.

(24x = 2 esquerda (3x direita) esquerda (4 direita) )

Um trinômio na forma ((r – s) ^ {2} ).

Neste caso, o termo do meio é subtraído, então subtraia r e s e eleve ao quadrado para obter ((r – s) ^ {2} ).

( begin {array} {c} , , , r = 3x s = 4 9x ^ {2} -24x + 16 = left (3x-4 right) ^ {2} fim {array} )

Responder

( left (3x – 4 right) ^ {2} )

[/ resposta oculta]

Você pode usar o procedimento neste próximo exemplo para ajudá-lo a resolver equações onde você identifica trinômios quadrados perfeitos, mesmo se a equação não for igual a 0.

Exemplo

Resolver. (4x ^ {2} + 20x + 25 = 8 )

[revelar-resposta q = ”538757 ″] Mostrar solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”538757 ″] Uma vez que há um x termo, você não pode usar a propriedade de raiz quadrada imediatamente (ou mesmo depois de adicionar ou dividir por uma constante).

Observe, entretanto, que ( left (2x right) ^ {2} ) e (2 left (2x right) left (5 right) )? Sim!

(4x ^ {2} + 20x + 25 = 8 )

Um trinômio na forma ( left (r + s right) ^ {2} ), então reescreva o lado esquerdo como um binômio ao quadrado.

((2x + 5) ^ {2} = 8 )

Agora você posso use a propriedade de raiz quadrada. Algumas etapas adicionais são necessárias para isolar x.

( begin {array} {r} 2x + 5 = pm sqrt {8} , , , , , , , , , , , , , , , , , 2x = -5 pm sqrt {8} , , , , , x = - frac {5} {2} pm frac {1} {2} sqrt {8} end {array} )

Simplifique o radical quando possível.

( begin {array} {l} x = - frac {5} {2} pm frac {1} {2} sqrt {4} sqrt {2} x = - frac {5} {2} pm frac {1} {2} (2) sqrt {2} x = - frac {5} {2} pm sqrt {2} end {array } )

Responder

(x = - frac {5} {2} pm sqrt {2} )

[/ resposta-oculta]

Uma maneira de resolver equações quadráticas é por Completando o quadrado. Quando você não tem um trinômio quadrado perfeito, você pode Criar um adicionando um termo constante que é um quadrado perfeito para ambos os lados da equação. Vamos ver como encontrar esse termo constante.

“Completar o quadrado” faz exatamente o que diz - pega algo que não é um quadrado e o torna um. Esta ideia pode ser ilustrada usando um modelo de área do binômio (x ^ {2} + bx ).

Neste exemplo, a área do retângulo geral é dada por (x left (x + b right) ).

Agora vamos transformar este retângulo em um quadrado. Primeiro, divida o retângulo vermelho com a área bx em dois retângulos iguais, cada um com área (bx ).

Os retângulos vermelhos agora formam os dois lados de um quadrado, mostrado em branco. A área desse quadrado é o comprimento dos retângulos vermelhos ao quadrado, ou (

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).

Aí vem a parte legal - você vê que quando o quadrado branco é adicionado às regiões azul e vermelha, a forma inteira agora também é um quadrado? Em outras palavras, você “completou o quadrado!” Adicionando a quantidade (x + frac {b} {2} ).

Observe que a área deste quadrado pode ser escrita como um binômio quadrado: ( left (x + frac {b} {2} right) ^ {2} ).

Encontrando um valor que irá completar o quadrado em uma expressão

Para completar o quadrado de uma expressão da forma (x ^ {2} + bx ):

  • Identifique o valor de b;
  • Calcule e adicione ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} ).

A expressão torna-se (x ^ {2} + bx + left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left (x + frac {b} {2} right) ^ {2} ).

Exemplo

Encontre o número a ser adicionado a (x ^ {2} + 8x ) para torná-lo um trinômio quadrado perfeito.

