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5.2: Funções de potência e funções polinomiais


objetivos de aprendizado

  • Identifique as funções de energia.
  • Identifique o comportamento final das funções de poder.
  • Identifique funções polinomiais.
  • Identifique o grau e o coeficiente líder das funções polinomiais.

Suponha que uma certa espécie de pássaro se desenvolva em uma pequena ilha. Sua população nos últimos anos é mostrada na Tabela ( PageIndex {1} ).

Tabela ( PageIndex {1} )
Ano20092010201120122013
População de Aves8008979921,0831,169

A população pode ser estimada usando a função (P (t) = - 0,3t ^ 3 + 97t + 800 ), onde (P (t) ) representa a população de pássaros na ilha (t ) anos depois 2009. Podemos usar este modelo para estimar a população máxima de aves e quando isso ocorrerá. Também podemos usar este modelo para prever quando a população de pássaros desaparecerá da ilha. Nesta seção, examinaremos as funções que podemos usar para estimar e prever esses tipos de mudanças.

Identificando funções de poder

Para entender melhor o problema das aves, precisamos entender um tipo específico de função. Uma função de potência é uma função com um único termo que é o produto de um número real, um coeficiente e uma variável elevada a um número real fixo. (Um número que multiplica uma variável elevada a um expoente é conhecido como coeficiente.)

Como exemplo, considere funções para área ou volume. A função para a área de um círculo com raio (r ) é

[A (r) = { pi} r ^ 2 nonumber ]

e a função para o volume de uma esfera com raio (r ) é

[V (r) = dfrac {4} {3} { pi} r ^ 3 não numérico ]

Ambos são exemplos de funções de potência porque consistem em um coeficiente, ({ pi} ) ou ( dfrac {4} {3} { pi} ), multiplicado por uma variável (r ) elevado a um poder.

Definição: Função de energia

UMA Função liga-desliga é uma função que pode ser representada na forma

[f (x) = kx ^ p label {poder} ]

onde (k ) e (p ) são números reais, e (k ) é conhecido como o coeficiente.

P&R: (f (x) = 2 ^ x ) é uma função de potência?

Não. Uma função de potência contém uma base variável elevada a uma potência fixa (Equação ref {potência}). Esta função tem uma base constante elevada a uma potência variável. Isso é chamado de função exponencial, não uma função de potência. Esta função será discutida mais tarde.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Identificando funções avançadas

Quais das funções a seguir são funções de energia?

[ begin {align *} f (x) & = 1 & text {Função constante} f (x) & = x & text {Identificar função} f (x) & = x ^ 2 & text {Função quadrática} f (x) & = x ^ 3 & text {Função cúbica} f (x) & = dfrac {1} {x} & text {Função recíproca} f (x) & = dfrac {1} {x ^ 2} & text {Função quadrada recíproca} f (x) & = sqrt {x} & text {Função raiz quadrada} f (x) & = sqrt [3] {x} & text {Função raiz do cubo} end {alinhar *} ]

Solução

Todas as funções listadas são funções de energia.

As funções de constante e identidade são funções de potência porque podem ser escritas como (f (x) = x ^ 0 ) e (f (x) = x ^ 1 ) respectivamente.

As funções quadrática e cúbica são funções de potência com potências de números inteiros (f (x) = x ^ 2 ) e (f (x) = x ^ 3 ).

O recíproca e as funções quadradas recíprocas são funções de potência com potências de números inteiros negativos porque podem ser escritas como (f (x) = x ^ {- 1} ) e (f (x) = x ^ {- 2} ).

A praça e raiz cúbica funções são funções de potência com potências fracionárias porque podem ser escritas como (f (x) = x ^ {1/2} ) ou (f (x) = x ^ {1/3} ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Quais funções são funções de potência?

  • (f (x) = 2x ^ 2⋅4x ^ 3 )
  • (g (x) = - x ^ 5 + 5x ^ 3−4x )
  • (h (x) = frac {2x ^ 5−1} {3x ^ 2 + 4} )
Responder

(f (x) ) é uma função de potência porque pode ser escrita como (f (x) = 8x ^ 5 ). As outras funções não são funções de alimentação.

Identificando o comportamento final das funções de poder

A Figura ( PageIndex {2} ) mostra os gráficos de (f (x) = x ^ 2 ), (g (x) = x ^ 4 ) e e (h (x) = x ^ 6 ), que são todas as funções de potência com potências pares de números inteiros. Observe que esses gráficos têm formas semelhantes, muito semelhantes às da função quadrática no kit de ferramentas. No entanto, à medida que o poder aumenta, os gráficos ficam um pouco achatados perto da origem e se tornam mais inclinados a partir da origem.

Para descrever o comportamento à medida que os números se tornam cada vez maiores, usamos a ideia de infinito. Usamos o símbolo ( infty ) para infinito positivo e (- infty ) para infinito negativo. Quando dizemos que “x se aproxima do infinito”, que pode ser simbolicamente escrito como (x { rightarrow} infty ), estamos descrevendo um comportamento; estamos dizendo que (x ) está aumentando sem limites.

Com a função de potência uniforme, conforme a entrada aumenta ou diminui sem limites, os valores de saída tornam-se números positivos muito grandes. Equivalentemente, poderíamos descrever esse comportamento dizendo que conforme (x ) se aproxima do infinito positivo ou negativo, os valores de (f (x) ) aumentam sem limites. Na forma simbólica, poderíamos escrever

[ text {as} x { rightarrow} { pm} { infty}, ; f (x) { rightarrow} { infty} nonumber ]

A Figura ( PageIndex {3} ) mostra os gráficos de (f (x) = x ^ 3 ), (g (x) = x ^ 5 ) e (h (x) = x ^ 7 ), que são todas funções de potência com potências ímpares de número inteiro. Observe que esses gráficos são semelhantes à função cúbica do kit de ferramentas. Novamente, à medida que o poder aumenta, os gráficos se achatam perto da origem e se tornam mais inclinados a partir da origem.

Esses exemplos ilustram que as funções da forma (f (x) = x ^ n ) revelam simetria de um tipo ou outro. Primeiro, na Figura ( PageIndex {2} ) vemos que funções pares da forma (f (x) = x ^ n ), (n ) par, são simétricas em relação ao (y ) -eixo. Na Figura ( PageIndex {3} ) vemos que as funções ímpares da forma (f (x) = x ^ n ), (n ) ímpar, são simétricas em relação à origem.

Para essas funções de potência ímpar, conforme (x ) se aproxima do infinito negativo, (f (x) ) diminui sem limite. À medida que (x ) se aproxima do infinito positivo, (f (x) ) aumenta sem limites. Na forma simbólica, nós escrevemos

[ begin {align *} & text {as} x { rightarrow} - { infty}, ; f (x) { rightarrow} - { infty} & text {as} x { rightarrow} { infty}, ; f (x) { rightarrow} { infty} end {align *} ]

O comportamento do gráfico de uma função conforme os valores de entrada ficam muito pequenos ((x { rightarrow} - { infty}) ) e ficam muito grandes (x { rightarrow} { infty} ) é referido para como o comportamento final da função. Podemos usar palavras ou símbolos para descrever o comportamento final.

A Figura ( PageIndex {4} ) mostra o comportamento final das funções de potência na forma (f (x) = kx ^ n ) onde (n ) é um número inteiro não negativo dependendo da potência e do constante.

Como: Dada uma função de potência (f (x) = kx ^ n ) onde (n ) é um número inteiro não negativo, identifique o comportamento final.

  1. Determine se a potência é par ou ímpar.
  2. Determine se a constante é positiva ou negativa.
  3. Use Figure ( PageIndex {4} ) para identificar o comportamento final.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Identificando o comportamento final de uma função de potência

Descreva o comportamento final do gráfico de (f (x) = x ^ 8 ).

Solução

O coeficiente é 1 (positivo) e o expoente da função de potência é 8 (um número par). À medida que (x ) se aproxima do infinito, a saída (valor de (f (x) )) aumenta sem limites. Escrevemos como (x → ∞, ) (f (x) → ∞. ) Conforme (x ) se aproxima do infinito negativo, a saída aumenta sem limite. Na forma simbólica, como (x → −∞, ) (f (x) → ∞. ) Podemos representar graficamente a função como mostrado na Figura ( PageIndex {5} ).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Identificando o comportamento final de uma função de potência.

Descreva o comportamento final do gráfico de (f (x) = - x ^ 9 ).

Solução

O expoente da função de potência é 9 (um número ímpar). Como o coeficiente é -1 (negativo), o gráfico é o reflexo sobre o eixo (x ) - do gráfico de (f (x) = x ^ 9 ). A Figura ( PageIndex {6} ) mostra que conforme (x ) se aproxima do infinito, a saída diminui sem limites. À medida que (x ) se aproxima do infinito negativo, a saída aumenta sem limites. Na forma simbólica, escreveríamos

[ begin {align *} text {as} x { rightarrow} - { infty}, ; f (x) { rightarrow} { infty} text {as} x { rightarrow} { infty}, ; f (x) { rightarrow} - { infty} end {align *} ]

Análise

Podemos verificar nosso trabalho usando o recurso de tabela em um utilitário gráfico.

