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12.3: A Parábola - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Grafico de parábolas com vértices na origem.
  • Escreva equações de parábolas na forma padrão.
  • Faça o gráfico de parábolas com vértices fora da origem.
  • Resolver problemas aplicados envolvendo parábolas.

Você sabia que a tocha olímpica é acesa vários meses antes do início dos jogos? O método cerimonial para acender a chama é o mesmo dos tempos antigos. A cerimônia acontece no Templo de Hera em Olímpia, Grécia, e tem suas raízes na mitologia grega, em homenagem a Prometeu, que roubou o fogo de Zeus para dar a todos os humanos. Uma das onze sacerdotisas atuantes coloca a tocha no foco de um espelho parabólico (Figura ( PageIndex {1} )), que concentra os raios de luz do sol para acender a chama.

Espelhos parabólicos (ou refletores) são capazes de capturar energia e focalizá-la em um único ponto. As vantagens desta propriedade são evidenciadas pela vasta lista de objetos parabólicos que usamos todos os dias: antenas parabólicas, pontes suspensas, telescópios, microfones, holofotes e faróis de carro, para citar alguns. Refletores parabólicos também são usados ​​em dispositivos de energia alternativa, como fogões solares e aquecedores de água, porque são baratos de fabricar e precisam de pouca manutenção. Nesta seção, exploraremos a parábola e seus usos, incluindo projetos solares de baixo custo e eficiência energética.

Representando graficamente parábolas com vértices na origem

Anteriormente, vimos que uma elipse é formada quando um avião corta um cone circular reto. Se o plano for paralelo à borda do cone, uma curva ilimitada é formada. Esta curva é uma parábola (Figura ( PageIndex {2} )).

Como a elipse e a hipérbole, a parábola também pode ser definida por um conjunto de pontos no plano de coordenadas. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos ((x, y) ) em um plano que estão à mesma distância de uma linha fixa, chamada de diretriz, e um ponto fixo (o foco) não na diretriz.

Anteriormente, aprendemos sobre o vértice de uma parábola e o eixo de simetria. Agora estendemos a discussão para incluir outros recursos-chave da parábola (Figura ( PageIndex {3} )). Observe que o eixo de simetria passa pelo foco e vértice e é perpendicular à diretriz. O vértice é o ponto médio entre a diretriz e o foco. O segmento de linha que passa pelo foco e é paralelo à diretriz é chamado de latus reto. Os pontos finais do reto latus situam-se na curva. Por definição, o d distanciado do foco a qualquer ponto (P ) na parábola é igual à distância de (P ) à diretriz.

Para trabalhar com parábolas no plano de coordenadas, consideramos dois casos: aqueles com um vértice na origem e aqueles com um vértice em um ponto diferente da origem. Começamos com o primeiro.

Seja ((x, y) ) um ponto na parábola com vértice ((0,0) ), foco ((0, p) ) e diretriz (y = −p ) como mostrado na Figura ( PageIndex {4} ). O d distanciado do ponto ((x, y) ) ao ponto ((x, −p) ) na diretriz é a diferença do y-valores: (d = y + p ). A distância do foco ((0, p) ) ao ponto ((x, y) ) também é igual a (d ) e pode ser expressa usando a fórmula da distância.

[ begin {align *} d & = sqrt {{(x − 0)} ^ 2 + {(y − p)} ^ 2} [4pt] & = sqrt {x ^ 2 + {( y − p)} ^ 2} end {align *} ]

Defina as duas expressões para (d ) iguais uma à outra e resolva para (y ) para derivar a equação da parábola. Fazemos isso porque a distância de ((x, y) ) a ((0, p) ) é igual à distância de ((x, y) ) a ((x, −p) ) .

[ sqrt {x ^ 2 + {(y − p)} ^ 2} = y + p ]

Em seguida, elevamos ao quadrado os dois lados da equação, expandimos os termos ao quadrado e simplificamos combinando termos semelhantes.

[ begin {align *} x ^ 2 + {(y − p)} ^ 2 & = {(y + p)} ^ 2 [4pt] x ^ 2 + y ^ 2−2py + p ^ 2 & = y ^ 2 + 2py + p ^ 2 [4pt] x ^ 2−2py & = 2py [4pt] x ^ 2 & = 4py end {align *} ]

As equações das parábolas com vértice ((0,0) ) são (y ^ 2 = 4px ) quando o x-axis é o eixo de simetria e (x ^ 2 = 4py ) quando o y-axis é o eixo de simetria. Esses formulários padrão são fornecidos a seguir, junto com seus gráficos gerais e recursos principais.

FORMAS PADRÃO DE PARABOLAS COM VERTEX ((0,0) )

Tabela ( PageIndex {1} ) e Figura ( PageIndex {5} ) resumem as características padrão das parábolas com um vértice na origem.

Tabela ( PageIndex {1} )
Eixo de simetriaEquaçãoFocoDiretrizPontos finais de Latus Rectum
x-eixo (y ^ 2 = 4px ) ((p, 0) ) (x = −p ) ((p, pm 2p) )
y-eixo (x ^ 2 = 4py ) ((0, p) ) (y = −p ) (( pm 2p, p) )

As principais características de uma parábola são seu vértice, eixo de simetria, foco, diretriz e latus reto (Figura ( PageIndex {5} )). Quando dada uma equação padrão para uma parábola centrada na origem, podemos identificar facilmente as principais características para representar graficamente a parábola. Diz-se que uma linha é tangente a uma curva se ela cruzar a curva em exatamente um ponto. Se esboçarmos linhas tangentes à parábola nas extremidades do latus reto, essas linhas se cruzam no eixo de simetria, como mostrado na Figura ( PageIndex {6} ).

Como: Dada uma equação de forma padrão para uma parábola centrada em ((0,0) ), esboce o gráfico

  1. Determine qual das formas padrão se aplica à equação fornecida: (y ^ 2 = 4px ) ou (x ^ 2 = 4py ).
  2. Use a forma padrão identificada na Etapa 1 para determinar o eixo de simetria, o foco, a equação da diretriz e os pontos finais do latus reto.
    • Se a equação estiver na forma (y ^ 2 = 4px ), então
      • o eixo de simetria é o eixo (x ), (y = 0 )
      • defina (4p ) igual ao coeficiente de (x ) na equação dada para resolver para (p ). Se (p> 0 ), a parábola abre à direita. Se (p <0 ), a parábola abre à esquerda.
      • use (p ) para encontrar as coordenadas do foco, ((p, 0) )
      • use (p ) para encontrar a equação da diretriz, (x = −p )
      • use (p ) para encontrar os pontos finais do latus reto, ((p, pm 2p) ). Alternativamente, substitua (x = p ) na equação original.
    • Se a equação estiver na forma (x ^ 2 = 4py ), então
      • o eixo de simetria é o eixo (y ), (x = 0 )
      • defina (4p ) igual ao coeficiente de (y ) na equação dada para resolver para (p ). Se (p> 0 ), a parábola se abre. Se (p <0 ), a parábola se abre.
      • use (p ) para encontrar as coordenadas do foco, ((0, p) )
      • use (p ) para encontrar a equação da diretriz, (y = −p )
      • use (p ) para encontrar os pontos finais do latus reto, (( pm 2p, p) )
  3. Trace o foco, a diretriz e o latus reto e desenhe uma curva suave para formar a parábola.

-eixo como o eixo de simetria

Gráfico (y ^ 2 = 24x ). Identifique e rotule o foco, a diretriz e os pontos finais do latus reto.

Solução

A forma padrão que se aplica à equação fornecida é (y ^ 2 = 4px ). Assim, o eixo de simetria é o x-eixo. Segue que:

  • (24 = 4p ), então (p = 6 ). Uma vez que (p> 0 ), a parábola abre à direita
  • as coordenadas do foco são ((p, 0) = (6,0) )
  • a equação da diretriz é (x = −p = −6 )
  • os pontos finais do latus reto têm o mesmo x-coordenar no foco. Para encontrar os pontos finais, substitua (x = 6 ) na equação original: ((6, pm 12) )

Em seguida, plotamos o foco, a diretriz e o latus reto e desenhamos uma curva suave para formar a parábola (Figura ( PageIndex {7} )).

Exercício ( PageIndex {1} )

Gráfico (y ^ 2 = −16x ). Identifique e rotule o foco, a diretriz e os pontos finais do latus reto.

Responder
  • Foco: ((- 4,0) )
  • Directrix: (x = 4 )
  • Pontos finais do latus reto: ((- 4, pm 8) )

-eixo como o eixo de simetria

Gráfico (x ^ 2 = −6y ). Identifique e rotule o foco, a diretriz e os pontos finais do latus reto.

Solução

A forma padrão que se aplica à equação fornecida é (x ^ 2 = 4py ). Assim, o eixo de simetria é o eixo (y ). Segue que:

  • (- 6 = 4p ), então (p = - dfrac {3} {2} ). Desde (p <0 ), a parábola se abre.
  • as coordenadas do foco são ((0, p) = (0, - dfrac {3} {2}) )
  • a equação da diretriz é (y = −p = dfrac {3} {2} )
  • os pontos finais do latus reto podem ser encontrados substituindo (y = dfrac {3} {2} ) na equação original, (( pm 3, - dfrac {3} {2}) )

Em seguida, plotamos o foco, diretriz e latus retoe desenhe uma curva suave para formar a parábola.

Exercício ( PageIndex {2} )

Gráfico (x ^ 2 = 8y ). Identifique e rotule o foco, a diretriz e os pontos finais do latus reto.

Responder
  • Foco: ((0,2) )
  • Directrix: (y = −2 )
  • Pontos finais do reto latus: (( pm 4,2) ).

Escrevendo Equações de Parábolas na Forma Padrão

Nos exemplos anteriores, usamos a equação de forma padrão de uma parábola para calcular as localizações de seus principais recursos. Também podemos usar os cálculos ao contrário para escrever uma equação para uma parábola, quando dadas suas características principais.

Como: Dado seu foco e diretriz, escreva a equação para uma parábola na forma padrão

  1. Determine se o eixo de simetria é o eixo (x ) - ou (y ).
    1. Se as coordenadas do foco fornecidas tiverem a forma ((p, 0) ), então o eixo de simetria é o eixo (x ). Use a forma padrão (y ^ 2 = 4px ).
    2. Se as coordenadas do foco fornecidas tiverem a forma ((0, p) ), então o eixo de simetria é o eixo (y ). Use a forma padrão (x ^ 2 = 4py ).
  2. Multiplique (4p ).
  3. Substitua o valor da Etapa 2 na equação determinada na Etapa 1.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Escrevendo a equação de uma parábola na forma padrão com base no foco e na direção

Qual é a equação para a parábola com foco ((- dfrac {1} {2}, 0) ) e diretriz (x = dfrac {1} {2} )?

Solução

O foco tem a forma ((p, 0) ), então a equação terá a forma (y ^ 2 = 4px ).

  • Multiplicando (4p ), temos (4p = 4 (- dfrac {1} {2}) = - 2 ).
  • Substituindo (4p ), temos (y ^ 2 = 4px = −2x ). =

Portanto, a equação da parábola é (y ^ 2 = −2x ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Qual é a equação para a parábola com foco ( left (0, dfrac {7} {2} right) ) e diretriz (y = - dfrac {7} {2} )?

Responder

(x ^ 2 = 14y ).

Representando graficamente parábolas com vértices fora da origem

Como outros gráficos com os quais trabalhamos, o gráfico de uma parábola pode ser traduzido. Se uma parábola for traduzida (h ) unidades horizontalmente e (k ) unidades verticalmente, o vértice será ((h, k) ). Esta tradução resulta na forma padrão da equação que vimos anteriormente com (x ) substituído por ((x − h) ) e (y ) substituído por ((y − k) ).

Para representar graficamente parábolas com um vértice ((h, k) ) diferente da origem, usamos a forma padrão ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) para parábolas que têm um eixo de simetria paralelo ao eixo (x ) - e ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ) para parábolas que têm um eixo de simetria paralelo ao (y )-eixo. Esses formulários padrão são fornecidos a seguir, junto com seus gráficos gerais e recursos principais.

FORMAS PADRÃO DE PARABOLAS COM VERTEX ((H, K) )

Tabela ( PageIndex {2} ) e Figura ( PageIndex {11} ) resumem as características padrão das parábolas com um vértice em um ponto ((h, k) ).

Tabela ( PageIndex {2} )
Eixo de simetriaEquaçãoFocoDiretrizPontos finais de Latus Rectum
(y = k ) ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) ((h + p, k) ) (x = h − p ) ((h + p, k pm 2p) )
(x = h ) ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ) ((h, k + p) ) (y = k − p ) ((h pm 2p, k + p) )

Como: Dada uma equação de forma padrão para uma parábola centrada em ((h, k) ), esboce o gráfico

  1. Determine qual das formas padrão se aplica à equação dada: ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) or ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ) ).
  2. Use a forma padrão identificada na Etapa 1 para determinar o vértice, o eixo de simetria, o foco, a equação da diretriz e os pontos finais do latus reto.
    • Se a equação estiver na forma ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ), então:
      • use a equação dada para identificar (h ) e (k ) para o vértice, ((h, k) )
      • use o valor de (k ) para determinar o eixo de simetria, (y = k )
      • defina (4p ) igual ao coeficiente de ((x − h) ) na equação dada para resolver para (p ). Se (p> 0 ), a parábola abre à direita. Se (p <0 ), a parábola abre à esquerda.
      • use (h ), (k ) e (p ) para encontrar as coordenadas do foco, ((h + p, k) )
      • use (h ) ep p para encontrar a equação da diretriz, (x = h − p )
      • use (h ), (k ) e (p ) para encontrar os pontos finais do latus reto, ((h + p, k pm 2p) )
    • Se a equação estiver na forma ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ), então:
      • use a equação dada para identificar (h ) e (k ) para o vértice, ((h, k) )
      • use o valor de (h ) para determinar o eixo de simetria, (x = h )
      • defina (4p ) igual ao coeficiente de ((y − k) ) na equação fornecida para resolver para (p ). Se (p> 0 ), a parábola se abre. Se (p <0 ), a parábola se abre.
      • use (h ), (k ) e (p ) para encontrar as coordenadas do foco, ((h, k + p) )
      • use (k ) e (p ) para encontrar a equação da diretriz, (y = k − p )
      • use (h ), (k ) e (p ) para encontrar os pontos finais do latus reto, ((h pm 2p, k + p) )
  3. Trace o vértice, o eixo de simetria, o foco, a diretriz e o latus reto e desenhe uma curva suave para formar a parábola.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Representando graficamente uma parábola com vértice ((h, k) ) e eixo de simetria paralelo ao eixo (x )

Gráfico ({(y − 1)} ^ 2 = −16 (x + 3) ). Identifique e rotule o vértice, eixo de simetria, foco, diretriz e pontos finais do latus reto.