[revelar-resposta q = ”691356 ″] Mostrar solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”691356 ″] Identifique primeiro b se tiver a forma (x ^ {2} + bx ).

( begin {array} {c} x ^ {2} + 8x b = 8 end {array} )

Para completar o quadrado, adicione ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} ).

( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left ( frac {8} {2} right) ^ {2} )

Simplificar.

( begin {array} {c} x ^ {2} + 8x + left (4 right) ^ {2} x ^ {2} + 8x + 16 end {array} )

Verifique se o resultado é um trinômio quadrado perfeito. ( left (x + 4 right) ^ {2} = x ^ {2} + 4x + 4x + 16 = x ^ {2} + 8x + 16 ), assim é.

Responder

Adicionando (x ^ {2} + 8x ) um trinômio quadrado perfeito.

[/ resposta oculta]

Notar que (

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) é sempre positivo, pois é o quadrado de um número. Quando você completa o quadrado, está sempre adicionando um valor positivo.

No vídeo a seguir, mostramos mais exemplos de como encontrar termos constantes que farão de um trinômio um quadrado perfeito.

Um elemento do YouTube foi excluído desta versão do texto. Você pode visualizá-lo online aqui: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Você pode usar o preenchimento do quadrado para ajudá-lo a resolver uma equação quadrática que não pode ser resolvida por fatoração.

Vamos começar vendo o que acontece quando você completa o quadrado em uma equação. No exemplo abaixo, observe que completar o quadrado resultará na adição de um número a Ambas lados da equação - você tem que fazer isso para manter os dois lados iguais!

Exemplo

Reescreva (x ^ {2} + 6x = 8 ) para que o lado esquerdo seja um trinômio quadrado perfeito.

[Revelar-resposta q = ”539170 ″] Mostrar Solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”539170 ″] Esta equação tem uma constante de 8. Ignore-a por enquanto e concentre-se no (x ^ {2} + bx ), para que possa identificar b.

( begin {array} {r} x ^ {2} + 6x = 8 b = 6 end {array} )

Para completar o quadrado, adicione (

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) para o lado esquerdo.

(

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=

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=9.)

Esta é uma equação, portanto, você deve adicionar o mesmo número ao direito lado também.

(x ^ {2} + 6x + 9 = 8 + 9 )

Simplificar. Verifique se o lado esquerdo é um trinômio quadrado perfeito. ( begin {array} {r} left (x + 3 right) ^ {2} = x ^ {2} + 3x + 3x + 9 = x ^ {2} + 6x + 9 end {array} {r} ), assim é.

( begin {array} {r} x ^ {2} + 6x + 9 = 17 x ^ {2} + 6x + 9 = 17 (x + 3) ^ {2} = 17 end { variedade})

Responder

(x ^ {2} + 6x + 9 = 17 )

[/ resposta oculta]

Você pode ver que completar o quadrado em uma equação é muito semelhante a completar o quadrado em uma expressão? A principal diferença é que você deve adicionar o novo número ( (+ 9 ) neste caso) a ambos os lados da equação para manter a igualdade.

Agora vamos ver um exemplo em que você está usando o preenchimento do quadrado para realmente resolver uma equação, encontrando um valor para a variável.

Exemplo

Resolver. (x ^ {2} –12x – 4 = 0 )

[revelar-resposta q = ”903321 ″] Mostrar solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”903321 ″] Visto que você não pode fatorar o trinômio no lado esquerdo, você usará o preenchimento do quadrado para resolver a equação.

Reescreva a equação com o lado esquerdo na forma (x ^ {2} + bx ), para se preparar para completar o quadrado. Identificar b.

( begin {array} {r} x ^ {2} -12x = 4 , , , , , , , , b = -12 end {array} )

Descubra qual valor adicionar para completar o quadrado. Adicionar (

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=

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=36).

Adicione o valor a Ambas lados da equação e simplificar.

( begin {array} {l} x ^ {2} -12x + 36 = 4 + 36 x ^ {2} -12x + 36 = 40 end {array} )

Reescreva o lado esquerdo como um binômio quadrado.