Tabela ( PageIndex {2} )
(x ) (f (x) )
-101,000,000,000
-51,953,125
00
5-1,953,125
10-1,000,000,000

Podemos ver na Tabela ( PageIndex {2} ) que, quando substituímos por valores muito pequenos por (x ), a saída é muito grande, e quando substituímos por valores muito grandes por (x ), o a saída é muito pequena (o que significa que é um valor negativo muito grande).

Exercício ( PageIndex {2} )

Descreva em palavras e símbolos o comportamento final de (f (x) = - 5x ^ 4 ).

Responder

À medida que (x ) se aproxima do infinito positivo ou negativo, (f (x) ) diminui sem limite: as (x { rightarrow} { pm} { infty} ), (f (x) { rightarrow} - { infty} ) por causa do coeficiente negativo.

Identificação de funções polinomiais

Um oleoduto estoura no Golfo do México, causando uma mancha de óleo em uma forma aproximadamente circular. A mancha tem atualmente um raio de 24 milhas, mas esse raio está aumentando em 8 milhas a cada semana. Queremos escrever uma fórmula para a área coberta pela mancha de óleo combinando duas funções. O raio (r ) do derramamento depende do número de semanas (w ) que se passaram. Essa relação é linear.

[r (w) = 24 + 8w não numérico ]

Podemos combinar isso com a fórmula para a área A de um círculo.

[A (r) = { pi} r ^ 2 nonumber ]

A composição dessas funções fornece uma fórmula para a área em termos de semanas.

[ begin {align *} A (w) & = A (r (w)) & = A (24 + 8w) & = { pi} (24 + 8w) ^ 2 end {align *} ]

Multiplicando dá a fórmula.

[A (w) = 576 { pi} +384 { pi} w + 64 { pi} w ^ 2 não numérico ]

Esta fórmula é um exemplo de função polinomial. Uma função polinomial consiste em zero ou na soma de um número finito de termos diferentes de zero, cada um dos quais é o produto de um número, chamado de coeficiente do termo, e uma variável elevada a uma potência inteira não negativa.

Definição: funções polinomiais

Seja (n ) um número inteiro não negativo. UMA função polinomial é uma função que pode ser escrita na forma

[f (x) = a_nx ^ n + ... + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 label {poly} ]

Isso é chamado de forma geral de uma função polinomial. Cada (a_i ) é um coeficiente e pode ser qualquer número real. Cada produto (a_ix ^ i ) é um termo de uma função polinomial.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Identificando funções polinomiais

Quais das seguintes são funções polinomiais?

  • (f (x) = 2x ^ 3⋅3x + 4 )
  • (g (x) = - x (x ^ 2−4) )
  • (h (x) = 5 sqrt {x} +2 )

Solução

As duas primeiras funções são exemplos de funções polinomiais porque podem ser escritas na forma da Equação ref {poly}, onde as potências são inteiros não negativos e os coeficientes são números reais.

  • (f (x) ) pode ser escrito como (f (x) = 6x ^ 4 + 4 ).
  • (g (x) ) pode ser escrito como (g (x) = - x ^ 3 + 4x ).
  • (h (x) ) não pode ser escrito nesta forma e, portanto, não é uma função polinomial.

Identificando o grau e coeficiente de liderança de uma função polinomial

Por causa da forma de uma função polinomial, podemos ver uma variedade infinita no número de termos e na potência da variável. Embora a ordem dos termos na função polinomial não seja importante para a execução de operações, normalmente organizamos os termos em ordem decrescente de potência ou na forma geral. O grau do polinômio é a maior potência da variável que ocorre no polinômio; é o poder da primeira variável se a função estiver na forma geral. O termo principal é o termo que contém o poder mais alto da variável ou o termo com o grau mais alto. O coeficiente líder é o coeficiente do termo líder.

Terminologia de funções polinomiais

Freqüentemente, reorganizamos os polinômios para que os poderes sejam descendentes.

Quando um polinômio é escrito desta forma, dizemos que ele está em Forma geral.

Como: Dada uma função polinomial, identifique o grau e o coeficiente principal

  1. Encontre a maior potência de (x ) para determinar a função de grau.
  2. Identifique o termo que contém a maior potência de (x ) para encontrar o termo principal.
  3. Identifique o coeficiente do termo principal.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Identificando o grau e o coeficiente inicial de uma função polinomial

Identifique o grau, o termo líder e o coeficiente líder das seguintes funções polinomiais.

(f (x) = 3 + 2x ^ 2−4x ^ 3 )

(g (t) = 5t ^ 5−2t ^ 3 + 7t )

(h (p) = 6p − p ^ 3−2 )

Solução

Para a função (f (x) ), a maior potência de (x ) é 3, então o grau é 3. O termo principal é o termo que contém esse grau, (- 4x ^ 3 ). O coeficiente líder é o coeficiente desse termo, −4.

Para a função (g (t) ), a maior potência de (t ) é 5, então o grau é 5. O termo principal é o termo que contém esse grau, (5t ^ 5 ). O coeficiente líder é o coeficiente desse termo, 5.

Para a função (h (p) ), a maior potência de (p ) é 3, então o grau é 3. O termo principal é o termo que contém esse grau, (- p ^ 3 ); o coeficiente líder é o coeficiente desse termo, -1.

Exercício ( PageIndex {3} )

Identifique o grau, o termo líder e o coeficiente líder do polinômio (f (x) = 4x ^ 2 − x ^ 6 + 2x − 6 ).

Responder

O grau é (6. ) O termo principal é (- x ^ 6 ). O coeficiente líder é (- 1. )

Identificação do comportamento final de funções polinomiais

Saber o grau de uma função polinomial é útil para nos ajudar a prever seu comportamento final. Para determinar seu comportamento final, observe o termo principal da função polinomial. Como o poder do termo líder é o mais alto, esse termo crescerá significativamente mais rápido do que os outros termos, pois (x ) fica muito grande ou muito pequeno, então seu comportamento dominará o gráfico. Para qualquer polinômio, o comportamento final do polinômio corresponderá ao comportamento final do termo de grau mais alto (Tabela ( PageIndex {3} )).

Tabela ( PageIndex {3} )
Função polinomialTermo PrincipalGráfico da função polinomial

(f (x) = 5x4 + 2x3 − x − 4 )

(5x ^ 4 )

(f (x) = - 2x ^ 6 − x ^ 5 + 3x ^ 4 + x ^ 3 ) (- 2x ^ 6 )
(f (x) = 3x ^ 5−4x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1 ) (3x ^ 5 )

(f (x) = - 6x ^ 3 + 7x ^ 2 + 3x + 1 )

(- 6x ^ 3 )

Exemplo ( PageIndex {6} ): Identificando o comportamento final e o grau de uma função polinomial

Descreva o comportamento final e determine um possível grau da função polinomial na Figura ( PageIndex {8} ).

Solução

À medida que os valores de entrada (x ) ficam muito grandes, os valores de saída (f (x) ) aumentam sem limites. À medida que os valores de entrada (x ) ficam muito pequenos, os valores de saída (f (x) ) diminuem sem limites. Podemos descrever o comportamento final simbolicamente escrevendo

[ text {as} x { rightarrow} { infty}, ; f (x) { rightarrow} { infty} nonumber ]

[ text {as} x { rightarrow} - { infty}, ; f (x) { rightarrow} - { infty} nonumber ]

Em palavras, poderíamos dizer que conforme os valores de (x ) se aproximam do infinito, os valores da função se aproximam do infinito, e como os valores de (x ) se aproximam do infinito negativo, os valores da função se aproximam do infinito negativo.

Podemos dizer que este gráfico tem a forma de uma função de potência de grau ímpar que não foi refletida, portanto, o grau do polinômio que cria este gráfico deve ser ímpar e o coeficiente líder deve ser positivo.

Exercício ( PageIndex {1} )

Descreva o comportamento final e determine um possível grau da função polinomial na Figura ( PageIndex {9} ).

Responder

Como (x { rightarrow} { infty} ), (f (x) { rightarrow} - { infty} ); como (x { rightarrow} - { infty} ), (f (x) { rightarrow} - { infty} ). Ele tem a forma de uma função de potência de grau par com um coeficiente negativo.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Identificando o comportamento final e o grau de uma função polinomial

Dada a função (f (x) = - 3x ^ 2 (x − 1) (x + 4) ), expresse a função como um polinômio na forma geral e determine o termo principal, o grau e o comportamento final do função.

Solução

Obtenha a forma geral expandindo a expressão dada para (f (x) ).

[ begin {align *} f (x) & = - 3x ^ 2 (x − 1) (x + 4) & = - 3x ^ 2 (x ^ 2 + 3x − 4) & = - 3x ^ 4−9x ^ 3 + 12x ^ 2 end {align *} ]

A forma geral é (f (x) = - 3x ^ 4−9x ^ 3 + 12x ^ 2 ). O termo principal é (- 3x ^ 4 ); portanto, o grau do polinômio é 4. O grau é par (4) e o coeficiente líder é negativo (–3), então o comportamento final é

[ text {as} x { rightarrow} - { infty}, ; f (x) { rightarrow} - { infty} nonumber ]

[ text {as} x { rightarrow} { infty}, ; f (x) { rightarrow} - { infty} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {7} )

Dada a função (f (x) = 0,2 (x − 2) (x + 1) (x − 5) ), expresse a função como um polinômio na forma geral e determine o termo principal, grau e comportamento final de a função.

