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4.4: Limites infinitos. Operações em E * - Matemática


Como observamos, o Teorema 1 de §3 não se aplica a limites infinitos, mesmo se os valores da função (f (x), g (x), h (x) ) permanecerem finitos (ou seja, (em E ^ {1}). ) Apenas em certos casos (declarados abaixo) podemos provar alguns análogos.

Existem alguns desses casos separados. Assim, por brevidade, devemos adotar uma espécie de taquigrafia matemática. A letra (q ) não denotará necessariamente uma constante; vai representar

[ text {"uma função} f: A rightarrow E ^ {1}, A subseteq (S, rho), text {tal que} f (x) rightarrow q in E ^ {1} text {as} x rightarrow p. text {"} ]

Da mesma forma, "0" e " ( pm infty )" representarão expressões análogas, com (q ) substituído por 0 e ( pm infty, ) respectivamente.

Por exemplo, a "fórmula abreviada" ((+ infty) + (+ infty) = + infty ) significa

[ text {"A soma de duas funções reais, com limite} + infty text {at} p text {} (p in S), text {é ela própria uma função com limite} + infty texto {at} p. texto {"} ]

O ponto (p ) é fixo, possivelmente ( pm infty left ( text {if} A subseteq E ^ {*} right). ) Com esta notação, temos os seguintes teoremas.

Teoremas

1. (( pm infty) + ( pm infty) = pm infty ).

2. (( pm infty) + q = q + ( pm infty) = pm infty ).

3. (( pm infty) cdot ( pm infty) = + infty ).

4. (( pm infty) cdot ( mp infty) = - infty ).

5. (| pm infty | = + infty ).

6. (( pm infty) cdot q = q cdot ( pm infty) = pm infty ) se (q> 0 ).

7. (( pm infty) cdot q = q cdot ( pm infty) = mp infty ) se (q <0 ).

8. (- ( pm infty) = mp infty ).

9. ( frac {( pm infty)} {q} = ( pm infty) cdot frac {1} {q} ) if (q neq 0 ).

10. ( frac {q} {( pm infty)} = 0 ).

11. ((+ infty) ^ {+ infty} = + infty ).

12. ((+ infty) ^ {- infty} = 0 ).

13. ((+ infty) ^ {q} = + infty ) se (q> 0 ).

14. ((+ infty) ^ {q} = 0 ) se (q <0 ).

15. Se (q> 1, ) então (q ^ {+ infty} = + infty ) e (q ^ {- infty} = 0 ).

16. Se (0

Prova

Provamos os Teoremas 1 e 2, deixando o resto como problemas. (Teoremas 11-16 são melhor adiados até que a teoria dos logaritmos seja desenvolvida.)

1. Seja (f (x) ) e (g (x) rightarrow + infty ) como (x rightarrow p. ) Temos que mostrar que

[f (x) + g (x) rightarrow + infty, ]

ou seja, aquele

[ left ( forall b in E ^ {1} right) ( exists delta> 0) left ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) right) quad f (x) + g (x)> b ]

(podemos assumir que (b> 0). ) Assim, fixe (b> 0. ) Como (f (x) ) e (g (x) rightarrow + infty, ) existem ( delta ^ { prime}, delta ^ { prime prime}> 0 ) de modo que

[ left ( forall x in A cap G _ { neg p} left ( delta ^ { prime} right) right) f (x)> b text {e} left ( forall x in A cap G _ { neg p} left ( delta ^ { prime prime} right) right) g (x)> b. ]

Vamos ( delta = min left ( delta ^ { prime}, delta ^ { prime prime} right). ) Então

[ left ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) right) quad f (x) + g (x)> b + b> b, ]

como requerido; da mesma forma para o caso de (- infty ).

2. Seja (f (x) rightarrow + infty ) e (g (x) rightarrow q in E ^ {1}. ) Então há ( delta ^ { prime}> 0 ) de modo que para (x ) em (A cap G _ { neg p} left ( delta ^ { prime} right), | qg (x) | <1, ) de modo que ( g (x)> q-1 ).

Além disso, dado qualquer (b in E ^ {1}, ) existe ( delta ^ { prime prime} ) tal que

[ left ( forall x in A cap G _ {- p} left ( delta ^ { prime prime} right) right) quad f (x)> b-q + 1. ]

Vamos ( delta = min left ( delta ^ { prime}, delta ^ { prime prime} right). ) Então

[ left ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) right) quad f (x) + g (x)> (b-q + 1) + (q-1 ) = b, ]

como requerido; da mesma forma para o caso de (f (x) rightarrow- infty ).

Cuidado: Nenhum teorema deste tipo existe para os seguintes casos (que, portanto, são chamados expressões indeterminadas):

[(+ infty) + (- infty), quad ( pm infty) cdot 0, quad frac { pm infty} { pm infty}, quad frac {0} {0}, quad ( pm infty) ^ {0}, quad 0 ^ {0}, quad 1 ^ { pm infty}. ]

Nestes casos, não basta conhecer apenas os limites de (f ) e (g. ). É necessário investigar as próprias funções para dar uma resposta definitiva, pois em cada caso a resposta pode ser diferente, dependendo das propriedades de (f ) e (g. ) As expressões (1 *) permanecem indeterminados mesmo se considerarmos os tipos mais simples de funções, a saber, sequências, como mostraremos a seguir.

Exemplos

(a) Deixe

[u_ {m} = 2 m text {e} v_ {m} = - m. ]

(Isso corresponde a (f (x) = 2 x ) e (g (x) = - x.) ) Então, como é facilmente visto,

[u_ {m} rightarrow + infty, v_ {m} rightarrow- infty, text {e} u_ {m} + v_ {m} = 2 m-m = m rightarrow + infty. ]

Se, no entanto, tomarmos (x_ {m} = 2 m ) e (y_ {m} = - 2 m, ) então

[x_ {m} + y_ {m} = 2 m-2 m = 0; ]

assim, (x_ {m} + y_ {m} ) é constante, com limite 0 (para o limite de uma função constante é igual a seu valor; consulte §1, Exemplo (a)).

A seguir vamos

[u_ {m} = 2 m text {e} z_ {m} = - 2 m + (- 1) ^ {m}. ]

Então de novo

[u_ {m} rightarrow + infty text {e} z_ {m} rightarrow- infty, text {mas} u_ {m} + z_ {m} = (- 1) ^ {m}; ]

(u_ {m} + z_ {m} ) "oscila" de (- 1 ) a 1 como (m rightarrow + infty, ) então não tem limite algum.

Esses exemplos mostram que ((+ infty) + (- infty) ) é de fato uma expressão indeterminada, pois a resposta depende da natureza das funções envolvidas. Nenhuma resposta geral é possível.

(b) Agora mostramos que (1 ^ {+ infty} ) é indeterminado.

Pegue primeiro uma constante ( left {x_ {m} right }, x_ {m} = 1, ) e deixe (y_ {m} = m. ) Então

[x_ {m} rightarrow 1, y_ {m} rightarrow + infty, text {e} x_ {m} ^ {y_ {m}} = 1 ^ {m} = 1 = x_ {m} rightarrow 1. ]

Se, no entanto, (x_ {m} = 1 + frac {1} {m} ) e (y_ {m} = m, ) então novamente (y_ {m} rightarrow + infty ) e (x_ {m} rightarrow 1 ) (pelo Teorema 10 acima e Teorema 1 do Capítulo 3, §15), mas

[x_ {m} ^ {y_ {m}} = left (1+ frac {1} {m} right) ^ {m} ]

não tende a (1; ) tende a (e> 2, ) conforme mostrado no Capítulo 3, §15. Assim, novamente o resultado depende de ( left {x_ {m} right } ) e ( left {y_ {m} right }. )

De maneira semelhante, mostra-se que os outros casos (1 *) são indeterminados.

Nota 1. Freqüentemente, é útil introduzir convenções "abreviadas" adicionais. Assim, o símbolo ( infty ) (infinito sem sinal) pode denotar uma função (f ) tal que

[| f (x) | rightarrow + infty text {as} x rightarrow p; ]

também escrevemos (f (x) rightarrow infty. ) O símbolo (0 ^ {+} ) (respectivamente, (0 ^ {-}) ) denota uma função (f ) tal naquela

[f (x) rightarrow 0 text {as} x rightarrow p ]

e além disso

[f (x)> 0 text {} (f (x) <0, text {respectivamente}) text {em algum} G _ { neg p} ( delta). ]

Temos então as seguintes fórmulas adicionais:

(i) ( frac {( pm infty)} {0 ^ {+}} = pm infty, frac {( pm infty)} {0 ^ {-}} = mp infty ).

