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4.2: Termos e expressões com expoentes - matemática


objetivos de aprendizado

  • Identifique os componentes de um termo que contém expoentes inteiros
  • Avalie expressões contendo expoentes inteiros

A língua franca é uma língua comum usada para tornar possível a comunicação entre pessoas que falam línguas diferentes. Matemática, como uma ideia geral, às vezes é considerada um exemplo de uma linguagem comum porque fórmulas e equações não dependem da fluência em um idioma específico.

Mas mesmo dentro da matemática, uma linguagem comum é necessária para comunicar idéias matemáticas de forma clara e eficiente. Notação exponêncial (lembre-se de que isso também pode ser chamado de notação científica) foi desenvolvido para escrever multiplicações repetidas com mais eficiência. Por exemplo, o crescimento ocorre em organismos vivos pela divisão das células. Um tipo de célula se divide 2 vezes em uma hora. Portanto, em 12 horas, a célula se dividirá (2 ^ {12} ). Expressar dessa forma é uma maneira muito mais eficiente e clara de expressar as formas como as células se dividem.

Nesta seção, aprenderemos como simplificar e realizar operações matemáticas, como multiplicação e divisão em termos que possuem expoentes. Também aprenderemos como usar notação científica para representar números muito grandes ou muito pequenos e realizar operações matemáticas neles.

Anatomia de termos exponenciais

Usamos notação exponencial para escrever multiplicações repetidas. Por exemplo (10 ​​^ {3} ). O 10 in (10 ​​^ {3} ) é chamado de expoente. A expressão (10 ​​^ {3} ) é chamada de expressão exponencial. Saber os nomes das partes de uma expressão ou termo exponencial o ajudará a aprender como realizar operações matemáticas neles.

( text {base} rightarrow10 ^ {3 leftarrow text {expoente}} )

(10 ​​ cdot10 cdot10 ) ou 1.000.

(8 cdot8 ) ou 64.

(5 cdot5 cdot5 cdot5 ) ou 625.

({b} cdot {b} cdot {b} cdot {b} cdot {b} ). Seu valor dependerá do valor de b.

O expoente se aplica apenas ao número ao lado. Portanto, na expressão (xy ^ {4} ) significa ({x} cdot {y} cdot {y} cdot {y} cdot {y} ). O x neste termo é um coeficiente de y.

Se a expressão exponencial for negativa, como (- left (3 cdot3 cdot3 cdot3 right) ) ou (- 81 ).

Se ( left (−3 right) ^ {4} ), o que significa (- 3 cdot − 3 cdot − 3 cdot − 3 ), ou 81.

Da mesma forma, (- x ^ {4} = - left (x cdot x cdot x cdot x right) ).

Você pode ver que há uma grande diferença, então você tem que ter muito cuidado! Os exemplos a seguir mostram como identificar a base e o expoente, bem como identificar o formato expandido e exponencial de escrever multiplicação repetida.

Exemplo

Identifique o expoente e a base nos seguintes termos e simplifique:

  1. (7^{2})
  2. ({ left ( frac {1} {2} right)} ^ {3} )
  3. (2x ^ {3} )
  4. ( left (-5 right) ^ {2} )

[Revelar-resposta q = ”211363 ″] Mostrar Solução [/ revelar-resposta]

[resposta oculta a = ”211363 ″]

1) (7^{2})

O expoente neste termo é 2 e a base é 7. Para simplificar, expanda o termo: (7 ^ {2} = 7 cdot {7} = 49 )

2) ({ left ( frac {1} {2} right)} ^ {3} )

O expoente neste termo é 3, e a base é ({ left ( frac {1} {2} right)} ^ {3} = frac {1} {2} cdot { frac {1 } {2}} cdot { frac {1} {2}} = frac {1} {16} )

3) (2x ^ {3} )

O expoente neste termo é 3, e a base é x, o 2 não está obtendo o expoente porque não há parênteses que nos digam que é. Este termo está em sua forma mais simplificada.

4) ( left (-5 right) ^ {2} )

O expoente nestes termos é 2 e a base é ( left (-5 right) ^ {2} = - 5 cdot {-5} = 25 )

[/ resposta-oculta]

No vídeo a seguir, são fornecidos mais exemplos de aplicação de expoentes a várias bases.

Um elemento do YouTube foi excluído desta versão do texto. Você pode visualizá-lo online aqui: pb.libretexts.org/ba/?p=90

Avalie as expressões

Avaliar expressões contendo expoentes é o mesmo que avaliar as expressões lineares do início do curso. Você substitui o valor da variável na expressão e simplifica.

Você pode usar a ordem das operações para avaliar as expressões que contêm expoentes. Primeiro, avalie qualquer coisa entre parênteses ou símbolos de agrupamento. Em seguida, procure Expoentes, seguido por Multiplicação e Divisão (leitura da esquerda para a direita) e, por último, Adição e Subtração (novamente, leitura da esquerda para a direita).

Então, quando você avalia a expressão (x = 4 ), primeiro substitua o valor 4 pela variável x. Em seguida, avalie, usando a ordem das operações.

Exemplo

Avalie (x = 4 ).

[revelar-resposta q = ”411363 ″] Mostrar solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”411363 ″]

Substitua 4 pela variável x.