Responder

O termo principal é (0,2x ^ 3 ), portanto, é um polinômio de grau 3. À medida que (x ) se aproxima do infinito positivo, (f (x) ) aumenta sem limites; conforme (x ) se aproxima do infinito negativo, (f (x) ) diminui sem limite.

Identificando o comportamento local de funções polinomiais

Além do comportamento final das funções polinomiais, também estamos interessados ​​no que acontece no “meio” da função. Em particular, estamos interessados ​​em locais onde o comportamento do gráfico muda. UMA ponto de inflexão é um ponto no qual os valores da função mudam de crescente para decrescente ou decrescente para crescente.

Também estamos interessados ​​nas interceptações. Como com todas as funções, a interceptação (y ) é o ponto em que o gráfico intercepta o eixo vertical. O ponto corresponde ao par de coordenadas em que o valor de entrada é zero.Como um polinômio é uma função, apenas um valor de saída corresponde a cada valor de entrada, portanto, pode haver apenas uma interceptação (y ) ((0, a_0) ). As interceptações (x ) - ocorrem nos valores de entrada que correspondem a um valor de saída igual a zero. É possível ter mais de uma interceptação (x ). Veja a Figura ( PageIndex {10} ).

Definição: interceptações e pontos de viragem de funções polinomiais

UMA ponto de inflexão de um gráfico é um ponto no qual o gráfico muda de direção de aumentar para diminuir ou diminuir para aumentar. A interceptação (y ) - é o ponto em que a função tem um valor de entrada igual a zero. As interceptações (x ) - são os pontos nos quais o valor de saída é zero.

Dada uma função polinomial, determine as interceptações.

  1. Determine a interceptação (y ) - definindo (x = 0 ) e encontrando o valor de saída correspondente.
  2. Determine as interceptações (x ) - resolvendo os valores de entrada que geram um valor de saída igual a zero.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Determinando as interceptações de uma função polinomial

Dada a função polinomial (f (x) = (x − 2) (x + 1) (x − 4) ), escrita na forma fatorada para sua conveniência, determine o (y ) - e (x ) -intercepts.

Solução

A interceptação (y ) - ocorre quando a entrada é zero, então substitua 0 por (x ).

[ begin {align *} f (0) & = (0−2) (0 + 1) (0−4) & = (- 2) (1) (- 4) & = 8 fim {alinhar *} ]

A interceptação (y ) - é ((0,8) ).

As interceptações (x ) - ocorrem quando a saída é zero.

[0 = (x − 2) (x + 1) (x − 4) nonumber ]

[ begin {align *} x − 2 & = 0 & & text {ou} & x + 1 & = 0 & & text {ou} & x − 4 & = 0 x & = 2 & & text {ou } & x & = - 1 & & text {ou} & x & = 4 end {align *} ]

As interceptações (x ) - são ((2,0) ), ((- 1,0) ) e ((4,0) ).

Podemos ver essas interceptações no gráfico da função mostrada na Figura ( PageIndex {11} ).

Exemplo ( PageIndex {9} ): Determinando as interceptações de uma função polinomial com fatoração

Dada a função polinomial (f (x) = x ^ 4−4x ^ 2−45 ), determine as interceptações (y ) - e (x ) -.

Solução

A interceptação (y ) - ocorre quando a entrada é zero.

[ begin {align *} f (0) & = (0) ^ 4−4 (0) ^ 2−45 [4pt] & = - 45 end {align *} ]

A interceptação (y ) - é ((0, −45) ).

As interceptações (x ) - ocorrem quando a saída é zero. Para determinar quando a saída é zero, precisaremos fatorar o polinômio.

[ begin {align *} f (x) & = x ^ 4−4x ^ 2−45 & = (x ^ 2−9) (x ^ 2 + 5) & = (x − 3) (x + 3) (x ^ 2 + 5)
end {align *} ]

[0 = (x − 3) (x + 3) (x ^ 2 + 5) não numérico ]

[ begin {align *} x − 3 & = 0 & & text {ou} & x + 3 & = 0 & & text {ou} & x ^ 2 + 5 & = 0 x & = 3 & & text {ou} & x & = - 3 & & text {ou} & text {(sem solução real)} end {align *} ]

As interceptações (x ) - são ((3,0) ) e ((- 3,0) ).

Podemos ver essas interceptações no gráfico da função mostrada na Figura ( PageIndex {12} ). Podemos ver que a função é par porque (f (x) = f (−x) ).

Exercício ( PageIndex {5} )

( PageIndex {5} ): Dada a função polinomial (f (x) = 2x ^ 3−6x ^ 2−20x ), determine as interceptações (y ) - e (x ) -.

Solução

(y ) - interceptar ((0,0) ); (x ) - intercepta ((0,0) ), ((- 2,0) ) e ((5,0) )

Comparando gráficos suaves e contínuos

O grau de uma função polinomial nos ajuda a determinar o número de interceptos (x ) e o número de pontos de inflexão. Uma função polinomial de (n ^ text {th} ) grau é o produto de (n ) fatores, então ela terá no máximo (n ) raízes ou zeros, ou (x ) - intercepta . O gráfico da função polinomial de grau (n ) deve ter no máximo (n – 1 ) pontos de inflexão. Isso significa que o gráfico tem no máximo um ponto de inflexão a menos que o grau do polinômio ou um a menos que o número de fatores.

UMA função contínua não tem quebras em seu gráfico: o gráfico pode ser desenhado sem tirar a caneta do papel. Uma curva suave é um gráfico sem cantos agudos. Os pontos de inflexão de um gráfico suave sempre devem ocorrer em curvas arredondadas. Os gráficos das funções polinomiais são contínuos e suaves.

Interceptações e pontos de viragem de polinômios

Um polinômio de grau (n ) terá, no máximo, (n ) (x ) - interceptações e (n − 1 ) pontos de viragem.

Exemplo ( PageIndex {10} ): Determinando o número de interceptações e pontos de giro de um polinômio

Sem representar graficamente a função, determine o comportamento local da função encontrando o número máximo de (x ) - interceptações e pontos de inflexão para (f (x) = - 3x ^ {10} + 4x ^ 7 − x ^ 4 + 2x ^ 3 ).

Solução

O polinômio tem um grau de 10, então há no máximo (n ) (x ) - interceptações e no máximo (n − 1 ) pontos de inflexão.

Exercício ( PageIndex {6} )

Sem representar graficamente a função, determine o número máximo de (x ) - interceptações e pontos de inflexão para (f (x) = 108−13x ^ 9−8x ^ 4 + 14x ^ {12} + 2x ^ 3 )

Responder

Existem no máximo 12 (x ) - interceptações e no máximo 11 pontos de inflexão.

Exemplo ( PageIndex {11} ): Tirando conclusões sobre uma função polinomial a partir do gráfico

O que podemos concluir sobre o polinômio representado pelo gráfico mostrado na Figura ( PageIndex {12} ) com base em seus interceptos e pontos de inflexão?

Solução

O comportamento final do gráfico nos diz que este é o gráfico de um polinômio de grau par. Veja a Figura ( PageIndex {14} ).

O gráfico tem 2 (x ) - interceptos, sugerindo um grau de 2 ou maior, e 3 pontos de inflexão, sugerindo um grau de 4 ou maior. Com base nisso, seria razoável concluir que o grau é par e no mínimo 4.

Exercício ( PageIndex {7} )

O que podemos concluir sobre o polinômio representado pelo gráfico mostrado na Figura ( PageIndex {15} ) com base em seus interceptos e pontos de inflexão?

Figura ( PageIndex {15} ).

Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.

Solução

O comportamento final indica uma função polinomial de grau ímpar; há 3 (x ) - interceptos e 2 pontos de inflexão, então o grau é ímpar e pelo menos 3. Por causa do comportamento final, sabemos que o coeficiente de avanço deve ser negativo.

Exemplo ( PageIndex {12} ): Tirando conclusões sobre uma função polinomial a partir dos fatores

Dada a função (f (x) = - 4x (x + 3) (x − 4) ), determine o comportamento local.

Solução

A interceptação (y ) - é encontrada avaliando (f (0) ).

[ begin {align *} f (0) & = - 4 (0) (0 + 3) (0−4) & = 0 end {align *} ]

A interceptação (y ) - é ((0,0) ).

As interceptações (x ) - são encontradas determinando os zeros da função.

[ begin {align *} 0 & = - 4x (x + 3) (x-4) x & = 0 & & text {or} & x + 3 & = 0 & & text {or} & x- 4 & = 0 x & = 0 & & text {ou} & x & = - 3 & & text {ou} & x & = 4 end {align *} ]

As interceptações (x ) - são ((0,0) ), ((- 3,0) ) e ((4,0) ).

O grau é 3, então o gráfico tem no máximo 2 pontos de inflexão.

Exercício ( PageIndex {8} )

Dada a função (f (x) = 0,2 (x − 2) (x + 1) (x − 5) ), determine o comportamento local.