Solução

A forma padrão que se aplica à equação fornecida é ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ). Assim, o eixo de simetria é paralelo ao eixo (x ). Segue que:

  • o vértice é ((h, k) = (- 3,1) )
  • o eixo de simetria é (y = k = 1 )
  • (- 16 = 4p ), então (p = −4 ). Desde (p <0 ), a parábola abre à esquerda.
  • as coordenadas do foco são ((h + p, k) = (- 3 + (- 4), 1) = (- 7,1) )
  • a equação da diretriz é (x = h − p = −3 - (- 4) = 1 )
  • os pontos finais do latus reto são ((h + p, k pm 2p) = (- 3 + (- 4), 1 pm 2 (−4)) ), ou ((- 7, −7 ) ) e ((- 7,9) )

Em seguida, plotamos o vértice, o eixo de simetria, o foco, a diretriz e o latus reto, e desenhamos uma curva suave para formar a parábola (Figura ( PageIndex {10} )).

Exercício ( PageIndex {4} )

Gráfico ({(y + 1)} ^ 2 = 4 (x − 8) ). Identifique e rotule o vértice, eixo de simetria, foco, diretriz e pontos finais do latus reto.

Responder
  • Vértice: ((8, -1) )
  • Eixo de simetria: (y = −1 )
  • Foco: ((9, -1) )
  • Directrix: (x = 7 )
  • Pontos finais do latus reto: ((9, −3) ) e ((9,1) ).

Exemplo ( PageIndex {5} ): Representando graficamente uma parábola a partir de uma equação fornecida na forma geral

Gráfico (x ^ 2−8x − 28y − 208 = 0 ). Identifique e rotule o vértice, eixo de simetria, foco, diretriz e pontos finais do latus reto.

Solução

Comece escrevendo a equação da parábola na forma padrão. A forma padrão que se aplica à equação fornecida é ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ). Assim, o eixo de simetria é paralelo ao eixo (y ). Para expressar a equação da parábola desta forma, começamos isolando os termos que contêm a variável (x ) para completar o quadrado.

[ begin {align *} x ^ 2−8x − 28y − 208 & = 0 [4pt] x ^ 2−8x & = 28y + 208 [4pt] x ^ 2−8x + 16 & = 28y + 208 + 16 [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 28y + 224 [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 28 (y + 8) [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 4⋅7⋅ (y + 8) end {align *} ]

Segue que:

  • o vértice é ((h, k) = (4, −8) )
  • o eixo de simetria é (x = h = 4 )
  • uma vez que (p = 7 ), (p> 0 ) e assim a parábola se abre
  • as coordenadas do foco são ((h, k + p) = (4, −8 + 7) = (4, −1) )
  • a equação da diretriz é (y = k − p = −8−7 = −15 )
  • os pontos finais do latus reto são ((h pm 2p, k + p) = (4 pm 2 (7), - 8 + 7) ), ou ((- 10, −1) ) e ((18, -1) )

Em seguida, plotamos o vértice, o eixo de simetria, o foco, a diretriz e o latus reto e desenhamos uma curva suave para formar a parábola (Figura ( PageIndex {14} )).

Exercício ( PageIndex {5} )

Gráfico ({(x + 2)} ^ 2 = −20 (y − 3) ). Identifique e rotule o vértice, eixo de simetria, foco, diretriz e pontos finais do latus reto.

Responder
  • Vértice: ((- 2,3) )
  • Eixo de simetria: (x = −2 )
  • Foco: ((- 2, −2) )
  • Directrix: (y = 8 )
  • Pontos finais do latus reto: ((- 12, −2) ) e ((8, −2) ).

Resolvendo problemas aplicados envolvendo parábolas

Como mencionamos no início da seção, as parábolas são usadas para projetar muitos objetos que usamos todos os dias, como telescópios, pontes suspensas, microfones e equipamentos de radar.Os espelhos parabólicos, como o usado para iluminar a tocha olímpica, têm uma propriedade refletora muito especial. Quando os raios de luz paralelos ao eixo de simetria da parábola são direcionados para qualquer superfície do espelho, a luz é refletida diretamente para o foco (Figura ( PageIndex {16} )). É por isso que a tocha olímpica é acesa quando é segurada no foco do espelho parabólico.

Os espelhos parabólicos têm a capacidade de concentrar a energia do sol em um único ponto, aumentando a temperatura em centenas de graus em questão de segundos. Assim, os espelhos parabólicos são apresentados em muitos produtos solares de baixo custo e eficientes em termos de energia, como fogões solares, aquecedores solares e até mesmo iniciadores de incêndio do tamanho de uma viagem.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Resolvendo problemas aplicados envolvendo parábolas

Uma seção transversal de um projeto para um iniciador solar de incêndio do tamanho de uma viagem é mostrada na Figura ( PageIndex {17} ). Os raios do sol são refletidos no espelho parabólico em direção a um objeto conectado ao dispositivo de ignição. Como o dispositivo de ignição está localizado no foco da parábola, os raios refletidos fazem com que o objeto queime em apenas alguns segundos.

  1. Encontre a equação da parábola que modela o acionador de partida. Suponha que o vértice do espelho parabólico seja a origem do plano de coordenadas.
  2. Use a equação encontrada na parte (a) para encontrar a profundidade do iniciador de incêndio.

Solução

  1. O vértice do prato é a origem do plano de coordenadas, então a parábola assumirá a forma padrão (x ^ 2 = 4py ), onde (p> 0 ). O dispositivo de ignição, que é o foco, está (1,7 ) polegadas acima do vértice do prato. Assim, temos (p = 1,7 ).

[ begin {align *} x ^ 2 & = 4py qquad text {Forma padrão da parábola voltada para cima com vértice} (0,0) x ^ 2 & = 4 (1,7) y qquad text {Substituto } 1.7 text {for} p x ^ 2 & = 6.8y qquad text {Multiplicar.} End {alinhar *} ]

  1. O prato se estende ( dfrac {4,5} {2} = 2,25 ) polegadas em cada lado da origem. Podemos substituir (2.25 ) por (x ) na equação da parte (a) para encontrar a profundidade do prato.

[ begin {align *} x ^ 2 & = 6.8y qquad text {Equação encontrada na parte} (a) {(2.25)} ^ 2 & = 6.8y qquad text {Substituto} 2.25 text { para} x y & approx 0,74 qquad text {Resolva para} y end {alinhar *} ]

O prato tem cerca de (0.74 ) polegadas de profundidade.

Exercício ( PageIndex {6} )

Os fogões solares do tamanho de uma varanda foram projetados para famílias que vivem na Índia. A parte superior de um prato tem um diâmetro de (1600 ) mm. Os raios do sol refletem no espelho parabólico em direção ao "fogão", que é colocado a (320 ) mm da base.

  1. Encontre uma equação que modele uma seção transversal do fogão solar. Suponha que o vértice do espelho parabólico é a origem do plano de coordenadas, e que a parábola abre para a direita (ou seja, tem o x-eixo como seu eixo de simetria).
  2. Use a equação encontrada na parte (a) para encontrar a profundidade do fogão.
Responder a

(y ^ 2 = 1280x )

Resposta b

A profundidade do fogão é (500 ) mm

Equações Chave

Parábola, vértice na origem, eixo de simetria em x-eixo (y ^ 2 = 4px )
Parábola, vértice na origem, eixo de simetria em y-eixo (x ^ 2 = 4py )
Parábola, vértice em ((h, k) ), eixo de simetria em x-eixo ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) )
Parábola, vértice em ((h, k) ), eixo de simetria em y-eixo ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) )

Conceitos chave

  • Uma parábola é o conjunto de todos os pontos ((x, y) ) em um plano que estão à mesma distância de uma linha fixa, chamada de diretriz, e um ponto fixo (o foco) que não está na diretriz.
  • A forma padrão de uma parábola com vértice ((0,0) ) e o x-eixo como seu eixo de simetria pode ser usado para representar graficamente a parábola. Se (p> 0 ), a parábola abre à direita. Se (p <0 ), a parábola abre à esquerda. Veja Exemplo ( PageIndex {1} ).
  • A forma padrão de uma parábola com vértice ((0,0) ) e o y-eixo como seu eixo de simetria pode ser usado para representar graficamente a parábola. Se (p> 0 ), a parábola se abre. Se (p <0 ), a parábola se abre. Veja Exemplo ( PageIndex {2} ).
  • Quando dados o foco e a diretriz de uma parábola, podemos escrever sua equação na forma padrão. Veja Exemplo ( PageIndex {3} ).
  • A forma padrão de uma parábola com vértice ((h, k) ) e eixo de simetria paralelo ao eixo (x ) pode ser usada para representar graficamente a parábola. Se (p <0 ), a parábola abre à esquerda. Veja Exemplo ( PageIndex {4} ).
  • A forma padrão de uma parábola com vértice ((h, k) ) e eixo de simetria paralelo ao eixo (y ) pode ser usada para representar graficamente a parábola. Veja Exemplo ( PageIndex {5} ).
  • Situações do mundo real podem ser modeladas usando as equações padrão de parábolas. Por exemplo, dados o diâmetro e o foco de uma seção transversal de um refletor parabólico, podemos encontrar uma equação que modela seus lados. Veja Exemplo ( PageIndex {6} ).

Lição 12

Os gráficos A, B e C representam 3 equações lineares: (y = 2x + 4 ), (y = 3-x ) e (y = 3x-2 ). Qual gráfico corresponde a qual equação? Explique seu raciocínio.

Expandir Imagem

12.2: Gráficos quadráticos em abundância

Usando a tecnologia de representação gráfica, represente graficamente (y = x ^ 2 ) e, a seguir, experimente cada uma das seguintes alterações na função. Registre suas observações (inclua esboços, se útil).

1. Adicionando diferentes termos constantes a (x ^ 2 ) (por exemplo: (x ^ 2 + 5 ), (x ^ 2 + 10 ), (x ^ 2-3 ), etc. )

2. Multiplicando (x ^ 2 ) por diferentes coeficientes positivos maiores que 1 (por exemplo: (3x ^ 2 ), (7,5x ^ 2 ), etc.)

3. Multiplicando (x ^ 2 ) por diferentes coeficientes negativos menores ou iguais a -1 (por exemplo: ( text- x ^ 2 ), ( text-4x ^ 2 ), etc.)

4. Multiplicando (x ^ 2 ) por diferentes coeficientes entre -1 e 1 (por exemplo: ( frac <1> <2> x ^ 2 ), ( text- 0,25x ^ 2 ), etc.)

Expandir Imagem

Aqui estão os gráficos de três funções quadráticas. O que você pode dizer sobre os coeficientes de (x ^ 2 ) nas expressões que definem (f ) (em preto no topo), (g ) (em azul no meio) e (h ) (em amarelo na parte inferior)? Você pode identificá-los? Como eles se comparam?

12.3: O que essas tabelas revelam?

    1. Complete a tabela com valores de (x ^ 2 + 10 ) e (x ^ 2-3 ) em diferentes valores de (x ). (Você também pode usar uma ferramenta de planilha, se disponível.)
      (x )-3-2-10123
      (x ^ 2 )9410149
      (x ^ 2 + 10 )
      (x ^ 2-3 )
    2. Anteriormente, você observou os efeitos no gráfico da adição ou subtração de um termo constante de (x ^ 2 ). Estude os valores da tabela. Use-os para explicar por que os gráficos mudaram da maneira que mudaram quando um termo constante é adicionado ou subtraído.
    1. Complete a tabela com valores de (2x ^ 2 ), ( frac12x ^ 2 ) e ( text-2x ^ 2 ) em diferentes valores de (x ). (Você também pode usar uma ferramenta de planilha, se disponível.)
      (x )-3-2-10123
      (x ^ 2 )9410149
      (2x ^ 2 )
      ( frac12 x ^ 2 )
      ( text -2x ^ 2 )
    2. Você também observou os efeitos no gráfico da multiplicação de (x ^ 2 ) por diferentes coeficientes. Estude os valores da tabela. Use-os para explicar por que os gráficos mudaram da maneira que mudaram quando (x ^ 2 ) é multiplicado por um número maior que 1, por um número negativo menor ou igual a -1 e por números entre -1 e 1.

    12.4: Classificação de cartas: Representações de funções quadráticas

    Seu professor dará ao seu grupo um conjunto de cartões. Cada cartão contém um gráfico ou uma equação.

    • Se revezem com seu parceiro para classificar os cartões em conjuntos de modo que cada conjunto contenha duas equações e um gráfico que representem a mesma função quadrática.
    • Para cada conjunto de cartas que você monta, explique ao seu parceiro como você sabe que elas pertencem um ao outro.
    • Para cada conjunto que seu parceiro monta, ouça atentamente sua explicação. Se você discordar, discuta seu pensamento e trabalhe para chegar a um acordo.
    • Depois que todos os cartões forem classificados e discutidos, registre as equações equivalentes, esboce o gráfico correspondente e escreva uma breve nota ou explicação sobre por que as representações foram agrupadas.