(5 cdot4 ^ {3} )

Avalie (4 ^ {3} ). Multiplicar.

(5 left (4 cdot4 cdot4 right) = 5 cdot64 = 320 )

Responder

(x = 4 )

[/ resposta oculta]

No exemplo abaixo, observe como adicionar parênteses pode alterar o resultado ao simplificar termos com expoentes.

Exemplo

Avalie (x = 4 ).

[revelar-resposta q = ”362021 ″] Mostrar solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”362021 ″] Substitua 4 pela variável x.

( left (5 cdot4 right) 3 )

Multiplique dentro dos parênteses e, em seguida, aplique o expoente - seguindo as regras do PEMDAS.

(20^{3})

Avalie (20 ^ {3} ).

(20 cdot20 cdot20 = 8.000 )

Responder

(x = 4 )

[/ resposta-oculta]

A adição de parênteses fez uma grande diferença! Os parênteses permitem que você aplique um expoente a variáveis ​​ou números que são multiplicados, divididos, adicionados ou subtraídos uns aos outros.

Exemplo

Avalie (x = −4 ).

[Revelar-resposta q = ”86290 ″] Mostrar Solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = ”86290 ″] Substitua (- 4 ) pela variável x.

( left (−4 right) ^ {3} )

Avalie. Observe como colocar parênteses em torno de (- 4 ) significa que o sinal negativo também será multiplicado.

(- 4 cdot − 4 cdot − 4 )

Multiplicar.

(- 4 cdot − 4 cdot − 4 = −64 )

Responder

(x = −4 )

[/ resposta oculta]

Cuidado! A inclusão de um sinal negativo como parte de uma base ou não geralmente leva à confusão. Para esclarecer se um sinal negativo é aplicado antes ou depois do expoente, aqui está um exemplo.

Qual é a diferença na maneira como você avaliaria esses dois termos?

  1. (-{3}^{2})
  2. ({ left (-3 right)} ^ {2} )

Para avaliar 1), você aplicaria o expoente aos três primeiro e, em seguida, aplicaria o sinal negativo por último, assim:

( begin {array} {c} - left ({3} ^ {2} right) = - left (9 right) = -9 end {array} )

Para avaliar 2), você aplicaria o expoente ao 3 e o sinal negativo:

( begin {array} {c} { left (-3 right)} ^ {2} = left (-3 right) cdot left (-3 right) = {9 } end {array} )

A chave para se lembrar disso é seguir a ordem das operações. A primeira expressão não inclui parênteses, portanto, você aplicaria o expoente ao inteiro 3 primeiro e, em seguida, aplicaria o sinal negativo. A segunda expressão inclui parênteses, portanto, espero que você se lembre de que o sinal negativo também é elevado ao quadrado.

Nas próximas seções, você aprenderá como simplificar expressões que contêm expoentes. Volte a esta página se você esquecer como aplicar a ordem das operações a um termo com expoentes, ou se esquecer qual é a base e qual é o expoente!

No vídeo a seguir, são fornecidos exemplos de como avaliar expressões exponenciais para um determinado número.

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Conteúdo licenciado CC, Original

  • Simplifique as expressões exponenciais básicas. De autoria de: James Sousa (Mathispower4u.com) para Lumen Learning. Localizado em: https://youtu.be/ocedY91LHKU. Licença: CC BY: Atribuição
  • Revisão e adaptação.

    10.2 Usar propriedades de multiplicação de expoentes

    Lembre-se de que um expoente indica multiplicação repetida da mesma quantidade. Por exemplo, 2 4 2 4 significa multiplicar quatro fatores de 2, 2, então 2 4 2 4 significa 2 · 2 · 2 · 2. 2 · 2 · 2 · 2. Este formato é conhecido como notação exponencial.

    Notação exponêncial

    Antes de começarmos a trabalhar com expressões variáveis ​​contendo expoentes, vamos simplificar algumas expressões envolvendo apenas números.

    Exemplo 10.11

    Solução

    Exemplo 10.12

    Solução

    Exemplo 10.13

    Solução

    Observe as semelhanças e diferenças nas partes ⓐ e ⓑ. Por que as respostas são diferentes? Na parte ⓐ os parênteses nos dizem para elevar o (−3) à 4ª potência. Na parte ⓑ, elevamos apenas o 3 à 4ª potência e então encontramos o oposto.

    Simplifique as expressões usando a propriedade do produto dos expoentes

    Você viu que, ao combinar termos semelhantes, adicionando e subtraindo, é necessário ter a mesma base com o mesmo expoente. Mas quando você multiplica e divide, os expoentes podem ser diferentes e, às vezes, as bases também podem ser diferentes. Derivaremos as propriedades dos expoentes procurando padrões em vários exemplos. Todas as propriedades do expoente são verdadeiras para quaisquer números reais, mas agora vamos usar apenas expoentes de números inteiros.

    Primeiro, veremos um exemplo que leva à propriedade do produto.

    O que isto significa?