Responder

As interceptações (x ) - são ((2,0) ), ((- 1,0) ) e ((5,0) ), a interceptação (y ) é ((0,2) ), e o gráfico tem no máximo 2 pontos de inflexão.

Equações Chave

  • forma geral de uma função polinomial: (f (x) = a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} ... + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 )

Conceitos chave

  • Uma função de potência é uma base variável elevada a uma potência numérica.
  • O comportamento de um gráfico conforme a entrada diminui sem limite e aumenta sem limite é chamado de comportamento final.
  • O comportamento final depende se a potência é par ou ímpar.
  • Uma função polinomial é a soma dos termos, cada um dos quais consiste em uma função de potência transformada com potência de número inteiro positivo.
  • O grau de uma função polinomial é a maior potência da variável que ocorre em um polinômio. O termo que contém a maior potência da variável é chamado de termo principal. O coeficiente do termo líder é chamado de coeficiente líder.
  • O comportamento final de uma função polinomial é igual ao comportamento final da função de potência representada pelo termo principal da função.
  • Um polinômio de grau (n ) terá no máximo (n ) (x ) - interceptações e no máximo (n − 1 ) pontos de viragem.

Glossário

coeficiente

um número real diferente de zero que é multiplicado por uma variável elevada a um expoente (apenas o fator de número é o coeficiente)

função contínua

uma função cujo gráfico pode ser desenhado sem levantar a caneta do papel porque não há quebras no gráfico

grau

a maior potência da variável que ocorre em um polinômio

comportamento final

o comportamento do gráfico de uma função conforme a entrada diminui sem limite e aumenta sem limite

coeficiente de liderança

o coeficiente do termo principal

termo principal

o termo que contém o maior poder da variável

função polinomial

uma função que consiste em zero ou na soma de um número finito de termos diferentes de zero, cada um dos quais é o produto de um número, chamado de coeficiente do termo, e uma variável elevada a uma potência inteira não negativa.

Função liga-desliga

uma função que pode ser representada na forma (f (x) = kx ^ p ) onde (k ) é uma constante, a base é uma variável e o expoente, (p ), é uma constante

curva suave

um gráfico sem cantos agudos

termo de uma função polinomial

qualquer (a_ix ^ i ) de uma função polinomial na forma (f (x) = a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} ... + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 )

ponto de inflexão

o local em que o gráfico de uma função muda de direção


5.2 Notas: Representação gráfica de funções polinomiais - Apresentação PPT do PowerPoint

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Funções de potência e funções polinomiais

Suponha que uma certa espécie de pássaro se desenvolva em uma pequena ilha. Sua população nos últimos anos é mostrada em [link].

Ano 2009
2010
2011
2012
2013
População de Aves 800
897
992
1 , 083
1 , 169

A população pode ser estimada usando a função P (t) = - 0,3 t 3 + 97 t + 800,

representa a população de pássaros na ilha t

anos após 2009. Podemos usar este modelo para estimar a população máxima de aves e quando isso ocorrerá. Também podemos usar este modelo para prever quando a população de pássaros desaparecerá da ilha. Nesta seção, examinaremos as funções que podemos usar para estimar e prever esses tipos de mudanças.

Identificando funções de poder

Para entender melhor o problema das aves, precisamos entender um tipo específico de função. UMA Função liga-desliga é uma função com um único termo que é o produto de um número real, um coeficiente, e uma variável elevada a um número real fixo. (Um número que multiplica uma variável elevada a um expoente é conhecido como coeficiente.)

Como exemplo, considere funções para área ou volume. A função para o área de um círculo com raio r

e a função para o volume de uma esfera com raio r

Ambos são exemplos de funções de potência porque consistem em um coeficiente, π

multiplicado por uma variável r

UMA Função liga-desliga é uma função que pode ser representada na forma

é conhecido como o coeficiente.

Não. Uma função de potência contém uma base variável elevada a uma potência fixa. Esta função tem uma base constante elevada a uma potência variável. Isso é chamado de função exponencial, não de função de potência.

Quais das funções a seguir são funções de energia?

f (x) = 1 Função constante f (x) = x Identifica a função f (x) = x 2 Função quadrática f (x) = x 3 Função cúbica f (x) = 1 x Função recíproca f (x) = 1 x 2 Função quadrada recíproca f (x) = x Função raiz quadrada f (x) = x 3 Função raiz do cubo

Todas as funções listadas são funções de energia.

As funções constantes e de identidade são funções de potência porque podem ser escritas como f (x) = x 0

As funções quadráticas e cúbicas são funções de potência com potências de número inteiro f (x) = x 2

O recíproca e as funções quadradas recíprocas são funções de potência com potências de números inteiros negativos porque podem ser escritas como f (x) = x - 1

A praça e raiz cúbica funções são funções de potência com potências fracionárias porque podem ser escritas como f (x) = x 1/2

Quais funções são funções de energia? * * *

f (x) = 2 x 2 ⋅ 4 x 3 g (x) = - x 5 + 5 x 3 - 4 x h (x) = 2 x 5 - 1 3 x 2 + 4

é uma função de potência porque pode ser escrita como f (x) = 8 x 5.

As outras funções não são funções de alimentação.

Identificando o comportamento final das funções de poder

[link] mostra os gráficos de f (x) = x 2, g (x) = x 4

que são todas funções de poder com poderes pares de números inteiros. Observe que esses gráficos têm formas semelhantes, muito parecidas com a da função quadrática no kit de ferramentas. No entanto, à medida que o poder aumenta, os gráficos ficam um pouco achatados perto da origem e se tornam mais inclinados longe da origem.

Para descrever o comportamento à medida que os números se tornam cada vez maiores, usamos a ideia de infinito. Usamos o símbolo ∞

para infinito positivo e - ∞

para infinito negativo. Quando dizemos que “x

aproxima-se do infinito ”, que pode ser escrito simbolicamente como x → ∞,

estamos descrevendo um comportamento, estamos dizendo que x

está aumentando sem limites.

Com a função de potência uniforme, conforme a entrada aumenta ou diminui sem limites, os valores de saída tornam-se números positivos muito grandes. De forma equivalente, poderíamos descrever esse comportamento dizendo que x

aproxima-se do infinito positivo ou negativo, o f (x)

os valores aumentam sem limites. Na forma simbólica, poderíamos escrever

[link] mostra os gráficos de f (x) = x 3, g (x) = x 5 e h (x) = x 7,

que são todas funções de poder com poderes ímpares de número inteiro. Observe que esses gráficos são semelhantes à função cúbica do kit de ferramentas. Novamente, à medida que o poder aumenta, os gráficos se achatam perto da origem e se tornam mais inclinados a partir da origem.

Esses exemplos ilustram que funções da forma f (x) = x n

revelar simetria de um tipo ou de outro. Primeiro, em [link], vemos que funções pares da forma f (x) = x n, n par,

são simétricos em relação ao y -

eixo. Em [link], vemos que funções ímpares da forma f (x) = x n, n ímpar,

são simétricos em relação à origem.

Para essas funções de potência ímpar, como x

aproxima-se do infinito negativo, f (x)

diminui sem limites. Como x

aproxima-se do infinito positivo, f (x)

aumenta sem limites. Na forma simbólica, nós escrevemos

O comportamento do gráfico de uma função conforme os valores de entrada ficam muito pequenos (x → - ∞

) é referido como o comportamento final da função. Podemos usar palavras ou símbolos para descrever o comportamento final.

[link] mostra o comportamento final das funções de potência na forma f (x) = k x n

é um número inteiro não negativo dependendo da potência e da constante.

** Dada uma função de potência f (x) = k x n

é um número inteiro não negativo, identifique o comportamento final.

  1. Determine se a potência é par ou ímpar.
  2. Determine se a constante é positiva ou negativa.
  3. Use [link] para identificar o comportamento final.

Descreva o comportamento final do gráfico de f (x) = x 8.

O coeficiente é 1 (positivo) e o expoente da função de potência é 8 (um número par). Como x

aproxima-se do infinito, a saída (valor de f (x)

) aumenta sem limites. Escrevemos como x → ∞, f (x) → ∞.

aproxima-se do infinito negativo, a saída aumenta sem limites. Na forma simbólica, como x → - ∞, f (x) → ∞.

Podemos representar graficamente a função conforme mostrado em [link].

Descreva o comportamento final do gráfico de f (x) = - x 9.

O expoente da função de potência é 9 (um número ímpar). Porque o coeficiente é -1

(negativo), o gráfico é o reflexo sobre o x -

eixo do gráfico de f (x) = x 9.

se aproxima do infinito, a saída diminui sem limites. Como x

aproxima-se do infinito negativo, a saída aumenta sem limites. Em forma simbólica, escreveríamos

Podemos verificar nosso trabalho usando o recurso de tabela em um utilitário gráfico.

x
f (x)
–10 1,000,000,000
–5 1,953,125
0 0
5 –1,953,125
10 –1,000,000,000

Podemos ver em [link] que, quando substituímos valores muito pequenos por x,

a saída é muito grande, e quando substituímos valores muito grandes por x,

a saída é muito pequena (o que significa que é um valor negativo muito grande).