(ii) Se (q> 0, ) então ( frac {q} {0 ^ {+}} = + infty ) e ( frac {q} {0 ^ {-}} = - infty ).

(iii) ( frac { infty} {0} = infty ).

(iv) ( frac {q} { infty} = 0 ).

Cabe ao leitor fornecer a prova.

Nota 2. Todas essas fórmulas e teoremas também valem para limites relativos.

Até agora, não definimos nenhuma operação aritmética em (E ^ {*}. ) Para preencher esta lacuna (pelo menos parcialmente), trataremos daqui em diante os Teoremas 1-16 acima não apenas como certas declarações de limite (em "taquigrafia" ), mas também como definições de certas operações em (E ^ {*}. ) Por exemplo, a fórmula ((+ infty) + (+ infty) = + infty ) deve ser tratada como a definição de a soma real de (+ infty ) e (+ infty ) em (E ^ {*}, ) com (+ infty ) considerado desta vez como um elemento de (E ^ { *} ) (não como uma função). Esta convenção define as operações aritméticas para certos casos apenas; o indeterminado expressões (1 *) permanecem indefinidos, a menos que decidamos atribuir-lhes algum significado.

Em uma análise superior, realmente se mostra conveniente atribuir um significado a pelo menos alguns deles. Devemos adotar essas convenções (reconhecidamente arbitrárias):

( left { begin {array} {l} {( pm infty) + ( mp infty) = ( pm infty) - ( pm infty) = + infty; 0 ^ { 0} = 1;} {0 cdot ( pm infty) = ( pm infty) cdot 0 = 0 text {(mesmo se} 0 text {representa o vetor zero}). } end {array} right. )

Cuidado: Essas fórmulas não devem ser tratadas como teoremas de limite (em "taquigrafia"). Somas e produtos de o formulário (2 *) será chamado "não ortodoxo."


4.4: Limites infinitos. Operações em E * - Matemática

Nesta seção, daremos uma olhada nos limites cujo valor é infinito ou menos infinito. Esses tipos de limite aparecerão com bastante regularidade nas seções posteriores e em outros cursos e, portanto, você precisará ser capaz de lidar com eles quando os encontrar.

A primeira coisa que provavelmente devemos fazer aqui é definir exatamente o que queremos dizer quando dizemos que um limite tem um valor infinito ou menos infinito.

Definição

[ mathop < lim> limits_ f left (x right) = infty ]

se pudermos tornar (f (x) ) arbitrariamente grande para todos (x ) suficientemente perto de (x = a ), de ambos os lados, sem realmente deixar (x = a ).

[ mathop < lim> limits_ f left (x right) = - infty ]

se pudermos tornar (f (x) ) arbitrariamente grande e negativo para todos (x ) suficientemente perto de (x = a ), de ambos os lados, sem realmente deixar (x = a ).

Essas definições também podem ser modificadas apropriadamente para os limites unilaterais. Para ver uma definição mais precisa e matemática desse tipo de limite, consulte a seção A Definição do Limite no final deste capítulo.

Vamos começar com um exemplo bastante típico que ilustra limites infinitos.

Então, vamos dar uma olhada em alguns limites unilaterais, bem como o limite normal aqui. Em todos os três casos, observe que não podemos simplesmente conectar (x = 0 ). Se o fizéssemos, teríamos divisão por zero. Lembre-se também de que as definições acima podem ser facilmente modificadas para fornecer definições semelhantes para os dois limites unilaterais de que precisaremos aqui.

Agora, há várias maneiras de proceder aqui para obter valores para esses limites. Uma maneira é conectar alguns pontos e ver a que valor a função está se aproximando. Na seção anterior, dissemos que não faríamos mais isso, mas, neste caso, é uma boa maneira de ilustrar o que está acontecendo com esta função.

Então, aqui está uma tabela de valores de (x ) ’s da esquerda e da direita. Usando estes valores seremos capazes de estimar o valor dos dois limites unilaterais e uma vez feito isso podemos usar o fato de que o limite normal só existirá se os dois limites unilaterais existirem e tiverem o mesmo valor .

(x ) ( displaystyle frac <1>) (x ) ( displaystyle frac <1>)
-0.1 -10 0.1 10
-0.01 -100 0.01 100
-0.001 -1000 0.001 1000
-0.0001 -10000 0.0001 10000

A partir desta tabela, podemos ver que à medida que tornamos (x ) cada vez menor a função ( frac <1>) fica cada vez maior e manterá o mesmo sinal que (x ) originalmente tinha. Deve fazer sentido que essa tendência continue para qualquer valor menor de (x ) que escolhemos usar. A função é uma constante (um neste caso) dividida por um número cada vez menor. A fração resultante deve ser um número cada vez maior e, conforme observado acima, a fração manterá o mesmo sinal de (x ).

Podemos tornar a função tão grande e positiva quanto quisermos para todos os (x ) 's suficientemente perto de zero enquanto permanecemos positivos (ou seja, à direita). Da mesma forma, podemos tornar a função tão grande e negativa quanto quisermos para todos os (x ) 's suficientemente perto de zero enquanto permanecemos negativos (ou seja, à esquerda). Portanto, de acordo com nossa definição acima, parece que devemos ter os seguintes valores para os limites unilaterais.

Outra forma de ver os valores dos limites unilaterais aqui é representar graficamente a função. Mais uma vez, na seção anterior, mencionamos que não faríamos isso com muita frequência, pois a maioria das funções não é algo que possamos simplesmente esboçar, bem como os problemas de precisão na leitura de valores fora do gráfico. Neste caso, no entanto, não é muito difícil esboçar um gráfico da função e, neste caso, como veremos, a precisão não será um problema. Então, aqui está um esboço rápido do gráfico.

Portanto, podemos ver neste gráfico que a função se comporta da mesma forma que previmos a partir dos valores de nossa tabela. Quanto mais próximo (x ) chega de zero da direita, maior (no sentido positivo) fica a função, enquanto quanto mais próximo (x ) chega de zero da esquerda, maior (no sentido negativo) fica a função .

Por fim, o limite normal, neste caso, não existirá, pois os dois limites unilaterais têm valores diferentes.

Então, em resumo, aqui estão os valores dos três limites para este exemplo.

Para a maioria dos exemplos restantes nesta seção, tentaremos "explicar nosso caminho através" de cada limite. Isso significa que veremos se podemos analisar o que deve acontecer com a função à medida que nos aproximamos do ponto em questão, sem realmente inserir nenhum valor na função. Para a maioria dos exemplos a seguir, esse tipo de análise não deve ser tão difícil de fazer. Também verificaremos nossa análise com um gráfico rápido.

Então, vamos fazer mais alguns exemplos.

Como no exemplo anterior, vamos começar observando os dois limites unilaterais. Assim que tivermos esses, poderemos determinar um valor para o limite normal.

Então, vamos dar uma olhada no limite do lado direito primeiro e, conforme observado acima, vamos ver se podemos descobrir o que cada limite fará sem realmente inserir nenhum valor de (x ) na função. À medida que tomamos valores cada vez menores de (x ), enquanto permanecemos positivos, elevá-los ao quadrado apenas os tornará menores (lembre-se de elevar ao quadrado um número entre zero e um o tornará menor) e, claro, permanecerá positivo. Portanto, temos uma constante positiva dividida por um número positivo cada vez menor. O resultado deve ser um número positivo cada vez maior. Parece que devemos ter o seguinte valor para o limite da direita neste caso,

Agora, vamos dar uma olhada no limite da mão esquerda. Neste caso, vamos usar valores cada vez menores de (x ), enquanto permanecemos negativos desta vez. Quando os elevamos ao quadrado, eles ficarão menores, mas ao elevar ao quadrado o resultado agora é positivo. Portanto, temos uma constante positiva dividida por um número positivo cada vez menor. O resultado, como com o limite da direita, será um número positivo cada vez maior e, portanto, o limite da esquerda será,

Agora, neste exemplo, ao contrário do primeiro, o limite normal existirá e será infinito, uma vez que os dois limites unilaterais existem e têm o mesmo valor. Então, em resumo, aqui estão todos os limites para este exemplo, bem como um gráfico rápido verificando os limites.