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    Resumo

    Lembre-se de que o gráfico que representa qualquer função quadrática é uma forma chamada de parábola. As pessoas costumam dizer que uma parábola “abre para cima” quando o ponto mais baixo do gráfico é o vértice (onde o gráfico muda de direção) e “abre para baixo” quando o ponto mais alto do gráfico é o vértice. Cada coeficiente em uma expressão quadrática escrita na forma padrão (ax ^ 2 + bx + c ) nos diz algo importante sobre o gráfico que o representa.

    O gráfico de (y = x ^ 2 ) é uma parábola se abrindo para cima com o vértice em ((0,0) ). Adicionar um termo constante 5 resulta em (y = x ^ 2 + 5 ) e aumenta o gráfico em 5 unidades. Subtraindo 4 de (x ^ 2 ) resulta (y = x ^ 2-4 ) e move o gráfico 4 unidades para baixo.

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    Uma tabela de valores pode nos ajudar a ver que adicionar 5 a (x ^ 2 ) aumenta todos os valores de saída de (y = x ^ 2 ) em 5, o que explica por que o gráfico sobe 5 unidades. Subtrair 4 de (x ^ 2 ) diminui todos os valores de saída de (y = x ^ 2 ) em 4, o que explica por que o gráfico diminui 4 unidades.

    Em geral, o termo constante de uma expressão quadrática na forma padrão influencia a posição vertical do gráfico. Uma expressão sem termo constante (como (x ^ 2 ) ou (x ^ 2 + 9x )) significa que o termo constante é 0, então o (y ) -intercepto do gráfico está no (x ) -eixo. Não é deslocado para cima ou para baixo em relação ao eixo (x ).

    O coeficiente do termo quadrado em uma função quadrática também nos diz algo sobre seu gráfico. O coeficiente do termo ao quadrado em (y = x ^ 2 ) é 1. Seu gráfico é uma parábola que se abre para cima.

    • Multiplicar (x ^ 2 ) por um número maior que 1 torna o gráfico mais inclinado, então a parábola é mais estreita do que aquela que representa (x ^ 2 ).
    • Multiplicando (x ^ 2 ) por um número menor que 1, mas maior que 0, torna o gráfico menos inclinado, então a parábola é mais larga do que aquela que representa (x ^ 2 ).
    • Multiplicando (x ^ 2 ) por um número menor que 0, a parábola se abre para baixo.

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    Descrição: & ltp & gtPano de coordenação, 4 gráficos de funções quadráticas, todos com o máximo ou mínimo na origem. Primeiro, y = 2 x ao quadrado, abre. Em segundo lugar, y = x ao quadrado, abre, mas é mais amplo do que o primeiro. Terceiro, y = fração 1 sobre 2 x ao quadrado, abre mais do que o primeiro 2. Quarto, y = negativo 2 x ao quadrado, abre para baixo. & Lt / p & gt

    Se compararmos os valores de saída de (2x ^ 2 ) e ( text-2x ^ 2 ), vemos que eles são opostos, o que sugere que um gráfico seria um reflexo do outro no (x ) -eixo.

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    Nebraska- Matemática: 12ª Série

    Padrões prontos para faculdade e carreira adotados: 2015

    MA 12.1: Os alunos irão comunicar conceitos de sentido numérico usando múltiplas representações para raciocinar, resolver problemas e fazer conexões dentro da matemática e entre disciplinas.

    MA 12.1.1.a: Faça o gráfico de números complexos no plano complexo.

    MA 12.1.1.f: Derive e use as fórmulas para o termo geral e o somatório de séries aritméticas e geométricas finitas.

    MA 12.1.2: Os alunos calcularão com matrizes.

    MA 12.1.2.b: Adicione, subtraia e multiplique matrizes de dimensões apropriadas.

    MA 12.2: Os alunos irão comunicar conceitos algébricos usando múltiplas representações para raciocinar, resolver problemas e fazer conexões dentro da matemática e entre disciplinas.

    MA 12.2.1: Os alunos irão demonstrar, representar e mostrar relações com funções não lineares e trigonométricas.

    MA 12.2.1.a: Analisar e representar graficamente funções não lineares (por exemplo, quadrática, trigonométrica, raiz quadrada, logarítmica, racional, polinômios de ordem superior, exponencial, valor absoluto, por partes e senoidal).

    MA 12.2.1.b: Use o círculo unitário para definir as funções trigonométricas em todos os números reais.

    MA 12.2.1.c: Avalie as funções seno, cosseno e tangente em múltiplos positivos e negativos de 30 e 45 graus.

    MA 12.2.1.d: Crie novas funções a partir de funções existentes usando adição, subtração, multiplicação, divisão, tradução, dilatação e composição.

    MA 12.2.1.g: Converta entre radianos e medidas de graus de um ângulo.

    MA 12.2.2: Os alunos aplicarão as identidades ao avaliar e resolver equações trigonométricas.

    MA 12.2.2.d: Encontre o período, amplitude e linha média de uma função trigonométrica da forma y = A + Bsin (Cx), onde A, B e C são parâmetros, e identifique essas propriedades em um gráfico do função.

    MA 12.3: Os alunos irão comunicar conceitos geométricos e conceitos de medição usando múltiplas representações para raciocinar, resolver problemas e fazer conexões dentro da matemática e entre disciplinas.

    MA 12.3.2: Os alunos determinarão a localização, orientação e relações no plano de coordenadas.

    MA 12.3.2.a: Identifique características de uma função (por exemplo, máximos e mínimos locais e globais, concavidade, localizações aproximadas de pontos de inflexão e assíntotas verticais e horizontais) a partir de seu gráfico.

    MA 12.3.2.b: Identificar propriedades de simetria de uma função (por exemplo, eixo de simetria de uma parábola) e conhecer a conexão entre suas propriedades de simetria e transformações específicas.

    MA 12.3.2.c: Reconheça que as grandezas vetoriais têm magnitude e direção e podem ser representadas por segmentos de linha direcionados.

    MA 12.3.2.d: Adicione e subtraia vetores gráfica e algebricamente.

    MA 12.3.2.f: Derive as equações de parábolas, elipses e hipérboles de um gráfico ou parâmetros dados.

    MA 12.3.3: Os alunos realizarão e compararão medições e aplicarão fórmulas.

    MA 12.3.3.a: Use o Princípio de Cavalieri para determinar o volume de uma esfera e outras figuras sólidas.

    MA 12.3.3.b: Determine o intervalo de tolerância e a porcentagem de erro na medição.

    MA 12.4: Os alunos comunicarão conceitos de análise / probabilidade de dados usando múltiplas representações para raciocinar, resolver problemas e fazer conexões dentro da matemática e entre disciplinas.

    MA 12.4.2: Análise e Aplicações: Os alunos analisarão os dados para abordar a situação.

    MA 12.4.2.a: Faça inferências e justifique as conclusões de pesquisas por amostragem, experimentos e estudos observacionais.

    MA 12.4.3: Probabilidade: Os alunos interpretarão e aplicarão conceitos de probabilidade.

    MA 12.4.3.a: Calcule o valor esperado de uma variável aleatória e interprete-o como a média de uma distribuição de probabilidade.

    MA 12.4.3.b: Determinar os resultados possíveis de uma decisão atribuindo probabilidades aos valores dos resultados e encontrando os valores esperados.


    Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 12 Áreas Relacionadas aos Círculos Ex 12.3

    Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 12 Áreas relacionadas aos Círculos Ex 12.3, fazem parte das Soluções NCERT para Matemática da Classe 10. Aqui, fornecemos Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 12 Áreas Relacionadas a Círculos Ex 12.3

    [Salvo indicação em contrário, use ( pi = frac <22> <7> ).]

    Ex 12.3 Questão 1 de Matemática da Classe 10.
    Encontre a área da região sombreada na figura dada, se PQ = 24 cm, PR = 7 cm e O é o centro do círculo.

    Solução:

    Ex 12.3 Pergunta de Matemática da Classe 10 2.
    Encontre a área da região sombreada na figura dada, ¡f raios dos dois círculos concêntricos com centro O são 7 cm e 14 cm respectivamente e ∠AOC = 40 °.

    Solução:

    Ex 12.3 Questão 3 de Matemática da Classe 10.
    Encontre a área da região sombreada na figura fornecida, se ABCD é um quadrado de 14 cm de lado e APD e BPC são semicírculos.

    Solução:

    Ex 12.3 Questão 4 de Matemática da Classe 10.
    Encontre a área da região sombreada na figura, onde um arco circular de raio de 6 cm foi desenhado com o vértice O de um triângulo equilátero OAB de lado 12 cm como centro.

    Solução:

    Ex 12.3 Questão 5 de Matemática da Classe 10.
    De cada canto de um quadrado de lado 4 cm, é cortado um quadrante de um círculo de raio 1 cm e também um círculo de 2 cm de diâmetro como mostrado na figura. Encontre a área da parte restante do quadrado.

    Solução:

    Ex 12.3 Questão 6 de Matemática da Classe 10.
    Em uma mesa circular de (raio de 32 cm), forma-se um desenho deixando um triângulo equilìtico ABC no meio, como mostrado na figura. Encontre a área do desenho (região sombreada).

    Solução:

    Ex 12.3 Questão 7 de matemática da classe 10.
    Na figura, ABCD é um quadrado de 14 cm de lado. Com os centros A, B, C e D, quatro círculos são desenhados de modo que cada círculo toque externamente dois dos três círculos restantes. Encontre a área da região sombreada.
    Solução:

    Ex 12.3 Questão 8 de Matemática da Classe 10.
    A figura fornecida mostra uma pista de corrida cujas extremidades esquerda e direita são semicirculares. A distância entre os dois segmentos de linha paralela interna é de 60 me cada um deles tem 106 m de comprimento. Se a pista tiver 10 m de largura, encontre:

    (i) a distância ao redor da pista ao longo de sua borda interna.
    (ii) a área da pista.
    Solução:

    Ex 12.3 Questão 9 de Matemática da Classe 10.
    Na figura, AB e CD são dois diâmetros de um círculo (com centro O) perpendiculares entre si e OD é o diâmetro do círculo menor. Se OA = 7 cm, encontre a área da região sombreada.

    Solução:

    Ex 12.3 Pergunta de Matemática da Classe 10 10.
    A área de um triângulo equilátero ABC é 17320,5 cm 2. Com cada vértice do triângulo como centro, um círculo é desenhado com raio igual a metade do comprimento do lado do triângulo (veja a figura). Encontre a área da região sombreada.
    (Use π = 3,14 e √ 3 = 1,73205).

    Solução:

    Ex 12.3 Pergunta de Matemática da Classe 10 11.
    Em um lenço quadrado, são feitos nove desenhos circulares de 7 cm de raio cada (veja a figura). Encontre a área do resto do lenço.

    Solução:

    Ex 12.3 Questão 12 de Matemática da Classe 10.
    Na figura, OACB é um quadrante de um círculo com centro O e raio de 3,5 cm. Se OD = 2 cm, encontre a área do
    (i) quadrante OACB,
    (ii) região sombreada.

    Solução:

    Ex 12.3 Pergunta de Matemática da Classe 10, 13.
    Na figura, um OABC quadrado está inscrito em um quadrante OPBQ. Se OA = 20 cm, encontre a área da região sombreada. (Use π = 3,14)

    Solução:

    Ex 12.3 Questão 14 de Matemática da Classe 10.
    AB e CD são respectivamente arcos de dois círculos concêntricos de raios 21 cm e 7 cm e centro O (ver figura). Se ZAOB = 30 °, encontre a área da região sombreada.

    Solução:

    Ex 12.3 Questão 15 de Matemática da Classe 10.
    Na figura, ABC é um quadrante de um círculo de raio de 14 cm e um semicírculo é desenhado com BC como diâmetro. Encontre a área da região sombreada.

    Solução:

    Ex 12.3 Pergunta de Matemática da Classe 10 16
    Calcule a área da região desenhada na figura comum entre os dois quadrantes dos círculos de raio 8 cm cada.

    Solução:

    Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 12 Áreas Relacionadas a Círculos (Hindi Médio) Ex 12.3

    Soluções NCERT para Matemática da Classe 10

    Esperamos que as Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 12 Áreas Relacionadas aos Círculos Ex 12.3, ajudem você. Se você tiver alguma dúvida sobre Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 12 Áreas relacionadas ao Exercício 12.3 dos Círculos, deixe um comentário abaixo e entraremos em contato com você o mais rápido possível.


    O mínimo de uma parábola está localizado em (–1, –3). O ponto (0, 1) também está no gráfico. Qual equação pode ser resolvida para determinar o valor a na função que representa a parábola? 1 = a (0 + 1) 2 - 3 1 = a (0 - 1) 2 + 3 0 = a (1 + 1) 2 - 3 0 = a (1 - 1) 2 + 3

    A equação que pode ser usada para resolver para a é 1 = a (0 = 1) ²-3.

    Nesse caso, eu modelaria a parábola na forma de vértice. A forma do vértice é y = a (x-h) ² + k, onde (h, k) é o vértice da parábola. Usando as informações da pergunta, podemos inserir valores para obter 1 = a (0 + 1) ²-3. (Isso poderia ser simplificado como 1 = a (1) ²-3 ⇒ 1 = a-3 ⇒ a = 4, mas estamos apenas interessados ​​em encontrar a equação que pode resolver para a.)

    ☛ Sabemos que (-1, -3) é o vértice.
    ☛ Configure a parábola como y = k (x + 1) ²-3
    ☛ 1 = k (0 + 1) ²-3
    ☛ k = 4
    ☛ y = 4 (x + 1) ²-3 é a equação

    Espero que ajude! ★ Se você tiver mais perguntas sobre esta questão ou precisar de mais ajuda, fique à vontade para comentar abaixo ou deixe-me um PM. -UnicornFudge também conhecido como Nadia


    12.3: A Parábola - Matemática

    por Kristina Dunbar, UGA

    Explorações do gráfico

    Neste exercício, iremos explorar gráficos parabólicos da forma y = umax 2 + bx + c, Onde uma, b, e c são números racionais. Em particular, examinaremos o que acontece com o gráfico à medida que fixamos 2 dos valores para uma, b, ou c, e variar o terceiro.