    Quantos fatores no total?
    Então nós temos
    Observe que 5 é a soma dos expoentes, 2 e 3.
    Nós escrevemos: x 2 ⋅ x 3 x 2 ⋅ x 3
    x 2 + 3 x 2 + 3
    x 5 x 5

    A base permaneceu a mesma e adicionamos os expoentes. Isso leva à propriedade do produto para expoentes.

    Propriedade do produto dos expoentes

    Para multiplicar com bases semelhantes, adicione os expoentes.

    Um exemplo com números ajuda a verificar esta propriedade.

    Exemplo 10.14

    Solução

    Exemplo 10.15

    Solução

    Exemplo 10.16

    Solução

    Exemplo 10.17

    Solução

    Podemos estender a propriedade do produto dos expoentes para mais de dois fatores.

    Exemplo 10.18

    Solução

    Simplifique as expressões usando a propriedade de potência dos expoentes

    Agora vamos olhar para uma expressão exponencial que contém uma potência elevada a uma potência. Veja se você consegue descobrir uma propriedade geral.

    O que isto significa?

    Quantos fatores no total?
    Então nós temos
    Observe que 6 é o produto dos expoentes, 2 e 3.
    Nós escrevemos: (x 2) 3 (x 2) 3
    x 2 ⋅ 3 x 2 ⋅ 3
    x 6 x 6

    Multiplicamos os expoentes. Isso leva à propriedade de potência para expoentes.

    Propriedade de potência dos expoentes

    Para elevar uma potência a uma potência, multiplique os expoentes.

    Um exemplo com números ajuda a verificar esta propriedade.

    Exemplo 10.19

    Solução

    Simplifique as expressões usando o produto para uma propriedade de energia

    Veremos agora uma expressão que contém um produto que é elevado a uma potência. Procure um padrão.

    O expoente se aplica a cada um dos fatores. Isso leva o produto a uma propriedade de potência para expoentes.

    Produto para uma propriedade de potência dos expoentes

    Para elevar um produto a uma potência, eleve cada fator a essa potência.

    Um exemplo com números ajuda a verificar esta propriedade:

    Exemplo 10.20

    Solução

    Exemplo 10.21

    Solução

    Simplifique as expressões aplicando várias propriedades

    Agora temos três propriedades para multiplicar expressões com expoentes. Vamos resumi-los e, em seguida, faremos alguns exemplos que usam mais de uma das propriedades.

    Propriedades dos expoentes

    Exemplo 10.22

    Solução

    Exemplo 10.23

    Solução

    Exemplo 10.24

    Solução

    Observe que no primeiro monômio, o expoente estava fora dos parênteses e se aplicava a ambos os fatores internos. No segundo monômio, o expoente estava entre parênteses e por isso só se aplicava ao n.

    Exemplo 10.25

    Simplifique: (3 p 2 q) 4 (2 p q 2) 3. (3 p 2 q) 4 (2 p q 2) 3.

    Solução

    Simplifique: (u 3 v 2) 5 (4 u v 4) 3. (u 3 v 2) 5 (4 u v 4) 3.

    Simplifique: (5 x 2 y 3) 2 (3 x y 4) 3. (5 x 2 y 3) 2 (3 x y 4) 3.

    Multiplicar monômios

    Como um monômio é uma expressão algébrica, podemos usar as propriedades para simplificar expressões com expoentes para multiplicar os monômios.

    Exemplo 10.26

    Solução

    Multiplique: (- 9 y 4) (- 6 y 5). (- 9 y 4) (- 6 y 5).

    Exemplo 10.27

    Multiplique: (3 4 c 3 d) (12 c d 2). (3 4 c 3 d) (12 c d 2).

    Solução

    Multiplique: (4 5 m 4 n 3) (15 m n 3). (4 5 m 4 n 3) (15 m n 3).

    Multiplique: (2 3 p 5 q) (18 p 6 q 7). (2 3 p 5 q) (18 p 6 q 7).

    Meios de comunicação

    ACESSE RECURSOS ONLINE ADICIONAIS

    Seção 10.2 Exercícios

    A prática leva à perfeição

    Simplifique as expressões com expoentes

    Nos exercícios a seguir, simplifique cada expressão com expoentes.

    Simplifique as expressões usando a propriedade do produto dos expoentes

    Nos exercícios a seguir, simplifique cada expressão usando a propriedade do produto dos expoentes.

    Simplifique as expressões usando a propriedade de potência dos expoentes

    Nos exercícios a seguir, simplifique cada expressão usando a propriedade de potência dos expoentes.

    Simplifique as expressões usando o produto para uma propriedade de energia

    Nos exercícios a seguir, simplifique cada expressão usando a propriedade Product to a Power.

    Simplifique as expressões aplicando várias propriedades

    Nos exercícios a seguir, simplifique cada expressão.

    (1 2 x 2 y 3) 4 (4 x 5 y 3) 2 (1 2 x 2 y 3) 4 (4 x 5 y 3) 2

    (1 3 m 3 n 2) 4 (9 m 8 n 3) 2 (1 3 m 3 n 2) 4 (9 m 8 n 3) 2

    Multiplicar monômios

    Nos exercícios a seguir, multiplique os monômios a seguir.