Com este próximo exemplo, vamos nos afastar de apenas um (x ) no denominador, mas, como veremos nos próximos exemplos, eles funcionam praticamente da mesma maneira.

Vamos começar novamente com o limite da mão direita. Com o limite da direita, sabemos que temos,

Além disso, conforme (x ) fica cada vez mais perto de -2, então (x + 2 ) ficará cada vez mais perto de zero, enquanto permanece positivo, conforme observado acima. Portanto, para o limite do lado direito, teremos uma constante negativa dividida por um número positivo cada vez menor. O resultado será um número cada vez maior e negativo. Portanto, parece que o limite do lado direito será infinito negativo.

Para o limite da mão esquerda, temos,

e (x + 2 ) se aproximará cada vez mais de zero (e será negativo) conforme (x ) se aproximará cada vez mais de -2. Nesse caso, teremos uma constante negativa dividida por um número negativo cada vez menor. O resultado será um número positivo cada vez maior e, portanto, parece que o limite esquerdo será infinito positivo.

Finalmente, uma vez que os dois limites unilaterais não são iguais, o limite normal não existirá.

Aqui estão as respostas oficiais para este exemplo, bem como um gráfico rápido da função para fins de verificação.

Neste ponto, devemos reconhecer brevemente a ideia de assíntotas verticais. Cada um dos três gráficos anteriores teve um. Lembre-se de uma aula de álgebra que uma assíntota vertical é uma linha vertical (a linha tracejada em (x = - 2 ) no exemplo anterior) na qual o gráfico irá para o infinito e / ou menos infinito em um ou ambos os lados de a linha.

Em uma aula de álgebra, eles são um pouco difíceis de definir além de dizer muito bem o que acabamos de dizer. Agora que temos limites infinitos sob o nosso cinto, podemos facilmente definir uma assíntota vertical da seguinte forma,

Definição

A função (f (x) ) terá uma assíntota vertical em (x = a ) se tivermos qualquer um dos seguintes limites em (x = a ).

[ mathop < lim> limits_> f left (x right) = pm , infty hspace <0.25in> mathop < lim> limits_> f left (x right) = pm , infty hspace <0.25in> mathop < lim> limits_ f left (x right) = pm , infty ]

Observe que é necessário apenas um dos limites acima para que uma função tenha uma assíntota vertical em (x = a ).

Usando esta definição, podemos ver que os primeiros dois exemplos tinham assíntotas verticais em (x = 0 ), enquanto o terceiro exemplo tinha uma assíntota vertical em (x = - 2 ).

Não vamos realmente fazer muito com assíntotas verticais aqui, mas gostaríamos de mencioná-las neste ponto, pois alcançamos um bom ponto para fazer isso.

Vamos agora dar uma olhada em mais alguns exemplos de limites infinitos que podem causar alguns problemas ocasionalmente.

Vamos começar com o limite da mão direita. Para este limite temos,

[x & gt 4 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.25in> 4 - x & lt 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.5in> < left (<4 - x> right) ^ 3> & lt 0 ]

também, (4 - x a 0 ) como (x a 4 ). Portanto, temos uma constante positiva dividida por um número negativo cada vez menor. Os resultados serão um número negativo cada vez maior e, portanto, parece que o limite do lado direito será infinito negativo.

Para o limite de canhotos, temos,

[x & lt 4 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.25in> 4 - x & gt 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.5in> < left (<4 - x> right) ^ 3> & gt 0 ]

e ainda temos, (4 - x a 0 ) como (x a 4 ). Nesse caso, temos uma constante positiva dividida por um número positivo cada vez menor. Os resultados serão um número positivo cada vez maior e, portanto, parece que o limite esquerdo será infinito positivo.

O limite normal não existirá, pois os dois limites unilaterais não são iguais. As respostas oficiais a este exemplo são,

Aqui está um esboço rápido para verificar nossos limites.

Todos os exemplos até este ponto tiveram uma constante no numerador e provavelmente devemos dar uma olhada rápida em um exemplo que não possui uma constante no numerador.

Vamos dar uma olhada no limite para destros primeiro. Para este limite, teremos,

[x & gt 3 hspace <0,5in> Rightarrow hspace <0,5in> x - 3 & gt 0 ]

A principal diferença aqui com este exemplo é o comportamento do numerador conforme deixamos (x ) ficar cada vez mais perto de 3. Neste caso, temos o seguinte comportamento para o numerador e o denominador.

Então, conforme deixamos (x ) ficar cada vez mais perto de 3 (sempre ficando à direita, é claro) o numerador, embora não seja uma constante, está cada vez mais perto de uma constante positiva enquanto o denominador está cada vez mais perto a zero e será positivo uma vez que estamos do lado direito.

Isso significa que teremos um numerador que está cada vez mais perto de um número diferente de zero e positivo dividido por um número positivo cada vez menor e, portanto, o resultado deve ser um número positivo cada vez maior. O limite do lado direito deve ser infinito positivo.

Para o limite da mão esquerda, teremos,

[x & lt 3 hspace <0,5in> Rightarrow hspace <0,5in> x - 3 & lt 0 ]

Tal como acontece com o limite do lado direito, teremos os seguintes comportamentos para o numerador e o denominador,

A principal diferença neste caso é que o denominador agora será negativo. Então, teremos um numerador que está se aproximando de uma constante positiva diferente de zero dividida por um número negativo cada vez menor. O resultado será um número cada vez maior e negativo.

As respostas formais para este exemplo são, então,

Como acontece com a maioria dos exemplos nesta seção, o limite normal não existe, pois os dois limites unilaterais não são iguais.

Aqui está um gráfico rápido para verificar nossos limites.

Até agora, tudo o que fizemos foi olhar para os limites das expressões racionais, vamos fazer alguns exemplos rápidos com algumas funções diferentes.

Primeiro, observe que só podemos avaliar o limite da mão direita aqui. Sabemos que o domínio de qualquer logaritmo são apenas os números positivos e por isso não podemos nem falar sobre o limite para canhotos, porque isso exigiria o uso de números negativos. Da mesma forma, uma vez que não podemos lidar com o limite da mão esquerda, então não podemos falar sobre o limite normal.

Esse limite é bastante simples de se obter a partir de um esboço rápido do gráfico.

A partir disso, podemos ver que,

[ mathop < lim> limits_> ln left (x right) = - infty ]

Aqui está um esboço rápido do gráfico da função tangente.

A partir disso, é fácil ver que temos os seguintes valores para cada um desses limites,

[ mathop < lim> limits_<2>> ^ + >> tan left (x right) = - infty hspace <0.5in> mathop < lim> limits_<2>> ^ - >> tan left (x right) = infty ]

Observe que o limite normal não existirá porque os dois limites unilaterais não são iguais.

Deixaremos esta seção com alguns fatos sobre limites infinitos.

Fatos

para alguns números reais (c ) e (L ). Então,

  1. ( mathop < lim> limits_ deixou[ right] = infty )
  2. Se (L & gt 0 ) then ( mathop < lim> limits_ deixou[ right] = infty )
  3. Se (L & lt 0 ) então ( mathop < lim> limits_ deixou[ right] = - infty )
  4. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac <><> = 0)

Para ver a prova desse conjunto de fatos, consulte a seção Prova de várias propriedades de limite no capítulo Extras.

Observe também que o conjunto de fatos acima também é válido para limites unilaterais. Eles também serão válidos se ( mathop < lim> limits_ f left (x right) = - infty ), com mudança de sinal nos infinitos nas três primeiras partes. As provas dessas mudanças nos fatos são quase idênticas às provas dos fatos originais e, portanto, são deixadas para você.


Euler provou que o número e é representado como a fração contínua simples infinita [1] (sequência A003417 no OEIS):

e = [2 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1,…, 1, 2 n, 1,…].

Sua convergência pode ser triplicada [ esclarecimento necessário ] [ citação necessária ] permitindo apenas um número fracionário:

Aqui estão algumas expansões de fração contínuas infinitas e generalizadas de e . O segundo é gerado a partir do primeiro por uma transformação de equivalência simples.