Descreva em palavras e símbolos o comportamento final de f (x) = - 5 x 4.

aproxima-se do infinito positivo ou negativo, f (x)

diminui sem limite: como x → ± ∞, f (x) → - ∞

por causa do coeficiente negativo.

Identificação de funções polinomiais

Um oleoduto estoura no Golfo do México, causando uma mancha de óleo em uma forma aproximadamente circular. A mancha tem atualmente um raio de 24 milhas, mas esse raio está aumentando em 8 milhas a cada semana. Queremos escrever uma fórmula para a área coberta pela mancha de óleo combinando duas funções. O raio r

do derramamento depende do número de semanas w

que passaram. Essa relação é linear.

Podemos combinar isso com a fórmula para a área A

A composição dessas funções fornece uma fórmula para a área em termos de semanas.

Multiplicando dá a fórmula.

Esta fórmula é um exemplo de um função polinomial. Uma função polinomial consiste em zero ou na soma de um número finito de termos diferentes de zero, cada um dos quais é o produto de um número, chamado de coeficiente do termo, e uma variável elevada a uma potência inteira não negativa.

ser um número inteiro não negativo. UMA função polinomial é uma função que pode ser escrita na forma

Isso é chamado de forma geral de uma função polinomial. Cada um a i

é um coeficiente e pode ser qualquer número real, mas um n

é um termo de uma função polinomial.

Quais das seguintes opções são funções polinomiais? * * *

As duas primeiras funções são exemplos de funções polinomiais porque podem ser escritas na forma f (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. + a 2 x 2 + a 1 x + a 1

onde as potências são inteiros não negativos e os coeficientes são números reais.

não pode ser escrito desta forma e, portanto, não é uma função polinomial.

Identificando o grau e coeficiente de liderança de uma função polinomial

Por causa da forma de uma função polinomial, podemos ver uma variedade infinita no número de termos e na potência da variável. Embora a ordem dos termos na função polinomial não seja importante para a execução de operações, normalmente organizamos os termos em ordem decrescente de potência ou na forma geral. O grau do polinômio é a maior potência da variável que ocorre no polinômio é a potência da primeira variável se a função estiver na forma geral. O termo principal é o termo que contém a maior potência da variável, ou o termo com o maior grau. O coeficiente de liderança é o coeficiente do termo líder.

Freqüentemente, reorganizamos os polinômios para que os poderes sejam descendentes.

Quando um polinômio é escrito dessa forma, dizemos que está na forma geral.

Dada uma função polinomial, identifique o grau e o coeficiente líder.

    Encontre a maior potência de x

para determinar a função de grau.

Identifique o grau, o termo líder e o coeficiente líder das seguintes funções polinomiais.

é 3, então o grau é 3. O termo principal é o termo que contém esse grau, −4 x 3.

O coeficiente líder é o coeficiente desse termo, −4.

O termo principal é o termo que contém esse grau, 5 t 5.

O coeficiente líder é o coeficiente desse termo, 5.

O termo principal é o termo que contém esse grau, - p 3

o coeficiente líder é o coeficiente desse termo, -1.

Identifique o grau, o termo líder e o coeficiente líder do polinômio f (x) = 4 x 2 - x 6 + 2 x - 6.

O grau é 6. O termo principal é - x 6.

O coeficiente líder é - 1.

Identificação do comportamento final de funções polinomiais

Saber o grau de uma função polinomial é útil para nos ajudar a prever seu comportamento final. Para determinar seu comportamento final, observe o termo principal da função polinomial. Como o poder do termo principal é o mais alto, esse termo crescerá significativamente mais rápido do que os outros termos como x

fica muito grande ou muito pequeno, então seu comportamento dominará o gráfico. Para qualquer polinômio, o comportamento final do polinômio corresponderá ao comportamento final do termo de grau mais alto. Veja [link].

Função polinomial Termo Principal Gráfico da função polinomial
f (x) = 5 x 4 + 2 x 3 - x - 4 5 x 4
f (x) = - 2 x 6 - x 5 + 3 x 4 + x 3 - 2 x 6
f (x) = 3 x 5 - 4 x 4 + 2 x 2 + 1 3 x 5
f (x) = - 6 x 3 + 7 x 2 + 3 x + 1 - 6 x 3

Descreva o comportamento final e determine um possível grau da função polinomial em [link].

ficam muito grandes, os valores de saída f (x)

aumentar sem limites. Como os valores de entrada x

ficam muito pequenos, os valores de saída f (x)

diminuir sem limites. Podemos descrever o comportamento final simbolicamente escrevendo

Em palavras, podemos dizer que x

os valores se aproximam do infinito, os valores da função se aproximam do infinito e como x

os valores se aproximam do infinito negativo, os valores da função se aproximam do infinito negativo.

Podemos dizer que este gráfico tem a forma de uma função de potência de grau ímpar que não foi refletida, portanto, o grau do polinômio que cria este gráfico deve ser ímpar e o coeficiente líder deve ser positivo.

Descreva o comportamento final e determine um possível grau da função polinomial em [link].

Como x → ∞, f (x) → - ∞ a s x → - ∞, f (x) → - ∞.

Ele tem a forma de uma função de potência de grau par com um coeficiente negativo.

Dada a função f (x) = - 3 x 2 (x - 1) (x + 4),

expressar a função como um polinômio na forma geral e determinar o termo principal, o grau e o comportamento final da função.

Obtenha a forma geral expandindo a expressão dada para f (x).

A forma geral é f (x) = - 3 x 4 - 9 x 3 + 12 x 2.

O termo principal é - 3 x 4

portanto, o grau do polinômio é 4. O grau é par (4) e o coeficiente líder é negativo (–3), então o comportamento final é

Dada a função f (x) = 0,2 (x - 2) (x + 1) (x - 5),

expressar a função como um polinômio na forma geral e determinar o termo principal, o grau e o comportamento final da função.

O termo principal é 0,2 x 3,

portanto, é um polinômio de grau 3. Como x

aproxima-se do infinito positivo, f (x)

aumenta sem limites quando x

aproxima-se do infinito negativo, f (x)

Identificando o comportamento local de funções polinomiais

Além do comportamento final das funções polinomiais, também estamos interessados ​​no que acontece no “meio” da função. Em particular, estamos interessados ​​em locais onde o comportamento do gráfico muda. UMA ponto de inflexão é um ponto no qual os valores da função mudam de crescente para decrescente ou de decrescimento para crescente.

Também estamos interessados ​​nas interceptações. Tal como acontece com todas as funções, o y-interceptar é o ponto em que o gráfico cruza o eixo vertical. O ponto corresponde ao par de coordenadas em que o valor de entrada é zero. Como um polinômio é uma função, apenas um valor de saída corresponde a cada valor de entrada, portanto, pode haver apenas um y-interceptar (0, a 0).

O x-as interceptações ocorrem nos valores de entrada que correspondem a um valor de saída igual a zero. É possível ter mais de um x-interceptar. Veja [link].

UMA ponto de inflexão de um gráfico é um ponto no qual o gráfico muda de direção de aumentar para diminuir ou diminuir para aumentar. O y-interceptar é o ponto em que a função tem um valor de entrada igual a zero. The x -

interceptações são os pontos em que o valor de saída é zero.

Dada uma função polinomial, determine as interceptações.

    Determinar o y-interceptar definindo x = 0

e encontrar o valor de saída correspondente.

intercepta resolvendo os valores de entrada que geram um valor de saída igual a zero.

Dada a função polinomial f (x) = (x - 2) (x + 1) (x - 4),

escrito de forma fatorada para sua conveniência, determine o y -

O y-a interceptação ocorre quando a entrada é zero, portanto, substitua x por 0.

O x-intercepts ocorrem quando a saída é zero.

as interceptações são (2, 0), (- 1, 0),

Podemos ver essas interceptações no gráfico da função mostrada em [link].

Dada a função polinomial f (x) = x 4 - 4 x 2 - 45,

O y-a interceptação ocorre quando a entrada é zero.

O y-a interceptação é (0, - 45).

O x-interceptos ocorrem quando a saída é zero. Para determinar quando a saída é zero, precisaremos fatorar o polinômio.

O x-interceptações são (3, 0)

Podemos ver essas interceptações no gráfico da função mostrada em [link]. Podemos ver que a função é par porque f (x) = f (- x).

Dada a função polinomial f (x) = 2 x 3 - 6 x 2 - 20 x,

x-intercepta (0, 0), (- 2, 0),

Comparando gráficos suaves e contínuos

O grau de uma função polinomial nos ajuda a determinar o número de x -

interceptações e o número de pontos de inflexão. Uma função polinomial de n-th

grau é o produto de n

fatores, então terá no máximo n

intercepta. O gráfico da função polinomial de grau n

pontos de viragem. Isso significa que o gráfico tem no máximo um ponto de inflexão a menos que o grau do polinômio ou um a menos que o número de fatores.

UMA função contínua não tem quebras em seu gráfico: o gráfico pode ser desenhado sem tirar a caneta do papel. UMA curva suave é um gráfico sem cantos agudos. Os pontos de inflexão de um gráfico suave sempre devem ocorrer em curvas arredondadas. Os gráficos das funções polinomiais são contínuos e suaves.