    (3 5 m 3 n 2) (5 9 m 2 n 3) (3 5 m 3 n 2) (5 9 m 2 n 3)

    Matemática cotidiana

    E-mail Janet envia uma piada por e-mail para seis de suas amigas e diz a eles para encaminhá-la para seis de seus amigos, que a encaminham para seis de seus amigos e assim por diante. O número de pessoas que recebem o e-mail na segunda rodada é 6 2, 6 2, na terceira rodada é 6 3, 6 3, conforme mostrado na tabela. Quantas pessoas receberão o e-mail na oitava rodada? Simplifique a expressão para mostrar o número de pessoas que recebem o e-mail.

    Exercícios de escrita

    Use a propriedade do produto para expoentes para explicar por que x · x = x 2. x · x = x 2.

    Auto-verificação

    Ⓐ Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

    Ⓑ Depois de revisar esta lista de verificação, o que você fará para se tornar confiante para todos os objetivos?

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      • Autores: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
      • Editor / site: OpenStax
      • Título do livro: Prealgebra 2e
      • Data de publicação: 11 de março de 2020
      • Local: Houston, Texas
      • URL do livro: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
      • URL da seção: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/10-2-use-multiplication-properties-of-exponents

      © 21 de janeiro de 2021 OpenStax. O conteúdo do livro didático produzido pela OpenStax é licenciado sob uma licença Creative Commons Attribution License 4.0. O nome OpenStax, logotipo OpenStax, capas de livro OpenStax, nome OpenStax CNX e logotipo OpenStax CNX não estão sujeitos à licença Creative Commons e não podem ser reproduzidos sem o consentimento prévio e expresso por escrito da Rice University.


      4.2: Termos e expressões com expoentes - matemática

      Um expoente é uma notação matemática que implica o número de vezes que um número deve ser multiplicado por si mesmo.

      Mais sobre o expoente

      Existem algumas regras de álgebra e fórmulas para expoentes e são úteis para avaliar certas expressões.
      Os expoentes podem ser positivos, negativos ou zero.

      Exemplos de vídeo: expoentes

      Exemplo de Expoente

      Na expressão a 7, o expoente é 7. & # 39a & # 39 é a base.
      Em 2 4, 4 é o expoente. Indica que 2 deve ser multiplicado por ele mesmo 4 vezes.
      2 4 = 2 & vezes 2 & vezes 2 & vezes 2 = 16

      Exemplo resolvido no expoente

      Ques: Um pedaço de pano tem a forma de um quadrado com comprimento de 8 jardas. Encontre a área do pano de forma exponencial.

      Escolhas:

      A. 8 3 jardas quadradas
      B. 8 2 jardas quadradas
      C. 8 1 Jardas quadradas
      D. 2 8 jardas quadradas
      Resposta correta: B

      Solução:

      Etapa 1: Área de um quadrado = s x s, onde s é o comprimento do lado.
      Etapa 2: = 8 e vezes 8 [Substituto s = 8.]
      Etapa 3: = 8 2 jardas quadradas
      Etapa 4: então, a área do pedaço de pano na forma exponencial é de 8 2 jardas quadradas


      COMO ESCREVER EXPRESSÕES USANDO EXPONENTES

      O expoente & # xa0 & # xa0 de um número nos diz quantas vezes o número é multiplicado por ele mesmo.

      Podemos escrever expressões na forma mais simples usando expoentes. & # Xa0

      Reescreva (m & # xa0 ⋅ & # xa0m & # xa0 ⋅ & # xa0m & # xa0 ⋅ & # xa0m) na forma mais simples usando um expoente. & # Xa0 & # xa0

      m é multiplicado por ele mesmo por quatro vezes. & # xa0

      Reescrever (5 & # xa0 ⋅ 5 & # xa0 ⋅ 5) & # xa0 na forma mais simples usando um expoente. & # Xa0 & # xa0

      5 é multiplicado por ele mesmo por três vezes. & # Xa0

      Reescreva (7 & # xa0 ⋅ & # xa07 & # xa0 ⋅ & # xa05 & # xa0 ⋅ & # xa05 & # xa0 ⋅ 5) na forma mais simples usando expoentes.

      7 é multiplicado por ele mesmo por duas vezes e 5 é multiplicado por ele mesmo por três vezes. & # Xa0

      Reescreva (13 & # xa0 ⋅ & # xa0b & # xa0 ⋅ & # xa0b & # xa0 ⋅ & # xa0b & # xa0 ⋅ b) da forma mais simples usando expoentes.

      13 vem uma vez e b é multiplicado por ele mesmo por quatro vezes. & # Xa0

      Reescreva (17 & # xa0 ⋅ & # xa017 & # xa0 ⋅ & # xa0w & # xa0 ⋅ & # xa0w & # xa0 ⋅ w) da forma mais simples usando expoentes. & # Xa0 & # xa0

      17 é multiplicado por ele mesmo por duas vezes ew é multiplicado por ele mesmo por três vezes. & # Xa0

      Reescrever (5 & # xa0 ⋅ & # xa05 & # xa0 ⋅ & # xa0p & # xa0 ⋅ p & # xa0 ⋅ p & # xa0 ⋅ p & # xa0 ⋅ p ) na forma mais simples usando expoentes.