Este último, equivalente a [1 0,5, 12, 5, 28, 9,. ], é um caso especial de uma fórmula geral para a função exponencial:

O número e pode ser expresso como a soma das seguintes séries infinitas:

No caso especial onde x = 1 ou -1, temos:

Outras séries incluem o seguinte:

Consideração de como colocar limites superiores em e leva a esta série decrescente:

que fornece pelo menos um dígito correto (ou arredondado) por termo. Ou seja, se 1 ≤ n, então

Mais geralmente, se x não está em <2, 3, 4, 5,. >, então

O número e também é dado por várias formas infinitas de produtos, incluindo o produto da Pippenger

onde o no fator é o na raiz do produto

bem como o produto infinito

Mais geralmente, se 1 & lt B & lt e 2 (que inclui B = 2, 3, 4, 5, 6 ou 7), então

O número e é igual ao limite de várias sequências infinitas:

pode ser obtido pela manipulação da definição básica de limite de e .

As próximas duas definições são corolários diretos do teorema dos números primos [7]


MAT 112 Matemática Antiga e Contemporânea

O seguinte teorema segue do Algoritmo Euclidiano (Algoritmo 4.3.2) e do Teorema 3.2.16.

Teorema 4.4.1. Identidade de Bézout.

Para todos os números naturais (a ) e (b ) existem inteiros (s ) e (t ) com ((s cdot a) + (t cdot b) = gcd (a , b) text <.> )

Os valores (s ) e (t ) do Teorema 4.4.1 são chamados de cofatores de (a ) e (b texto <.> ) Para encontrar (s ) e (t ) para qualquer (a ) e (b texto <,> ), nós usar substituições repetidas nos resultados do Algoritmo Euclidiano (Algoritmo 4.3.2). Isso funciona porque o algoritmo conecta (a ) e (b ) ao ( gcd (a, b) ) por uma série de equações relacionadas.

Quando ( gcd (a, b) = a fmod b text <,> ) podemos facilmente encontrar os valores de (s ) e (t ) a partir do Teorema 4.4.1. Neste curso, limitamos nossos cálculos a este caso. Demonstramos isso nos exemplos a seguir.

Exemplo 4.4.2. A identidade de Bézout para ( gcd (28,12) ).

Encontramos valores para (s ) e (t ) do Teorema 4.4.1 para (a: = 28 ) e (b: = 12 text <.> )

Primeiro, calculamos o ( gcd (28, 12) ) usando o Algoritmo Euclidiano (Algoritmo 4.3.2). Na tabela, fornecemos os valores das variáveis ​​no final da etapa (1) em cada iteração do loop.

Passo (r ) (uma) (b )
Entrada (28) (12)
(1) (28 fmod 12 = 4 ) (12) (4)
(1) (12 fmod 4 = 0 ) (1) (0)
Resultado 4

Portanto, o ( gcd (28, 12) = 28 fmod 12 = 4 text <.> ) Para encontrar (s ) e (t ) com ((s cdot 28) + (t cdot 12) = gcd (28,12) = 4 ) precisamos

o restante da primeira iteração do loop (r: = a fmod b = 28 fmod 12 = 4 ) e

o quociente (q: = a fdiv b = 28 fdiv 12 = 2 text <.> )

Agora podemos escrever (a ) na forma (a = b cdot q + r text <:> )

Escrevemos (a = (b cdot q) + r ) de maneira um pouco mais complicada, ou seja, como ((1 cdot a) = (q cdot b) + r text <.> ) Resolvendo ((1 cdot a) = (q cdot b) + r ) para (r ) obtemos ((1 cdot a) - (q cdot b) = r text <.> ) Para trazer isso para a forma desejada ((s cdot a) + (t cdot b) = gcd (a, b) ) escrevemos (- (q cdot b) ) como (+ ( (-q) cdot b) ) e obter

Conectando nossos valores para (a text <,> ) (b text <,> ) (q text <,> ) e (r ), obtemos

Observe que obtemos (s = 1 ) porque o algoritmo euclidiano precisou de apenas duas etapas para calcular o maior divisor comum. Os cofatores (s ) e (t ) não são únicos. Usando os números do exemplo acima, também poderíamos ter obtido ((s cdot 28) + (t cdot 12) = 4 ) para (s = -5 ) e (t = 12 text < .> )

Problema 4.4.3. A identidade de Bézout para ( gcd (5,2) ).

Encontre inteiros (s ) e (t ) tais que (s cdot5 + t cdot2 = gcd (5,2) text <.> )

Embora seja fácil ver que o máximo divisor comum de 5 e 2 é 1, precisamos de alguns dos resultados intermediários do algoritmo euclidiano para encontrar (s ) e (t text <.> ) Seguindo o euclidiano algoritmo (Algoritmo 4.3.2) para os valores de entrada (a: = 5 ) e (b: = 2 ) obtemos:

Passo (r ) (uma) (b )
Entrada (5) (2)
(1) (5 fmod 2 = 1 ) (2) (1)
(1) (2 fmod 1 = 0 ) (1) (0)
Resultado 1

Confirmamos que ( gcd (5,2) = 1 text <.> ) Como o algoritmo euclidiano terminou após 2 iterações, podemos usar o mesmo truque do Exemplo 4.4.2. Nós temos

Conectando-os à fórmula

Lemos os valores (s: = 1 ) e (t: = - 2 text <.> ) Observe que (t = - (5 fdiv 2) text <.> )

No Checkpoint 4.4.4, trabalhe com um exemplo semelhante.

Ponto de verificação 4.4.4. Encontre os cofatores.

O padrão observado na solução do problema e no Checkpoint 4.4.4 pode ser generalizado. Obtemos o seguinte teorema.

Teorema 4.4.5.

Sejam (a ) e (b ) números naturais. Se o algoritmo euclidiano para calcular o maior divisor comum de (a ) e (b ) retornar ( gcd (a, b) ) após apenas percorrer o repetir_até repetir duas vezes (s cdot a + t cdot b = gcd (a, b) ) com (s = 1 ) e (t = - (a fdiv b) text <.> )

Aplicamos o teorema na solução de um problema.

Problema 4.4.6. Encontre (s ) e (t ) de modo que (s cdot 63 + t cdot 14 = gcd (63,14) ).

Para (a = 63 ) e (b = 14 ) encontre inteiros (s ) e (t ) tais que (s cdot a + t cdot b = gcd (a, b) text <.> )

Encontramos o máximo divisor comum de 63 e 14 usando o Algoritmo Euclidiano.

Portanto, o Algoritmo Euclidiano termina depois de percorrer o loop duas vezes e retorna ( gcd (63,14) = 7 text <.> ) Pelo Teorema 4.4.5. temos (s = 1 ) e (t = - (63 fdiv 14) = -4 text <.> )

Verificamos se o resultado está correto:

Ponto de verificação 4.4.7. Encontre os cofatores.

No vídeo da Figura 4.4.8, resumimos os resultados acima e damos alguns exemplos adicionais.


Operadores, matrizes e teoria de grupo

Abstrato

Um operador é um símbolo que representa uma ou mais operações matemáticas. Se uma operadora UMA opera em uma função f o resultado é uma nova função. A álgebra do operador manipula os símbolos do operador de acordo com regras que são ligeiramente diferentes daquelas da álgebra comum. Uma diferença é que a multiplicação do operador não é necessariamente comutativa e outra é que a divisão por um operador não é definida. Uma equação de autovalor tem a forma Af = af Onde UMA é um operador, f é uma autofunção, e uma é um autovalor. Os operadores de simetria movem pontos no espaço em relação a um elemento de simetria. Se um operador de simetria pertencer a um objeto simétrico, ele deixará esse objeto na mesma conformação após operar em todas as partículas do objeto. Os operadores de simetria podem operar em funções e também em pontos e podem ter autofunções com autovalores iguais a 1 ou a −1. Uma função de onda eletrônica de uma molécula pode ser uma autofunção dos operadores de simetria que pertencem à estrutura nuclear de uma molécula. Uma matriz é uma lista de quantidades, organizadas em linhas e colunas. As matrizes podem ser manipuladas de acordo com as regras da álgebra de matrizes, que são semelhantes às regras da álgebra de operadores. O inverso de uma matriz é uma matriz tal que seu produto com a matriz original produz a matriz identidade. O inverso de uma dada matriz pode ser obtido pelo procedimento de eliminação de Gauss-Jordan. Um grupo é um conjunto de elementos que obedecem a certas condições, com uma única operação combinando dois elementos para dar um terceiro elemento do grupo. Esta operação é chamada de multiplicação e possivelmente não comutativa. Os operadores de simetria pertencentes a um objeto simétrico formam um grupo matemático. Um conjunto de matrizes obedecendo à mesma tabuada de um grupo é uma representação do grupo. Vários teoremas da teoria dos grupos são úteis no estudo das propriedades de simetria das moléculas.