( left (x-6 right) ^ {2} = 40 )

Use a propriedade de raiz quadrada. Lembre-se de incluir a raiz quadrada positiva e negativa, ou você perderá uma das soluções.

(x-6 = pm sqrt {40} )

Resolva para x adicionando 6 em ambos os lados. Simplifique conforme necessário.

( begin {array} {l} x = 6 pm sqrt {40} , , , , = 6 pm sqrt {4} sqrt {10} , , , , = 6 pm 2 sqrt {10} end {array} )

Responder

(x = 6 pm 2 sqrt {10} )

[/ resposta-oculta]

Neste último vídeo, resolvemos mais equações quadráticas completando o quadrado.

Um elemento do YouTube foi excluído desta versão do texto. Você pode visualizá-lo online aqui: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Você deve ter notado que, por ter que usar as duas raízes quadradas, todos os exemplos têm duas soluções. Aqui está outro exemplo que é ligeiramente diferente.

Exemplo

Resolva (x ^ {2} + 16x + 17 = -47 ).

[Revelar-resposta q = ”270245 ″] Mostrar Solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”270245 ″] Reescreva a equação para que o lado esquerdo tenha a forma (x ^ {2} + bx ). Identificar b.

( begin {array} {c} x ^ {2} + 16x = -64 b = 16 end {array} )

Adicionar (

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=

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= 64 ), para ambos os lados.

( begin {array} {l} x ^ {2} + 16x + 64 = -64 + 64 x ^ {2} + 16x + 64 = 0 end {array} )

Escreva o lado esquerdo como um binômio quadrado.

( left (x + 8 right) ^ {2} = 0 )

Pegue as raízes quadradas de ambos os lados. Normalmente são necessárias raízes quadradas positivas e negativas, mas 0 não é nem positivo nem negativo. 0 possui apenas uma raiz.

(x + 8 = 0 )

Resolva para x.

(x = -8 )

Responder

(x = -8 )

[/ resposta-oculta]

Dê uma olhada neste problema e você verá algo familiar. Em vez de completar o quadrado, tente adicionar 47 a ambos os lados da equação. A equação (x ^ {2} + 16x + 64 = 0 ). Você pode fatorar esta equação usando agrupamento? (Pense em dois números cujo produto é 64 e cuja soma é 16).

Pode ser fatorado como ((x + 8) (x + 8) = 0 ), é claro! Saber como completar o quadrado é muito útil, mas nem sempre é a única maneira de resolver uma equação.

Use a fórmula quadrática para resolver equações quadráticas

Fórmula quadrática

Você pode resolver qualquer equação quadrática por Completando o quadrado- reescrever parte da equação como um trinômio quadrado perfeito. Se você completar o quadrado da equação genérica (x = frac {-b pm sqrt

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{2a} ). This equation is known as the Quadratic Formula.

This formula is very helpful for solving quadratic equations that are difficult or impossible to factor, and using it can be faster than completing the square. The Quadratic Formula can be used to solve any quadratic equation of the form (ax^{2}+bx+c=0).

The form (ax^{2}+bx+c=0) is called standard form of a quadratic equation. Before solving a quadratic equation using the Quadratic Formula, it’s vital that you be sure the equation is in this form. If you don’t, you might use the wrong values for uma, b, ou c, and then the formula will give incorrect solutions.

Exemplo

Rewrite the equation (3x+2x^{2}+4=5) in standard form and identify uma, b, e c.

[reveal-answer q=”489648″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”489648″]First be sure that the right side of the equation is 0. In this case, all you need to do is subtract 5 from both sides.

(egin{array}{c}3x+2x^{2}+4=53x+2x^{2}+4–5=5–5end{array})

Simplify, and write the terms with the exponent on the variable in descending order.

(egin{array}{r}3x+2x^{2}-1=02x^{2}+3x-1=0end{array})

Now that the equation is in standard form, you can read the values of uma, b, e c from the coefficients and constant. Note that since the constant 1 is subtracted, c must be negative.