      5 é multiplicado por ele mesmo por duas vezes e p é multiplicado por ele mesmo por cinco vezes. & # Xa0

      Reescreva (n & # xa0 ⋅ & # xa0n & # xa0 ⋅ & # xa0n & # xa0 ⋅ b & # xa0 ⋅ b) na forma mais simples usando expoentes.

      n é multiplicado por ele mesmo por três vezes eb é multiplicado por ele mesmo por duas vezes. & # xa0

      Reescreva (9 & # xa0 ⋅ & # xa09 & # xa0 ⋅ & # xa09 & # xa0 ⋅ c) na forma mais simples usando um expoente.

      9 é multiplicado por ele mesmo por três vezes e c vem uma vez. & # Xa0

      Reescrever (4 & # xa0 ⋅ & # xa04 & # xa0 ⋅ & # xa04 & # xa0 ⋅ k & # xa0 ⋅ k ) na forma mais simples usando expoentes.

      4 é multiplicado por ele mesmo por três vezes ek é multiplicado por ele mesmo por duas vezes. & # Xa0

      Reescrever (2 & # xa0 ⋅ & # xa02 & # xa0 ⋅ & # xa0r & # xa0 ⋅ r & # xa0 ⋅ r ) na forma mais simples usando expoentes.

      2 é multiplicado por ele mesmo por duas vezes er é multiplicado por ele mesmo por três vezes. & # Xa0

      Além do material fornecido acima, se você precisar de qualquer outro material em matemática, use nossa pesquisa personalizada do Google aqui.

      Se você tiver algum comentário sobre nosso conteúdo de matemática, envie-nos um e-mail: & # xa0

      Sempre apreciamos seus comentários. & # Xa0

      Você também pode visitar as seguintes páginas da web sobre diferentes assuntos em matemática. & # Xa0


      Expoentes inteiros

      (5 ^ 4 ) significa (5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 ). O expoente 4 indica o número de aparições do fator repetido.

      O que pode significar um expoente negativo, por exemplo, o que pode significar (5 ^ <-4> )?

      Os matemáticos decidiram usar expoentes negativos para indicar a repetição do inverso multiplicativo da base, por exemplo (5 ^ <-4> ) é usado para indicar ( frac <1> <5> times frac <1 > <5> times frac <1> <5> times frac <1> <5> ) ou (( frac <1> <5>) ^ 4 ) e (x ^ < -3> ) é usado para indicar (( frac <1>) ^ 3 ) que é ( frac <1> times frac <1> times frac <1> )

      Esta decisão não foi tomada às cegas - os matemáticos estavam bem cientes de que faz sentido usar expoentes negativos neste significado. Uma grande vantagem é que os expoentes negativos, quando usados ​​neste significado, têm as mesmas propriedades dos expoentes positivos, por exemplo:

      (2 ^ <-3> times 2 ^ <-4> = 2 ^ <(- 3) + (- 4)> = 2 ^ <-7> ) porque (2 ^ <-3> times 2 ^ <-4> ) significa (( frac <1> <2> times frac <1> <2> times frac <1> <2>) times ( frac <1> < 2> times frac <1> <2> times frac <1> <2> times frac <1> <2>) ) que é (( frac <1> <2>) ^ 7 ).

      (2 ^ <-3> vezes 2 ^ 4 = 2 ^ <(- 3) +4> = 2 ^ 1 ) porque (2 ^ <-3> vezes 2 ^ 4 ) significa (( frac <1> <2> times frac <1> <2> times frac <1> <2>) times (2 vezes 2 vezes 2 vezes 2) ) que é 2.

      Expoentes negativos

      Expresse cada um dos seguintes na notação exponencial de duas maneiras: com expoentes positivos e com expoentes negativos.

      ( frac <1> <5> times frac <1> <5> times frac <1> <5> times frac <1> <5> times frac <1> <5> times frac <1> <5> )

      Em cada caso, verifique se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for falso, escreva uma declaração correta. Se for verdade, dê as razões pelas quais você diz isso.

      (25 ^ 2 vezes 10 ^ <-6> vezes 2 ^ 6 = 5 )

      Calcule cada um dos seguintes sem usar uma calculadora:

      Use uma calculadora científica para determinar os valores decimais das potências fornecidas.

      Exemplo: Para encontrar (3 ^ <-1> ) em sua calculadora, use a sequência de teclas: (3 y ^ x 1 ± = )

      Explique o significado de (10 ​​^ <-3> ).

      Determine o valor de cada um dos seguintes de duas maneiras:

      A. Usando a definição de poderes (por exemplo, (5 ^ 2 vezes 5 ^ 0 = 25 vezes 1 = 25 ).)

      B. Usando as propriedades dos expoentes (por exemplo, (5 ^ 2 vezes 5 ^ 0 = 5 ^ <2 + 0> = 5 ^ 2 = 25 ).)

      Calcule o valor de cada um dos seguintes. Expresse suas respostas como frações comuns.


      Perguntas sobre Álgebra: Expoentes e operações em expoentes respondidas por tutores reais!

      Os tutores respondem às suas perguntas sobre expoentes (GRATUITO)

      Você pode colocar esta solução no SEU site!

      se um polinômio de grau tem zeros e também tem zero (zeros complexos sempre vêm em pares)
      então
      . expandir

      INSTRUÇÃO sobre como dar o primeiro passo

      Simplifique sua tarefa e dê o primeiro passo sozinho, calculando f (2) com a fórmula.