Limites

Nas seções anteriores desta unidade, apresentamos as definições básicas e os resultados que aplicamos para avaliar os limites. Fornecemos algumas explicações para torná-los plausíveis, mas uma coisa é aceitar algo como plausível, e outra é entender, sem qualquer razão para dúvida, que algo é verdadeiro. Os matemáticos procuram argumentos lógicos que explicam por que uma afirmação ou resultado é verdadeiro. Nesta seção, consideramos como esses resultados surgiram, para que sua compreensão do limite se torne mais profunda e para que você possa apreciar que todas as coisas que fazemos com a matemática têm uma base sólida. Não é nossa intenção provar todos os resultados que temos usado - as restrições de tempo impedem isso. Em vez disso, escolheremos alguns deles e o convidamos a tentar provar os outros se sua programação permitir.

Entendimento Por quê algo é verdade é o que torna a matemática emocionante. Em nossos esforços para mostrar que algo é verdadeiro, devemos começar com definições e axiomas.

Sabemos que a afirmação f (x) & # x2192 L como x & # x2192 a significa que podemos tornar os valores de f (x) arbitrariamente próximos de L (o mais próximo que quisermos) tomando x para ser suficientemente próximo de a, mas não igual a a.

Isso é o mesmo que dizer que podemos fazer os valores de f (x) arbitrariamente próximos de L (o mais próximo que quisermos) porque sempre há x s suficientemente perto de a tal que f (x) está próximo de L.

Você está de acordo com esta afirmação? Lembre-se do gráfico de uma função com limite L em a (consulte a Figura 3.29, abaixo).

Figura 3.29. Função definida nos pontos a e x próximos a a

Na Figura 3.29, podemos ver que para um pequeno número m (tão pequeno quanto quisermos), podemos encontrar x perto de a, de forma que a distância entre f (x) e L seja menor que m. O desafio é escrever precisamente essa ideia usando conceitos matemáticos, ou seja, traduzir essa ideia em uma afirmação matemática.

Precisamos expressar a ideia de & ldquo x próximo a & rdquo em termos matemáticos. Dois números estão próximos se a distância entre eles for pequena, então precisamos expressar a ideia de & ldquodistância entre dois números. & Rdquo Qual é a distância entre os números xe a? Como medimos a distância entre xe a?

Figura 3.30. Real number line showing x < a

If x < a , as shown in the real line above, then their distance is a - x , regardless of whether both are positive, both are negative, or one is positive and the other negative. Convince yourself of this fact. Figures 7 and 8 on page 341 of the textbook may help you.

Figure 3.31. Real number line showing x > a

If x > a , as shown in the real line above, then their distance is x - a , regardless of whether both are positive, both are negative, or one is positive and the other negative.

Combining these two results, we can say that the distance between two distinct numbers x and a is | x - a | Porque

This is precisely what we say above!

As you can see, | 6 - 6 . 0 1 | = 0. 0 1 because the distance between 6 and 6 . 0 1 is 0 . 0 1 , and | 3 5 - 3 | = 0. 5 , because the distance between 3 and 3 . 5 is 0 . 5

The distance between two distinct numbers x and a can be very small, and this fact can be expressed mathematically as follows:

We use the Greek letter δ (delta) to denote a small number. It is a convention, and it has its historical reasons.

If we write | x - 3 | < 0 . 0 1 , then the distance between x and 3 is less than 0 . 0 1 . These numbers are on the interval ( 2 . 9 9 , 3 . 0 1 ) .

Figure 3.32. Real number line showing the interval ( 2 . 9 9 , 3 . 0 1 )

If we write | x - 3 | < δ , then we are referring to the numbers x whose distance to 3 is less than the small number δ .

When we write 0 < | x - 3 | < δ , we are referring to all numbers x very close to 3 , but not equal to 3 , because | x - 3 | = 0 only of x = 3 .

Now we must express the idea of &ldquomaking the values of f ( x ) arbitrarily close to L (as close as we like)&rdquo mathematically.

We know that &ldquo f ( x ) is close to L &rdquo is written as | f ( x ) − L | < ε for a small number ε > 0 .

Note that ε is the Greek letter epsilon.

But &ldquothe distance is as small as we want&rdquo is the same as saying that the distance is less than any number we want to give.

| f ( x ) − L | < ε for any given small number ε > 0 ,

we are saying that the distance between f ( x ) and L is as small as any number we want to give.

we can find a δ > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ , it is the case that | f ( x ) − L | < ε . for any given small number ε > 0

we can find x s very close to a , but not equal to a , so that f ( x ) can be as close to L as we like.

This is precisely the definition of a limit.

Definition 3.30. Let f be a function defined around a .

The limit of f , as x approaches a , is L if

given any ε > 0 , we can find δ > 0 such that

for any 0 < | x − a | < δ it is the case that | f ( x ) − L | < ε .

Note that this definition expresses what we understood a limit to be.

We will need the following definition in our further discussions.

Definition 3.31. If a and b are two numbers, the number min < a , b >is the smaller of the two for instance, min < 3 , - 4 >= - 4 . Similarly, max < a , b >is the larger of the two hence, max < 3 , - 4 >= 3 . It is true that min < 4 , 4 >= 4 = max < 4 , 4 >.

Definition 3.31 extends naturally to any finite number or numbers for example,

The results about limits that we presented to you are consequences of Definition 3.30 and the properties of the real numbers. For example, let us see why the first and third laws of limits in Theorem 3.23 are true.

Sum of limits: If lim x → a f ( x ) = L and lim x → a g ( x ) = M , then

lim x → a f ( x ) + g ( x ) = L + M .

Prova. We start with knowing what we want to show (prove).

Given any ε > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < | x - a | < δ , it is the case that

We are given ε > 0 , and we must find δ > 0 with the property indicated above.

To proceed from this point, we must determine what we know.

In this case, we know that lim x → a f ( x ) = L and lim x → a g ( x ) = M . Definition 3.30 is true for any positive number, so

  1. for ε 2 > 0 , there is a δ 1 > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ 1 , it is the case that | f ( x ) − L | < ε 2 , and
  2. for ε 2 > 0 , there is a δ 2 > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ 2 , it is the case that | g ( x ) − M | < ε 2 .

Hence, statements 1 and 2 above are true for this δ .

From the triangle inequality, we have

| f ( x ) + g ( x ) − ( L + M ) | ≤ | f ( x ) − L | + | g ( x ) − M ) | < ε 2 + ε 2 = ε .

Therefore, given ε > 0 , we have found δ = min ( δ 1 , δ 2 ) , such that if 0 < | x − a | < δ then | f ( x ) + g ( x ) − ( L + M ) | < ε .

Observação: The end of a proof is indicated by the initials &ldquoQ.E.D.,&rdquo an abbreviation of the Latin phrase quod erat demonstrandum (&ldquowhich was to be proved&rdquo).

Product of limits: If lim x → a f ( x ) = L and lim x → a g ( x ) = M , then

lim x → a f ( x ) g ( x ) = L M .

Prova. We want to show that, for any given ε > 0 , we can find a δ > 0 such that

We know that lim x → a f ( x ) = L and lim x → a g ( x ) = M hence,

  1. for any ε 1 > 0 , there is a δ 1 > 0 such that for any 0 < | x − a | < δ 1 , it is the case that | f ( x ) − L | < ε 1 , and
  2. for any ε 2 > 0 , there is a δ 2 > 0 such that for any 0 < | x − a | < δ 2 , it is the case that | g ( x ) − M | < ε 2 .

See how the addition of 0 = g ( x ) L - g ( x ) L allows us to relate what we want to show com what we know.

By the triangle inequality,

| f ( x ) g ( x ) − L M | = | f ( x ) g ( x ) − L M + g ( x ) L − g ( x ) L | = | f ( x ) g ( x ) − g ( x ) L + g ( x ) L − L M | = | g ( x ) ( f ( x ) − L ) + L ( g ( x ) − M ) | ≤ | g ( x ) | | f ( x ) − L | + | L | | ( g ( x ) − M ) |

We want the final inequality above to be less than any ε > 0 , and we can achieve this result by taking particular values for ε 1 > 0 and ε 2 > 0 in statements 1 and 2 above.