(egin{array}{l}2x^{2},,,+,,,3x,,,-,,,1,,,=,,,0,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,ax^{2},,,,,,,,,,bx,,,,,,,,,,,,,,,,c\,,a=2,,,b=3,,,c=-1end{array})

Answer

(2x^{2}+3x–1=0;a=2,b=3,c=−1)

[/hidden-answer]

Exemplo

Rewrite the equation (2(x+3)^{2}–5x=6) in standard form and identify uma, b, e c.

[reveal-answer q=”585220″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”585220″]First be sure that the right side of the equation is 0.

(egin{array}{c}2left(x+3 ight)^{2}–5x=62(x+3)^{2}–5x–6=6–6end{array})

Expand the squared binomial, then simplify by combining like terms.

Be sure to write the terms with the exponent on the variable in descending order.

(egin{array}{r}2left(x^{2}+6x+9 ight)-5x-6=02x^{2}+12x+18–5x–6=02x^{2}+12x–5x+18–6=02x^{2}+7x+12=0end{array})

Now that the equation is in standard form, you can read the values of uma, b, e c from the coefficients and constant.

(egin{array}{l}2x^{2},,,+,,,7x,,,+,,,12,,,=,,,0,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b,,,,,,,,,,,,,,,,,c\,,,,,,a=2,,,b=7,,,c=7end{array})

Answer

(2x^{2}+7x+12=0;,,a=2,b=7,c=12)

[/hidden-answer]

Solving a Quadratic Equation using the Quadratic Formula

The Quadratic Formula will work with algum quadratic equation, but if the equation is in standard form, (ax^{2}+bx+c=0). To use it, follow these steps.

  • Put the equation in standard form first.
  • Identify the coefficients, uma, b, e c. Be careful to include negative signs if the bx ou c terms are subtracted.
  • Substitute the values for the coefficients into the Quadratic Formula.
  • Simplify as much as possible.
  • Use the (pm) in front of the radical to separate the solution into two values: one in which the square root is added, and one in which it is subtracted.
  • Simplify both values to get the possible solutions.

That’s a lot of steps. Let’s try using the Quadratic Formula to solve a relatively simple equation first; then you’ll go back and solve it again using another factoring method.

Exemplo

Use the Quadratic Formula to solve the equation (x^{2}+4x=5).

[reveal-answer q=”296770″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”296770″]First write the equation in standard form.

(egin{array}{r}x^{2}+4x=5,,,x^{2}+4x-5=0,,,a=1,b=4,c=-5end{array})

Note that the subtraction sign means the constant c é negativo.

(egin{array}{r}

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,,,+,,,4x,,,-,,,5,,,=,,,0downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,a

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,,,+,,,bx,,,+,,,c,,,=,,,0end{array})

Substitute the values into the Quadratic Formula. (x=frac{-bpm sqrt

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{2a})

(egin{array}{l}x=frac{-4pm sqrt

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{2(1)}end{array})

Simplify, being careful to get the signs correct.

(x=frac{-4pmsqrt{16+20}}{2})

Simplify some more.

(x=frac{-4pm sqrt{36}}{2})

Simplify the radical: (sqrt{36}=6).

(x=frac{-4pm 6}{2})

Separate and simplify to find the solutions to the quadratic equation. Note that in one, 6 is added and in the other, 6 is subtracted.

(egin{array}{c}x=frac{-4+6}{2}=frac{2}{2}=1\text{or}x=frac{-4-6}{2}=frac{-10}{2}=-5end{array})

Answer

(x=1,,, ext{or},,,-5)

[/hidden-answer]

You can check these solutions by substituting (−5) into the original equation.

(egin{array}{r}x=-5x^{2}+4x=5,,,,,left(-5 ight)^{2}+4left(-5 ight)=5,,,,,25-20=5,,,,,5=5,,,,,end{array})

You get two true statements, so you know that both solutions work: (-5). You’ve solved the equation successfully using the Quadratic Formula!