      Para isso, substitua n = 2 na fórmula e use o valor de 20 para f (1).

      Na forma apresentada, esta postagem é um jargão, mas não é um problema de matemática.

      Neste problema, você pode mover qualquer uma das duas maneiras.

      Ambas as formas levam você ao mesmo resultado.


      Você entende tudo nas minhas explicações?

      Se você ainda tiver dúvidas, NÃO HESITE em perguntá-las.

      A equação que você mostra é 3 ^ 2 (x + 1) - 8 * 3 ^ x + 1 = 9 =

      Vou assumir que não é a equação que você queria.

      Se você está trabalhando com problemas como este, seu conhecimento matemático deve ser suficiente para saber que o uso adequado dos parênteses é importante.

      Vou supor, para tornar a equação (e, portanto, o problema) razoável, que esta é a equação que você deseja:

      As duas soluções potenciais são u = 9 e u = -1.


      Este valor de u não fornece soluções reais.

      RESPOSTA: existe uma solução, x = 1.

      Você pode colocar esta solução no SEU site!

      parece ser exponencial
      para encontrar uma equação da forma, use os pontos dados
      (,),(,), plugar

      faça um sistema de duas equações e, em seguida, resolva o sistema para e
      . usar (,)


      . eq.2
      da eq.1 e eq.2 temos
      . cancelar um

      O que está escrito em sua postagem NÃO É uma equação.

      É a definição da função.


      PORTANTO, sua pergunta é NONSENSÍVEL.


      A postagem de @Penguin, que tenta responder a postagens sem sentido, também é NONSENSICA.

      Discriminante = b ^ 2 - 4ac = 4 - 4 (1/3) (- 3) = 8

      O discriminante é maior que 0, então esta equação tem 2 raízes reais.

      2y ^ 2 - 8 = 2y + 1
      2y ^ 2 - 2y - 9 = 0

      Use a fórmula quadrática: y = 1/2 + sqrt (19) / 2 ou 1/2 - sqrt (19) / 2.

      y tem que ser positivo, então: x ^ 3 = 1/2 + sqrt (19) / 2

      Você pode colocar esta solução no SEU site!
      O ângulo de referência de um ângulo x no Quadrante III é x - 180.

      (teta) - 180 = 26
      (teta) = 206 graus

      4 (3x + 2y + x - 4)
      = 4 (4x + 2y - 4)
      =

      Outra resposta do tutor @CubeyThePenguin que não tem utilidade para o aluno, pois não ensina nada ao aluno.

      A função é uma função exponencial crescente.

      Domínio: uma função exponencial pode ser avaliada para qualquer valor de entrada, portanto, o domínio é composto de todos os números reais.

      Intervalo: uma função exponencial crescente tem um valor mínimo, mas nenhum valor máximo.

      2 ^ (2x) não tem valor mínimo, fica tão próximo quanto queremos de 0 para grandes valores negativos de x. Então.

      O intervalo de 2 ^ (2x) é (0, infinito) a interceptação y é 1

      O +3 aumenta o gráfico em 2 unidades o intervalo de 2 ^ (2x) +3 é (3, infinito) o intercepto y é 1 + 3 = 4

      Multiplicar por 4 estica o gráfico verticalmente por um fator de 4, o intervalo de 4 (2 ^ (2x) +3) é (12, infinito) a interceptação y é 4 (4) = 16

      O "-7" move o gráfico para baixo em 7 no intervalo de 4 (2 ^ (2x) +3) -7 é (5, infinito) a interceptação em y é 16-7 = 9

      O intervalo da função é (5, infinito)

      Você pode colocar esta solução no SEU site!
      Domínio: todos os números reais
      Faixa: (5, infinito)

      Expoentes e variáveis ​​em expressões

      Os alunos escreverão e avaliarão expressões algébricas que representam situações do mundo real.

      Links rápidos para materiais de aula:

      Ensine esta lição

      Objetivos

      • Avalie expressões numéricas envolvendo expoentes de números inteiros.
      • Escreva expressões algébricas para representar as relações entre os termos.
      • Escreva expressões envolvendo expoentes de números inteiros para representar situações problemáticas.
      • Escreva expressões algébricas para representar situações problemáticas.
      • Avalie expressões algébricas que representam situações problemáticas em determinados valores das variáveis.

      Materiais

      • Tempo de esqui: expoentes em expressões algébricas para impressão
      • Respostas para aventuras em expressões e equações

      Instruções de aula

      INTRODUÇÃO AO NOVO MATERIAL

      Passo 1: Como uma introdução aos expoentes, peça aos alunos que escrevam a seguinte expressão de multiplicação como uma expressão de adição repetida: 4 x 7. (7 + 7 + 7 + 7)

      • Por que alguém usaria uma expressão de multiplicação em vez de uma expressão de adição repetida?

      É mais eficiente escrever.