In statement 1, we take ε 1 = ε 2 ( 1 + | M | ) > 0 . So, there is a δ 1 > 0 such that

In statement 2 we take ε 2 = 1 . So, for 1 > 0 there is a δ 2 > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ 2 , it is the case that | g ( x ) − M | < 1.

Since | g ( x ) | = | g ( x ) − M + M | ≤ | g ( x ) − M | + | M | , we conclude that

Again, in statement 2, we take ε 3 = ε 2 | L | > 0 . So, there is a δ 3 > 0 such that

Hence, if δ = min ( δ 1 , δ 2 , δ 3 ) , then, for any 0 < | x - a | < δ , statements 3, 4 and 5, above, are valid. Portanto,

| f ( x ) g ( x ) − L M | ≤ | g ( x ) | | f ( x ) − L | + | L | | ( g ( x ) − M ) | < ( 1 + | M | ) ε 2 ( 1 + | M | ) + | L | ε 2 | L | = ε .

Limit of the reciprocal: If lim x → a g ( x ) = M and M ≠ 0 , then lim x → a   1 g ( x ) = 1 M .

Prova. We want to show that for any given ε > 0 , we can find a δ > 0 such that for any

We know that lim x → a g ( x ) = M hence,

  1. for any ε 1 > 0 , there is a δ 1 > 0 such that for any 0 < | x − a | < δ 1 it is the case that | g ( x ) − M | < ε 1 .

To relate what we know to what we want to show, we do the operations and obtain

| 1 g ( x ) − 1 M | = | M − g ( x ) g ( x ) M | = | g ( x ) − M | 1 g ( x ) M |

From statement 1, if | g ( x ) − M | < ε 1 , then by the properties of the absolute value,

| g ( x ) − M | 1 g ( x ) M | < ε 1 | M | ( | M | − ε 1 ) .

If we want ε = ε 1 | M | ( | M | − ε 1 ) , we solve for ε 1 , and we determine that

From statement 1, above, we know that for this value of ε 1 , there is a δ such that if

| 1 g ( x ) − 1 M | = | g ( x ) − M | 1 g ( x ) M | < ε 1 | M | ( | M | − ε 1 ) = ε .

Finally, we can use the fact that

f ( x ) g ( x ) = f ( x ) 1 g ( x ) ,

and determine, from the product of limits and the limit of the reciprocal, the limit of the quotient.

If lim x → a f ( x ) = L and lim x → a g ( x ) = M where M ≠ 0 , then

lim x → a   f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ( x ) 1 g ( x ) = lim x → a f ( x ) lim x → a   1 g ( x ) = L 1 M = L M

Exercícios
  1. Use Definition 3.30 and the properties of the absolute value to show that
    1. if c is any number and lim x → a f ( x ) = L , then lim x → a   c f ( x ) = c L .
    2. if lim u → b f ( u ) = L and lim x → a g ( x ) = b , then lim x → a f ( g ( x ) ) = L .

    Dica: | L − K | = | f ( x ) − K + L − f ( x ) | ≤ | f ( x ) − K | + | f ( x ) − L | .

    The formal definition of the side limits should indicate when an x is very close to a from the right (or left) but is not a . We denote this situation by

    Observe that the statement 0 < x - a says that x ≠ a and that a < x that is, x is on the right of a .

    Definition 3.32.

    Let f be a function defined on the right of a .

    The limit of f , as x approaches a from the right, is L if,

    given any ε > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < x - a < δ , we have | f ( x ) − L | < ε .

    Let f be a function defined on the left of a .

    The limit of f , as x approaches a from the left, is L if,

    given any ε > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < a - x < δ , we have | f ( x ) − L | < ε .

    Remember that a function f is continuous at a if, lim x → a f ( x ) = f ( a ) . By Definition 3.30, the formal definition of continuity is as follows.

    Definition 3.33. A function f is continuous at a if

    given any ε > 0 , we can find δ > 0 such that, for any | x − a | < δ , it is the case that | f ( x ) − f ( a ) | < L .

    From the laws of limits we have the following laws for continuous functions.

    Proposition 3.34. If f and g are continuous at a , then

    1. lim x → a f ( x ) ± g ( x ) = f ( a ) ± g ( a ) .
    2. lim x → a   c f ( x ) = c f ( a ) , for any constant c .
    3. lim x → a f ( x ) g ( x ) = f ( a ) g ( a ) .
    4. lim x → a   f ( x ) g ( x ) = f ( a ) g ( a ) , if g ( a ) ≠ 0 .

    Proposition 3.34 is saying that the sum (difference), constant product, product and quotient of continuous functions at a are continuous at a .

    Example 3.78. Using Definition 3.33, above, we can also prove that the identity function I ( x ) = x is continuous everywhere. We want to show that, for any number a , the function is continuous at a that is, given ε > 0 , we can find δ > 0 such that

    for any 0 < | x − a | < δ , it is the case that | I ( x ) − I ( a ) | < ε .

    Since I ( x ) = x , we have | I ( x ) − I ( a ) | = | x − a | , and for ε = δ , the statement is true. Since a is any number, the function I is continuous everywhere.

    Example 3.79. By Example 3.78 and Proposition 3.34(c), we know that for any positive integer n , the function I ( x ) n = x n is the n product of the everywhere-continuous identity function. Hence, by the second law of limits, the function f ( x ) = c x n is continuous everywhere for any constant c . You can conclude, again by the law of limits, that polynomial functions are continuous everywhere.

    Example 3.80. Since a rational function is the quotient of polynomial functions, rational functions are continuous on their domains by Example 3.79 and Proposition 3.34(d).

    Example 3.81. By the definition of radians, for any numbers (radians) θ and η , it is true that | sin   θ −  sin  η | ≤ | θ − η | .

    This result shows that the sine function is continuous at η however, since η is arbitrary, we conclude that sine is continuous everywhere.

    Theorem 3.35. If the function g is continuous at a , and the function f is continuous at g ( a ) , then the composition f ∘ g is continuous at a . [Note that this theorem was presented earlier as Theorem 3.13.]

    Prova. We have lim x → a g ( x ) = g ( a ) and lim x → b f ( x ) = f ( b ) for b = g ( a ) . Then, by Exercise 34(b), which you just completed, lim x → a f ( g ( x ) ) = f ( g ( a ) ) , and therefore, lim x → a f ( g ( x ) ) is continuous at a .

    Example 3.82. From the addition formula of the sine function, we have

    Hence, cosine is the composition of the outside function sine and the inside polynomial function x + π ∕ 2 .

    By Examples 3.79 and 3.81, these two functions are continuous everywhere hence, by Theorem 3.35, cosine is continuous everywhere.

    At this point, we want to consider the formal definition of

    By Definition 3.6, we have lim x → a + f ( x ) = ∞ if we can make the values of f ( x ) arbitrarily large (as large as we like) by taking x to be sufficiently close to a from the right but not equal to a .

    This statement is the same as saying that it does not matter how large a number M we have, we can always find an x close to a from the right, but not equal to a , such that f ( x ) is bigger than M .

    Do you agree with this statement? Again, keep in mind the graph of a function with an infinite limit at a from the right.

    Figure 3.33. Function with an infinite positive limit at a from the right

    From Figure 3.33, above, we can see that, given any large M > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < x - a < δ , we have f ( x ) > M .

    Figure 3.34. Function with an infinite negative limit at a from the right

    Figure 3.34, above, is the graph of a function with a negative infinite limit at a from the right. We can see that it does not matter how small and negative a number N we have, we can always find an x close to a from the right, but not equal to a , so that f ( x ) is less than N .

    In Figure 3.34, we can see that, given a small N < 0 we can find δ > 0 such that for any 0 < x - a < δ , we have f ( x ) < N .

    We leave it to you to analyse the limits lim x → a - f ( x ) = ± ∞ and lim x → a f ( x ) = ± ∞ in the definition below.

    Definition 3.36.

    Let f be a function defined at the right of a . The limit of f , as x approaches a from the right, is infinity if

    given any M > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < x - a < δ , we have f ( x ) > M .

    The limit of f , as x approaches a from the right, is negative infinity if

    given any N < 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < x - a < δ , we have f ( x ) < N .

    Let f be a function defined at the left of a . The limit of f , as x approaches a from the left, is infinity if

    given any M > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < a - x < δ , we have f ( x ) > M .

    The limit of f , as x approaches a from the left, is negative infinity if

    given any N < 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < a - x < δ , we have f ( x ) < N .

    Let f be a function defined around a . The limit of f , as x approaches a , is infinity if

    given any M > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ , we have f ( x ) > M .