The power of the Quadratic Formula is that it can be used to solve algum quadratic equation, even those where finding number combinations will not work.

In teh following video, we show an example of using the quadratic formula to solve an equation with two real solutions.

A YouTube element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Most of the quadratic equations you’ve looked at have two solutions, like the one above. The following example is a little different.

Exemplo

Use the Quadratic Formula to solve the equation (x^{2}-2x=6x-16).

[reveal-answer q=”998241″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”998241″]Subtract 6x from each side and add 16 to both sides to put the equation in standard form.

(egin{array}{l}x^{2}-2x=6x-16x^{2}-2x-6x+16=0x^{2}-8x+16=0end{array})

Identify the coefficients uma, b, e c. (a=1). Since (a=1,b=-8,c=16)

(egin{array}{r}

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,,,-,,,8x,,,+,,,16,,,=,,,0downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,,a

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Callstack:at (Courses/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[9]/div[2]/p[5]/span[2], line 1, column 2

,,,+,,,bx,,,+,,,,c,,,,=,,,0end{array})

Substitute the values into the Quadratic Formula.

(egin{array}{l}x=frac{-bpm sqrt

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{2a}x=frac{-(-8)pm sqrt

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{2(1)}end{array})

Simplificar.

(x=frac{8pm sqrt{64-64}}{2})

Since the square root of 0 is 0, and both adding and subtracting 0 give the same result, there is only one possible value.

(x=frac{8pm sqrt{0}}{2}=frac{8}{2}=4)

Answer

(x = 4 )

[/hidden-answer]

Again, check using the original equation.

(egin{array}{r}x^{2}-2x=6x-16,,,,,left(4 ight)^{2}-2left(4 ight)=6left(4 ight)-1616-8=24-16,,,,,,8=8,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,end{array})

In the following video we show an example of using the quadratic formula to solve a quadratic equation that has one repeated solution.

A YouTube element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: pb.libretexts.org/ba/?p=144

In this video example we show that solutions to quadratic equations can have rational answers.

A YouTube element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Applying the Quadratic Formula

Quadratic equations are widely used in science, business, and engineering. Quadratic equations are commonly used in situations where two things are multiplied together and they both depend on the same variable. For example, when working with area, if both dimensions are written in terms of the same variable, you use a quadratic equation. Because the quantity of a product sold often depends on the price, you sometimes use a quadratic equation to represent revenue as a product of the price and the quantity sold. Quadratic equations are also used when gravity is involved, such as the path of a ball or the shape of cables in a suspension bridge.

A very common and easy-to-understand application is the height of a ball thrown at the ground off a building. Because gravity will make the ball speed up as it falls, a quadratic equation can be used to estimate its height any time before it hits the ground. Note: The equation isn’t completely accurate, because friction from the air will slow the ball down a little. For our purposes, this is close enough.

Exemplo

A ball is thrown off a building from 200 feet above the ground. Its starting velocity (also called initial velocity) is (−10) feet per second. (The negative value means it’s heading toward the ground.)

The equation (h=-16t^{2}-10t+200) can be used to model the height of the ball after t segundos. About how long does it take for the ball to hit the ground?

[reveal-answer q=”704677″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”704677″]When the ball hits the ground, the height is 0. Substitute 0 for h.

(egin{array}{c}h=-16t^{2}-10t+200=-16t^{2}-10t+200-16t^{2}-10t+200=0end{array})

This equation is difficult to solve by factoring or by completing the square, so solve it by applying the Quadratic Formula, (a=−16,b=−10), and (c=200).

(t=frac{-(-10)pm sqrt

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Callstack:at (Courses/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[10]/div[1]/p[6]/span, line 1, column 7

{2(-16)})

Simplificar. Be very careful with the signs.

(egin{array}{l}t=frac{10pm sqrt{100+12800}}{-32},,=frac{10pm sqrt{12900}}{-32}end{array})

Use a calculator to find both roots.

t is approximately (3.24).