      Diga aos alunos que usar expoentes é uma maneira de escrever com mais eficiência uma expressão de multiplicação repetida. O base é o número que é multiplicado continuamente. O expoente é o número de vezes que a base é multiplicada. Por exemplo, na expressão 6 5, 6 é a base e 5 é o expoente. 6 5 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7.776.

      Passo 2: Peça aos alunos para mostrar que a multiplicação é comutativa usando a expressão 4 x 7 e adição repetida (4 x 7 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 7 x 4) . Peça aos alunos que usem a expressão 6 5 para decidir se a base e o expoente em uma expressão exponencial são comutativos (No: 6 5 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7.776 5 6 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 15.625).

      Etapa 3: Se seus alunos se beneficiariam com a prática de avaliar expressões exponenciais antes de passar para a discussão de situações problemáticas, forneça-lhes algumas expressões práticas para avaliar (exemplos: 3 8, 8 3, 11 2, 9 4, 4 8).

      Passo 4: Diga aos alunos que imaginem um esquiador subindo uma pista de esqui em um teleférico. O esquiador deixa cair uma luva. Perguntar:

      Diga aos alunos que a velocidade da luva é igual ao produto da aceleração da gravidade g e o tempo t em segundos que a luva foi caindo. Isso significa que quanto mais tempo cai, mais rápido viaja. Perguntar:

      • A aceleração da gravidade na Terra é de 9,8 m / s 2. Que expressão descreve a velocidade da luva desde que ela está caindo na atmosfera da Terra?

      Etapa 5: Diga aos alunos que a distância que um objeto cai é metade do produto da aceleração da gravidade g e a praça do tempo t em segundos que o objeto cai. Perguntar:

      0.5g x t 2 ou 0,5 x 9,8 x t 2 na Terra


      Etapa 6: A esquiadora chega ao topo do teleférico para começar a descer a encosta. O esquiador leva 165 segundos para descer a montanha a 20 metros por segundo. Perguntar:

      Etapa 7: Os esquiadores 2, 3 e 4 correm no mesmo curso. Escreva uma equação que represente a velocidade do esquiador em relação ao tempo que ele leva para descer o mesmo percurso (velocidade = 3.300 ÷ tempo). Modelo para os alunos como encontrar a velocidade dos três esquiadores restantes se levar o Esquiador # 2 três minutos e 7 segundos, o Esquiador # 3 três minutos e 12 segundos e o Esquiador # 4 dois minutos e 40 segundos para descer a montanha (17,647 metros por segundo, 17,1875 metros por segundo, 20,625 metros por segundo).

      Etapa 8:
      Diga aos alunos que às 8h, há quatro esquiadores solitários nas pistas. A cada hora, o número de esquiadores nas pistas quadruplica. Perguntar:

      Peça aos alunos que trabalhem individualmente para escrever expressões para o número de esquiadores ao meio-dia, 13h e 14h Peça-lhes que determinem o número de esquiadores nas pistas nesses vários horários. Então pergunte:

      • Que expressão você poderia escrever para descrever o número de esquiadores nas pistas x horas depois de abrirem às 8h?

      PRÁTICA GUIADA

      Etapa 9: Divida sua turma em parceiros e poste as seguintes perguntas. Para cada pergunta, os parceiros devem:

      • Escreva uma expressão para representar a palavra problema.
      • Avalie a expressão se for uma expressão algébrica, escolha um valor para a variável.

      UMA. Você está em um ônibus indo para Tampa, Flórida, para uma viagem de treinamento com sua equipe de tênis. Sua velocidade média é de 65 milhas por hora. Depois de um certo número de horas, quanto tempo você viajou?

      65h amostra do valor da variável escolhida: 65h quando h = 7 seria 455 milhas

      B. Você está amassando massa para fazer pão. Cada vez que você amassa, a massa dobra de tamanho. Se você amassar a massa 3 vezes, quantas vezes maior será a massa quando terminar em comparação com quando começou?

      C. Seu treinador é 13,5 anos mais velho que você. Quando você é y anos quantos anos tem o seu treinador?

      13.5 + y amostra do valor da variável escolhida: 13,5 + y quando y = 14 seriam 27,5 milhas

      D. Você assou 4 dúzias de biscoitos para a viagem. Se houver n jogadores da sua equipe, quantos biscoitos cada pessoa ganha?

      Quantos cookies sobraram?

      48 – 48/n amostra do valor da variável escolhida: 48 /n quando n = 11 seria 4,3636 ..., então 4 cookies por pessoa, e então 4 sobrariam, já que 48 - 44 = 4

      Etapa 10: Se os parceiros terminarem mais cedo, entregue a eles dois cubos de números. Eles podem rolar um cubo de número para gerar uma base e um cubo de número para gerar um expoente. Faça com que cada um avalie o valor de suas expressões. O parceiro que tiver o maior valor vence a rodada.

      Etapa 11: Verificando a compreensão: Reveja as respostas com a turma e responda a quaisquer perguntas.

      PRÁTICA INDEPENDENTE

      Etapa 12: Atribua o tempo de esqui: expoentes em expressões algébricas para impressão para trabalhos de classe ou de casa.

      Etapa 13: Verificando a compreensão: Revise as respostas para impressão com a classe, certificando-se de que os alunos explicam seu pensamento matemático. Resolva quaisquer equívocos que possam surgir.