    The limit of f , as x approaches a , is negative infinity if

    given any N < 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ , we have f ( x ) < N .

    Definition 3.37.

    1. If g ( x ) > 0 for x → a + , then there is a δ > 0 such that g ( x ) > 0 for any 0 < x - a < δ .
    2. If g ( x ) ≤ f ( x ) for x → a + , then there is a δ > 0 such that g ( x ) ≤ f ( x ) for any 0 < x - a < δ .

    In the discussion below, we present some proofs about infinite limits. We strongly recommend that you try other proofs.

    Theorem 3.38. If lim x → a + g ( x ) = 0 and g ( x ) > 0 for x → a + , then

    Prova. We want to show that, given M > 0 , there is a δ > 0 such that, for any 0 < x - a < δ , we have 1 g ( x ) > M .

    1. for any ε > 0 , there is δ 1 > 0 such that | g ( x ) | < ε for any 0 < x - a < δ 1 .
    2. there is a δ 2 > 0 , such that g ( x ) > 0 for any 0 < x - a < δ 2 .

    In particular, for ε = 1 M > 0 in statement 1, we have

    If δ = min ( δ 1 , δ 2 ) , then for 0 < x - a < δ , statements 2 and 3 hold, and

    Theorem 3.39. If lim x → a f ( x ) = L > 0 , and lim x → a g ( x ) = ∞ , then

    Prova. We want to show that, given M > 0 , there is a δ > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ , we have f ( x ) g ( x ) > M .

    1. for any ε > 0 , there is δ 1 > 0 such that | f ( x ) − L | < ε for any 0 < | x − a | < δ 1 .
    2. for any M ′ > 0 , there is a δ 2 > 0 such that g ( x ) > M ′ for any 0 < | x − a | < δ 2 .

    In particular, in statement 1, for

    Adding L to each side of the inequality, we conclude that

    In statement 2, we take M ′ = 2 M L > 0 . There is a δ 2 > 0 , such that

    If δ = min ( δ 1 , δ 2 ) , then statements 3 and 4 hold for all 0 < | x − a | < δ , and we have

    f ( x ) g ( x ) > L 2 2 M L = M .

    Exercícios
    1. Use Definitions 3.36 and 3.37 to prove the statements below.
      1. If lim x → a + g ( x ) = 0 and g ( x ) < 0 for x → a + , then lim x → a +   1 g ( x ) = - ∞ .
      2. If lim x → a g ( x ) = 0 and g ( x ) > 0 for x → a , then lim x → a   1 g ( x ) = ∞ .
      3. If lim x → a f ( x ) = L < 0 and lim x → a g ( x ) = ∞ , then lim x → a f ( x ) g ( x ) = - ∞ .
      4. If lim x → a f ( x ) = L > 0 and lim x → a g ( x ) = - ∞ , then lim x → a f ( x ) g ( x ) = - ∞ .

      Finally, let us consider the formal definition of

      means that the values of f ( x ) can be made arbitrarily close to L by taking x sufficiently large and positive (see Figure 3.35, below).

      Figure 3.35. Formal definition of lim x → + ∞ f ( x ) = L

      For any small number ε > 0 (as small as we want), we can always find a large number M > 0 such that, for any x > M , the distance between f ( x ) and L is less than ε .

      Definition 3.40. Let f be a function defined on an interval ( c , ∞ ) for some c . The limit of f , as x approaches infinity, is L if

      given any ε > 0 , we can find an M > 0 such that, for any x > M , it is the case that | f ( x ) − L | < ε .

      We leave it to you to give the formal definitions of the statements in Definition 3.40 for x → a - and x → a .

      means that the values of f ( x ) can be made arbitrarily close to L by taking x sufficiently small and negative (see Figure 3.36, below).

      For any small number ε > 0 (as small as we want), we can always find a small number N < 0 such that, for any x < N , the distance between f ( x ) and L is less than ε .

      Figure 3.36. Formal definition of lim x → - ∞ f ( x ) = L

      Definition 3.41. Let f be a function defined on an interval ( - ∞ , c ) for some c . The limit of f , as x approaches negative infinity, is L if

      given any ε > 0 we can find an N < 0 such that, for any x < N , it is the case that | f ( x ) − L | < ε .

      We have provided a set of theorems that hold for limits at infinity one of them is the laws of limits. Compare the following proof with the product of limits we gave before (see Theorem 3.23).

      Theorem 3.42. If lim x → ∞ f ( x ) = L and lim x → ∞ g ( x ) = K , then

      Prova. We want to show that, for any given ε > 0 , we can find an M > 0 such that, for any

      x > M it is the case that | f ( x ) g ( x ) − L M | < ε .

      We know that, for any positive number,

      1. ε 1 > 0 , there is an M 1 > 0 such that, for any x > M 1 , it is the case that | f ( x ) − L | < ε 1 .
      2. ε 2 > 0 , there is an M 2 > 0 such that, for any x > M 2 , it is the case that | g ( x ) − K | < ε 2 .

      As before, we add 0 = g ( x ) L - g ( x ) L to relate what we want to show with what we know. By the triangle inequality, we know that

      | f ( x ) g ( x ) − L K | = | f ( x ) g ( x ) − g ( x ) L + g ( x ) L − L K | ≤ | g ( x ) | | f ( x ) − L | + | L | | g ( x ) − K |

      Since we want this inequality to be less than ε , and since statements 1 and 2 above are true for any positive real number, we take values for ε 1 and ε 2 that fit these criteria.

      In statement 2, we take ε 2 = 1 , and we find that for 1 > 0 , there is an M 2 > 0 such that for any x > M 2 it is the case that | g ( x ) − K | < ε 2 .

      Since | g ( x ) | = | g ( x ) − K + K | ≤ | g ( x ) − K | + | K | , we conclude that

      Again, in statement 2, we take ε 2 = ε 2 | L | > 0 , and we find that there is an M 3 > 0 such that

      In statement 1, we take ε 1 = ε 2 ( 1 + | K | ) > 0 , and we find that there is an M 1 > 0 such that

      Hence, if M = max ( M 1 , M 2 , M 3 ) , then for any x > M , statements 3, 4 and 5 are valid. Portanto,

      | f ( x ) g ( x ) − L K | ≤ | g ( x ) | | f ( x ) − L | + | L | | g ( x ) − K | < ( 1 + | K | ) ε 2 ( 1 + | K | ) + | L | ε 2 | L | = ε

      From this proof, you can see intuitively why some results for limits at finite numbers are also true for limits at infinity.

      Next, we give some other proofs to illustrate the different arguments we can use to prove a statement logically. Observe also how we use the properties of the absolute value.

      Theorem 3.43. If lim x → a f ( x ) = L and lim x → a g ( x ) = K and g ( x ) ≤ f ( x ) for x → a , then K ≤ L .

      This theorem is saying that if g ( x ) ≤ f ( x ) for x → a , then lim x → a g ( x ) ≤ lim x → a f ( x ) .

      Prova. We will argue by contradiction. If we assume that K > L , this assumption will take us to a contradiction, and from the contradiction, we can conclude that our assumption is false, and that K ≤ L .

      By the sum of limits, we know that

      lim x → a g ( x ) - f ( x ) = K - L .

      If K > L , then K - L > 0 . We have two hypotheses:

      1. for any ε 1 > 0 , there is a δ 1 > 0 such that | g ( x ) − K | < ε 1 for any 0 < | x − a | < δ 1 .
      2. for any ε 2 > 0 there is a δ 2 > 0 such that | g ( x ) − f ( x ) − ( K − L ) | < ε 2 for any 0 < | x − a | < ε 2 .

      In particular, we take ε 2 = K - L > 0 in statement 2, and we find that there is δ 2 > 0 such that

      If we take δ = min ( δ 1 , δ 2 ) , then statements 1 and 3 are true, and for any 0 < | x − a | < δ , we know that

      - ( K - L ) < g ( x ) - f ( x ) - ( K - L ) < K - L .

      Adding ( K - L ) to both sides, we obtain

      Therefore, f ( x ) < g ( x ) for 0 < | x − a | < δ . This inequality states that f ( x ) < g ( x ) for x → a , contrary to our assumption. Thus, we conclude that K ≤ L .

      Corollary 3.44. Squeeze Theorem.

      If g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) for x → a , and lim x → a g ( x ) = L = lim x → a   h ( x ) , then lim x → a f ( x ) = L .