    Dividimos em três partes:

    Deixar uma variam enquanto b e c permanecem fixos.

    Exemplo 1: Let b = 0 e c = 0.

    Então oque está acontecendo? O gráfico tradicional de y = x 2 é mostrado em roxo. Vimos que aumentar o valor do coeficiente uma estreita a parábola, e mudando o sinal do coeficiente uma muda a direção da parábola.

    Exemplo 2: Let b= 1 e c= 0 enquanto ainda varia uma.

    Então, o que está acontecendo agora? Todas essas parábolas ainda passam pela origem, mas as bases das parábolas mudaram.

    Exemplo 3: Let uma variar, b = -1, e c = 0.

    Com base na imagem acima, eu esperaria que fosse semelhante ao Exemplo 2, exceto que o gráfico se deslocará para a direita para as parábolas com formato para cima e para a esquerda para as parábolas voltadas para baixo. Vamos ver se estamos certos.

    O gráfico fez exatamente o que esperávamos, com base em nossas observações no gráfico anterior.

    Exemplo 4: Variar uma e deixar b = 1 e c =1.

    Vemos que as parábolas não passam mais pela origem, mas sim pelo ponto (0,1).

    Volte para minha lista de atribuições.

    Deixar b variam enquanto uma e c permanecem fixos.

    Exemplo 1: Let uma = 0 e c = 0.

    Não acho que haja algo realmente surpreendente na foto acima. Com ambos uma e c igual a zero, ficamos com uma função linear. Quando b é positivo, a linha permanece nos quadrantes I e III, os quadrantes onde ambos x e y têm o mesmo sinal / direção. Quando b for negativo, a linha está nos quadrantes II e IV. Observe que essas linhas sempre passam pela origem, e que quando você aumenta b, a linha fica mais íngreme.

    Exemplo 2: Let uma = 0 e c = 1.

    O gráfico é exatamente igual ao anterior, exceto pelo fato de que mudou 1 unidade na direção positiva. Os gráficos não passam mais pela origem, mas pelo ponto (0,1). Além disso, observe que agora as equações dos gráficos são as equações lineares normais da forma y = mx + b, Onde m é a inclinação e b é a interceptação y.

    Exemplo 3: Let uma = 1 e c = 0.

    Agora temos uma parábola novamente. Observe que as bases das parábolas estão todas abaixo do eixo x e que ainda passam pela origem. Os gráficos com valores positivos de b deslocaram-se para baixo e para a esquerda, aqueles com valores negativos de b deslocaram-se para baixo e para a direita.

    Exemplo 4: Let uma = 1 e c = 1.

    O gráfico é semelhante ao do Exemplo 4, exceto pelo fato de que mudou uma unidade para cima e todas as parábolas passam pelo ponto (0,1).

    Volte para minha lista de atribuições.

    Deixar c variam enquanto uma e b permanecem fixos.

    Exemplo 1: Let uma = 0 e b = 0.

    Estas são todas as linhas horizontais cruzando o eixo y no c valor.

    Exemplo 2: Let uma = 1 e b = 0.

    Temos uma parábola normal com a base da parábola no eixo y no valor de c.

    Exemplo 3: Let uma = 0 e b = 1.

    Todos esses gráficos têm uma inclinação de 1 (o b valor) e cruze o eixo y no c valor.

    Exemplo 4: Let uma = 1 e b = 1.

    Temos uma série de parábolas cujas bases estão à esquerda do eixo y e que cruzam o eixo y no c valor.


    & # 160O gráfico da equação y = ax ^ 2 + bx + c, onde a, b e c são constantes, é uma parábola com eixo de simetria x = -3. Encontre b / a.

    O gráfico da equação y = ax ^ 2 + bx + c, onde a, b e c são constantes, é uma parábola com eixo de simetria x = -3. Encontre b / a.

    Geometricamente falando, uma parábola é definida como o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um determinado ponto e de uma determinada linha. O ponto é chamado de foco da parábola e a linha é chamada de diretriz da parábola. Suponha que P seja uma parábola com foco (4,3) e diretriz y = 1. O ponto (8,6) está em P porque (8,6) está a 5 unidades de distância tanto do foco quanto da diretriz. Se escrevermos a equação cujo gráfico é P na forma y = ax ^ 2 + bx + c, então o que é a * b * c?

    Encontre a área da região delimitada pelo gráfico da equação x ^ 2 + y ^ 2 = 4x + 6y + 13.

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    Eu respondi a primeira em outro lugar hoje.

    Geometricamente falando, uma parábola é definida como o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um determinado ponto e de uma determinada linha. O ponto é chamado de foco da parábola e a linha é chamada de diretriz da parábola. Suponha que P seja uma parábola com foco (4,3) e diretriz y = 1. O ponto (8,6) está em P porque (8,6) está a 5 unidades de distância tanto do foco quanto da diretriz. Se escrevermos a equação cujo gráfico é P na forma y = ax ^ 2 + bx + c, então o que é a * b * c?

    O vértice será encontrado em (4,2) e podemos escrever que:

    (y - 2) = (a) (x - 4) ^ 2 e como (8,6) está na curva, podemos resolver para um

    Uma vez que a coordenada x do vértice é dada por -b / (2a), temos que -b / [2 (1/4)] = 4 → -b / (1/2) = 4 → -b = 2 → b = -2

    E usando o fato de que (4,2) está no gráfico, podemos encontrar c, assim:

    Então a * b * c = (1/4) (-2) (6) = (1/4) (- 12) = -3

    Aqui está o gráfico da função: https://www.desmos.com/calculator/1hi34pnvzw

    Encontre a área da região delimitada pelo gráfico da equação x ^ 2 + y ^ 2 = 4x + 6y + 13.

    Este será um círculo. precisamos encontrar o raio para encontrar a área delimitada pelo círculo

    Vamos escrever isso como x ^ 2 -4x + y ^ 2 -6y - 13 = 0 completar o quadrado em x e y


    Relações quadráticas e seções cônicas

    Para diferenciar entre relações quadráticas e funções quadráticas, a equação geral de uma função quadrática segue:
    y = ax 2 + bx + c.

    A fórmula acima tem a forma de uma parábola. Podemos querer verificar se ele passa no teste da linha vertical e realmente é uma função. Para realizar esse teste, simplesmente escolha um valor de "x" e desenhe uma linha vertical através dele. Se qualquer uma dessas linhas cruzar o gráfico mais de uma vez, o teste da linha vertical falhou e a relação não é uma função. Como todos os polinômios são funções, e este é um polinômio, esperamos que ele passe no teste da linha vertical.

    Considere a seguir a relação:
    y 2 = x
    Na & # 239você pode reescrever isso como: y = (x). No entanto, perdemos um ramo e, corretamente, seria escrito: y = & # 177 (x), então seria uma abertura de parábola na direção x. Mas não passa no teste da linha vertical e isso é apenas uma relação e não uma função.

    Fórmula de distância:
    A fórmula da distância é derivada do teorema de Pitágoras, que diz que a soma dos quadrados dos dois lados do triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa. Assim, a distância (d) entre dois pontos conhecidos, (x 1, y 1) e (x 2, y 2) é a raiz quadrada do seguinte:
    d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2. Essa relação será freqüentemente usada para encontrar os vários raios envolvidos.

    Completando o quadrado :
    Se o coeficiente do termo quadrático for igual a um, como em x 2 + bx, então o número que completará o quadrado pode ser encontrado dividindo o coeficiente linear pela metade, (b), elevando ao quadrado e adicionando o resultado: x 2 + bx + (b / 2) 2 = (x + b / 2) 2. Quando o coeficiente do termo quadrático não é igual a um, você deve fatorá-lo primeiro, conforme ilustrado em alguns exemplos abaixo.

    Vértice:
    Em uma parábola, a coordenada x do vértice é dada por: h = - (b / 2a). A coordenada y é dada por k = y (h) ou k = c - b 2 / (4 a). A equação da coordenada x deve ser fácil de lembrar, já que as raízes (zeros, interceptos x, soluções) de uma quadrática são simétricas em relação ao vértice e essas raízes são dadas pela fórmula quadrática. h = - (b / 2a) é, portanto, a porção da fórmula quadrática sem a porção & # 177. A fórmula da coordenada y pode ser derivada substituindo este h como x em y (x).

    Desigualdades:
    "" indica a região fora da seção cônica.

    Um círculo é uma coleção de pontos (x, y) em um plano de coordenadas, de modo que cada ponto é equidistante de um ponto fixo (h, k) conhecido como centro. Para círculos, os coeficientes para os termos x 2 e y 2 na relação quadrática geral são iguais (ou seja, A = C).

    Gráfico de um círculo x 2 + y 2 = 25 Usando uma janela de visualização quadrada

    A equação de um círculo na forma padrão é a seguinte: (x-h) 2 + (y-k) 2 = r 2

      Lembrar:
  1. (h, k) é o ponto central.
  2. r é o raio do centro às coordenadas (x, y) do círculo.
  3. Exemplo: x 2 + y 2 + 6 x - 4 y - 12 = 0

    Etapa 1 - Comutar e associar os termos xey aditivos inversos de -12: (x 2 + 6 x) + (y 2 - 4 y) = 12

    Passo 2 - Complete os quadrados, (o que você faz de um lado certifique-se de fazer do outro lado): (x 2 + 6 x + 9) + (y 2 - 4 y + 4) = 12 + 9 + 4

    Etapa 3 - Fator: (x + 3) 2 + (y - 2) 2 = 25 = 5 2

      Observações
    1. A seção cônica será um círculo, pois os termos x 2 ey 2 têm o mesmo sinal e coeficientes iguais.
    2. O centro, (h, k), é (-3,2). Observe que esses são os valores de xey que tornam o termo correspondente igual a zero.
    3. O raio do círculo será de 5 unidades, já que a raiz quadrada de 25 é de 5.
    4. Um círculo pode ser desenhado com um compasso ou um percevejo e um barbante.
    5. A excentricidade de um círculo é zero (e = 0).
    Uma elipse também é uma coleção de pontos (x, y) em um plano de coordenadas. É muito semelhante a um círculo, mas um tanto "fora do círculo" ou oval. Para uma elipse, os termos x 2 ey 2 têm coeficientes desiguais, mas o mesmo sinal (A C e AC> 0). (O plural de elipse é elipses, que também é:. Ambos derivam da mesma raiz básica, significando omitir.)

                       
    Gráfico de uma elipse 2 x 2 + y 2 = 25 Usando uma janela de visualização quadrada

      Lembrar:
    • (h, k) é o ponto central.
    • r x é o comprimento do raio na direção & # 177 x.
    • r y é o comprimento do raio na direção & # 177 y.

    Exemplo:
    x 2 + 4 y 2 = 16
    Etapa 1 - Divida os dois lados por 16: (x 2) / 16 + (4 y 2) / 16 = 1.

    Etapa 2 - Simplifique o segundo termo: (x 2) / 16 + (y 2) / 4 = 1.

    Etapa 3 - Fatorar / reescrever na forma padrão: (x / 4) 2 + (y / 2) 2 = 1.

      Observações
    1. O MESMO sinal, mas os coeficientes DIFERENTES para os termos x 2 ey 2 nos dizem que o gráfico será uma elipse.
    2. Os dois denominadores, 4 e 2, (localizados na etapa 3) nos dizem que os vértices da elipse são encontrados a 4 unidades do centro (0,0) na direção & # 177 x e dois outros pontos críticos estão localizados a 2 unidades da o centro na direção & # 177 y.
    3. r x = 4 é chamado de raio x e é a distância do centro à elipse na direção x.
    4. r y = 2 é chamado de raio y e é a distância do centro à elipse na direção y.
    5. O semi-eixo maior é o maior de r x e r y, neste caso 4.
    6. O semi-eixo menor é o menor de r x e r y, neste caso 2.
    7. Semi- significa metade. Assim, os eixos maior e menor são duas vezes os eixos semi-maior e semi-menor.
    8. Uma elipse também pode ser descrita como o conjunto de pontos em um plano tal que a soma da distância de cada ponto, d 1 + d 2, de dois pontos fixos F 1 e F 2 é constante. Assim, uma elipse pode ser desenhada usando duas tachinhas e um barbante.
    9. F 1 e F 2 são focos, ou seja, cada um é um foco. Eles estão localizados em (h & # 177 c, k) ou (h, k & # 177 c)
    10. A distância do centro a um foco é o raio focal.
    11. Se a é o semi-eixo maior eb é o semi-eixo menor, então c é o raio focal, onde d 1 + d 2 = 2 a e c 2 = a 2 -b 2. Nesse caso, c 2 = 16-4 = 12.
    12. A excentricidade e de uma elipse é dada pela razão: e = c / a. Como c a e ambos são positivos, isso estará entre 0 e 1. Uma excentricidade próxima de zero corresponde a uma elipse em forma de círculo, enquanto uma excentricidade próxima a um corresponde mais a um charuto.
    13. A área de uma elipse é: A = ab. A circunferência geralmente deve ser aproximada.
    14. O latus recta de uma elipse são segmentos de linha através de um foco com pontos finais na elipse e perpendiculares ao eixo maior. Seu comprimento é 2 b 2 / a.
    Uma parábola tem uma equação que contém apenas um termo ao quadrado. Se o termo x 2 for excluído, o gráfico será aberto em uma direção x. Se o termo y 2 for excluído, o gráfico será aberto em uma direção y. Apenas os gráficos que abrem na direção & # 177 y são funções quadráticas, portanto, aqueles que abrem na direção & # 177 x são relações quadráticas.