Sem representar graficamente a função, determine o comportamento local da função encontrando o número máximo de x -

interceptações e pontos de inflexão para f (x) = - 3 x 10 + 4 x 7 - x 4 + 2 x 3.

O polinômio tem um grau de 10,

-intercepta e no máximo 10 - 1 = 9

Sem representar graficamente a função, determine o número máximo de x -

interceptações e pontos de inflexão para f (x) = 108 - 13 x 9 - 8 x 4 + 14 x 12 + 2 x 3

intercepta e no máximo 11 pontos de inflexão.

O que podemos concluir sobre o polinômio representado pelo gráfico mostrado em [link] com base em seus interceptos e pontos de inflexão?

O comportamento final do gráfico nos diz que este é o gráfico de um polinômio de grau par. Veja [link].

intercepta, sugerindo um grau de 2 ou maior, e 3 pontos de inflexão, sugerindo um grau de 4 ou maior. Com base nisso, seria razoável concluir que o grau é par e no mínimo 4.

O que podemos concluir sobre o polinômio representado pelo gráfico mostrado em [link] com base em seus interceptos e pontos de inflexão?

O comportamento final indica uma função polinomial de grau ímpar, há 3 x -

intercepta e 2 pontos de inflexão, então o grau é ímpar e pelo menos 3. Devido ao comportamento final, sabemos que o coeficiente de avanço deve ser negativo.

Dada a função f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 4),

determinar o comportamento local.

a interceptação é encontrada avaliando f (0).

as interceptações são encontradas determinando os zeros da função.

as interceptações são (0, 0), (- 3, 0),

O grau é 3, então o gráfico tem no máximo 2 pontos de inflexão.

Dada a função f (x) = 0,2 (x - 2) (x + 1) (x - 5),

determinar o comportamento local.

as interceptações são (2, 0), (- 1, 0),

e o gráfico tem no máximo 2 pontos de inflexão.

Acesse esses recursos online para obter instruções e práticas adicionais com funções de potência e polinomiais.

interceptações de funções polinomiais] 3

Equações Chave

Conceitos chave

  • Uma função de potência é uma base variável elevada a uma potência numérica. Veja [link].
  • O comportamento de um gráfico conforme a entrada diminui além do limite e aumenta além do limite é chamado de comportamento final.
  • O comportamento final depende se a potência é par ou ímpar. Veja [link] e [link].
  • Uma função polinomial é a soma dos termos, cada um dos quais consiste em uma função de potência transformada com potência de número inteiro positivo. Veja [link].
  • O grau de uma função polinomial é a maior potência da variável que ocorre em um polinômio. O termo que contém a maior potência da variável é chamado de termo principal. O coeficiente do termo líder é chamado de coeficiente líder. Veja [link].
  • O comportamento final de uma função polinomial é igual ao comportamento final da função de potência representada pelo termo principal da função. Veja [link] e [link].
  • Um polinômio de grau n

Exercícios de seção

Verbal

Explique a diferença entre o coeficiente de uma função de potência e seu grau.

O coeficiente da função potência é o número real que é multiplicado pela variável elevada a uma potência. O grau é a maior potência que aparece na função.

Se uma função polinomial está na forma fatorada, qual seria um bom primeiro passo para determinar o grau da função?

Em geral, explique o comportamento final de uma função de potência com grau ímpar se o coeficiente líder for positivo.

diminui sem limite, o mesmo acontece com f (x).

aumenta sem limite, o mesmo acontece com f (x).

Qual é a relação entre o grau de uma função polinomial e o número máximo de pontos de inflexão em seu gráfico?

O que podemos concluir se, em geral, o gráfico de uma função polinomial exibe o seguinte comportamento final? Como x → - ∞, f (x) → - ∞

A função polinomial é de grau par e o coeficiente líder é negativo.

Algébrico

Para os exercícios a seguir, identifique a função como uma função de potência, uma função polinomial ou nenhuma.


Identificar o grau e o coeficiente principal de uma função polinomial

Por causa da forma de uma função polinomial, podemos ver uma variedade infinita no número de termos e na potência da variável. Embora a ordem dos termos na função polinomial não seja importante para a execução de operações, normalmente organizamos os termos em ordem decrescente de potência ou na forma geral. O grau do polinômio é a maior potência da variável que ocorre no polinômio é a potência da primeira variável se a função estiver na forma geral. O termo principal é o termo que contém o poder mais alto da variável, ou o termo com o grau mais alto. O coeficiente líder é o coeficiente do termo líder.


Polinômios e funções polinomiais - Apresentação PPT do PowerPoint

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5.2: Funções de potência e funções polinomiais

e a função para o volume de uma esfera com raio [latex] r [/ latex] é

Ambos são exemplos de funções de potência porque consistem em um coeficiente, [latex] pi [/ latex] ou [latex] frac <4> <3> pi [/ latex], multiplicado por uma variável [latex] r [/ latex] elevado a uma potência.

Uma nota geral: Função de energia

UMA Função liga-desliga é uma função que pode ser representada na forma

Onde k e p são números reais, e k é conhecido como o coeficiente.

É [latex] f left (x right) = <2> ^[/ latex] uma função de potência?

Não. Uma função de potência contém uma base variável elevada a uma potência fixa. Esta função tem uma base constante elevada a uma potência variável. Isso é chamado de função exponencial, não de função de potência.

Exemplo 1: Identificando funções de energia

Quais das funções a seguir são funções de energia?

[latex] começarf left (x right) = 1hfill & texthfill f left (x right) = xhfill & texthfill f left (x right) =^ <2> hfill e textotexto <> texto hfill f left (x right) =^ <3> preenchimento e textohfill f left (x right) = frac <1> hfill e textohfill f left (x right) = frac <1> <^ <2>> preenchimento e textohfill f left (x right) = sqrthfill e textohfill f left (x right) = sqrt [3]hfill e textohfill end[/látex]

Solução

Todas as funções listadas são funções de energia.

As funções de constante e identidade são funções de potência porque podem ser escritas como [latex] f left (x right) =^ <0> [/ latex] e [latex] f left (x right) =^ <1> [/ latex] respectivamente.

As funções quadráticas e cúbicas são funções de potência com potências de números inteiros [latex] f left (x right) =^ <2> [/ latex] e [latex] f left (x right) =^ <3> [/ latex].

O recíproca e as funções quadradas recíprocas são funções de potência com potências de números inteiros negativos porque podem ser escritas como [latex] f left (x right) =^ <-1> [/ latex] e [latex] f left (x right) =^ <-2> [/ latex].

A praça e raiz cúbica funções são funções de potência com potências fracionárias porque podem ser escritas como [latex] f left (x right) =^ <1/2> [/ latex] ou [latex] f left (x right) =^ <1/3> [/ latex].


Defina o grau e o coeficiente líder de uma função polinomial

Por causa da forma de uma função polinomial, podemos ver uma variedade infinita no número de termos e na potência da variável. Embora a ordem dos termos na função polinomial não seja importante para a execução de operações, normalmente organizamos os termos em ordem decrescente de potência ou na forma geral. O grau do polinômio é a maior potência da variável que ocorre no polinômio é a potência da primeira variável se a função estiver na forma geral. O termo principal é o termo que contém a maior potência da variável, ou o termo com o maior grau. O coeficiente de liderança é o coeficiente do termo líder.

Uma Nota Geral: Terminologia de Funções Polinomiais

Freqüentemente, reorganizamos os polinômios para que os poderes sejam descendentes.

Quando um polinômio é escrito dessa forma, dizemos que está na forma geral.

Como: Dada uma função polinomial, identifique o grau e o coeficiente líder.

  1. Encontre o maior poder de x para determinar a função de grau.
  2. Identifique o termo que contém o maior poder de x para encontrar o termo principal.
  3. Identifique o coeficiente do termo principal.

Exemplo 5: Identificando o grau e o coeficiente principal de uma função polinomial

Identifique o grau, o termo líder e o coeficiente líder das seguintes funções polinomiais.

Solução

Para a função [latex] f left (x right), [/ latex] a maior potência de x é 3, então o grau é 3. O termo principal é o termo que contém esse grau, [látex] -4^ <3>. [/ Latex] O coeficiente líder é o coeficiente desse termo, –4.

Para a função [latex] g left (t right), [/ latex] a maior potência de t é 5, então o grau é 5. O termo principal é o termo que contém esse grau, [látex] 5^ <5>. [/ Latex] O coeficiente líder é o coeficiente desse termo, 5.

Para a função [latex] h left (p right), [/ latex] a maior potência de p é 3, então o grau é 3. O termo principal é o termo que contém esse grau, [látex] -

^ <3> [/ latex] o coeficiente líder é o coeficiente desse termo, –1.

Experimente 3

Identifique o grau, o termo líder e o coeficiente líder do polinômio [látex] f left (x right) = 4^<2>-^ <6> + 2x - 6. [/ Latex]


5.2: Funções de potência e funções polinomiais

Começaremos esta seção definindo exatamente o que raiz ou zero de um polinômio é. Dizemos que (x = r ) é uma raiz ou zero de um polinômio, (P left (x right) ), se (P left (r right) = 0 ). Em outras palavras, (x = r ) é uma raiz ou zero de um polinômio se for uma solução para a equação (P left (x right) = 0 ).