      Prova. From Theorem 3.43, we know that

      lim x → a g ( x ) ≤ lim x → a f ( x ) ≤ lim x → a   h ( x ) .

      Hence, L ≤ lim x → a f ( x ) ≤ L , and lim x → a f ( x ) = L .

      Theorem 3.45. If lim x → a g ( x ) = ∞ and g ( x ) ≤ f ( x ) for x → a , then lim x → a f ( x ) = ∞ .

      Prova. We want to show that for any M > 0 , there is a δ > 0 such that f ( x ) > M for any 0 < | x - a | < δ .

      1. there is δ 1 > 0 such that g ( x ) ≤ f ( x ) for any 0 < | x − a | < δ 1
      2. for M > 0 , there is a δ 2 > 1 such that g ( x ) > M for any 0 < | x − a | < δ 2 .

      For δ = min ( δ 1 , δ 2 ) , both statements are true and for any 0 < | x − a | < δ , it is the case that f ( x ) ≥ g ( x ) > M .


      Properties of Infinity

      I am passionate about travelling and currently live and work in Paris. I like to spend my time reading, gardening, running, learning languages and exploring new places.

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      Value of +infinity=2.5×10power19

      infinity is not a number. it’s just an expression for a really small or large number like 0.9999999… or 0.00000000 then a number or 10000000… . in math the sideway 8 or infinity involved with an operation addition, subtraction, multiplication, division, etc. It is very important to understand and remember the properties there is no other way.


      Topological Vector Spaces

      3.4.2 Fréchet spaces

      Definition 3.51

      A Fréchet space (or ( ℱ )-space) is a metrizable and complete locally convex space. A ( ℒℱ )-space is an inductive limit of a sequence of Fréchet spaces an ( ℒ s ℱ )-space is a strict inductive limit of a sequence of Fréchet spaces 8 .

      The category of Fréchet spaces is preabelian, and, in particular, any Hausdorff quotient of a Fréchet space is a Fréchet space. By Theorem 3.34 :

      Corollary 3.52

      Every ( ℒ s ℱ )-space is Hausdorff and complete.

      (II) A locally convex space E is quasi-complete if and only if every closed and bounded subset of E is complete ( Definition 2.99 ). Any closed subspace of a Fréchet space is a Fréchet space. If (Eeu, ψeu j eu) is an inverse system of complete Hausdorff (resp. quasi-complete Hausdorff) locally convex spaces, then lim ← E i is complete Hausdorff (resp. quasi-complete Hausdorff) by Theorems 2.79 and 2.100 . We will see to what extent the converse holds below.

      Theorem 3.53

      If a locally convex space is complete and Hausdorff, then it is the decreasing projective limit ( Definition 3.32 (2)) of a family of Banach spaces.

      A locally convex space E is a Fréchet space if and only if it is the decreasing projective limit de um sequence of Banach spaces.

      Deixar E be a complete Hausdorff locally convex space, and let U be a fundamental system of disked and closed neighborhoods of 0, ordered by inclusion. For all V ∈ U , let pV be the gauge of V ( section 3.3.2 (I)) Then ker (pV) ≔ <xE : pV(x) = 0> is a vector subspace of E e EV = E / ker (pV) is a normed vector space (said to be associated with V) when equipped with the norm x ¯ V V = p V x , where x ¯ V ≔ x + ker p V . Let E V ^ be the completion of EV ( Definition 2.81 ). Deixar você, V ∈ U be such that vocêV. Then ker (pvocê) ⊂ ker (pV), so there exists a canonical mapping ψV você : EvocêEV induced by 1E ([P1], section 2.2.3(1)) ψV você is surjective (ibid.) and is continuous, since x ¯ V V ≤ x ¯ U U . Thus, by Theorem 2.80 , there exist canonical mappings ψ V U ^ : E U ^ → E V ^ and ψ U ^ : E → E U ^ clearly, if vocêVC (você, V, W ∈ U ), then ψ V ^ : ψ V U ^ ∘ ψ U ^ and ψ W U ^ = ψ W V ^ ∘ ψ V U ^ . We therefore have the inverse system ℑ = E V ^ ψ V U ^ U , and F ≔ lim ← E V ^ ⊂ ∏ V ∈ U E V ^ is equipped with the coarsest topology for which the canonical mappings F → E V ^ are continuous. Desde a E is Hausdorff, there exists a canonical injection j : E↪F : x ↦ x ¯ V V ∈ U j is a strict monomorphism ( [SCF 99] , Chapter II, section 5.4 ), j (E) is dense in F e Ej (E) is complete, thus j (E) = F and via j, which is an isomorphism of Tvs, E e F are identified.

      Se E is a Fréchet space, then U may be chosen to be countable ( section 2.1.3 (II)).


      4.4: Infinite Limits. Operations in E* - Mathematics

      MAT 305: Combinatorics Topics for K-8 Teachers

      Summation and Product Notation

      At times when we add, there is a pattern by which we can express the addends. For instance, in the sum

      1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

      the smallest addend is 1, each successive addend is one larger than the one before it, and the largest addend is 10. Likewise, in the sum

      the smallest addend is 2, each successive addend is 4 larger than the previous, and the largest addend is 18. See whether you can detect and describe the addend patterns in the following sums.

      (1) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21
      (2) 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160
      (3) 2a + 4a + 6a + 8a + 10a + 12a + 14a
      (4) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + . . .
      (5) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + . . .
      (6) 10 - 16 + 22 - 28 + 34 - . . .

      Summation notation provides for us a compact way to represent the addends in sums such as these. For instance, here is the summation notation to represent the sum of the first 10 positive integers, the first sum described on this page.

      The annotated symbolism shown below identifies important elements used in summation notation (also called sigma notation).

      • The Greek letter sigma is closely associated with the word "sum." The letter sigma is a signal that summation notation is being used.
      • The index of summation , here the letter i, is a dummy variable whose value will change as the addends of the sum change. The dummy variable will usually show up one or more times in the expression to the right of the Greek letter sigma.
      • The lower limit of summation indicates the smallest value the index will take on. Here, the smallest value i will take is 1. Unless indicated otherwise, we increase this value by 1 until we reach the upper limit of summation.
      • The upper limit of summation indicates the largest value the index will take on. Here, the largest value i will take on is 10.
      • The expression to the right of sigma describes or represents each addend, in terms of the index variable i. Here, that expression is just the index variable. Often is is much more involved than this.

      To expand this summation notation, that is, to determine the set of addends that we are to sum, we replace any occurance of the dummy variable in the addend representation with the lower limit of the index variable. We evaluate the resulting expression. This is our first addend. We repeat this process with the next value of the index variable, using that specific value for the index variable in the addend representation and simplifying as desired or necessary. The replace and simplify process continues until the last index value to be used is the upper limit of summation.

      Determine the expansion of this summation notation:

      Each addend in the sum will be the square of an index value. The index values begin with 3 and increase by 1 until reaching 7. Thus, we have the index values 3, 4, 5, 6, and 7, and the squares of those are 9, 16, 25, 36, and 49. The summation notation above, therefore, represents the sum 9 + 16 + 25 + 36 + 49.

      In some cases we may not identify the upper limit of summation with a specific value, instead usingf a variable. Here's an example.

      The lower limit of summation is 0 and the upper limit is n. Each addend in the sum is found by multiplying the index value by 3 and then adding 1 to that. When j=0, the addend is (3)(0)+1=1. When j=1, the addend is (3)(1)+1=4. When we reach the upper limit, the addend is (3)(n)+1. Because we do not know the specific value for n, we use an elipsis (. . .) to signal that the addend pattern continues. Here's the expansion of this summation notation.

      We may also create sums with an infinite number of addends. In this situation, the upper limit of summation is infinity. Here's an example.

      When k=1, the addend is (1+1)^3=8, when k=2 the addend is (2+1)^3=27, and so on. There is no last addend, because the upper limit of summation is infinity, indicating we simply continue to create addends following the pattern shown. Here's the expansion for this infinite summation.

      Once you've learned how to use summation notation to express patterns in sums, product notation has many similar elements that make it straightforward to learn to use. The only difference is that we use product notation to express patterns in products, that is, when the factors in a product can be represented by some pattern. Instead of the Greek letter sigma, we use the Greek letter pi. Here is product notation to represent the product of the first several squares:


      Assista o vídeo: Granice w plus i minus nieskończoności (Novembro 2021).