      Comentário IM

      O objetivo desta tarefa é apresentar a ideia de crescimento exponencial e, em seguida, conectar esse crescimento a expressões envolvendo expoentes. Ele ilustra bem como as expressões exponenciais crescem rapidamente. Os alunos que estão aprendendo apenas sobre os expoentes podem precisar de mais estrutura do que as perguntas de acompanhamento fornecidas para escrever as expressões.

      Algumas perguntas de acompanhamento mais boas seriam: "Em que dia o valor das moedas mágicas passa de 50.000? Em que dia o valor das moedas mágicas passa de 1.000.000?"

      Os Padrões de Prática Matemática enfocam a natureza da experiência de aprendizagem, atendendo aos processos de pensamento e hábitos mentais que os alunos precisam desenvolver para atingir uma compreensão profunda e flexível da matemática. Certas tarefas se prestam à demonstração de práticas específicas pelos alunos. As práticas observáveis ​​durante a exploração de uma tarefa dependem de como a instrução se desenvolve na sala de aula. Embora seja possível que as tarefas possam ser conectadas a várias práticas, apenas uma conexão de prática será discutida em profundidade. Possíveis conexões de prática secundária podem ser discutidas, mas não com o mesmo grau de detalhes.

      Esta tarefa conecta cálculos repetidos com uma expressão envolvendo expoentes para criar uma notação abreviada que pode ser usada para responder às perguntas feitas (MP.8). O professor pode propor esta tarefa a grupos pequenos ou grandes e conduzi-los através da criação de uma tabela para demonstrar os cálculos repetidos necessários para resolver este problema. Uma vez que o padrão tenha sido discutido, o professor pode fazer com que os alunos comecem a discutir o crescimento exponencial demonstrado pela tabela, soluções para as questões colocadas na tarefa e orientar os alunos no uso de cálculos repetidos para escrever uma expressão que poderia ser usada de forma eficiente resolver qualquer questão que possa ser feita sobre o crescimento exponencial.


      Para multiplicar um monômio por um monômio, multiplique os coeficientes numéricos e cada variável. (Para revisar as regras dos expoentes, consulte a seção Expoentes no capítulo anterior.)

      Exemplo

      Solução

      Multiplicar expressões polinomiais é baseado na propriedade distributiva. Para multiplicar um polinômio por um monômio, multiplique cada termo do polinômio pelo monômio.

      Exemplo

      Solução

      Solução

      Para multiplicar dois polinômios, multiplique cada termo da primeira expressão por cada termo da segunda. Em seguida, combine termos semelhantes.

      Exemplo

      Solução

      = 3x 3 + 5x 2 – 10x + 6 & # 8230Combine termos semelhantes.

      A localização da área e do volume geralmente usa a multiplicação de polinômios.

      Exemplo

      As dimensões de uma caixa são
      (y + 2) pés de comprimento, (y + 7) pés de largura e (2y - 4) pés de altura. Qual é a área da parte inferior da caixa? Qual é o volume da caixa?

      Solução

      Para encontrar a área do fundo do recipiente, multiplique o comprimento pela largura, que são os dois primeiros binômios.

      Para encontrar o volume, multiplique a área da parte inferior pela altura.


      4 respostas 4

      Se você pagar por duas bananas e depois por três bananas, você pagou por cinco bananas ($ 2x ^ 2 + 3x ^ 2 equiv 5x ^ 2 $). Mas se você pagar por uma banana e um pêssego, o que você pagou, exceto uma banana e um pêssego ?! ($ x ^ 2 + x ^ 3 equiv x ^ 2 + x ^ 3 $).

      Mesmo na escola primária (escola primária nos EUA), as crianças aprendem a regra do BODMAS (ou BIDMAS). Avaliamos primeiro os colchetes, depois as ordens (ou índices). Em seguida, fazemos divisão, multiplicação, adição e finalmente Subtração.

      Como podemos esperar combinar os termos da forma $ x ^ 2 $ e $ x ^ 3 $? Uma expressão na forma $ (x vezes x) + (x vezes x vezes x) $ tem apenas um significado, mesmo se retirarmos os colchetes, ainda teremos que multiplicar primeiro.

      Pense sobre o que significa adição e multiplicação:

      começar 2x ^ 2 + 3x ^ 2 & amp equiv & amp 2 (x vezes x) + 3 (x vezes x) & amp equiv & amp [(x vezes x) + (x vezes x)] + [(x vezes x) + (x vezes x) + (x vezes x)] & amp equiv & amp (x vezes x) + (x vezes x) + (x vezes x) + (x vezes x) + (x vezes x) & amp equiv & amp 5 (x vezes x) & amp equiv & amp 5x ^ 2 end

      Podemos até verificar isso por experimentação: $ 2 vezes 4 ^ 2 + 3 vezes 4 ^ 2 = 32 + 48 = 80 $ enquanto $ 5 vezes 4 ^ 2 = 80 $. No entanto, vamos tentar fazer isso com termos de uma ordem diferente, digamos $ x ^ 2 $ e $ x ^ 3 $:

      começar x^2 + x^3 &equiv& (x imes x) + (x imes x imes x) &equiv& ldotsldots? fim