Nas próximas seções, precisaremos encontrar todos os zeros para um determinado polinômio. Portanto, antes de entrarmos nisso, precisamos tirar algumas ideias do caminho sobre zeros de polinômios que nos ajudarão nesse processo.

O processo de encontrar os zeros de (P left (x right) ) realmente equivale a nada mais do que resolver a equação (P left (x right) = 0 ) e já sabemos como fazer isso para polinômios de segundo grau (quadráticos). Então, para ajudar a ilustrar algumas das ideias que veremos, vamos pegar os zeros de alguns polinômios de segundo grau.

Vamos primeiro encontrar os zeros para (P left (x right) = + 2x - 15 ). Para fazer isso, simplesmente resolvemos a seguinte equação.

[ + 2x - 15 = left ( direita esquerda( right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = - 5, , , x = 3 ]

Portanto, este polinômio de segundo grau tem dois zeros ou raízes.

Agora, vamos encontrar os zeros para (P left (x right) = - 14x + 49 ). Isso vai significar resolver,

Portanto, este polinômio de segundo grau tem um único zero ou raiz. Além disso, lembre-se de que, quando os examinamos pela primeira vez, chamamos uma raiz como esta de raiz dupla.

Resolvemos cada um deles fatorando primeiro o polinômio e, em seguida, usando a propriedade do fator zero na forma fatorada. Quando olhamos pela primeira vez para a propriedade do fator zero, vimos que ela dizia que se o produto de dois termos fosse zero, então um dos termos deveria ser zero para começar.

A propriedade do fator zero pode ser estendida para tantos termos quantos forem necessários. Em outras palavras, se temos um produto de (n ) termos que é igual a zero, então pelo menos um deles tinha que ser zero para começar. Então, se pudéssemos fatorar polinômios de alto grau, poderíamos resolvê-los também.

Vamos dar uma olhada em alguns deles.

  1. (P left (x right) = 5 - 20 + 5 + 50 - 20x - 40 = 5 < left ( right) ^ 2> < left ( right) ^ 3> )
  2. (Q left (x right) = - 4 - 18 + 108 - 135 = < left ( direita) ^ 3> esquerda ( direito))
  3. (R left (x right) = + 10 + 27 - 57 - 30 + 29x + 20 = < left ( right) ^ 3> < left ( direita) ^ 2> esquerda ( direita esquerda( direito))

Em cada um deles, o factoring foi feito por nós. Não se preocupe em fatorar algo assim. Você não será solicitado a fazer qualquer fatoração deste tipo em qualquer lugar neste material. Há apenas aqui para enfatizar que a propriedade do fator zero também funciona aqui. Também os usaremos em um exemplo posterior.

Ok, neste caso nós temos um produto de 3 termos, entretanto o primeiro é uma constante e não fará o polinômio zero. Portanto, a partir dos dois termos finais, parece que o polinômio será zero para (x = - 1 ) e (x = 2 ). Portanto, os zeros deste polinômio são,

Também temos um produto de três termos neste polinômio. No entanto, como o primeiro é agora um (x ), isso introduzirá um terceiro zero. Os zeros para este polinômio são,

porque cada um deles fará com que um dos termos e, portanto, todo o polinômio, seja zero.

Com este polinômio, temos quatro termos e os zeros aqui são,

Agora, temos algumas terminologias para tirar do caminho. Se (r ) é um zero de um polinômio e o expoente no termo que produziu a raiz é (k ), então dizemos que (r ) tem multiplicidade (k ). Zeros com multiplicidade de 1 são frequentemente chamados simples zeros.

Por exemplo, o polinômio (P left (x right) = - 10x + 25 = < left ( right) ^ 2> ) terá um zero, (x = 5 ), e sua multiplicidade é 2. De alguma forma, podemos pensar neste zero como ocorrendo duas vezes na lista de todos os zeros, uma vez que poderíamos escrever o polinomial como,

[P left (x right) = - 10x + 25 = left ( direita esquerda( direito)]

Escrito desta forma, o termo (x - 5 ) aparece duas vezes e cada termo dá o mesmo zero, (x = 5 ). Dizer que a multiplicidade de um zero é (k ) é apenas uma forma abreviada de reconhecer que o zero ocorrerá (k ) vezes na lista de todos os zeros.

  1. (P left (x right) = + 2x - 15 )
  2. (P left (x right) = - 14x + 49 )
  3. (P left (x right) = 5 - 20 + 5 + 50 - 20x - 40 = 5 < left ( right) ^ 2> < left ( right) ^ 3> )
  4. (Q left (x right) = - 4 - 18 + 108 - 135 = < left ( direita) ^ 3> esquerda ( direito))
  5. (R left (x right) = + 10 + 27 - 57 - 30 + 29x + 20 = < left ( right) ^ 3> < left ( direita) ^ 2> esquerda ( direita esquerda( direito))

Já determinamos os zeros de cada um deles em trabalhos anteriores ou exemplos nesta seção, então não vamos refazer esse trabalho. Em cada caso, iremos simplesmente anotar os zeros encontrados anteriormente e, em seguida, voltar à forma fatorada do polinômio, observar o expoente em cada termo e fornecer a multiplicidade.

a Neste caso, temos dois zeros simples: (x = - 5, , , x = 3 ).

b Aqui (x = 7 ) é um zero de multiplicidade 2.

c Existem dois zeros para este polinômio: (x = - 1 ) com multiplicidade 2 e (x = 2 ) com multiplicidade 3.

d Temos três zeros neste caso. : (x = - 5 ) que é simples, (x = 0 ) com multiplicidade de 4 e (x = 3 ) com multiplicidade 3.

e No caso final, temos quatro zeros. (x = - 5 ) que é simples, (x = - 1 ) com multiplicidade de 3, (x = 1 ) com multiplicidade 2 e (x = - 4 ) que é simples.

Este exemplo nos leva a vários fatos interessantes sobre polinômios. Aqui está o primeiro e provavelmente o mais importante.

Teorema Fundamental da Álgebra

Se (P left (x right) ) é um polinômio de grau n então (P left (x right) ) terá exatamente (n ) zeros, alguns dos quais podem se repetir.

Este fato diz que se você listar todos os zeros e listar cada um (k ) vezes, onde (k ) é sua multiplicidade, você terá exatamente (n ) números na lista. Outra maneira de dizer esse fato é que a multiplicidade de todos os zeros deve somar ao grau do polinômio.

Podemos voltar ao exemplo anterior e verificar se esse fato é verdadeiro para os polinômios listados ali.

Isso será um bom fato em algumas seções, quando entrarmos em detalhes sobre como encontrar todos os zeros de um polinômio. Se conhecermos um limite superior para o número de zeros de um polinômio, saberemos quando encontrarmos todos eles e assim poderemos parar de procurar.

Observe também que alguns dos zeros podem ser complexos. Nesta seção, trabalhamos com polinômios que têm apenas zeros reais, mas não deixamos que isso o leve à ideia de que esse teorema só se aplicará a zeros reais. É perfeitamente possível que zeros complexos apareçam na lista de zeros.

O próximo fato também é muito útil às vezes.

O Teorema do Fator

Para o polinômio (P left (x right) ),

    Se (r ) é um zero de (P left (x right) ) então (x - r ) será um fator de (P left (x right) ).

Novamente, se voltarmos ao exemplo anterior, podemos ver que isso é verificado com os polinômios listados lá.

O teorema do fator leva ao seguinte fato.

Fato 1

Se (P left (x right) ) é um polinômio de grau (n ) e (r ) é um zero de (P left (x right) ) então (P left (x right) ) pode ser escrito da seguinte forma.

[P left (x right) = left ( direita) Q esquerda (x direita) ]

onde (Q left (x right) ) é um polinômio com grau (n - 1 ). (Q left (x right) ) pode ser encontrado dividindo (P left (x right) ) por (x - r ).

Há mais um fato de que precisamos sair do caminho.

Fato 2

Se (P left (x right) = left ( right) Q left (x right) ) e (x = t ) é um zero de (Q left (x right) ) então (x = t ) também será um zero de (P left (x right) ).

Esse fato é fácil de verificar diretamente. Primeiro, se (x = t ) é um zero de (Q left (x right) ), então sabemos que,

já que é isso que significa ser um zero. Portanto, se (x = t ) deve ser um zero de (P left (x right) ), então tudo o que precisamos fazer é mostrar que (P left (t right) = 0 ) e isso é bastante simples. Aqui está,

[P left (t right) = left ( direita) Q esquerda (t direita) = esquerda ( direita) esquerda (0 direita) = 0 ]

e então (x = t ) é um zero de (P left (x right) ).

Vamos trabalhar um exemplo para ver como esses últimos fatos podem ser úteis para nós.

Primeiro, observe que realmente podemos dizer os outros dois, pois sabemos que este é um polinômio de terceiro grau e, portanto, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, teremos exatamente 3 zeros, com algumas repetições possíveis.