    Gráfico de uma parábola x = y 2 - 25 Em uma janela de visualização distorcida

    As funções parabólicas têm a equação geral:
    y = ax 2 + bx + c

    Uma relação parabólica geral tem a equação da relação quadrática geral localizada na página inicial, exceto A = 0 ou C = 0.

      Observações
    1. A seção cônica será uma parábola porque há apenas um termo quadrado, y 2.
    2. Como o termo x 2 está faltando, o gráfico será aberto em uma direção x, especificamente a - x uma vez que a coordenada C y do vértice é encontrada pela fórmula: k = -b / 2a. Portanto, k = -12/2 (-2) = 3.
    3. A coordenada x do vértice é: & # 160 & # 160 & # 160 h = -2 (3 2) + 12 (3) - 10 = 8.
    4. A excentricidade de uma parábola é um (e = 1).
    5. Uma parábola pode ser descrita como o conjunto de pontos coplanares, cada um dos quais à mesma distância de um foco fixo e de uma linha reta fixa chamada diretriz.
    6. O ponto médio entre o foco e a diretriz é o vértice. A linha que passa pelo foco e pelo vértice é o eixo da parábola.
    7. Uma corda focal é um segmento de linha que passa pelo foco com pontos finais na parábola.
    8. O latus reto é a corda focal perpendicular ao eixo da parábola.
    9. Outra forma padrão para uma parábola é: & # 160 (x - h) 2 = 4 p (y - k) ou & # 160 & # 160 (y - k) 2 = 4 p (x - h)
    10. O foco está nas unidades do eixo p do vértice: (h, k + p) ou (h + p, k).
    11. A diretriz é a linha y = k - p ou x = h - p
    Uma hipérbole tem dois ramos simétricos e desconectados. Cada ramo se aproxima das assíntotas diagonais *. As hipérboles podem ser detectadas pelos sinais opostos dos termos x 2 e y 2. (AC * (assíntotas são linhas das quais um gráfico se aproxima arbitrariamente, mas nunca realmente toca, pois a variável continua a se mover na direção positiva ou negativa).

    Gráfico de uma hipérbole - x 2 + y 2 = 25 Em uma janela de visualização distorcida

    As hipérboles têm as equações específicas:

    ((xh) / rx) 2 - ((yk) / ry) 2 = 1 & # 160 & # 160 OU & ​​# 160 & # 160 - ((xh) / rx) 2 + ((yk) / ry) 2 = 1
    Se o sinal antes do termo x 2 for POSITIVO (A> 0), a hipérbole se abrirá em direção à direção & # 177 x. Mas se o sinal antes do termo y 2 for POSITIVO (C> 0), a hipérbole se abrirá em direção à direção & # 177 y.

      Lembrar:
    • (h, k) é o ponto central.
    • r x é a distância do centro ao vértice de direção da hipérbole & # 177 x (ou assíntota).
    • r y é a distância do centro ao vértice de direção & # 177 y da hipérbole (ou assíntota).
    • as assíntotas têm inclinações de r y / r x e - (r y / r x)
    • Uma hipérbole é o conjunto de pontos em um plano tal que para cada ponto (x, y) na hipérbole, a diferença entre sua distância de dois focos fixos é uma constante.
    • O semi-eixo maior, a, é o maior de r x e r y.
    • O semi-eixo menor, b é o menor de r x e r y.
    • O eixo transversal conecta os dois vértices.
    • O eixo conjugado é perpendicular ao eixo transversal.
    • Assim, o eixo transversal é duas vezes maior, a = abs (d 1 - d 2).
    • c 2 = a 2 + b 2.
    • A excentricidade e de uma hipérbole é dada pela razão: e = c / a. Como c> a e ambos são positivos, isso será maior que 1. Se e for próximo a um, a hipérbole será estreita e pontiaguda, enquanto se e for grande, a hipérbole será quase plana.

    Exemplo:
    - (x / 4) 2 + (y / 3) 2 = 1

      Observações
    1. A seção cônica será uma hipérbole, pois os termos x 2 ey 2 têm sinais diferentes.
    2. Os gráficos abrem na direção & # 177 y, pois o sinal antes do termo y é positivo.
    3. As assíntotas teriam uma inclinação de 3/4 ou - (3/4).

    2 2 ((x -3) 2 + (y -0) 2) = (x --3) 2 + (y -0) 2

    Isso vem da aplicação da fórmula da distância, mas ambos os lados foram elevados ao quadrado. Isso leva aos seguintes relacionamentos:
    4 (x 2 -6 x +9+ y 2) = x 2 +6 x +9+ y 2

    3 x 2 -30 x + 27 + 3 y 2 = 0 & # 160 & # 160 ou & # 160 & # 160 (x -5) 2 + y 2 = 4 2.

    Portanto, temos um círculo centrado em (5,0) com raio 4.

    Outro exemplo pode ser o seguinte: Cada ponto é equidistante do ponto (3, -4) e da linha y = 2. Desse modo:

    (x -3) 2 + (y +4) 2 = (x - x) 2 + (y -2) 2.

    x 2 -6 x +9+ y 2 +8 y + 16 = 0 + y 2 -4 y +4.

    x 2 -6 x +12 y + 21 = 0 & # 160 & # 160 ou & # 160 & # 160 y +1 = - (x -3) 2/12.

    Portanto, temos uma parábola com vértice em (3, -1) abrindo na direção - y.

    Um último exemplo é o seguinte: Para cada ponto, sua distância do ponto (0,3) é 3/2 vezes sua distância da linha y = -3.

    4 ((x -0) 2 + (y -3) 2) = 9 ((x - x) 2 + (y +3) 2)

    4 (x 2 + y 2 -6 y +9) = 9 (y 2 +6 y +9)

    Portanto, temos uma abertura de hipérbole na direção x.

    Várias etapas foram omitidas das derivações acima e cabe ao aluno verificá-las, verificar e dominá-las, porque vários erros algébricos comuns ocorrem com frequência.

    Se o discriminante for menor que zero, temos um círculo (se A = C) ou uma elipse
    se o discriminante é igual a zero temos uma parábola
    se o discriminante for maior que zero, temos uma hipérbole.

    Nossa equação pode ser reescrita com B '= 0 girando os eixos coordenados através de um ângulo 0, onde cot (2 0) = (A - C) / B. Observe que F = F 'é invariante sob rotação. Observe também A + C = A '+ C' e B 2 -4 AC = (B ') 2 -4 A'C'. Escolhemos B '= 0.

    A hipérbole mais simples vem do gráfico: & # 160 & # 160 y = 1 / x ou xy = 1. Para esta relação, notamos que A = 0, B = 1 e C = 0. Assim, cot 2 0 = 0 ou 0 = / 4. Assim, em um sistema de coordenadas x'y ', que é girado 45 & # 176 de nosso sistema de coordenadas xy normal, nossa equação seria:


    Solução

    Os alunos podem tentar usar a forma de declive-interceptação ou a forma de declive-ponto para a equação de uma reta. Uma vez que dois pontos são dados, eles encontrarão a inclinação primeiro como subida sobre a corrida ou $ m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) = (12-0) / (- 1 - (- 4)) = 12/3 = 4. $

    Se eles usarem a forma de declive-interceptação, eles inserirão um ponto na equação, $ y = 4x + b $, e encontrarão $ b = 16 $, então $ y = 4x + 16 $.

    Se eles usarem a forma de declive-ponto, eles irão inserir um ponto em $ y-y_1 = 4 (x-x_1) $ para obter qualquer uma das formas equivalentes $ y = 4 (x + 4) $ ou $ y-12 = 4 (x + 1) $.

    Para ver que $ R $ está na mesma linha, os alunos decidem se o ponto $ (x, y) = (4,32) $ satisfaz sua equação da parte anterior. Por exemplo, dado $ y = 4x + 16 $, os alunos podem verificar que $ 32 = 4 (4) + 16 $. Concluímos que $ R $ está na mesma linha que $ P $ e $ Q $.

    Abundam outras abordagens de solução: os alunos podem, por exemplo, também verificar se a inclinação entre $ R $ e $ P $ ou $ Q $ é 4, portanto, eles devem estar na mesma linha.

    Podemos argumentar geometricamente da seguinte maneira: uma linha reta cruza uma parábola no máximo duas vezes, portanto, como $ P $, $ Q $ e $ R $ são colineares, não pode ser que todos os três estejam em qualquer parábola. (Observe que esta resposta requer a convenção de que as linhas não contam como parábolas. Sem essa convenção, a "parábola degenerada" consistindo na própria linha $ y = 4x + 16 $ contém todos os três pontos.)

    Algebricamente, podemos prosseguir resolvendo o sistema de equações que obtemos avaliando a expressão $ y = ax ^ 2 + bx + c $ nas coordenadas $ x $ - e $ y $ - de $ P $, $ Q $ e $ R $. Isso dá begin 0 & amp = & ampa (-4) ^ 2 + b (-4) + c 12 & amp = & ampa (-1) ^ 2 + b (-1) + c 32 & amp = & ampa (4) ^ 3 + b (4 ) + c end Resolvendo o sistema resultante, temos $ a = 0, b = 4 $ e $ c = 16 $.

    Vale ressaltar que, neste caso, a abordagem geométrica prova uma afirmação mais geral, pois se aplica a todas as parábolas, e não apenas às da forma $ y = ax ^ 2 + bx + c $.


    Próximos eventos no MoMath

    Transformações2021 - acampamento de verão MoMath e # 8217s - inscrições abertas!
    28 de junho a 3 de setembro

    Pensando no verão de 2021? O MoMath também! No Transformações, o acampamento de verão em MoMath, os alunos do primeiro ao nono ano conhecerão a riqueza da matemática na América e o único museu dedicado à matemática. Por meio de atividades interativas de corpo inteiro, sessões de educação prática e projetos criativos, a matemática ganhará vida para cada um dos participantes. Este Verão, Transformações 2021 oferece dez sessões online de uma semana de 28 de junho a 3 de setembro, com temas interessantes, como Fibonacci e mais!, Maravilhas matemáticas, Puzzle Me This, Quais são as chances?, e Infinidades de infinitas. Complementos presenciais disponíveis para quem está na cidade. Saiba mais e registre-se em summercamp.momath.org.

    Expansões: um programa de enriquecimento à tarde para alunos talentosos de matemática - inscrições aceitas para vagas limitadas
    Reinvente a aula de matemática com Expansões, MoMath & # 8217s programa da tarde para talentos. Apresentando programas para alunos amantes da matemática matriculados do primeiro ao décimo segundo ano, o Expansões workshops são projetados e ministrados pela equipe educacional do MoMath & # 8217s para iluminar as maravilhas da matemática, desafiar e inspirar os alunos e ampliar seus horizontes matemáticos. Com tópicos que variam de fractais a autômatos celulares, essas aulas da tarde fornecem uma oportunidade para os participantes aprenderem tópicos avançados e fascinantes não incluídos no currículo padrão do K ao 12º. Além disso, os alunos podem se beneficiar ao praticar matemática junto com pequenos grupos de jovens acadêmicos talentosos e focados. O MoMath está atualmente aceitando inscrições para vagas limitadas no ano letivo de 2020-2021, que está sendo conduzido online. Para saber mais, visite expansions.momath.org.

    Programas em andamento

    Visite MoMath
    O MoMath tem o prazer de anunciar que suas portas com alça pi reabriram em 1º de julho! Os ingressos para visitar o MoMath pessoalmente já estão à venda em visit.momath.org.

    Faça um gráfico da grade (uma MathHappening evento) - estendido pela demanda popular
    Nós o levamos para as ruas! Junte-se a seus colegas nova-iorquinos para um divertido e colaborativo MathHappening evento. Ajude a criar um gráfico humano na grade de Manhattan, tornando-se um ponto ao longo de uma curva parabólica elegante. Compartilhe sua localização nas redes sociais e veja a mágica se desenrolar enquanto juntos construímos um gráfico em escala humana dessa função quadrática curiosa. Trazido a você por meio dos esforços conjuntos de MoMath, o único museu de matemática do país, e de Mathigon, criador de novos currículos de matemática online inovadores, este evento promete proporcionar um momento de colaboração e comunidade para todos. Devido à demanda popular, esta atividade divertida permanecerá disponível - não perca a chance de ajudar a criar a maior parábola humana de todos os tempos para enfeitar as ruas de Manhattan (e para pontos ao norte, incluindo o Bronx, Westchester e Connecticut). Saiba mais e registre-se no gratuitamente em grid.momath.org!

    Matemática na casa - inscrição na lista de discussão para ser notificado sobre programas GRATUITOS
    O MoMath tem o prazer de oferecer Matemática na casa, uma lista de mala direta para clientes valiosos do Museu receberem gratuitamente ingressos de última hora para eventos selecionados, quando houver espaço disponível. Para se inscrever, visite mathonthehouse.momath.org.

    Apoie o MoMath enquanto faz compras na Amazon!
    O MoMath convida você a fazer compras no AmazonSmile e escolher o & # 8220National Museum of Mathematics & # 8221 como sua instituição de caridade preferida. A Amazon doará 0,5% do seu preço total de compra para o MoMath! Clique aqui para apoiar o Museu de Matemática da nação e # 8217s enquanto você faz compras!

    Sessões Sênior
    Exercite seus músculos mentais em sessões de matemática de 45 minutos! Junte-se aos experientes apresentadores do MoMath para aulas intrigantes sobre uma variedade de tópicos estimulantes, incluindo topologia, quebra-cabeças e criptografia. Aproveite a descoberta e os desafios nessas atividades envolventes e interativas com um grupo de mentes maduras. Para idosos / adultos maduros. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Compartilhe o dom da matemática! Registros de presentes para Sessões Sênioracessível: mathgift.momath.org.