Consider the roots logically. One solution, (3.24) seconds, must be when the ball hits the ground.

Answer

The ball hits the ground approximately (3.24) seconds after being thrown.

[/hidden-answer]

The area problem below does not look like it includes a Quadratic Formula of any type, and the problem seems to be something you have solved many times before by simply multiplying. But in order to solve it, you will need to use a quadratic equation.

Exemplo

Bob made a quilt that is 4 ft ( imes) 5 ft. He has 10 sq. ft. of fabric he can use to add a border around the quilt. How wide should he make the border to use all the fabric? (The border must be the same width on all four sides.)

[reveal-answer q=”932211″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”932211″]Sketch the problem. Since you don’t know the width of the border, you will let the variable x represent the width.

In the diagram, the original quilt is indicated by the red rectangle. The border is the area between the red and blue lines.

Since each side of the original 4 by 5 quilt has the border of width x added, the length of the quilt with the border will be (4+2x).

(Both dimensions are written in terms of the same variable, and you will multiply them to get an area! This is where you might start to think that a quadratic equation might be used to solve this problem.)

You are only interested in the area of the border strips. Write an expression for the area of the border.

Area of border = Area of the blue rectangle minus the area of the red rectangle

Area of border(=left(4+2x ight)left(5+2x ight)–left(4 ight)left(5 ight))

There are 10 sq ft of fabric for the border, so set the area of border to be 10.

(10=left(4+2x ight)left(5+2x ight)–20)

Multiply (left(4+2x ight)left(5+2x ight)).

(10=20+8x+10x+4x^{2}–20)

Simplificar.

(10=18x+4x^{2})

Subtract 10 from both sides so that you have a quadratic equation in standard form and can apply the Quadratic Formula to find the roots of the equation.

(egin{array}{c}0=18x+4x^{2}-10\text{or}4x^{2}-102left(2x^{2}+9x-5 ight)=0end{array})

Factor out the greatest common factor, 2, so that you can work with the simpler equivalent equation, (2x^{2}+9x–5=0).

(egin{array}{r}2left(2x^{2}+9x-5 ight)=0\frac{2left(2x^{2}+9x-5 ight)}{2}=frac{0}{2}2x^{2}+9x-5=0end{array})

Use the Quadratic Formula. In this case, (c=−5).

(egin{array}{l}x=frac{-bpm sqrt

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{2a}x=frac{-9pm sqrt

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{2(2)}end{array})

Simplificar.

(x=frac{-9pm sqrt{121}}{4}=frac{-9pm 11}{4})

Find the solutions, making sure that the (pm) is evaluated for both values.

(egin{array}{c}x=frac{-9+11}{4}=frac{2}{4}=frac{1}{2}=0.5\text{or}x=frac{-9-11}{4}=frac{-20}{4}=-5end{array})

Ignore the solution (x=−5), since the width could not be negative.

Answer

The width of the border should be 0.5 ft.

[/hidden-answer]

In this last video, we show how to use the quadratic formula to solve an application involving a picture frame.

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Resumo

A common method for solving radical equations is to raise both sides of an equation to whatever power will eliminate the radical sign from the equation. But be careful—when both sides of an equation are raised to an até power, the possibility exists that extraneous solutions will be introduced. When solving a radical equation, it is important to always check your answer by substituting the value back into the original equation. If you get a true statement, then that value is a solution; if you get a false statement, then that value is not a solution.

Completing the square is used to change a binomial of the form (

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+bx+

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), which can be factored to (

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) to Ambas sides of the equation to maintain equality. The Square Root Property can then be used to solve for x. With the Square Root Property, be careful to include both the principal square root and its opposite. Be sure to simplify as needed.

Quadratic equations can appear in different applications. The Quadratic Formula is a useful way to solve these equations, or any other quadratic equation! The Quadratic Formula, (" class="latex mathjax).


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