Então, como sabemos que (x = 2 ) é um zero de (P left (x right) = + 2 - 5x - 6 ) o Fato 1 nos diz que podemos escrever (P left (x right) ) como,

[P left (x right) = left ( direita) Q esquerda (x direita) ]

e (Q left (x right) ) será um polinômio quadrático. Então podemos encontrar os zeros de (Q left (x right) ) por qualquer um dos métodos que examinamos até este ponto e pelo Fato 2 sabemos que os dois zeros que obtemos de (Q esquerda (x direita) ) também será por zeros de (P esquerda (x direita) ). Neste ponto, teremos 3 zeros e então terminaremos.

Então, vamos encontrar (Q left (x right) ). Para fazer isso, tudo o que precisamos fazer é uma rápida divisão sintética como segue.

Antes de escrever (Q left (x right) ) lembre-se que o número final na terceira linha é o resto e que sabemos que (P left (2 right) ) deve ser igual a este número . Então, neste caso, temos que (P left (2 right) = 0 ). Se você pensar bem, já deveríamos saber que isso é verdade. Recebemos na declaração do problema o fato de que (x = 2 ) é um zero de (P left (x right) ) e isso significa que devemos ter (P left (2 right) = 0 ).

Então, por que continuar com isso? Esta é uma grande verificação de nossa divisão sintética. Como sabemos que (x = 2 ) é um zero de (P left (x right) ) e obtemos qualquer outro número diferente de zero nessa última entrada, saberemos que fizemos algo errado e podemos voltar e encontrar o erro.

Agora, vamos voltar ao problema. Da divisão sintética que temos,

[P left (x right) = left ( direita) esquerda (<+ 4x + 3> direita) ]

e podemos encontrar os zeros disso. Aqui estão eles,

[Q left (x right) = + 4x + 3 = left ( direita esquerda( right) hspace <0.25in> , , , , , Rightarrow hspace <0.25in> , , , x = - 3, , , x = - 1 ]

Portanto, os três zeros de (P left (x right) ) são (x = - 3 ), (x = - 1 ) e (x = 2 ).

À parte do exemplo anterior, observe que agora também podemos fatorar completamente o polinômio (P left (x right) = + 2 - 5x - 6 ). Substituindo a forma fatorada de (Q left (x right) ) em (P left (x right) ), obtemos,

[P left (x right) = left ( direita esquerda( direita esquerda( direito)]

É assim que os polinômios no primeiro conjunto de exemplos foram fatorados pelo caminho. Isso exige um pouco mais de trabalho do que isso, mas pode ser feito da mesma maneira.


5.2: Funções de potência e funções polinomiais

Dados dois números de base e expoente, a função pow () encontra x elevado à potência de y, ou seja, x y. Basicamente em C o valor do expoente é calculado usando a função pow ().
Exemplo:

  • x: valor base de ponto flutuante
  • y: valor de potência de ponto flutuante

Trabalho da função pow () com inteiros

  • Isso ocorre porque 5 2 (ou seja, 25) pode ser armazenado como 24,9999999 ou 25,0000000001 porque o tipo de retorno é duplo. Quando atribuído a int, 25,0000000001 torna-se 25, mas 24,9999999 fornecerá a saída 24.
  • Para superar isso e gerar a resposta precisa em formato inteiro, podemos adicionar 0,5 ao resultado e fazer o typecast para int por exemplo, (int) (pow (5, 2) +0,5) dará a resposta correta (25, no exemplo acima), independentemente do compilador.

Este artigo é uma contribuição de Arushi Dhamija e Jatin Goyal. Se você gosta de GeeksforGeeks e gostaria de contribuir, você também pode escrever um artigo usando contrib.geeksforgeeks.org ou enviar seu artigo para [email protected] Veja o seu artigo na página principal do GeeksforGeeks e ajude outros Geeks.

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5.2: Funções de potência e funções polinomiais

Um polinômio na variável x é uma função que pode ser escrita na forma,

Onde uman, uman-1 , . uma2, uma1, uma0 são constantes. Chamamos o termo contendo o maior poder de x (ou seja, umanx n ) a termo principal, e nós ligamos uman a coeficiente de liderança. O grau do polinômio é o poder de x no termo principal. Já vimos polinômios de grau 0, 1 e 2 que eram as funções constantes, lineares e quadráticas, respectivamente. Polinômios de grau 3, 4 e 5 também têm nomes especiais: funções cúbicas, quárticas e quínticas. Polinômios com grau n & gt 5 são apenas chamados n polinômios de grau. Os nomes das diferentes funções polinomiais estão resumidos na tabela abaixo.

Grau do polinômio Nome da função
0 Função constante
1 Função linear
2 Função quadrática
3 Função cúbica
4 Função quártica
5 Função Quíntica
n (Onde n & gt 5) n polinômio de grau

Alguns exemplos de polinômios incluem:

O comportamento limitante de polinômios

O comportamento limitante de uma função descreve o que acontece com a função como x & rarr & plusmn & infin.O grau de um polinômio e o sinal de seu coeficiente líder ditam seu comportamento de limitação. Em particular,

  • Se o grau de um polinômio f(x) é par e o coeficiente líder é positivo, então f(x) & rarr & infin as x & rarr & plusmn & infin.
  • Se f(x) é um polinômio de grau par com coeficiente líder negativo, então f(x) & rarr - & infin as x & rarr & plusmn & infin.
  • Se f(x) é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, então f(x) & rarr- & infin as x & rarr- & infin e f(x) & rarr & infin as x & rarr & infin.
  • Se f(x) é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder negativo, então f(x) & rarr & infin as x & rarr - & infin e f(x) & rarr- & infin as x & rarr & infin.

Esses resultados estão resumidos na tabela a seguir.

Você pode usar essas informações para determinar se um polinômio tem grau ímpar ou par e se o coeficiente líder é positivo ou negativo, simplesmente inspecionando seu gráfico.

Os gráficos de polinômios a seguir exemplificam cada um dos comportamentos descritos na tabela acima.

Raízes e pontos de viragem

O grau de um polinômio diz ainda mais sobre ele do que o comportamento de limitação. Especificamente, um n polinômio de grau pode ter no máximo n raízes reais (x-interceptos ou zeros) contando multiplicidades. Por exemplo, suponha que estamos olhando para um polinômio de 6º grau que tem 4 raízes distintas. Se duas das quatro raízes têm multiplicidade 2 e as outras 2 têm multiplicidade 1, sabemos que não há outras raízes porque contabilizamos todas as 6 raízes. Isso ocorre porque as raízes com uma multiplicidade de dois (também conhecidas como raízes duplas) são contadas como duas raízes.

Esteja ciente de que um n polinômio de grau não precisa ter n raízes reais - poderia ter menos porque tem raízes imaginárias. Observe que um polinômio de grau ímpar deve ter pelo menos uma raiz real, uma vez que a função se aproxima de - & infin em uma extremidade e + & infin na outra, uma função contínua que muda de negativa para positiva deve cruzar o x- eixo em algum lugar no meio. Além disso, um n polinômio de grau pode ter no máximo n - 1 pontos de inflexão. Um ponto de inflexão é um ponto no qual a função muda de crescente para decrescente ou de decréscimo para aumentar, conforme mostrado na figura abaixo. Novamente, um n polinômio de grau não precisa ter n - 1 ponto de inflexão, poderia ter menos.

Nota de Cuidado

É importante perceber a diferença entre funções pares e ímpares e polinômios de grau pares e ímpares. Qualquer função, f(x), é mesmo se,

para todos x no domínio de f(x), ou estranho se,

para todos x no domínio de f(x), ou nem par nem ímpar se nenhuma das afirmações acima forem verdadeiras.

UMA k polinômio de grau, p(x), é dito ter grau uniforme se k é um número par e grau ímpar se k é um número ímpar. Lembre-se disso mesmo que p(x) tem grau par, não é necessariamente uma função par. Da mesma forma, se p(x) tem grau ímpar, não é necessariamente uma função ímpar.

Também usamos os termos par e ímpar para descrever raízes de polinômios. Especificamente, um polinômio p(x) tem raiz x = uma de multiplicidade k (ou seja, x = uma é uma raiz repetida k vezes) se (x &menos uma)k é um fator de p(x) Nós dizemos isso x = uma tem mesmo multiplicidade se k é um número par e multiplicidade ímpar se k é um número ímpar.

Domínio e alcance

Todos os polinômios têm o mesmo domínio que consiste em todos os números reais. O intervalo de polinômios de grau ímpar também consiste em todos os números reais. O intervalo de polinômios de grau par é um pouco mais complicado e não podemos declarar explicitamente o intervalo de todos os polinômios de grau par. Se o coeficiente líder for positivo, a função se estenderá para + & infin, enquanto se o coeficiente líder for negativo, ela se estenderá para - & infin. Isso significa que mesmo polinômios de grau com coeficiente líder positivo têm intervalo [ymin, & infin) onde ymin denota o mínimo global que a função atinge. Por outro lado, polinômios de grau par com coeficiente líder negativo. tem intervalo (- & infin, ymax] Onde ymax denota o máximo global que a função atinge. Em geral, não é possível determinar analiticamente os máximos ou mínimos dos polinômios.

Na próxima seção, você aprenderá a divisão polinomial, uma técnica usada para encontrar as raízes de funções polinomiais.


Assista o vídeo: FUNÇÃO POTÊNCIA (Novembro 2021).