    Fatia de Pi - um clube social com duração de um mês, incluindo atividades contínuas para pré-adolescentes e adolescentes que amam matemática
    Junte-se a outros jovens entusiastas da matemática durante o almoço ou lanche para conversas divertidas sobre seus tópicos favoritos de matemática, exiba vídeos e muito mais, apresentados por um experiente educador do MoMath. Uma associação de um mês em Fatia de Pi inclui acesso ao MoMath & # 8217s Ilimitado misturador e Tween Primes clube do livro, almoços semanais e outros programas especiais. Faça amigos matemáticos de todo o mundo que compartilhem seu interesse por quebra-cabeças, jogos e solução de problemas neste encontro único de mentes (jovens). Para obter mais informações e se inscrever, visite sliceofpi.momath.org.

    Perspectiva global: Matemática, Arte e Arquitetura no Mundo
    Cada escultura Anton Bakker convida - e recompensa - o exame de vários ângulos. Agora, Bakker usa tecnologia personalizada baseada em computador para implantar suas esculturas intrigantes em todo o mundo. A cada mês, ao longo de 2021, veja as esculturas de Bakker e # 8217s - virtualmente - em cidades de todo o mundo, incluindo Nova York, Londres, Paris, Berlim e Amsterdã, em uma exposição de realidade aumentada mundial especial que permite que você literalmente se coloque na foto. com algumas das artes e arquitetura mais envolventes do mundo. Saiba mais - incluindo como trazer este programa para SUA cidade - em globalperspective.momath.org. Membros Premium (Membership Plus ou superior), traga essas emocionantes esculturas virtuais para sua cidade ou casa GRATUITAMENTE!

    ConectadosViagens de campo
    Educadores, reúnam sua turma em nossa sala de aula virtual! As escolas podem estar fechadas, mas o MoMath permite que seu grupo se conecte para uma aventura matemática compartilhada. Reúna seus alunos com um educador experiente do MoMath para uma sessão de excursão on-line envolvente, totalmente acessível em casa ou na sala de aula. Para obter mais informações e registrar sua classe, visite fieldtrips.momath.org. (Viagens gratuitas estão disponíveis para escolas Title I o suprimento é limitado, então inscreva-se hoje.)

    Passeios online e viagens de campo para Composto, a galeria em MoMath
    Faça um tour com o artista Anton Bakker e explore o Perspectivas Alternativas exibição

    O MoMath tem o prazer de apresentar uma mostra de arte inovadora em Composto, a galeria no MoMath - virtualmente! Dentro Perspectivas Alternativas, o artista Anton Bakker nos leva em uma jornada em um mundo de beleza matemática com uma reviravolta adicional: uma mudança na perspectiva parece mudar a própria realidade do objeto diante de você. As esculturas de Anton - executadas em aço, bronze ou como interativos digitais - fixam pontos no espaço que, conforme o olho os conecta, revelam alinhamentos harmoniosos como caminhos tridimensionais. Linhas, curvas, nós, espirais, faixas de Möbius, ilusões de ótica e fractais - todos são explorados neste show virtual altamente envolvente. O trabalho de Bakker é complementado por duas peças especiais: um trabalho incomum e surpreendente dos engenheiros que se tornaram artistas Walt van Ballegooijen e Hans Kuiper e uma escultura matemática criativa do ex-cientista do Bell Labs Alan White. Saiba mais sobre a mais nova exposição temporária do MoMath & # 8217s em composite.momath.org e reserve sua viagem de campo em fieldtrips.momath.org ou seu tour em composite.momath.org hoje! Observação: Perspectivas Alternativas estará abrindo em Composto, a galeria em MoMath, neste verão. Grátis com entrada no Museu!

    Livre Mind-Benders for the Quarantined!
    Alcançando mais de 10.000 pessoas em quase 90 países, Mind-Benders for the Quarantined! foi um grande sucesso que envolveu pessoas em todo o mundo durante uma paralisação global sem precedentes. Todos os domingos, o MoMath enviará a você um quebra-cabeça matemático desafiador da coleção de nosso mestre de quebra-cabeças, Dr. Peter Winkler. Na terça-feira, você receberá uma dica sutil na quinta-feira, um impulso sério no sábado, a solução. E no dia seguinte, é claro, um novo quebra-cabeça. Saiba mais e registre-se em mindbenders.momath.org.

    MoMath Online: Sessões do Aluno para séries pré-K a 12
    Em curso, de segunda a sexta

    Quer o seu filho já seja apaixonado por matemática ou apenas começando a explorar suas maravilhas, MoMath Online: Sessões do Aluno irá expor seu filho a áreas interessantes da matemática que não são abordadas na escola e acenderá as chamas por uma apreciação da matemática por toda a vida. Aulas presenciais guiadas por um educador experiente estão disponíveis todos os dias da semana, e a inscrição é sempre gratuita para famílias necessitadas. Para obter mais informações e para se inscrever, visite studentsessions.momath.org.

    Compartilhe o dom da matemática! Registros de presentes para Sessões de Alunosacessível: mathgift.momath.org.

    Tutoria de matemática
    Seu filho está lutando em matemática? Nós podemos ajudar! O MoMath está oferecendo aulas particulares limitadas para as séries K-12 com professores certificados que têm ampla experiência no ensino de alunos on-line e em sala de aula com sucesso. Se seu filho precisa de ajuda com o dever de casa ou preparação para o exame, os instrutores do MoMath estão prontos para ajudar. Para obter mais informações, envie um e-mail para [email protected]

    Festas de aniversário agora com uma opção de origami!
    Quer organizar uma festa de aniversário on-line única e cheia de diversão fabulosa para dobrar? Você e seus convidados podem explorar a maravilhosa arte de dobrar papel com um especialista em origami! Com a sua escolha de atividades personalizadas, as festas podem ser personalizadas para todas as idades de aniversariantes - de crianças a adultos, de arte em papel simples a complicada. Outras opções emocionantes de aniversário online também estão disponíveis. Para obter mais informações, envie um e-mail para [email protected]

    Próximos eventos

    Sessões Sênior: & # 8220Cryptaritmético & # 8221
    Terça-feira, 6 de julho, 15h ET (Nova York)

    Aritmética é divertida, mas aritmética com letras é ainda melhor! Usando o processo de eliminação e alguma lógica inteligente, exploraremos as propriedades fundamentais da aritmética de base 10 de uma maneira única e desafiadora. Junte-se a nós para CRYPT4R1THM3T1C! Para idosos / adultos maduros. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Matemática Amorosahistórias, jogos e risos em uma hora infantil hilariante e divertida
    Terça-feira, 6 de julho, 15:00 ET (Nova York) para as séries K-1
    Terça-feira, 6 de julho, 16:00 ET (Nova York) para 2ª série

    Junte-se ao mestre contador de histórias Steve Sherman para sessões emocionantes desenvolvidas para alunos do jardim de infância até a terceira série. Se o seu filho adora histórias, jogos e risos, não perca este evento selvagem e maluco! Saiba mais e registre-se em loving.momath.org.

    Encontros de matemática grátis: & # 8220A Estrutura do Espaço: Medindo a Forma do Universo & # 8221 com David Spergel (pessoalmente e transmitido online)
    Quarta-feira, 7 de julho, 16h e 19h (horário do leste dos EUA) (Nova York)
    O universo é infinito ou finito? Ele se expandirá para sempre ou entrará em colapso em um Big Crunch quente? E qual é a sua forma? Junte-se a David Spergel, Diretor do Centro de Astrofísica Computacional do Flatiron Institute, enquanto ele apresenta geometria e topologia, os conceitos matemáticos usados ​​para responder a essas perguntas. Aprenda como as observações do fundo de microondas (o calor residual do Big Bang) revelaram a forma do universo e podem ajudar a prever seu destino. Introdução especial de Janna Levin, Claire e Professora de Física e Astronomia do Barnard College da Columbia University. Saiba mais e registre-se para isso gratuitamente evento em mathencounters.org.

    Gratuito para membros Pergunte a um matemático - qualquer coisa!
    Quinta-feira, 8 de julho, 16h ET (Nova york)
    Já quis perguntar algo a um matemático, talvez sobre uma ideia nova e curiosa que você tem ou um conceito que gostaria de entender melhor? Não sabe a quem perguntar? Aqui está sua chance! MoMath & # 8217s 2020-2021 O Distinto Professor Visitante Alex Kontorovich será o anfitrião desta sessão online de uma hora. Saiba mais e registre-se em askmath.momath.org.

    Sessões Sênior: & # 8220Puzzles sensacionais & # 8221
    Sexta-feira, 9 de julho, às 15h (horário do leste dos EUA) (Nova York)

    Explore quebra-cabeças matemáticos que chegaram às manchetes! Aprenda a resolver quebra-cabeças espetaculares e polêmicos usando lógica, probabilidade e teoria básica dos grafos. Desenvolva estratégias de resolução de quebra-cabeças enquanto mergulha nesses enigmas matemáticos que geram notícias. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Folding Fridays
    Sexta-feira, 9 de julho, 16:30 ET (Nova York)
    Junte-se à especialista em origami Kathleen Sheridan para Folding Fridays. Esta semana, dobre um chapéu de Atomu Yamanashi. Explore as maravilhas da dobra de papel - há matemática em cada dobra! Saiba mais e registre-se em foldfridays.momath.org.

    Bridge Basics: um curso de seis semanas
    Domingos às 14h ET (Nova York)
    11, 18 e 25 de julho
    Bridge foi chamado de & # 8220um dos jogos de cartas de parceria mais populares do mundo & # 8217. & # 8221 Se você sempre quis aprender a jogar, MoMath está aqui para ajudar. Junte-se à professora de bridge credenciada pela American Contract Bridge League (ACBL), Dra. Susan J. Fishbein, em um programa de seis semanas criado para mostrar o básico. Por que o jogo tem um apelo tão amplo? O Bridge estimula os dois lados do cérebro, desde o uso de uma linguagem de licitação até a aplicação de aritmética, probabilidade, lógica e inferência. Junte-se a nós por seis semanas e leve um hobby para o resto da vida! Saiba mais e registre-se em bridge.momath.org.

    Sessões Sênior: & # 8220Exhibit Explorations: Pythagorean Puzzlers & # 8221
    Segunda-feira, 12 de julho, 15:00 hora do Leste (Nova York)

    O teorema de Pitágoras é um dos resultados mais importantes em toda a matemática. Existem mais de 120 provas geométricas conhecidas atualmente! Explore as provas geométricas neste workshop prático baseado no MoMath Tabelas de tempo quebra-cabeças. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Matemática Amorosahistórias, jogos e risos em uma hora hilariante e divertida para crianças
    Terça-feira, 13 de julho, 15h00 ET (Nova York) para as séries K-1
    Terça-feira, 13 de julho, 16:00 ET (Nova York) para 2ª série

    Junte-se ao mestre contador de histórias Steve Sherman para sessões emocionantes projetadas para alunos do jardim de infância até a terceira série. Se o seu filho adora histórias, jogos e risos, não perca este evento selvagem e maluco! Saiba mais e registre-se em loving.momath.org.

    Conheça o Artista (em pessoa!)
    Terça-feira, 13 de julho, 18:30 ET (Nova York)

    Conheça o artista Anton Bakker para uma discussão animada sobre sua arte e o que o inspira. Desde sua infância na Holanda até sua carreira em alta tecnologia nos Estados Unidos, um fascínio pela interseção de forma, tecnologia e beleza influenciou seu trabalho. Não perca a oportunidade de conhecer Anton pessoalmente e conhecer este homem incomum da Renascença moderna. Saiba mais e registre-se em meetartist.momath.org.

    Sessões Sênior: & # 8220Topological Tic-Tac-Toe & # 8221
    Quinta-feira, 15 de julho, 15h00 horário do leste dos EUA (Nova York)

    O jogo familiar do jogo da velha torna-se divertido e desafiador quando jogado em superfícies topológicas alternativas.O tabuleiro de jogo 3 × 3 típico é aprimorado pela colagem de pares de bordas opostas de várias maneiras, tornando os jogos mais interessantes e espaços de jogo alucinantes. Os participantes aprendem a apreciar os meandros desses novos objetos à medida que desenvolvem estratégias para dominar os jogos matematicamente aprimorados. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Conheça um Matemático: Nicholas Katz
    Quinta-feira, 15 de julho, às 16h (horário do leste dos EUA) (Nova York)
    Junte-se ao apresentador Alex Kontorovich enquanto trazemos diversos e talentosos convidados ao palco do MoMath para compartilhar suas experiências, suas histórias e seu amor pela matemática. Este mês, conheça Nicholas Katz. Nicholas é professor de matemática na Universidade de Princeton e editor do Annals of Mathematics, uma das principais revistas da área. Ele é membro da American Academy of Arts and Sciences e da National Academy of Sciences, e recebeu o Prêmio Levi L. Conant da American Mathematical Society, entre muitas outras honrarias. Saiba mais e registre-se em meetmath.momath.org.

    Folding Fridays
    Sexta-feira, 16 de julho, 16:30 ET (Nova York)
    Junte-se à especialista em origami Kathleen Sheridan para Folding Fridays. Esta semana, dobre um Ventilador de guindaste por Hiromi Takagi. Explore as maravilhas da dobra de papel - há matemática em cada dobra! Saiba mais e registre-se em foldfridays.momath.org.

    Sextas-feiras em família grátis: & # 8220Jogando com Platão & # 8221 com Alex Kontorovich
    Sexta-feira, 16 de julho, 18:30 ET (Nova York)
    Jogar com polígonos regulares (formas com todos os ângulos iguais e todos os lados iguais) pode ser muito divertido! Existem triângulos (três lados), quadrados (quatro lados), pentágonos (cinco lados), hexágonos (seis lados) ... e assim por diante, para sempre. Mas e se você passar para a terceira dimensão? De repente, a história é chocantemente diferente! Pegue alguns palitos de dente, estoque marshmallows e amarre-se para um passeio selvagem pela regularidade. Quem sabe a gente pode até visitar um pouquinho de espaço hiperbólico! Saiba mais e registre-se no gratuitamente em familyfridays.momath.org.

    NYC Math Festival (online agora pessoalmente em agosto!)
    Sábado, 17 de julho, 14:00 ET (Nova York)
    O MoMath tem o prazer de apresentar o segundo Festival Anual de Matemática de Nova York. Acessível a todos ao redor do mundo, esta oferta exclusiva do MoMath oferece um programação completa de mini-sessões envolventes. Junte-se a alguns dos apresentadores mais populares do MoMath & # 8217s para uma série ininterrupta de entretenimento matemático, incluindo jogos matemáticos, quebra-cabeças e quebra-cabeças intrigantes, música, mágica, projetos práticos para fazer em casa e muito mais - Diversão para toda a família! Saiba mais e registre-se em nycmathfestival.momath.org.

    Tween Primes, o clube do livro MoMath para pré-adolescentes e adolescentes: O Phantom Tollbooth por Norton Juster
    Domingo, 18 de julho, 17:30 ET (Nova York)
    O Phantom Tollbooth conta a história de um menino entediado chamado Milo que inesperadamente recebe um pedágio mágico em uma tarde e, não tendo nada melhor para fazer, dirige por ele em seu carrinho de brinquedo, transportando-o para o Reino da Sabedoria. O livro segue nosso herói por um mundo de fantasia com várias paradas matemáticas ao longo do caminho. Com quase cinco milhões de cópias vendidas 60 anos após sua publicação original, este amado clássico deu as boas-vindas a gerações de leitores para uma jornada com Milo às Terras Além. Juntar Tween Primes para discutir o livro e embarcar nesta incrível jornada matemática. Saiba mais e registre-se em tweenprimes.momath.org.

    Ilimitado, Programa mix-n-mingle do MoMath para alunos do ensino fundamental e médio
    Domingo, 18 de julho, 18:30 ET (Nova York)
    Alunos do ensino fundamental e médio, venham passar uma hora ou mais com seus colegas, desfrutando de atividades matemáticas interessantes, jogos sociais interativos e boa música, todos conduzidos por um educador experiente do MoMath. Saiba mais e registre-se em ilimitado.momath.org.

    Sessões Sênior: “Fazendo Matemática Sólida: Tetraedro & # 8221
    Terça-feira, 20 de julho, 15h00 horário do leste dos EUA (Nova York)

    Explore a geometria e descubra a bela estrutura dos poliedros! Usando técnicas modulares de origami que envolvem dobrar várias folhas de papel, os participantes criarão seus próprios tetraedros. Fazendo Matemática Sólida é uma série que enfoca diferentes poliedros, destacando suas propriedades fascinantes. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Matemática Amorosahistórias, jogos e risos em uma hora infantil hilariante e divertida
    Terça-feira, 20 de julho, 15:00 ET (Nova York) para as séries K-1
    Terça-feira, 20 de julho, 16:00 ET (Nova York) para 2ª série

    Junte-se ao mestre contador de histórias Steve Sherman para sessões emocionantes projetadas para alunos do jardim de infância até a terceira série. Se o seu filho adora histórias, jogos e risos, não perca este evento selvagem e maluco! Saiba mais e registre-se em loving.momath.org.

    Ginásio de matemática grátis,um treino para o seu cérebro
    Quarta-feira, 21 de julho, 15:30 ET (Nova York)

    Os alunos passam uma hora trabalhando de forma independente em belos e envolventes problemas de matemática, selecionados a dedo pelo conselho consultivo de PhDs em matemática do MoMath. Escolha os desafios que desejar e explore-os com a orientação e orientação de um matemático especialista. Se você ama matemática e quer experimentar a incrível alegria da descoberta matemática, não vai querer perder este agradável programa mensal. Saiba mais e registre-se no gratuitamente em treino.momath.org.

    A Matemática da Música Indiana
    Quinta-feira, 22 de julho, 18:30 ET (Nova York)
    Junte-se ao ilustre professor visitante Alex Kontorovich, juntamente com os renomados músicos Deep Singh e Frank London, para uma noite de matemática e música, apresentando os sons, ritmos e harmonias da Índia clássica e moderna. Saiba mais e inscreva-se para a sessão online ou presencial em mathmusic.momath.org.

    Sessões Sênior: & # 8220Expor explorações: Quadrado Matemático
    Sexta-feira, 23 de julho, 15h (horário do leste dos EUA) (Nova York)

    O interativo Quadrado Matemático O piso é a peça central do nível inferior do Museu, e entre seus programas variados está um diagrama de Voronoi, que cria polígonos coloridos sob os pés dos visitantes. Aprenda detalhes interessantes sobre a exposição do Museu e também como fazer seu próprio diagrama de Voronoi. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Folding Fridays
    Sexta-feira, 23 de julho, 16:30 ET (Nova York)
    Junte-se à especialista em origami Kathleen Sheridan para Folding Fridays. Esta semana, dobre um módulo de ação fantástico: Círculo Mágico por Hiroshi Kumasaka. Explore as maravilhas da dobra de papel - há matemática em cada dobra! Saiba mais e registre-se em foldfridays.momath.org.

    Krazy Kahoot com Steve Sherman
    Sábado, 24 de julho, 15h00 horário do leste dos EUA (Nova York)

    Junte-se ao mestre de quiz de matemática favorito do MoMath e # 8217, Steve Sherman, para um jogo divertido para a família repleto de uma ampla gama de perguntas divertidas para todas as idades. Sua família está pronta para este desafio animado ?! Saiba mais e registre-se em krazy.momath.org.

    Sessões Sênior: & # 8220Math in the Corner Pocket & # 8221
    Segunda-feira, 26 de julho, 15h (horário do leste dos EUA) (Nova York)

    Explore os ângulos e a lei da reflexão enquanto traça o caminho de uma bola de bilhar que ricocheteia nas paredes de uma mesa de sinuca. Use padrões para descobrir um método simples de prever em que bolso a bola cairá e aprenda como provar se sua previsão está correta. Começa o jogo! Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Matemática Amorosahistórias, jogos e risos em uma hora infantil hilariante e divertida
    Terça-feira, 27 de julho, 15:00 ET (Nova York) para as séries K-1
    Terça-feira, 27 de julho, 16:00 ET (Nova York) para 2ª série

    Junte-se ao mestre contador de histórias Steve Sherman para sessões emocionantes projetadas para alunos do jardim de infância até a terceira série. Se o seu filho adora histórias, jogos e risos, não perca este evento selvagem e maluco! Saiba mais e registre-se em loving.momath.org.

    Sessões Sênior: & # 8220 Códigos de quebra & # 8221
    Quinta-feira, 29 de julho, às 15h (horário do leste dos EUA) (Nova York)

    Como os computadores mantêm suas senhas em segredo? Como os sites protegem seus números de cartão de crédito? Explore cifras multiplicativas, códigos quebrados e números primos, codifique e decodifique suas próprias mensagens secretas e aprenda como a criptografia ajuda a proteger suas informações privadas. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Folding Fridays
    Sexta-feira, 30 de julho, 16:30 ET (Nova York)
    Junte-se à especialista em origami Kathleen Sheridan para Folding Fridays. Esta semana, dobre os icônicos anéis olímpicos. Explore as maravilhas da dobra de papel - há matemática em cada dobra! Saiba mais e registre-se em foldfridays.momath.org.

    Gratuito para membros Equilíbrio, uma noite adulta de jogos matemáticos
    Sexta-feira, 30 de julho, 19h (horário do leste dos EUA) (Nova York)

    Os jogos de mesa estão mais divertidos do que nunca! Junte-se a velhos e novos amigos para uma noite adulta repleta de diversão com uma ampla gama de jogos matematicamente ricos. Desfrute de clássicos como SET e Connect Four, opções modernas de Ubongo a Skiwampus a Ricochet Robots e até mesmo a torção do próprio MoMath em favoritos matemáticos como Hex e Nim. Prepare um lanche, conecte-se de casa e conecte-se com pessoas novas e interessantes, enquanto se diverte com jogos matemáticos exclusivos, oferecidos pelo único Museu de Matemática do país. Saiba mais e registre-se em equilibrium.momath.org.

    Sessões Sênior: & # 8220 Contagens de votos: Classificação e tanques & # 8221
    Terça-feira, 3 de agosto, 15h (horário do leste dos EUA) (Nova York)

    Votar em uma preferência pode parecer simples, mas quando existem várias opções, a matemática fica complicada! Os diferentes métodos de contagem dos votos podem frequentemente resultar em vencedores diferentes. Explore a matemática por trás de vários sistemas de contagem de votos e desenvolva uma compreensão mais profunda do que significa para um sistema ser igualitário. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Matemática Amorosahistórias, jogos e risos em uma hora infantil hilariante e divertida
    Terça-feira, 3 de agosto, 15h00 horário do leste dos EUA (Nova York) para as séries K-1
    Terça-feira, 3 de agosto, 16:00 ET (Nova York) para 2ª série

    Junte-se ao mestre contador de histórias Steve Sherman para sessões emocionantes projetadas para alunos do jardim de infância até a terceira série. Se o seu filho adora histórias, jogos e risos, não perca este evento selvagem e maluco! Saiba mais e registre-se em loving.momath.org.

    Matemática encontra a Liga Principal de Beisebol
    Terça-feira, 3 de agosto, 18:30 ET (Nova York)

    O matemático Max Ehrman terminou seu PhD em Yale e seguiu para uma carreira incomum - como pesquisador da Major League Baseball & # 8217s Washington Nationals. Venha ouvir tudo sobre essa carreira única que combina matemática e esportes, incluindo como ela deu a Max um anel de campeão da World Series! Saiba mais e registre-se em mlb.momath.org.

    Encontros de matemática grátis
    Quarta-feira, 4 de agosto, 16h e 19h (horário do leste dos EUA) (Nova York)
    Encontros de Matemática é o MoMath & # 8217s popular gratuitamente série de apresentações públicas celebrando o espetacular mundo da matemática, produzida com o apoio da Simons Foundation. Detalhes e registro em breve. Saiba mais em mathencounters.org.

    Pergunte a um matemático - qualquer coisa!
    Quinta-feira, 5 de agosto, 16h ET (Nova york)
    Já quis perguntar algo a um matemático, talvez sobre uma ideia nova e curiosa que você tem ou um conceito que gostaria de entender melhor? Não sabe a quem perguntar? Aqui está sua chance! MoMath & # 8217s 2020-2021 O Distinto Professor Visitante Alex Kontorovich será o anfitrião desta sessão online de uma hora. Saiba mais e registre-se em askmath.momath.org.

    Sessões Sênior: & # 8220 Dados Dinâmicos & # 8221
    Sexta-feira, 6 de agosto, 15h (horário do leste dos EUA) (Nova York)

    Qual é a probabilidade de rolar uma determinada soma com um par de dados padrão? Explore como determinar essa probabilidade e, em seguida, desafie-se a encontrar uma maneira diferente de numerar os dados para obter as mesmas probabilidades. Venha jogar os dados conosco! Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Folding Fridays
    Sexta-feira, 6 de agosto, 16:30 ET (Nova York)
    Junte-se à especialista em origami Kathleen Sheridan para Folding Fridays. Explore as maravilhas da dobra de papel - há matemática em cada dobra! Saiba mais e registre-se em foldfridays.momath.org.

    MOVES Meet-Up
    Domingo, 8 de agosto, 15h
    ET (Nova York)
    A conferência MOVES SE MUDOU - de agosto de 2021 a janeiro de 2022. Mas para aqueles que estavam realizando a data de agosto, juntem-se a nós para um evento online emocionante na tarde de 8 de agosto. Os palestrantes da conferência estão projetando quebra-cabeças e atividades para um Encontro colaborativo e social do Zoom, com uma “sala & # 8221 separada para as crianças. Saiba mais e registre-se em augustmoves.momath.org.

    Sessões Sênior: & # 8220Rep-tiles & # 8221
    Segunda-feira, 9 de agosto, 15:00 ET (Nova York)

    Venha descobrir réplicas matemáticas, formas geométricas que podem se repetir. Aprenda sobre dimensionamento, tesselações especiais e provas matemáticas, enquanto resolve quebra-cabeças divertidos de rep-tiles. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Matemática Amorosahistórias, jogos e risos em uma hora infantil hilariante e divertida
    Terça-feira, 10 de agosto, 15:00 ET (Nova York) para as séries K-1
    Terça-feira, 10 de agosto, 16:00 ET (Nova York) para 2ª série

    Junte-se ao mestre contador de histórias Steve Sherman para sessões emocionantes projetadas para alunos do jardim de infância até a terceira série. Se o seu filho adora histórias, jogos e risos, não perca este evento selvagem e maluco! Saiba mais e registre-se em loving.momath.org.

    Conheça o Artista (em pessoa!)
    Terça-feira, 10 de agosto, 18:30 ET (Nova York)

    Conheça o artista Anton Bakker para uma discussão animada sobre sua arte e o que o inspira. Desde sua infância na Holanda até sua carreira em alta tecnologia nos Estados Unidos, um fascínio pela interseção de forma, tecnologia e beleza influenciou seu trabalho. Não perca a oportunidade de conhecer Anton pessoalmente e conhecer esse homem incomum da Renascença moderna. Saiba mais e registre-se em meetartist.momath.org.

    Sessões Sênior: & # 8220Contagem de votos: embalagem e rachaduras & # 8221
    Quinta-feira, 12 de agosto, 15:00 ET (Nova York)

    Dê uma olhada na matemática das eleições tornando-se um “legislador” por um dia. Explore como os distritos eleitorais são sorteados, incluindo “empacotamento”, “rachadura” e o significado de votos perdidos, a fim de analisar a justiça da representação em uma eleição. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Conheça um Matemático
    Quinta-feira, 12 de agosto, 16h ET (Nova York)
    Você já se perguntou o que um matemático faz o dia todo? Ou o que fez alguém decidir se tornar um matemático? Ou ainda, o que um matemático faz para se divertir? Você pode se surpreender com algumas das respostas! Junte-se ao apresentador Alex Kontorovich enquanto trazemos diversos e talentosos convidados ao palco do MoMath para compartilhar suas experiências, suas histórias e seu amor pela matemática. Saiba mais e registre-se em meetmath.momath.org.

    Loucura dobrada
    Quinta-feira, 12 de agosto, 18:30 ET (Nova York)
    Enquanto se entregava à loucura de tentar criar uma forma impossível com papel dobrado, a artista e educadora Paula Krieg tropeçou em um novo flexágono que não apenas muda de forma para expor rostos ocultos, mas também esconde e revela pequenos bolsos e alças aladas, adicionando mais dimensão a esta superfície já misteriosa. Junte-se a Paula enquanto ela demonstra o método de dobra incrivelmente elegante usado para construir este brinquedo matemático lúdico e, em seguida, faça o seu próprio Loucura dobrada flexagon como uma lembrança desta noite excepcionalmente envolvente. Registro em breve. Saiba mais em flexagon.momath.org.

    Folding Fridays
    Sexta-feira, 13 de agosto, 16:30 ET (Nova York)
    Junte-se à especialista em origami Kathleen Sheridan para Folding Fridays. Explore as maravilhas da dobra de papel - há matemática em cada dobra! Saiba mais e registre-se em foldfridays.momath.org.

    Tween Primes, o clube do livro MoMath para pré-adolescentes e adolescentes: Desenho 3D: Introduçãopor Farit Rassam
    Domingo, 15 de agosto, 17:30 ET (Nova York)
    Você já se perguntou como os artistas de rua fazem aqueles desenhos incríveis que parecem tridimensionais da perspectiva certa? Acontece que a resposta é matemática! O autor e artista Farit Rassam tornou seu guia publicado gratuitamente no Kindle e o compartilhou com o MoMath. Mesmo se você não desenhar, você vai gostar da história matemática de como esses desenhos surgiram. Saiba mais e registre-se em tweenprimes.momath.org.

    Ilimitado, Programa mix-n-mingle do MoMath para alunos do ensino fundamental e médio
    Domingo, 15 de agosto, 18:30 ET (Nova York)
    Alunos do ensino fundamental e médio, venham passar uma hora ou mais com seus colegas, desfrutando de atividades matemáticas interessantes, jogos sociais interativos e boa música, todos liderados por um educador MoMath experiente. Saiba mais e registre-se em ilimitado.momath.org.

    Sessões Sênior: & # 8220Fractal Fascinations & # 8221
    Terça-feira, 17 de agosto, 15:00 ET (Nova York)

    Fractais são objetos bonitos e misteriosos com propriedades que desafiam as regras normais da geometria, geralmente consistindo em versões iterativas em miniatura de si mesmos. Aprenda sobre os fractais mais famosos e o que os torna tão incomuns. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Ginásio de matemática grátis,um treino para o seu cérebro
    Quarta-feira, 18 de agosto, 15:30 ET (Nova York)

    Os alunos passam uma hora trabalhando de forma independente em belos e envolventes problemas de matemática, selecionados a dedo pelo conselho consultivo de PhDs em matemática do MoMath. Escolha os desafios que desejar e explore-os com a orientação e orientação de um matemático especialista. Se você ama matemática e quer experimentar a incrível alegria da descoberta matemática, não vai querer perder este agradável programa mensal. Saiba mais e registre-se no gratuitamente em treino.momath.org.

    Sessões Sênior: “Fazendo Matemática Sólida: Hexaedro & # 8221
    Sexta-feira, 20 de agosto, 15h (horário do leste dos EUA) (Nova York)

    Explore a geometria e descubra a bela estrutura dos poliedros! Usando técnicas modulares de origami que envolvem dobrar várias folhas de papel, cada participante criará seu próprio hexaedro. Fazendo Matemática Sólida é uma série que enfoca diferentes poliedros, destacando suas propriedades fascinantes. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Folding Fridays
    Sexta-feira, 20 de agosto, 16:30 ET (Nova York)
    Junte-se à especialista em origami Kathleen Sheridan para Folding Fridays. Explore as maravilhas da dobra de papel - há matemática em cada dobra! Saiba mais e registre-se em foldfridays.momath.org.

    Sessões Sênior: & # 8220 Contagens de votos: Torre de Poder & # 8221
    Segunda-feira, 23 de agosto, 15h (horário do leste dos EUA) (Nova York)

    Explore as diferentes maneiras pelas quais o poder pode ser distribuído em sistemas de votação ponderada. Esses sistemas são aqueles em que diferentes grupos têm diferentes quantidades de votos, como delegações de condados, comitês governamentais e até mesmo o Colégio Eleitoral dos Estados Unidos.As maiores populações devem ter mais poder? Os grupos menores devem ter voz? Responder a essas perguntas é muito mais complexo do que a regra da maioria simples, mas não tenha medo, a análise matemática moderna fornece uma lente útil para analisar o poder de voto desequilibrado. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Sessões Sênior: “Fazendo Matemática Sólida: Octaedro & # 8221
    Quinta-feira, 26 de agosto, 15h (horário do leste dos EUA) (Nova York)

    Explore a geometria e descubra a bela estrutura dos poliedros! Usando técnicas modulares de origami que envolvem dobrar várias folhas de papel, cada participante criará seu próprio octaedro. Fazendo Matemática Sólida é uma série que enfoca diferentes poliedros, destacando suas propriedades fascinantes. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Folding Fridays
    Sexta-feira, 27 de agosto, 16:30 ET (Nova York)
    Junte-se à especialista em origami Kathleen Sheridan para Folding Fridays. Explore as maravilhas da dobra de papel - há matemática em cada dobra! Saiba mais e registre-se em foldfridays.momath.org.

    Equilíbrio, uma noite adulta de jogos matemáticos
    Sexta-feira, 27 de agosto, 19h (horário do leste dos EUA) (Nova York)

    Os jogos de mesa estão mais divertidos do que nunca! Junte-se a velhos e novos amigos para uma noite adulta repleta de diversão com uma ampla gama de jogos matematicamente ricos. Desfrute de clássicos como SET e Connect Four, opções modernas de Ubongo a Skiwampus a Ricochet Robots e até mesmo a torção do próprio MoMath em favoritos matemáticos como Hex e Nim. Prepare um lanche, conecte-se de casa e conecte-se com pessoas novas e interessantes, enquanto se diverte com jogos matemáticos exclusivos, oferecidos pelo único Museu de Matemática do país. Saiba mais e registre-se em equilibrium.momath.org.

    Sessões Sênior: & # 8220Quadros de xadrez e dominó & # 8221
    Terça-feira, 31 de agosto, 15h (horário do leste dos EUA) (Nova York)

    Que formas você pode encaixar para cobrir um tabuleiro de xadrez? Dominó? Trominós? Aprenda sobre as provas matemáticas enquanto explora padrões de números pares e ímpares e faz experiências com dominós e tabuleiros de xadrez reais. Saiba mais e registre-se em seniorsessions.momath.org.

    Encontros de matemática grátis
    Quarta-feira, 1º de setembro, 16h e 19h (horário do leste dos EUA) (Nova York)
    Encontros de Matemática é o MoMath & # 8217s popular gratuitamente série de apresentações públicas celebrando o espetacular mundo da matemática, produzida com o apoio da Simons Foundation. Detalhes e registro em breve. Saiba mais em mathencounters.org.

    Encontro Online MATRIX x IMAGINARY
    Quarta-feira, 8 de setembro a quinta-feira, 9 de setembro de 2021, 10h00 às 15h00 ET (Nova York) todos os dias
    O MoMath tem o prazer de anunciar que está unindo forças com o Institut Henri Poincaré e a equipe IMAGINARY para apresentar a você MATRIX x IMAGINARY 2021. O MATRIX x IMAGINARY Online Gathering será o precursor de uma conferência física em Paris em abril de 2022. Inscrições em breve. Saiba mais em matrix.momath.org.

    MOVIMENTOS: & # 8220 The Fascination of Puzzles & # 8221
    Sexta-feira, 14 de janeiro a domingo, 16 de janeiro de 2022

    A quinta conferência bienal MOVES (Matemática de Vários Assuntos Divertidos), organizada pelo MoMath e patrocinada pela Two Sigma, contará com uma incrível programação de palestrantes principais, incluindo Scott Kim, Maki Kaji, Tanya Khovanova, Oskar van Deventer e Peter Winkler. A conferência está agora marcada para ocorrer pessoalmente nos dias 15 e 16 de janeiro, com uma recepção de abertura no MoMath na noite de 14 de janeiro. Para saber mais sobre o MOVES, inscreva-se no encontro ou envie uma palestra ou atividade, por favor visite moves.momath.org.

    Conferência MATRIX x IMAGINARY em Paris
    Segunda-feira, 4 de abril a quarta-feira, 6 de abril de 2022
    O MoMath tem o prazer de anunciar que está unindo forças com o Institut Henri Poincaré e a equipe IMAGINARY para trazer a você MATRIX x IMAGINARY 2021. Marque em seus calendários agora três dias de compartilhamento, networking e aprendizagem enquanto nos reunimos para a quarta conferência Bienal MATRIX em Paris. Registro em breve. Saiba mais em matrix.momath.org.

    Perspectivas: Programa de voluntariado do MoMath Summer College
    A cada verão, o MoMath oferece Perspectivas, um programa de voluntariado para alunos de graduação. Alunos que completam Perspectivas adquirir um forte nível de conhecimento e experiência no que é necessário para operar um negócio de sucesso, bem como exposição a uma variedade de programas, palestras e pessoas interessantes. O compromisso esperado é de cinco dias por semana, durante oito a doze semanas, e normalmente inclui atribuições no chão do Museu, na loja de varejo e no escritório administrativo do MoMath. Perspectivas é um programa de voluntariado não remunerado. O MoMath está atualmente aceitando inscrições para o verão de 2021 e admitirá candidatos em uma base contínua. Saiba mais e inscreva-se em perspectives.momath.org.

    Integradores: Programa de voluntariado do MoMath High School
    O MoMath aceita um número limitado de alunos do ensino médio para papéis voluntários contínuos durante as férias de verão e / ou o ano acadêmico. O Integradores O programa oferece uma chance única de melhorar as habilidades interpessoais e de comunicação, explorar conceitos matemáticos e aprender valiosas habilidades profissionais. Os alunos do MoMath interagem com os visitantes (no andar do museu ou online) e treinam com educadores, intérpretes e gerentes profissionais. Os alunos que participam durante as férias de verão se comprometem cinco dias por semana. Durante o ano letivo, esta oportunidade requer um compromisso de aproximadamente um dia por semana, normalmente um sábado ou domingo, de setembro a junho. Inscreva-se agora para o verão de 2021 (online e / ou pessoalmente) ou para o ano letivo de 2021-2022. As inscrições serão aceitas em uma base contínua. Saiba mais e inscreva-se em voluntários.momath.org.

    Substituições: Cargos de educador (meio período) e substitutos (diárias) disponíveis
    Se você gosta da flexibilidade e do ritmo da educação diária em sala de aula, considere se inscrever no programa de educador substituto do MoMath & # 8217s, Substituições. O MoMath está procurando professores substitutos experientes e motivados que possam envolver uma sala cheia de alunos e compartilhar seu amor pela matemática enriquecedora - treinamento fornecido! Este programa oferece agendamento flexível para acomodar suas necessidades, pagamento competitivo e potencial para engajamento regular. Saiba mais sobre os cargos de educador e inscreva-se em jobs.momath.org.

    Programas de fim de semana para famílias
    Faça um tour com o MoMath & # 8217s Derivados programa (derivado.momath.org) ou junte-se a um dos educadores especialmente treinados do MoMath & # 8217s em Explorações, uma experiência prática em sala de aula, para descobrir a maravilha da matemática (explorations.momath.org). Não perca a chance de ver a matemática sob uma luz totalmente nova, apenas no MoMath.

    Somas: MoMath e programa de educação domiciliar # 8217s
    Os alunos do ensino doméstico podem vivenciar a emoção de uma viagem de campo ao MoMath! Com o Somas programa, os alunos da escola domiciliar podem passar a tarde aprendendo sobre a matemática por trás do MoMath & # 8217s, participando de exibições interativas ou participando de uma experiência exploratória em sala de aula com outras famílias que educam em casa. Saiba mais em summations.momath.org.

    Eventos, festas de aniversário e muito mais
    Quer hospedar um evento único em que seus convidados possam interagir com mais de 40 exposições envolventes? Entre em um mundo de intriga matemática, mas não se preocupe: em meio a toda a atividade, há muito espaço para jantares dignos de gala, festas exageradas de aniversário, festas de corte a laser e bar / bat mitzvahs. Quem diria que matemática poderia ser tão divertida? Email [email protected] para mais informações.

    Visitas escolares e em grupo
    O MoMath tem mais de uma dúzia de programas excelentes, desde colorir gráficos a bandas Möbius, para grupos escolares que visitam o Museu, pessoalmente e online. Traga seus alunos para o MoMath - virtualmente! - para dar uma olhada no emocionante mundo da matemática e ver por que alunos e professores de todas as idades adoram o Museu. Saiba mais e registre-se em fieldtrips.momath.org.

    Viagens gratuitas para escolas Title I
    Graças às contribuições de indivíduos e organizações, incluindo Adams & amp Company, Con Edison, The Scripps Family Fund for Education and the Arts, Two Sigma, membros do conselho da cidade de Nova York Mark Levine (7º distrito) e Carlina Rivera (2º distrito), além de vários generosos Amigos do MoMath, o suporte para escolas Title I já está disponível. Este programa é financiado, em parte, por fundos públicos do Departamento de Assuntos Culturais da Cidade de Nova York em parceria com o Conselho Municipal. Para se candidatar a um gratuitamente viagem (online) durante o ano letivo de 2020-2021, visite titleone.momath.org. Interessado em patrocinar uma viagem de campo? Email [email protected]

    Bela matemática
    Veja o que os matemáticos acham bonito sobre a matemática em beautiful.momath.org.

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